《博弈论与信息经济学》混合战略纳什均衡 PPT
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博弈论与信息经济学-2-2混合均衡
混合战略
• 定义: 在n个参与人博弈的战略式表述G = {S1, ..., Sn；u1, ..., un}中，假定参与人i有K个纯 战略: Si = {si1, ..., siK}，那么，概率分布σ i = (σ i1，..., σ iK)称为i的一个混合战略，这里σ ik =σ (sik)是i选择Sik的概率，对于所有的k = 1，..., K，0≤σ ik ≤ 1，∑1Kσ ik = 1。 • 纯战略可以理解为混合战略的特例，比如说， 纯战略si1等价于混合战略σ i = (1，0，...，0)， 即选择纯战略si1的概率为1，选择任何其他纯 战略的概率为0。
混合战略纳什均衡
• 根据上述道理，纳什均衡也可以表述如下: • 定义: σ * = (σ 1*,...,σ i* ...,σ n*)是一个 纳什均衡，如果对于所有的参与人i，
sik∈Si • 若σik等于0，则上式严格不等式成立， sik不进入混合战略；若σik不等于0，则 上式的等式成立，sik进入混合战略。
博弈论与信息经济学
第2章 完全但不完美信息静态博弈-2 ——混合战略纳什均衡
主要内容
• • • • • • 占优战略均衡、重复剔除的占优均衡 纳什均衡 库诺特寡头竞争模型 混合战略纳什均衡 纳什均衡的存在性和多重性 聚点均衡和相关均衡
纯战略纳什均衡
• 纳什均衡定义为一个满足所有参与人的 效用最大化要求的战略组合，即 (s1*，...，si*, ...，sn*)是一个纳什 均衡，当且仅当对于所有的i，si* ∈argmax ui(si，s-i*)。 • 根据这一定义，有些博弈不存在纳什均 衡。
支付最大化法
• 对上述效用函数求微分，得到政府最优化的一 阶条件为: • dυ G/dθ = 5γ – 1 = 0 • 因此， • γ * = 0.2 • 就是说，在混合战略均衡下，流浪汉以0.2的 概率选择寻找工作，以0.8的概率选择游荡。
博弈论-混合策略纳什均衡
，以达到均衡状态。
政治学的案例分析
总结词：国际关系
详细描述：在国际关系中，混合策略纳什均衡可以用来解释 国家之间的竞争和合作。例如，两个国家可能会以一定的概 率选择不同的外交政策，例如结盟、中立或对抗，以达到各 自的利益最大化。
生物学的案例分析
总结词
捕食者-猎物博弈
详细描述
在生物学中，混合策略纳什均衡可以用来解释捕食者与猎物之间的博弈。例如，捕食者 可能会采用追逐和放弃两种策略来捕猎猎物，而猎物也可能会采用逃跑和装死两种策略 来避免被捕食。最终，捕食者和猎物都以一定的概率随机选择不同的策略，以达到均衡
非合作博弈论
研究个体如何在不知道其 他个体如何行动的情况下 做出最优决策。
博弈论的基本概念
参与者
参与博弈的决策主体， 可以是个人、组织或国
家。
行动
参与者根据给定的信息 所做出的决策。
信息
参与者在进行决策时所 拥有的数据、情报或知
识。
策略
参与者为达到最优结果 而采取的一系列行动的
方案。
博弈论的应用场景
状态。
生物学的案例分析
总结词：繁殖竞争
VS
详细描述：在生物种群中，不同个体 之间会存在繁殖竞争。为了最大化自 己的遗传贡献，个体可能会采用不同 的交配策略，例如追求高繁殖成功率 的策略或避免过度竞争的策略。混合 策略纳什均衡可以用来描述这种竞争 状态下的交配行为。
THANKS FOR WATCHING
繁殖博弈
在繁殖博弈中，生物个体通过选择不同的繁殖和竞争策略来繁衍后代。混合策略纳什均衡可以用来分 析繁殖过程的均衡结果，解释生物多样性的形成机制。
05 混合策略纳什均衡的案例 分析
经济学的案例分析
政治学的案例分析
总结词：国际关系
详细描述：在国际关系中，混合策略纳什均衡可以用来解释 国家之间的竞争和合作。例如，两个国家可能会以一定的概 率选择不同的外交政策，例如结盟、中立或对抗，以达到各 自的利益最大化。
生物学的案例分析
总结词
捕食者-猎物博弈
详细描述
在生物学中，混合策略纳什均衡可以用来解释捕食者与猎物之间的博弈。例如，捕食者 可能会采用追逐和放弃两种策略来捕猎猎物，而猎物也可能会采用逃跑和装死两种策略 来避免被捕食。最终，捕食者和猎物都以一定的概率随机选择不同的策略，以达到均衡
非合作博弈论
研究个体如何在不知道其 他个体如何行动的情况下 做出最优决策。
博弈论的基本概念
参与者
参与博弈的决策主体， 可以是个人、组织或国
家。
行动
参与者根据给定的信息 所做出的决策。
信息
参与者在进行决策时所 拥有的数据、情报或知
识。
策略
参与者为达到最优结果 而采取的一系列行动的
方案。
博弈论的应用场景
状态。
生物学的案例分析
总结词：繁殖竞争
VS
详细描述：在生物种群中，不同个体 之间会存在繁殖竞争。为了最大化自 己的遗传贡献，个体可能会采用不同 的交配策略，例如追求高繁殖成功率 的策略或避免过度竞争的策略。混合 策略纳什均衡可以用来描述这种竞争 状态下的交配行为。
THANKS FOR WATCHING
繁殖博弈
在繁殖博弈中，生物个体通过选择不同的繁殖和竞争策略来繁衍后代。混合策略纳什均衡可以用来分 析繁殖过程的均衡结果，解释生物多样性的形成机制。
05 混合策略纳什均衡的案例 分析
经济学的案例分析
博弈论-混合策略纳什均衡PPT课件
4 1
如果一个混合策略是流浪汉的最优选择，那一定意味 着政府在救济与不救济之间是无差异的，即：
vG 1, 4 1 vG 0,
0.2
13
• 解二:支付等值法
如果一个混合策略是政府的最优选择，那一定意 味着流浪汉在寻找工作与游闲之间是无差异的， 即：
4
§剪刀、石头、布的游戏
• 因此，秘决在于—— • 自己的策略选择不能预先被对手方知道或猜
测到，在该博弈的多次重复中，博弈方一定 要避免自己的选择具有规律性； • 观察对手方策略选择是否具有规律或者偏好， 预先猜测对手策略，从而采用针对性策略赢 得这个博弈。
5
§ 第三章 混合策略纳什均衡
• 纯策略(pure strategies)：如果一个策略 规定参与人在一个给定的信息情况下只选择 一种特定的行动。
• 混合策略(mixed strategies)：如果一个策 略规定参与人在给定的信息情况下，以某种 概率分布随机地选择不同的行动。
• 在静态博弈里，纯策略等价于特定的行动， 混合策略是不同行动之间的随机选择。
6
§ 期望支付
• 与混合策略(mixed strategies)相伴随的一个问 题,是局中人支付的不确定性(uncertainty).可用 期望支付(expected payoff)来描述——有个n 可能的取值X1,X2…,Xn ，并且这些取值发生的概 率分别为p1,p2,…,pn，那么我们可以将这个数 量指标的期望值定义为发生概率作为权重的所有 可能取值的加权平均，也就是
对性的策略，使自己的支付增加。
9
求解混合策略纳什均衡
1、假定政府采用混合策略：
G ,1 即政府以的概率选择救济，1 的概率选择不救济。
第3章混合战略Nash均衡
All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng
一、混合战略
• “猜硬币”博弈
两个参与人各握有一枚硬币，双方同时 选择是正面向上(记作O)还是背面向上(记作R)， 即他们的战略空间都是{O, R}。若两枚硬币是 一致的(即全部背面向上或者全部正面向上)， 参与人2赢得参与人1的硬币；若两枚硬币不一 致，则参与人1赢得参与人2的硬币。
二、混合战略Nash均衡
• 提一个问题： 在“猜硬币”游戏中，我们往往会以50%
的概率选择正面(O)，以50%的概率选择反面 (R)，即选择混合战略σ=(0.5，0.5)。那么有没 有参与人会偏离混合战略σi=(0.5，0.5)呢？
Control Science and Engineering, HUST
个概率分布 i
(
1 i
,
...,
K i
)
其中
j i
(
j
1,...,
K)
表示参与人i选择战略
sij
的概率，即 ij 满足：
K
0
j i
1
,
j i
1
j 1
Control Science and Engineering, HUST
All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng
All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng
第三章混合战略Nash均衡
主要内容： 一、混合战略； 二、混合战略Nash均衡； 三、混合战略Nash均衡的求解。
Control Science and Engineering, HUST
混合策略纳什均衡概述(PPT 48张)
q 1
19
博弈论第三章 第一讲 概念与方法
作业
利用反应函数法求解“社会福利博弈” 是否需要调整数据？ 可得出有关社会保障体系改革的结 论？
2019年2月26日
博弈论第三章 第一讲 概念与方法
20
友军博弈
英 国 支持巴顿 支持蒙帅 支持巴顿 4，3 2，2 美国 1，1 3，4 支持蒙帅
右
-5，-5，0 -1，-1，5
丙：B
博弈论第三章 第二讲多重纳什均衡
36
第三节多重纳什均衡的选择标准
五、抗共谋均衡 （二）共谋偏离（集体偏离）均衡的激励 1.如果集体偏离（上，左，A） （1）起因：甲、乙集体偏离，选（下，右， A） （2）结果：甲的支付0→1，乙的支付0→1 （3）结论：甲、乙有集体偏离的动机， （上，左，A）非抗共谋均衡
2019年2月26日
博弈论第三章 第一讲 概念与方法
17
二、研究方法：反应函数法
三、反应函数 2. Dela ： Jim卖表的概率越小， Dela 剪发越好
UDel=2q(1-3p)+2p
1 ,ifp 1 /3 ,此时 1 3 p0 ,q 越大越好 q [ 0 , 1 ], ifp 1 /3 0 ,ifp 1 /3 ,此时 1 3 p0 ,q 越小越好
2019年2月26日
博弈论第三章 第二讲多重纳什均衡
37
第三节多重纳什均衡的选择标准
五、抗共谋均衡 （二）共谋偏离（集体偏离）均衡的激励 2.如果集体偏离（下，右，B） （1）若甲、乙集体偏离，选（上，左，B） -1→-2， -1→-2 （2）若甲、丙集体偏离，选（上，右，A） -1→-5， 5→0 （3）若乙、丙集体偏离，选（下，左，A） -1→-5， 5→0 （4）结论：缺乏集体偏离的激励， （下，右，B）为 抗共谋均衡
《博弈论与信息经济学》纳什均衡的应用 PPT
Qi a c 2Nb，市场价格为：p a c 2，总利润为： a c2 4b， 每家公司的利润为：i a c2 4Nb。当N 时，Qi 0，i 0，但总产量
和总利润保持原状。
❖ 2.豪泰林（Hotelling）价格竞争模型
• 豪泰林价格模型假定产品没有差别，但产品在空间位置 上有差别，有了不同的运输成本，造成价格的差别，由 此而引起价格竞争。
b
c1 c2
x p2 p1 2t 1 a b 2。
需求函数：D1 D2
p1, p1 b x b 1 a
b
2
2
p2 p1 2t p1 p2
p2 p1
p1 t p2 t
2t 。
2t
店1和店2的利润函数为：
1 p1 c D1 p1, p2 p1 c p2 p1 t 2t 2 p2 c D2 p1, p2 p2 c p1 p2 t 2t
§5.纳什均衡的应用
❖ 1.完全竞争模型
假定有N家厂商，价格函数为p a - bQ，总产量为Q Q1 L QN，如果公司1猜测
每一家其他公司的产量为Qi，那么，价格函数为：p a b Q1 N 1Qi ，公司1
的利润函数为：1 a b Q1 N 1Qi c Q1，求出利润最大化的条件为,也就
p2 t 1
x
根据纳什均衡的定义
R1 c2
R2
c1
c1 c2
c1
c2
也就是说，对于处于地点x的消费者，既可以到店1也可以到店2去购买商品，而这对
和总利润保持原状。
❖ 2.豪泰林（Hotelling）价格竞争模型
• 豪泰林价格模型假定产品没有差别，但产品在空间位置 上有差别，有了不同的运输成本，造成价格的差别，由 此而引起价格竞争。
b
c1 c2
x p2 p1 2t 1 a b 2。
需求函数：D1 D2
p1, p1 b x b 1 a
b
2
2
p2 p1 2t p1 p2
p2 p1
p1 t p2 t
2t 。
2t
店1和店2的利润函数为：
1 p1 c D1 p1, p2 p1 c p2 p1 t 2t 2 p2 c D2 p1, p2 p2 c p1 p2 t 2t
§5.纳什均衡的应用
❖ 1.完全竞争模型
假定有N家厂商，价格函数为p a - bQ，总产量为Q Q1 L QN，如果公司1猜测
每一家其他公司的产量为Qi，那么，价格函数为：p a b Q1 N 1Qi ，公司1
的利润函数为：1 a b Q1 N 1Qi c Q1，求出利润最大化的条件为,也就
p2 t 1
x
根据纳什均衡的定义
R1 c2
R2
c1
c1 c2
c1
c2
也就是说，对于处于地点x的消费者，既可以到店1也可以到店2去购买商品，而这对
混合策略纳许均衡课件
策略纳什均衡的算法优化。
混合策略纳什均衡与人工智能
02
随着人工智能的发展，可以尝试将混合策略纳什均衡应用于机
器学习和人工智能领域，以实现更高效和智能的决策。
混合策略纳什均衡与演化博弈论的结合
03
研究混合策略纳什均衡与演化博弈论的结合，可以更好地解释
现实生活中的动态博弈现象。
06
参考文献
参考文献
定义
混合策略纳什均衡课件
CONTENTSБайду номын сангаас
• 混合策略纳什均衡简介 • 混合策略纳什均衡的数学模型 • 混合策略纳什均衡的求解方法 • 混合策略纳什均衡的应用实例 • 混合策略纳什均衡的挑战与展
望 • 参考文献
01
混合策略纳什均衡简介
定义与概念
混合策略纳什均衡是一种博弈论中的概念，它描述了在给定对手策略的情况下，参 与者如何选择最优的行动方案。
定义策略空间
为每个参与人定义一个策略选 择的空间，这些策略可以是离 散的、连续的或混合的。
定义支付函数
根据每个参与人的策略选择， 定义他们的支付函数，即每个 参与人在该策略下的期望收益。
构建博弈矩阵
根据参与人的策略空间和支付 函数，构建一个博弈矩阵，用 以表示每个参与人选择不同策
略时的收益。
模型参数解 释
纳什均衡点或满足一定的收敛条件。
优化算法
优化算法是一种基于数学优化的方法，用于求解混合策略纳什均衡。
优化算法的基本步骤包括：定义一个目标函数，然后使用优化算法（如 梯度下降法、牛顿法等）寻找目标函数的最大值或最小值，从而得到纳
什均衡点。
优化算法的优点是能够快速找到纳什均衡点，适用于大规模问题。但缺 点是需要对问题进行数学建模，且对初始点的选择敏感。
《博弈论与信息经济学》混合战略纳什均衡--ppt课件全篇
放荡
32
-1 3
-1 1 0 0
1
ppt课件
假定父母选择支助的概率为p1，选择不支助的概率为p2 1- p1 ； 儿子选择立志的概率为q1，选择不立志的概率为q2 1- q1 。那么
对两个参与人，各自的盈利函数为：
v1
3 p1q1
1
p1q2
1
p2q1
5
p1q1
p1
q1
v2 2 p1q1 p2q1 3 p1q2 2 p1q1 q1 3 p1
一个混合战略均衡：p*, q* 3 4,1 4。
p
甲
1
3/4 乙
O 1/4
12
1q
ppt课件
▪ 解法2：代数法
甲和乙的期望盈利：v甲 v乙
p 4q q4p
1 2q 1 3 3 2 p
v甲
p
v乙
q
4q 1 0 4p 3 0
p*
q*
3 4 1 4
13
ppt课件
▪ 例3（三人博弈）
K
pik 1，pik p sik 是i选择战略sik的概率，pi称为参与人i的混合战略。
k 1
i 代表i的混合战略空间，pi i 。
▪ （2）期望盈利
对于博弈G S1,..., Si ,..., Sn;u1,..., ui ,..., un，对应于s s1,..., si,..., sn 有p p1,..., pi ,..., pn ，pi i ，p表示局中人i的混合战略组合，那么，
2
即q 1 ，则p越小越好，而p的最小值只能取0；如果1 2q 0，
2
即q 1 ，则p能取任意值，即p 0,1。
2
对于乙来说，为使盈利达到最大，只有调整q。如果2 p 1 0，
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8
博弈论与信息经济学
❖ 2.混合战略纳什均衡
▪ 例1.
对于n人混合博弈G S1,L , Sn;u1,L ,un，pi si i ，如果
p* p1*,L , pn* 满足vi pi*, p*i vi pi , p*i ，则称p*为该博弈
的混合战略纳什均衡。（海萨尼认为，混合战略博弈就是不
完全信息静态博弈。）
甲/乙
乙 红(q) 黑(1-q)
红(p) -1
11
-1
甲
黑(1-p) 1
-1 -1
1
2020/2/17
期望盈利为：v甲 v乙
p, p,
q q
2p 2q
1 2p
2q 1
2q 1 2 p 1
9
博弈论与信息经济学
2020/2/17
1
p1q2
1
p2q1
5
p1q1
p1
q1
v2 2 p1q1 p2q1 3 p1q2 2 p1q1 q1 3 p1
v1
p1
v2
q1
5q1 1 0 1 2 p1 0
p1 q1
p2 0.5 0.2，q2
• 混合战略：参与人在给定信息下以某种概率分布选择不 同的战略，在原来纯战略的基础上，选择某个战略的概 率分布称为混合战略。
2020/2/17
6
博弈论与信息经济学
2020/2/17
混合策略的定义：在n人博弈G S1,L , Sn;u1,L ,un中，假定参与人i有 K个纯战略，即Si si1,L , siK ，则概率分布pi pi1,L , piK ，0 pik 1，
K
pik 1，pik p sik 是i选择战略sik的概率，pi称为参与人i的混合战略。
k 1
i 代表i的混合战略空间，pi i 。
▪ （2）期望盈利
对于博弈G S1,..., Si ,..., Sn;u1,..., ui ,..., un，对应于s s1,..., si,..., sn 有p p1,..., pi ,..., pn ，pi i ，p表示局中人i的混合战略组合，那么，
儿子
立志
放荡
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-1 3
-1 1 0 0
5
博弈论与信息经济学
• 从上例中可以看出，当参与人在选择战略具有不确定性， 考虑纳什均衡时，具体战略的盈利已经显得不很重要， 重要的是某个战略的概率分布，因此，纳什均衡的解也 就必须包含概率，这样的支付或盈利就称为期望盈利。
▪ （1）混合策略
• 纯战略：参与人在给定的信息下只选择一种特定战略， 这样情况下的战略，称为纯战略。
1 如果q 1 2
0 如果q 1 2
由此可知，这个博弈的纳什均衡为p* 1 2，q* 1 2。
p
甲
1
1/2
乙
O
1/2
1q
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博弈论与信息经济学
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▪ 解法2：代数法
v甲 p, q 2 p 1 2q 2q 1 v甲
v乙
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博弈论与信息经济学
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▪ 解法1：反应函数法
反应函数如下：
1
p 0,1
0
如果q 1 4
1
如果q 1 4，q 0,1
如果q 1 4
0
如果p 如果p 如果q
3 3 3
4 4 ，均衡 4
p*
q*
1, 1,
4q1 q2 11 p1 p2 1 0
p1*
1 2
,
p2*
0,
p3*
1 2
q1*
1 2
, q2*
0, q3*
1 2
r1*
1 2
,
r2*
0, r3*
1 2
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博弈论与信息经济学
父母/儿子 父 支助 母 不助
儿子
立志
放荡
32
-1 3
-1 1 0 0
2
博弈论与信息经济学
假定父母选择支助的概率为p1，选择不支助的概率为p2 1- p1 ； 儿子选择立志的概率为q1，选择不立志的概率为q2 1- q1 。那么
对两个参与人，各自的盈利函数为：
v1
3 p1q1
4q1
p1
1
6
4
p1
C 3
1
r1
r2
4q1
2
p1
p2
2
4q2
p1
p2
1
9
8 p1
4
p2
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博弈论与信息经济学
2020/2/17
A A1 A2 A3 B B1 B2 B3 C C1 C2 C3
§6.混合战略纳什均衡
❖ 1.混合策略与期望盈利
▪ 例：浪子博弈
• 在这一博弈中，两个参与人都不知道对方选择是否确定地选择某个策略，因此， 按照以前所学的知识无法得出均衡解。但是，如果知道对方将以某一概率对某 一策略进行选择的话，就可以得出反应函数，就可以按照纳什均衡的方法求得 解。
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矩阵2
BB21
r1 2q1 r2 4 p1
q2 1 2 q1
q2
5
4
p1
B3
1
r1
r2
q1
8 p1
4
p2
6
q2
4
p1
4
p2
3
9
8 p1
4 p2
矩阵3
C1 C2
3r1 r2
• 三个局中人的混合战略为：p，q，r • 学习如何写出三个局中人的矩阵型表达式。
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博弈论与信息经济学
2020/2/17
A/B/C （sc=1）
1 A2
3
A/B/C （sc=2）
1 A2
3
A/B/C （sc=3）
1 A2
3
1 3，3，3 2，3，3 1，3，3
1 3，3，2 2，3，2 1，3，2
v甲
p
v乙
q
4q 1 0 4p 3 0
p*
q*
3 4 1 4
2020/2/17
14
博弈论与信息经济学
▪ 例3（三人博弈）
• 三个参与人A、B、C，每个人的战略集为{1，2，3}。每个人对应于某个战略 的支付是用三个人选择战略中的最小数字乘以4，再减去自己所选择战略的值。
1 3，3，1 2，3，1 1，3，1
B 2 3，2，3 2，2，3 1，2，3
B 2 3，2，2 6，6，6 5，6，6
B 2 3，2，1 6，6，5 5，6，5
3 3，1，3 2，1，3 1，1，3
3 3，1，3 6，5，6 5，5，6
3 3，1，1 6，5，5 9，9，9
16
博弈论与信息经济学
2
即p 1 ，则q越小越好，而q的最小值只能取0；如果2 p 1 0，
2
即p 1 ，则q能取任意值，即q 0,1。
2
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博弈论与信息经济学
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0 如果q 1 2
1 如果q 1 2
反应函数：p 0,1如果q 1 2，q 0,1如果q 1 2
0.8
2020/2/17
3
博弈论与信息经济学
2020/2/17
▪ 进一步浪子博弈还可以作出如下解释：
期望盈利：v1 v2
3 p1q1 2q1 p1
p1q2 q1 p2
p2q1 3q2 p1
0
0
p1 5q1 1 q1 1 2 p1
q1 3
p,
q
2q
2
p
1
2
p
1
v乙
p q
1 2q 2p 1
0 0
p* q*
1 1
2 2
▪ 例2.
甲/乙
乙 德(q) 法(1-q)
德(p) 3
21
1
甲
法(1-p) 0
02
3
甲和乙的期望盈利：v甲 v乙
p 4q q4p
1 2q 1 3 3 2 p
参与人i的期望盈利为：vi pi , pi
n
pj
sj
ui
s
。
sS j1
7
博弈论与信息经济学
2020/2/17
父母/儿子
支助 父 （p1） 母 不助
（p2）
儿子
立志（q1）
不立志（q2）
32
-1 3
-1 1
00