高一期中质量检测数学试卷
2023-2024学年高一(上)期中数学试卷(带解析)
2023-2024学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3} 2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥04．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．37．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．368．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为．14．（5分）已知函数f（x）满足，则函数f（x）的解析式为．15．（5分）已知函数，则f（﹣26）+f（﹣25）+⋯+f（﹣1）+f （1）+⋯+f（26）+f（27）的值为．16．（5分）已知x，y＞0且满足x+y＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n，则m+n的最小值为．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．21．（12分）已知a，b，c是实数，且满足a+b+c＝0，证明下列命题：（1）“a＝b＝c＝0”是“ab+bc+ac＝0”的充要条件；（2）“abc＝1，a≥b≥c”是“”的充分条件．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．2023-2024学年高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3}【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}，故A∩B＝{1}．故选：B．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，解绝对值不等式得1＜x＜3，结合充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，|x﹣2|＜1⇒﹣1＜x﹣2＜1⇒1＜x＜3，由|x﹣2|＜1可以推出1＜x＜5，且由1＜x＜5不能推出|x﹣2|＜1．因此，若p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥0【分析】根据命题的否定的定义，即可求解．【解答】解：命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是：∀x∈（1，+∞），x2+2≥0．故选：D．【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．4．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，【分析】观察函数三要素，逐项判断是否同一函数．【解答】解：由题意得：选项A定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项B定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项C对应法则不同，g（x）＝|x|；D项，三要素相同，为同一函数．故选：D．【点评】本题考查同一函数的判断，属于基础题．5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或【分析】由题意可知，a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，再结合韦达定理求解即可．【解答】解：根据题意：a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，所以，，，，解得，即不等式的解集为{x|}．故选：C．【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据函数f（x）的定义可知，在一个坐标系中画出y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y ＝x﹣1的图象，取最上面的部分作为函数f（x）的图象，由图象即可求出函数的最小值．【解答】解：根据题意，在同一个直角坐标系中，由﹣x+1＝x2﹣3x+2，得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1；由x2﹣3x+2＝x﹣1，得x2﹣4x+3＝0，解得x＝3或x＝1，所以f（x）＝，同时画出函数y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y＝x﹣1，如图分析：所以函数f（x）的最小值为0．故选：A．【点评】本题考查利用函数的图象求函数的最值，属中档题．7．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．36【分析】由已知结合基本不等式先求出xy的范围，即可求a，然后利用乘1法，结合基本不等式可求b，进而可求a+b．【解答】解：∵xy＝2x+y+6+6，当且仅当2x＝y，即x＝3，y＝6时取等号，∴a＝18．∵m+n＝1，m＞0，n＞0．则＝6，当且仅当n＝3m且m+n＝1，即m＝，n＝时取等号，∴，∴b＝16；∴a+b＝34．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a【分析】由已知结合函数的对称性先求出函数的周期，然后结合对称性及周期性即可求解．【解答】解：根据题意：函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，可得函数f（x）关于点（2，2）成中心对称，函数f（x）满足f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，所以函数f（x）关于x＝1对称，所以函数f（x）既关于x＝1成轴对称，同时关于点（2，2）成中心对称，所以f（2）＝2，T＝4，又因为f（1）＝a，所以f（3）＝4﹣a，f（4）＝f（﹣2）＝f（﹣2+4）＝f（2）＝2，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝a+2+4﹣a+2＝8，所以f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）＝12×8+a+2+4﹣a＝102．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0【分析】由已知举出反例检验选项A，D；结合不等式的性质检验B，C即可判断．【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A显然错误；若，则＝＜0，所以ab＞0，B正确；若，即b﹣a＜0，则＝＞0，所以ab＜0，所以b＜0＜a，C正确；当a＝2，b＝﹣1时，D显然错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．【分析】根据二次函数的性质检验选项A，结合基本不等式检验选项BCD即可判断．【解答】解：根据题意：选项A，y＝x2﹣4x+8，根据二次函数的性质可知，x＝2时取最小值4，故选A；，当且仅当时取最小值，不在x∈（1，+∞）范围内，故选项B错误；选项C，＝，当且仅当，即x＝3时成立，故选项C正确；选项D，，令，原式为，当且仅当t＝，即t＝2时等式成立，不在范围内，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，对各个选项中的两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【解答】解：对于选项A，a＞1，b＞1⇒a﹣1＞0，b﹣1＞0⇒（a﹣1）（b﹣1）＞0，反之，若（a﹣1）（b﹣1）＞0，则可能a＝b＝0，不能得出a＞1，b＞1．故“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件，A正确；对于选项B，ax2+ax+1＞0在R上恒成立，当a＝0时，可得1＞0恒成立，而区间（0，4）上没有0，故“0＜a＜4”不是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件，B不正确；对于选项C，f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增，可以推出是a⩽2的子集，故“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的充分不必要条件，C不正确；对于选项D，a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＝a2（a+b）﹣a（a+b）+（a+b）＝（a+b）（a2﹣a+1），，ab＞0⇎（a+b）＞0，因此，“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件，D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断、不等式的性质、二次函数的单调性等知识，属于基础题．（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9【分析】将所给等式化简整理，得到（x+y）2＝x2y2，结合x，y＞0可得x+y＝xy，．由此出发对各个选项逐一加以验证，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，x2+y2+1＝（xy﹣1）2，即x2+y2＝x2y2﹣2xy，整理得x2+y2+2xy ＝x2y2，所以x2+y2+2xy＝x2y2，即（x+y）2＝x2y2，而x、y均为正数，故x+y＝xy，可得．对于A，，两边平方得x2y2≥4xy，可得xy≥4，故A错误；对于B，由A的计算可知x+y＝xy≥4，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故B正确；对于C，x2+y2＝x2y2﹣2xy＝（xy﹣1）2+1≥32﹣1＝8，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故C正确；对于D，，当且仅当x＝2y，即时取到等号，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了不等式的性质、基本不等式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为[﹣2，1]．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数∴﹣x2﹣x+2⩾0，解得﹣2⩽x⩽1．∴函数的定义域为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．14．（5分）已知函数f （x ）满足，则函数f （x ）的解析式为．【分析】利用解方程组的方法求函数解析式即可．【解答】解：根据题意：①，令代替x ，可得②，①﹣②×2得：，∴函数f （x ）的解析式为．故答案为：．【点评】本题考查求函数解析式，属于基础题．15．（5分）已知函数，则f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f（1）+⋯+f （26）+f （27）的值为．【分析】根据已知条件，结合偶函数的性质，即可求解．【解答】解：令函数，可得函数f （x ）＝g （x ）+2，∵函数为奇函数，∴g （﹣x ）＝﹣g （x ）⇒g （﹣x ）+g （x ）＝0，f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f （1）+⋯+f （26）+f （27）＝g （﹣26）+g （﹣25）+⋯+g （﹣1）+g （1）+⋯+g （26）+g （27）+2×53＝g （27）+2×53＝．故答案为：．【点评】本题主要考查函数值的求解，属于基础题．16．（5分）已知x ，y ＞0且满足x +y ＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n ，则m +n 的最小值为．【分析】由恒成立，可知左边的最小值大于等于9，因此求的最小值，结合基本不等式求出m+n的最小值．【解答】解：∵实数x，y＞0满足x+y＝1，∴x+y+1＝2，而＝，当时，等号成立，所以，解得m⩾8．而＝，令，则原式，当时，等号成立，∴实数n的值为，可得实数m+n的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）把m＝3代入求得B，再由并集运算求解；（2）“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，得B⫋A，然后分B＝∅和B≠∅分别求解m 的范围，取并集得答案．【解答】解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3⩽0}，由x2﹣2x﹣3⩽0，即（x+1）（x﹣3）⩽0，解得﹣1⩽x⩽3，∵集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，当m＝3时，即B＝{x|2＜x＜7}，∴A∪B＝{x|﹣1⩽x＜7}．（2）“x∈A”足“x∈B”的必要不充分条件，可得集合B是集合A的真子集，当m﹣1⩾2m+1⇒m⩽﹣2时，集合B为空集，满足题意；当m﹣1＜2m+1⇒m＞﹣2时，集合B是集合A的真子集，可得，∴实数m的取值范围为{m|m⩽﹣2或0⩽m⩽1}．【点评】本题考查并集的运算，考查分类讨论思想，是中档题．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）结合幂函数的性质，以及偶函数的性质，即可求解；（2）结合函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）由题意可知，2m2﹣m＝1，解得m＝或1，又∵函数f（x）关于y轴对称，当，满足题意；当m＝1⇒f（x）＝x5，此时函数f（x）为奇函数，不满足题意，∴实数m的值为；（2）函数，分析可得该函数在（0，+∞）单调递减，∴由（a﹣1）m＜（2a﹣3）m可得：．∴实数a的取值范围为．【点评】本题主要考查函数的性质，是基础题．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，代入已知函数解析式，对比函数解析式即可求解a，b；（2）结合奇函数的对称性及二次不等式的求法即可求解．【解答】解：（1）根据题意：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2+2（﹣x）]＝﹣x2+2x，故a＝﹣1，b＝2；（2）当x⩾0时，|f（x）|⩾3可得f（x）⩾3，即x2+2x⩾3⇒x2+2x﹣3⩾0，解得x⩾1，根据奇函数可得：|f（x）|⩾3的解集为{x|x⩾1或x⩽﹣1}．【点评】本题主要考查了奇函数的定义在函数解析式求解中的应用，还考查了奇函数的对称性在不等式求解中的应用，属于中档题．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．【分析】（1）根据单日销售额函数，列方程求出m的值，再利用利润＝销售额﹣成本，即可得出日销售利润函数的解析式．（2）利用分段函数求出每个区间上的最大值，比较即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意知，单日销售额为f（x）＝，因为f（3）＝+6+3＝+9，解得m＝，因为利润＝销售额﹣成本，所以日销售利润为P（x）＝，化简为P （x ）＝．（2）根据题意分析：①日销售利润P （x ）＝+x +3＝+（x +1）+2，令t ＝x +1＝2，3，4，所以函数为，分析可得当t ＝2时，取最大值，其最大值为；②日销售利润P （x ）＝+2x ＝+2x ＝﹣+2x ，该函数单调递增，所以当x ＝6时，P （x ）取最大值，此最大值为15；③日销售利润P （x ）＝21﹣x ，该函数单调递减，所以当x ＝7时，P （x ）取最大值，此最大值为14；综上知，当x ＝6时，日销售利润最大，最大值为15千元．【点评】本题考查了分段函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知a ，b ，c 是实数，且满足a +b +c ＝0，证明下列命题：（1）“a ＝b ＝c ＝0”是“ab +bc +ac ＝0”的充要条件；（2）“abc ＝1，a ≥b ≥c ”是“”的充分条件．【分析】（1）根据完全平方公式，等价变形，可证出结论；（2）利用基本不等式，结合不等式的性质加以证明，即可得到本题的答案．【解答】证明：（1）∵（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，充分性：若a ＝b ＝c ＝0，则ab +bc +ac ＝0，充分性成立；必要性：若ab +bc +ac ＝0，由a +b +c ＝0，得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，所以a 2+b 2+c 2＝0，可得a ＝b ＝c ＝0，必要性成立．综上所述，a ＝b ＝c ＝0是ab +bc +ac ＝0的充要条件；（2）由a ⩾b ⩾c ，且abc ＝1＞0，可知a ＞0，b ＜0，c ＜0，由a +b +c ＝0，得，当且仅当b ＝c 时等号成立，由，得，a 3⩾4，可知≤a ＝﹣b ﹣c ≤﹣2c ，解得，因此，abc＝1且a⩾b⩾c是的充分条件．【点评】本题主要考查等式的恒等变形、不等式的性质与基本不等式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．【分析】（1）根据题意，由f（0）＝1，f（1）＝3分析可得f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，由二次函数的最小值求出a的值，进而计算可得答案；（2）根据题意，由二次函数的性质分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析g（a）的解析式，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1，f（1）＝3，则有f（0）＝c＝1，f（1）＝a+b+c＝3，变形可得b＝2﹣a，函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，∵函数f（x）有最小值，∴a＞0，函数f（x）的最小值为＝，解可得：a＝4或1，∴当a＝4时，b＝﹣2，函数f（x）的解析式为f（x）＝4x2﹣2x+1；当a＝1时，b＝1，函数f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+1．（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，是二次函数，分2种情况讨论：①当a＞0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5，ii．当对称轴时，与a＞0矛盾，故当a＞0时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝2a+5；②当a＜0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（1）＝3，ii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，iii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5．综上所述，【点评】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质，属于中档题．。
高中期中学习教学质量检测高中高一数学试卷试题
高中期中教学质量检测高一数学试题温馨提示：本试卷共4页。
考试时间120分钟。
请将答案填写在答题卡上。
一、本大题共12个小题，每题5分，共60分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．把正确答案选项的标号填涂在答题卡上．1．集合M {1,2,3,4},N{2,2}，以下结论成立的是〔〕．A．N M B．MUN N C．MI N{2}D．MIN N2．集合U R,P{xx24x50}，Q{xx 1},那么P(C U Q)等于〔〕．A．{x1x5}B．{x1x5}C．{x1x5}D．x1x1 3．以下函数中表示同一函数的是〔〕A．y4与y(x)4B．y3x3与yx2 x x1与y1C．y x2x与y x?x1D．yx x24．f(x)x5(x6)，那么f(3)为〔〕f(x1)(x6)A．3B．4C．1D．2 5．函数f(x)2x x2的零点所在区间可以是〔〕．A．(－1，0)B．(0，1)C．(1，2)D．(2，3)6．函数g(x)2021x m图象不过第二象限，那么m的取值范围是〔〕A．m1B．m1C．m2021D．m2021 7．设alog，blog，c，那么a,b,c的大小关系为〔〕A．abc B．acb C．bca D．bac8．函数f(x)x22x3的值域是〔〕A．[0,2]B．(,2]C．[2,)D．(0,)9．一高为H、满缸水量为V的鱼缸截面如右以下列图所示，其底部破了一个小洞，缸中水从洞中流出．假设鱼缸水深为h时的水的体积为v，那么函数v＝f(h))的大致图象可能是以下列图中四个选项中的〔〕10.定义在R 上的偶函数f(x)满足：对任意的x 1,x 2(,0](x 1f(x 2)f(x 1) ，且f(2) 0，x 2)，有x 2x 1那么不等式2f(x)f(x)0解集是〔〕5(x 1)A ．( ,2)(2, )B ．( ,2) (1,2)C ．( 2,1)(2, )D ． ( 2,1) (1,2)11．实数a0，函数f(x)2x a,x 1a)f(1a)，那么a 的值为〔x 2a,x，假设f(1 〕1A ．3333D ．14 B ．C ．或2 4 212．设奇函数f(x)在[－1，1]上是增函数，且 f(－1)＝－1，假设对所有的x ∈[－1，1]及任意的 a ∈[－1，1] 都满足f(x)≤t 2－2at ＋1，那么t 的取值范围是A ．[－2，2]B ．{t|t ≤－1或t ≥1或t ＝0}221，1D ．{t|t ≤－2或t ≥2 或t ＝0}C ．[－2 2]二、填空题〔本大题共 4小题，每题5分，共20分。
高一下册期中质量检测数学试题及答案-精编版
高一数学下册期中质量检测数学试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1、在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这四个角中，属于第二象限角的是A ．①B ．①②C ．①②③D ．①②③④2、集合{2ππ4ππ|+≤≤+k k αα，∈k Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 3、一个游戏转盘上有四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6∶2∶1∶4，则指针停在红色或蓝色的区域的概率为( ) A.613 B.713 C.413 D.10134．废品率x %和每吨生铁成本y (元)之间的回归直线方程为y ^＝256＋2x ，表明( ) A ．废品率每增加1%，生铁成本增加258元 B ．废品率每增加1%，生铁成本增加2元C ．废品率每增加1%，生铁成本每吨增加2元D ．废品率不变，生铁成本为256元5、若下面的程序框图输出的是，则①应为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知直线y ＝x ＋b ，b ∈[－2,3]，则直线在y 轴上的截距大于1的概率为( ) A.15 B.25 C.35 D.45 7、已知x x f 3cos )(cos =，则)(sin x f 等于（ ）（A ）x 3sin （B ）x 3cos （C ）x 3sin - （D ）x 3cos - 8、函数y=cos 2x –3cosx+2的最小值是（ ）A ．2B ．0C ．41D ．6 9、有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程； ②平均日学习时间和平均学习成绩；③某人每日吸烟量和其身体健康情况； ④正方形的边长和面积； ⑤汽车的重量和百公里耗油量． 其中两个变量成正相关的是( )A ．①③B ．②④C ．②⑤D ．④⑤10、1sin ()lg cos xf x x+=是 （ ）A 、奇函数B 、偶函数C 非奇函数非偶函数D 、奇且偶函数11．图中的曲线对应的函数解析式是 （ ）A ．|sin |x y =B ．||sin x y =C ．||sin x y -=D ．|sin |x y -= 12．已知α是三角形的一个内角,且32sin =+αα,则这个三角形( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．不等腰的直角三角形D ．等腰直角三角形 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的定义域为________．14．若2弧度的圆心角所对的弧长为2 cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是________15.已知函数，等于抛掷一颗均匀的正六面体骰子得到的点数，则在上有偶数个零点的概率是 ． 16．函数f(x) =sin πx+cos πx+|sin πx -cos πx|对任意的x∈R 都有f(x 1) ≤f(x) ≤f(x 2) 成立, 则|x 2-x 1|的最小值为 . 三、解答题(本大题共6小题，共74分) 17（12分）已知角α终边上一点P （－4，3），求)29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+的值18．(12分)为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：YO -π2ππ-2πo y x o y x o y x o y x(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；(3)从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm之间的概率．19、（12分）已知cos3(0)y a b x b=->的最大值为32，最小值为12-。
山东省青岛2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(无答案)
青岛2024—2025学年第一学期期中考试高一数学试题时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，2.若，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.3.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数的图象特征.函数的图象大致为（）A. B. C. D.4.已知函数，集合，，若，则（）A.1B.0C.4D.5.“”是函数“在区间上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.已知函整的定义域为，则函数的定义域为（）A. B. C. D.x∃∈R3||20x x+->x∃∉R3||20x x+-≤x∃∈R3||20x x+-≤x∀∈R3||20x x+-≤x∀∉R3||20x x+-≤2313a⎛⎫= ⎪⎝⎭2315b⎛⎫= ⎪⎝⎭1349c⎛⎫= ⎪⎝⎭a b ca b c<<c a b<<b c a<<b a c<<21()2xf xx-=21,1(),12x xf xx x+≤-⎧=⎨-<≤⎩{0,}A a=-{1,2,22}B a a=--A B⊆()f a=493a≤()f x=[2,)+∞()f x(4,28)-2()g x=(4,28)(6,3)(3,6)--⋃(3,6)(3,3)(2,3)--⋃7.已知函数，函数是定义在上的奇函数，若与的图象的交点分别为，……，，则（ ）A. B. C.0D.28.定义在上的偶函数满足，且对于任意，有，若函数，则下列说法正确的是（ ）A.在上单调递减 B.为偶函数C. D.在上单调递增二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，，下列说法正确的是（ ）A. B.C.D.10.定义在实数集上的函数称为狄利克雷函数.该函数由19世纪德国数学家狄利克雷提出，在高等数学的研究中应用广泛.下列有关狄利克雷函数的说法中正确的是（ ）A.的值域为B.对任意，都有C.存在无理数，对任意，都有D.若，，则有11.已知的解集是，则下列说法正确的是（ ）A.B.不等式的解集为21()x x f x x++=()1y g x =-R ()f x ()g x ()11,x y ()88,x y ()()1818x x y y ++-++= 8-4-R ()f x (2)2f =120x x >>()()21122122x f x x f x x x ->-()2()f x g x x-=()g x (0,)+∞()g x (4)(3)g g <-()f x (2,)+∞0a b <<c d >a c b d-<-a b c d<11a b>552332a b a b a b +<+1,Q()0,Qx D x x ∈⎧=⎨∉⎩()D x ()D x []0,1x ∈R ()()D x D x =-0t x ∈R ()0()D x t D x +=0a <1b >{|()}{|()}x D x a x D x b >=<20ax bx c ++>(2,3)-30b c +>20cx bx a -+<11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C.的最小值是D.当时，若，的值域是，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知幂函数的图象关于轴对称，且，则________.13.已知函数，，记，若与的图象恰有两个不同的交点，则实数的取值范围是________.14.已知函数满足：对任意非零实数，均有，则在上的最小值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数的定义域为，集合.（1）求；（2）集合，若，求实数的取值范围.16.（15分）已知函数，.（1）若，且，求出的解析式；（2）解关于的不等式.17.（15分）已知函数是定义在上的奇函数.（1）求实数的值；（2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明；（3）设，解不等式.18.（17分）萝卜快跑，作为全球领先的自动驾驶出行服务平台，是百度Apollo 的重要落地应用，它在无人驾驶领域扮演着先行者和创新者的角色，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为四段，分別为准备时间：人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，如下图所示.当车速为（米/秒），且时，通过大数据统12334a cb +++42c =2()36f x ax bx =+[]12,x n n ∈[3,1]-21[2,4]n n -∈24()()n n f x xn Z -=∈y (1)(3)f f -<n =()1f x x =-2()g x x =,max{,},a a b a b b a b≥⎧=⎨<⎩y m =max{(),()}y f x g x =(0)x ≠m ()f x x (2)()(1)2f f x f x x=⋅+-()f x (0,)+∞()f x =A {}|321B x x =->A B ⋃{|1}C x a x a =-<<R C C B ⊆a 22()23f x x ax a =--R a ∈0a =2(3)()()g x g x f x --=()g x x ()0f x <2()4x af x x +=-[1,1]-a ()f x [1,1]-()|()|g x f x =(21)(1)g t g t ->-0t 1t 2t 3t 0d 1d 2d 3d v (]0,33.3v ∈计分析得到下表给出的数据（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，）阶段①准备②人的反应③系统反应④制动时间秒秒距离米米（1）请写出报警距离（米）与车速（米/秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒？19.（17分）对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数，②函数在的值域是，则称区间为函数的“保值”区间.（1）求函数的所有“保值”区间；（2）判断函数是否存在“保值”区间，并说明理由；（3）已知函数有“保值”区间，当取得最大值时求的值.k [1,2]k ∈0t 10.8t =20.2t =3t 010d =1d 2d 2320v d k=d v ()d v 2k =[,]()a b a b <()y f x =[],a b ()y f x =[],a b [],a b [],a b 2()f x x =1()1g x x =-()221()(,0)a a x h x a a a x+-=∈≠R [],m n n m -a。
2023-2024学年新疆乌鲁木齐高一上学期期中考试数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年乌鲁木齐高一上册期中考试数学试题一、单选题1．若集合2}2{|0A x x x =+-≤，{|24}B x x =∈-<<Z ，则A B = （）A ．{}1,0,1-B ．{}|21x x -<≤C ．{|21}x x -<<D ．{}0,1,2【正确答案】A【分析】求出集合A 、B ，根据交集的运算即可求出答案.【详解】解220x x +-≤可得21x -≤≤，所以{|21}A x x =-≤≤.又{}{|24}1,0,1,2,3B x x =∈-<<=-Z ，所以{}1,0,1A B =- 故选：A.2．下列函数中与1y x =-是同一函数的是（）A ．y =B ．21x y x=-C ．211x y x -=+D ．1y =【正确答案】D【分析】求出已知函数的定义域，然后根据判断两函数是同一函数的标准，即定义域相同，对应法则相同，对各个选项逐个化简判断即可求解．【详解】函数1y x =-的定义域为R ，1y x ==-，所以与已知函数的解析式不同，故A 错误，21x y x=-定义域为()(),00,∞-+∞U ，与已知函数的定义域不同，故B 错误，211x y x -=+定义域为()(),11,-∞--+∞ ，与已知函数的定义域不同，故C 错误，11y x =-=-，且定义域为R ，与已知函数是同一函数，故D 正确，故选：D ．3．已知函数21,0()21,0x x x f x x ⎧+≤=⎨+>⎩，若()3f x =，则x 值为（）A ．1-或1B ．C ．1或D 或1【正确答案】C【分析】分别根据0x ≤以及0x >时的解析式，列出方程，求解方程即可得出答案.【详解】因为21,0()21,0x x x f x x ⎧+≤=⎨+>⎩.当0x ≤时，2()1f x x =+，解213x +=，可得x =x =)；当0x >时，()12xf x =+，解123x +=，可得1x =.综上所述，x =1x =.故选：C ．4．设,a b ∈R ，则“lg lg 0a b +=”是“1ab =”的（）.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据对数的运算性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.【详解】由lg lg 0a b +=lg 01ab ab ⇒=⇒=且0a >且0b >，故选：A ．5．三个数20.320.3,log 0.3,2a b c ===之间的大小关系是（）A ．a c b <<.B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b<c<a【正确答案】B【分析】根据指数函数和对数函数的单调性进行求解，即可比较大小.【详解】解：2000.30.31<<= ，则01a <<，22log 0.3log 10<= ，则0b <，0.30221>= ，则1c >，所以b a c <<.故选：B.6．函数3x y -=与()3log y x =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C【分析】分析两个函数的定义域与单调性，可得出合适的选项.【详解】函数133xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭为R 上的减函数，排除AB 选项，函数()3log y x =-的定义域为(),0∞-，内层函数u x =-为减函数，外层函数3log y u =为增函数，故函数()3log y x =-为(),0∞-上的减函数，排除D 选项.故选：C.7．已知0x >，0y >且211x y+=，若228x y m m +<-有解，则实数m 的取值范围时（）A ．(-∞，1)(9-⋃，)∞+B ．(-∞，][19-⋃，)∞+C ．(9,1)--D ．[9-，1]【正确答案】A【分析】由已知先利用基本不等式求出2x y +的最小值，然后结合不等式的存在性问题与最值关系进行转化，解二次不等式可求．【详解】因为0x >、0y >，且211x y+=，()212222559x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22x y y x =且211x y+=，即3x y ==时取等号，此时2x y +取得最小值9，若228x y m m +<-有解，则298m m <-，解得9m >或1m <-，即实数m 的取值范围为(-∞，1)(9-⋃，)∞+．故选：A ．8．若函数()22,14,1x a x f x ax x ⎧-+≤-=⎨+>-⎩在R 上是单调函数，则a 的取值可以是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【正确答案】B【分析】根据已知条件及分段函数分段处理的原则，结合一次函数与二次函数的单调性即可求解.【详解】因为当1x ≤-时，函数2()2f x x a =-+为单调递增函数，又函数()f x 在R 上是单调函数，则需满足0124a a a >⎧⎨-+≤-+⎩，解得503a <≤，所以实数a 的范围为50,3⎛⎤⎥⎝⎦，所以满足范围的选项是选项B.故选：B ．9．设函数(1)f x -是定义域在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上递减，则(1)f -，(π)f ，(3)f -的大小关系是（）A ．(π)(1)(3)f f f >->-B ．(π)(3)(1)f f f >->-C ．(π)(3)(1)f f f <-<-D ．(π)(1)(3)f f f <-<-【正确答案】C【分析】令()()1g x f x =-，则()()1f x g x =+.由已知可得出()g x 在[)0,∞+上递减，根据()f x 与()g x 的关系，即可得出大小关系.【详解】令()()1g x f x =-，则()()1f x g x =+.且()g x 是定义域在R 上的偶函数，在[)0,∞+上递减.所以()(1)0f g -=，()()ππ1f g =+，()()()322f g g -=-=.由()g x 在[)0,∞+上递减，可得()()()02π1g g g >>+，即()()()13πf f f ->->.故选：C ．10．已知函数()8(0,1)2x xa a f x a a --=+>≠在区间[],ab 上的最小值为10-，则函数()f x 在区间[],b a --上的最大值为（）A ．10B ．26C ．10-D ．与a 有关【正确答案】B【分析】依题意，可得()f x 在区间[],a b ，区间[],b a --上均为单调函数，利用奇函数()(0,1)2x xa a g x a a --=>≠在区间[],ab 上的最小值为18-，可求得()g x 在区间[],b a --上的最大值，进而可得答案．【详解】()8(0,1)2x xa a f x a a --=+>≠ ，x y a =与x y a -=-单调性相同，()f x ∴在区间[],a b ，区间[],b a --上均为单调函数，又()(0,1)2x xa a g x a a --=>≠，满足()()g x g x -=-，即()g x 为奇函数，()8(0,1)2x xa a f x a a --=+>≠ 在区间[],ab 上的最小值为10-，()(0,1)2x xa a g x a a --∴=>≠在区间[],ab 上的最小值为10818--=-，()g x ∴在区间[],b a --上的最大值为18，∴函数()f x 在区间[],b a --上的最大值为18826+=.故选：B11．已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为[]1,2-，则0ax bcx b+≥-的解集为（）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】由题意可得1-和2是方程20ax bx c ++=的两个根，且a<0，再利用韦达定理求出2b ac a =-⎧⎨=-⎩，代入所求不等式求解即可．【详解】 关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为[]1,2-，1∴-和2是方程20ax bx c ++=的两个根，且a<0，∴1212b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得2b a c a =-⎧⎨=-⎩，∴不等式0ax b cx b +≥-可化为02ax aax a -≥-+，即1021x x -≤-，转化为(1)(21)0x x --≤，且210x -≠，解得112x <≤，即不等式0ax b cx b +≥-的解集为1,12⎛⎤⎥⎝⎦．故选：B ．12．已知二次函数()()22,R f x mx x n m n =-+∈，若函数()f x 的值域是[0,)+∞，且(1)2f ≤，则222211m n n m +++的取值范围是（）A ．[]0,12B ．[]1,13C ．[]2,12D ．[]3,13【正确答案】B【分析】根据二次函数的性质可得1mn =，且0m >，又因为f （1）2≤，所以14m m+≤，再结合基本不等式求解即可．【详解】解： 二次函数()()22,R f x mx x n m n =-+∈的值域是[0,)+∞，Δ440mn ∴=-=，解得1mn =，且0m >，又(1)22f m n =-+≤ ，1n m =，14m m∴+≤，()22222622222222222111111111111m n m n m m m m n m n m m m m m m +∴+=+=+==+-+++++++由14m m+≤，0m >，可得221214m m ≤+≤，221113m m ∴≤+≤即222211m n n m +++的取值范围是[]1,13．故选：B ．二、填空题13．已知幂函数()()257mf x m m x =-+是R 上的增函数，则m 的值为______．【正确答案】3【分析】根据幂函数的定义与性质，即可求出m 的值．【详解】由题意()()257mf x m m x =-+是幂函数，2571m m ∴-+=，解得2m =或3m =，又()f x 是R 上的增函数,则3m =.故3.本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题的关键是得出关于m 的方程和不等式，是基础题．14．函数x m y a n +=+(0a >且)1a ≠恒过定点(1,2)-，m n +=__．【正确答案】4-【分析】由已知，根据指数函数的性质即可求解．【详解】令0x m +=可得x m =-，此时有1y n =+.由题意可得1m -=，12n +=-，所以1m =-，3n =-，所以4m n +=-．故4-．15．若函数4,1()(21)1,1x x f x x a x x ⎧+≥⎪=⎨⎪--<⎩的值域是R ，则实数a 的取值范围是__．【正确答案】3a ≥【分析】先根据基本不等式求出1x ≥时()f x 的取值范围，然后根据a 的范围得出()f x 在(),1-∞上的单调性，求出值域．根据题意，即可得出答案.【详解】因为函数4,1()(21)1,1x x f x x a x x ⎧+≥⎪=⎨⎪--<⎩.当1x ≥时，有4()4f x x x=+≥，当且仅当2x =时等号成立.当210a -=，即12a =时，有4,1()1,1x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪-<⎩，不满足题意；当210a -<，即12a <时，()()211f x a x =--在(),1-∞上单调递减，有()()122f x f a >=-，不满足题意；当210a ->，即12a >时，()()211f x a x =--在(),1-∞上单调递增，有()()122f x f a <=-.要使()f x 的值域是R ，则应有224a -≥，所以3a ≥.综上所述，当3a ≥时，()f x 的值域是R .故答案为.3a ≥16．已知函数22,3()9,3x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若存在实数1x ，2x ，3x ，123x x x <<，有123()()()f x f x f x ==，则12322x xx ++的范围是__．【正确答案】(11,13)【分析】画出函数的图象，123()()()===f x f x f x k ，结合图象可得02k <<.然后求解即可推出12224x x +=.进而得出3x 的范围，即可．【详解】作出函数22,3()9,3x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩的大致图象如图：当3x ≤时，()222xf x =-=，解得2x =，令123()()()===f x f x f x k .由图象可知，当02k <<时，满足题意.且11<x ，212x <<.又由12()()f x f x =知，122222x x-=-，所以122222x x -=-，即12224x x +=.所以1233242x xx x ++=+.由3092x <-+<，可得379x <<，所以311413x <+<.故(11,13)．三、解答题17．已知全集U =R ，集合{}|3231A x R x =∈-≤-≤，集合1|224x B x R ⎧⎫=∈≤<⎨⎬⎩⎭.(1)求A B ⋂，A B ⋃；(2)求()R A B ⋃ð.【正确答案】(1){|01}A B x x ⋂=≤<，{|22}A B x x ⋃=-≤≤(2)(){|2R A B x x ⋃=>ð或1}x <【分析】（1）解一元一次方程、指数不等式求集合A 、B ，再根据集合的交、并运算求A B ⋂，A B ⋃.（2）由集合补运算求R A ð，再由集合并运算求()R A B ⋃ð即可.【详解】（1）由题意得，{|02}A x x =≤≤，{|21}B x x =-≤<∴{|01}A B x x ⋂=≤<，{|22}A B x x ⋃=-≤≤；（2）由（1）知：(){|2R A x x =>ð或0}x <∴(){|2R A B x x ⋃=>ð或1}x <.18．化简求值：(1)()()20.52303274920.008π18925--⎛⎫⎛⎫-+⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(2)5log 350.5551log 352log log log 145;50---【正确答案】(1)109(2)1【分析】（1）根据指数幂的运算性质可求出结果；（2）根据对数的运算性质可求出结果.【详解】（1）原式=223712123525--⎛⎫⎛⎫-+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=4722519325-+⨯+=47393-+=109.（2）原式=555log 351log 50log 143++--53550log 214⨯=-5log 1252=-35log 52=-32=-1=.19．(1)当0a >时，解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++>；(2)已知0x >，0y >，当1x y +=时，证明：224y x x y +≥，并指出取等号条件．【正确答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【分析】（1）先解出2(1)10ax a x -++=的两个根，对根的大小分类讨论，再结合一元二次不等式的解法，即可求解；（2）根据“1”的代换，结合基本不等式的解法，即可证明．然后列出等号成立的条件，求解即可.【详解】（1）由已知0a >，解2(1)10ax a x -++=可得1x =或1x a=.当11a=时，即1a =时，不等式的解集为{}|1x x ≠；当11a>时，即01a <<时，不等式的解集为{|1x x <或1x a ⎫>⎬⎭；当11a <时，即1a >时，不等式的解集为1|x x a ⎧<⎨⎩或}1x >.综上所述，当01a <<时，不等式的解集为{|1x x <或1x a ⎫>⎬⎭；当1a =时，不等式的解集为{}|1x x ≠；当1a >时，不等式的解集为1|x x a ⎧<⎨⎩或}1x >.（2）因为0x >，0y >，1x y +=，所以2222()()y x y x x y x y x y +=++2222y x x y x y y x =+++4≥+=，当且仅当22221y xx y y x x y x y ⎧=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪+=⎪⎩，即12x y ==时，等号成立．20．党的二十大报告提出“积极稳妥推进碳达峰碳中和”，降低能源消耗，建设资源节约型社会．日常生活中我们使用的LED 灯具就具有节能环保的作用，它环保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，长寿命，有效降低资源消耗．经过市场调查，可知生产某种LED 灯需投入的年固定成本为3万元，每生产x 万件该产品，需另投入变动成本()W x 万元，在年产量不足6万件时，()212W x x x =+，在年产量不小于6万件时，()81737W x x x=+-．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．(1)写出年利润()L x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式．（注：年利润=年销售收入-固定成本-变动成本）(2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？【正确答案】(1)()2153,0628134,6x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪⎩(2)年产量为9万件时，年利润最大，最大年利润是16万元．【分析】（1）根据已知条件及年利润=年销售收入-固定成本-变动成本即可求解；（2）根据分段函数分段处理的原则，利用二次函数的性质及基本不等式，再比较两者的大小即可求解．【详解】（1）由题可知，()()63L x x W x =--，所以()221163,0653,0622818134,663737,6x x x x x x x L x x x x x x x x ⎧⎛⎫⎧--+<<-+-<< ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎪==⎨⎨⎛⎫⎪⎪--+≥--+-≥ ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩；（2）当06x <<时，()()221119535222L x x x x =-+-=--+，由二次函数的性质知，对称轴为5x =，开口向下，所以当5x =时，()L x 取得最大值为()21191955222--+=；当6x ≥时，()81343416L x x x =--+≤-+=，当且仅当81x x =，即9x =时，等号成立，因为19162>，所以年产量为9万件时，年利润最大，最大年利润是16万元．21．已知函数()20.51x f x a =-+．(1)求()2f ；(2)探究()f x 的单调性，并证明你的结论；(3)若()f x 为奇函数，求满足2()(3)f ax f x <的x 的范围．【正确答案】(1)85a -;(2)单调递减函数，证明见解析；(3)10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）令2x =即可求解；（2）先求出函数的定义域，然后判断函数的单调性，再根据单调性的定义证明即可；（3）由已知求出1a =，然后根据函数的单调性得出不等式，解出即可求解．【详解】（1）令2x =，则()22820.515f a a =-=-+.（2）因为0.510x +>恒成立，所以函数()f x 的定义域为R ，函数()f x 在R 上为单调递减函数.证明如下：12,x x ∀∈R ，且12x x <，则()()1212220.510.51x x f x f x a a ⎛⎫-=--- ⎪++⎝⎭()()()121220.50.50.510.51x x x x -=++，因为12x x <，所以120.50.5x x >，所以120.50.50x x ->.又()()120.510.510x x ++>，所以12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数()f x 在R 上为单调递减函数.（3）由已知()220.50.510.51xx x f x a a -⋅-=-=-++，因为()f x 在R 上为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()220.52200.510.51xx x f x f x a a a ⋅-+=-+-=-=++，所以1a =，所以()210.51x f x =-+.由（2）知，函数为R 上的单调递减函数，则由不等式2()(3)f ax f x <可得，23x x >，解得103x <<，所以不等式的解集为1(0,3．22．设常数a ∈R ，函数2()12x a f x a=+-．(1)当0a ≥时，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；(2)当0a <时，若函数()f x 在区间[],m n ()m n <上的值域是2,2m n ⎡⎤⎣⎦，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)答案见解析；(2)()3-+.【分析】（1）当0a ≥时，结合函数奇偶性的定义，分类讨论函数()y f x =的奇偶性；（2）根据单调性的定义证明()f x 在R 上单调递增.由题意可得出m ，n 是方程2122x xa a +=-的两个不等的实根，整理可转化为2(2)(1)20x x a a -+-=有两个不等的实根，换元得到一元二次方程，求解即可得出答案.【详解】（1）①当0a =时，()1f x =.故对于任意的实数x 都有()()f x f x -=，此时函数()f x 为偶函数；②当1a =时，21()21x x f x +=-，定义域为{}|0x x ≠.因为2112()()2112x xx x f x f x --++-===-+-，所以，此时函数()f x 为奇函数；③当0a ≠且1a ≠时，函数的定义域为2{|log }x x a ≠.所以，此时函数的定义域不关于原点对称，故函数()f x 既不是奇函数又不是偶函数．综上，当0a =时，函数()f x 为偶函数；当1a =时，函数()f x 为奇函数；当0a ≠且1a ≠时，函数()f x 既不是奇函数又不是偶函数．（2）因为2()12x a f x a=+-，当0a <时，函数定义域为R .12x x ∀<，则()121222()1122x x a a f x f x a a -=+----()()211222222x x x x a a a -=⋅--.因为12x x <，所以1222x x <，所以21220x x ->.又0a <，所以120x a ->，220x a ->，所以()12()0f x f x -<，所以()12()f x f x <，所以()f x 在R 上单调递增.则由题意可得2122m m a a +=-，2122n n a a+=-，所以m ，n 是方程2122x x a a +=-的两个不等的实根，即2(2)(1)20x x a a -+-=有两个不等的实根.令20x t =>，则方程2(1)0t a t a -+-=有两个不相等的正实根，故2Δ(1)40100a a a a ⎧=++>⎪+>⎨⎪->⎩，解得30a -+<<，所以，实数a的取值范围为()3-+.。
2024-2025学年河南省郑州市高一上学期期中数学质量检测试卷(含解析)
考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章～第三章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2024-2025学年河南省郑州市高一上学期期中数学质量检测试卷.1. 已知(){}(){},3,,1A x y x y B x y x y =+==-=∣∣，则A B = （ ）A. 2,1x y ==B. ()2,1 C.(){}2,1 D. {}2,1【答案】C 【解析】【分析】利用交集定义即可求得A B⋂【详解】由31x y x y +=⎧⎨-=⎩，可得21x y =⎧⎨=⎩则A B =(){}(){},3,1x y x y x y x y +=⋂-=∣∣()(){}3=,=2,11x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭∣故选：C2. 已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列说法正确的是（ ）A. 若a b >，c d >，则a c b d +>+ B. 若a b >，c d >，则a c b d ->-C. 若a b >，c d >，则ac bd > D. 若ac bc >，则a b>【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的性质，结合举反例的方法，可得答案.【详解】对于A ，根据同向不等式具有可加性可知A 正确；对于B ，21a b =>=，24c d =->=-，但45a c b d -=<-=，故B 错误；对于C ，21a b =>=，24c d =->=-，但44ac bd =-==-，故C 错误；对于D ，当0c <时，由ac bc >，得a b <，故D 错误．故选：A ．3. 下列函数中，与函数2y x =+是同一函数的是（ ）A. 22y =+B. 2y =+C. 22x y x=+ D.y =【答案】B 【解析】【分析】通过两个函数三要素的对比可得答案.【详解】2y x =+的定义域为R ．对于A ，22y =+的定义域为[)0,+∞，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于B ，22y x =+=+定义域为R ，与2y x =+的定义域相同，对应关系相同，是同一函数；对于C ，22x y x=+的定义域为{}0x x ≠，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于D，2,2,22,2x x y x x x +≥-⎧==+=⎨--<-⎩与2y x =+对应关系不同，不是同一函数．故选：B ．4. 已知p ：0a b >> q ：2211a b<，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据0a b >>与2211a b <的互相推出情况判断出属于何种条件.【详解】当0a b >>时，220a b >>，所以2211a b<，所以充分性满足，当2211a b<时，取2,1a b =-=，此时0a b >>不满足，所以必要性不满足，所以p 是q 的充分不必要条件，的故选：A.5. 已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，则()()03f f +等于（ ）A. 3- B. 1- C. 1D. 3【答案】C 【解析】【分析】根据(3)f (3)f =--以及(0)0f =可求出结果.【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，所以()()()33321f f =--=--+=．而()00f =，∴()()031f f +=．故选：C ．6. 若0x <，则1x x+（ ）A 有最小值―2B. 有最大值―2C. 有最小值2D. 有最大值2【答案】B 【解析】【分析】运用基本不等式求解即可.【详解】因为0x <，则0x ->，所以1()()2x x -+≥=-，当且仅当1x x -=-即：=1x -时取等号.所以12x x+≤-，当且仅当=1x -时取等号.故选：B.7. 已知函数()f x 的图象由如图所示的两条曲线组成，则（ ）A. ()()35ff -= B. ()f x 是单调增函数.C. ()f x 的定义域是(][],02,3∞-⋃D. ()f x 的值域是[]1,5【答案】D 【解析】【分析】根据函数的图象，结合函数求值、函数单调性、定义域与值域，可得答案.【详解】对于选项A ，由图象可得()32f -=，所以()()()321ff f -==，A 错误；对于选项B ，()04f =，()21f =，()()02f f >，故()f x 不是单调增函数，B 错误；对于选项C ，由图象可得()f x 的定义域为[][]3,02,3-⋃，C 错误；对于选项D ，由图象可得()f x 的值域为[]1,5，D 正确．故选：D ．8. 若定义域为R 的奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()20f =，则满足20)(x f x x≥的x 的取值范围是（ ）A. [][)2,02,-⋃+∞ B. ][3,10,1⎡⎤--⋃⎣⎦C. [)[)2,02,-⋃+∞ D. [)(]2,00,2-U 【答案】D 【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，由20)(x f x x≥可得()0xf x ≥且0x ≠可得020x x <⎧⎨-≤<⎩或002x x >⎧⎨<≤⎩解得20x -≤<或02x <≤，所以满足20)(x f x x≥的x 的取值范围是[)(]2,00,2-U ，故选：D .二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上单调递增的是（ ）A. y =B. 2y x =C. yD. 1y x=【答案】BC 【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性逐项分析判断.【详解】对A ：=y =在定义域内为奇函数，又∵y =在R 上单调递增，5u x =在R 上单调递增，则y =在R 上单调递增，A 错误；对B ：∵()22x x -=，则2y x =在定义域内为偶函数，且在()0,∞+内单调递增，B 正确；对C ：y又∵当()0,x ∈+∞，y 在()0,∞+内单调递增，C 正确；对A ：∵11=--x x ，则1y x =在定义域内为奇函数，且1y x=在()0,∞+内单调递减，D 错误；故选：BC.10. 下列关于幂函数y x α=的说法正确的是（ ）A. 幂函数的图象都过点()0,0，()1,1B. 当1,3,1α=-时，幂函数的图象都经过第一、三象限C. 当1,3,1α=-时，幂函数是增函数D. 若0α<，则幂函数的图象不过点()0,0【答案】BD 【解析】【分析】由幂函数的性质逐个判断即可.【详解】对于A ，当0α<时，幂函数的图象不通过点()0,0，A 错误；对于B ，幂指数1,3,1α=-时，幂函数分别为y x =，3y x =，1y x -=，三者皆为奇函数，图象都经过第一、三象限，故B 正确；对于C ，当1α=-时，幂函数1y x -=在(),0∞-，(0,+∞)上皆单调递减，C 错误；对于D ，若0α<，则函数图象不通过点()0,0，D 正确．故选：BD ．11. 下列结论正确的是（ ）A. 函数21x y x+=的最小值是2B. 若0ab >，则2b a a b+≥C. 若x ∈R ，则22122x x +++的最小值为2D. 若0,0a b >>22a b ++≥【答案】BD 【解析】【分析】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，当0x <时，可得0y <，所以A 错误；对于B 中，因0ab >，则2b a a b +≥=，当且仅当b a a b =时，即a b =时，等号成立，所以B 正确；对于C中，由221222x x ++≥=+，当且仅当22122x x +=+时，此时方程无解，即等号不成立，所以C 错误；对于D 中，因为0,0a b >>22a b ++≥≥，当且仅当a b =时，等号成立，所以D 正确.故选BD ．12. 已知函数()f x 的定义域为A ，若对任意x A ∈，存在正数M ，使得()f x M ≤成立，则称函数为()f x 是定义在A 上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（ ）A. 3()4x f x x+=- B. ()f x =C. 25()22f x x x =-+ D. ()f x 【答案】BCD 【解析】【分析】“有界函数”值域需要有界，化简各函数，并求出函数的值域，然后进行判断.【详解】对于A ，3(4)77()1444x x f x x x x+--+===-+---，由于704x ≠-，所以()1f x ≠-，所以()[)0,f x ∈+∞，故不存在正数M ，使得()f x M ≤成立.对于B ，令21u x =-，则[]0,1u ∈，()f x =，所以()[]0,1f x ∈，故存在正数1，使得()1f x ≤成立.对于C ，令2222(1)1u x x x =-+=-+，则()5f x u=，易得1u ≥.所以()5051f x <≤=，即()(]0,5∈f x ，故存在正数5，使得()5f x ≤成立.对于D ，令t =[]0,2t ∈，24x t =-，则[]()22117()40,224f x t t t t ⎛⎫=-++=--+∈ ⎪⎝⎭，易得()1724f x ≤≤，所以()172,4f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故存在正数174，使得()174f x ≤成立.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知命题p ：x ∀∈Q ，x N ∈，则p ⌝为______．【答案】x ∃∈Q ，x ∉N 【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】因为p ：x ∀∈Q ，x ∈N ，所以p ⌝为x ∃∈Q ，x ∉N ．故答案为：x ∃∈Q ，x ∉N .14. 函数()1f x x=+的定义域为_____________.【答案】()(],00,1-∞⋃【解析】【分析】由题意列不等式组即可求得.【详解】要使函数()1f x x=有意义，只需10,0,x x -≥⎧⎨≠⎩解得：1x ≤且0x ≠，从而()f x 的定义域为()(],00,1-∞⋃.故答案为：()(],00,1-∞⋃15. 已知函数()f x 满足下列3个条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②函数()f x 在()0,∞+上单调递增；③函数()f x 无最值．请写出一个满足题意的函数()f x 的解析式：______．【答案】()21f x x=-（答案不唯一）【解析】【分析】结合函数的对称性、单调性及常见函数即可求解.【详解】由()f x 的图象关于y 轴对称知()f x 为偶函数，()f x 在(0,+∞)上单调递增，()f x 无最值，根据幂函数性质可知满足题意的一个函数为()21f x x=-.故答案为：()21f x x =-（答案不唯一）16. 已知函数()21x f x x=+，则不等式()211f x -<的解集是____________.【答案】()0,1【解析】【分析】由题可得()f x 为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，后利用()()f x f x =可得答案.【详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数.的又当0x >时，()21x f x x =+2222211x x x+-==-++单调递增.因为()f x 是偶函数，所以()f x 在(),1-∞单调递减，又因为()11f =，所以()211f x -<()()211f x f ⇔-<211121101x x x ⇔-<⇒-<-<⇒<<.故答案为：()0,1.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设全集U =R ，集合{}2680A x x x =-+=，31B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭．（1）求()U A B ⋃ð；（2）设集合(){}233,C x x a a x a =+=+∈Z ，若A C 恰有2个子集，求a 的值．【答案】（1）(){03U A B x x ⋃=≤≤ð或}4x = （2）2或4．【解析】【分析】（1）解方程和不等式求出集合,A B ，再由补集、并集运算即可求解；（2）解方程求出集合C ,再通过a 的讨论即可求解.【小问1详解】2680x x -+=，解得2x =或4，则{}2,4A =；由31x<，解得0x <或3x >，则{0B x x =<或}3x >；所以{}03U B x x =≤≤ð，(){03U A B x x ⋃=≤≤ð或}4x =．【小问2详解】因为A C 恰有2个子集，所以A C 仅有一个元素．()()()23330x a a x x x a +=+⇒--=，当3a =时，{}3C =，A C ⋂=∅，不满足题意；当2a =时，{}2,3C =，{}2A C ⋂=，满足题意；当4a =时，{}4,3C =，{}4A C ⋂=，满足题意．综上，a 的值为2或4．18. 已知函数()1f x x x=+．（1）求证：()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；（2）当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 值域．【答案】（1）证明见解析 （2）52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义，结合作差法，可得答案；（2）根据（1）的单调性，求得给定区间上的最值，可得答案.【小问1详解】证明：()12,0,1x x ∀∈，且12x x <，有()()()121221212121212121121211111x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+-+=-+-=-+=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由()12,0,1x x ∀∈，且12x x <，得210x x ->，1210x x -<，120x x >，所以()12211210x x x x x x --⋅<，即()()21f x f x <．所以()f x 在()0,1上单调递减．同理，当()12,1,x x ∈+∞，且12x x <，有()()()1221211210x x f x f x x x x x --=-⋅>．故()f x 在()1,+∞上单调递增．【小问2详解】由（1）得()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；在[]1,2上单调递增．()12f =，()15222f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()52,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故函数()f x 的值域为52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．的19. 设函数()223y ax b x =+-+.（1）若关于x 的不等式0y >的解集为{}13x x -<<，求4y ≥的解集；（2）若1x =时，2,0,0y a b =>>，求14a b+的最小值.【答案】（1）{}1（2）9【解析】【分析】（1）根据不等式的解集得到方程的根，代入求出,a b ，从而解不等式求出解集；（2）先得到1a b +=，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【小问1详解】由题知()2230ax b x +-+=的两个根分别是1-，3，则23093630a b a b +-+=⎧⎨+-+=⎩，解得1,4.a b =-⎧⎨=⎩故()2223234y ax b x x x =+-+=-++≥，2210x x -+≤，解得1x =.所求解集为{}1.【小问2详解】1x =时，2y =，即12++=a b ，所以有1a b +=，那么()1414a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭41459b a a b=+++≥+=，当且仅当41b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即1,323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，取等号.故14a b+的最小值为9.20. 已知集合(){}40A x x x =-≥，{}121B x a x a =+<<-．（1）若x A ∀∈，均有x B ∉，求实数a 的取值范围；（2）若2a >，设p ：x B ∃∈，x A ∉，求证：p 成立的充要条件为23a <<．【答案】（1）5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据二次不等式，解得集合的元素，利用分类讨论思想，可得答案；（2）根据充要条件的定义，利用集合之间的包含关系，可得答案.【小问1详解】(){}(][)40,04,A x x x ∞∞=-≥=-⋃+．因为x A ∀∈，均有x B ∉，所以A B =∅ ．当2a ≤时，B =∅，满足题意；当2a >时，10214a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得512a -≤≤，所以522a <≤．综上，52a ≤，即a 的取值范围是5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【小问2详解】证明：若p ：x B ∃∈，x A ∉为真命题，则p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为假命题．先求p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为真命题时a 的范围，因为2a >，所以B ≠∅，由p ⌝：x B ∀∈，x A ∈，得B A ⊆．则210a -≤或14a +≥，解得12a ≤或3a ≥，所以3a ≥．因为p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为假命题，所以23a <<.综上，若2a >，则p 成立的充要条件为23a <<．21. 某市财政下拨专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数1y （单位：百万元）：12710x y x =+，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数2y （单位：百万元）：20.3y x =.设分配给植绿护绿项目的资金为x （单位：百万元），两个生态项目五年内带来的生态收益总和为y （单位：百万元）.（1）将y 表示成关于x 的函数；（2）为使生态收益总和y 最大，对两个生态项目的投资分别为多少？【答案】（1）27330(0100)1010x x y x x =-+≤≤+ （2）分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元【解析】【分析】（1）由题意列式化简即可；（2）将原式变形构造成对勾函数，利用对勾函数的性质求最值即可.【小问1详解】若分配给植绿护绿项目的资金为x 百万元，则分配给处理污染项目的资金为()100x -百万元，∴272730.3(100)30(0100)101010x x x y x x x x =+-=-+≤≤++.【小问2详解】由（1）得27(10)2703(1010)2703(10)306010101010x x x y x x +-+-+⎡⎤=-+=-+⎢⎥++⎣⎦6042≤-=（当且仅当2703(10)1010x x +=+，即20x =时取等号），∴分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元，生态收益总和y 最大.22. 设函数()()2*1488,,N f x mx m mn x m m n =+-++∈ .（1）若()f x 为偶函数，求n 的值；（2）若对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，求m 的最大值.【答案】（1）2. （2）2.【解析】【分析】（1）根据函数为偶函数可得到14880m mn -+=，变形为714n m=+，结合*,1,N m n m ∈≥，即可确定答案.（2）根据对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，可得22(1488)40m mn m ∆=-+-≥恒成立，结合二次不等式的解法，讨论n 取值，即可确定答案.【小问1详解】根据题意，函数()()2*1488,R,,N f x mx m mn x m x m n =+-++∈∈为偶函数，即满足()()f x f x -=，即()()22()1488()1488m x m mn x m mx m mn x m -+-+-+=+-++，R x ∈，则14880m mn -+=变形可得：714n m =+ ，又由*,1,N m n m ∈≥ ，则 101m<≤ ， 故77111711,44444n m <+≤<≤∴ ，又N n *∈ ，则2n = ；【小问2详解】根据题意，若对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，由于*,N 0m m ∈>，则22(1488)416[(32)2][(42)2]0m mn m m n m n ∆=-+-=-+-+≥恒成立 ，当1n = 时，32(2)(1)0m m ∆=++≥ ，对*N m ∀∈都成立， 当2n =时，32(2)0m ∆=-+≥，解得2m ≤ ，又*N m ∈，则12m ≤≤ ，当3n ≥时，21232n n <-- ，则223m n ≤- 或 12m n ≥-,当 223m n ≤- 时，又由1m ≥，则n 只能取2，不符合题意，舍去，当 12m n ≥- 时，又由1m ≥，从3n =开始讨论:令1()2g n n =-,由于1()2g n n =-单调递减，故只需1(3)132m g ≥==-，此时m 的取值范围为[1,2] ；综上所述，m 的最大值为2.。
2023-2024学年河南省南阳市高一下册期中数学试题(含解析)
2023-2024学年河南省南阳市高一下册期中数学试题一、单选题1．14πsin 3=（）A B ．12-C ．12D 【正确答案】D【分析】根据给定条件，利用诱导公式结合特殊角的三角函数值计算作答.【详解】14π2π2πππsin sin(4π)sin sin(πsin 33333=+==-==故选：D2．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且30A =︒，3,4a b ==，则满足条件的三角形有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【正确答案】C【分析】根据sin b A 与,a b 的大小判断可得.【详解】因为30A =︒，3,4a b ==，1sin 422b A =⨯=，所以sin b A a b <<，所以满足条件的三角形有2个.故选：C3．若α为第三象限角且()3sin π5α-=-，则πcos 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．45-B ．35-C ．35D ．45【正确答案】B【分析】利用诱导公式化简可得所求代数式的值.【详解】因为()3sin πsin 5αα-==-，则π3cos sin 25αα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭.故选：B.4．下列说法正确的是（）A ．斜三角形的内角是第一象限角或第二象限角B ．若向量,a b 满足a b > 且,a b 同向，则a b>C ．若P A B ，，三点满足3OP OA OB =+，则P A B ，，三点共线D ．将钟表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数为π3【正确答案】A【分析】根据象限角的概念判断A ，利用向量的定义以及共线定理判断B,C ，利用任意角的定义判断D.【详解】因为斜三角形的内角是锐角或钝角，且锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，所以A 正确；因为两个向量不能比较大小，所以B 错误；由3OP OA OB =+ ，可得1341+=≠，根据向量的共线定理可知，P A B ，，三点不共线，所以C 错误；将钟表的分针拨快10分钟，则顺时针旋转了60 ，所以分针转过的角的弧度数为π3-，所以D 错误，故选:A.5．将函数()cos 3y x φ=+的图象沿x 轴向左平移12π个单位后，得到的函数的图象关于原点对称，则ϕ的一个可能值为（）A ．712π-B ．4π-C ．4πD ．512π【正确答案】C【分析】先求平移后的函数解析式，然后根据对称性求解可得.【详解】将函数()cos 3y x φ=+的图象沿x 轴向左平移12π个单位后的函数为cos 3(cos(3)124y x x ϕϕππ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，因为cos(3)4y x ϕπ=++的图像关于原点对称，所以π42k ππϕ+=+，即π4k πϕ=+，当0k =时，4πϕ=.故选：C6．已知函数()()tan f x A x ωϕ=+π02ϕϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭,，()y f x =的部分图象如图，则7π24f ⎛⎫=⎪⎝⎭（）A ．23B 3C ．33-D ．3【正确答案】C【分析】由图象可求得π2T =，2ω=.然后根据3π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合ϕ的取值即可推出π4ϕ=，根据()01f =，求出1A =，即可得出()πtan 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.然后将7π24x =代入，即可得出答案.【详解】由图象可知，3πππ8842T -==，所以π2T =.由ππ2T ω==可得，2ω=，所以()()tan 2f x A x ϕ=+.又3π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以3πtan 04A ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3ππ,4k k ϕ+=∈Z ，所以3ππ,4k k ϕ=-+∈Z .因为π2ϕ<，所以π4ϕ=，()πtan 24f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又()01f =，所以πtan 14A A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1A =，所以()πtan 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以7π7ππ5π3tan 2tan 2424463f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.7．在ABC 中，1,90AC BC C ==∠=︒．P 为AB 边上的动点，则PB PC ⋅的取值范围是（）A ．1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,18⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,28⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【正确答案】B【分析】以C 为坐标原点建立合理直角坐标系，求出直线AB 所在直线方程为1y x =-+，设(),1P t t -+，得到231248PB PC t ⎛⎫⋅=-- ⎪⎝⎭，利用二次函数的性质即可求出其值域.【详解】以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴，y轴，建立直角坐标系，则()()0,1,1,0A B ，直线AB 所在直线方程为1y x =-+，设(),1P t t -+，[]0,1t ∈，则()1,1PB t t =-- ，(),1PC t t =--，()()223111248PB PC t t t t ⎛⎫⋅=--+-=-- ⎪⎝⎭ ，当0=t 时，()max1PB PC ⋅= ，当3t 4=时，()min18PB PC⋅=-，故其取值范围为1,18⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选：B.8．在锐角三角形ABC 中，下列结论正确的是（）A ．()() cos cos cos sin CB >B ．()() cos sin cos cos A B >C ．()()cos sin cos cos C B >D ．()()cos sin cos cos A A >【正确答案】A 【分析】利用2B C π+>，即022C B ππ<-<<，结合余弦函数的单调性可判断ABC ，取特值可判断D.【详解】因为ABC 为锐角三角形，所以2B C π+>，所以022C B ππ<-<<，所以1sin sin()cos 02B C C π>>-=>所以()() cos cos cos sin C B >，故A 正确；同理，1sin cos 0A B >>>，所以cos(sin )cos(cos )A B <，故B 错误；同上，1sin cos 0C B >>>，所以()()cos sin cos cos C B <，故C 错误；又4A π=时，cos(sin )cos(cos )44ππ=，故D 错误.故选：A二、多选题9．下列四个命题为真命题的是（）A ．若向量a 、b 、c ，满足//a b r r ，//b c，则//a cr r B ．若向量()1,3a =- ，()2,6b =r ，则a 、b可作为平面向量的一组基底C ．若向量()5,0a = ，()4,3b = ，则a 在b 上的投影向量为1612,55⎛⎫⎪⎝⎭D ．若向量m 、n满足2m = ，3n = ，3m n ⋅=，则m n += 【正确答案】BC【分析】取0b =，可判断A 选项；利用基底的概念可判断B 选项；利用投影向量的概念可判断C 选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若0b = 且//a b r r ，//b c ，则a 、c不一定共线，A 错；对于B 选项，若向量()1,3a =- ，()2,6b =r ，则()1623⨯≠⨯-，则a 、b不共线，所以，a 、b可作为平面向量的一组基底，B 对；对于C 选项，因为向量()5,0a = ，()4,3b = ，所以，a 在b上的投影向量为()2220cos ,4,325b a b a b a a b a b b b a b b⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅1612,55⎛⎫= ⎪⎝⎭，C 对；对于D 选项，因为向量m 、n满足2m = ，3n = ，3m n ⋅= ，则m n +，D 错.故选：BC.10．已知函数()()11sin cos sin cos 22f x x x x x =+--，则下面结论正确的是（）A ．()f x 的对称轴为()ππ4x k k =+∈Z B ．()f x 的最小正周期为2πC ．() fx ，最小值为1-D ．()f x 在π5π,44⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减【正确答案】ABC【分析】化简函数()f x 的解析式，作出函数()f x 的图象，逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为πsin cos 4x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，当()π2π2ππ4k x k k ≤-≤+∈Z 时，即当()π5π2π2π44k x k k +≤≤+∈Z 时，sin cos 0x x -≥，即sin cos x x ≥，此时，()()()11sin cos sin cos cos 22f x x x x x x =+--=；当()π2ππ2π4k x k k -≤-≤∈Z 时，即当()3ππ2π2π44k x k k -≤≤+∈Z 时，sin cos 0x x -≤，即sin cos x x ≤，此时，()()()11sin cos cos sin sin 22x x x x f x x =+--=.所以，()()3ππsin ,2π2π44π5πcos ,2π2π44x k x k f x k x k x k ⎧-≤≤+⎪⎪=∈⎨⎪+<<+⎪⎩Z .作出函数()f x的图象如下图中实线所示：对于A 选项，由图可知，函数()f x 的图象关于直线3π4x =-、π4x =、5π4x =对称，对任意的k ∈Z ，π1ππ1ππ2πsin 2πcos 2πsin 2πcos 2π2222222f k x k x k x k x kx ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-++--+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()()1111cos sin cos sin sin cos sin cos 2222x x x x x x x x f x =+--=+--=，所以，函数()f x 的对称轴为()ππ4x k k =+∈Z ，A 对；对于B 选项，对任意的x ∈R ，()()()()()112πsin 2πcos 2πsin 2πcos 2π22f x x x x x +=+++-+++⎡⎤⎣⎦()()11sin cos sin cos 22x x x x f x =+--=，结合图象可知，函数()f x 为周期函数，且最小正周期为2π，B 对；对于C 选项，由A 选项可知，函数()f x 的对称轴为()ππ4x k k =+∈Z ，且该函数的最小正周期为2π，要求函数()f x 的最大值和最小值，只需求出函数()f x 在π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，因为函数()f x 在π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以，当π5π,44x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，()()min πcos π1f x f ===-，因为ππsin 442f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，5π5ππsin sin 4442f ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，所以，()max π4f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭因此，()f x 的最大值为2，最小值为1-，C 对；对于D 选项，由C 选项可知，函数()f x 在π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，D 错.故选：ABC.关键点点睛：本题考查函数的基本性质，解题的关键在于化简函数解析式，结合函数的图象进行判断.11．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是ABC 内一点，BOC 、AOC 、AOB 的面积分别为A S 、B S 、C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.设O 是锐角ABC 内的一点，BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠分别是ABC 的三个内角，以下命题正确的有（）A ．若230OA OB OC ++=，则::1:2:3A B C S S S =B ．2OA OB == ，5π6AOB ∠=，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S = C ．若O 为ABC 的内心，3450OA OB OC ++= ，则π2C ∠=D ．若O 为ABC 的重心，则0OA OB OC ++=【正确答案】ACD【分析】利用“奔驰定理”可判断A 选项；求出C S ，结合“奔驰定理”可判断B 选项；利用“奔驰定理”可得出::a b c 的值，结合勾股定理可判断C 选项；利用重心的几何性质结合“奔驰定理”可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为230OA OB OC ++=，由“奔驰定理”可知::1:2:3A B C S S S =，A对；对于B 选项，由2OA OB == ，5π6AOB ∠=，可知1225π6in1s 2C S =⨯⨯⨯=，又2340OA OB OC ++=，所以::2:3:4A B C S S S =，由1C S =可得，12A S =，34B S =，所以1391244C ABC A B S S S S ++==++= ，B 错；对于C 选项，若O 为ABC 的内心，3450OA OB OC ++=，则::3:4:5A B C S S S =，又111::::::222A B C ar br cr a b c S S S ==（r 为ABC 内切圆半径），所以，222a b c +=，故π2C ∠=，C 对；对于D 选项，如下图所示，因为O 为ABC 的重心，延长CO 交AB 于点D ，则D 为AB 的中点，所以，2OC OD =，12AOD BOD C S S S ==△△，且12AOD B S S =△，12BOD A S S =△，所以，A B C S S S ==，由“奔驰定理”可得0OA OB OC ++=，D 对.故选：ACD.12．已知函数()() sin (0)f x x ωϕω=+>，且()f x 在区间2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则下列结论正确的有（）A ．() f x 的最小正周期是π3B ．若2π5π036f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．若π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象与()f x 的图象重合，则满足条件的ω有且仅有1个D ．若π6ϕ=-，则ω的取值范围是[]221,24,5⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦【正确答案】BCD【分析】利用单调区间长度不超过周期的一半，求出周期范围即可判断A ；根据中心对称求值即可判断B ；利用函数平移求出6k ω=()k ∈Z ，再结合A 选项即可判断C ；结合已知单调区间得出ω范围后即可判断D ．【详解】对于A ，因为函数()f x 在区间2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以5π2ππ2636T ≥-=，所以()f x 的最小正周期π3T ≥，即()f x 的最小正周期的最小值为π3，故A 错误；对于B ，由2π5π036f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的图像关于点3π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，所以3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，由π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象与()f x 的图象重合，则π3为函数()f x 的周期或周期的倍数，所以2ππ3k ω⨯=，所以6k ω=()k ∈Z ，再结合A 选项知π3T ≥，所以2π6T ω=≤，又0ω>，所以06ω<≤，所以6ω=，即满足条件的ω有且仅有1个，故C 正确；对于D ，由题意可知2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭为()πsin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递减区间的子集，所以2πππ2π3625ππ3π2π662k k ωω⎧-≥+⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，其中k ∈Z ，解得123125k k ω+≤≤+()k ∈Z ，当0k =时，12ω≤≤，当1k =时，2245ω≤≤，故ω的取值范围是22[1,2]4,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 正确．故选：BCD ．思路点睛：本题考查正弦型函数的奇偶性、单调性、周期性等知识的综合应用；求解此类问题的基本思路是采用整体对应的方式，将x ωϕ+看作一个整体，对应正弦函数的图象和性质来研究正弦型函数的性质．三、填空题13．请写出终边落在射线y =()0x ≥上的一个角___________(用弧度制表示).【正确答案】π3（满足π2π,3k k +∈Z 即可，答案不唯一）【分析】写出射线上一点，根据三角函数的定义，可求得tan θ=.【详解】设θ的终边落在射线y =()0x ≥上，则θ为第一象限角，取y =()0x ≥上的一个点(A ，根据三角函数的定义可得，tan 1θ==又θ为第一象限角，所以π2π,3k k θ=+∈Z ，取0k =，可得π3θ=.故答案为.π314．在平行四边形ABCD 中，点M 为AB 的中点，点N 在BD 上，M N C ，，三点共线，若DN NB λ=，则λ=_______________.【正确答案】2【分析】由已知可推得，11NB DB λ=+.结合图象及已知，用,AB AD 表示出111211MN AB AD λλ⎛⎫ ⎪++⎝⎭=-+ 以及12MC AB AD =+ .然后根据三点共线，得出μ∃∈R ，有MN MC μ=.然后列出方程组，即可求出答案.【详解】取基底{},AB AD ，由图可知DB AB AD =-，因为DN NB λ=，所以()1B D DN N B B N λ=++= ，所以11NB DB λ=+ ，显然1λ≠-.又M 是AB 的中点，所以12MB AB =，所以MN MB BN MB NB =+=- ()11112211AB DB AB AB AD λλ=-=-+-+112111AB AD λλ=⎛⎫ ⎪++⎝⎭-+ .又12MC MB BC AB AD =+=+ ，M N C ，，三点共线，所以μ∃∈R ，有MN MC μ=，即1112211AB AD AB AD λμμλ-⎫+⎛ ⎪++⎝+⎭= .因为,AB AD 不共线，所以有1121211μλμλ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得213λμ=⎧⎪⎨=⎪⎩.故答案为.215．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数s (6)6co y a A x π⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦（x =1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温为28℃；12月份的月平均气温为18℃，则10月份的平均气温为___________℃.【正确答案】20.5/412【分析】根据题意列出方程组，求出a ，A ，求出年中12个月的平均气温与月份的关系，将x ＝10代入求出10月份的平均气温值．【详解】据题意得28A a =+，18A a =-+解得5A =，23a =所以235cos (6)6y x π⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦令10x =得2235cos (106)235cos20.563y ππ⎡⎤=+-=+=⎢⎥⎣⎦.故20.5四、双空题16．H 为ABC 所在平面内一点，且满足222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ |则点H 为ABC 的_________心.若7AB = ,5AC =uuu r ，π3C =，则AH AC ⋅= ___________【正确答案】垂5【分析】由平面向量数量积的运算性质可得出HC AB ⊥，同理可得HA BC ⊥，HB AC ⊥，结合垂心的定义可得出结论；由平面向量数量积的运算性质可求出AB AC ⋅uu u r uuu r的值，再利用垂心的几何性质结合平面向量数量积的运算性质可求得AH AC ⋅的值.【详解】因为222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ ，则2222HA CB HB CA +=+ ，即2222HA HB CA CB -=- ，即()()()()HA HB HA HB CA CB CA CB -⋅+=-⋅+ ，即()()BA HA HB BA CA CB ⋅+=⋅+ ，即()()20BA HA CA HB CB BA HA AC HB BC BA HC ⋅-+-=⋅+++=⋅= ，所以，HC AB ⊥，同理可得HA BC ⊥，HB AC ⊥，故点H 为ABC 的垂心，因为()222222π22cos3AB CB CACB CA CA CB CB CA CA CB =-=+-⋅=+-⋅ 252549CB CB =-+= ，即25240CB CB --=，因为0CB ≥ ，解得8CB =，因此，()222224925264CB AB ACAB AC AB AC AB AC =-=+-⋅=+-⋅=，解得5AB AC ⋅=，因此，()5AH AC AB BH AC AB AC BH AC AB AC ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=.故垂；5.五、解答题17．已知向量a ，b满足2a = ，3b = .(1)若//a b ，求a b ⋅ ;(2)若a 与b的夹角为60︒，求()()2a b a b -⋅+ .【正确答案】(1)6或6-(2)2【分析】（1）分为a ，b方向相同，以及方向相反，分别计算，即可得出答案；（2）根据数量积的定义求出3a b ⋅=，然后根据数量积的运算律，展开即可得出答案.【详解】（1）若a ，b方向相同，则236a b a b ⋅=⋅=⨯= ；若a ，b方向相反，则236a b a b ⋅=-⋅=-⨯=- .（2）由已知可得，1cos 602332a b a b ⋅=⋅=⨯⨯︒= ，所以()()22222222332a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=⨯+-= .18．某同学用“五点作图法”画函数()()(sin >02f x A x πωϕωϕ=+<，在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：(1)请将上表数据补充完整，并求出函数()f x 的解析式；(2)若()()f x m m =∈R 在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上有两根，求m 的取值范围.【正确答案】(1)表格见解析，()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)【分析】（1）根据表格数据可得A 和周期，然后可得ω，带点可得ϕ；（2）令24t x π=+，将问题转化为sin t =[,]44t π5π∈上有两个根，然后根据正弦函数的性质求解可得.【详解】（1）补充表格:最小值为可知A =又12522882T ωππππ=⋅=-=，故2ω=再根据五点作图法，可得282ϕππ⋅+=，得4πϕ=，故()2.4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)令24t x π=+，则[,]44t π5π∈所以()f x =m t m =在[,]44t π5π∈上有两个根.即sint =[,]44t π5π∈上有两个根.由sin y t =在[,]44t π5π∈的图像和性质可得：12<,所以1m ≤<故实数m 的取值范围为19．已知向量()1,2cos a x =，()sin ,cos b x x = ．(1)求a r的取值范围；(2)求a b ⋅的最大值．【正确答案】(1)⎡⎣(2)178【分析】（1）依题意先求出a = ，再结合cos x 的二次式即可求得a r 的取值范围；（2）依题意先求出21172sin 48a b x ⎛⎫⋅=--+ ⎪⎝⎭ ，再结合sin x 的二次式即可求得a b ⋅ 的最大值．【详解】（1）因为()1,2cos a x = ，所以a = 又cos 1x ≤，则20cos 1x ≤≤，所以2114cos 5x ≤+≤，所以a ⎡=⎣ ．（2）因为()1,2cos a x =，()sin ,cos b x x = ，则222117sin 2cos 22sin sin 2sin 48a b x x x x x ⎛⎫⋅=+=-+=--+ ⎪⎝⎭，所以当1sin 4x =时，a b ⋅ 取得最大值，且最大值为178．20．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为3a =，5b =，7c =.（1）求ABC 的三个角中最大角的大小；（2）秦九韶是我国古代最有成就的数学家之一，被美国著名科学史家萨顿赞誉“秦九韶是他那个民族，他那个时代，并且确实也是那个时代最伟大的数学家之一”.他的数学巨著《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是有世界意义的重要贡献；他提出的三斜求积术S =.试用余弦定理推导该公式，并用该公式求ABC 的面积.【正确答案】（1）120︒；（2）4.（1）根据大边对大角得到C 为最大角，利用余弦定理求出cos C 的值，即可确定出C 的度数；（2）利用三角形面积公式1sin 2S ac B =，以及22sin cos 1B B +=，且222cos 2a c b B ac+-=，从而证明结论的成立，代入3a =、5b =、7c =即可求出三角形ABC 面积．【详解】（1）∵3a =、5b =、7c =∴角C 最大.由余弦定理得：2222223571cos 22352a b c C ac +-+-==-⨯⨯，又角C 为ABC 内角，∴120C =︒.（2）在ABC 中，1sin 2S ac B =∵22sin cos 1B B +=，且222cos 2a c b B ac+-=∴111sin 222S ac B ====.当3a =、5b =、7c =时，154S =，即ABC .此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题.21．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量(),e b c =，()sin ,sin f C B = ，() ,g c a b a =--．(1)若e f，求证：ABC 为等腰三角形；(2)若e g ⊥ ，2a =，π3A =求ABC 的面积．【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据题意得到sin sin b B c C =，再根据正弦定理可得到²²b c =，进而即可证明结论；（2）根据题意化简整理可得到bc b c =+，再根据余弦定理即可得到4bc =，进而即可求得ABC 的面积．【详解】（1）因为(),e b c = ，()sin ,sin f C B = ，且e f ，所以sin sin b B c C =，由正弦定理可得22b cb c R R⋅=⋅，所以²²b c =，所以ABC 为等腰三角形．（2）因为(),e b c =，(),g c a b a =-- ，且e g ⊥ ，所以()()(),,20b c c a b a bc a b c ⋅--=-+=，又2a =，则bc b c =+，因为2a =，π3A =，则由余弦定理可得22π42cos3b c bc =+-，解得4bc =，所以ABC 的面积为11sin 4222ABC S bc A ==⨯⨯=22．已知函数()()π2cos 20).2f x x ωϕωϕ=++<<<<，请在下面的三个条件中任选两个解答问题.①函数()f x 的图像过点(0；②函数()f x 的图像关于点12⎛ ⎝对称；③函数()f x 相邻两个对称轴之间距离为2.(1)求函数()f x 的解析式；(2)当()2,0a ∈-时，是否存在实数a 满足不等式()322f a f a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭？若存在，求出a 的范围，若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)()ππ2cos 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)存在，35,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】对于小问(1)，由图像过(0可以求ϕ的值，由函数()f x 相邻两个对称轴之间距离可以求ω的值，结合上述两个条件之一，再由函数()f x 的图像关于点12⎛ ⎝对称可以求ω或ϕ的值.对于小问(2)，由轴对称的性质把不等式()322f a f a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭转化为()221124a a ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭进行求解.【详解】（1）选择①②:因为函数()f x 的图像过点(0，所以()02cos f ϕ=+，解得cos 2ϕ=，因为π02ϕ<<，所以π4ϕ=，因为函数()f x 的图像关于点12⎛ ⎝对称，则()1πππZ 242k k ω⨯+=+∈，可得()π2πZ 2k k ω=+∈，因为02ω<<，所以π02k ω==，，所以()ππ2cos 24f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭选择①③:若函数()f x 的图像过点(所以()02cos f ϕ=+，解得cos ϕ=02πϕ<<，所以4πϕ=因为函数()f x 相邻两个对称轴之间距离为2，所以22T =，所以2π44T ω==，，解得.π2=ω所以()ππ2cos 24f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭选择②③:因为函数()f x 相邻两个对称轴之间距离为2，所以22T =，所以2π44T ω==，，解得.π2=ω若函数()f x 的图像关于点12⎛ ⎝对称，则()π1ππZ 222k k ϕ⨯+=+∈可得()ππZ 4k k ϕ=+∈，因为02πϕ<<所以π04k ϕ==，，所以()ππ2cos 24f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2)当()2,0a ∈-时，3532,222a ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，令53,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()πππ,π24x +∈-，记ππ24x m +=，则()12π3πππ3ππ2πππ,π,2242444m a a m a ⎛⎫⎛⎫=++=+∈-=+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()322cos 2f a f a y m ⎛⎫+>= ⎪⎝⎭，()π,πm ∈-轴对称，所以m m <₁₂，即ππππ24a a +<+，所以()221124a a ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭，即()()21228150,23650a a a a ++<++<，解得：3526a -<<-所以实数a 的范围是.35,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭。
山东省淄博第一中学2023-2024学年高一上学期期中教学质量检测数学试题
山东省淄博第一中学2023-2024学年高一上学期期中教学质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________3x>9（3）解不等式()f lnx >0.21．已知函数()()()2log 424,x x f x b g x x =+×+=.（1）当=5b -时，求()f x 的定义域；（2）若()()f x g x >恒成立，求实数b 的取值范围.22．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ³时，()21,0122,1xx x f x x ì-+£<=í-³î．（1）求当0x <时，()f x 的解析式；（2）若对任意的[]1,x m m Î-，不等式()()2f x f x m -£+恒成立，求实数m 的取值范围．()()()()12120f x f x f x f x +-=->，即()()12f x f x >，故函数()f x 为R 上的减函数，()f x \在[],m n 上的最大值为()f m ，选项B ，C 错误；()10f x ->等价于()()10f x f ->，又()f x 为R 上的减函数，故10x -<，解得1x <，选项D 正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数的奇偶性与单调性，解题方法是赋值法．赋值时注意函数性质的定义，如奇偶性中需要出现()f x -()f x 的关系，因此有令y x =-这个操作．13．(1,2)【详解】当1x =时，()()13222a f log +=＝－.所以函数()()322(01)a f x log x a a +>¹＝－，恒过定点(1,2).14．1-或16【分析】分0,0a a >£两种情况分别求出()f a 的表达式，得到关于a 的方程，解方程即可.【详解】当0a >时，由题意知，()2log 4f a a ==，解得16a =符合题意；当0a £时，由题意知，()234f a a a =-=，解得4a =（舍），1a =-符合题意；综上可知，实数a 的值为16或1-.故答案为: 16或1-.。
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蒙城八中高一期中质量检测数学试卷
命题人：曹立平
友情提示：亲爱的同学，请你保持轻松的心态，认真审题，仔细作答，发挥
自己正常的水平，相信你一定行，预祝你取得满意的成绩。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1、若集合A={－1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B=_________
A、{0，1} B、{－1，0，1}
C、{0，1，2} D、{－1，0，1，2}
2、若集合A={x|－1≤x≤2}，B={x|x<1}，则A∩B=_________
A、{x|x<1} B、{x|－1≤x≤2}
C、{x|－1≤x<1} D、{x|－1≤x≤1}
3、f(x)=)1lg(－x11x的定义域是_________
A、（－∞，－1） B、（1，+∞）
C、（－1，1）∪（1，+∞） D、（－∞，+∞）
4、已知f(x)=）（）（020log3xxxx，则f[f(91)]=_________
A、4 B、41 C、－4 D、－41
5、f(x)=)13(2logx的值域为_________
A、（0，+∞） B、[0，+∞] C、（1，+∞） D、[1，+∞]
6、设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x+b（b为常数），
则f（－1）=________
A、－3 B、－1 C、1 D、3
7、下列计算正确的是________
A、923aa）（ B、1loglog3262 C、02121aa D、)4(3)4(3log2log2
8、已知f(x)=)1(2logx，若f(x)=1，则x=_______
A、0 B、1 C、2 D、3
9、若x∈(4，+∞)，则x2，2x，x2log的大小关系为_______
A、x2>2x>x2log B、2x> x2>x2log C、2x> x2log>x2 D、x2>x2log>2x
10、函数f(x)的图象如右图所示的折线
段OAB，点A的坐标为（1，2），点B的坐
标为（3，0），定义函数g(x)=f(x)·（x－1），
则函数g(x)的最大值为______
A、0 B、2
C、1 D、4
2
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11、设集合A={－1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，则实数a的值为
____________
12、2934loglog=_____________
13、函数f(x)=)82(52logxx的单调增区间是____________
14、函数f(x)=）（xxxx02)0(1，若f(x)+f(1)=0，则x=_____________
15、给定函数①y=21x②y=)1(21logx③y=|x－1|④y=2x+1，其中在区间（0，1）
上单调递减的函数的序号是________________
三、解答题（本大题共6小题，满分75分）
16、（12分）
（1）计算：31221)6427()5lg2lg972（）（
（2）解方程：3log)96(3x
17、（12分）
（1）设nmaa43loglog，，求a2m+n的值。
（2）设x32log，求xxxx2212222的值。 （2）设A={x|－2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m－1}，且BA，求实数m 20、（13分）设函数f(x)=)(2logxxba，并且f(1)=1，f(2)=122log 21、（14分）设f(x)=1222·xxaa为奇函数，求： 蒙城八中高二第一次月考数学答题卷 题号 11、________________12、________________13、________________ 装 线 班 _ 座 17、（12分） 18、（12分） 20、（13分）
18、（12分）
（1）设A={x|－3
的取值范围。
19、（12分）设函数f(x)=x2－2|x|－1（－3≤x≤3）
（1）求证：f(x)是偶函数（用定义证明） （2）画出这个函数的图象
（3）指出函数f(x)的单调区间（不要证明） （4）求函数f(x)的值域
（1）求a、b的值。 （2）当x∈[1，2]时，求f（x）的最大值。
（1）实数a的值。
（2）判断函数f(x)的单调性并用定义法证明。
（3）求满足：f(1－m)+f(1－m2)<0的m的取值范围。
3
命题人：曹立平
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
14、________________15、________________
三、解答题（本大题共6小题，满分75分）
16、（12分）
订
级
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姓
名
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考
场
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位
号
4
5
19、（12分）
6
21、（14分）