高等数学重积分计算复习

两个X型区域或两个Y 型区域的和的形式。 不妨把D分成
Y 型区域的和 DD1D2来计算．
y
1
解: 积分区域如图所示.
D1 .
1
0D 2 1 x
1
因 DD 1D 2,其中 D 1 : 1 x y 1 x , 1 x 0 ,
D 2 :x 1 y 1 x ,0 x 1 ;
将二重积分转化为先对 y后对x的二次积分,得
在给定的积分区域 D内,求出 | y x2 |的解析表达式，
即去掉绝对值。利用曲线y x2 将积分区域D分成两部分
D 1和 D
2 ,则
|yx2|
x2y, yx2,
( x, ( x,
y)D1, 而D 1
y) D2
和
D
2 均为
Y 型区域，且被积函数先对 y积分比较容易, 故在直角
坐标系中将二重积分转化为先对 y后对x的二次积分, 然
令 DD1D2，则
y
()f(x,y)dxd fy(x,y)dxd 3 y
D 1
D 2
D
y3x
画出D的图形如图所示.
可知D为Y 型区域; 且
D : xy3x,0x2. 2
D2 1
D1
.
0
y x 2
2x
再把二重积分转化为先对 y后对 x的二次积分， 有
1 2 y
3 3 y
0 d0 yf(x ,y )d x 1d0 yf(x ,y )dx
1 dx x 2 x 2 yd y1 d2 xy x 2dy
00
0 x 2
1 2x3 dx
12(2x2)2 3dx
03
03
5 64
【例7】计算二重积分 emaxx{2,y2}dxd,y其中 D { x ,y ( ) |0 x 1 ,0 y 1 } D 分析 首先在给定的积分区域D内，求出被积函数的积分
.
0
D1
1x
emx a2,x y2{ }dxdeyx2dxdey y2dxdy
D
D 1
D 2
21xxe 2d xex2
1
e1
0
0
【例8】设区域 D { (x ,y )|x 2 y 2 1 ,x 0 } ,计算二重积分
1xy
I D 1x2 y2 dxdy.
分析 由于积分区域 D关于 x轴对称，故先利用二重积分的
D 1与D2 , 然后再将DD1D2用另一种形式的不等式组表示，
最后便可将给定的二次积分转化为先对 y后对 x的二次积分。
解:
设
1 2y
I10dy 0 f(x, y)d x
f(x, y)dxdy
D 1
3 3y
I21d
y
0
f(x, y)d xf(x, y)dxdy
D 2
则 D 1 :0 x 2 y ,0 y 1 ;D 2 :0 x 3 y ,1 y 3
表达式，即去掉最大符号 max，然后计算二重积分。
解：积分区域 D如图所示. DD1D2
y
其中
D 1 { x ,y ( ) |0 x 1 ,0 y x } D 2 { x ,y ( ) |0 x 1 ,x y 1 }
1 D2
则因 emaxx 2,y{2} eex y2 2,,((x x,,yy)) D D1 2 ,于是
1 2 y
3 3 y
【例10】改变0 d0 yf(x ,y )d x 1 d0 yf(x ,y )d的x 积分次序。
分析 由于二次积分是先对 x后对 y,故应按框图中线路2
1 2y
的方法计算。首先将二次积分 I10dy0 f(x, y)dx与
3 3y
I21dy0 f(x, y)dx 还原成二重积分，由此找出积分区域
2. 利用对称性简化计算 3. 消去被积函数绝对值符号
分块积分法 利用对称性
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【例6】计算二重积分 | yx2 |dxdy, D
y
2
D2
其中D { ( x ,y ) |0 x 1 ,0 y 2 } .0.
D1 1
分析 由于被积函数 | y x2 |中含有绝对值, 所以应首先
No D -X型
Yes D:c(yy)xd(y)
D:1()()2()
dxdydd
d (y)
Id 2()f(co s,sin )d
I dy f(x,y)dx 1()
c (y)
典型例题
【例1】根据二重积分的性质，比较积分ln(xy)d 与
D
[lnx(y)]2d的大小；其中 D是三角形的闭区域,三个
DD1D2
I fdxdy D
D-Y型 Yes
No
n
D Di,Di Y型 i1
axb
D:(x) y(x)
Di :aii(x)xybii(x)
b (x)
I dx fdy
a
(x)
fdxdy
dx bi
i(x)
fdy
Di
ai
i(x)
n
I
bi dx i(x) fdy
i1 ai
i (x)
典型例题
后分别计算即可.
解: 积分区域如图所示.
因为 DD1D2, 其中 D 1 : 0 y x2, 0 x1;
D 2 : x2 y 2, 0x1.
y
2
D2
.
D1
0
1
x
则 | yx2 |dxd y |yx2|dxd y |yx2|dxdy
D
D 1
D 2
x2yd x dyyx2d x d y
D 1
D 2
解: 积分区域如图所示.
y
在极坐标系下，由于
D: 12,0 4
.D
01 2 x
将二重积分转化为极坐标系下先对 后对 的二次积分,
得
D xydxdyD tandd
4 tand
0
2d
1
ln|cos| 4 0
12 2
21
3 4
ln
2
补充题. 计算积分 D(xy)d,其中D 由 y2 2x,
x y 4 ,x y 1所2 围成 . 提示:如图所示 DD2\D 1,
e xydxdy exydxdyexydxdy
D
D1
D2
0 d1 x xex yd y1 d1 x x ex ydy
1 1 x
0 x 1
0(e2 x 1 e 1)d x1 (e e2 x 1)dx
1
0Leabharlann Baidu
0
1
1e2x1e1x e x1e2x1 ee1
2
1 2 0
由二重积分的性质可知：
ln(xy)d [lnx(y)]2d
D
D
【例2】利用二重积分的性质，估计积分I (x24y29)d
D
的值；其中 D {x ( ,y)|x 2y24 }.
分析 由二重积分的性质可知，估计积分I(x24y29)d
D
的值，只需估计被积函数在积分区域上的最大值和最小值即可。
解: 积分区域如图所示.
I dy fdx
c
(y)
Di : cii(y)yxdii(y)
fdxdy
dy di
i(y)
fdx
Di
ci
i(y)
n
I
di dy i(y) fdx
i1 ci
i (y)
I d1dy1(y) fdx d1dy2(y) fdx
c1
1(y)
c1
2(y)
I1I2
由 I 1 , I 2 分别确定 D1 , D2
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二重积分解题方法流程图
I f(x,y)dxdy D
No
1
应用直角坐标
f(x,y)g(x2y2)
Yes
D为圆域
2
应用极坐标
Yes
No
D-Y型
axb
D:(x) y(x)
b (x)
I dx f(x,y)dy a (x)
DDi
I f(x, y)dxdy Di
Yes D -i Y型 No
【例5】计算二重积分
D
ydxdy. x
其中D是由圆周 x2 y2 1,
x2 y2 4及直线 y 0, yx所围成的第一象限内的闭区域.
分析 首先画出区域 D的图形。由于积分区域 D为扇形区域
的一部分，且被积函数呈现g
(
y x
)的形式,
故可考虑利用极坐
标进行计算，即用框图中线路2的方法计算本题比较简便。
复习课
重积分的 计算
一、 二重积分的计算 二、 三重积分的计算
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一、重积分计算的基本方法 —— 累次积分法
1. 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.
2. 选择易计算的积分序 积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .
3. 掌握确定积分限的方法 图示法 (从内到外: 面、线、点) 列不等式法
0
0型
t
0
2lim0 f(r)rdr 2l i mtf(t)
t0
t3
t0 3t2 0 型
0
2limf(t) 2limf(t) 2 f (0)
3 t0 t
3 t0
3
交换二次积分次序的方法
交换二次积分的次序 ，其实质是把二重积分化为二次 积分的逆问题。改变积分次序应首先对给定的二次积分求 出其对应的二重积分的积分区域 D, 其次要判断 D的类型, 然后再根据 D的类型, 将二重积分化为另一次序的二次积 分。
解： 积分区域如图所示. 积分区域 D为Y- 型区域，
y
yx
(1, 1)
.D
D : 1yx, 1x2;
x
.
x
012
将二重积分转化为先对 得
y对后 x的二次积分，
x2
2
xx2
D
y2
dxd yd 1
x1
x
y2
dy
2(x3
1
x)dx
x4 4
x2 2
2 1
9 4
注：若本题将二重积分转化为先对x后对 y 的二次积分,
y
由于在 D上
D.
0
9 x 2 4 y 2 9 4 (x 2 y 2 ) 9 25
故由二重积分的性质可知
9d I(x24y29)d 25d ,
D
D
D
即 94I (x24y29)d254
D
亦即 36I(x24y29)d100.
D
2x
【例3】计算二重积分
D
x2 y2
d
,其中D是由直线 x 2, y
对称性简化所求的积分.因
1
1 x2
y2
是关于变量
y为偶函数，
1
xy x2
y2 关于 y为奇函数，故
xy
D 1x2y2 dxdy0,
1
1
D1x2y2d x d y2D 11x2y2d x d y,
其中 D 1 { ( x ,y ) |x 2 y 2 1 ,x 0 ,y 0 } ;然后再利用极坐标将
yx
及曲线 xy1所围成的闭区域.
yx
(1, 1)
.D
.
x
012
分析 首先应画出区域 D的图形,然后根据图形的特点选择适
当的坐标计算。本题可采用直角坐标计算，即框图中线路1
的方法。注意到 D既是X-型区域, 又是Y-型区域, 但若用X-
型区域计算，需把D分割成两个X-型区域的和的形式. 故
本题选择先对 y积分后对 x积分的次序计算比较简单.
D
顶点分别为(1, 0) , (1, 1) ,(2, 0).
分析 由二重积分的性质可知，比较两个积分的大小, 只需
比较被积函数在积分区域上的大小即可。
一般要考虑到所围成的区域 D特点， y
二要恰当运用不等式证明的方法。
解: 积分区域如图所示. 0
(1, 1)
xy2
D
.
.
12 x
由于D位于直线 xy2的下方, 故在 D内有xy2, 所以 lnx(y)1; 又因为 D内的点满足 x1, y0, 从而 xy1, 故 lnx (y)0.于是 ln x (y)[lx n y ()2],
1
D1 1x2 y2 dxdy化为二次积分进行计算即可。
解：
1
xy
I
dxdy
dxdy
D1x2y2
D1x2y2
1
2
dxdy0
D1 1x2y2
1
2 2d
r
dr
0 01r2
21ln1 ( r2)1 ln2
22
02
【例9】设 f (u)有连续的一阶导数，且 f (0) 0. 求
1
limt t0
1．解题方法流程图
改变二次积分的积分次序
I
dx b1
1(x)
fdy
dx b1
2(x)
fdy
a1
1(x)
a1
2(x)
I1I2
由 I 1 , I 2 分别确定 D1 , D2
DD1D2
c yd
D:(y) x(y)
I fdxdy D
Yes D-X型
No
n
D Di,Di X型 i1
d (y)
y
4 2
y2 2x
f(x,y)xy在 D 2内有定o义 D 1 D且 2 D
x
4
连续, 所以
6
D (xy)dD2(xy)dD1(xy)d
4
dy
6
12y
y2 (xy)dx
2
dy
4
4y
y2 (xy)dx
2
2
54311 15
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二、重积分计算的基本技巧
1. 交换积分顺序的方法
则计算相对复杂。
【例4】计算二重积分exyd. 其中D {x ,(y )||x | |y | 1 }.
D
分析 首先应画出区域 D的图形,然后根据图形的特点选择适当
的坐标计算。本题可采用直角坐标计算, 即框图中线路1的方法。 注意到 D既是 X型区域, 又是Y 型区域，而无论X型区域 或 Y 型区域都不能用一个不等式组表出, 均需要把D分割成
3 x2y2t2
f(
x2y2)dxdy.
分析 本题是二重积分的计算、变上限积分求导和求极限的
综合题目。应首先利用极坐标将二重积分转化成积分变上限
的函数，然后再利用洛必达法则求极限。
解：
lim1
f( x2 y2)dxdy
t t0
3 x2y2t2
1 2 t
lim d f(r)rdr
t t 0 3 0