不等式本章练测必修5人教B版
高中数学 3.2 均值不等式例题与探究素材 新人教B版必修5
3.2 均值不等式典题精讲例1 已知a 、b 、c 是正实数，求证：cabb ac a bc ++≥a+b+c. 思路分析：由于要证的不等式两边都是三项,而我们掌握的均值不等式只有两项,所以可以考虑多次使用均值不等式.证明：∵a、b 、c 是正实数， ∴b ac a bc b ac a bc •≥+2=2c （当且仅当bac a bc =，即a=b 时，取等号）， a c ab b ac c ab b ac 22=•≥+（当且仅当c ab b ac =，即b=c 时，取等号）， a bc c ab a bc c ab •≥+2=2b （当且仅当cab a bc =，即a=c 时，取等号）. 上面3个不等式相加,得c abb ac a bc •+•+•222≥2a+2b+2c（当且仅当a=b=c 时，取等号）. ∴c ab b ac a bc ++≥a+b+c. 绿色通道：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，直接推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，其逻辑关系是A ⇒B 1⇒B 2⇒B 3⇒…⇒B n-1⇒B n ⇒B. （条件）−−−−−−−−→−必要条件逐步探求不等式成立的（结论）其思路是“由因导果”，即从“已知”，推向已知的“性质”，从而逐步推向“未知”. 变式训练 已知a,b,c 都是正实数，且a+b+c=1. 求证：33232323≤+++++c b a .思路分析：本题可看成求左边式子的最大值，把左边配成积的形式，同时对等号成立的条件进行估计.证明:23)23(3)23(++≤•+a a ,同理,23)23(3)23(++≤•+b b ,23)23(3)23(++≤•+c c ,三个不等式相加，得3)23(3)23(3)23(•++•++•+b b a ≤296)(3++++c b a .整理，得33232323≤+++++c b a （当且仅当a=b=c=31时,等号成立）.例2 x ＜23时，求函数y=x+328-x 的最大值. 思路分析：本题是求两个式子和的最大值,但是x·328-x 并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一些技巧进行变形.可以变为y=21（2x-3）+328-x +23,再求最值.解：y=21（2x-3）+328-x +23=-（x x 238223-+-）+23， ∵当x ＜23时，3-2x ＞0，∴x x x x 2382232238223-•-≥-+-=4，当且仅当x x 238223-=-，即x=-21时,取等号. 于是y≤-4+23=25-，故函数有最大值25-. 绿色通道：本题的关键是根据分母,对整式变形，从而凑出定值，同时要兼顾到正数的前提，当然本题也可作一个代换，如令3-2x=t ，则t ＞0，把y 转化为关于t 的函数，再求最值就显得简洁明了.变式训练1 已知x ＞0，y ＞0且5x+7y=20，求xy 的最大值.思路分析：要注意均值不等式的正用和逆用，利用均值不等式求最值需三个条件：①正；②定；③相等.解：xy=351·5x·7y≤720)275(3512=+•y x . 当且仅当5x=7y ，即x=2，y=710时取等号.∴xy 的最大值为720.变式训练2 若正数a ，b 满足ab=a+b+3，则ab 的取值范围是_____________. 思路分析：本题的条件中同时存在和与积的形式,而所求的为积的范围，所以保留积的式子，把积放在不等式中去考察，方法是均值不等式放缩.或者利用函数法来解决.方法一：由ab=a+b+3≥ab 2+3（等号成立条件为a=b ），整理,得ab-ab 2-3≥0，（ab -3）（ab +1）≥0.∴ab ≥3，∴ab≥9. 方法二：由ab=a+b+3，可得b=13-+a a （a ＞0，b ＞0），∴a＞1，又ab=a·13-+a a =［（a-1）+1］13-+a a =（a+3）+13-+a a =a-1+4+9514)1(2514)1(141=+--≥+-+-=-+-a a a a a a ,等号成立条件为a-1=14-a ，即a=3. 答案：［9，+∞)例3 求y=xx sin 22sin +（0＜x ＜π）的最小值. 思路分析：在运用基本不等式求最值时，经常会出现不满足“正数、定值、等号”的情形，这就要求通过分类、换元、凑配等方法与技巧，使问题转化为符合基本不等式的模型，对于等号取不到的情形，常要讨论函数的单调性，再作出判断.本题的关键是等号取不到时，通过代换，转化为研究新的函数的单调性，再求得原来函数的最值. 解：∵0＜x ＜π，∴0＜sinx≤1.设t=2sin x，t∈（0，21］，则sinx=2t ，∴y=t+t 1（0＜t≤21）.可证明函数y=t+t 1,当t∈（0，21］时为减函数.∴当t=21，即2sin x =21，sinx=1，x=2π时，y 有最小值2+21=25.∴y min =25.黑色陷阱：本题易忽略等号成立的条件,而得出错误的解法和答案:∵0＜x ＜π，∴0＜sinx≤1.∴y=xx x x sin 22sin 2sin 22sin •≥+=2.∴y min =2. 变式训练 已知函数f （x ）=xax x ++22，x∈［1，+∞).（1）当a=21时，求函数f （x ）的最小值； （2）若对任意x∈［1，+∞)，f （x ）＞0恒成立，试求实数a 的取值范围.思路分析：把均值不等式与函数结合，是求函数最值的有效途径，（1）中当等号不成立时，通过研究函数的单调性求最小值.（2）中恒成立问题可转化为函数的最值问题，注意合理转化.（1）解：当a=21时，f （x ）=221++xx ， ∵f（x ）在区间［1，+∞）上为增函数， ∴f（x ）在区间［1，+∞）上的最小值为f （1）=27. （2）解法一：在区间［1，+∞）上，f （x ）=xa x x ++22＞0恒成立⇔x 2+2x+a ＞0恒成立.设y=x 2+2x+a ，则y=x 2+2x+a=（x+1）2+a-1在x∈［1，+∞）上递增， ∴当x=1时，y min =3+a.于是只需3+a ＞0时，函数f （x ）恒成立，故a ＞-3.解法二：f （x ）=2++xax ，x∈［1，+∞）， 当a≥0时，函数f （x ）的值恒为正，当a ＜0时，函数f （x ）递增，故当x=1时，f （x ）min =3+a ，于是只需3+a ＞0时，函数f （x ）＞0恒成立，故a ＞-3.解法三：在区间［1，+∞)上,f （x ）=xa x x ++22＞0恒成立⇔x 2+2x+a ＞0恒成立⇒a ＞-x 2-2x 恒成立. 又∵x∈［1，+∞),∴a 应大于u=-x 2-2x ，x∈［1，+∞)的最大值,∴a＞-（x+1）2+1，x=1时u 取得最大值-3， ∴a＞-3.例4 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m 3，深为3 m ，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元? 思路分析：利用均值不等式解决有关的应用题主要是建立数学模型,构造函数及定值,然后求最值,这里主要是建立造价的函数表达式.解：设水池底面一边的长度为x m ，另一边的长度为d m ，则d=x34800. 又设水池总造价为y 元.根据题意，得y=150×34800+120（2×3x+2×3×x 34800） =240 000+720（x+x 1600）≥240 000+720×2x·x1600=297 600，当且仅当x=x1600，即x=40时，y 取得最小值297 600.答:水池底面一边长40 m 时,总造价最低为297 600元.绿色通道：实际应用问题的求解方法：①建立目标函数；②求目标函数的最值.注意根据条件和要求的结论设变量.还要注意求最值时的三个条件.如果等号成立的条件不成立，则应该从函数的性质入手，考虑函数的单调性.变式训练 设计一幅宣传画，要求画面面积为4 840 cm 2,画面的宽与高的比为λ(λ＜1),画面的上、下各留8 cm 的空白，左、右各留5 cm 的空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈［32,43］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？思路分析：建立数学模型，把问题转化为函数的最值问题来解决，主要是用均值不等式及函数的性质相结合求函数最小值.解：设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx 2=4 840,设纸张面积为S cm 2,则S=(x+16)(λx+10)=λx 2+(16λ+10)x+160,将x=λ1022代入上式,得S=5000+)58(1044λλ+,当λλ58=,即λ=85(85＜1)时,S 取得最小值.此时高x=λ4840=88 cm,宽λx=85×88=55 cm. 如果λ∈［32,43］,可设32≤λ1＜λ2≤43,则由S 的表达式,得 S(λ1)-S(λ2)=)58)((1044)5858(104421212211λλλλλλλλ--=--+.又853221>≥λλ,故2158λλ-＞0. ∴S(λ1)-S(λ2)＜0.∴S(λ)在区间［32,43］内单调递增. 从而对于λ∈［32,43］,当λ=32时，S(λ)取得最小值.答：画面高为88 cm,宽为55 cm 时，所用纸张面积最小.如果要求λ∈［32,43］,当λ=32时，所用纸张面积最小.问题探究问题 某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高.当住第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低.设住第n 层楼时，环境不满意程度为n8.则此人应选第几层楼？导思：解本题的关键是基本不等式的应用. 探究：设不满意程度为y.由题意知，y=n+n8. ∵n+24828=⨯≥nn n . 当且仅当n=n8,即n=22时取等号. 但考虑到n ∈N +，∴n≈2×1.414=2.828≈3. 答：此人应选3楼，不满意度最低.。
高二数学必修5(人教B版)第三章同步检测3-4
3.4 不等式的实际应用基础巩固一、选择题1．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定在( )A ．每个95元B ．每个100元C ．每个105元D ．每个110元[答案] A[解析] 设每个涨价x 元，则利润y ＝(x ＋10)(400－20x )＝－20x 2＋200x ＋4000，∴当x ＝20040＝5时，y 取得最大值．故每个售价为95元时利润最大．2．在面积为S (S 为定值)的扇形中，当扇形中心角为θ，半径为r 时，扇形周长最小，这时θ、r 的值分别是( )A ．θ＝1，r ＝SB ．θ＝2，r ＝4S C ．θ＝2，r ＝3S D ．θ＝2，r ＝S[答案] D[解析] S ＝12θr 2⇒θ＝2Sr2，又扇形周长P ＝2r ＋θr ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫r ＋S r ≥4S ， 当P 最小时，r ＝Sr ⇒r ＝S ，此时θ＝2.3．设计用32m 2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通规定车厢宽为2m，则车厢的最大容积是()A．(38－373)m3B．16m3C．42m3D．14m3[答案] B[解析]设长方体长为a m，高为h m，则有2a＋2(2h)＋2(ah)＝32，即a＋2h＋ah＝16，∴16≥22ah＋ah，即(ah)2＋22·ah－16≤0，解得0<ah≤22，∴ah≤8，∴V＝2ah≤16.4．做一个面积为1m2，形状为直角三角形的铁架框，在下面四种长度的铁管中，最合理(够用，又浪费最少)的是() A．4.6m B．4.8mC．5m D．5.2m[答案] C[解析]设直角三角形两直角边长分别为x，y，则12xy＝1，即xy＝2.周长l＝x＋y＋x2＋y2≥2xy＋2xy＝(1＋2)×2≈4.83，当且仅当x＝y时取等号．考虑到实际问题，故选C.二、填空题5．光线透过一块玻璃，其强度要减弱110.要使光线的强度减弱到原来的13以下，至少需这样的玻璃板________块．(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)[答案]11[解析]设至少需要经过这样的n块玻璃板，则，(1－110)n<13，即n·lg910<lg13∴n>lg 1 3lg 910＝－lg32lg3－1＝－0.47712×0.4771－1≈10.45.又∵n∈N＋，∴n＝11.6．建造一个容积为8m3，深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低造价为__________元．[答案]1760[解析]设水池的底面长、宽分别为x m，y m，则2xy＝8，xy＝4.水池造价为z元．则z＝120xy＋2(2x＋2y)×80＝480＋320(x＋y)≥480＋320×4＝1760.三、解答题7．某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧用砖墙，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．计算：(1)仓库底面积S的最大允许值是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？[解析](1)设正面铁栅长x m，侧面长为y m，总造价为z元，则z＝40x＋2×45y＋20xy＝40x＋90y＋20xy，仓库面积S＝yx.由条件知z≤3 200，即4x＋9y＋2xy≤320.∵x>0，y>0，∴4x＋9y≥24x·9y＝12xy.∴6S ＋S ≤160，即(S )2＋6S －160≤0. ∴0<S ≤10，∴0<S ≤100. 故S 的最大允许值为100m 2.(2)当S ＝100m 2时，4x ＝9y ，且xy ＝100. 解之得x ＝15(m)，y ＝203(m)．答：仓库面积S 的最大允许值是100m 2，此时正面铁栅长15m. 8．某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本(即需另增加投入)0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售的收入函数为R (x )＝5x －12x 2(万元)，(0≤x ≤5)，其中x 是产品生产并售出的数量．(单位：百台)(1)把利润表示为年产量的函数．(2)年产量为多少时，企业所得利润最大？ (3)年产量多少时，企业才不亏本．(不赔钱)? [解析] (1)设利润为y .则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧R (x )－0.5－0.25x (0≤x ≤5)R (5)－0.5－0.25x (x ＞5)，∴y ＝⎩⎨⎧－12x 2＋4.75 x －0.5(0≤x ≤5)12－0.25x (x ＞5).(2)y ＝－12(x －4.75)2＋10.78125∴x ＝4.75时即年产量为475台时企业所得利润最大．(3)要使企业不亏本，须y ＞0即⎩⎨⎧0≤x ＜5－12x 2＋4.75 x －0.5＞0或⎩⎪⎨⎪⎧12－0.25x ＞0x ≥5. 2．65＜x ＜5或5≤x ＜48，即2.65＜x ＜48. ∴年产量在265台至4800台时，企业才会不亏本．能力提升一、选择题1．某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是( )A ．计算机行业好于化工行业B ．建筑行业好于物流行业C ．机械行业最紧张D ．营销行业比贸易行业紧张 [答案] B[解析] 就业情况＝应聘人数招聘人数，计算机就业形式＝215830124620＞1，化工业就业形式＝应聘人数70436＜6528070436＜1，则A 不合适．同理，建筑行业就业形式＝应聘人数76516＜6528076516＜1，物流业就业形式＝74570招聘人数＞7457070436＞1.2．某公司从2006年起每人的年工资主要由三个项目组成并按下表规定实施：基础工资的25%，到2008年底这位职工的工龄至少是() A．2年B．3年C．4年D．5年[答案] C[解析]设这位职工工龄至少为x年，400x＋1600＞10000·(1＋10%)2×25%，即400x＋1600＞3025，即x＞3.5625，所以至少为4年．二、填空题3．现有含盐7%的食盐水200克，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x克，则x的取值范围是__________．[答案]100＜x＜400[解析]由题意可列式5%<7%×200＋4%×x 200＋x <6%，即5<1400＋4x 200＋x <6解得100<x <400.4．周长为2的直角三角形的面积的最大值为________． [答案] 3－2 2[解析] 设直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，则直角三角形的面积S ＝12ab .由已知，得a ＋b ＋c ＝2，∴a ＋b ＋a 2＋b 2＝2， ∴2＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝(2＋2)ab ， ∴ab ≤22＋2＝2－2，∴ab ≤(2－2)2＝6－42， ∴S ＝12ab ≤3－22，当且仅当a ＝b ＝2－2时，S 取最大值3－2 2.三、解答题5．假设国家收购某种农副产品的价格是120元/担，其中征税标准是每100元征税8元(叫做税率是8个百分点，即8%)，计划收购m 万担，为了减轻农民负担，决定税率降低x 个百分点，预计收购量可增加2x 个百分点，要使此项税收在税率降低后不低于原计划的78%，试确定x 的取值范围．[解析] 税率降低后是(8－x )%，收购量为m (1＋2x %)万担，税收为120m(1＋2x %)(8－x )%万元，原来的税收为120m·8%万元．根据题意可得120m(1＋2x %)(8－x )%≥120m·8%·78% 即x 2＋42x －88≤0解之得－44≤x ≤2，又x ＞0，∴0＜x ≤2 ∴x 的取值范围是(0,2]．6.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y (单位：m)的矩形．上部是等腰直角三角形．要求框架围成的总面积8cm 2.问x 、y 分别为多少时用料最省？(精确到0.001m)[解析] 由题意得xy ＋14x 2＝8，∴y ＝8－x 24x ＝8x －x4(0＜x ＜42)．于是，框架用料长度为l ＝2x ＋2y ＋2(22x ) ＝(32＋2)x ＋16x ≥46＋4 2. 当(32＋2)x ＝16x ，即x ＝8－42时等号成立． 此时，x ≈2.343，y ＝22≈2.828.故当x 为2.343m ，y 为2.828m 时，用料最省．7．某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年增加4万元，每年捕鱼收益50万元．(1)问第几年开始获利？(2)若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案最合算？[解析] 由题设知每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯收入与年数的关系为f(n)，则f(n)＝50n－[12＋16＋…＋(8＋4n)]－98＝40n－2n2－98.(1)由f(n)>0得，n2－20n＋49<0，∴10－51<n<10＋51，又∵n∈N，∴n＝3,4， (17)即从第3年开始获利；(2)①年平均收入＝f(n)n＝40－2(n＋49n)≤40－2×14＝12，当且仅当n＝7时，渔船总收益为12×7＋26＝110(万元)．②f(n)＝－2(n－10)2＋102.因此当n＝10时，f(n)max＝102，总收益为102＋8＝110万元，但7<10，所以第一种方案更合算．。
人教B版必修5第三章不等式 统考题
不等式 历年统考题1.不等式2(24)60x m m y --++>表示的平面区域是以直线2(24)60x m m y --++= 为界的两个平面区域中的一个，且点(1,1)在这个区域内，则实数m 的取值范围是（ ）A.(,1)(3,)-∞-+∞B. (,1][3,)-∞-+∞C.[1,3]-D. (1,3)-2.已知 x 、y 为正实数，且lg 2lg8lg 4xy+=，则 13x y+ 的最小值是（ ）A.4B.8C.12D.163.已知b a ,为实数，则“0>+b a 且0>ab ”是“0>a 且0>b ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要4.函数),0(32)(2<+-=x xx x x f 取得最大值为（ ） A.232-- B.322- C.232- D.232+ 5.已知y x ,满足5030x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则y x z 24+=的最小值为（ ） A.6- B.6 C.5 D.5-6.实数1a <是11a>的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7.设,x y 满足约束条件2602600,0.x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥≥⎩,则目标函数3z x y =+的最大值是（ ）A. 8B. 6C. 5D.38.已知正项等比数列{}n a 满足：5672a a a +=,若存在两项n m a a ,12a =, 则nm 41+的最小值为 （ ） A.23 B. 52 C. 92 D.949.若关于x 的不等式24x x mx -+>的解集为}{|02x x <<，则实数m 的值为（ ）A.2-B. 2C. 6-D.610.已知点(,)P x y 满足条件0290y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩，则y x z 3-=的最小值为（ ）A.9B.6-C. -9D. 611.已知等比数列123,,a a a 的和为定值3(0)m m >，且公比为(0)q q >，令123t a a a =，则t 的取值范围为（ ） A.3(0,]m B. 3[,)m +∞C.30,()3m ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. 3(),3m ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12.关于x 的不等式0>+b ax 的解集为)1,(-∞，则关于x 的不等式02>+-x abx 的解集为 ．13.不等式6|2||12|≤--+x x 的解集为14.不等式|1|2x x +>的解集为 ．15.不等式211x x -≥+的解集为 ．16.已知命题P :不等式01)3(2>+--x m mx 的解集为R ；命题Q :方程0132=++mx x 有两个不相等的负根．若P Q ∨是真命题，P Q ∧是假命题，求实数m 的取值范围．18.已知命题p ：方程2227510x mx m +++=的两个实数根中一个比2大，一个比2小；命题q ：关于x的不等式()2310mx m x -+-≤对于任意实数x 均成立.若q p ∨为真，求实数m 的取值范围.17.（满分12分）若a 为实数，解关于x 的不等式02)2(2<--+x a ax19．（ 12分）已知函数bax x x f +=2)((,a b 为常数）且方程()60f x x --=有两个实根12x =, 23x =.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（理）（Ⅱ）设12k >，解关于x 的不等式：(21)()1k x kf x x +->-. （文）（Ⅱ）设12k <，解关于x 的不等式：2221()1x kx f x x -+>-20．（本小题满分12分）设a 为正实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--. （Ⅰ）若(0)1f ≤-，求a 的取值范围；（Ⅱ）求()f x 的最小值；(Ⅲ) 若(,)x a ∈+∞，求不等式()1f x ≥的解集.21．（本小题满分12分）已知函数2()2(22)f x x ax a =--+ （Ⅰ）解关于x 的不等式()f x x >；（Ⅱ）若()30f x +≥在区间(1,)-+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.。
高中数学 第三章 不等式 3.3 一元二次不等式及其解法同步训练 新人教B版必修5-新人教B版高二必
3.3一元二次不等式及其解法5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.已知2a+1＜0，关于x 的不等式x 2-4ax-5a 2＞0的解集是( ) A.{x|x ＞5a 或x ＜-a} B.{x|x ＜5a 或x ＞-a} C.{x|-a ＜x ＜5a} D.{x|5a ＜x ＜-a} 解析：x 2-4ax-5a 2＞0⇒（x-5a ）（x+a ）＞0.∵a＜21-，∴5a＜-a.∴x＞-a 或x ＜5a.故选B.答案：B2.不等式x 2-x-2＜0的解集是___________.解析：原不等式可以变化为(x+1)(x-2)＜0,可知方程x 2-x-2=0的解为-1和2,所以,解集为:{x|-1＜x ＜2}. 答案：{x|-1＜x ＜2}3.不等式423--x x≤1的解集是___________.解析：423--x x ≤1,即423--x x -1≤0,4237--x x≤0.因为两实数的积与商是同号的,所以上述不等式同解于如下的不等式组:⎩⎨⎧≤--≠-.0)2)(37(,042x x x即⎪⎩⎪⎨⎧≥--≠.0)2)(37(,2x x x 所以,原不等式的解集为{x|x ＜2或x≥37}. 答案：{x|x ＜2或x≥37} 4.)1(-x x ＜0的解集为____________.解析：根据条件有⎩⎨⎧<->.01,0x x 即0＜x ＜1,解集为:{x|0＜x ＜1}.答案：{x|0＜x ＜1}10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知不等式ax 2+bx+c ＞0的解集为{x|31-＜x ＜2}，则不等式cx 2+bx+a ＜0的解集为( ) A.{x|-3＜x ＜21} B.{x|x ＜-3或x ＞21}C.{x|-2＜x ＜31}D.{x|x ＜-2或x ＞31}解法一：ax 2+bx+c ＞0的解集为{x|31-＜x ＜2}⇔3x 2-5x-2＜0⇔-3x 2+5x+2＞0.设a=-3k ，b=5k ，c=2k （k ＞0），则cx 2+bx+a ＜0⇔2kx 2+5kx-3k ＜0⇔2x 2+5x-3＜0⇔-3＜x ＜21，故选A.解法二：由题意知a ＜0，且a b -=（31-）+2，a c =（31-）×2，即a b =35-，a c =32-，而cx 2+bx+a ＜0⇔a c x 2+a b x+1＞0⇔32-x 235-x+1＞0⇔2x 2+5x-3＜0⇔-3＜x ＜21，所以应该选A.答案：A2.下列不等式中,解集是R 的是( )A.x 2+2x+1＞0 B.2x ＞0C.(31)x +1＞0 D.xx 121<- 解析：因为x 2+2x+1=(x+1)2≥0,所以A 不正确,又2x =|x|≥0,所以B 也不正确,而(31)x＞0,所以(31)x+1＞1＞0(x∈R ). 答案：C3.不等式21-+x x ＞0的解集是______________. 解析：21-+x x ＞0⇔（x+1）（x-2）＞0⇔x ＜-1或x ＞2.答案：{x|x ＜-1或x ＞2} 4.解下列不等式(1)x 2-x-2＞0(2)-2x 2+x+3＞0解:(1)∵Δ＞0，对应方程x 2-x-2=0的根分别为-1，2.∴不等式x 2-x-2＞0的解集：{x|x ＜-1 或x ＞2};(2)原不等式可以变为2x 2-x-3＜0. ∴对应方程2x 2-x-3=0的根分别为-1，23. ∴原不等式的解集为{x|-1＜x ＜23}. 5.解关于x 的不等式(m+3)x 2+2mx+m-2＞0(m∈R ).解:(1)当m+3=0,即m=-3时,原不等式可化为-6x-3-2＞0,即x ＜65-; (2)当m+3＞0,即m ＞-3时,Δ=4m 2-4(m+3)(m-2)=4(6-m). 当Δ≥0,即-3＜m≤6时,原不等式的解为:x ＜36+---m m m 或x ＞36+-+-m mm ;当Δ＜0,即m ＞6时,原不等式的解集为R ; (3)当m+3＜0,即m ＜-3时,Δ=4(6-m)＞0所以,解为:36+-+-m m m ＜x ＜36+---m mm .综上所述,当m ＜-3时,不等式的解集为:{x|36+-+-m m m ＜x ＜36+---m mm };m=-3时,不等式的解集为{x|x ＜65-};当-3＜m≤6时,不等式的解集为{x|x ＜36+---m m m }或x ＞36+-+-m mm .6.已知a ＞1，P ：a （x-2）+1＞0，Q ：（x-1）2＞a （x-2）+1.试寻求使得P 、Q 都成立的x 的集合.解:由题意得⎪⎩⎪⎨⎧>--->⇒⎪⎩⎪⎨⎧>++-->⇒⎩⎨⎧+->->+-0)2)((1202)2(121)2()1(01)2(22x a x a x a x a x a x x a x x a 若1＜a ＜2,则有⎪⎩⎪⎨⎧<>->,2,12a x x ax 或而a-（2-a 1）=a+a 1-2＞0，所以a ＞2-a 1.故x∈{x|x＞2或2-a1＜x ＜a}. 若a=2，则有x∈{x|x＞21且x≠2}. 若a ＞2，则有⎪⎩⎪⎨⎧<>->.2,12x a x ax 或 故x∈{x|x＞a 或2-a1＜x ＜2}. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.函数f （x ）=⎩⎨⎧≤->,1,1,1,x x x 则不等式xf （x ）-x≤2的解集为( )A.［-2，2］B.［-2，-1］∪［1，2］C.［1，2］D.［-1，2］ 解法一：（排除法）∵x=0时，xf （x ）-x=0≤2成立，而B 、C 中均不含有0，故排除B 、C.只需验证x=-2即可，当x=-2时，xf （x ）-x=（-2）·（-1）+2=4＞2，∴排除A 而选D.解法二：（直接法）①当x ＞1时，xf （x ）-x≤2可化为x 2-x≤2，即x 2-x-2≤0，解得-1≤x≤2.又x ＞1，∴1＜x≤2.②当x≤1时，xf （x ）-x≤2可化为-2x≤2，∴x≥-1.此时有-1≤x≤1，故适合原不等式的解集为①②两部分的并集，为［-1，2］. 答案：D2.不等式11-x ＞x+1的解集为( ) A.{x|x ＜-3} B.{x|x ＞1} C.{x|x ＜2-|∪{x|1＜x ＜2}D.{x|34＜x ＜2} 解析：原不等式可以化为11-x -(x+1)＞0,即122--x x ＞0,即(x+2)(x 2-)(x-1)＜0,由高次不等式的标根法可得C 正确.答案：C3.已知集合M={x|x 2-3x-28≤0},N={x|x 2-x-6＞0}，则M∩N 为( ) A.{x|-4≤x＜-2或3＜x≤7} B.{x|-4＜x≤-2或3≤x＜7} C.{x|x≤-2或x ＞3} D.{x|x ＜-2或x≥3}解析：M={x|-4≤x≤7},N={x|x＜-2或x ＞3},再把M 、N 两个集合对应的范围在数轴上表示出来即可看出答案. 答案：A4.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向上，对称轴为x=1，图象与x 轴的两个交点中，一个交点的横坐标x 1∈（2，3），则有( )A.a-b-c ＞0B.a+b+c ＜0C.a+c ＜bD.3b ＜2c解析：由题意知另一交点必在（-1，0）之间，且f （-1）＞0，即a-b+c ＞0（*）.又知ab2-=1，得a=2b -，代入（*）式得21-b-b+c ＞0，即3b ＜2c.故选D. 答案：D5.若x 1、x 2是方程x 2-2kx+1-k 2=0的两个实根，则x 12+x 22的最小值是( ) A.-2 B.0 C.1 D.2解析：由题意得⎪⎩⎪⎨⎧-==+≥---=∆)3(1)2(2)1()1(4)2(2212122kx x kx x k k ∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1x 2=4k 2-2（1-k 2）=6k 2-2.由①式得k 2≥21， ∴6k 2-2≥6×21-2=1.∴x 12+x 22的最小值为1. 答案：C2x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6-4-6-6-46则不等式ax 2+bx+c ＞0的解集是___________________.解析：根据所给数表中函数的单调性可以看出a ＞0,且方程ax 2+bx+c=0的两个解分别为-2和3.答案：(-∞,-2)∪(3,+∞)7.某大楼共有20层，有19人在第一层上了电梯，他们分别要去第二至第二十层，每层1人，而电梯只允许停1次，只可使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假定乘客每向下走1层的不满意度为1，每向上走1层的不满意度为2，所有人的不满意度的和为S ，为使S 最小，电梯应当停在第_______________层. 解析：设电梯停在第x 层（2≤x≤20），则 S=［1+2+…+（x-3）+（x-2）］×1+［1+2+…+（19-x ）+（20-x ）］×2 =2)20(12)2(2)2(1x x x -+⨯++-+×（20-x ） =)2485421()685(2342128523222-+-=+-x x x .∵x 取正整数，∴取x=14即可. 答案：148.据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km 以内的地区都受到影响（见右图）.从现在小时__________后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为__________.解析：设风暴中心坐标为（a ，b ），则a=3002，所以22)2300(b +＜450，即-150＜b ＜150.而20300),122(215201502300-=-=15.所以经过215（22-1）小时码头将受到风暴的影响，影响时间为15小时. 答案：215(22-1) 15小时9.已知函数f(x)=bax x +2（a ，b 为常数）且方程f(x)-x+12=0有两个实根为x 1=3, x 2=4.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设k ＞1，解关于x 的不等式： f(x)＜xkx k --+2)1(.解:（1）将x 1=3,x 2=4分别代入方程b ax x +2-x+12=0得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+.8416,939ba ba解得⎩⎨⎧=-=.2,1b a 所以f(x)=x x -22(x≠2).（2）不等式即为x k x k x x --+<-2)1(22,可化为xk x k x -++-2)1(2＜0, 即(x-2)(x-1)(x-k)＞0.①当1＜k ＜2，解集为x∈(1,k)∪(2+∞).②当k=2时，不等式为(x-2)2(x-1)＞0解集为x∈(1,2)∪(2,+∞). ③当k ＞2时，解集为x∈(1,2)∪(k,+∞). 10.若不等式23+>ax x 的解集为（4，b ），求实数a 、b 的值. 解法一：（换元法）设u=x （u≥0），则原不等式可化为u ＞232+au ， 即au 2-u+23＜0. ∵原不等式的解集为（4，b ），∴方程au 2-u+23=0的两根分别为2、b . 由韦达定理知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+.232,12a b ab解得⎪⎩⎪⎨⎧==.36,81b a解法二：（图象法）设y 1=x ，y 2=23+ax （x≥0），其图象如上图所示，不等式x ＞ax+23的解是当y 1=x 的图象在y 2=ax+23（x≥0）的图象上方时相应的x 的取值范围.由于不等式的解集为（4，b ），故方程x =ax+23有一个解x=4，将x=4代入得2344+=a ，∴a=81，再求方程x =2381+x 的另一个解得x=36，即b=36.。
【高中数学新人教B版必修5】第三章《不等式》测试
《不等式》专项训练1．设a b <，c d <，则下列不等式中一定成立的是 （ ） A ．d b c a ->- B ．bd ac > C ．d b c a +>+ D ．c b d a +>+ 2．不等式b ax >的解集不可能是 （ ）A ．φB ．RC ．),(+∞a bD ．),(ab --∞ 3．不等式022>++bx ax 的解集是)31,21(-，则b a -的值等于 （ ） A ．－14 B ．14 C ．－10 D ．104．不等式||x x x <的解集是 （ ） A ．{|01}x x <<B ．{|11}x x -<<C ．{|01x x <<或1}x <-D ．{|10,1}x x x -<<> 5．若011<<ba ，则下列结论不正确的是 （ ） A ．22b a < B ．2b ab < C ．2>+ba ab D ．||||||b a b a +>+6．若13)(2+-=x x x f ，12)(2-+=x x x g ，则)(x f 与)(x g 的大小关系为 （ ）A ．)()(x g x f >B ．)()(x g x f =C ．)()(x g x f <D ．随x 值变化而变化 7．下列各式中最小值是2的是 （ ）A ．y x ＋x yB ．4522++x x C ．tan x ＋cot x D ． xx -+228．如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立,则a 的取值范围是 （ ）A ． }8|{<a aB ． }8|{>a aC ． }8|{≥a aD ． }8|{≤a a9．若+∈R b a ,，则b a 11+与b a +1的大小关系是 ． 10．函数121lg +-=x xy 的定义域是 ．11．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨．12． 已知0()1,0x x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，, 则不等式3)2(≤+x f 的解集___ _ ____．13．已知()f x 是奇函数，且在（－∞，0）上是增函数，(2)0f =，则不等式()0xf x <的解集是___ _ ____． 14．解不等式：21582≥+-x x x15．已知1<a ，解关于x 的不等式12>-x ax．16．已知0=++c b a ，求证：0≤++ca bc ab ．17．对任意]1,1[-∈a ，函数a x a x x f 24)4()(2-+-+=的值恒大于零，求x 的取值范围．18．已知函数b ax x x f ++=2)(．（1）若对任意的实数x ，都有a x x f +≥2)(，求b 的取值范围； （2）当]1,1[-∈x 时，)(x f 的最大值为M ，求证：1+≥b M ；参考答案一、选择题1．C ； 2．D ； 3．C ； 4．C ； 5．D ； 6．A ； 7．D ； 8．A ． 二、填空题 9．b a b a +>+111； 10．)21,1(-； 11． 20 ； 12． ]1,(-∞；13． {|20,}x x -<<或0<x<2 三、解答题14．解：原不等式等价于：0158301720158301720215822222≤+-+-⇔≥+--+-⇔≥-+-x x x x x x x x x x x3250)5)(3()52)(6(<≤⇔≤----⇔x x x x x 或65≤<x ∴原不等式的解集为]6,5()3,25[15．解：不等式12>-x ax 可化为022)1(>-+-x x a ． ∵1<a ，∴01<-a ，则原不等式可化为0212<---x a x ， 故当10<<a 时，原不等式的解集为}122|{ax x -<<； 当0=a 时，原不等式的解集为φ； 当0<a 时，原不等式的解集为}212|{<<-x ax ． 16．证明：法一（综合法）0=++c b a ， 0)(2=++∴c b a展开并移项得：02222≤++-=++c b a ca bc ab 0≤++∴ca bc ab法二（分析法）要证0≤++ca bc ab ，0=++c b a ，故只要证2)(c b a ca bc ab ++≤++ 即证0222≥+++++ca bc ab c b a ，也就是证0])()()[(21222≥+++++a c c b b a ，而此式显然成立，由于以上相应各步均可逆，∴原不等式成立． 法三：0=++c b a ，b a c +=-∴222223()()[()]024b b ab bc ca ab b a c ab a b a b ab a ∴++=++=-+=---=-++≤ 0≤++∴ca bc ab法四：,222ab b a ≥+ bc c b 222≥+，ca a c 222≥+ ∴由三式相加得：ca bc ab c b a ++≥++222两边同时加上)(2ca bc ab ++得：)(3)(2ca bc ab c b a ++≥++ 0=++c b a ， ∴0≤++ca bc ab17．解：设22)2()2(24)4()(-+-=-+-+=x a x a x a x a g ，则)(a g 的图象为一直线，在]1,1[-∈a 上恒大于0，故有⎩⎨⎧>>-0)1(0)1(g g ，即⎩⎨⎧>+->+-02306522x x x x ，解得：1<x 或3>x ∴x 的取值范围是),3()1,(+∞⋃-∞18． 解：（1）对任意的R x ∈，都有⇔+≥a x x f 2)(对任意的R x ∈，0)()2(2≥-+-+a b x a x 0)(4)2(2≤---=∆⇔a b a)(1412R a b a b ∈≥⇔+≥⇔ ∴),1[+∞∈b ．（2）证明：∵,1)1(M b a f ≤++=,1)1(M b a f ≤+-=-∴222+≥b M ，即1+≥b M ．（3）证明：由210<<a 得，0241<-<-a ∴)(x f 在]2,1[a --上是减函数，在]1,2[a-上是增函数．∴当1||≤x 时,)(x f 在2ax -=时取得最小值42a b -，在1=x 时取得最大值b a ++1．故对任意的]1,1[-∈x ，.1414111|)(|22a b a a b b a x f -≤≤-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤++⇔≤。
3.4《不等式的实际应用》课时作业(人教B版必修5)
3.4不等式的实际应用一、选择题(每题5分，共20分)1．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处【解析】 设仓库建在离车站x km 处，则土地费用y 1＝k 1x，运输费用y 2＝k 2x 把x ＝10，y 1＝2代入得k 1＝20，把x ＝10，y 2＝8代入得k 2＝45， 故总费用y ＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8， 当且仅当20x ＝45x 即x ＝5时等号成立． 【答案】 A2．银行计划将某资金给项目M 和N 投资一年，其中40%的资金给项目M,60%的资金给项目N ，项目M 能获得10%的年利润，项目N 能获得35%的年利润，年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户，为了使银行年利润不小于给M 、N 总投资的10%而又不大于总投资的15%，则给储户的回扣率最小值为( )A ．5%B ．10%C ．15%D ．20% 【解析】 设给储户的回扣率为x ，由题意：⎩⎪⎨⎪⎧0.4×0.1＋0.6×0.35－x ≥0.10.4×0.1＋0.6×0.35－x ≤0.15， 解得0.1≤x ≤0.15，故x 的最小值是0.1＝10%.【答案】 B3．天文台用3.2万元买一台观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910元(n ∈N *)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的日平均耗资最少)为止，一共使用了( )A ．600天B ．800天C ．1 000天D ．1 200天【解析】 日平均耗资为3 2000＋n ·12·⎝⎛⎭⎫5＋n ＋4910n＝3 2000n ＋n 20＋9920≥2 3 2000n ·n 20＋9920＝80＋9920，当且仅当3 2000n ＝n 20，即n ＝800时取等号． 【答案】 B4．用长度分别为2、3、4、5、6(单位：cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，能够得到的三角形的最大面积为( )A ．85 cm 2B ．610 cm 2C ．355 cm 2D ．20 cm 2【解析】 设三角形各边长为x 、y 、z ，且x 、y 、z ∈N ＋，则x ＋y ＋z ＝20.由于在周长一定的三角形中，各边长越接近的三角形面积越大，于是当三边长为7 cm 、7 cm 、6 cm 时面积最大，则S △＝12×6×72－32＝610(cm 2)，故选B.【答案】 B二、填空题(每题5分，共10分)5．建造一个容积为8 m 2，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．【解析】 设池底长x m ，则宽4xm ， 总造价y ＝(4x ＋16x)×80＋4×120 ≥24x ·16x×80＋480＝1 760， 当且仅当4x ＝16x即x ＝2时等号成立． 【答案】 1 7606．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价格24 000元，为了减少耕地损失，决定以每年损失耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，则t 的取值范围是____． 【解析】 由题意得(20－52t )×2 4000×t %≥9 000， 化简得t 2－8t ＋15≤0解得3≤t ≤5.【答案】 3≤t ≤5三、解答题(每题10分，共20分)7．某工厂建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1 200元/m 2，房屋侧面的造价为800元/m 2，屋顶的造价为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用，则建造此小房的最低总造价是多少元？【解析】 设房子的长为x m ，宽为y m ，总造价为t 元，则xy ＝12.t ＝3x ·1 200＋3y ·800·2＋5 800＝1 200(3x ＋4y )＋5 800≥1 200·212xy ＋5 800＝34600(当且仅当3x ＝4y 时取等号)．故最低总造价是34 600元．8．一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h 的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于(v 20)2 km ，那么这批物资全部安全到达灾区，最少需要多少小时？ 【解析】 第一辆汽车到达用400v h ，由题意每隔(v 20)2v h 到达一辆汽车， ∴400v ＋25×(v 20)2v ＝400v ＋v 16≥2400v ×v 16＝10(h)， 当且仅当400v ＝v 16，v ＝80 km/h 时取等号． ∴每辆汽车以80 km/h 的速度行驶，最少需10 h 这批物资全部安全到达灾区．9．(10分)工厂对某种原料的全年需要量是Q 吨．为保证生产，又节省开支，打算全年分若干次等量订购，且每次用完后可立即购买．已知每次订购费用是a 元．又年保管费用率是p ，它与每次购进的数量(x 吨)及全年保管费(S 元)之间的关系是S ＝12px .问全年订购多少次才能使订购费与保管费用之和最少？并求这个最少费用的和(为简便计算，不必讨论订购次数是否为整数)．【解析】 设每次购进的数量为x 吨，则全年定购费用＝a ·Q x ，全年保管费S ＝12px ， 定购费与保管费之和y ＝a ·Q x ＋12px . 由于a ·Q x ＋12px ≥212paQ ＝2paQ ， 当且仅当a ·Q x ＝12px ，即x ＝2aQp p时取等号， 即最优批量订购数为x 0＝2aQp p(吨)， 最小费用数为y min ＝2paQ (元)，全年最佳定购次数n ＝Q x 0＝2paQ 2a(次)． 故全年订购2paQ 2a次，才能使全年的订购费用与保管费用之和最少，最少费用为2paQ 元．高$考じ试(题╬库。
高中数学人教B版必修5分层测评试题19不等式的实际应用含解析
＜6%，
x＋ 200
解得 x 的范围是 (100,400)．
【答案】 (100,400) 8．如图 3-4-4，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为 72 dm2(图 中阴影部分 )，上下空白各宽 2 dm，左右空白各宽 1 dm，则四周空白部分面积的 最小值是 ______dm2.
3
图 3-4-4
学业分层测评 (十九 ) 不等式的实际应用
(建议用时： 45 分钟 )
[ 学业达标 ]
一、选择题
1．某出版社，如果以每本 2.50 元的价格发行一种图书， 可发行 80 000 本．如
果一本书的定价每升高 0.1 元，发行量就减少 2 000 本，那么要使收入不低于 200
000 元，这种书的最高定价应当是 ( )
物的运输费用与仓库到车站距离成正比． 如果在距离车站 10 km 处建仓库， 则土
地费用和运输费用分别为 2 万元和 8 万元，那么要使两项费用之和最小， 仓库应
建在离车站 ( )
A ．5 km 处
B．4 km 处
C．3 km 处
D.2 km 处
【解析】
设仓库建在离车站
x km 处，则土地费用
k1 y1＝ x (k1≠0)，运输费
图 3-4-6 (1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米，则 DN 的长应在什么范围内？ (2)当 DN 的长度为多少时，矩形花坛 AMPN 的面积最小？并求出最小值 .【导 学号： 33300101】 【解】 (1)设 DN 的长为 x(x＞ 0)米， 则|AN|＝(x＋2)米． ∵||DANN||＝ ||DAMC||，
耗，决定按销售收入的
t%征收木材税， 这样每年的木材销售量减少
高中数学必修五第三章《不等式》单元测试题含答案
高中数学必修五第三章单元测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出以下四个命题：①若a >b ，则1a <1b； ②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a >|b |，则a >b ； ④若a >b ，则a 2>b 2. 其中正确的是( )A ．②④B ．②③C ．①②D ．①③2．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 2<0 C ．b ＋a >0D ．a 2－b 2<03．设集合U ＝R ，集合M ＝{x |x >1}，P ＝{x |x 2>1}，则下列关系中正确的是( )A ．M ＝PB ．PMC ．MP D ．∁U M ∩P ＝∅4．设集合A ＝{x |x >3}，B ＝{x |x －1x －4<0}，则A ∩B ＝( )A ．∅B ．(3,4)C ．(－2,1)D ．(4，＋∞)5．在下列函数中，最小值是2的是( )A ．y ＝x 2＋2xB ．y ＝x ＋2x ＋1(x >0)C ．y ＝sin x ＋csc x ，x ∈(0，π2)D ．y ＝7x ＋7－x6．已知log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(12，1)C ．(0，12)D ．(1，＋∞)7．已知点P (x ，y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0表示的平面区域内运动，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－2，－1]B ．[－2,1]C ．[－1,2]D ．[1,2]8．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)<0表示的区域为( )9．f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上满足f (x )<0，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．(－∞，－4) C ．(－4,0)D ．(－4,0]10．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1≤0，x ＋y ＋2≥0，y ≥0组成的平面区域的面积为( )A ．2B ．1C．4 D.1 211．函数y＝3x2＋6x2＋1的最小值是( )A．32－3 B．－3 C．6 2 D．62－312．设a>0，b>0.若3是3a与3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为( )A．8 B．4C．1 D.1 4二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是________．14．函数y＝13－2x－x2的定义域是________．15．如下图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各2 dm，左右空白各1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2.16．已知当x >0时，不等式x 2－mx ＋4>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}． (1)若AB ，求a 的取值范围；(2)若B ⊆A ，求a 的取值范围．18．(12分)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．19．(12分)已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .20．(12分)某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型号的汽车，若A厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车．今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工时最少？21．(12分)经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为y＝144v(v>0)．v2－58v＋1 225(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(2)若要求在该时段内车流量超过9千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？22．(12分)甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f(x)和g(x)，当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g(x)万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险．(1)试解释f(0)＝10，g(0)＝20的实际意义；(2)设f (x )＝14x ＋10，g (x )＝x ＋20，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？高中数学必修五第三章单元测试题《不等式》参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出以下四个命题：①若a >b ，则1a <1b； ②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a >|b |，则a >b ； ④若a >b ，则a 2>b 2. 其中正确的是( )A ．②④B ．②③C ．①②D ．①③答案 B2．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 2<0 C ．b ＋a >0 D ．a 2－b 2<0 答案 C解析 由a －|b |>0⇒|b |<a ⇒－a <b <a ⇒a ＋b >0，故选C.3．设集合U ＝R ，集合M ＝{x |x >1}，P ＝{x |x 2>1}，则下列关系中正确的是( )A ．M ＝PB ．P MC ．MP D ．∁U M ∩P ＝∅答案 C4．设集合A ＝{x |x >3}，B ＝{x |x －1x －4<0}，则A ∩B ＝( )A ．∅B ．(3,4)C ．(－2,1)D ．(4，＋∞)答案 B解析 ∵x －1x －4<0⇔(x －1)(x －4)<0，∴1<x <4，即B ＝{x |1<x <4}，∴A ∩B ＝(3,4)，故选B.5．在下列函数中，最小值是2的是( )A ．y ＝x 2＋2xB ．y ＝x ＋2x ＋1(x >0) C ．y ＝sin x ＋csc x ，x ∈(0，π2)D ．y ＝7x ＋7－x 答案 D解析 y ＝x 2＋2x 的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)；y ＝x ＋2x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1>2(x >0)；y ＝sin x ＋csc x ＝sin x ＋1sin x>2(0<sin x <1)；y ＝7x ＋7－x ≥2(当且仅当x ＝0时取等号)．6．已知log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(12，1)C ．(0，12)D ．(1，＋∞)答案 B7．已知点P (x ，y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0表示的平面区域内运动，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－2，－1]B ．[－2,1]C ．[－1,2]D ．[1,2]答案 C解析 画可行域如图：当直线y ＝x －z 过A 点时，z min ＝－1. 当直线y ＝x －z 过B 点时，z max ＝2. ∴z ∈[－1,2]．8．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)<0表示的区域为( )答案 C9．f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上满足f (x )<0，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．(－∞，－4) C ．(－4,0) D ．(－4,0]答案 D10．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1≤0，x ＋y ＋2≥0，y ≥0组成的平面区域的面积为( )A ．2B ．1C ．4D.12答案 D 11．函数y ＝3x 2＋6x 2＋1的最小值是( ) A ．32－3B ．－3C ．6 2D ．62－3答案 D 12．设a >0，b >0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( ) A ．8B ．4C ．1D.14 答案 B解析 3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3a ＋b ＝3⇒a ＋b ＝1，∵a >0，b >0，∴ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14. ∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥114＝4. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．答案 (23，＋∞) 14．函数y ＝13－2x －x2的定义域是________． 答案 {x |－3<x <1}15．如下图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm 2(图中阴影部分)，上下空白各2 dm ，左右空白各1 dm ，则四周空白部分面积的最小值是________dm 2.答案 56解析 设阴影部分的高为x dm ，宽为72xdm ，则四周空白部分面积是y dm 2，由题意，得y ＝(x ＋4)(72x ＋2)－72＝8＋2(x ＋144x )≥8＋2×2x ×144x ＝56.16．已知当x >0时，不等式x 2－mx ＋4>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，4)解析 由题意得当x >0时，恒有m <x ＋4x 成立．设f (x )＝x ＋4x，x >0，则有f (x )＝x ＋4x ≥2x ×4x ＝4，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时，等号成立．所以f (x )＝x ＋4x ，x >0的最小值是4.所以实数m 的取值范围是(－∞，4)．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}．(1)若A B ，求a 的取值范围；(2)若B ⊆A ，求a 的取值范围．答案 (1)(2，＋∞) (2)[1,2]18．(12分)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值． 答案 16解析 由于x >0，y >0，1x ＋9y＝1， 所以x ＋y ＝(x ＋y )(1x ＋9y )＝y x ＋9x y＋10 ≥2y x ·9x y ＋10＝16. 当且仅当y x ＝9x y 时，等号成立，又由于1x ＋9y＝1. 所以当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.19．(12分)已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1.求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .证明 ∵a 、b 、c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1，∴1－a ＝b ＋c ≥2bc >0，1－b ＝a ＋c ≥2ac >0，1－c ＝a ＋b ≥2ab >0.∴(1－a )(1－b )(1－c )≥2bc ·2ac ·2ab ＝8abc .∴原不等式成立．20．(12分)某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型号的汽车，若A 厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B 厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车．今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工时最少？解析 设A 厂工作x 小时，B 厂工作y 小时，总工作时数为t 小时，则目标函数t ＝x ＋y ，x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ≥40，2x ＋y ≥20，x ≥0，y ≥0.可行域如图所示，而符合题意的解为此内的整点，于是问题变为要在此可行域内，找出整点(x ，y )，使t ＝x ＋y 的值最小．由图知当直线l ：y ＝－x ＋t 过Q 点时，纵截距t 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝40，2x ＋y ＝20，得Q (4,12)．答：A 厂工作4小时，B 厂工作12小时，可使所费的总工时最少．21．(12分)经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/时)之间的函数关系为y ＝144v v 2－58v ＋1 225(v >0)． (1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(2)若要求在该时段内车流量超过9千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？思路分析 (1)利用基本不等式求最大车流量，(2)转化为解不等式．解析 (1)依题意，有y ＝144v ＋1 225v－58≤1442 1 225－58＝12， 当且仅当v ＝1 225v，即v ＝35时等号成立， ∴y max ＝12，即当汽车的平均速度v 为35千米/时，车流量最大为12.(2)由题意，得y ＝144v v 2－58v ＋1225>9. ∵v 2－58v ＋1225＝(v －29)2＋384>0，∴144v >9(v 2－58v ＋1225)．∴v 2－74v ＋1225<0.解得25<v <49.即汽车的平均速度应在(25,49)内．22．(12分)甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f (x )和g (x )，当甲公司投入x 万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f (x )万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x 万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g (x )万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险．(1)试解释f (0)＝10，g (0)＝20的实际意义；(2)设f (x )＝14x ＋10，g (x )＝x ＋20，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？解析 (1)f (0)＝10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；g (0)＝20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费．(2)设甲公司投入宣传费x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，依题意，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥f x ＝14x ＋10， ①x ≥g y ＝y ＋20， ②成立，双方均无失败的风险．由①②得y ≥14(y ＋20)＋10⇒4y －y －60≥0， ∴(y －4)(4y ＋15)≥0.∵4y ＋15>0，∴y ≥4.∴y ≥16.∴x ≥y ＋20≥4＋20＝24.∴x min ＝24，y min ＝16.即要使双方均无失败风险，甲公司至少要投入24万元，乙公司至少要投入16万元．。
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第3章不等式（数学人教B版必修5）建议用时实际用时满分实际得分90分钟150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设0＜b＜a＜1，则下列不等式中成立的是（）A.＜ab＜1B.＜＜0C.D.2.已知t=a+2b，s=a+b2+1，则t和s的大小关系正确的是（）A.t>sB.t≥sC.t<sD.t≤s3.不等式组0,34,34xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域的面积等于（）A. 32B.23C.43D.344.已知函数f（x）=log2（x+1）且a＞b＞c＞0，则()f aa、()f bb、()f cc的大小关系是（）A.()f aa＞()f bb＞()f ccB.()f cc＞()f bb＞()f aaC.()f bb＞()f aa＞()f ccD.()f aa＞()f cc＞()f bb5. 不等式组表示的平面区域是一个（）A.三角形B.梯形C.矩形D.菱形6.满足不等式y2-x2≥0的点（x，y）的集合（用阴影表示）是（）7.已知函数f（x）=1,1,0,x xx x-+<0,⎧⎨-≥⎩则不等式x+（x+1）f（x+1）≤1的解集是（）A.{x|-1≤x≤2-1}B.{x|x≤1}C.{x|x≤2-1}D.{x|-2-1≤x≤2-1}8. 设，且，则M的取值范围是（）A. B. ，1）C. D.［8，+∞）9.对于满足等式x2+（y-1）2=1的一切实数x、y，不等式x+y+c≥0恒成立，则实数c的取值范围是（）A.（-∞，0］B.［2，+∞）C.［2-1，+∞）D.［1-2，+∞）10.如果正数a，b，c，d满足a+b=cd=4，那么（）A.ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一B.ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一C.ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d 的取值不唯一D.ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d 的取值不唯一二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）11.不等式2242x x+-≤12的解集为.12.函数y=1xa-（a＞0，a≠1）的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0（mn＞0）上，则1m+1n的最小值为.13.若不等式＞0对x∈R恒成立，则关于t的不等式的解集为 .14.设x，y，z∈R，则的最大值是 .三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共80分）15.（12分）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏目的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告版面的高与宽的尺寸（单位:cm）能使矩形广告的面积最小?16.（12分）不等式（m2-2m-3）x2-（m-3）x-1<0对一切x∈R恒成立，求实数m的取值范围.17.（12分）已知a，b，c是不全相等的正数，求证：18.（15分）已知二次函数f（x）满足f（-2）=0，且2x≤f（x）≤242x+对一切实数x都成立.（1）求f（2）的值；（2）求f（x）的解析式；（3）设b n=1()f n，数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n＞43(3)nn+.19.（14分）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，则投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元才能使可能的盈利最大？20.（15分）某村计划建造一个室内面积为72 m2的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？第3章 不等式（数学人教B 版必修5）答题纸得分：一、选择题 题号12345678910答案二、填空题11． 12． 13． 14． 三、计算题 15． 16. 17. 18. 19. 20.第3章 不等式（数学人教B 版必修5）参考答案一、选择题1.D 解析：∵ 是增函数，而0＜b ＜a ＜1，∴ .2.D 解析：∵ t-s =a+2b-a-b 2-1=-（b-1）2≤0，∴ t ≤s .3.C 解析：不等式组表示的平面区域如图所示， 由34,34x y x y +=⎧⎨+=⎩得交点A 的坐标为（1，1），又B ，C 两点的坐标分别为（0，4），(0，43)， 故S △ABC =12 (4-43)×1=43. 4.B 解析：特殊值法.令a =7，b =3，c =1，满足a ＞b ＞c ＞0， ∴2log (11)1+＞2log (31)3+＞2log (71)7+. 5. A 解析：不等式组可化为或在平面直角坐标系中作出符合上面两个不等式组的平面区域，如图中的阴影部分所示，∴不等式组 表示的平面区域为三角形.6.B 解析：取测试点（0，1）可知C ，D 错，再取测试点（0，-1）可知A 错，故选B.7.C 解析：依题意得10,10,(1)()1(1)1x x x x x x x x +<+≥⎧⎧⎨⎨++-≤++≤⎩⎩或， 所以1,1,2121x x x x ≥-⎧<-⎧⎪⇒⎨⎨∈--≤≤-⎪⎩⎩R 或x ＜-1或-1≤x ≤2-1x ≤2-1，故选C. 8. D 解析：M ≥9.C 解析：令x = cos θ，y =1+ sin θ，则-（x+y ）=- sinθ-cos θ-1=-2sin (θ+π4)-1.∴ -（x+y ）max =2-1.∵ x+y+c ≥0恒成立，故c ≥-（x+y ）max =2-1，故选C.10.A 解析：因为a+b =cd =4，由基本不等式得a+b ≥2ab ，故ab ≤4.又cd ≤2()4c d +，故c+d ≥4，所以ab ≤c+d ，当且仅当a =b =c =d =2时，等号成立.故选A.11.{x |-3≤x ≤1} 解析：依题意x 2+2x-4≤-1（x+3）（x-1）≤0x ∈［-3，1］. 12.4 解析：由题意知A （1，1），∴ m+n-1=0，∴ m+n =1， ∴1m +1n =(1m +1n )（m+n ）=2+n m +m n ≥2+2n mm n•=4. 13.（-2，2） 解析：由-2ax +a ＞0对x ∈R 恒成立得 ，即0＜a ＜1，∴ 函数是R 上的减函数， ∴，解得-2＜t ＜2. 14. 解析： ⇒ ⇒ ⇒.15.解：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab =9 000.① 广告版面的高为a+20，宽为2b+25，其中a ＞0，b ＞0.广告的面积S =（a+20）（2b+25）=2ab+40b+25a+500=18 500+25a+40b ≥18 500+22540a b •=18 500+ 21000ab =24 500.当且仅当25a =40b 时等号成立，此时b =58a ，代入①式得a =120，从而b =75，即当a =120，b =75时，S 取得最小值24 500. 故广告版面的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小.16.解：若m2-2m-3=0，则m=-1或m=3.当m=-1时，不合题意；当m=3时，符合题意.若m2-2m-3≠0，设f（x）=（m2-2m-3）x2-（m-3）x-1，则由题意，得22230,230,m mm m m∆2⎧--<⎨=[-(-3)]+4(--)<⎩解得-15<m<3.综合以上讨论，得-15<m≤3.17.证明：∵∴ . ①同理②. ③∵a，b，c是不全相等的正数，∴，，三式中不能全取“＝”，∴①②③三式相加，得.18.（1）解：∵2x≤f（x）≤242x+对一切实数都成立，∴4≤f（2）≤4，∴f（2）=4.（2）解：设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）. ∵f（-2）=0，f（2）=4，∴424,1, 42024.a b c ba b c c a++==⎧⎧⇒⎨⎨-+==-⎩⎩∵ax2+bx+c≥2x，即ax2-x+2-4a≥0，∴Δ=1-4a（2-4a）≤0⇒（4a-1）2≤0，∴a=14，c=2-4a=1，故f（x）=24x+x+1.（3）证明：∵b n=1()f n=24(2)n+＞4(2)(3)n n++=4(12n+-13n+)，∴S n=b1+b2+…+b n＞4[(13-14)+(14-15)+…+(12n+-13n+)]=4×13-13n+=43(3)n+.19.解：设投资人分别用x，y万元投资甲，乙两个项目，由题意，得10,0.30.1 1.8,0,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩目标函数为z =x+0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即为可行域.作直线l0:x+0.5y=0，并作平行于直线l0的一组直线x+0.5y=z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点M，此时z最大，这里点M是直线x+y=10与直线0.3x+0.1y=1.8的交点.解方程组10,0.30.1 1.8,x yx y+=⎧⎨+=⎩得4,6,xy=⎧⎨=⎩此时，z=4+0.5×6=7（万元）.∴当x=4，y=6时，z取得最大值.答：投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能使可能的盈利最大.20.解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则ab=72，蔬菜的种植面积S=（a-4）（b-2）=ab-4b-2a+8=80-2（a+2b）≤80-42ab=32（m2）.当且仅当a=2b，即a=12，b=6时，S max=32.答：矩形温室的边长为6 m，12 m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是32 m2.。