九年级数学下册第6章图形的相似6.4探索三角形相似的条件6.4.3利用两边及夹角证相似同步练习一
新苏科版九年级数学下册《6章图形的相似6.4探索三角形相似的条件“三边成比例”》教案_31
，k 为任何正数时， △ ABC
设计意图： 通过多次的操作、观察等合情推理活动，使学生初步感知： 角形相似，并能用推理的方法证明猜想的正确性．
三边成比例的两个三
结论： 三角形相似的的条件（ 4）三边成比例的两个三角形相似．
几何语言：在△ ABC和 DEF中，
∴△ ABC∽△ DEF. 设计意图：得出结论，并给出几何语言，强化学生书写的规范性．
不足的地方， 判定方法多了之后， 对于综合性的相似证明题， 学生在选择方法上能力存
在欠缺，本节课因为时间关系，未进行这方面的训练，所以后面学习中要强化训练
.
提前自主预习并完成《探索三角形相似的条件
4》导学案 .
二、课堂展示与教学
1.知识复习
我们已经学过的两三角形相似的判定条件有哪些
?
设计意图：通过复习，回顾已学的几种三角形相似的条件的方法
.
2.情境创设 在△ ABC和△ DEF中，若 AB BC CA k，
DE EF FD （1）当 k=1 时， △ABC和△ DEF有怎样的关系？
4.小组讨论
就课前预习导学案过程中出现的疑难困惑进行小组讨论，
初步解决存在的问题， 提出新
的问题或见解，以备小组展示说明 .
设计意图：小组讨论，增强学生的合作精神．
5.展示交流 （ 1）例题展示 例 1. 如图，在正方形网格上有Δ
ABC与Δ A' B'C' ，这两个三角形相似吗？说说理由
例 2. 如图，O为△ ABC内任意一点， 点 A / 、B / 、C / 分别是线段
24 cm、 30 cm、 36 cm, 要做一个与它相似的铝质
三角形框架 , 现有长为 27 cm、 45 cm的两根铝材 , 要求以其中的一根为一边 , 从另一根上截下
九年级数学下册第6章图形的相似6.4探索三角形相似的条件(4)教案(新版)苏科版
6.4 探索三角形相似的条件（4）教学目标: 1．掌握“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法，并能解决简单的问题；2．经历两个三角形相似判定的探索过程，体验用类比得出数学结论的过程．教学重点:掌握“三边成比例的两个三角形相似”．教学难点: 1．“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法的证明；2．会准确地运用判定方法判定三角形是否相似．教学过程:（1）判定两个三角形全等有哪些方法？（2）如果要判定两个三角形是否相似，是否一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？（3）我们学过哪些判定三角形相似的方法？探索新知:由三角形全等的SSS判定方法，我们想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？提出问题：如何证明这个命题是真命题？关于三角形相似的判定方法“三边成比例的两个三角形相似”，得出结论:三角形相似的判定方法：三边成比例的两个三角形相似．尝试交流:1．，试说明∠BAD＝∠CAE.如图已知AEACDEBCADAB==2．△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，△ABC与△DEF相似吗？为什么？3．根据下列条件，判断△ABC和△A'B'C'是否相似，并说明理由．AB＝3，BC＝5，AC＝6，A'B'＝6，B'C'＝10，A'C'＝12．题2也可以用判定方法“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”．拓展延伸:要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4，6，8．另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两条边长应当是多少？你有几种答案？课堂小结:通过这节课的学习，你学习到什么新知识？获得了什么经验？还有什么疑问？。
苏科版九年级数学下册_6.4探索三角形相似的条件
知3－讲
则AD=CD=BC=4a.
∵ Q 是CD 的中点，BP=3PC， DQ AD
∴ DQ=CQ=2a，PC=a. ∴ CP=QC =2
在△ADQ和△QCP中， DCQP=AQDC ，∠D= ∠C=90°， ∴△ADQ∽△QCP.(两边成比例且夹角相等的两个三
再找夹等角的两边对应成比例.找角相等时,应注意挖
掘公共角、对顶角、同角(等角)的余角( 补角) 等隐
含条件.
感悟新知
证明：∵ EF ⊥ EC，∴∠ FEC ＝ 90°．
知2－讲
∴∠ AEF+ ∠ DEC ＝ 180°－90°＝ 90°．
∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ A ＝∠ D ＝ 90°．
∴∠ AFE+ ∠ AEF ＝ 90°．∴∠ DEC ＝∠ AFE．
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知识点 5 利用三边关系判定两个三角形相似 知5－讲
1. 定义 三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心； 2. 符号语言 如图6.4-12，在△ ABC 中，AD、BE、CF 分别是
△ ABC 的三条中线，且它们相交于点G，则点G 是△ ABC 的重心．反之，也成立．
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3. 特别解读
∴MBDN=CCMD =MBDN，即M9N=23.
解得MN ＝ 6．
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知5－讲
特别提醒： 三角形重心的性质与“由平行，得相似”的结论在
填空、选择题中可以直接应用，而在证明题中不能直接 应用，需要增加适当的说理．
课堂小结
相似三角 形的判定
探索三角形 相似的条件
平行线截对应
平行线的性质
线段成比例
知5－讲
AB ＝ 18，MN ∥ AB，则MN ＝______6_____．
九年级数学下册第6章图形的相似6.4探索三角形相似的条件6.4.4利用三边证相似同步练习2新版苏科版
[6.4 第4课时利用三边证相似]一、选择题1．△ABC的三边长分别为2，6，2，△A1B1C1的两边长为1，3，要使△ABC∽△A1B1C1，那么△A1B1C1的第三边长为( )A. 2B.22C.62D.332．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：①ABA′B′＝BCB′C′；②BCB′C′＝ACA′C′；③∠B＝∠B′；④∠C＝∠C′.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判定△ABC∽△A′B′C′的共有( )A．1组 B．2组 C．3组 D．4组3．如图K－18－1，在边长为1的格点图形中，与△ABC相似的是链接听课例2归纳总结( )图K－18－1图K－18－24．如图K－18－3所示，若A，B，C，P，Q，甲、乙、丙、丁都是方格纸上的格点，为使△ABC ∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁4点中的( )图K－18－3A．甲B．乙C．丙D．丁二、填空题5．若一个三角形的三边长之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边的边长为21 cm，则其余两边长的和为________cm.6．如图K－18－4，在△ABC和△DEF中，已知ABDE＝BCEF，再添加一个条件：________________________________________________________________________，使得△ABC∽△DEF.图K－18－47．正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC边上，BF＝3CF.则下列结论：(1)△ABF∽△AEF；(2)△ECF ∽△ADE ；(3)△AEF ∽△ADE ；(4)△ABF ∽△ADE ；(5)△ECF ∽△AEF .其中正确的有________(填写序号)．8．如图K －18－5，在7×12的正方形网格中有一只可爱的小狐狸，观察画面中由黑色阴影组成的五个三角形，则相似三角形有________对.链接听课例2归纳总结图K －18－5三、解答题9．根据下列条件，判断△ABC 与△A ′B ′C ′是否相似，并说明理由．(1)∠B ＝30°，AB ＝3 cm ，AC ＝4 cm ，∠B ′＝30°，A ′B ′＝6 cm ，A ′C ′＝8 cm ；(2)AB ＝4 cm ，BC ＝6 cm ，AC ＝5 cm ，A ′B ′＝12 cm ，B ′C ′＝18 cm ，A ′C ′＝15 cm.链接听课例1归纳总结10.如图K －18－6所示，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC ，△DEF 的顶点都在格点上，那么△ABC 与△DEF 相似吗？试说明理由.链接听课例1归纳总结图K －18－611．已知AD 和A 1D 1分别是△ABC 和△A 1B 1C 1的中线，且AB A 1B 1＝AC A 1C 1＝AD A 1D 1. 试判断△ABC 与△A 1B 1C 1是否相似，并说明你的理由．12．如图K －18－7，在△ABC 中，AD 为边BC 上的高，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，△DEF 与△ABC 相似吗？说明你的理由． 图K －18－713．如图K －18－8，在△ABC 和△ADE 中，AB AD ＝BC DE ＝AC AE，点B ，D ，E 在一条直线上． 求证：△ABD ∽△ACE.图K －18－8类比思想学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件．“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到：“满足____________________________的两个直角三角形相似”．请结合下列所给图形，写出已知、求证，并完成说理过程．图K －18－9详解详析 [课堂达标]1．[解析] A 设第三边长为x ，分类讨论：(1)21＝63＝2x ，则x ＝2；(2)2x ＝21≠63，故不成立；(3)21≠23＝6x，故不成立． 2．[解析] D 根据相似三角形的判定方法，知①②，②④，③④，①③满足条件，故选D .3．[解析] A 根据勾股定理求出△ABC 的三边，并求出三边之比，然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相似选择答案．已知给出的三角形的各边分别为2，2，10，所以△ABC 的三边之比为2∶2∶10＝1∶2∶ 5.A 项，三角形的三边分别为1，2，5，三边之比为1∶2∶5，故A 选项正确；B 项，三角形的三边分别为2，5，3，三边之比为2∶5∶3，故B 选项错误；C 项，三角形的三边分别为1，5，2 2，三边之比为1∶5∶2 2，故C 选项错误；D 项，三角形的三边分别为2，5，13，三边之比为2∶5∶13，故D 选项错误．故选A .4．[解析] C 记方格纸上每一小格的边长为1，记甲、乙、丙、丁4点为X ，Y ，Z ，W.则AB ＝2，BC ＝AC ＝10，PQ ＝4.若△ABC ∽△PQR ，则PR ＝2 10.而PX ，PY ，PZ ，PW 中只有PZ 的长为2 10，所以R 应是丙点．5．[答案] 24[解析] 设另两边长分别为x cm ，y cm (x<y)．则x 3＝y 5＝217，所以x ＝9，y ＝15，所以x ＋y ＝24. 6．答案不唯一，如∠B ＝∠E 或AB DE ＝AC DF7．(2)(3)(5)8．[答案] 2 [解析] 如图，设一个小正方形的边长为1，则计算各个小三角形的各边长如下：△ABC 的各边分别为2，2，2；△CDF 的各边分别为2，5，3；△EFG 的各边分别为5，5，10；△HMN 的各边分别为1，2，5； △HPQ 的各边分别为2，2 2，2 5； 可以得出△ABC 与△EFG ，△HMN 与△HPQ 的各边对应成比例，所以这两组三角形相似．故答案为2. 9．解：(1)不一定相似．理由：∵AB A′B′＝36＝12，AC A′C′＝48＝12， ∴AB A′B′＝AC A′C′， 但∠B 不是边AB ，AC 两边的夹角，∠B ′不是边A′B′，A ′C ′的夹角，不满足三角形相似的条件，∴△ABC 与△A′B′C′不一定相似．(2)相似．理由：∵AB A′B′＝412＝13，BC B′C′＝618＝13，AC A′C′＝515＝13，∴AB A′B′＝BC B′C′＝AC A′C′， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.10．解：不相似．理由：在△ABC 中，AC ＝4，由勾股定理，求得BC ＝AB ＝20＝2 5.在△DEF 中，由勾股定理，得DF ＝2，DE ＝EF ＝5，∴DE AB ＝EF BC ＝52 5＝12， 而DF AC ＝24≠12，∴DE AB ＝EF BC ≠DF AC，∴△ABC 与△DEF 不相似．11．解：相似．理由：如图，等倍延长中线AD 和A 1D 1至M 和M 1，连接BM 和B 1M 1，则AM ＝2AD ，A 1M 1＝2A 1D 1.易证△ADC ≌△MDB ，△A 1D 1C 1≌△M 1D 1B 1，则BM ＝AC ，B 1M 1＝A 1C 1.∵AB A 1B 1＝AC A 1C 1＝AD A 1D 1， ∴AB A 1B 1＝BM B 1M 1＝AM A 1M 1， ∴△ABM ∽△A 1B 1M 1，∴∠BAM ＝∠B 1A 1M 1，∠M ＝∠M 1.由△ADC ≌△MDB ，得∠DAC ＝∠M ，由△A 1D 1C 1≌△M 1D 1B 1，得∠D 1A 1C 1＝∠M 1，∴∠DAC ＝∠D 1A 1C 1，∴∠BAC ＝∠B 1A 1C 1.又∵AB A 1B 1＝AC A 1C 1， ∴△ABC ∽△A 1B 1C 1.12．[解析] 根据三角形的中位线性质可得EF ＝12BC ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE ＝12AB ，DF ＝12AC ，所以有EF BC ＝DE AB ＝DF AC ＝12，可证得△DEF 与△ABC 相似． 解：△DEF ∽△ABC.理由：∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴EF ＝12BC. ∵AD 为边BC 上的高，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴DE ＝12AB ，DF ＝12AC ， ∴EF BC ＝DE AB ＝DF AC ＝12，∴△DEF ∽△ABC. 13．[解析] 在△ABC 和△ADE 中，由AB AD ＝BC DE ＝AC AE，可证得△ABC ∽△ADE ，即可证得∠BAD ＝∠CAE ，又由AB AD ＝AC AE，即可证得△ABD ∽△ACE. 证明：∵在△ABC 和△ADE 中，AB AD ＝BC DE ＝AC AE，∴△ABC ∽△ADE ， ∴∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE.∵AB AD ＝AC AE ，∴AB AC ＝AD AE，∴△ABD ∽△ACE. [素养提升]解： 斜边和一条直角边对应成比例已知：Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，且BC B′C′＝AB A′B′. 求证：Rt △ABC ∽Rt △A ′B ′C ′.证明：设BC B′C′＝AB A′B′＝k(k ＞0)， 则BC ＝k·B′C ′，AB ＝k·A′B′.∵AC ＝AB 2－BC 2＝（k·A′B′）2－（k·B′C′）2＝k A′B′2－B′C′2＝k·A′C′，∴AC A′C′＝k ，从而BC B′C′＝AB A′B′＝AC A′C′＝k ， ∴Rt △ABC ∽Rt △A ′B ′C ′.。
新苏科版九年级数学下册《6章 图形的相似 6.4 探索三角形相似的条件 综合》教案_19
相似三角形的判定(复习课)【教学目标】1、知识与技能：通过学习，学生进一步巩固了“三角形相似的判定定理”，并学会应用这些定理解决数学问题；引导学生认识基本图形，学会从复杂图形中分理出基本图形，能分析出其中的基本元素及其对应关系。
2、过程与方法：在解决问题过程，学生感受形成图形运动变化的思想，能用运动变化的观点看问题，感受数形结合思想，分类讨论思想等数学思想方法。
3、情感、态度与价值观：学生通过独立思考与合作交流，提高学习相似三角形知识的兴趣和积极性，通过相互协作去尝试解决问题，树立学习的自信心，从解决问题中体验数学价值。
【教学重点与难点】重点：利用相似三角形的判定定理，学会从复杂图形中分理出基本图形，能分析出其中的基本元素及其关系，能由基本图形的性质导出复杂图形的性质。
难点：学生形成图形运动变化的思想，用运动变化的观点看问题，巩固本章节的数形结合思想，分类讨论思想等数学思想方法。
引导学生站在方法论的高度思考数学问题，解决数学问题。
【学情分析】本堂课是放在刚刚学完相似判定的5种方法后的一堂复习课，对于前期判定学习的一个总结。
【教学过程】一、知识回顾判定两个三角形相似，学习了哪些方法？要求学生结合图形思考.BBDB【设计意图】通过让学生对知识进行回顾和梳理，将旧知提取并强化记忆，弥补了遗忘点。
二、热身练习1.如图1，已知点P时AB上一点，连接CP，要使△ACP∽△ABC,只需添加条件____________________________________.2.如图2，点D在△ABC内，连接BD并延长到E,连接AD、AE,若AB BC ACAD DE AE==,∠BAD=20°，则∠EAC=_________.3.如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则图中相似的三角形有______________________________.【设计意图】通过本组练习，让学生体会到了这些判定方法在常见图形中的应用，对学习知识自行梳理，为下面的研究问题做铺垫。
新苏科版九年级数学下册《6章图形的相似6.4探索三角形相似的条件“三边成比例”》教案_32
一、教材分析 “探索相似三角形的条件” 是在学习了相似图形及相似三角形的概念等知识
后，单独研究如何探索相似三角形的条件的一课， 本课是判定三角形相似的第四 课时，是本章的重点之一。 既是前面知识的延伸和全等三角形性质的拓展， 也是 今后证明线段成比例， 求几何图形和研究相似多边形性质的重要工具。 通过本节 课的学习，还可培养学生猜想、实验、证明、探索等能力，对掌握观察、比较、 类比、转化等思想有重要作用。因此，这节课在本章中有着举足轻重的地位。 二、教学目标： （ 1）知识技能：掌握两个三角形相似的条件 （“三边成比例的两个三角形相似” ）. （ 2）数学思考：类比全等三角形的条件，探索相似三角形的条件 . （ 3）解决问题：会运用三角形相似的条件解决有关问题 . （ 4）情感态度：经历两个三角形相似判定的探索过程，培养学生观察、比较与 归纳的能力，发展合情猜想能力，在相关活动中设计问题、解决问题，并引导辨 析，培养问题意识与质疑精神 . 教学重点： 1. 掌握“三边成比例的两个三角形相似” 的判定方法； 2. 能准确地运用判定方法判定三角形是否相似． 教学难点： 1．“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法的证明； 2．会准确地运用判定方法判定三角形是否相似． 教学方法：
师： (完成相应板书 )这几位同Leabharlann 的表现很专业，同时我们也知道可以类比
全等三角形的判定来学习相似三角形的判定。研究相似可不能把全等置之不理。
【设计目的： 学生回顾旧知识， 并通过类比让学生体会全等与相似的关系， 然后
以问题的形式引入，创设一个有利于学生动手和探究的情景 ，师生互动，从而
达到掌握相似三角形判定的方法的目的。】
根据本节课的教学目标、 教材内容以及学生的认知特点， 教学上采用以引导 发现法为主， 并以讨论法、 演示法相结合， 设计“实验——观察——讨论” 的 教 学方法，意在帮助学生通过直观情景观察和自己动手实验， 从自己的实践中获取 知识，并通过讨论来深化对知识的理解。 本节课采用了多媒体辅助教学， 一方面 能够直观、 生动地反映图形， 增加课堂的容量， 同时有利于突出重点、 分散难点， 增强教学条理性，形象性，更好地提高课堂效率 教学过程：
九年级数学下册 第6章 图形的相似 6.4 探索三角形相似的条件 6.4.3 利用两边及夹角证相似同
[6.4 第3课时 利用两边及夹角证相似]一、选择题1．如图K －17－1，下列条件不能．．判定△ADB ∽△ABC 的是( )图K －17－1 A ．∠ABD ＝∠ACB B ．∠ADB ＝∠ABC C ．AB 2＝AD ·AC D.AD AB ＝AB BC2．如图K －17－2，点P 在△ABC 的边AC 上，要判定△ABP ∽△ACB ，需添加一个条件，下列添加条件中不正确的是( )图K －17－2A ．∠ABP ＝∠CB ．∠APB ＝∠ABC C.AP AB ＝AB AC D.AB BP ＝AC CB3．2017·枣庄如图K －17－3，在△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6.将△ABC 沿图K －17－4中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原来三角形不相似的是 ( )图K－17－3图K－17－44．如图K－17－5所示，∠APD＝90°，AP＝PB＝BC＝CD，则下列结论成立的是( )图K－17－5A．△PAB∽△PCA B．△PAB∽△PDAC．△ABC∽△DBA D．△ABC∽△DCA二、填空题5．在△ABC和△A′B′C′中，若∠B＝∠B′，AB＝6，BC＝8，B′C′＝4，则当A′B′的长度为________时，△ABC∽△A′B′C′.6．2017·随州在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC 上，当AE＝________时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．三、解答题7．2017·南京期末如图K－17－6，已知AD·AC＝AB·AE.求证：△ADE∽△ABC.链接听课例1归纳总结图K－17－68．如图K －17－7，在正三角形ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且AD AC ＝13，AE ＝EB .求证：△AED ∽△CBD .链接听课例1归纳总结图K －17－79.如图K－17－8所示，在矩形ABCD中，AB∶BC＝1∶2，点E在AD上，且DE＝3AE.试说明：△ABC∽△EAB.图K－17－810．如图K－17－9，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，以AC为边作△ACE，∠ACE＝90°，AC＝CE，延长BC至点D，使CD＝5，连接DE.求证：△ABC∽△CED.链接听课例1归纳总结图K－17－911．2016·福州如图K－17－10，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝5－12，在AC边上截取AD＝BC，连接BD.(1)通过计算，判断AD2与AC·CD的大小关系；(2)求∠ABD的度数．图K－17－1012．如图K－17－11，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P，Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0＜t＜6)，那么，当t为何值时，△POQ与△AOB相似？图K－17－11类比思想如图K－17－12①，在等边三角形ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边向上作等边三角形EDC，连接AE.(1)求证：AE∥BC；(2)如图②，将(1)中的等边三角形ABC换成等腰三角形ABC，等边三角形EDC换成等腰三角形EDC，且△EDC∽△ABC，则是否仍有AE∥BC？请说明理由．图K－17－12详解详析[课堂达标]1．[解析] D 在△ADB 和△ABC 中，∠A 是它们的公共角，那么当AD AB ＝ABAC 时，才能使△ADB ∽△ABC ，不是当AD AB ＝ABBC时．故选D .2．[解析] D 选项A ，当∠ABP ＝∠C 时，又∵∠A ＝∠A ，∴△ABP ∽△ACB ，故此选项正确；选项B ，当∠APB ＝∠ABC 时，又∵∠A ＝∠A ，∴△ABP ∽△ACB ，故此选项正确；选项C ，当AP AB ＝ABAC时，又∵∠A ＝∠A ，∴△ABP ∽△ACB ，故此选项正确；选项D ，无法得到△ABP ∽△ACB ，故此选项不正确．3．[解析] C A 项，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两个三角形相似；B 项，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两个三角形相似；C 项，两个三角形的两组边成比例，但其夹角不一定相等，故两个三角形不一定相似；D 项，两个三角形的对应边成比例且夹角相等，故两个三角形相似．故选C .4．[解析] C 若选择两个直角三角形，另两个锐角中没有对应的两个角相等，选项A ，B 不可能．选项C ，D 中，都有△ABC ，考虑公共角∠ABC 的两边是否对应成比例，故选C .5．[答案] 3[解析] 要使△ABC ∽△A′B′C′，必有AB ∶A ′B ′＝BC ∶B ′C ′，所以A′B′＝3.6．[答案] 53或125[解析] ∵∠A ＝∠A ，分两种情况：(1)如图①，当AD AE ＝AB AC 时，△ADE ∽△ABC ，即2AE ＝65，解得AE ＝53；(2)如图②，当AD AE ＝AC AB 时，△ADE ∽△ACB ，即2AE ＝56，解得AE ＝125.综上所述，当AE 的长为53或125时，以A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似．7．证明：∵AD·AC＝AE·AB， ∴AD AB ＝AE AC. 在△ABC 与△ADE 中， ∵AD AB ＝AEAC，∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ABC.8．证明：∵△ABC 为正三角形， ∴∠A ＝∠C ＝60°，BC ＝AB. ∵AE ＝BE ，∴CB ＝2AE.∵AD AC ＝13，∴CD ＝2AD ， ∴AD CD ＝AE CB ＝12， 而∠A ＝∠C ， ∴△AED ∽△CBD.9．[解析] 这两个三角形有一组相等的直角，可寻找夹角的两边成比例． 解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠DAB ＝∠ABC ＝90°，AD ＝BC. ∵AB ∶BC ＝1∶2，DE ＝3AE ， ∴AE ＝12AB ，即AE ∶AB ＝1∶2， ∴AB BC ＝AE AB. 又∵∠ABC ＝∠EAB ，∴△ABC ∽△EAB.10．[解析] 先利用勾股定理计算出AC ＝2 5，则CE ＝2 5，所以AB CE ＝ACCD ，再证明∠BAC ＝∠DCE.然后根据相似三角形的判定方法可得△ABC ∽△CED.证明：∵∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝2，∴AC ＝22＋42＝2 5. ∵CE ＝AC ， ∴CE ＝2 5.∵CD ＝5，AB CE ＝42 5＝2 55，AC CD ＝2 55，∴AB CE ＝ACCD. ∵∠B ＝90°，∠ACE ＝90°，∴∠BAC ＋∠BCA ＝90°，∠BCA ＋∠ECD ＝90°， ∴∠BAC ＝∠ECD ， ∴△ABC ∽△CED. 11．解：(1)∵AD ＝BC ＝5－12， ∴AD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－122＝3－52.∵AC ＝1，∴CD ＝1－5－12＝3－52， ∴AC ·CD ＝3－52，∴AD 2＝AC·CD.(2)∵AD 2＝AC·CD，AD ＝BC ，∴BC 2＝AC·CD，即BC AC ＝CD BC. 又∵∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△BDC ， ∴AB BD ＝AC BC. 又∵AB ＝AC ，∴BD ＝BC ＝AD ，∴∠A ＝∠ABD ，∠ABC ＝∠C ＝∠BDC. 设∠A ＝∠ABD ＝x ，则∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝2x ， ∴∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ＝2x ，∴∠A ＋∠ABC ＋∠C ＝x ＋2x ＋2x ＝180°， 解得x ＝36°，∴∠ABD ＝36°. 12．[解析] 本题要分△POQ ∽△AOB 和△POQ ∽△BOA 两种情况进行求解，可根据相似得出比例式求出t 的值．解：①当运动t 秒时，BQ ＝t ，OQ ＝6－t ，OP ＝t.若△POQ ∽△AOB ，则OQ OB ＝OPOA ，即6－t 6＝t12， 整理，得12－2t ＝t ， 解得t ＝4.②若△POQ ∽△BOA ，则OQ OA ＝OPOB ，即6－t 12＝t6. 整理，得6－t ＝2t ，解得t ＝2. ∵0＜t ＜6，∴t ＝4和t ＝2均符合题意．综上可知，当t ＝4或t ＝2时，△POQ 与△AOB 相似． [素养提升]解：(1)证明：∵△ABC 和△EDC 均为等边三角形，∴BC ＝AC ，DC ＝EC ，∠BCA ＝∠B ＝60°，∠DCE ＝60°， ∴∠BCA －∠DCA ＝∠DCE －∠DCA ， 即∠BCD ＝∠ACE.在△BCD 和△ACE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，DC ＝EC ，∴△BCD ≌△ACE ，∴∠B ＝∠CAE ＝60°，∴∠CAE ＝∠BCA ，∴AE ∥BC. (2)仍有AE ∥BC.理由：由等腰三角形EDC ∽等腰三角形ABC ，得EC AC ＝CDCB，∠DCE ＝∠BCA ，∠BCA －∠DCA ＝∠DCE－∠DCA，∴∠ECA＝∠DCB，∴△ECA∽△DCB，∴∠EAC＝∠B＝∠ACB，∴AE∥BC.。
九年级数学下册 第6章 图形的相似 6.4 探索三角形相似的条件(3)
6.4 探索(tàn suǒ)三角形相似的条件（3）
试一试
2.已知： AB A' B'
＝ ＝
AC A'C'
k，∠A＝∠A'．
求证：△ABC∽△ A'B'C' ．
A
A'
B
2021/12/11
C B'
C'
你能证明(zhèngmíng)
第四页，共十二页。
吗？
6.4 探索(tàn suǒ)三角形相似的条件
（1）在AB上取一点(yī diǎn)D，当AD＝1 ______时，
△ACD∽△ABC；
（2）在AC的延长线上取一点(yī diǎn)E，当CE＝6 时，
△AEB∽△ABC；
A
此时(cǐ shí)，BE与DC有怎样的位置关系？ D
为什么？
B
C
E
2021/12/11
第六页，共十二页。
例2 如图，点D在△ABC内，点E在 △ABC外， ∠1＝∠2 ，∠3＝∠4． 求证(qiúzhèng)：△DBE∽△ABC．
初中 数学 (chūzhōng) 九年级(下册)
6.4 探索三角形相似(xiānɡ sì)的条件（3）
2021/12/11
第一页，共十二页。
6.4 探索三角形相似(xiānɡ sì)的条件（3）
连连看：
我们(wǒ men)学过哪些判定三角形相似的方法？
A
A'
B
C B'
C'
2021/12/11
第二页，共十二页。
练一练：
3. 如图，△ABC与△A'B'C'相似(xiānɡ sì)吗？
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第6章 图形的相似6.4 第3课时 利用两边及夹角证相似知识点 利用两边及夹角证相似 命题角度1 判定两个三角形相似1．如图6－4－31，点D ，E 分别在△ABC 的边AC ，AB 上，且AB ＝9，AC ＝6，AD ＝3，BE ＝7，△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．解：相似．理由：∵AB ＝9，AC ＝6，AD ＝3，BE ＝7，∴AE ＝________，∴AD AB＝________＝________，AEAC＝________＝________，∴________＝________．又∵∠________＝∠________，∴△ADE ∽△ABC .6－4－316－4－322．2018·宜兴一模 已知△ABC 如图6－4－32所示，则图6－4－33中与△ABC 相似的是( )图6－4－333．如图6－4－34，AB ，CD 交于点O ，且OC ＝45，OD ＝30，OB ＝36，当OA ＝________时，△AOC ∽△BOD ；当OA ＝________时，△AOC ∽△DOB .6－4－346－4－354．2017·潍坊 如图6－4－35，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 分别为边AB ，AC 上的点，AC ＝3AD ，AB ＝3AE ，F 为BC 边上一点，添加一个条件：________________，使得△FDB 与△ADE 相似．(只需写出一个)5．如图6－4－36所示，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，BC ＝4，在△ADE 中，AD ＝4，AE＝103. 求证：△ADE ∽△ABC .图6－4－366．2017·南京期末 如图6－4－37，已知点D ，E 分别在△ABC 的边AC ，AB 上，且AD ·AC ＝AB ·AE .求证：△ADE ∽△ABC .图6－4－37命题角度2 判定两个三角形相似的运用7．在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝40°，∠D ＝60°，∠E ＝80°，AB AC ＝FD FE，那么∠B 的度数是( )A ．40°B ．60°C ．80°D ．100°图6－4－388．如图6－4－38，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB上的点，且AD＝2，AC＝6，AE ＝3，AB＝4，则DE∶BC＝________．9．教材习题6.4第5题变式如图6－4－39，在△ABC中，CD是边AB上的高，且AD CD ＝CDBD.(1)求证：△ACD∽△CBD；(2)求∠ACB的大小．图6－4－39图6－4－4010．教材练习第3题变式如图6－4－40，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD 上一点，且CF＝3FD.则图中相似三角形的对数是( )A．1 B．2 C．3 D．411．2017·随州在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝________时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．12．如图6－4－41所示，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE.(1)写出图中的两对相似三角形(不得添加字母和辅助线)；(2)请分别证明(1)中的两对三角形相似．图6－4－4113．如图6－4－42所示，在△ABC 中，AD ，BE 是△ABC 的高，连接DE ，△DEC 与△ABC 相似吗？为什么？图6－4－4214．如图6－4－43，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，∠AED ＝∠B .射线AG 与线段DE ，BC 分别交于点F ，G ，且AD AC ＝DF CG.(1)求证：△ADF ∽△ACG ；(2)若AD AC ＝12，求AFFG的值．图6－4－4315．如图6－4－44，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，BC ＝5－12，在AC 边上截取AD ＝BC ，连接BD .(1)通过计算，判断AD 2与AC ·CD 的大小关系； (2)求∠ABD 的度数．图6－4－44/ 教 师 详 解 详 析 / 第6章 图形的相似6.4 第3课时 利用两边及夹角证相似1．2 39 13 26 13 AD AB AEACA A2．C3．54 37.54．答案不唯一，如：DF ∥AC ，∠DFB ＝∠A ，∠BDF ＝∠ADE 等[解析] ∵AC ＝3AD ，AB ＝3AE ，∴AD AC ＝AE AB ＝13.又∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ACB ，∴∠AED＝∠B ，要使△FDB 与△ADE 相似，则还需一组角相等，如添加条件∠A ＝∠BDF ，∠A ＝∠BFD ，∠ADE ＝∠BFD ，∠ADE ＝∠BDF ，当然也可添加DF ∥AC ，若使用比例当作条件可添加：BD AE ＝BFED，BD DE ＝BF AE. 5．证明：∵AB ＝6，AC ＝5，AD ＝4，AE ＝103，∴AD AB ＝46＝23，AE AC ＝1035＝23， ∴AD AB ＝AE AC. 又∵∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ABC .6．证明：∵AD ·AC ＝AE ·AB ，∴AD AB ＝AE AC.在△ADE 与△ABC 中，∵AD AB ＝AE AC，∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ABC .7．B [解析] ∵在△DEF 中，∠D ＝60°，∠E ＝80°，∴∠F ＝40°＝∠A .又∵AB AC ＝FD FE，∴△ABC ∽△FDE ，∴∠B 与∠D 是对应角，故∠B ＝∠D ＝60°.故选B.8．1∶2 [解析] ∵AD ＝2，AC ＝6，AE ＝3，AB ＝4，∴AD AB ＝12，AE AC ＝12，∴AD AB ＝AE AC.又∵∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴DE ∶BC ＝AD ∶AB ＝1∶2.9．解：(1)证明：∵CD 是边AB 上的高， ∴∠ADC ＝∠CDB ＝90°. 又∵AD CD ＝CD BD，∴△ACD ∽△CBD . (2)∵△ACD ∽△CBD ，∴∠A ＝∠BCD .在△ACD 中，∵∠ADC ＝90°， ∴∠A ＋∠ACD ＝90°，∴∠BCD ＋∠ACD ＝90°，即∠ACB ＝90°. 10．C [解析] 有三对相似三角形，它们分别是Rt △ABE ∽Rt △DEF ，Rt △ABE ∽Rt △EBF ，Rt △EBF ∽Rt △DEF .理由：设正方形的边长为4a ，则AE ＝DE ＝2a ，DF ＝a ，CF ＝3a ，在Rt △BCF 中，BF ＝BC 2＋CF 2＝5a ，在Rt △ABE 中，BE ＝AB 2＋AE 2＝2 5a ，在Rt △DEF 中，EF ＝DF 2＋DE 2＝5a .∵BE 2＋EF 2＝BF 2，∴△BEF 为直角三角形，且∠BEF ＝90°.∵AE DF ＝2a a ＝2，AB DE ＝4a 2a ＝2，∴AE DF ＝AB DE. 又∵∠A ＝∠D ＝90°， ∴Rt △ABE ∽Rt △DEF ，同理得Rt △ABE ∽Rt △EBF ，Rt △EBF ∽Rt △DEF . 故选C. 11.125或53[解析] 当AE AB ＝AD AC时， ∵∠A ＝∠A ， ∴△AED ∽△ABC ， 此时AE ＝AB ·AD AC ＝6×25＝125； 当AD AB ＝AE AC时， ∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ABC ， 此时AE ＝AC ·AD AB ＝5×26＝53. 故答案为125或53.12．解：(1)△ABC ∽△ADE ，△ABD ∽△ACE . (2)①证明△ABC ∽△ADE 如下： ∵∠BAD ＝∠CAE ，∴∠BAD ＋∠DAC ＝∠CAE ＋∠DAC ， 即∠BAC ＝∠DAE . 又∵∠ABC ＝∠ADE ， ∴△ABC ∽△ADE .②证明△ABD ∽△ACE 如下： ∵△ABC ∽△ADE ， ∴AB ∶AD ＝AC ∶AE . 又∵∠BAD ＝∠CAE ，∴△ABD ∽△ACE .13．[解析] 要证△DEC 与△ABC 相似，可先证明△CDA ∽△CEB ，得到CD CE ＝AC BC，再由∠C ＝∠C ，证明△CDE ∽△CAB .解：△DEC 与△ABC 相似．理由：∵AD ，BE 是△ABC 的高， ∴∠CDA ＝∠CEB ＝90°.又∵∠C ＝∠C ，∴△CDA ∽△CEB ，∴CD CE ＝AC BC ，∴CD CA ＝CECB.又∵∠C ＝∠C ，∴△DEC ∽△ABC .14．解：(1)证明：∵∠AED ＝∠B ，∠DAE ＝∠CAB ， ∴△ADE ∽△ACB ，∴∠ADE ＝∠C . 又∵AD AC ＝DF CG，∴△ADF ∽△ACG . (2)∵△ADF ∽△ACG ，∴AD AC ＝AF AG ＝12， ∴AF FG＝1.15．解：(1)∵AD ＝BC ＝5－12， ∴AD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－122＝3－52.∵AC ＝1，∴CD ＝1－5－12＝3－52， ∴AD 2＝AC ·CD .(2)∵AD 2＝AC ·CD ，∴BC 2＝AC ·CD ，即AC BC ＝BC CD. 又∵∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△BDC ， ∴AB BD ＝AC BC.又∵AB ＝AC ，∴BD ＝BC ＝AD ，∴∠A ＝∠ABD ，∠ABC ＝∠C ＝∠BDC .设∠A ＝∠ABD ＝x ，则∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝2x ， ∴∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ＝2x ，∴∠A ＋∠ABC ＋∠C ＝x ＋2x ＋2x ＝180°， 解得x ＝36°，∴∠ABD ＝36°.。