九年级数学 第14讲 动点问题探究—坐标系中动点问题教案

1 动点问题探究——坐标系中的动点问题 知识点 图形的平移、图形的旋转、图形的翻折、动点问题的函数图像 教学目标 会列出函数或方程等解决图形的动点问题 教学重点 会解决图形的平移、旋转、翻折等问题 教学难点 会利用函数及方程解决图形的平移、旋转、翻折等问题 教学过程 一、课堂导入 动点所产生的函数及方程问题在初中数学中占有相当的比重，在全国各地的中考数学试卷中占到10%到20%的比重。主要研究在几何图形运动中，伴随着一定的数量关系、图形位置关系的“变”和“不变性”，就运动对象而言，有点动、线动和面动，常常集代数与几何于一体，有较强的综合性，题目灵活多变，动中有静，静中有动，动静结合． 二、复习预习 1. 平移，是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。 平移不改变图形的形状和大小。图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等。 2. 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴。 3. 在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。 2

三、知识讲解 考点1 单点运动及双点运动问题 关于点运动的问题，一般根据图形变化，探索动点运动的特点和规律，作出符合条件的草图。 解这类题的关键是抓住动点运动过程中不变的量，用含未知数的代数式去表示所需的线段，根据题意中隐含的条件借助相似等方式构造方程或函数表达式。 考点2 图形运动问题 图形的运动包括图形的平移、旋转、翻折等，图形在运动过程中，对应线段、对应角不变，以三角形、四边形的运动是常见的一种题型。 这里需注意：平移、旋转、翻折都改变了图形的位置，不改变图形的形状和大小。 对于此类题目，关键在于抓住运动图形的特殊位置、临界位置及特殊性质，其基本方法是把握图形运动与变化的全过程，以不变应万变，解答过程中常需借用函数或方程来解答。考点3 线运动问题 解决此类题的关键是根据线运动的变化，研究图形的变化． 由图形变化前后的关系及图形的性质综合解决问题，如本题利用平移性质及三角形面积建立方程解决问题.

四、例题精析 考点一 单点运动问题 例1 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形ABCD中，AD边的中点处有一动点P，动点P沿P→D→C→B→A→P运动一周，则P点的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（ ） 3

A． B． C． D. 考点二 双点运动问题 例2如图，在平面直角坐标系中，抛物线)0(32abxaxy与x轴交于点A（2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C. （1）求抛物线的解析式； （2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度向C点运动.其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最多面积是多少？ （3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使2:5SPBQCBK△△：S，求K点坐标. 4

考点三 图形运动问题 例3如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，4），C（2，0），将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转1350，得到矩形EFGH（点E与O重合）. （1）若GH交y轴于点M，则∠FOM＝ ，OM= ； （2）矩形EFGH沿y轴向上平移t个单位。 ①直线GH与x轴交于点D，若AD∥BO，求t的值； ②若矩形EFHG与矩形OABC重叠部分的面积为S个平方单位，试求当0数关系式。 5

考点四 线运动问题 例4如图1，在平面直角坐标系中，AB=OB=8，∠ABO=90°，∠yOC=45°，射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动，设平行移动x秒后，射线OC扫过Rt△ABO的面积为y． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当x=3秒时，射线OC平行移动到O′C′，与OA相交于G，如图2，求经过G，O，B三点的抛物线的解析式； （3）现有一动点P在（2）中的抛物线上，试问点P在运动过程中，是否存在三角形POB的面积S=8的情况？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 6

课程小结 本节课主要研究了坐标系中的动点问题，中考中，对运动变化问题的考查是常考的内容之一，考查的热点是点运动问题、图形运动问题（旋转、翻折、对称变换），解答动点问题时，点不同位置考虑的不全面是容易导致出错的原因之一。复习运动变化问题时，要注意动中觅静，动静互化，以静制动，注意问题中的不变量、不变关系，在运动变化中探索问题的不变性。

考点一 单点运动问题 例1 【规范解答】动点P运动过程中： ①当0≤s≤时，动点P在线段PD上运动，此时y=2保持不变； ②当＜s≤时，动点P在线段DC上运动，此时y由2到1逐渐减少； ③当＜s≤时，动点P在线段CB上运动，此时y=1保持不变； ④当＜s≤时，动点P在线段BA上运动，此时y由1到2逐渐增大； ⑤当＜s≤4时，动点P在线段AP上运动，此时y=2保持不变． 结合函数图象，只有D选项符合要求． 故选D．

【总结与反思】将动点P的运动过程划分为PD、DC、CB、BA、AP共5个阶段，分别进行分析，最后得7

出结论． 考点二 双点运动问题 例2

【规范解答】解：1）将A（2，0）、B（4，0）两点坐标分别代入)0(32abxaxy，

即034160324baba，解得：4383ba 抛物线的解析式为：343832xxy

（2）设运动时间为t秒，由题意可知： 20t，过点Q作ABQD，垂直为D，

易证OCB～△DQB, ∴OCBCDQBQ=

OC=3，OB=4，BC=5，tPBtAP36,3，tBQ

tDQ53 , tDQ53

ttttDQPBSPBQ5910953)36(21212

对称轴

1

)(210959t

当运动1秒时，△PBQ面积最大，10959109PBQS，最大为109.

（3）如图， 8

设)34383,(2mmmK,连接CK、BK，作轴yKL//交BC与L， 由（2）知：109PBQS，2:5:PBQCBKSS,49CBKS 设直线BC的解析式为nkxy,

)3,0(),0,4(CB,304nnk，解得：343nk, 直线BC的解析式为343xy

)343,(mmL,28323mmKL 9

KLBKLCCBKSSS

 S)4()8323(21)8323(2122mmmmmm)8323(4212mm

即：49)8323(22mm,解得：31mm或 K坐标为)827,1(或)815,3(

【总结与反思】 （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2考查动点与二次函数最值问题：先写出S与t的函数关系式，再确定函数最值；

（3）存在所求的K点，由（2）可求出CBKPBQ和的面积，再把CBK分成两个三角形进行面积运算. 考点三 图形运动问题

例3

【规范解答】（1）45°；22。 （2）

①如图1，设直线HG与y轴交于点I。 ∵四边形OABC是矩形，∴AB∥DO，AB=OC。 ∵C（2，0），∴AB=OC=2。又∵AD∥BO， ∴四边形ABOD是平行四边形。∴DO=AB=2。 由（1）易得，

△DOI是等腰直角三角形，∴OI=OD=2。∴t=IM=OM－OI=22－2。 10

②如图2，过点F，G分别作x轴，y轴的垂线，垂足为R，T，连接OC。则由旋转的性质，得，OF=OA=4，∠FOR＝450，∴OR=RF=22，F（22，－22）。由旋转的性质和勾股定理，得OG=25，设TG=MT=x，则OT=OM＋MT=22+x。在Rt△OTG中，由勾股定理，得222x+22+x=25，解得x=2。∴G（2，－32）。 ∴用待定系数法求得直线FG的解析式为y=x42。当x=2时，y=242。∴当t=422时，就是GF平移到过点C时的位置（如图5）。 ∴当0

如图3 ，t=OE=OC=2，此时，矩形EFGH沿y轴向上平移过程中边EF经过点C；如图4，t=OE=OM=22，此时，矩形EFGH沿y轴向上平移过程中边HG经过点O；如图5，t=OE=422，此时，矩形EFGH沿y轴向上平移过程中边FG经过点C。 ∴（I）当0t， ∴21St2。（II）当2积（如图7）。此时OE= t，，OC=2。由E（0，t），∠FFO=450，用用待定系数法求得直线EP的解析式为y=x+t。 当x=2时，y=2+t。∴CP=2+t。∴1St2+t2=2t22。 （III）当22它等于直角梯形EQCO的面积减去直角三角形VOU的的面积。 此时，OE= t，，OC=2，CQ= 2+t，OU=OV= t－22。 ∴22111St2+t2t22=t+2+22t6222。 综上所述，当0