高等数学-重积分的应用

则
采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心
公式 , 即:
19
将 分成 n 小块, 在第 k 块上任取一点
将第 k 块看作质量集中于点
的质点, 此质点
系的质心坐标就近似该物体的质心坐标. 例如,
n
k (k ,k , k )vk
x
k 1 n
(k ,k , k )vk
k 1
令各小区域的最大直径 0,即得
它与曲面
的交线在 xoy 面上的投影为
(x x0 )2 ( y y0 )2 1 (记所围域为D )
V
D
2x0
x
2
y0
y
1
x02
y02
x2
y2d
x
d
y
D1 (x x0 )2 ( y y0 )2 d x d y
令 x x0 r cos , y y0 r sin
r2 r d r d
dy
0
0
D
x+ y=1
y
x
y
1
x+ y =1
D
O
18 x
例5. 求半径为a 的球面与半顶角为 的
z
内接锥面所围成的立体的体积.
2a
解: 在球坐标系下空间立体所占区域为
M
0 r 2a cos
r
: 0 0 2
则立体体积为
xo y
d v r 2 sind d dr
V
dxdydz
2
0
d
0 sin
0
0
2
[ (1
R
2
)
3 2
1) ]
3
13
例2 求球面 x2 y2 z2 a2，含在圆柱体 x2 y2 ax内部的那部分面积.
解 由对称性知 A 4A1,
D1： x2 y2 ax ( x, y 0)
曲面方程 z a2 x2 y2 ,
于是
1
z x
2
z y
2
z
a
,
o
y
a2 x2 y2
D
2 d
0
1 0
r
3
d
r
2
7
例4. 求由平面
所围成的柱体被平面
及旋转抛物面 z 6 ( x2 y2 )
z
截得的立体的体积V . 6
解: D : 0 x 1, 0 y 1 x.
V [6 (x2 y2 )]dxdy
D
6 dxdy 2 x2dxdy
D
D
3 2
1 x2dx
1 x
2a
x
14
面积 A 4 1 zx2 z y2dxdy
D1
a
4
D1
dxdy a2 x2 y2
4a
2 d
a cos
1
rdr
0
0
a2 r2
z
2a2 4a2.
o
y
2a
x 15
例4. 求由曲面
和
所围成的体积 V 和表面积 S .
解: (1) 易求出
利用二重积分,得
17
(2)
18
三、物体的质心
3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便
3
一、立体体积
• 曲顶柱体的顶为连续曲面
则其体积为
V D f (x, y)dxdy
d v f x, yd
zz f ( x, y)
y xD
z z2 (x, y)
z
2、一般立体的体积
z z1(x, y)
V (z2( x, y) z1( x, y))d
(x, y) Dx y
A
Fx2 Fy2 Fz 2 dx d y
Dx y
Fz
12
例1. 计算双曲抛物面
被柱面
出的面积 A .
解: 曲面在 xoy 面上投影为 D : x2 y2 R2, 则
所截
A
D
1
zx2
z
2 y
dxd y
D 1 x2 y2 dxdy
2
d
R
1 r 2 r dr
x
Fz
G a
D
d
(
x2
y
2
a
2
)
3 2
2
Ga d
0
R rdr
0
(r2
a2
3
)2
32
作业
习题册第九章第四节
33
z0
V (z2 z1)d D (2 r2 r2)rdrd
z1 x2 y2 o
1y
x
D
2
d
2
2
1r3dr 0
2
5
D
例2. 求球体 x2 y 2 z 2 R2与 x2 y 2 z 2 2Rz
公共部分体积. 解： 求两球交线的投影. 由
x2 y2 z2 R2
x2 y2 z2 2Rz 消去 z 得 x2 y2 3 R2 D
高等数学
第十七讲
第四节 重积分的应用
一、立体体积 二、曲面的面积 三、物体的质心 四、物体的转动惯量 五、物体的引力
第十章
2
1. 能用重积分解决的实际问题的特点
所求量是
分布在有界闭域上的整体量 对区域具有可加性
2. 用重积分解决问题的方法 • 用微元分析法 (元素法) • 从积分定义出发 建立积分式
当 (x, y, z) 常数时, 则得形心坐标：
x xd x d y d z , y yd x d y d z ,
V
V
z zd x d y d z V
V d x d y d z为的体积
21
若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片, 其面密度 则它的质心坐标为
x D x (x, y)dxdy M y D (x, y)dxdy M
G
(
x, r
y,
3
z)
y
dv
d Fz
G
(
x, r
y,
3
z)
z
dv
在上积分即得各引力分量:
z dv
dF r y x
r x2 y2 z2
G 为引力常数 30
Fx
G
(x, y, r3
z)x
d
v
Fy
G
(x, y, r3
z)y
d
v
Fz
G
(x, y, r3
z)z
d
v
对 xoy 面上的平面薄片D ,它对原点处的单位质量质点
则转动惯量的表达式是二重积分.
y2
y
x2
D
o
Io D (x2 y2 ) (x, y) dxdy
x
27
例1.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径
的转动惯量.
解:
建立坐标系如图,
D
:
x
2
y2
a2
y0
a
I x D y2 d x d y D r3 sin2 d r d
0
sin
2
d 0ar3 d r
d
2acos r 2 d r
0
16 a3 cos3 sin d 4 a3 (1 cos4 )
30
3
9
二、曲面的面积
设光滑曲面
则面积 A 可看成曲面上各点 M (x, y, z)
z
n
SM
处小切平面的面积 d A 无限积累而成.
o
设它在 D 上的投影为 d , 则
d cos d A n fx , f y ,1
积分区域 (x 1)2 ( y 2)2 32
其形心坐标为: x 1 , y 2
面积为:
形心坐标
5xA3 yA
[5 (1) 3 2]A 9
x
1 A
D
x
d xd y
y
1 A
D
y
d xd y
24
四、物体的转动惯量
因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故连续体的转动惯量可用积分计算.
半圆薄片的质量 M 1 a2
2 1 M a2
4
y D o ax
28
五、物体的引力
的由两万质有点引间力引定力律的可大知小：为距：离为Fr 质 量G m为1rmm2 12, m2
设物体占有空间区域 , 其密度函数
物体对位于原点的单位质量质点的引力
利用元素法, 引力元素在三坐标轴上的投影分别为
d Fy
设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数
(x, y, z). 该物体位于(x , y , z) 处的微元
z
对 z 轴的转动惯量为
d I z (x2 y2 ) (x, y, z) d v
因此物体 对 z 轴 的转动惯量:
o
y
Iz
(x2 y2 ) (x, y, z) dxd ydz
x
25
y D y (x, y)dxdy M x D (x, y)dxdy M
常数时, 得D 的形心坐标:
M x — 对 x 轴的
静矩
M y — 对 y 轴的
静矩
x D x dxdy , y D ydxdy (A 为 D 的面积)
A
A
22
例1. 计算
其中D 是由曲
线
所围成的平面域 .
解: I 5D x dxdy 3D y dxdy
4
投影域 D : x2 y2 3 R2 4
V R2 x2 y2 D
2
2 d
3 2
R
0
0
R2 r2 r dr R
d 5 R3
D 12
6
例3. 求曲面
任一点的切平面与曲面
所围立体的体积 V .
解: 曲面 S1在点
的切平面方程为
z 2x0 x 2 y0 y 1 x02 y02
D
xD
y
4
例1. 求由曲面 z x2 y2 与 z 2 ( x2 y2 )
所围立体 的体积 V .
提示: 先求曲面的交线在 xoy 面上的投影域 D.
z x2 y2
由
z 2 ( x2 y2 )
z2 2 ( x2 y2 ) 2 z
消去 z 得D 的边界 x2 y2 1
类似可得:
对 x 轴的转动惯量
Ix
( y2 z2 ) (x, y, z) d xd yd z
对 y 轴的转动惯量
(x2 z2)
对原点的转动惯量
Io
(x2 y2 z2 ) (x, y, z) d xd yd z
1 2
[
I
x
I
y
Iz
]
26
如果物体是平面薄片, 面密度为 (x, y), (x, y) D
cos
1
x
d y
nz
1 fx2 (x, y) f y2 (x, y)
dA
d A 1 fx2 (x, y) f y2 (x, y) d
M d
称为面积元素
10
故有曲面面积公式
A D 1 fx2 (x, y) f y2 (x, y) d
即
A D
1 (z)2 (z)2 d xd y x y
设空间有n个质点, 分别位于 (xk , yk , zk ) , 其质量分别
为 mk ( k 1, 2, , n ) ,由力学知, 该质点系的质心坐标
n
xk mk
n
yk mk
n
zk mk
为
x
k 1 n
,
y
k 1 n
,
z
k 1 n
mk
mk
mk
k 1
k 1
k 1
设物体占有空间域 , 有连续密度函数
x x (x, y, z) d x d y d z
(x, y, z) d x d y d z
20
同理可得
y y (x, y, z) d x d y d z (x, y, z) d x d y d z
z z (x, y, z) d x d y d z (x, y, z) d x d y d z
的引力分量为
Fx
GD
(x, y)
3
x
d
,
Fy
GD
(x, y)y
3
d
( x2 y2)
31
例1. 设面密度为μ ,半径为R的圆形薄片
求它对位于点 处的单位质量质点的引力.
解: 由对称性知引力F (0 , 0 , Fz )
za。M 0 o d Ry
d Fz
G
d
d2
a d
G a
d
(
x
2
y
2
a
2
)
3 2
若光滑曲面方程为 x g( y, z) , ( y, z) Dy z ,则有
Dy z
11
若光滑曲面方程为 y h (z, x) , (z, x) Dz x ,则有
A
1 (y )2 (y )2 d zd x
Dz x
z
x
若光滑曲面方来自百度文库为隐式
且
则
z Fx , z Fy , x Fz y Fz