(1505)相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)

相似三角形性质和判定专项练习30题(有答案）1．已知：如图,在△ABC中，点D在边ＢC上,且∠BAC＝∠DＡG,∠ＣＤＧ=∠ＢAD．（1)求证:=;(2）当GC⊥BC时，求证：∠ＢAC=9０°．２．如图，已知在△ABＣ中，∠ACB=9０°，点D在边BC上，CE⊥AB，ＣF⊥AＤ，E、F分别是垂足. （1)求证：AC2=AＦ•AD;(2）联结EF，求证：AE•ＤB=AD•EＦ.3．如图，△ＡＢC中，PＣ平分∠ACＢ,PB=PC．(１)求证:△AＰC∽△ＡCB；（2）若AＰ=２,PＣ=6，求ＡC的长．4.如图,在平行四边形ＡＢＣＤ中,过Ｂ作BＥ⊥CD,垂足为点E，连接AE，F为ＡE上一点,且∠ＢFE=∠C．（１)求证:△ＡBＦ∽△EAD;（2)若AB=4，∠BＡＥ=3０°，求AＥ的长．5．已知：如图，△ABC中,∠AＢC=2∠C，BD平分∠ABC．求证:AB•ＢＣ＝AC•CＤ．6.已知△ABC，∠ACB=90°,AC=BC，点E、Ｆ在ＡB上,∠ECＦ=45°，设△ABC的面积为S,说明AF•BE=２S的理由．7.等边三角形AＢC的边长为６，在AC,BC边上各取一点Ｅ,F,连接AF,BE相交于点P．(１）若ＡＥ=CF；①求证：AF=BＥ，并求∠APB的度数;②若ＡE＝2，试求AP•AF的值;(2）若AF=BＥ,当点E从点Ａ运动到点Ｃ时,试求点P经过的路径长．８．如图所示，AＤ，BE是钝角△ABC的边BC,ＡC上的高,求证:=.9．已知:如图，在△ABＣ中,AB＝ＡC，DＥ∥ＢＣ，点F在边AC上,DF与BE相交于点G,且∠ＥＤF=∠ＡＢE. 求证：(１）△DEF∽△BDE；（２)DＧ•DF=ＤB•EF.１0.如图，△AＢC、△DEF都是等边三角形,点Ｄ为ＡB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交ＡC于G、H两点,BC＝2,问E在何处时ＣH的长度最大？11．如图，AＢ和CD交于点O，当∠A=∠C时,求证：OA•OB＝OC•ＯD．12．如图,已知等边三角形△AEC，以AＣ为对角线做正方形ABCD(点B在△AＥC内，点D在△ＡEＣ外).连接EB,过Ｅ作ＥF⊥AB,交AＢ的延长线为F.（1）猜测直线BE和直线AC的位置关系，并证明你的猜想.（２)证明:△BＥF∽△ABC,并求出相似比.１3．已知：如图,△AＢC中，点Ｄ、E是边AB上的点,CＤ平分∠ECB，且BＣ2=BＤ•BA.(１)求证:△CED∽△AＣD；（2)求证:．1４．如图,△AＢC中,点D、E分别在ＢC和AC边上，点Ｇ是BE边上一点,且∠BAD=∠ＢGD=∠C,联结AＧ．（１）求证：ＢD•ＢＣ=ＢG•BＥ；（2)求证:∠BGA＝∠ＢＡC.15.已知:如图,在△AＢC中,点D是BＣ中点,点Ｅ是AC中点,且AD⊥ＢC,BE⊥AC,BE,AD相交于点G,过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F，DＦ=6.（1）求AE的长;(２）求的值.16.如图，△ABＣ中，∠AＣB=90°,Ｄ是AB上一点,M是CD中点,且∠ＡMD=∠BMＤ,ＡP∥ＣD交BC延长线于P 点，延长BM交PA于N点，且ＰＮ=ＡN.（1）求证:ＭＮ=ＭA；(２)求证：∠CDＡ=2∠ACＤ．17．已知:如图,在△ABＣ中，已知点D在BＣ上，联结AD，使得∠CＡＤ=∠B，ＤC=3且S△ACD：S△ADB﹦１﹕2．(1)求AＣ的值;（2）若将△AＤＣ沿着直线ＡD翻折，使点C落点E处,AE交边BC于点F,且AＢ∥DＥ,求的值．1８.在△ABC中,D是BC的中点，且AD=AＣ，DＥ⊥ＢC，与AＢ相交于点E,ＥC与AD相交于点F．(1）求证：△ABC∽△FCD；(2）若DE=3，BC=8,求△FCD的面积．19．如图,△AＢC为等边三角形,D为BＣ边上一点,以AD为边作∠ＡＤE＝６0°，DE与△ABC的外角平分线CE交于点E．（1）求证：∠ＢAＤ=∠ＦDＥ;（2)设DE与AC相交于点G,连接AＥ,若ＡＢ=6,AＥ=5时,求线段AG的长．2０．如图所示,△ABC中，∠B＝９0°，点Ｐ从点A开始沿AＢ边向B以1ｃm/s的速度移动，点Q从Ｂ点开始沿BＣ边向点C以２cm/s的速度移动.（１)如果P，Q分别从A,B同时出发,经几秒，使△PBＱ的面积等于８cm2？(2）如果P，Q分别从A,B同时出发,并且P到B后又继续在BC边上前进,Q到Ｃ后又继续在CA边上前进，经过几秒,使△PCQ的面积等于１2.6ｃm２?21.已知：如图，△AＢC是等边三角形,Ｄ是AB边上的点，将DB绕点D顺时针旋转6０°得到线段DE，延长ＥD 交AC于点F,连接ＤC、ＡＥ.(1）求证：△AＤE≌△DFC;（2)过点E作EH∥ＤC交DB于点G,交BC于点H，连接AH.求∠AHE的度数；（３)若ＢG=，ＣH=2，求BC的长．22．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB,BE∥BC交AＣ于点E.（1）求证：ＡE•BＣ=AＣ•ＣE；（2)若S△ＡＤE：S△ＣＤE=4:3.5,ＢC=15,求CE的长.23．如图，四边形ABCＤ中,ＡＣ平分∠ＤAB，∠ＡDC=∠ACB=９0°,Ｅ为AＢ的中点,（1）求证:AC2=AB•AD;（2)求证:CE∥AD;(3）若AＤ=4,ＡB＝6，求的值.２4.在△ABC中,∠ＣAB=９0°,AD⊥ＢC于点D,点E为AB的中点，EC与AD交于点Ｇ,点F在BC上．(1)如图１，AC:AB=1：２,ＥＦ⊥CＢ，求证:EF=CD.(2）如图2,ＡC:ＡB=1：，ＥF⊥CE,求EF：EＧ的值．２5．如图,Ｍ、Ｎ、P分别为△ABＣ三边AB、ＢC、ＣＡ的中点，BP与ＭＮ、ＡN分别交于E、F. (1）求证:BF=２FP;(２)设△ABＣ的面积为S,求△NEF的面积.２６.在Ｒt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D，Ｅ、Ｆ分别是AC,BC边上一点,且CE＝AＣ,BＦ＝BC，（1)求证:;（2)求∠ＥDＦ的度数.27.如图,△ABC是等边三角形,且AB∥CE．（1）求证：△ABD∽△ＣED；(２）若AＢ=6,ＡＤ=2CＤ,①求E到BC的距离EH的长.②求BE的长.2８．如图,Rt△ＡB′C′是由Rt△ＡBC绕点Ａ顺时针旋转得到的,连接CC′交斜边于点E,ＣC′的延长线交BB′于点F．（1)若AC=3,ＡＢ=4,求;(2)证明：△AＣE∽△FBＥ；（３)设∠ＡBC=α,∠ＣＡC′＝β，试探索α、β满足什么关系时,△ACE与△FBE是全等三角形,并说明理由.2９．如图，△ＡBC是等边三角形,∠DＡE=120°，求证：(1）△ＡBD∽△ECA；(2)BC2=DB•ＣE．30．如图，在Rt△ＡＢC中，∠C=90°,且AC＝CD=,又Ｅ,D为CB的三等分点.（1)证明：△ADE∽△BDＡ；（2)证明：∠ＡＤＣ=∠AEＣ+∠Ｂ；(3)若点P为线段AB上一动点,连接ＰE，则使得线段PE的长度为整数的点P的个数有几个？请说明理由．ﻬ相似三角形性质和判定专项练习30题参考答案:１．解：(1）∵∠AＤC=∠Ｂ+∠BＡD,且∠CDＧ＝∠BＡD,∴∠ＡDG=∠B；∵∠BAC=∠DAG，∴△ＡＢC∽△AＤＧ,∴=.（2）∵∠ＢAC=∠DAG,∴∠ＢAＤ=∠CAG；又∵∠ＣDG=∠ＢAD，∴∠ＣDG=∠CAＧ，∴Ａ、Ｄ、C、Ｇ四点共圆,∴∠DＡＧ+∠DCG=180°;∵ＧＣ⊥ＢC，∴∠DCＧ＝９０°，∴∠DAG＝9０°，∠BＡＣ＝∠DAG=90°.2.解：(1）如图，∵∠ACB=９０°，CＦ⊥AD,∴∠ACD=∠AFC,而∠CAD＝∠FAC，∴△ACD∽△ＡＦC,∴,∴AC２＝ＡF•AD.（2）如图，∵ＣE⊥AB,CＦ⊥AD,∴∠AＥＣ=∠AFC＝90°，∴A、E、F、C四点共圆,∴∠AＦE=∠ACE;而∠ACＥ+∠CAE=∠CAE+∠Ｂ，∴∠AＣE=∠B,∠AFE=∠Ｂ；∵∠FAE＝∠BAD，∴△AＥF∽△ＡDB,∴ＡE:AＤ=BＤ：ＥF，∴ＡE•ＤB=AD•EF.３．解:（１)∵ＰＢ＝PC,∴∠Ｂ＝∠PＣB;∵ＰＣ平分∠ACB,∴∠AＣP=∠PCB,∠B＝∠ACP，∵∠A=∠A，∴△APC∽△ACB.(2)∵△APC∽△ＡCB,∴,∵AP=2，PC＝6，AB=8，∴ＡC=4．∵AP＋AＣ=ＰC=6，这与三角形的任意两边之和大于第三边相矛盾，∴该题无解.4．（1）证明:∵AD∥BＣ,∵∠BＦE=∠C，∴∠AFB＝∠ＥＤＡ，∵AB∥DＣ,∴∠BＡE=∠ＡED,∴△ABＦ∽△EAD；（２）解:∵AB∥ＣD，BE⊥ＣＤ，∴∠ABE＝９０°,∵AB=4，∠BAE=30°,∴AE=2BE,由勾股定理可求得AE=5.证明:∵∠ABC=２∠C，BD平分∠ABC, ∴∠ABＤ＝∠DBC=∠C，∴BD=CD,在△AＢＤ和△ACB中,，∴△AＢD∽△ACＢ，∴=，即AB•ＢC=AＣ•ＢD，∴AB•ＢＣ=AC•CD.6.证明:∵AC＝ＢC,∴∠A=∠Ｂ，∵∠ＡCB=９0°，∴∠A=∠B＝45°,∵∠ＥCF＝４5°,∴∠ECF=∠B=45°,∴∠ECF+∠1=∠B＋∠１,∵∠BＣE=∠ＥCF+∠1,∠2＝∠B＋∠１；∴∠BCＥ＝∠２,∵∠A=∠Ｂ，∴△ACF∽△BＥＣ．∴,∴AC•BC=BE•AＦ,∴Ｓ△ABC=AＣ•BC=BE•AF,∴AF•ＢE=2S．7.（1)①证明：∵△ABC为等边三角形，又∵ＡE=CF,在△ＡBE和△ＣＡF中,,∴△ABＥ≌△ＣAF(ＳAS),∴AF=ＢE，∠ＡBＥ=∠ＣAＦ.又∵∠AＰE=∠BPF=∠ABP+∠ＢＡＰ，∴∠AＰE＝∠BAP+∠CAF=60°.∴∠AＰB＝1８0°﹣∠APE＝1２0°.②∵∠Ｃ=∠AＰＥ＝60°,∠ＰAE=∠CAF，∴△AＰE∽△ACＦ,∴，即，所以ＡP•AF=12（２)若AＦ=BE,有AE=BF或AＥ＝CF两种情况.①当AE=ＣF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AＣ的中点的时候,点P经过弧AＢ的中点，此时△ABP为等腰三角形,且∠ABP=∠BAP=30°，∴∠AＯＢ=1２０°,又∵AＢ=6,∴OA=，点P的路径是.②当AE=BF时，点P的路径就是过点C向ＡB作的垂线段的长度；因为等边三角形ＡＢC的边长为６,所以点P 的路径为:．所以，点P经过的路径长为或3．8．证明:∵AＤ,ＢE是钝角△ABC的边ＢＣ，AC上的高,∴∠Ｄ＝∠E=９0°,∵∠ＡＣD＝∠BCＥ，∴△ACD∽△BCE，∴=．9.证明：(１）∵AＢ=AC,∴∠ABＣ=∠ACB,∵DE∥ＢＣ,∴∠ABC+∠BDE=180°，∠ＡCＢ+∠ＣEＤ=180°.∵∠EＤF=∠ABE,∴△DEF∽△BDＥ;（2)由△DEF∽△BＤＥ,得.∴DE2=DＢ•EＦ，由△ＤＥＦ∽△BDE,得∠ＢＥＤ＝∠ＤＦＥ．∵∠GDＥ=∠EDF,∴△GDE∽△EＤF．∴,∴ＤE2=DG•DF，∴DG•DF=DＢ•EF.10．解：设EC=x，CH＝y，则BE=２﹣x,∵△ＡBC、△DEF都是等边三角形，∴∠B=∠DEF=60°,∵∠B+∠BDE=∠DＥF+∠HEC,∴∠BDE=∠ＨEC,∴△BED∽△CHＥ,∴，∵ＡB=BC=２,点D为AB的中点,∴BＤ=1，∴,即：y=﹣x2+2x=﹣(x﹣１）２+１．∴当x=1时,y最大.此时，Ｅ在ＢＣ中点１１．解：∵∠A=∠Ｃ，∠AＯD＝∠BＯＣ, ∴△ＯＡＤ∽△OCB,∴=,∴OＡ•ＯB=ＯC•ＯＤ．1２.解：（１）猜测ＢＥ和直线ＡC垂直．证明：∵△ＡEＣ是等边三角形,∴AＥ=CE,∵四边形AＢCD是正方形,∴AＢ=CＢ，∵BE＝BE,∴△AEB≌△CEB(ＳSＳ）.∴∠ＡEB＝∠CEB，∵AE＝CE,∴BE⊥AC;（2)∵△AEC是等边三角形,∴∠ＥAＣ＝∠AEＣ=60°,∴∠BEA＝∠AＥＣ=30°，∵四边形ＡＢCＤ是正方形，∴∠BAC=４5°，∴∠ＢAＥ＝15°,∴∠EBF=45°,∵EF⊥BF,∴∠Ｆ=9０°，∴∠EBF=∠BＡC,∠F=∠AＢC,∴△BＥF∽△AＣB,延长EＢ交AC于Ｇ,设ＡC为2ａ，则BG=a，EB=ａ﹣a, ∴相似比是:===13．证明:(１)∵BC2=ＢD•ＢA，∴ＢＤ：BC=BC：BA，∵∠B是公共角,∴△BCD∽△BＡＣ，∴∠BＣD=∠A,∵CD平分∠ECB，∴∠ＥCD＝∠BCD,∴∠ECD=∠A，∵∠EDＣ=∠CDA，∴△CED∽△ACD；(2)∵△BCD∽△BAC，△ＣEＤ∽△ACＤ,∴=，=，∴.14.证明:（1）∵∠DＢG＝∠ＥBC，∠ＢGD=∠Ｃ,∴△BDＧ∽△ＢEＣ，∴=，则ＢＤ•BC=BG•ＢE;（2）∵∠DＢＡ=∠ABC，∠BAD=∠C,∴△ＤBＡ∽△ＡBC,∴＝,即AB2=BＤ•ＢＣ，∵BD•ＢC=ＢG•BE，∴AB2=ＢＧ•BＥ,即=,∵∠GＢA＝∠ＡＢＥ，∴△GBA∽△ＡBE，∴∠BＧA＝∠BＡC.１５.解:（１)∵在△AＢC中,点D是BC中点，点Ｅ是AC中点,且ＡD⊥BC,ＢE⊥AＣ，∴AC=AB＝ＢC，∴△ＡBC是等边三角形,∴∠C=60°,∵ＢＦ∥AC，∴∠ＣBF=∠C=６0°，∵AD⊥ＢC,∴∠FＤB=９0°,∴∠F=30°,∵ＤF＝６，∴BD=２,∵AE=EC=BD=DC，∴ＡＥ=2；(２)∵∠BDF=９0°，∠Ｆ=３0°，BD＝2，∴BF=2DB=4,∵AC∥BＦ,∴△AEＧ∽△FBG，∴=（)2=.１6．证明：（1)∵AＰ∥CＤ，∴∠AMＤ=∠ＭAN,∠ＢMD=∠ＭNA，∵∠ＡMD＝∠ＢMD,∴∠MAＮ=∠MＮA，∴ＭN=MA.（2)如图,连接NC，∵ＡＰ∥CD，且PN=AN．∴==，∴CN为直角△ＡＣP斜边AＰ的中线，∴CN=ＮＡ,∠NCA=∠ＮAC，∵ＡＰ∥CD,∴∠ＮAC=∠ACD，∴∠NCＭ=２∠ACD,∵∠CMN=∠DMＢ,∠DＭA=∠BＭD,∴∠CMD=∠DＭＡ,在△CＭN和△DMA中，，∴△CMN≌△DMA（SＡS），∠ADＭ＝∠ＮCM=2∠ＡCD．即:∠CＤA=２∠ACD. 17．解:（1）∵S△ＡＣD：S△ADＢ﹦1:2,∴ＢD=2CD,∵ＤC＝3,∴BD=2×3=6，∴BC=BD+ＤC=6+3=9,∵∠ＣAD=∠Ｂ,∠C=∠C，∴△ＡＢC∽△DAC,∴＝，即=，解得ＡC＝3；（2)由翻折的性质得，∠E=∠C，DＥ=CD=３,∵AB∥DE，∴∠B=∠EＤF，∵∠ＣAＤ＝∠B，∴∠ＥＤＦ=∠ＣAD，∴△EFD∽△ＡＤC，∴＝（)2=（)2=18.（１)证明：∵Ｄ是ＢC的中点，ＤE⊥BC，∴BE=CE，∴∠B=∠DＣF,∵ＡD=AC，∴∠ＦDC=∠ACB,∴△ＡBC∽△FＣD；(2)解:过A作AG⊥CD，垂足为G.∵AＤ=AC,∴BD:BG=2：3,∵EＤ⊥BC,∴EＤ∥AG,∴△ＢDE∽△BGＡ，∴ED：AG=BD:BG=２:3,∵DE=3，∴AG=,∵△AＢC∽△FCＤ,BＣ＝2CD,∴＝(）２=．∵S△ABC=×ＢＣ×ＡG=×8×＝１8，∴S△ＦCＤ=S△ＡBC=．19.(1)证明：∵△ABC为等边三角形,∴∠B=６0°，由三角形的外角性质得，∠AＤＥ+∠FDE=∠ＢＡD+∠B，∵∠ADＥ＝60°，∴∠ＢAD=∠FDE;（2)解:如图,过点D作ＤH∥AＣ交ＡB于H,∵△AＢC为等边三角形,∴△BＤH是等边三角形，∴∠ＢHD＝6０°,BＤ=ＢH，∴∠AHD=1８0°﹣６0°=12０°，∵CＥ是△ＡBC的外角平分线，∴∠AＣE=(18０°﹣60°）=60°,∴∠DCE=６0°+60°=１20°,∴∠AHD=∠DCE=１20°，又∵AH=ＡB﹣BH，ＣＤ=BC﹣BＤ，∴AＨ＝CD，在△AＨD和△DＣＥ中，，∴△AHD≌△ＤCＥ（AＳA),∵∠ADＥ=６0°，∴△ＡDE是等边三角形,∴∠ＤAE=∠ＤＥA=60°,AE=AD=5,∵∠BＡD=∠BAC﹣∠CＡＤ=6０°﹣∠CＡＤ,∠ＥAG=∠DAE﹣∠ＣAＤ=60°﹣∠ＣAD，∴∠BAD=∠EAG,∴△ＡBD∽△AＥG,∴=,即=,解得AG=.20．解:（１）设ｘ秒时，点Ｐ在AＢ上，点Q在BC上，且使△PBQ面积为8ｃm2,由题意得（6﹣x）•２x=8，解之，得x1=２，x2=4,经过2秒时，点Ｐ到距离B点4ｃm处,点Ｑ到距离B点４cｍ处;或经４秒，点P到距离B点2cm处,点Q到距离B点8ｃm处，△PＢQ的面积为8ｃm2，综上所述，经过２秒或4秒,△PBQ的面积为８ｃm2；（２）当P在ＡＢ上时，经x秒,△ＰＣＱ的面积为：×PB×CＱ=×（6﹣ｘ）(8﹣2x)=1２.6,解得:x１＝（不合题意舍去)，x2=,经x秒，点P移动到ＢC上，且有CP=(14﹣x)ｃm,点Q移动到CA上,且使CQ=（2ｘ﹣8）ｃm,过Q作QD⊥CB，垂足为D，由△ＣＱD∽△CAＢ得，即QＤ=，由题意得(１4﹣x)•=12.6,解之得x1＝7,ｘ2＝１1．经７秒，点P在ＢC上距离C点7ｃm处,点Q在ＣA上距离C点6ｃｍ处,使△PCQ的面积等于１2.6ｃm２.经11秒，点Ｐ在BC上距离C点3ｃm处，点Q在ＣA上距离Ｃ点14cm处，1４>１0，点Ｑ已超出CA的范围，此解不存在.综上所述，经过7秒和秒时△PCQ的面积等于12．６cm221.(１）证明：如图，∵线段ＤB顺时针旋转60°得线段DE，∵△ABC是等边三角形，∴∠Ｂ＝∠AＣＢ=６０°．∴∠EDＢ=∠Ｂ．∴ＥF∥BC．∴DB=ＦＣ，∠ADF=∠AFＤ＝６0°.∴ＤE=DB=FC,∠ADＥ=∠ＤFC=120°,△ADＦ是等边三角形．∴AD=DF.∴△ＡＤE≌△DFC.(2）解:由△ＡDＥ≌△DFＣ,得AＥ＝DＣ,∠1＝∠2.∵ＥＤ∥BC,ＥH∥DC，∴四边形ＥHCＤ是平行四边形.∴EH=DＣ,∠３=∠4．∴ＡE＝EＨ．∴∠ＡEＨ＝∠1＋∠３=∠2+∠4=∠ACB=６0°.∴△ＡEH是等边三角形.∴∠ＡHE=６0°．(３)解:设BH＝x,则AC=BC=BＨ+ＨC＝ｘ+２,由（2）四边形EＨCD是平行四边形,∴EＤ＝HC.∴DE＝DB＝HC=FC=2．∵EH∥DC，∴△BＧH∽△BDC．∴.即.解得x=1．∴ＢC=3．22.(1）证明:∵DE∥BＣ，∴∠ADE=∠B,∠AEC＝∠ACB,∴△ＡDE∽△ＡＢC,∴=,∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BＣD,∴∠ＢCD=∠DCE，∴∠DCＥ=∠ＥDC，∴DE=CＥ,∴=,即AＥ•ＢＣ=AＣ•ＣE; （2)∵S△AＤＥ：S△ＣDE=4：3.5, ∴AＥ:CＥ=4:3.5，∴=,∵由(1）知=，∴=，解得DＥ=６，∵DE=ＣＥ,∴CE＝8.23.(１）证明:∵AC平分∠DＡB，∴∠DAC=∠ＣＡB，∵∠ADＣ=∠ACB=9０°，∴△ADC∽△ＡCB，∴ＡD:ＡＣ=AC：ＡB,∴AC2＝ＡB•AＤ;(２)证明：∵E为AB的中点，∴CE=AＢ=AE，∴∠EAＣ＝∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CＥ∥AD;（３）解：∵CＥ∥AD，∴△AFD∽△ＣFE,∴AＤ：ＣＥ=AF:ＣF,∵ＣＥ=AＢ，∴CE=×6=3,∵AD=4,∴，∴.２４.(1）证明:如图1,在△ABC中,∵∠CAB＝90°，AD⊥BＣ于点Ｄ,∴∠ＣAD=∠B=90°﹣∠ＡCB．∵AＣ:AB=１:2，∴AB=2ＡC,∵点E为ＡB的中点，∴ＡB＝2BE，∴ＡC=ＢE．在△ＡＣD与△BEＦ中,，∴△ACＤ≌△BＥF，∴CＤ＝EＦ,即EＦ=CD;(２）解：如图２，作EＨ⊥AD于H,EQ⊥BC于Q, ∵EH⊥AＤ,EQ⊥BC,AＤ⊥BC,∴四边形EQDH是矩形，∴∠QEＨ=９０°，∴∠FEQ=∠GEＨ=90°﹣∠QＥG,又∵∠EQF＝∠EＨG＝90°,∴△EFQ∽△ＥGH,∴EF:EＧ=EQ:EＨ．∵AC：AB=1：，∠ＣAB=90°，∴∠B＝30°．在△BＥQ中，∵∠BQE=90°，∴sinＢ==，∴ＥQ=BE．在△ＡEＨ中，∵∠ＡHE=9０°，∠AEH＝∠B=3０°, ∴cｏs∠AEH＝＝，∴ＥＨ＝AE.∵点E为AＢ的中点,∴BE=ＡＥ，∴EＦ:ＥG=EQ:EH=BE:AE=1:=：3.２5.(１）证明：如图1,连接PN,∵N、P分别为△ＡBC边ＢC、CA的中点，∴PＮ∥AB，且.∴△ABF∽△NPF，∴．∴BF=2FＰ．（２）解:如图2，取ＡF的中点G,连接MG, ∴MG∥ＥＦ，AＧ=ＧF＝FＮ．∴△NEF∽△NMG，∴S△NEF=Ｓ△MNG=×Ｓ△AMＮ＝××S△AＢC=S．26．(１)证明：∵CD⊥AＢ，∴∠ＣDＢ＝∠ADＣ=90°,∴∠ACＤ+∠BCD=90°,∵∠ＡＣB=9０°,∴∠Ａ+∠ACＤ=９0°，∴∠Ａ=∠BCＤ，∴△AＤＣ∽△ＣDB,∴=；(2）解：∵ＣE=ＡC，ＢF=ＢＣ，∴==＝,又∵∠A＝∠BCD，∴∠ＡＣD＝∠B，∴△CED∽△ＢFD,∴∠ＣDE=∠BＤF，∴∠ＥＤF=∠EDC+∠ＣＤＦ＝∠BDＦ+∠ＣＤＦ=∠ＣDB=90°．27.解;（1）∵AB∥CE，∴∠A=∠DCE,又∵∠ADＢ=∠EDC，∴△ＡBD∽△CED;(2)①过点E作EH⊥BＦ于点Ｈ，∵△ABC是等边三角形,△ABD∽△ＣＥＤ，AＢ＝６，AD=2ＣＤ, ∴＝=，∠A＝∠ACＢ=60°，∴CE=３，∵AＢ∥ＣE，∴∠Ａ＝∠DCE＝60°,∴∠ECH=1８0°﹣∠ＡCB﹣∠DCE=１8０°﹣60°﹣6０°=6０°,∴EH＝CE•ｓin6０°=３×=;②在Rt△ECＨ中,∵∠ECＨ=6０°，ＣＥ=3，∴CH=CE•cｏs6０°=3×＝,∴ＢＨ=ＢC+CＨ=6＋=,∴ＢE=＝＝3.28．（1）解:∵AC=AC′，AＢ=ＡＢ′，∴由旋转可知:∠CAB=∠C′AB′，∴∠ＣAＢ+∠EAC′=∠Ｃ′AB′＋∠EAＣ′，即∠CAC′＝∠BＡＢ′,又∵∠ＡCB＝∠AC′Ｂ′=90°,∴△ACC′∽△ＡBB′,∵AC＝3，AB＝4，∴=＝；（2）证明:∵Rｔ△ＡB′C′是由Rｔ△AＢＣ绕点A顺时针旋转得到的，∴AC=ＡＣ′,AB=AＢ′，∠CAB=∠C′AB′,(1分）∴∠CＡＣ′=∠BAＢ′,∴∠ABB′＝∠AB′Ｂ=∠ACC′=∠ＡC′Ｃ,∴∠ACＣ′=∠ABＢ′，（3分)又∵∠AEＣ=∠FEB,∴△ACＥ∽△FＢＥ.（４分)(3)解：当β=２α时,△ACE≌△FＢＥ．理由：在△AＣC′中，∵ＡC=AC′，∴∠ＡCC′=∠AC′C＝===90°﹣α,(6分)在Rt△ABＣ中,∠ACC′+∠ＢＣE=9０°,即90°﹣α+∠BCE=90°,∴∠ＢＣE＝９0°﹣90°＋α=α，∵∠ABC=α，∴∠ABＣ=∠BＣE，（８分)∴CE＝BE,由（2）知:△ACE∽△FBE,∴△AＣE≌△FBE.(９分）29.证明：(1)∵△ABＣ是等边三角形,∠DＡE=１20°，∴∠DAB+∠CAＥ=６0°，∵∠ＡBＣ是△AＢD的外角，∴∠ＤAＢ+∠Ｄ=∠AＢC=60°，∴∠CAE＝∠D，∵∠AＢC=∠ＡCB=60°,∴∠ABD＝∠ＡCE=１2０°,∴△ABD∽△ECA；（２）∵△ABＤ∽△ECＡ,∴＝，即AＢ•AC=BD•CＥ,∵AＢ=ＡＣ=BC,∴ＢＣ2=BD•ＣE３０.（1)证明:∵AC=CＤ=DE=ＥB＝，又∠C＝9０°,∴AD=2，∴=,==,∴＝,又∵∠ＡDE=∠BＤＡ，∴△ADＥ∽△BDA;（2)证明：∵△ＡDＥ∽△BDＡ,∴∠DＡE=∠B，又∵∠AＤC＝∠AEＣ+∠DＡＥ,∴∠ＡDC=∠AＥＣ＋∠B；（３)解：∵点P为线段ＡＢ上一动点,根据勾股定理得:ＡE=＝,BＥ=，∴ＰE的最大值为.作EF⊥AB,则EF=,则PＥ的最小值为∴≤ＥP≤，∵ＥＰ为整数,即EＰ＝1,2,3，结合图形可知PＥ=1时有两个点，所以PE长为整数的点P个数为4个.。