九年级数学 第14讲 动点问题探究—坐标系中动点问题教案
1 动点问题探究——坐标系中的动点问题 知识点 图形的平移、图形的旋转、图形的翻折、动点问题的函数图像 教学目标 会列出函数或方程等解决图形的动点问题 教学重点 会解决图形的平移、旋转、翻折等问题 教学难点 会利用函数及方程解决图形的平移、旋转、翻折等问题 教学过程 一、课堂导入 动点所产生的函数及方程问题在初中数学中占有相当的比重，在全国各地的中考数学试卷中占到10%到20%的比重。主要研究在几何图形运动中，伴随着一定的数量关系、图形位置关系的“变”和“不变性”，就运动对象而言，有点动、线动和面动，常常集代数与几何于一体，有较强的综合性，题目灵活多变，动中有静，静中有动，动静结合． 二、复习预习 1. 平移，是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。 平移不改变图形的形状和大小。图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等。 2. 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴。 3. 在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。 2
三、知识讲解 考点1 单点运动及双点运动问题 关于点运动的问题，一般根据图形变化，探索动点运动的特点和规律，作出符合条件的草图。 解这类题的关键是抓住动点运动过程中不变的量，用含未知数的代数式去表示所需的线段，根据题意中隐含的条件借助相似等方式构造方程或函数表达式。 考点2 图形运动问题 图形的运动包括图形的平移、旋转、翻折等，图形在运动过程中，对应线段、对应角不变，以三角形、四边形的运动是常见的一种题型。 这里需注意：平移、旋转、翻折都改变了图形的位置，不改变图形的形状和大小。 对于此类题目，关键在于抓住运动图形的特殊位置、临界位置及特殊性质，其基本方法是把握图形运动与变化的全过程，以不变应万变，解答过程中常需借用函数或方程来解答。考点3 线运动问题 解决此类题的关键是根据线运动的变化，研究图形的变化． 由图形变化前后的关系及图形的性质综合解决问题，如本题利用平移性质及三角形面积建立方程解决问题.
四、例题精析 考点一 单点运动问题 例1 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形ABCD中，AD边的中点处有一动点P，动点P沿P→D→C→B→A→P运动一周，则P点的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（ ） 3
A． B． C． D. 考点二 双点运动问题 例2如图，在平面直角坐标系中，抛物线)0(32abxaxy与x轴交于点A（2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C. （1）求抛物线的解析式； （2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度向C点运动.其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最多面积是多少？ （3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使2:5SPBQCBK△△：S，求K点坐标. 4
考点三 图形运动问题 例3如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，4），C（2，0），将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转1350，得到矩形EFGH（点E与O重合）. （1）若GH交y轴于点M，则∠FOM＝ ，OM= ； （2）矩形EFGH沿y轴向上平移t个单位。 ①直线GH与x轴交于点D，若AD∥BO，求t的值； ②若矩形EFHG与矩形OABC重叠部分的面积为S个平方单位，试求当0数关系式。 5
考点四 线运动问题 例4如图1，在平面直角坐标系中，AB=OB=8，∠ABO=90°，∠yOC=45°，射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动，设平行移动x秒后，射线OC扫过Rt△ABO的面积为y． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当x=3秒时，射线OC平行移动到O′C′，与OA相交于G，如图2，求经过G，O，B三点的抛物线的解析式； （3）现有一动点P在（2）中的抛物线上，试问点P在运动过程中，是否存在三角形POB的面积S=8的情况？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 6
课程小结 本节课主要研究了坐标系中的动点问题，中考中，对运动变化问题的考查是常考的内容之一，考查的热点是点运动问题、图形运动问题（旋转、翻折、对称变换），解答动点问题时，点不同位置考虑的不全面是容易导致出错的原因之一。复习运动变化问题时，要注意动中觅静，动静互化，以静制动，注意问题中的不变量、不变关系，在运动变化中探索问题的不变性。
考点一 单点运动问题 例1 【规范解答】动点P运动过程中： ①当0≤s≤时，动点P在线段PD上运动，此时y=2保持不变； ②当＜s≤时，动点P在线段DC上运动，此时y由2到1逐渐减少； ③当＜s≤时，动点P在线段CB上运动，此时y=1保持不变； ④当＜s≤时，动点P在线段BA上运动，此时y由1到2逐渐增大； ⑤当＜s≤4时，动点P在线段AP上运动，此时y=2保持不变． 结合函数图象，只有D选项符合要求． 故选D．
【总结与反思】将动点P的运动过程划分为PD、DC、CB、BA、AP共5个阶段，分别进行分析，最后得7
出结论． 考点二 双点运动问题 例2
【规范解答】解：1）将A（2，0）、B（4，0）两点坐标分别代入)0(32abxaxy，
即034160324baba，解得：4383ba 抛物线的解析式为：343832xxy
（2）设运动时间为t秒，由题意可知： 20t，过点Q作ABQD，垂直为D，
易证OCB～△DQB, ∴OCBCDQBQ=
OC=3，OB=4，BC=5，tPBtAP36,3，tBQ
tDQ53 , tDQ53
ttttDQPBSPBQ5910953)36(21212
对称轴
1
)(210959t
当运动1秒时，△PBQ面积最大，10959109PBQS，最大为109.
（3）如图， 8
设)34383,(2mmmK,连接CK、BK，作轴yKL//交BC与L， 由（2）知：109PBQS，2:5:PBQCBKSS,49CBKS 设直线BC的解析式为nkxy,
)3,0(),0,4(CB,304nnk，解得：343nk, 直线BC的解析式为343xy
)343,(mmL,28323mmKL 9
KLBKLCCBKSSS
S)4()8323(21)8323(2122mmmmmm)8323(4212mm
即：49)8323(22mm,解得：31mm或 K坐标为)827,1(或)815,3(
【总结与反思】 （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2考查动点与二次函数最值问题：先写出S与t的函数关系式，再确定函数最值；
（3）存在所求的K点，由（2）可求出CBKPBQ和的面积，再把CBK分成两个三角形进行面积运算. 考点三 图形运动问题
例3
【规范解答】（1）45°；22。 （2）
①如图1，设直线HG与y轴交于点I。 ∵四边形OABC是矩形，∴AB∥DO，AB=OC。 ∵C（2，0），∴AB=OC=2。又∵AD∥BO， ∴四边形ABOD是平行四边形。∴DO=AB=2。 由（1）易得，
△DOI是等腰直角三角形，∴OI=OD=2。∴t=IM=OM－OI=22－2。 10
②如图2，过点F，G分别作x轴，y轴的垂线，垂足为R，T，连接OC。则由旋转的性质，得，OF=OA=4，∠FOR＝450，∴OR=RF=22，F（22，－22）。由旋转的性质和勾股定理，得OG=25，设TG=MT=x，则OT=OM＋MT=22+x。在Rt△OTG中，由勾股定理，得222x+22+x=25，解得x=2。∴G（2，－32）。 ∴用待定系数法求得直线FG的解析式为y=x42。当x=2时，y=242。∴当t=422时，就是GF平移到过点C时的位置（如图5）。 ∴当0
如图3 ，t=OE=OC=2，此时，矩形EFGH沿y轴向上平移过程中边EF经过点C；如图4，t=OE=OM=22，此时，矩形EFGH沿y轴向上平移过程中边HG经过点O；如图5，t=OE=422，此时，矩形EFGH沿y轴向上平移过程中边FG经过点C。 ∴（I）当0t， ∴21St2。（II）当2积（如图7）。此时OE= t，，OC=2。由E（0，t），∠FFO=450，用用待定系数法求得直线EP的解析式为y=x+t。 当x=2时，y=2+t。∴CP=2+t。∴1St2+t2=2t22。 （III）当22它等于直角梯形EQCO的面积减去直角三角形VOU的的面积。 此时，OE= t，，OC=2，CQ= 2+t，OU=OV= t－22。 ∴22111St2+t2t22=t+2+22t6222。 综上所述，当0
中考数学专题复习14、动点坐标处理策略 含答案
中考数学专题复习14、动点坐标处理策略含答案点动即平移，动点变容易动点问题，通常出现在压轴题的位置，其难度和重要性，不言而喻。
其难 点，在于动点坐标的处理。
动点坐标一出，问题往往解决。
考生要在考场上脱 颖而出，必须掌握动点坐标的巧妙处理。
本文利用点的平移思想，来巧妙处理 动点坐标问题。
具体如下：一、单向运动问题如图，在平面直角坐标系中，A B C D 为矩形，点D→C→B→A→D 运动，求点 Q 在运动过程中的坐标。
（1）点Q 在DC 上时，Q 可以看成点D 向下平移而得，平移的距离为 s = vt = t ，此时横坐标 x Q = 4 ，只纵坐标变化，纵坐标为 y Q= 2 - t ，故点 Q 坐标为：(4,2 - t )， 0 ≤ t ≤ 4 ；（2）点 Q 在 CB 上时，Q 可以看成点 C 向左平移而得，由于此时t 是从第 4 秒开始的，所以，平移的距离为 s = v (t - 4) = t - 4 ，此时纵坐标 y Q = -2 ，只有横坐标变化，横坐标为 x Q = 4 - (t - 4)= 8 - t ，故点 Q 坐标为： (8 - t,-2)， 4＜t ≤ 11； （3）点 Q 在 BA 上时，Q 可以看成点 B 向上平移而得，由于此时t 是从第 11 秒开始的，所以，平移的距离为 s = v (t -11)= t -11，此时横坐标 x Q = -3，只有 纵坐标变化，纵坐标为 y Q = -2 + (t -11)= t -13 ，故点 Q 坐标为： (- 3, t -13) ， 11＜t ≤ 15 ；（4）点 Q 在 AD 上时，Q 可以看成点 A 向右平移而得，由于此时t 是从第 15 秒开始的，所以，平移的距离为 s = v (t -15)= t -15，此时纵坐标 y Q = 2 ，只有 横坐标变化， 横坐标为 x Q = -3 + (t -15)= t -18 ， 故点 Q 坐标为： (t -18,2) ， 15＜t ≤ 22 ；【题 1】如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 中心在原点，且顶点 A的坐标为(1,1)。
平面直角坐标系中的动点问题
平面直角坐标系中的动点问题运动型问题指在图形中，当某一元素如点、线或图形变化时，问题的结论随之改变或保持不变的几何问题。
解决这类问题的关键是明确运动路线，化动为静,抓住，寻找确定的关系式， 找到解决问题的途径。
运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，1、如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动。
（1）若|x+2y-5|+|x-3|=0，试分别求出1秒钟后A、B两点的坐标。
（2）如图，设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角平分线相交于点P，问：点A、B在运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由2、已知:在平面直角坐标系中,四边形ABCD是长方形, ∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB∥CD,AB=CD=8cm，AD=BC=6cm，D点与原点重合，坐标为(0,0). （1）写出点B的坐标. （2）动点P从点A出发以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动, 动点Q从点C出发以每秒4个单位长度的速度沿射线CD方向匀速运动,若P,Q两点同时出发,设运动时间为t秒,当t 为何值时,PQ∥BC? （3）在Q的运动过程中,当t为何值时△ADQ的面积为9? 求出此时Q点的坐标. 3、如图在平面直角坐标系中，A （a ，0），B （b ，0），（﹣1，2）．且|2a+4|+3-b =0． （1）求a 、b 的值； （2）①在y 轴的正半轴上存在一点M ，使S △COM=S △ABC ，求点M 的坐标． ②在坐标轴的其他位置是否存在点M ，使S △COM=S △ABC 仍成立？若存在，请直接写出符合条件的点M 的坐标．的坐标．4、在平面直角坐标系中，点A （a ，b ）是第四象限内一点，）是第四象限内一点，AB AB AB⊥⊥y 轴于B ，且B （0，b ）是y轴负半轴上一点，轴负半轴上一点，b b 2=16=16，，S △AOB=12AOB=12．．（1）求点A 和点B 的坐标；的坐标；（2）如图1，点D 为线段OA OA（端点除外）上某一点，过点（端点除外）上某一点，过点D 作AO 垂线交x 轴于E ，交直线AB 于F ，∠，∠EOD EOD EOD、∠、∠、∠AFD AFD 的平分线相交于N ，写出∠，写出∠ONF ONF 的度数．的度数． （3）如图2，点D 为线段OA OA（端点除外）上某一点，当点（端点除外）上某一点，当点D 在线段上运动时，过点D 作直线EF 交x 轴正半轴于E ，交直线AB 于F ，∠，∠EOD EOD EOD，∠，∠，∠AFD AFD 的平分线相交于点N ．若记∠．若记∠ODF=ODF=α，请用α的式子表示∠的式子表示∠ONF ONF 的大小，并说明理由．的大小，并说明理由．。
九年级数学_动点型问题
1.所谓“动点型问题”是指：题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.2.一般方法是：第一、抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中变量的变化情况并找出相关常量。
第二、按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用含自变量的式子表达出来，然后再根据题目的要求，依据数学知识解出。
3.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想。
（以静制动，静中找等）巩固练习：1.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts．（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？2.如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论。
附答案：内容再现答案1.题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.2.“不变量”；相关的量用一个自变量的表达式；自变量的取值范围。
3. 分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想巩固练习答案：解析：（1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ．（2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE．（3）四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC．所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可．解：（1）∵四边形PQCD平行为四边形∴PD=CQ∴24-t=3t解得：t=6即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形．（2）过D作DE⊥BC于E则四边形ABED为矩形∴BE=AD=24cm∴EC=BC-BE=2cm∵四边形PQCD为等腰梯形∴QC-PD=2CE即3t-（24-t）=4解得：t=7（s）即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形．（3）由题意知：QC-PD=EC时，四边形PQCD为直角梯形即3t-（24-t）=2解得：t=6.5（s）即当t=6.5（s）时，四边形PQCD为直角梯形．2.解析：（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（3）利用已知条件及正方形的性质解答．解：（1）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理，OC=OF，∴OE=OF．（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．如图AO=CO，EO=FO，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE 平分∠ACB， ∴∠ACE=12∠AC B ， 同理，∠ACF=12∠ACG， ∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=12（∠ACB+∠ACG）=12×180°=90°， ∴四边形AECF 是矩形．（3）△ABC 是直角三角形∵四边形AECF 是正方形， ∴AC⊥EN，故∠AOM=90°， ∵MN∥BC，∴∠BCA=∠AOM， ∴∠BCA=90°，∴△ABC 是直角三角形．三、知识点梳理注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
九年级动点问题知识点
九年级动点问题知识点动点问题是九年级数学中的重要知识点之一，主要涉及到对平面图形与运动的关系进行分析与计算。
本文将从定义、性质和解题方法三个方面进行论述，并结合示例详细说明。
以下是对九年级动点问题知识点的介绍。
1. 定义动点问题是指在平面直角坐标系中，通过对点在平面中的位置与运动进行分析和计算来解决具体问题的数学问题。
动点可以沿直线、曲线或者其他规定的路线进行运动。
2. 性质（1）运动的方向：动点的运动可以有向上、向下、向左、向右等不同的方向。
（2）运动的速度：动点的运动速度可以是恒定的、变化的或者被规定的。
（3）运动的路径：动点可以在平面上运动，其路径可以是直线、曲线或者特定的图形。
（4）坐标的变化：动点在运动过程中，其坐标会发生相应的变化。
3. 解题方法（1）建立坐标系：根据题意，建立合适的平面直角坐标系。
（2）确定动点的位置：根据题目的描述，确定动点在平面上的初始位置和运动规律。
（3）列方程或函数：根据动点在平面上的位置与运动规律，利用代数方法列出方程或函数。
（4）解方程或函数：对所列出的方程或函数进行求解，得到动点的位置或相关数据。
（5）分析解答：根据求解结果，结合问题的要求进行分析和答题。
以下是一个例子，通过该例子来说明动点问题的解题方法。
【示例】小明在操场上做直线运动，他从一端A出发，以每秒6米的速度向另一端B跑去，到达B后立即折返，以每秒8米的速度返回A。
已知AB的长度为80米，请问他什么时候回到起点A？解答过程：（1）建立坐标系：以A点为原点，假设横坐标表示时间，纵坐标表示距离。
（2）确定动点的位置：小明从A点出发，向B点跑去，然后又返回A点。
（3）列方程或函数：假设小明运动的时间为t秒，则小明到达B点的距离为6t米，小明从B点返回到A点的时间为80/8=10秒，所以小明到达A点的距离为6t-8*10=80-6t米。
（4）解方程或函数：根据所列的方程6t=80-6t，解得t=5秒。
数学动点问题解题技巧初三
数学动点问题解题技巧初三
1. 着重理解问题意思：要仔细阅读题目，明确所求，理解问题中涉及的各项条件，并将其表示为数学式子。
2. 建立坐标系：尽量建立合适的坐标系，明确各个动点所在位置的坐标轴位置和数值。
这有助于我们更直观地看到动点运动的方向和路径。
3. 利用几何图形：有时候将问题中所涉及的几何图形画出来有助于我们更好地理解和解决问题。
4. 运用向量和向量运算：向量和向量运算是解决动点问题的重要基础，尤其是位移向量、速度向量和加速度向量。
5. 建立方程组：对于复杂的动点问题，可以通过建立方程组来求解，利用各个动点的运动状态和条件，把问题转化为数学方程进行求解。
6. 合理选择计算方法：对于复杂的动点问题，选择合适的计算方法也是非常重要的，有些问题可以通过空间几何、三角函数、微积分等方面的运算方法解决。
中考数学动点问题
中考数学动点问题动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、三角形边上动点1、直线364y x=-+与坐标轴分别交于A B、两点，动点P Q、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A B、两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ△的面积为S，求出S与t之间图（3）B图（1）B图（2）的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 解：1、A （8，0） B （0，6）提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。
然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。
2、如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60º． （1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切； （3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．注意：第（3）问按直角位置分类讨论A-，0，抛物线的顶点3、如图，已知抛物线(1)20)y a x a=-+≠经过点(2)∥．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B 为D，过O作射线OM AD在x轴正半轴上，连结BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点Pt s．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯运动的时间为()形？等腰梯形？=，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1（3）若OC OB个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t()s，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ 面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。
中考动点问题专题教师讲义带答案
中考动点型问题专题一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。
二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
三、中考考点精讲考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.例1 （2015?兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P 在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．思路分析：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论．解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：（1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）；（2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）．综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求．故选B．点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择．对应训练1．（2015?白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．1．C考点二：动态几何型题目点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
以“静”制“动”——初中数学中的动点问题分析
以“静”制“动”———初中数学中的动点问题分析张小娟（江苏省扬州市邗江区杨庙中学225125）摘要：中考数学试卷中经常出现动点问题．动点问题可以以选择、填空、解析等多种题型呈现．学生面对动点问题时，常常不知道如何下手．突破动点问题这一教学难点成为初中数学教学的重要任务．本文将初中数学中的动点问题分为一条线段最值问题、两条线段最值问题两大类，进行归类分析，并提出教学建议．关键词：初中数学；动点问题；归类分析中图分类号：G632文献标识码：A 文章编号：1008－0333（2020）11－0036－02收稿日期：2020－01－15作者简介：张小娟（1980．10－），女，本科，中学一级教师，从事中学数学教学研究．一、动点问题归类分析1．一条线段最值问题（1）单动点问题例题1如图1所示，存在一个圆O ，已经知道圆的半径为2．存在一条直线l ，圆心到l 的距离为3．假如在直线l上有动点P ，PQ 切圆O 于Q 点，则PQ的最小值是多少？解析根据题意可知，线PQ 相切于圆O ，OQ ⊥PQ ，∠OQP =90ʎ，△OPQ 为直角三角形．PQ的长度可以由OQ 和OP 计算出来．而OQ 的值恒为2，OP 取值越小，PQ 取值也越小．当OP ⊥l 时，OP 最小．可以知道OP =3时PQ 最小．对△OPQ 运用勾股定理得PQ =OP 2－OQ 槡2槡=5．点评本题是一道单动点的一条线段最值问题，其难度不是太大，关键是学生能够根据勾股定理分析出决定PQ 最小值的线段OP 何时最小．（2）双动点问题例题2三角形△ABC 三条边分别为AB 、AC 和BC ，它们的长度分别为10、8和6，动圆经过C 点，它和AB 边相切，如图2所示．已知动圆与CA ，CB 相交于P 、Q．请问PQ 能够取得的最小值为多少？解析AB 、AC 和BC 长为10、8、6，满足勾股定理，△ABC 是直角三角形，∠C =90ʎ．∠C =90ʎ可以说明线PQ 为圆F 的直径．假设点F 是QP 的中点，点D 是圆F 与线AB 的切点．因为圆F 和AB 相切，有FD ⊥AB．从图中可以看出，FC +FD =PQ．在三角形FCD 中，FC +FD ＞CD．从图中可以看出，点F 在△ABC 高上时，CD 能够取到最小值，PQ 也为最小值．使用面积法，得CD =BC ·AC /AB =4．8．因而，线段PQ 的最小值是4．8．点评本题是一道双动点的一条线段最值问题．因为问题以动态圆的形式出现，学生不易分析出线段PQ 取最小值时的条件．在解决这道题时需要学生通过找圆心，绘制辅助线的方式来寻找突破口．2．两条线段最值问题（1）单动点问题例题3有一个直角三角形ABC ，边AB 的长度和边BC 的长度相等，都等于4，∠B =90ʎ．M 是直角边BC 上的一个点．已经知道BM 为1，N 是AC 上的动点．求BN 和MN 之和的最小值．解析作B 关于AC 的对称点B'，并且连接MB'，过点B'作B'E ，使B'E 和BC 垂直，如图5所示．根据点B 与B'的对称关系，BB'⊥AC ，BD =DB'．因为∠ABC =90ʎ，AB =BC =4，所以AC =AB 2+BC 槡2槡=42．而BD =AB 2－AD 槡2槡=22，则BB'=2BD 槡=42，因而EB =EB'=4，ME =4－1=3．在Ｒt △MB'E 中使用勾股定理，得到B'M =5．所以BN +MN 的最小值是5．点评本题是一道单动点的两条线段的最值问题．在本题的解决过程中，使用到镜像法，这是一种比较难以—63—掌握的几何技巧，需要学生对图形有一定的感觉．因为，学生在解题时要具有镜像法的应用基本能力．（2）双动点问题例题4矩形ABCD 在一个平面直角坐标系中，如图6，矩形的顶点A 、B 、C 的坐标是（0，0）、（20，0）、（20，10）．线段AC 上有动点M ，AB 上有动点N．当BM 和MN 和有最小值时，求点M 的坐标．解析作点B 关于AC 的对称点B'，如图7．过点B'作OB 的垂线，垂线B'N 与MC 相交于M 点．从图中可以看出，B'N =B'M +MN ，则B'N =BM +MN．BM +MN 的最小值等于B'N 的长度．将O 点B'点连接起来，和DC 交于P 点．ABCD 是一个矩形，则DC ∥AB ，有∠BAC =∠PCA．B 和B ’对称，所以∠PAC =∠BAC ，则∠PAC =∠PCA ，所以PA =PC．现在令PA =x ，则PC =x ，而PD =20－x．在直角三角形ADP 中，有PA 2=PD 2+AD 2，代入长度有x 2=（20－x ）2+102，解方程得x =12．5．因为cos ∠B'ON =cos ∠OPD ，所以ON ʒOB'=DP ʒOP ，有ON ʒ20=7．5ʒ12．5，则ON =12．因为tan ∠MON =tan ∠OCD ，所以MN ʒON =OD ʒCD ，有MN ʒ12=10ʒ20，解得MN =6．因而点M 的坐标是（12，6）．点评本题是一道双动点的两条线段的最值问题，具有较大的难度．在解题过程中，学生要采用镜像法画出B 点关于AC 的对称点，并使用勾股定理、三角函数、比例等方面的知识．二、动点问题教学建议1．强化基础教学动点问题是一类综合性的问题，其涉及到初中数学中的几何变换、函数、比例、等数学知识．因而学生深入理解数学基础知识是解决动点问题的基础．在教学中，教师讲清楚数学知识的来龙去脉，并能够理解这些概念和规律的内涵和外延．在学生充分建构起对基本概念和规律的理解后，教师还要引导学生解决一定量的问题，以保证学生遇到不同问题时能够选择对应的解题方法．2．开展针对训练动点问题类型较多，每一个类型有其独特的解题方法．针对这个状况，教师可以将初中数学中经常出现的动点问题进行归类，并开设习题课分类讲解．教师在讲解动点问题时，可以让学生发现新的解题方法，并将仔细体会这些解题方法．在课外，教师可以布置一定量的作业让学生练习，以形成解题技巧的内化．参考文献：［1］王金铎，宋炳忠．中考中的动点问题［J ］．中学数学杂志，2003（6）：46－47．［2］徐建兵．中考动点问题的教学实例［J ］．试题与研究：教学论坛，2012（11）：47－48．［3］施锦华．动点问题教学之我见［J ］．中学教研（数学版），2010（6）：18－20．［责任编辑：李璟］“三估”———估出策略发展数感陈雪霞（福建省厦门第二实验小学361000）摘要：估算不仅是一种数学思想方法的体现，更是解决实际问题策略的一种培养．使学生感受数学与生活的联系，加深学生对数、数量关系的理解与把握，提升学生灵活、合理、简捷运算的能力，促进学生数感、观察、运算、推理、反思能力的发展．关键词：估算；解决问题；策略；数感中图分类号：G622文献标识码：A 文章编号：1008－0333（2020）11－0037－02收稿日期：2020－01－15作者简介：陈雪霞（1984．11－），女，福建省惠安人，本科，中学一级教师，从事数学教学研究．《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确数量的估计是“数与代数”的主要内容．指出：数感主要指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟．对第二学段的具体目标：理解估算的意义，初步形成数感；具体要求：1．结合现实情境感受大数的意义，并能进行估计；2．在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算．可见，估算不仅是一种数学思想方法的体现，更是解决实际问题策略的一种培养．不仅可以使学生感受数学与生活的联系，还可以加深学生对数、数量关系的理解与把握，提升学生灵活、合理、简捷运算的能力，促进学生数感、观—73—。
初中数学重点模型14 动点在四边形中的分类讨论(基础)
专题14 动点在四边形中的分类讨论【专题说明】动点问题是中考中非常重要的一类问题，也是中考中的热点问题。
动点问题体现了数学中变化的思想，分类讨论的思想，对学生综合运用知识的能力要求非常高。
四边形中的动点问题是一类非常重要的问题，它将三角形和平行四边形、矩形、菱形、正方形结合在一起进行考察。
一、解题基本思路解决动点问题的思路，要注意以下几点：1、设出未知数动点问题一般都是求点的运动时间，通常设运动时间为t2、动点的运动路径就是线段长度题目通常会给动点的运动速度例如每秒两个单位，那么运动路程就是2t个单位。
而2t也就是这个点所运动的线段长。
进而能表示其他相关线段的长度。
所以我们在做动点问题的时候，第一步就是把图形中的线段都用含t的代数式来表示。
3、方程思想求出时间动点问题通常都是用方程来解决，根据题目找到线段之间的等量关系，然后用含有t的代数式表示出来，列出方程求解出t的值。
4、难点是找等量关系这种题的难点是找到等量关系。
这个等量关系往往不是题目中用语言叙述出来的，而是同学们根据题型自己挖掘出来的等量关系，所以对同学们图形分解的能力以及灵活运用知识的能力要求非常高。
5、注意分类讨论因为点的运动的位置不同，形成的图形就不同，符合结论的情况可能就不止一种，所以做动点问题要注意分类讨论。
【精典例题】1、如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，x )，则AP=2x cm，CM=3x cm，DN=x2cm．若BQ=x cm(0（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边,以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x 为何值时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由．【解析】（1）当点P 与点N 重合或点Q 与点M 重合时，以PQ ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边可能构成一个三角形． ①当点P 与点N 重合时，（舍去）．因为BQ +CM =，此时点Q 与点M 不重合．所以符合题意． ①当点Q 与点M 重合时，．此时，不符合题意．故点Q 与点M 不能重合．所以所求x 的值为．（2）由（1）知，点Q 只能在点M 的左侧，①当点P 在点N 的左侧时，由，解得． 当x =2时四边形PQMN 是平行四边形．①当点P 在点N 的右侧时，由， 解得．当x =4时四边形NQMP 是平行四边形．所以当时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形．（3）过点Q ，M 分别作AD 的垂线，垂足分别为点E ，F ．由于2x >x ，所以点E 一定在点P 的左侧． 若以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是等腰梯形， 则点F 一定在点N 的右侧，且PE =NF ， 即．解得．由于当x =4时， 以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，所以,以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形不能为等腰梯形2、如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B (1, 0)、C (3, 0)、D (3, 4)．以A 为顶点的抛212220211211x x x x +==-=--由，得，34(211)20x x +=-<211x =-320,5x x x +==由得22520DN x ==>211-220(3)20(2)x x x x -+=-+120()2x x ==舍去，220(3)(2)20x x x x -+=+-1210()4x x =-=舍去，24x x ==或223x x x x -=-120()4x x ==舍去，ABDCPQ MN物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点C ．动点P 从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿线段CD 向点D 运动．点P 、Q 的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t 秒．过点P 作PE ①AB 交AC 于点E ．（1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E 作EF ①AD 于F ，交抛物线于点G ，当t 为何值时，①ACG 的面积最大？最大值为多少？ （3）在动点P 、Q 运动的过程中，当t 为何值时，在矩形ABCD 内（包括边界）存在点H ，使以C 、Q 、E 、H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出t 的值．图1 思路点拨1．把①ACG 分割成以GE 为公共底边的两个三角形，高的和等于AD ． 2．用含有t 的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来．3．构造以C 、Q 、E 、H 为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在． 满分解答（1）A (1, 4)．因为抛物线的顶点为A ，设抛物线的解析式为y ＝a (x －1)2＋4，代入点C (3, 0)，可得a ＝－1．所以抛物线的解析式为y ＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3． （2）因为PE //BC ，所以2AP AB PE BC ==．因此1122PE AP t ==．所以点E 的横坐标为112t +． 将112x t =+代入抛物线的解析式，y ＝－(x －1)2＋4＝2144t -．所以点G 的纵坐标为2144t -．于是得到2211(4)(4)44GE t t t t =---=-+．因此22111()(2)1244ACG AGE CGE S S S GE AF DF t t t ∆∆∆=+=+=-+=--+． 所以当t ＝1时，①ACG 面积的最大值为1．（3）2013t =或20t =-考点伸展第（3）题的解题思路是这样的：因为FE //QC ，FE ＝QC ，所以四边形FECQ 是平行四边形．再构造点F 关于PE 轴对称的点H ′，那么四边形EH ′CQ 也是平行四边形．再根据FQ ＝CQ 列关于t 的方程，检验四边形FECQ 是否为菱形，根据EQ ＝CQ 列关于t 的方程，检验四边形EH ′CQ 是否为菱形．1(1,4)2E t t +-，1(1,4)2F t +，(3,)Q t ，(3,0)C ．如图2，当FQ ＝CQ 时，FQ 2＝CQ 2，因此2221(2)(4)2t t t -+-=．整理，得240800t t -+=．解得120t =-220t =+． 如图3，当EQ ＝CQ 时，EQ 2＝CQ 2，因此2221(2)(42)2t t t -+-=．整理，得213728000t t -+=．(1320)(40)0t t --=．所以12013t =，240t =（舍去）．图2 图33、如图1，在Rt①ABC 中，①C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD //BC ，交AB 于点D ，联结PQ ．点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t 秒（t ≥0）．（1）直接用含t 的代数式分别表示：QB ＝_______，PD ＝_______；（2）是否存在t 的值，使四边形PDBQ 为菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q 的速度（匀速运动），使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度； （3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ 的中点M 所经过的路径长．图1 图2思路点拨1．菱形PDBQ 必须符合两个条件，点P 在①ABC 的平分线上，PQ //AB ．先求出点P 运动的时间t ，再根据PQ //AB ，对应线段成比例求CQ 的长，从而求出点Q 的速度．2．探究点M 的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M 的路径． 满分解答（1）QB ＝8－2t ，PD ＝43t ．（2）如图3，作①ABC 的平分线交CA 于P ，过点P 作PQ //AB 交BC 于Q ，那么四边形PDBQ 是菱形．过点P 作PE ①AB ，垂足为E ，那么BE ＝BC ＝8．在Rt①ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，所以AB ＝10． 在Rt①APE 中，23cos 5AE A AP t ===，所以103t =．当PQ //AB 时，CQ CP CB CA =，即106386CQ-=．解得329CQ =．所以点Q 的运动速度为3210169315÷=．（3）以C 为原点建立直角坐标系．如图4，当t ＝0时，PQ 的中点就是AC 的中点E (3，0)． 如图5，当t ＝4时，PQ 的中点就是PB 的中点F (1，4)． 直线EF 的解析式是y ＝－2x ＋6．如图6，PQ 的中点M 的坐标可以表示为（62t -，t ）．经验证，点M （62t -，t ）在直线EF 上．所以PQ 的中点M 的运动路径长就是线段EF 的长，EF ＝25．图3图4 图5 图6考点伸展第（3）题求点M 的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数： 当t ＝2时，PQ 的中点为(2，2)．设点M 的运动路径的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，代入E (3，0)、F (1，4)和(2，2)，得930,4,42 2.a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得a ＝0，b ＝－2，c ＝6． 所以点M 的运动路径的解析式为y ＝－2x ＋6．4、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线l ：y ＝kx ＋b 与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD ＝4AC ．（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k 、b 用含a 的式子表示）； （2）点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若①ACE 的面积的最大值为54，求a 的值； （3）设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．图1 备用图 思路点拨1．过点E 作x 轴的垂线交AD 于F ，那么①AEF 与①CEF 是共底的两个三角形．2．以AD 为分类标准讨论矩形，当AD 为边时，AD 与QP 平行且相等，对角线AP ＝QD ；当AD 为对角线时，AD 与PQ 互相平分且相等．满分解答（1）由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1, 0)．由CD＝4AC，得x D＝4．所以D(4, 5a)．由A(－1, 0)、D(4, 5a)，得直线l的函数表达式为y＝ax＋a．（2）如图1，过点E作x轴的垂线交AD于F．设E(x, ax2－2ax－3a)，F(x, ax＋a)，那么EF＝y E－y F＝ax2－3ax－4a．由S①ACE＝S①AEF－S①CEF＝11()() 22E A E C EF x x EF x x---＝1()2C AEF x x-＝21(34)2ax ax a--＝21325()228a x a--，得①ACE的面积的最大值为258a-．解方程25584a-=，得25a=-．（3）已知A(－1, 0)、D(4, 5a)，x P＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：①如图2，如果AD为矩形的边，那么AD//QP，AD＝QP，对角线AP＝QD．由x D－x A＝x P－x Q，得x Q＝－4．当x＝－4时，y＝a(x＋1)(x－3)＝21a．所以Q(－4, 21a)．由y D－y A＝y P－y Q，得y P＝26a．所以P(1, 26a)．由AP2＝QD2，得22＋(26a)2＝82＋(16a)2．整理，得7a2＝1．所以a=P(1，．①如图3，如果AD为矩形的对角线，那么AD与PQ互相平分且相等．由x D＋x A＝x P＋x Q，得x Q＝2．所以Q(2,－3a)．由y D＋y A＝y P＋y Q，得y P＝8a．所以P(1, 8a)．由AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．整理，得4a2＝1．所以12a=-．此时P(14)-，．图1 图2 图3考点伸展第（3）题也可以这样解．设P(1,n)．①如图2，当AD时矩形的边时，①QPD＝90°，所以AM DNMD NP=，即5553a na-=-．解得235ana+=．所以P235(1,)aa+．所以Q3(4,)a-．将Q3(4,)a-代入y＝a(x＋1)(x－3)，得321aa=．所以a=．①如图3，当AD为矩形的对角线时，先求得Q(2,－3a)．由①AQD＝90°，得AG QKGQ KD=，即32335aa a-=--．解得12a=-．5、如图1，已知抛物线C：y＝－x2＋bx＋c经过A(－3,0)和B(0, 3)两点．将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．（1）求抛物线C的表达式；（2）求点M的坐标；（3）将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？图1思路点拨1．抛物线在平移的过程中，M′N′与MN保持平行，当M′N′＝MN＝4时，以点M、N、M′、N′为顶点的四边形就是平行四边形．2．平行四边形的面积为16，底边MN＝4，那么高NN′＝4．3．M′N′＝4分两种情况：点M′在点N′的上方和下方．4．NN′＝4分两种情况：点N′在点N的右侧和左侧．满分解答（1）将A (－3,0)、B (0, 3)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得 930,3.b c c --+=⎧⎨=⎩解得b ＝－2，c ＝3． 所以抛物线C 的表达式为y ＝－x 2－2x ＋3．（2）由y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，得顶点M 的坐标为(－1,4)．（3）抛物线在平移过程中，M′N′与MN 保持平行，当M′N′＝MN ＝4时，以点M 、N 、M ′、N ′为顶点的四边形就是平行四边形．因为平行四边形的面积为16，所以MN 边对应的高NN′＝4．那么以点M 、N 、M ′、N ′为顶点的平行四边形有4种情况：抛物线C 直接向右平移4个单位得到平行四边形MNN ′M ′（如图2）； 抛物线C 直接向左平移4个单位得到平行四边形MNN ′M ′（如图2）；抛物线C 先向右平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNM ′N ′（如图3）； 抛物线C 先向左平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNM ′N ′（如图3）．图2 图3考点伸展本题的抛物线C 向右平移m 个单位，两条抛物线的交点为D ，那么①MM ′D 的面积S 关于m 有怎样的函数关系？如图4，①MM ′D 是等腰三角形，由M (－1,4)、M ′(－1＋m , 4)，可得点D 的横坐标为22m -． 将22m x -=代入y ＝－(x ＋1)2＋4，得244m y =-+．所以DH ＝244m -．所以S ＝2311(4)2248m m m m -=-．图4。
中考数学动点问题专题讲解
动点及动图形的专题复习教案所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,.∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6). (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例2如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CE AB =,∴11x y =, ∴xy 1=. 2222233621419x x x MH PH MP +=-+=+= AEDCB 图2HM NGPOAB图1x y(2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立,∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90. 当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 如三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。