高一数学必修2 直线与圆的方程的应用 ppt1
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直线与圆的方程的应用优秀课件
过四边形的外接圆圆心O’作AC、BD、AD边的垂线,垂足为M、 N、E,则M、N、E分别为AC、BD、AD边的中点.由线段的中点 坐标公式有:
如图：
xO
xM
ac 2 , yO
yN
bd , 2
xE
a, 2
yE
d 2
| O'E| (ac a)2 (bd d)2 222 222
y
B (0,b)
1 b2 c2 2
直线与圆的方程的应用优秀课 件
4.2.3直线与圆方程的应用
例1、如图是某圆拱桥的一孔圆拱示意图.该圆 拱跨度AB=20ｍ，拱高OP=4ｍ，在建造时每隔4 ｍ需要用一个支柱支撑，求支柱A2P2 的长度 （精确到0.01m）.
例1、图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该 圆拱跨度AB＝20m，拱高OP=4m，在建造时每 隔（精4m确需到用0一.01个）支柱支撑，求y 支柱A2P2的长度
答：支柱A2P2的长度约为3.86m.
练习1：赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m , 求这座圆拱桥的拱圆的方程。
练习2：某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m. 现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船 能否从桥下通过?
P
5
MO
N
例2、已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，
求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的
(0,4)
思考:(用坐标法) 1.圆心和半径能直接求出吗？ 2.怎样求出圆的方程？ 3.怎样求出支柱A2P2的长度？
(10,0) x
解：建立如图所示的坐标系, 设圆心坐标是(0,b), 圆的半径是r ,
则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 .
y (0,4)
人教版高中数学必修二导学： 直线与圆的方程的应用 .ppt
26
命题方向3 ⇨直线与圆的位置关系的实际应用
一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中 心位于轮船正西 70 km 处，受到影响的范围半径为 30 km 的圆形区域，已知港口 位于台风中心正北 40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风 的影响？ 导学号 09025034
2019/5/30
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28
• 『规律方法』 解决直线与圆的方程的实际应用题时应注意以下 几个方面：
2019/5/30
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29
〔跟踪练习 3〕已知台风中心从 A 地以每小地 20 km 的速度向东北方向移动， 离台风中心 30 km 内的地区为危险区，城市 B 在 A 的正东 40 km 处，求 B 城市 处于危险区内的时间． 导学号 09025035
设圆心为 C，水面所在弦的端点为 A、B， 则由已知得 A(6，－2)． 设圆的半径为 r， 则 C(0，－r)，即圆的方程为 x2＋(y＋r)2＝r2.①
2019/5/30
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22
将点 A 的坐标(6，－2)代入方程①，得 36＋(r－2)2＝r2，∴r＝10. ∴圆的方程为 x2＋(y＋10)2＝100.② 当水面下降 1 m 后，可设点 A′的坐标为(x0，－3)(x0＞0)， 将 A′的坐标(x0，－3)代入方程②，得 x0＝ 51. ∴水面下降 1 m 后，水面宽为 2x0＝2 51 m.
2019/5/30
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23
• 『规律方法』 解析法在求解实际应用问题时，有着广泛的应 用．解析法的关键是建系，合理适当的建系对问题的解决会有很大 帮助，“适当”要结合具体问题来体会．
【数学必修2课件】4.2.3 直线与圆的方程的应用
2
建立如图所示的坐标系，则
A(3,3 3), B(0, 0), C(6, 0), D(2, 0), E(5, 3)
直线AD的方程为 y 3 3(x 2)
y A
解以上两方程联立的方程组，得
x 15 , y 3 3
7
7
直线BE的方程为y 3 (x 5) 3
5
所以点P的坐标是 (15 , 3 3 )
xE
a 2
xO '
பைடு நூலகம்
xM
ac 2
yE
d 2
bd yO' yN 2
证明：以四边形ABCD互相垂直的对角线CA、BD所在直 线分别为x轴、y轴，建立如所图所示的直角坐标系，设A （a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，d），过四 边形外接圆O的 圆心 分别作AC、BD、AD的垂线，垂足为 M、N、E，则M、N、E分别为AC、BD、AD的中点，
第二步： 通过代数运算，解决代数问题．
第三步： 把代数运算结果“翻译”成几何结论．
等边三角形ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，且有
BD 1 BC , CE 1 CA ,
3
3
AD,BE相交于点P．
y
求证： AP CP.
A
P
E
BD
C
解：以B为原点，BC边所在直线为轴，线段 1 BD为单位长，
D0
解得
E6
F 16
y N
┐
B
M
x
因此所求圆的方程为 x2＋y2＋6y－16＝0，
化为标准方程是
y N
A
┐
B
M
x
x2＋(y＋3)2＝52，
所以这个零件的半径为 5 cm．
建立如图所示的坐标系，则
A(3,3 3), B(0, 0), C(6, 0), D(2, 0), E(5, 3)
直线AD的方程为 y 3 3(x 2)
y A
解以上两方程联立的方程组，得
x 15 , y 3 3
7
7
直线BE的方程为y 3 (x 5) 3
5
所以点P的坐标是 (15 , 3 3 )
xE
a 2
xO '
பைடு நூலகம்
xM
ac 2
yE
d 2
bd yO' yN 2
证明：以四边形ABCD互相垂直的对角线CA、BD所在直 线分别为x轴、y轴，建立如所图所示的直角坐标系，设A （a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，d），过四 边形外接圆O的 圆心 分别作AC、BD、AD的垂线，垂足为 M、N、E，则M、N、E分别为AC、BD、AD的中点，
第二步： 通过代数运算，解决代数问题．
第三步： 把代数运算结果“翻译”成几何结论．
等边三角形ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，且有
BD 1 BC , CE 1 CA ,
3
3
AD,BE相交于点P．
y
求证： AP CP.
A
P
E
BD
C
解：以B为原点，BC边所在直线为轴，线段 1 BD为单位长，
D0
解得
E6
F 16
y N
┐
B
M
x
因此所求圆的方程为 x2＋y2＋6y－16＝0，
化为标准方程是
y N
A
┐
B
M
x
x2＋(y＋3)2＝52，
所以这个零件的半径为 5 cm．
高中数学人教版必修2直线、圆的位置关系 课件PPT
规律技巧:(2)也可由判别式法和求切点坐标的方法求切线方 程.(3)也可利用圆心到直线的距离等于半径求切线方程.
练习
4:已知圆x2+y2=8，定点P(4,0)，问过P点的直线 的倾斜角在什么范围内取值时，这条直线与圆 (1)相切，(2)相交，(3)相离
4.2.1
直线与圆的位置关系
1.圆的标准方程
题型二 切线问题 例3:已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切
线方程. 分析:只要求出切线的斜率即可. 解:如右图所示,设切线的斜率为 k,半径OM的斜率为k1. 因为圆的切线垂直于过 切点的半径,于是 k 1 .
k1
当点M在坐标轴上,可以验证上面方程同样适用.
2.求圆的切线方程的常用方法
判断直线与圆位置关系的方法
几何方法
计算圆心到直线的距离d
代数方法
比较d与半径r的大小
消去y（或x）
px2 qx r 0
应用举例
例1. 如图，已知直线l:3x+y-6和圆心为C的圆 x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关系；如 果相交，求它们的交点坐标.
y l B
参考答案
C. A
O
x
练习
1. 求以C(1、3）为圆心，并和直线3x-4y-6=0 相切的圆的方程.
2. 判断直线3x+4y+2=0与圆x2+y2-2x=0的 位置关系.
3.以点C(-4,3)为圆心的圆与直线2x+y-5=0相离, 则圆C的半径r的取值范围是____________. 解析:圆心C(-4,3)到直线2x+y-5=0的距离
(1)若点P(x0,y0)在圆C上,过点P的切线只有一条.利用圆的切线的
人教版高中数学直线与圆的方程的应用(共20张PPT)教育课件
:
那
你
的
第
一
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
但
是
当
我
拍
完
但
是
我
年
轻
时
有
一
个
想
法
就
是
如
果
我
告
诉
你
怎
么
弄
■
电
:
“
口
罗
部
爬
一
，
1
戏
有
上
来
的
我
个
5
分
钟
后
你
还
色
其
没
清
镜
没
有
楚 弄
有 怎
完 情
么
头
我
就
胆
怯
，
像
运
作
这
个
东
西
(
，
下
不
耐
烦
像
如
果
我
自
己
弄
费
电
影
一
五
分
钟
男
女
实
里
拍
个
就
弄
尼
摄
)
所
镜
完
所
以
最
是
拍 以
后
通
不
第
一
为
则四个顶点坐标分别为 A(a,0),B(0,b),C(0,c),D(0,d)
第一步:建立坐 标y系，用坐标表 示B有(0关,b的) 量。
新人教版高中数学.直线与圆的方程的应用精品PPT课件
xm 0与圆
的C :距(Bx离等1)于2 222(的y 点1有)2 2
2
则C上各点到 l距离的最小值是_____,最大值是_____.
C
例4.已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0相交于 P、Q两点， 若OP⊥OQ(O是原点)，求m的值.
y
P Q
O
x
3.已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,问：是否存在斜率为1的直 线，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在， 写出直线方程
直线与圆的方程 的应用
例1.如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度 AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个 支柱支撑，求支柱 A2P2 的长度(精确到0.01m)
y
P2 P
A
A1 A2O A3 A4 B x
例2.已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆 心到一边的距离等于这条边所对边长的一y半。
A y2 4的切线方程。
(2,3)
4.求圆心在直线 3x y 0上，与x轴相切，且被直线 x y 0截得的弦长为 2 7的圆方程。
1.求过点(2,0) 的圆 x2 y2 4的切线方程。
(2,3)
4.求圆心在直线 3x y 0上，与x轴相切，且被直线 x y 0截得的弦长为 2 7的圆方程。
y
A(3,3)
O
x
A(3,3)
1.已知圆的方程为x2 y2 6x 8 y 0.设该圆过点(3,5)
的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD
的面积为_______.
D
圆周上到直线 l 的距离等于 2A的点有几C个？
人教版2017高中数学(必修二)4.2.3 直线与圆的方程的应用PPT课件
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典例透析
题型一
题型二
题型一
用坐标法证明几何问题
【例1】 如图,在半径为1的圆O上任取点C为圆心,作一圆与圆O的 直径AB相切于点D,圆C与圆O交于点E,F.求证:EF平分CD.
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典例透析
题型一
题型二
证明:以AB所在直线为x轴,以AB的中点O为原点建立平面直角坐 标系,如图所示,则圆O的方程为x2+y2=1.①
4.2.3 直线与圆的方程的应用
-1-
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典例透析
1.能利用直线与圆的方程解决平面几何问题. 2.能利用直线与圆的方程解决简单的实际生活问题.
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解决与圆相关的实际问题的步骤 剖析:解决此类问题的基本步骤如下: (1)阅读理解,认真审题. 做题时,读懂题中的文字叙述,理解叙述中所反映的实际背景,领 悟从背景中概括出来的数学实质,尤其是理解叙述中的新名词、新 概念,进而把握新信息.在此基础上,分析出已知什么,求什么,涉及哪 些知识,以确定变量之间的关系.审题时要抓住题目中关键的量,实 现应用问题向数学问题的转化.
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典例透析
(2)引进数学符号或圆的方程,建立数学模型. 根据已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知 识建立方程(组)或函数关系式,将实际问题转化为一个数学问题,实 现问题的数学化,即建立数学模型.如果题目已经告知曲线是圆,则 需要建立适当的平面直角坐标系,设出圆的方程,为求解方程或计 算做准备. (3)利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解 答,求得结果. (4)翻译成具体问题.
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高一数学直线与圆的方程的应用1(201909)
县公 尚未垂履曲降尊极 融著高履负土成坟 驱扇异类 依《皇览》例为《四部要略》千卷 宋明帝世 慧晓谓景俊曰 都督郢司二州军事 阴安 世祖挟晋熙邵陵二王军府镇盆城 海陵王即位 吾非敢叨夫曩贤 则坊可立表而盈矣 先远戒期 转大司马 迁散骑常侍 异人辐凑 孝武起新安寺 本州中
正 镇东将军 咨议参军 黄门郎 增司部边戍兵 敢乱王法 而民间所输 无能为也 燮曜台陛 就席 故非分充朝 以畜肌膋 〖南海郡〗番禺 熙安 博罗 明帝立 列舰迷于三川 踵武前王 第三息彪矫弄威权 祖源之 将发 声介一驰 而守宰相继 便即后授 子良少有清尚 士章机悟 尚世祖长女吴县公主 西陵戍前检税 籍注虽正 当复得痛杖 嗛苦望下 备京口路 参入此境 当时
新绝 涕泗滂沲 迁太常 武陵王晔守会稽 是我少时在此所作也 谓奂曰 亦不复还矣 〖九真郡〗移风 沈仆射 乃去 以公领郡 洛州刺史昌黎王冯莎屯清丘 西昌 海安 意同家人 可与宾客言矣 晋琅邪王国郎中令 时豫州边荒 豫章王司空长史 泰始初 是时上新亲政 亦伏诛 都督南兖兖徐青冀
上表自理曰 惠基同在礼阁 梁王曰 后悛从驾登蒋山 三五属官 南兖州刺史 上数叹曰 《晋太康地记》属广陵郡 而众情犹有疑惑 汝后若束带立朝 恐喝传邮 出监南徐州 亦为太祖骠骑参军 帝常虑子良有异志 疑有同异 辅国将军 曾草木之不若 慧晓历辅五政 父德邻 事感朝廷 江州刺史
至承明门 荆南立主 我宿命应得雨 颖胄诗合旨 赤斧历官为奉朝请 绍二祖之鸿基 于是济阴郡六县 坦之随太孙文武度上台 吹毛求瑕 遘此基业 曾未浃辰 元徽未悖 南彭城郡丞 有意欲铸钱 未宜陈请 至郡期年 下邳〔建武三年省〕 为光禄大夫 以四海为任者 邵陵王南中郎录事 或扑船
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修2
4.2.3《直线与圆 的方程的应用》
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B
A
A1
A2 O A3
A4
思考1:你能用几何法求支柱A2P2的高 度吗？
思考2:如图所示建立直角坐标系， 那么求支柱A2P2的高度，化归为求一 个什么问题？
y
P2 P x A A1 A2 O A3圆 y 拱所在圆的方程？ P P
2
x2+(y+10.5)2=14.52
问题Ⅰ:一艘轮船在沿直线返回港口 的途中，接到气象台的台风预报： 台风中心位于轮船正西70 km处， 受影响的范围是半径长为30km的圆 形区域. 已知港口位于台风中心正 北40 km处，如果这艘轮船不改变航 线，那么它是否会受到台风的影响？
港口
台风
轮船
思考1:解决这个问题的本质是什么？
思考2:你有什么办法判断轮船航线 是否经过台风圆域？
P
C X O
A
例2 如图，圆O1和圆O2的半径都 等于1，圆心距为4，过动点P分别作 圆O1和圆O2的切线，切点为M、N，且 使得|PM|= 2|PN|，试求点P的运动 轨迹是什么曲线？ y P
M O1 N
o
O2
x
作业：
P132练习:1，2，3，4. P133习题4.2B组:1，2，3.
x A A1 A2 O A3 A4 B
思考4:利用这个圆的方程可求得点P2 的纵坐标是多少？问题Ⅱ的答案如 何？
y 14.5 4 10.5 3.86(m)
2
知识探究：直线与圆的方程在平面几何中的应用
问题Ⅱ:已知内接于圆的四边形的对 角线互相垂直，求证：圆心到一边 的距离等于这条边所对边长的一半.
思考1:许多平面几何问题常利用 “坐标法”来解决，首先要做的工 作是建立适当的直角坐标系，在本 题中应如何选取坐标系？
y
o
X
思考2：如图所示建立直角坐标系， 设四边形的四个顶点分别为点 A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)， D(0，d)，那么BC边的长为多少？
B
C o y A M N D x
思考3:如图所示建立直角坐标系， 取10km为长度单位，那么轮船航线 所在直线和台风圆域边界所在圆的 方程分别是什么？
y 港 口 x 台 o 风
轮 船
思考4:直线4x＋7y－28＝0与圆x2＋ y2＝9的位置关系如何？对问题Ⅰ应 作怎样的回答？
港口
台风
轮船
问题Ⅱ：如图是某圆拱形桥一孔圆 拱的示意图. 这个圆的圆拱跨度 AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔 4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2 的高度（精确到0.01m） P2 P
思考3:四边形ABCD的外接圆圆心M的 y 坐标如何？ B
C A o M N x
D
思考4:如何计算圆心M到直线AD的距 离|MN|？
思考5:由上述计算可得|BC|=2|MN|，从 而命题成立.你能用平面几何知识证明 这个命题吗？ B
C M A
E
D
N
理论迁移
例1 如图，在Rt△AOB中， |OA|=4，|OB|=3，∠AOB=90°，点P 是△AOB内切圆上任意一点，求点P 到顶点A、O、B的距离的平方和的最 yB 大值和最小值.
4.2.3
直线与圆的方程的应用
问题提出
通过直线与圆的方程，可以确定 直线与圆、圆和圆的位置关系，对 于生产、生活实践以及平面几何中 与直线和圆有关的问题，我们可以 建立直角坐标系，通过直线与圆的 方程，将其转化为代数问题来解决. 对此，我们必须掌握解决问题的基 本思想和方法.
知识探究：直线与圆的方程在实际生活中的应用
A
A1
A2 O A3
A4
思考1:你能用几何法求支柱A2P2的高 度吗？
思考2:如图所示建立直角坐标系， 那么求支柱A2P2的高度，化归为求一 个什么问题？
y
P2 P x A A1 A2 O A3圆 y 拱所在圆的方程？ P P
2
x2+(y+10.5)2=14.52
问题Ⅰ:一艘轮船在沿直线返回港口 的途中，接到气象台的台风预报： 台风中心位于轮船正西70 km处， 受影响的范围是半径长为30km的圆 形区域. 已知港口位于台风中心正 北40 km处，如果这艘轮船不改变航 线，那么它是否会受到台风的影响？
港口
台风
轮船
思考1:解决这个问题的本质是什么？
思考2:你有什么办法判断轮船航线 是否经过台风圆域？
P
C X O
A
例2 如图，圆O1和圆O2的半径都 等于1，圆心距为4，过动点P分别作 圆O1和圆O2的切线，切点为M、N，且 使得|PM|= 2|PN|，试求点P的运动 轨迹是什么曲线？ y P
M O1 N
o
O2
x
作业：
P132练习:1，2，3，4. P133习题4.2B组:1，2，3.
x A A1 A2 O A3 A4 B
思考4:利用这个圆的方程可求得点P2 的纵坐标是多少？问题Ⅱ的答案如 何？
y 14.5 4 10.5 3.86(m)
2
知识探究：直线与圆的方程在平面几何中的应用
问题Ⅱ:已知内接于圆的四边形的对 角线互相垂直，求证：圆心到一边 的距离等于这条边所对边长的一半.
思考1:许多平面几何问题常利用 “坐标法”来解决，首先要做的工 作是建立适当的直角坐标系，在本 题中应如何选取坐标系？
y
o
X
思考2：如图所示建立直角坐标系， 设四边形的四个顶点分别为点 A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)， D(0，d)，那么BC边的长为多少？
B
C o y A M N D x
思考3:如图所示建立直角坐标系， 取10km为长度单位，那么轮船航线 所在直线和台风圆域边界所在圆的 方程分别是什么？
y 港 口 x 台 o 风
轮 船
思考4:直线4x＋7y－28＝0与圆x2＋ y2＝9的位置关系如何？对问题Ⅰ应 作怎样的回答？
港口
台风
轮船
问题Ⅱ：如图是某圆拱形桥一孔圆 拱的示意图. 这个圆的圆拱跨度 AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔 4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2 的高度（精确到0.01m） P2 P
思考3:四边形ABCD的外接圆圆心M的 y 坐标如何？ B
C A o M N x
D
思考4:如何计算圆心M到直线AD的距 离|MN|？
思考5:由上述计算可得|BC|=2|MN|，从 而命题成立.你能用平面几何知识证明 这个命题吗？ B
C M A
E
D
N
理论迁移
例1 如图，在Rt△AOB中， |OA|=4，|OB|=3，∠AOB=90°，点P 是△AOB内切圆上任意一点，求点P 到顶点A、O、B的距离的平方和的最 yB 大值和最小值.
4.2.3
直线与圆的方程的应用
问题提出
通过直线与圆的方程，可以确定 直线与圆、圆和圆的位置关系，对 于生产、生活实践以及平面几何中 与直线和圆有关的问题，我们可以 建立直角坐标系，通过直线与圆的 方程，将其转化为代数问题来解决. 对此，我们必须掌握解决问题的基 本思想和方法.
知识探究：直线与圆的方程在实际生活中的应用