2020版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第3讲课后作业理(含解析)
2020版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形3.5两角和与差的正弦、余弦与正切公式课后作业理
3．5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．计算sin43°cos13°＋sin47°cos103°的结果等于( ) A.12 B.33 C.22 D.32 答案 A解析 原式＝sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12.故选A.2.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案 C解析 sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°·sin17°， ∴原式＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.故选C.3．已知过点(0,1)的直线l ：x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，则tan(α＋β)＝( ) A ．－73 B.73 C.57 D ．1答案 D解析 由题意知tan α＝2，tan β＝－13.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1.故选D.4．(2017·云南一检)cos π9·c os 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝( )A ．－18B ．－116 C.116 D.18答案 A解析 cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9 ＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－sin20°·cos20°·cos40°·cos80°sin20°＝－12sin40°·cos40°·cos80°sin20°＝－14sin80°·cos80°sin20°＝－18sin160°sin20°＝－18sin20°sin20°＝－18.故选A.5．(2017·衡水中学二调)3cos10°－1sin170°＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4 答案 D 解析 3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10°＝3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝2sin 10°－30°12sin20°＝－2sin 20°12sin20°＝－4.故选D.6．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛ π4－⎭⎪⎫β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )A.33 B ．－33 C.539 D ．－69答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2，由0<α<π2，得π4<α＋π4<3π4，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223. 由－π2<β<0，得π4<π4－β2<π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，代入上式，得cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝539，故选C.7．(2018·长春模拟)已知tan(α＋β)＝－1，tan(α－β)＝12，则sin2αsin2β的值为( )A.13 B ．－13 C ．3 D ．－3 答案 A 解析 sin2αsin2β＝sin[α＋β＋α－β]sin[α＋β－α－β]＝sin α＋βcos α－β＋cos α＋βsin α－βsin α＋βcos α－β－cos α＋βsin α－β＝tan α＋β＋tan α－βtan α＋β－tan α－β＝13.故选A.8．(2017·山西八校联考)若将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上的最小值是( )A ．－12B ．－32 C.22 D.12答案 D解析 ∵f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)＝2sin ( 2x ＋φ＋π3 )，∴将函数f (x )的图象向左平移π4个单位长度后，得到函数解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3的图象．∵该图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，对称中心在函数图象上，∴2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2＋φ＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋φ＋π3＝0，解得π＋φ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－5π6，k ∈Z . ∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上的最小值是12.故选D.9．(2018·兰州检测)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4 答案 A解析 由题意知，－2cos B cos C ＝sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，等式－2cos B cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C 两边同除以cos B cos C ，得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π4.故选A.10．(2018·河北模拟)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ等于( )A.23B.43C.34D.32 答案 D解析 由sin θ－cos θ＝－144，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74，∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴π4－θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34，∴2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32.故选D.二、填空题11．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝________.答案 13解析 ∵(cos αcos β－sin αsin β)(cos αcos β＋sin αsin β)＝13，∴cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β＝13.∴cos 2α(1－sin 2β)－(1－cos 2α)sin 2β＝13.∴cos 2α－sin 2β＝13.12．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．答案 －3π4解析 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171＋12×17＝13>0，又α∈(0，π)，∴0<α<π2.又∵tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.13．(2017·江苏模拟)已知α、β为三角形的两个内角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则β＝________.答案π3解析 因为0<α<π，cos α＝17，所以sin α＝1－cos 2α＝437，故π3<α<π2，又因为0<α＋β<π，sin(α＋β)＝5314<32，所以0<α＋β<π3或2π3<α＋β<π.由π3<α<π2，知2π3<α＋β<π， 所以cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－1114，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝12，又0<β<π，所以β＝π3.14．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________． 答案 －142解析 ∵sin α＝12＋cos α，∴sin α－cos α＝12，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝14，∴2sin αcos α＝34，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＋cos α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α ＝ 1＋34＝72， ∴cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos α＋sin αcos α－sin α22sin α－cos α ＝－2(sin α＋cos α)＝－142. B 级三、解答题15．(2017·合肥质检)已知a ＝(sin x ，3cos x )，b ＝(cos x ，－cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)若方程f (x )＝13在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．解 (1)f (x )＝a ·b ＋32＝(sin x ，3cos x )·(cos x ，－cos x )＋32＝sin x ·cos x －3cos 2x ＋32＝12sin2x －32cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，即函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )．(2)由条件知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝13>0，设x 1<x 2，则0<x 1<5π12<x 2<2π3，易知(x 1，f (x 1))与(x 2，f (x 2))关于直线x ＝5π12对称，则x 1＋x 2＝5π6， ∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x 1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－5π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π3－π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 1－π3＝13.16．(2017·黄冈质检)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π6.(1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合；(2)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝32，b ＋c ＝2.求实数a的取值范围．解 (1)f (x )＝2cos 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π6＝(1＋cos2x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2x cos 7π6－cos2x sin 7π6 ＝1＋32sin2x ＋12cos2x ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴函数f (x )的最大值为2.当且仅当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1，即2x ＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π6，k ∈Z 时取到．∴函数f (x )的最大值为2时x 的取值集合为x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π＋π6，k ∈Z . (2)由题意，f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋1＝32，化简得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12.∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3.在△ABC 中，根据余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝1，即a 2≥1.∴当且仅当b ＝c ＝1时，取等号．又由b ＋c >a 得a <2.所以a 的取值范围是[1,2)．17．(2017·青岛诊断)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＋3a cos B ＝3c .(1)求角A 的大小；(2)已知函数f (x )＝λcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋A 2－3(λ>0，ω>0)的最大值为2，将y ＝f (x )的图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的32倍后便得到函数y ＝g (x )的图象，若函数y ＝g (x )的最小正周期为π.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．解 (1)∵a sin B ＋3a cos B ＝3c ， ∴sin A sin B ＋3sin A cos B ＝3sin C . ∵C ＝π－(A ＋B )，∴sin A sin B ＋3sin A cos B ＝3sin(A ＋B ) ＝3(sin A cos B ＋cos A sin B )． 即sin A sin B ＝3cos A sin B .∵sin B ≠0，∴tan A ＝3，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)由A ＝π3，得f (x )＝λcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－3＝λ·1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π32－3＝λ2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋λ2－3，∴λ－3＝2，λ＝5.∴f (x )＝5cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－3＝52cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3－12，从而g (x )＝52cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫43ωx ＋π3－12，∴2π43ω＝π，得ω＝32， ∴f (x )＝52cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π3－12.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，π3≤3x ＋π3≤11π6，∴－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3≤32，从而－3≤f (x )≤53－24，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，53－24.18．(2017·江西南昌三校模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π4.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3，且F (x )＝－4λf (x )－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的最小值是－32，求实数λ的值． 解 (1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π4＝12cos2x ＋32sin2x ＋(sin x－cos x )(sin x ＋cos x )＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)F (x )＝－4λf (x )－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3 ＝－4λsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－4λsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－λ2－1－2λ2.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3，∴0≤2x －π6≤π2， ∴0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1. ①当λ<0时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝0时，F (x )取得最小值，最小值为－1，这与已知不相符；②当0≤λ≤1时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝λ时，F (x )取得最小值，最小值为－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－32，解得λ＝－12(舍)或λ＝12；③当λ>1时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1时，F (x )取得最小值，最小值为1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ>1矛盾．综上所述，λ＝12.。
高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第3讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件 文
xcos
x＋1(x∈R)，当函数
y
取
最大值时，求自变量 x 的集合．
12/11/2021
【解】 (1)①因为 tanπ4＋α＝11－＋ttaann αα＝12，
(2)因为 tan α＝tan[(α－β)＋β]＝1t－ant（anα（－αβ－）β＋）ttaannββ
＝1＋12－12×17 17＝13>0，所以
π 0<α<2.
又因为 tan 2α＝1－2tatannα2α＝1－2×31312＝34>0，
12/11/2021
所以 0<2α<π2， 所以 tan(2α－β)＝1t＋anta2nα－2αttaannββ＝1－34＋34×17 17＝1. 因为 tan β＝－17<0， 所以π2<β<π，－π<2α－β<0，所以 2α－β＝－34π.
所以 0<α＋β<π3或23π<α＋β<π；
又由 cos α＝17<12且 α 为锐角得π3<α<π2，
所以23π<α＋β<π，
于是 cos(α＋β)＝－1114，sin α＝4 7 3，故 cos β＝12.
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3．在△ABC 中，tan A＋tan B＋ 3＝ 3tan A·tan B，则 C π
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2cos 1.
10°－sin sin 70°
20°的值是___3_____．
[解析] 原式＝2cos（30°－sin207°0°）－sin 20°
＝2（cos
30°·cos
20°＋sin 30°·sin sin 70°
20°）－sin
2020版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第3讲三角函数的图象与性质讲义理含解析
高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形：第3讲 三角函数的图象与性质1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质1．概念辨析(1)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．( )(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．( )(3)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2π3＝sin π6知，2π3是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期．( )(4)三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．小题热身(1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A ．4π B．2π C．π D.π2答案 C解析 函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期T ＝2π2＝π.故选C.(2)函数y ＝1－2cos x 的单调递减区间是________． 答案 [2k π－π，2k π](k ∈Z )解析 y ＝1－2cos x 的单调递减区间就是y ＝cos x 的单调递增区间，即[2k π－π，2k π](k ∈Z )．(3)函数y ＝3－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________.答案 55π4＋2k π(k ∈Z ) 解析 函数y ＝3－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝3π2＋2k π，即x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )．(4)cos23°，sin68°，cos97°从小到大的顺序是________． 答案 cos97°<cos23°<sin68°解析 sin68°＝sin(90°－22°)＝cos22°. 因为余弦函数y ＝cos x 在[0，π]上是单调递减的， 且22°<23°<97°，所以cos97°<cos23°<cos22°. 即cos97°<cos23°<sin68°.题型 一 三角函数的定义域和值域1．函数f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( ) A ．{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π6 B ．[x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－π12 C ．{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π6k ∈Z D ．{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π2＋π6k ∈Z答案 D解析 由2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x ≠k π2＋π6，k ∈Z ，所以函数f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是 {x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π2＋π6，k ∈Z . 2．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3 答案 A解析 因为0≤x ≤9，所以－π3≤π6x －π3≤7π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.所以y ∈[－3，2]，所以y max ＋y min ＝2－ 3.3．(2018·长沙质检)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1解析 令t ＝sin x －cos x ，则t ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4∈[－2，2]．由(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x 得 sin x cos x ＝12(1－t 2)，所以y ＝t ＋12(1－t 2)，t ∈[－2，2]的值域即为所求．因为y ＝t ＋12(1－t 2)＝－12(t －1)2＋1，当t ＝－2时，y min ＝－12－2，当t ＝1时，y max ＝1，所以原函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1.1．三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．三角函数最值或值域的三种求法1．函数y ＝cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．R 答案 C 解析 由cos x －32≥0，得cos x ≥32， ∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .2．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π解析 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6.因为x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，由函数y ＝sin x 的图象和性质可知，π2≤a ＋π6≤7π6，解得a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.3．函数y ＝－cos 2x ＋3cos x －1的最大值为________． 答案 1解析 由题意可得y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －322＋54，－1≤cos x ≤1，所以当cos x ＝1时，y max ＝1.题型 二 三角函数的单调性1．(2018·乌鲁木齐一模)已知π3为函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的零点，则函数f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π12，2k π＋π12(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π12，2k π＋7π12(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z ) 答案 C解析 由于π3为函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的零点，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，解得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．2．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]答案 A解析 由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )，当k ＝0时，由⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，求得12≤ω≤54.3．函数y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为________．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝⎛⎦⎥⎤π2，π解析 如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π.条件探究1 将举例说明1中的函数改为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3，求其单调减区间．解 由已知函数为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 故所给函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． 条件探究2 若举例说明1中函数的定义域改为[0，π]，求其单调递增区间．解 记A ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，B ＝[0，π]．观察数轴可知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π12，π 所以函数y ＝f (x )，x ∈[0，π]的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π12，π.求三角函数单调区间的两种方法(1)复合函数法(2)图象法画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.1．在下列给出的函数中，以π为周期且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数的是( ) A ．y ＝cos x2B ．y ＝cos(－2x )C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4D ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4答案 B解析 y ＝cos x2的周期为4π，不符合要求．y ＝cos(－2x )＝cos2x ，令t ＝2x ，t ＝2x在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，y ＝cos t 在t ∈(0，π)上为减函数，所以y ＝cos(－2x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数，符合要求．同理可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上先增后减，y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数．2．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π3，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c <a <b解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋2π＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3， a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7＝2sin10π21，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π2，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3，因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，且π3<10π21<π2，所以sin π3<sin 10π21<sin π2，即c <a <b . 题型 三 三角函数的周期性、奇偶性、对称性角度1 三角函数的周期性1．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x 1＋tan 2x 的最小正周期为( )A.π4 B.π2C ．π D．2π 答案 C解析 由已知得f (x )＝tan x 1＋tan 2x ＝sin xcos x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x cos x ＝12sin2x ，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.故选C. 角度2 三角函数的奇偶性2．(2018·烟台检测)若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________.答案5π6解析 因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0<φ<π，故φ＝5π6.角度3 三角函数图象的对称性 3．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象( ) A ．关于原点对称 B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线x ＝π6对称答案 B解析 当x ＝0时，y ＝2sin π3＝3，所以A ，C 错误；当x ＝－π6时，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋π3＝0，所以B 正确； 当x ＝π6时，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π3＝3，所以D 错误．1.周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为πω求解．2．函数具有奇偶性的充要条件函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z )； 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )是偶函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x ∈R )是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x ∈R )是偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z )． 3．与三角函数有关的图象的对称性问题对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其图象的对称轴一定经过函数图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断.1．关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法正确的是( )A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π答案 C解析 y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错误；y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增，B 错误；由2x －π3＝k π2得x ＝k π4＋π6(k ∈Z )，得函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π4＋π6，0，k ∈Z ，故C 正确；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的最小正周期为π2，D 错误． 2．(2016·浙江高考)函数y ＝sin x 2的图象是( )答案 D解析 由y ＝sin x 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，可以排除A ，C ；当x ＝π2时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π22＝sin π24≠1，排除B ，故选D. 3．(2018·江苏高考)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos πx 2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________．答案 22解析 因为f (x ＋4)＝f (x )，函数的周期为4，所以f (15)＝f (－1)，f (－1)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12， 所以f [f (15)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22. 高频考点 三角函数的图象与性质考点分析 纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以掌握此类题型的解法，并在高考中拿全分．[典例1] (2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是 ( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减 答案 D解析 因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确．因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，B 项正确．f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－56π，当k ＝1时，x ＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确．因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误．故选D.[典例2] (2018·北京高考)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)．若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．答案 23解析 结合余弦函数的图象得π4ω－π6＝2k π，k ∈Z ，解得ω＝8k ＋23，k ∈Z .又∵ω>0，∴当k ＝0时，ω取得最小值，最小值为23. 方法指导 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质(1)奇偶性：φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数．(原理：诱导公式、y ＝A sin ωx 为奇函数、y ＝A cos ωx ＋b 为偶函数)(2)周期性：y ＝A sin(ωx ＋φ)存在周期性，其最小正周期为T ＝2πω. (3)单调性：根据y ＝sin t 和t ＝ωx ＋φ的单调性来研究，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π，k ∈Z 得单调递增区间；由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π，k ∈Z 得单调递减区间．(原理：复合函数同增异减)(4)对称性：利用y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求得x .利用y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，求得其对称轴．(原理：对称中心、对称轴处函数值的特点)注意：明确推导以上结论的原理，可以类似推出y ＝A cos(ωx ＋φ)、y ＝A tan(ωx ＋φ)的相关性质.。
《第3讲 三角函数的图像与性质》
【反思归纳】 (1)三角函数定义域的求法 ①应用正切函数 y＝tan x 的定义域求函数 y＝Atan(ωx＋φ)的定义 域． ②转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域． (2)简单三角不等式的解法 ①利用三角函数的图象求解． ②利用三角函数线求解．
【即时训练】 (1)函数 y＝lg(2sin x－1)＋ 1－2cos x的定义域为 ________．
2020届高考第一轮复习理科数学
第三章 三角函数、解三角形
第3讲 三角函数的图像与性质
（第三课时）
三角函数的周期性、奇偶性、对称性(多维探究)
角度一 三角函数的周期性
例 3. (1)(2018 潍坊模拟)下列函数中，最小正周期为 π，且图象关于直线
x＝π3对称的是( B )
(A)y＝sin2x－π3
故 y＝f(t)＝12(t＋1)2－1(－ 2≤t≤ 2)，从而知： f(－1)≤y≤f( 2)，即－1≤y≤ 2＋12. 即函数的值域为[－1， 2＋12]．
(2)y＝2cos(π3＋x)＋2cos x
＝
π 3cos
x－2sin
π 3sin
x＋2cos
x
＝3cos x－ 3sin x
＝2
【答案】 (1)[－32，3] (2) 1 (3)[－12－ 2，1]
1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则 () A．f(x)的最小正周期为 π，最大值为 3 B．f(x)的最小正周期为 π，最大值为 4 C．f(x)的最小正周期为 2π，最大值为 3 D．f(x)的最小正周期为 2π，最大值为 4 2.求下列函数的值域： (1)y＝sin x＋cos x＋sin xcos x；(2)y＝2cos(π3＋x)＋2cos x. (《金榜题名》第 54 页 典例 2 【即时训练】)
2020版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形3.3三角函数的图象与性质课后作业理
3．3 三角函数的图象与性质[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0成中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 答案 A解析 依题意得3cos ⎝⎛⎭⎪⎫8π3＋φ＝0，8π3＋φ＝k π＋π2，φ＝k π－136π(k ∈Z )，因此|φ|的最小值是π6.故选A.2．已知函数y ＝sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上是增函数，则实数ω的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，0 B ．[－3,0) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 D ．(0,3]答案 C解析 由于y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，为保证y ＝sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上是增函数，所以ω>0，且π3ω≤π2，则0<ω≤32.故选C. 3．(2017·成都调研)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3 答案 A解析 因为0≤x ≤9，所以－π3≤π6x －π3≤7π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.所以y ∈[－3，2]，所以y max ＋y min ＝2－3，选A.4．(2017·长沙模拟)设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且是偶函数，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4内单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4内单调递增 答案 A解析 由条件，知ω＝2.因为f (x )是偶函数，且|φ|<π2，所以φ＝π4，这时f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x . 因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，2x ∈(0，π)，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减．故选A. 5．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称 答案 D解析 由题意知，f (x )＝cos x ，所以它是偶函数，A 错误；它的周期为2π，B 错误；它的对称轴是直线x ＝k π，k ∈Z ，C 错误；它的对称中心是点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，D 正确．故选D.6．(2017·广州综合测试)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0，则函数f (x )的单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π8，2k π＋5π8(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 答案 D解析 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3π8＋φ＝0，则2×3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，解得φ＝－3π4＋k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ＝π4，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则由π2＋2k π≤2x＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z ，故选D.7．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案 C解析 由y ＝sin πx 3可得T ＝6，则由图象可知5T4≤t ，即152≤t ， ∴t min ＝8.故选C.8．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位长度后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案 A解析 将f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象左移π6个单位长度得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则π3＋φ＝k π(k ∈Z )，且|φ|<π2，所以φ＝－π3，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最小值，最小值为－32，选A.9．若函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－M ，f (b )＝M ，则函数g (x )＝M cos(ωx ＋φ)在[a ，b ]上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值－M答案 C解析 解法一：(特值法)取M ＝2，ω＝1，φ＝0画图象即得答案．解法二：T ＝2πω，g (x )＝M cos(ωx ＋φ)＝M sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π2＝M sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2ω＋φ，∴g (x )的图象是由f (x )的图象向左平移π2ω⎝ ⎛⎭⎪⎫即T 4得到的．由b －a ＝T 2，可知，g (x )的图象由f (x )的图象向左平移b －a2得到的．∴得到g (x )图象如图所示．选C.10．(2018·新疆质检)已知函数f (x )＝|sin x |·cos x ，给出下列五个结论： ①f ⎝⎛⎭⎪⎫2018π3＝－34； ②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则x 1＝x 2＋k π(k ∈Z )；③f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增； ④函数f (x )的周期为π； ⑤f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π2，0成中心对称．其中正确的结论是( )A ．①⑤B ．①②⑤C ．②④D ．②⑤ 答案 A 解析 ①f ⎝⎛⎭⎪⎫2018π3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2018π3·cos 2018π3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－34，∴①正确； ②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪12sin2x 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12sin2x 2，当x 1＝0，x 2＝π2时也成立，∴②不正确； ③∵当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )＝|sin x |cos x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12sin2x ，－π4≤x <0，12sin2x ，0≤x ≤π4，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上不是单调函数，∴③不正确； ④∵f (x ＋π)≠f (x )，∴函数f (x )的周期不是π，∴④不正确； ⑤∵f (x )＝|sin x |cos x＝⎩⎪⎨⎪⎧－12sin2x ，－π＋2k π<x <2k π，12sin2x ，2k π≤x <π＋2k π，k ∈Z ，∴结合图象可知f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0成中心对称，∴⑤正确．故选A. 二、填空题11．设函数f (x )＝sin(3x ＋φ)(0<φ<π)，若函数f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.答案2π3解析 由题意得f ′(x )＝3cos(3x ＋φ)，f (x )＋f ′(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋π3是奇函数，因此φ＋π3＝k π(其中k ∈Z )，φ＝k π－π3.又0<φ<π，所以φ＝2π3.12．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫π2<φ<π的图象，仅向右平移4π3，或仅向左平移2π3，所得到的函数图象均关于原点对称，则ω＝________.答案 12解析 注意到函数的两条相邻对称轴之间距离是函数周期的一半，即有T 2＝4π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝2π，T ＝4π，即2πω＝4π，ω＝12.13．(2017·绵阳模拟)已知函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，A (a,0)，B (b,0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝________.答案 －2解析 ∵函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，∴φ＝π2，f (x )＝－4sin ωx .A (a,0)，B (b,0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1，则12·2πω＝1，∴ω＝π，f (x )＝－4sinπx ， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝－4sin π6＝－2. 14．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中：①图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称； ②图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称； ③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数； ④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0上是增函数． 所有正确结论的编号为________． 答案 ②④解析 ∵y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，∴ω＝2ππ＝2.又其图象关于直线x ＝π12对称，得π6＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )．令k ＝0，得φ＝π3.∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.当x ＝π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，∴函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称．所以②正确．解不等式－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z )，所以④正确．三、解答题15．已知函数f (x )＝2sin x ＋1.(1)设ω为大于0的常数，若f (ωx )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上单调递增，求实数ω的取值范围；解 (1)当a ＝1时，f (x )＝－cos 2x ＋cos x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122＋94.∵cos x ∈[－1,1]，∴当cos x ＝12，即x ＝2k π±π3(k ∈Z )时，f (x )max ＝94.(2)依题意sin 2x ＋a cos x ＋a ≤1，即sin 2x ＋a (cos x ＋1)≤1对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2恒成立．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，0≤cos x ≤1，则1≤cos x ＋1≤2，∴a ≤ cos 2x cos x ＋1对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2恒成立．令t ＝cos x ＋1，则1≤t ≤2，∴a ≤t －12t＝t 2－2t ＋1t ＝t ＋1t －2对任意1≤t ≤2恒成立，于是a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t －2min .又∵t ＋1t －2≥0，当且仅当t ＝1，即x ＝π2时取等号，∴a ≤0.。
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第三章三角函数、解三角形3-6简单的三角恒等变换课时规范练理
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3—6 简单的三角恒等变换课时规范练（授课提示：对应学生用书第71页)A组基础对点练1．（2017·简阳市期末）已知cos α＝错误!，α∈错误!,则cos错误!等于（ B ）A。
错误!B．－错误!C.错误!D．－错误!解析：α∈错误!，∴错误!∈错误!,则cos错误!＝－错误!＝－错误!＝－错误!。
2．(2016·高考山东卷)函数f(x)＝（错误!sin x＋cos x）·（错误!cos x－sin x）的最小正周期是( B )A.错误!B．πC。
错误!D．2π3．(2017·开封模拟）设a＝错误!cos 6°－错误!sin 6°，b＝错误!，c＝错误!,则( C ）A．c〈b〈a B．a〈b<cC．a〈c〈b D．b<c<a4．（2018·高考全国卷Ⅰ）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B（2，b），且cos 2α＝23，则|a－b|＝（ B ）A。
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第三章三角函数、解三角形3_3三角函数的图象与性质课件理新人教A版
[2kπ，2kπ＋π]为减； [2kπ－π，2kπ]为增
kπ－π2， kπ＋π2为增
＋32π为减
对称 中心
(kπ，0)
对称轴 x＝kπ＋π2
kπ＋π2，0 x＝kπ
k2π，0
3.周期函数 (1)周期函数：对于函数 f(x)，如果存在一个 非零常数T ，使得当 x 取 定义域 内的 每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫作周期函数， 非零常数T 叫作Biblioteka ＋sin θcos θ＝( )
A．2
B．－2
C．1
D．－1
[解析] (1)由 y＝sinx＋3 φ是偶函数知φ3＝π2＋kπ，k∈Z，即 φ＝32π＋3kπ，k∈Z，又 ∵φ∈[0,2π]，∴φ＝32π. (2)f(x)＝sin 2x＋ 3cos 2x＝2sin2x＋π3， 令 2x＋π3＝π2＋kπ，解得 x＝1π2＋k2π，k∈Z.
上的性质(如单调性、最大值和最小 查三角函数性质时，常与三角恒等变换
值，图象与x轴的交点等)，理解正切函 结合，加强数形结合思想、函数与方程
数在区间－π2，π2内的单调性.
思想的应用意识．题型既有选择题和填 空题，又有解答题，中档难度.
[基础梳理] 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，π2，1，(π，0)， ___3_2π_，__－__1___，(2π，0)． 余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，π2，0， (π，－1) ，32π，0，(2π，1)．
[三基自测] 1．(必修 4·1.4 练习改编)函数 y＝12sin x，x∈[－π，π]的单调性是( ) A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数 B．在－π2，π2上是增函数，在－π，－π2和π2，π上都是减函数 C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数 D．在π2，π和－π，－π2上是增函数，在－π2，π2上是减函数 答案：B
2023版高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形第三讲两角和与差及二倍角的三角函数公式课件
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β)). (2)cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β)). (3)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β)). (4)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β)). (5)tan(α－β)＝1t＋antαan－αttaannββ(T(α－β)). (6)tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ(T(α＋β)).
可得 3sin 18°(1－sin 18°)(1＋sin 18°)－(sin 18°－1)· (sin218°－sin 18°－1)＝0，
可得(1－sin 18°)[3sin 18°(1＋sin 18°)＋sin218°－sin 18° －1]＝0，
可得 3sin 18°(1＋sin 18°)＋sin218°－sin 18°－1＝0， 可得 4sin218°＋2sin 18°－1＝0， 解得 sin 18°＝－22＋×24 5＝ 54－1(负值舍去).
题组三 真题展现
4.(2021 年全国乙)cos21π2－cos251π2＝(
)
1
3
2
A.2
B. 3
C. 2
3 D. 2
答案：D
5.(2021 年新高考Ⅰ)若 tan
θ＝－2，则sinsinθθ1＋＋csoins
2θ θ
＝( )
A.－65
B.－25
2 C.5
6 D.5
答案：C
考点一 公式的直接应用 [例 1](1)(2020 年全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且 3cos 2α－ 8cos α＝5，则 sin α＝( )
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第3章 三角函数、解三角形 第3讲A 组 基础关1．函数y ＝cos2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4是( )A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数 答案 A解析 因为y ＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin2x ，故选A. 2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4 答案 B解析 根据题意，有f (x )＝32cos2x ＋52，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，且最大值为f (x )max ＝32＋52＝4.故选B.3．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 答案 B解析 由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )． 4．已知函数f (x )＝tan x ＋sin x ＋1，若f (b )＝2，则f (－b )＝( ) A ．0 B ．3 C ．－1 D ．－2 答案 A解析 因为f (b )＝tan b ＋sin b ＋1＝2，即tan b ＋sin b ＝1.所以f (－b )＝tan(－b )＋sin(－b )＋1＝－(tan b ＋sin b )＋1＝0.5．(2019·福建六校联考)若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f (－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝( )A ．2或0B ．0C ．－2或0D ．－2或2 答案 D解析 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f (－x )对任意x ∈R 都成立，所以函数f (x )的图象的一个对称轴是直线x ＝π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2. 6．(2018·甘肃省河西五市一模)已知函数f (x )＝cos(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<|φ|<π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4是奇函数，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π上单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π上单调递增D ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增答案 B解析 因为f (x )＝cos(x ＋φ)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ，又因为f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4是奇函数，所以π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π＋π4，k ∈Z ，又0＜|φ|<π2，所以φ＝π4，f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π时，x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，5π4，f (x )先减后增，故选B.7．(2018·湖南衡阳八中月考)定义运算：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .例如1]( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22 B ．[－1,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22 答案 D解析 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x >cos x的图象(如图中实线所示)．根据三角函数的周期性，只看一个最小正周期(即2π)的情况即可． 观察图象可知函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22. 8．函数y ＝lg (sin2x )＋9－x 2的定义域为________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧sin2x >0，9－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k π<x <k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3，所以－3≤x ＜－π2或0<x <π2.所以函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.9．若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________. 答案32解析 由题设及周期公式得T ＝πω＝π，所以ω＝1，即f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2π3＝32.10．已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是________．答案 3解析 函数y ＝2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上为减函数，所以函数y ＝2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cosπ，2cos π3，即[－2，1]，所以a ＝－2，b ＝1，所以b －a ＝1－(－2)＝3.B 组 能力关1．(2017·全国卷Ⅰ)函数y ＝sin2x1－cos x的部分图象大致为( )答案 C解析 令f (x )＝sin2x 1－cos x ，∵f (1)＝sin21－cos1>0，f (π)＝sin2π1－cosπ＝0，∴排除A ，D.由1－cos x ≠0得x ≠2k π(k ∈Z )，故函数f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝sin －2x 1－cos －x ＝－sin2x1－cos x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，∴排除B.故选C.2．(2018·皖江最后一卷)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，且f (－π)＝f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，则ω的值为( )A.23 B.23或2 C.13 D ．1或13答案 B解析 因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调，∴T 2≥π2，即T ≥π⇒2πω≥π⇒0<ω≤2，而|0－(－π)|＝π≤T ；若T ＝π，则ω＝2；若T >π，则x ＝－π2是f (x )的一条对称轴，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0是其相邻的对称中心，所以T 4＝π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝3π4，∴T ＝3π⇒ω＝2πT ＝23.3．若函数f (x )＝A 2cos(2ωx ＋2φ)＋1＋A 2⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的最大值为3，f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2018)＝________.答案 4035解析 ∵函数f (x )＝A 2cos(2ωx ＋2φ)＋1＋A2的最大值为3，∴A 2＋1＋A2＝3，∴A ＝2.根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2， 可得函数的最小正周期为4，即2π2ω＝4，∴ω＝π4.再根据f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，可得cos2φ＋1＋1＝2，∴cos2φ＝0， 又0<φ<π2，∴2φ＝π2，φ＝π4.故函数f (x )的解析式为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2＋2＝－sin π2x ＋2，周期T ＝4，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2017)＋f (2018)＝504×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2) ＝504×8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π2＋2＋(－sinπ＋2)＝4035.4．(2017·北京高考)已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.解 (1)f (x )＝32cos2x ＋32sin2x －sin2x ＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≥sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12， 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.C 组 素养关1．(2018·合肥质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π，∴ω＝2，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4. 令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )，即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )．(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )，令k ＝0，得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.2．(2018·兰州模拟)已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]，∴f (x )∈[b,3a ＋b ]， 又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1， ∴4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。