高等数学重积分计算复习
高数大一知识点总结重积分
高数大一知识点总结重积分高数大一知识点总结：重积分高等数学中的重积分是一种扩展了二重积分的概念，它在多变量函数的积分中扮演重要的角色。
本文将对高数大一课程中的重积分进行总结和讲解。
一、重积分的概念和性质重积分是定义在三维空间内的函数的积分，通常用来计算多变量函数在某个区域上的累积效应。
与二重积分类似，重积分可以通过分割区域，将其近似为无穷小的小区域，然后对每个小区域进行积分，再将这些积分进行累加而得到。
重积分的计算通常与坐标系的选择有关，常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系和柱坐标系等。
根据实际问题的特点和对称性的分析，选择合适的坐标系可以简化计算过程。
在计算重积分时，需要注意积分顺序的选择。
根据题目给定的区域和函数的特点，可以选择先对哪个自变量进行积分，这样有助于简化计算，并得到准确的结果。
重积分具有一些重要的性质，例如线性性、划分性和保号性等。
这些性质在具体计算过程中可以灵活运用，简化计算和分析。
二、重积分的计算方法1. 直角坐标系下的重积分计算方法直角坐标系下的重积分计算通常通过多次积分来实现。
根据题目给定的区域和函数的特点，可以选择先对哪个自变量进行积分，再对另一个自变量进行积分。
通过逐步积分，最终可以得到准确的结果。
2. 极坐标系下的重积分计算方法极坐标系下的重积分计算常常适用于具有旋转对称性的问题。
在极坐标系下，将函数和区域表示成极坐标形式，通过选择合适的积分顺序和极角范围，可以简化计算过程，得到准确的结果。
3. 柱坐标系下的重积分计算方法柱坐标系下的重积分计算通常应用于具有柱对称性的问题。
在柱坐标系下，将函数和区域表示成柱坐标形式，通过选择合适的积分顺序和柱角范围，可以简化计算过程，得到准确的结果。
三、重积分的应用领域重积分在科学和工程领域有广泛的应用。
例如，在物理学中，用重积分可以计算物体的质量、质心和转动惯量等；在电磁学中，可以用重积分计算电荷、电场和电势等；在流体力学中，可以用重积分计算流体的质量、流速和流量等。
高等数学定积分及重积分的方法与技巧
高等数学定积分及重积分的方法与技巧第一部分 定积分的计算一、定积分的计算例1 用定积分定义求极限. )0(21lim 1>++++∞→a nn a a a a n . 解 原式=∫∑=⋅=∞→1011lim a ani n x n n i dx =aa x a +=++11111. 例2 求极限 ∫+∞→121lim xx n n dx .解法1 由10≤≤x ，知nn x x x ≤+≤210，于是∫+≤1210x x n ∫≤1n x dx dx .而∫10nx ()∞→→+=+=+n n n x dx n 0111101，由夹逼准则得∫+∞→1021lim xx n n dx =0. 解法2 利用广义积分中值定理()()x g x f ba ∫()()∫=b ax g f dx x dx （其中()x g 在区间[]b a ,上不变号）， ().1011112102≤≤+=+∫∫n n nn dx x dx xx x x由于11102≤+≤nx，即211nx+有界，()∞→→+=∫n n dx x n01110，故∫+∞→1021lim x x n n dx =0. 注 （1）当被积函数为()22,x a x R +或()22,a x x R −型可作相应变换.如对积分()∫++3122112xxdx，可设t x tan =；对积分()02202>−∫a dx x ax x a，由于()2222a x a x ax −−=−，可设t a a x sin =−.对积分dx e x ∫−−2ln 021，可设.sin t e x =−（2）()0,cos sin cos sin 2≠++=∫d c dt td t c tb t a I π的积分一般方法如下：将被积函数的分子拆项，[分子]=A[分母]+B[分母]′，可求出22dc bdac A ++=，22dc adbc B +−=. 则积分 ()220cos sin ln 2cos sin cos sin πππtd t c B A dt td t c t d t c B A I ++=+′++=∫.ln2dc B A +=π例3 求定积分()dx x x x ∫−1211arcsin分析 以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根式. 解法1 ()dxx x x ∫−1211arcsin 2tx x t ==12121211212arcsin arcsin arcsin 21arcsin 2tt d t dt tt ==−∫∫.1632π=解法2 ()dx x x x∫−1211arcsin .163cos sin cos sin 2sin 2242242πππππ==⋅=∫u du u u uu u u x 小结 （定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元()t x ϕ=时还应注意：（1）()t x ϕ=应为区间[]βα,上的单值且有连续导数的函数； （2）换限要伴随换元同时进行；（3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.例4 计算下列定积分（1）∫+=2031cos sin sin πx x xdx I ， dx xx xI ∫+=2032cos sin cos π；（2）.1cos 226dx e xx ∫−−+ππ解 （1）∫+=2031cos sin sin πxx xdx I)(sin cos cos 2023du u u uu x −+−=∫ππ=.sin cos cos 223∫=+πI dx xx x故dx xx xx I I ∫++==203321cos sin cos sin 21π=()41cos cos sin sin 212022−=+−∫ππdx x x x x . （2）=I .1cos 226dx e x x ∫−−+ππ()dxe xdu e uu x x u ∫∫−−+=−+−=2262261cos 1cos ππππ+++=∫∫−−2222661cos 1cos 21ππππdx e x dx e x e I x x x.3252214365cos cos 21206226πππππ=×××===∫∫−xdxxdx这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式：dx xdx n n∫∫=2020cos sin ππ()()()()()()=⋅×−×−−=×−×−−=偶数奇数n n n n n n n n n n ,22421331,1322431π小结 （1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。
高等数学第十章《二重积分》复习 课件
y x 2(y) d y
x 1(y)
则
d
dy
2(y) f (x, y)dx
c o
c
1( y)
x
例2. 计算 x yd , 其中D 是抛物线 y2 x 及直线 D
y x 2 所围成的闭区域.
解: 看成Y型区域,
则
D
:
1 y y2 x
2 y
ห้องสมุดไป่ตู้
2
2 y2
D
x yd
dy 1
y2
xyd
该物体的质量为
b
a
Dz
f
(x,
y, z)d
xd
y dz
记作
b
dz
f (x, y, z)dxdy
a
Dz
z
b
z Dz
a
O
y
x
面密度≈
f (x, y, z)d z
截面法的一般步骤：
(1) 把积分区域 向某轴（例如z 轴）投影，得
投影区间 [a, b] ；
(2) 对 z [a, b]用过z轴且平行 截 ，得截面 Dz;
11
一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知,
若D为 X – 型区域
y y 2(x)
axb
D : 1( x) y 2( x)
D x
则
f (x, y)dxdy
b
dx
2( x)
f
( x,
oa y y)dy
1(x)b
x
D
a
1( x)
若D为Y –型区域
c yd
D : 1( y) x 2( y)
xoy平面的平z面去
高等数学重积分笔记
高等数学重积分笔记重积分是高等数学中的一个重要概念，它涉及到空间内某些图形的面积、体积、重量等方面的计算。
以下是一些重积分的笔记内容: 1. 重积分的概念：重积分是一种积分方法，它可以用来计算空间内某些图形的面积、体积、重量等。
重积分的基本思想是将空间内的某个区域分割成多个小区域，然后对每个小区域进行积分。
最终通过求和的方式得到整个区域的面积、体积、重量等。
2. 重积分的基本公式：重积分的基本公式可以用来计算任意函数的重积分。
基本公式如下:∫ABf(x,y)dxdy = ∫ABF(x,y)dydx + ∫BFCA(x,y)dydx - ∫ACBf(x,y)dxdy其中，∫AB 表示空间内某个区域 AB 的面积，f(x,y) 表示区域AB 内的函数值，∫ABF(x,y)dydx 表示区域 AB 内部的函数值，∫BFCA(x,y)dydx 表示区域 AB 外部的函数值，CB 表示区域 AB 的边界。
3. 重积分的应用领域：重积分广泛应用于空间内的图形计算，例如计算球的体积、圆柱的体积、圆锥的体积等。
此外，重积分还可以用于计算曲线的长度、曲线的弧长、函数的极值点等。
4. 重积分的变量替换法：在重积分的计算中，有时候会遇到难以求解的积分，这时可以通过变量替换法来解决。
变量替换法是指将某些变量替换成其他变量，使得积分变得容易求解。
例如，当积分式中含有根号时，可以通过变量替换来解决。
5. 重积分的分部积分法：在重积分的计算中，有时候会遇到难以求解的积分，这时可以通过分部积分法来解决。
分部积分法是指将积分式中的某些变量拆分成两个变量，然后分别进行积分。
例如，当积分式中含有 lnx 时，可以通过分部积分来解决。
以上是重积分的一些笔记内容，希望有所帮助。
高等数学-重积分的 计算 及应用
D
例如计算： I x2d
D:
D
I y2d
D
I 1
(x2 y2 )d
a4
2D
4
14
x2 y2 a2
例6
d
D (a2 x2 y2 )3/ 2
其中 D : 0 x a ; 0 y a
y yx
a
解：如图D是关于直线 y x 对称。
D2
D1
r a
cos
原式 2
D1
o 4
D1 D2 D
x
连续, 所以
6
D (x y) d D2 (x y) d D1 (x y) d
4
dy
6
12 y
y2 (x y)d x
2
dy
4
4 y
y2 (x y)d x
2
2
54311 15
9
例2. 计算 x2 y2 4 d , 其中 D : x2 y2 9
F(0) 0
利用洛必达法则与导数定义,得
lim
t0
F
(t ) t4
lim
t 0
4 f (t) 4 t3
t
2
lim
t 0
f (t) t
f
(0)
f (0)
33
f (x, y, z) d v
x
D
z2 (x, y) f (x, y, z)dz dxdy
z1( x, y)
记作 dxdy z2 (x, y) f (x, y, z)dz
D
z1( x, y)
20
y D
dxd y
微元线密度≈
f (x, y, z) dxdy
方法2. 截面法 (“先二后一”)
高等数学三重积分例题
高等数学三重积分例题一、计算三重积分∭_varOmega z dV，其中varOmega是由锥面z = √(x^2)+y^{2}与平面z = 1所围成的闭区域。
1. 利用柱坐标计算在柱坐标下x = rcosθ，y = rsinθ，z = z，dV = rdzdrdθ。
锥面z=√(x^2)+y^{2}在柱坐标下就是z = r。
由锥面z = r与平面z = 1所围成的闭区域varOmega，其在柱坐标下的范围为：0≤slantθ≤slant2π，0≤slant r≤slant1，r≤slant z≤slant1。
2. 计算积分则∭_varOmegaz dV=∫_0^2πdθ∫_0^1rdr∫_r^1zdz。
先计算关于z的积分：∫_r^1zdz=(1)/(2)(1 r^2)。
再计算关于r的积分：∫_0^1r×(1)/(2)(1 r^2)dr=(1)/(2)∫_0^1(rr^3)dr=(1)/(2)((1)/(2)-(1)/(4))=(1)/(8)。
最后计算关于θ的积分：∫_0^2πdθ = 2π。
所以∭_varOmegaz dV=(1)/(8)×2π=(π)/(4)。
二、计算三重积分∭_varOmega(x + y+z)dV，其中varOmega是由平面x = 0，y = 0，z = 0及x + y+z = 1所围成的四面体。
1. 利用直角坐标计算对于由平面x = 0，y = 0，z = 0及x + y + z=1所围成的四面体varOmega，其范围为0≤slant x≤slant1，0≤slant y≤slant1 x，0≤slant z≤slant1 x y。
则∭_varOmega(x + y + z)dV=∫_0^1dx∫_0^1 xdy∫_0^1 x y(x + y + z)dz。
2. 计算积分先计算关于z的积分：∫_0^1 x y(x + y+z)dz=(x + y)z+(1)/(2)z^2big|_0^1 x y=(x + y)(1 x y)+(1)/(2)(1 x y)^2展开得x + y-(x^2+2xy + y^2)+(1)/(2)(1 2x 2y+x^2+2xy + y^2)进一步化简为x + y x^2-2xy y^2+(1)/(2)-x y+(1)/(2)x^2+xy+(1)/(2)y^2即(1)/(2)-x^2-xy (1)/(2)y^2。
高等数学(下册) 二重积分要点总结
2
V f ( x, y )dxdy ；
S xy
求平面薄片质量:在薄片区域上对薄片密度进行积分。 求薄片质心：
x
x 乘以密度的积分 y 乘以密度的积分 ;y 对密度的积分 对密度的积分
求薄片转动惯量：
I x y 2 乘以密度在薄片上积分 I y x 2 乘以密度在薄片上积分
比较：求质量对密度积分；求质心密度乘 x 积分（除质量） ，惯量密度乘 x 2 积分。
f ( 标系 系左右边型：
f ( x, y)dxdy
D
x b
x a
dx
y 2 ( x ) y1 ( x )
f ( x, y )dy
典型题：
极坐标系里 里外边型：
f ( x, y) dx dy
D
d
2 ( ) 1 ( )
区域 D 关于 X 轴对称 被积函数关于 Y 变量是 奇函数
f ( x, y)dxdy
D
0
f ( x , y ) f ( x, y )
四、计算二重积分步骤： 画出积分区域（注意必要时划分区域） 根据区域形式和被积函数形式选择合适的区 域描述 确定累次积分并计算（注意：充分利用区域对称性，函数奇偶性） 五、二重积分的类型题目： 交换积分顺序； 直角坐标和极坐标下积分的互相表示； 重积分的具体计算； 求曲面围成的曲顶柱形的体积：曲顶 z f ( x, y ) ，几何体在 xy 平面投影 S xy ，体积
二重积 积分要点 点总结
1、二重积 积分：二重积 积分性质就 就是一般积分 分性质，6 个性质，重 个 重点前三个 。 2、二重积 积分计算：必 必须掌握，必须算准 区域形式及 及描述 直角坐标系 系上下边型 计算公式
高等数学下册复习第九章(二重积分)
1 x2 0 0
典型例题
13 把下列积分化为极坐标形式 并计算积分值 （2） dx x y dy (4) dy (x y )dx 14 利用极坐标计算下列各题
a x 2 2 0 0
a
a2 y2
2
2
0
0
(2) ln(1 x y )d ， 其中 D 是由圆周 x2y2 1 及坐标轴
(x2
y 2 )]d
y 轴上半平面部分
定理3
设 f x, y 在有界闭区域 D 上连续，若 D
关于原点对称，则
D
0 f x，y d 2 f x，y d D3
f x，-y ＝ f x，y ， x，y D f x，-y f x，y ， x，y D
第九章 二重积分
内容要点 一、二重积分的概念与性质 1. 二重积分的定义： 和式的极限
n
f ( i ,i ) i D f ( x , y )d lim 0
i 1
2.曲顶柱体的体积: V f ( x, y )d
D
平面薄片的密度: M ( x, y )d
将D分割, 如图. 则 2 2 xyf ( x y )d 0, D2 xd 0. D
D xd D1 xd
2
0 x3 xdx x 3 dy 1
0 4 dx x 1
2 , 5 2 . 5
所以, D x[1 yf
x 2 ( y )
D
c
c
x 2 ( y )
f ( x, y )d f ( x, y )dxdy
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两个X型区域或两个Y 型区域的和的形式。 不妨把D分成
Y 型区域的和 DD1D2来计算．
y
1
解: 积分区域如图所示.
D1 .
1
0D 2 1 x
1
因 DD 1D 2,其中 D 1 : 1 x y 1 x , 1 x 0 ,
D 2 :x 1 y 1 x ,0 x 1 ;
将二重积分转化为先对 y后对x的二次积分,得
【例5】计算二重积分
D
ydxdy. x
其中D是由圆周 x2 y2 1,
x2 y2 4及直线 y 0, yx所围成的第一象限内的闭区域.
分析 首先画出区域 D的图形。由于积分区域 D为扇形区域
的一部分，且被积函数呈现g
(
y x
)的形式,
故可考虑利用极坐
标进行计算，即用框图中线路2的方法计算本题比较简便。
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二重积分解题方法流程图
I f(x,y)dxdy D
No
1
应用直角坐标
f(x,y)g(x2y2)
Yes
D为圆域
2
应用极坐标
Yes
No
D-Y型
axb
D:(x) y(x)
b (x)
I dx f(x,y)dy a (x)
DDi
I f(x, y)dxdy Di
Yes D -i Y型 No
e xydxdy exydxdyexydxdy
D
D1
D2
0 d1 x xex yd y1 d1 x x ex ydy
1 1 x
0 x 1
0(e2 x 1 e 1)d x1 (e e2 x 1)dx
1
0
0
1
1e2x1e1x e x1e2x1 ee1
2
1 2 0
复习课
重积分的 计算
一、 二重积分的计算 二、 三重积分的计算
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一、重积分计算的基本方法 —— 累次积分法
1. 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.
2. 选择易计算的积分序 积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .
3. 掌握确定积分限的方法 图示法 (从内到外: 面、线、点) 列不等式法
.
0
D1
1x
emx a2,x y2{ }dxdeyx2dxdey y2dxdy
D
D 1
D 2
21xxe 2d xex2
1
e1
0
0
【例8】设区域 D { (x ,y )|x 2 y 2 1 ,x 0 } ,计算二重积分
1xy
I D 1x2 y2 dxdy.
分析 由于积分区域 D关于 x轴对称，故先利用二重积分的
对称性简化所求的积分.因
1
1 x2
y2
是关于变量
y为偶函数，
1
xy x2
y2 关于 y为奇函数，故
xy
D 1x2y2 dxdy0,
1
1
D1x2y2d x d y2D 11x2y2d x d y,
其中 D 1 { ( x ,y ) |x 2 y 2 1 ,x 0 ,y 0 } ;然后再利用极坐标将
0
0型
t
0
2lim0 f(r)rdr 2l i mtf(t)
t0
t3
t0 3t2 0 型
0
2limf(t) 2limf(t) 2 f (0)
3 t0 t
3 t0
3
交换二次积分次序的方法
交换二次积分的次序 ，其实质是把二重积分化为二次 积分的逆问题。改变积分次序应首先对给定的二次积分求 出其对应的二重积分的积分区域 D, 其次要判断 D的类型, 然后再根据 D的类型, 将二重积分化为另一次序的二次积 分。
1 2 y
3 3 y
【例10】改变0 d0 yf(x ,y )d x 1 d0 yf(x ,y )d的x 积分次序。
分析 由于二次积分是先对 x后对 y,故应按框图中线路2
1 2y
的方法计算。首先将二次积分 I10dy0 f(x, y)dx与
3 3y
I21dy0 f(x, y)dx 还原成二重积分，由此找出积分区域
表达式，即去掉最大符号 max，然后计算二重积分。
解：积分区域 D如图所示. DD1D2
y
其中
D 1 { x ,y ( ) |0 x 1 ,0 y x } D 2 { x ,y ( ) |0 x 1 ,x y 1 }
1 D2
则因 emaxx 2,y{2} eex y2 2,,((x x,,yy)) D D1 2 ,于是
2. 利用对称性简化计算 3. 消去被积函数绝对值符号
分块积分法 利用对称性
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【例6】计算二重积分 | yx2 |dxdy, D
y
2
D2
其中D { ( x ,y ) |0 x 1 ,0 y 2 } .0.
D1 1
分析 由于被积函数 | y x2 |中含有绝对值, 所以应首先
No D -X型
Yes D:c(yy)xd(y)
D:1()()2()
dxdydd
d (y)
Id 2()f(co s,sin )d
I dy f(x,y)dx 1()
c (y)
典型例题
【例1】根据二重积分的性质，比较积分ln(xy)d 与
D
[lnx(y)]2d的大小；其中 D是三角形的闭区域,三个
1．解题方法流程图
改变二次积分的积分次序
I
dx b1
1(x)
fdy
dx b1
2(x)
fdy
a1
1(x)
a1
2(x)
I1I2
由 I 1 , I 2 分别确定 D1 , D2
DD1D2
c yd
D:(y) x(y)
I fdxdy D
Yes D-X型
No
n
D Di,Di X型 i1
d (y)
则计算相对复杂。
【例4】计算二重积分exyd. 其中D {x ,(y )||x | |y | 1 }.
D
分析 首先应画出区域 D的图形,然后根据图形的特点选择适当
的坐标计算。本题可采用直角坐标计算, 即框图中线路1的方法。 注意到 D既是 X型区域, 又是Y 型区域，而无论X型区域 或 Y 型区域都不能用一个不等式组表出, 均需要把D分割成
解： 积分区域如图所示. 积分区域 D为Y- 型区域，
y
yx
(1, 1)
.D
D : 1yx, 1x2;
x
.
x
012
将二重积分转化为先对 得
y对后 x的二次积分，
x2
2
xx2
D
y2
dxd yd 1
x1
x
y2
dy
2(x3
1
x)dx
x4 4
x2 2
2 1
9 4
注：若本题将二重积分转化为先对x后对 y 的二次积分,
1
D1 1x2 y2 dxdy化为二次积分进行计算即可。
解：
1
xy
I
dxdy
dxdy
D1x2y2
D1x2y2
1
2
dxdy0
D1 1x2y2
1
2 2d
r
dr
0 01r2
21ln1 ( r2)1 ln2
22
02
【例9】设 f (u)有连续的一阶导数，且 f (0) 0. 求
1
limt t0
3 x2y2t2
f(
x2y2)dxdy.
分析 本题是二重积分的计算、变上限积分求导和求极限的
综合题目。应首先利用极坐标将二重积分转化成积分变上限
的函数，然后再利用洛必达法则求极限。
解：
lim1
f( x2 y2)dxdy
t t0
3 x2y2t2
1 2 t
lim d f(r)rdr
t t 0 3 0
在给定的积分区域 D内,求出 | y x2 |的解析表达式，
即去掉绝对值。利用曲线y x2 将积分区域D分成两部分
D 1和 D
2 ,则
|yx2|
x2y, yx2,
( x, ( x,
y)D1, 而D 1
y) D2
和
D
2 均为
Y 型区域，且被积函数先对 y积分比较容易, 故在直角
坐标系中将二重积分转化为先对 y后对x的二次积分, 然
y
4 2
y2 2x
f(x,y)xy在 D 2内有定o义 D 1 D且 2 D
x
4
连续, 所以
6
D (xy)dD2(xy)dD1(xy)d
4
dy
6
12y
y2 (xy)dx
2
dy
4
4y
y2 (xy)dx
2
2
54311 15
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二、重积分计算的基本技巧
1. 交换积分顺序的方法
令 DD1D2，则
y
()f(x,y)dxd fy(x,y)dxd 3 y
D 1
D 2
D
y3x
画出D的图形如图所示.
可知D为Y 型区域; 且
D : xy3x,0x2. 2
D2 1
D1
.
0
y x 2
2x
再把二重积分转化为先对 y后对 x的二次积分， 有
1 2 y
3 3 y
0 d0 yf(x ,y )d x 1d0 yf(x ,y )dx