解排列组合应用题的26种策略
排列组合的21种例题
高考数学复习 解排列组合应用题的21种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例 3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A 、4441284C C C 种B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种 6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种7.名额分配问题隔板法:例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B =+-.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
解排列组合问题的十七种常用策略
解排列组合问题的十七种常用策略排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。
同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。
根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。
一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置113344A A A注：位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。
若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 练习：7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 2545A A 1440二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
522522A A A =480注：要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.练习:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形有多少种？ 20三.不相邻问题插空策略例 3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有46A 种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A =43200种注：元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端。
排列组合常见21种解题方法
排列组合常见21种解题方法排列组合是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型。
在解决排列组合问题时，我们可以运用多种方法来求解，下面将介绍常见的21种解题方法。
1. 直接法，根据排列组合的定义，直接计算排列或组合的个数。
2. 公式法，利用排列组合的公式进行计算，如排列公式P(n,m)=n!/(n-m)!，组合公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。
3. 递推法，通过递推关系式求解排列组合问题，如利用排列数的递推关系P(n,m)=P(n-1,m)+P(n-1,m-1)。
4. 分类讨论法，将问题进行分类讨论，分别求解每种情况的排列组合个数，然后合并得出最终结果。
5. 组合数性质法，利用组合数的性质，如C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)，简化计算过程。
6. 二项式定理法，利用二项式定理展开式子，求解排列组合问题。
7. 二项式系数法，利用二项式系数的性质，如n个不同元素的排列个数为n!，n个相同元素的排列个数为1，简化计算过程。
8. 容斥原理法，利用容斥原理求解排列组合问题，排除重复计算的部分。
9. 对称性法，利用排列组合的对称性质，简化计算过程。
10. 逆向思维法，从问题的逆向思考，求解排列组合问题。
11. 生成函数法，利用生成函数求解排列组合问题，将排列组合问题转化为多项式求解。
12. 构造法，通过构造合适的排列组合模型，求解问题。
13. 图论法，将排列组合问题转化为图论问题，利用图论算法求解。
14. 动态规划法，利用动态规划算法求解排列组合问题，降低时间复杂度。
15. 贪心算法法，利用贪心算法求解排列组合问题，简化计算过程。
16. 模拟法，通过模拟排列组合过程，求解问题。
17. 枚举法，将所有可能的排列组合情况列举出来，求解问题。
18. 穷举法，通过穷举所有可能的情况，求解问题。
19. 数学归纳法，利用数学归纳法证明排列组合的性质，求解问题。
(最新整理)数学23排列组合常用策略
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十.构造模型策略
例10.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的
九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关
掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2
盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
解：把此问题当作一个排队模型在6盏
AA 2 5 1440 45
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二.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相 邻, 共有多少种不同的排法.
解：
甲乙 丙丁
由分步计数原理可得共有
A
5 5
A
2 2
A
2 2
=480
种不同的排法
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用
捆20绑21/7/2法6 来解决问题.
种方法,但这里出现
重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF
若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF
该分法记为(AB,CD,EF),则
C C C 2 2 2 642
中还有
(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)
(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有A 33种取法 ,而
歌2人伴舞的节目,有多少选派方法? 解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞
3人为全能演员。以只会唱歌的5人是否
选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱
的5人中没有人选上唱歌人员共有_C_32C__32
种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人
员__C_15C__13C__24 _种,只会唱的5人中只有2人
选上唱歌人员有_C_52_C_52 种，由分类计数
解排列组合应用题常用策略
解排列组合应用题的常用策略排列组合问题是新课程理科高考的重点内容之一，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径。
下面以例题来介绍排列组合应用题的常用解题策略，供大家参考。
一、限制条件（特殊元素、位置）优先法如某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
例1.（1）1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有多少种不同的排法？解析：老师在中间三个位置上选一个有a13种，4名同学在其余4个位置上有a44种方法；所以共有a13a44=72种.（2）某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案a48种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有a38方法，所以共有3a38；③若乙参加而甲不参加同理也有3a38种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有a28种，共有7a28方法。
所以共有不同的派遣方法总数为a48+a38+3a38+7a28=4088种.二、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列。
例2.a，b，c，d，e五人并排站成一排，如果a，b必须相邻且b 在a的右边，那么不同的排法种数有多少种？解析：把a，b视为一人，且b固定在a的右边，则本题相当于4人的全排列，a44=24种。
三、相离（不相邻）问题插空法元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。
例3.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是多少种？解析：除甲乙外，其余5个排列数为a55种，再用甲乙去插6个空位有a26种，不同的排法种数是a55a26=3600种.四、定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法。
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本材料第1页（共16页） 解排列组合应用题的26种策略 排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握.解排列组合问题的基础是两个基本原理，分类用加法原理，分步用乘法原理，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时如何做到既不重复，又不遗漏，正确分每一步，这是比较困难的。要求我们周密思考，细心分析，理解并掌握解题的常用方法和技巧，掌握并能运用分类思想、转化思想、整体思想、正难则反等数学思想解决排列组合问题。 实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.
1、相邻排列——捆绑法： n个不同元素排列成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，有多少种不同排法？ 先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其它元素一起排列，
共有11nknkA种排法．然后再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列，共有kkA种方法．由乘法
原理得符合条件的排列，共11nkknkkAA·种． 例1.edcba,,,,五人并排站成一排，如果ba,必须相邻且b在a的右边，那么不同的排法种数有（ ） A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 解析：把ba,视为一人，且b固定在a的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A种，答案：D. 例2 有3名女生4名男生站成一排，女生必须相邻，男生必须相邻，共有多少种不同的站法？ 解：先把3名女生作为一个整体，看成一个元素，4名男生作为一个整体，看成一个元
素，两个元素排列成一排共有22A种排法；女生内部的排法有33A种，男生内部的排法有44A
种．故合题意的排法有234234288AAA··种． 2.相离排列——插空法： 元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 将n个不同元素排成一排，其中k个元素互不相邻()knk≤，有多少种排法？ 先把()nk个元素排成一排，然后把k个元素插入(1)nk个空隙中，共有排法1knkA种． 本材料第2页（共16页）
例3 五位科学家和五名中学生站成一排照像，中学生不相邻的站法有多少种？ 解：先把科学家作排列，共有55A种排法；然后把5名中学生插入6个空中，共有56A种排法，
故符合条件的站法共有555686400AA·种站法． 例4.七位同学并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种 解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A种，再用甲乙去插6个空位有26A种，不同的排法种数是52563600AA种，选B. 3、定序问题---倍缩法： 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.此法也被叫消序法. 将n个不同元素排列成一排，其中某k个元素的顺序保持一定，有多少种不同排法？ n个不同元素排列成一排，共有nnA种排法；k个不同元素排列成一排共有kkA种不同排法．于
是，k个不同元素顺序一定的排法只占排列总数的kkA分之一．故符合条件的排列共nnkkAA种． 例5.edcba,,,,五人并排站成一排，如果b必须站在a的右边（ba,可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ） A、24种 B、60种 C、90种 D、120种 解析：b在a的右边与b在a的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A种，选B. 例6. A，B，C，D，E五个元素排成一列，要求A在B 的前面且D在E的前面，有多少种不同的排法？
解：5个不同元素排列一列，共有55A种排法． A，B两个元素的排列数为22A；D，E
两个元素的排列数为22A．
因此，符合条件的排列法为55222230AAA·种． 本材料第3页（共16页）
4、标号排位问题---分步法： 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例7.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种 解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B. 5、留空排列——借元法 例8、一排10个坐位，3人去坐，每两人之间都要留空位，共有 种坐法。 解：由题意，先借7人一排坐好，再安排3在8个空中找3个空插入，最后撤出借来的7人。
得不同的坐法共有773877/AAA种。
6、有序分配问题----逐分法： 有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例9.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ） A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种 解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520CCC种，选C. （2）学生会的12名同学分配到三个不同的年级对同学们进行仪容仪表检查，若每个年级4人，则不同的分配方案有（ ）
A、4441284CCC种 B、44412843CCC种 C、4431283CCA种 D、444128433CCCA种 答案：先从12人中选出4人到第一个年级，再从剩下的8人中选4人到第二个年级，第三步从剩下的4人中选4人到第三个年级，不同的选法共有4441284CCC种，选A. 7、平均分堆问题---除序法: 本材料第4页（共16页）
例10. 12本不同的书，平均分为3堆，不同的分法种数为多少种。 解：先从12本书中选出4本到第一堆，再从剩下的8本中选出4本到第二堆，第三步从
剩下的4本中选4本到第三堆，但题中是不要堆序，所以不同的分法共有444128433CCCA种。 8、全员分配问题---分组法: 例11.（1）4名优秀学生全部保送到3所大学去，每所大学至少去一名，则不同的保送方案有多少种？ 解析：把四名学生分成3组有24C种方法，再把三组学生分配到三所大学有33A种，故共有234336CA种方法. 说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配. （2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ） A、480种 B、240种 C、120种 D、96种 答案：B. 9、名额分配问题---隔板法: 例12：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C种. 10、限制条件的分配问题---分类法: 例13.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A方法，所以共有383A；③若乙参加而甲不参加同理也有383A种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A种，共有287A方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088AAAA种. 本材料第5页（共16页）
11、多元问题----分类法： 元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计. 例14（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ） A、210种 B、300种 C、464种 D、600种 解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有55A个， 1131131131343333323333,,,AAAAAAAAAAA个，合并总计300个,选B.
（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？ 解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做7,14,21,98A共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做1,2,3,4,,100A共有86个元素；由此可知，从A中任取2个元素的取法有214C，从A中任取一个，又从A中任取一个共有111486CC，两种情形共符合要求的取法有2111414861295CCC种. （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？ 解析：将1,2,3,100I分成四个不相交的子集，能被4整除的数集4,8,12,100A；能被4除余1的数集1,5,9,97B，能被4除余2的数集
2,6,,98C，能被4除余3的数集3,7,11,99D，易见这四个集合中每一个有
25个元素；从A中任取两个数符合要；从,BD中各取一个数也符合要求；从C中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525CCCC种. 12、交叉问题----集合法： 某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()nABnAnBnAB.
例15.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，