2020年高二数学下学期期末模拟试卷及答案(七)(理科)

2020年高二数学下学期期末模拟试卷及答案（七）（理科）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，2，5}，{1,3,5}U B =ð，则A∩B ＝A ．{5}B ．{2}C ．{1，2，4，5}D ．{3，4，5} 2．设命题p ：∀x ＞0，2x ＞log2x ，则⌝p 为 A ．∀x ＞0，2x ＜log 2x B ．∃x 0＞0，0202log x x ≤C ．∃x 0＞0，0202log x x < D ．∃x 0＞0，0202log x x ≥3．命题“有理数是无限不循环小数，整数是有理数，所以整数是无限不循环小数”是假命题，推理错误的原因是 A ．使用了归纳推理 B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但大前提错误D ．使用了“三段论”，但小前提错误4．已知某同学在高二期末考试中，A 和B 两道选择题同时答对的概率为23，在A 题答对的情况下，B 题也答对的概率为89，则A 题答对的概率为A ．14B ．12C ．34D ．795．五名同学站成一排，若甲与乙相邻，且甲与丙不相邻，则不同的站法有A ．36种B ．60种C ．72种D ．108种6．已知函数22,0,()log ,0,x x x f x x x ⎧-=⎨>⎩≤则“f （x ）≤0”是“x≥0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7．给出下列两种说法：①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q≥2，②已知a ，b ∈R ，|a|＋|b|＜1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根绝对值都小于1，用反证法证明时，可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1．以下结论正确的是 A ．①和②的假设都错误 B ．①和②的假设都正确C ．①的假设正确，②的假设错误D ．①的假设错误，②的假设正确8．在31()2n x x-的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则此展开式中各项系数绝对值之和为A ．91()2B ．93()2C ．81()2D ．83()29．已知点P 是曲线31xx e y e -=+上一动点，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的最小值是A ．0B ．4πC ．32πD ．43π10．1201(1)2x x dx -+=⎰A ．4π+1B ．2π+1C ．124π+D ．1π4+11．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为（1＋3＋32）＋（2＋2×3＋2×32）＋（22＋22×3＋22×32）＝（1＋2＋22）（1＋3＋32）＝91，参照上述方法，可得100的所有正约数之和为A ．217B ．273C ．455D ．65112．已知22|log |,02,()814,2,x x f x x x x <⎧⎪=⎨-+>⎪⎩≤若存在互不相同的四个实数0＜a ＜b＜c ＜d 满足f （a ）＝f （b ）＝f （c ）＝f （d ），则ab ＋c ＋2d 的取值范围是A ．（132-，132+）B ．（132-，15）C ．[132+，15]D ．（132+，15）第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题13．已知随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2），P （ξ≤4）＝0.84，则P （ξ≤－2）＝________．14．下表提供了某厂节能降耗技术改造后，在生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产耗能y （吨）的几组相对应数据．x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 4.5根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归直线方程为$0.70.35y x =+，那么表中t ＝________．15．按照上级要求，市人民医院决定组建一个医疗小队前往灾区服务．考虑到本院人员具体情况，经院领导研究决定：从4名内科、5名外科、3名儿科医生中，选出4人组建医疗小队，并且要求这三类专业技术人员都至少有一人，则医疗小队组建方式共有________种． 16．函数1()x x f x e +=，ln ()a xg x x=，（a ＞0）．若对任意实数x 1，都存在正数x 2，使得g （x 2）＝f （x 1）成立，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题17．已知复数z ＝1＋mi （i 是虚数单位，m ∈R ），且(3)z i +g 为纯虚数（z 是z 的共轭复数）． （Ⅰ）设复数121m iz i+=-，求|z 1|； （Ⅱ）设复数20172a i z z-=，且复数z 2所对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．18．某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准如下：85分及以上，记为A 等；分数在[70，85）内，记为B 等；分数在[60，70）内，记为C 等；60分以下，记为D等．同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知某学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了了解该校学生的成绩，抽取了50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出样本频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求图中x的值，并根据样本数据估计该校学生学业水平测试的合格率；（Ⅱ）在选取的样本中，从70分以下的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中成绩为D等级的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．为了调查“五一”小长假出游选择“有水的地方”是否与性别有关，现从该市“五一”出游旅客中随机抽取500人进行调查，得到如下2×2列联表：（单位：人）选择“有水的地方”不选择“有水的地方”合计男90 110 200女 210 90 300 合计300200500（Ⅰ）据此样本，有多大的把握认为选择“有水的地方”与性别有关； （Ⅱ）若以样本中各事件的频率作为概率估计全市“五一”所有出游旅客情况，现从该市的全体出游旅客（人数众多）中随机抽取3人，设3人中选择“有水的地方”的人数为随机变量X ，求随机变量X 的数学期望和方差．附临界值表及参考公式： P （K 2≥k 0）0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 03.8415.0246.6357.87910.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=+⨯+⨯+⨯+，n ＝a ＋b ＋c ＋d ．20．函数f （x ）＝xlnx －a （x －1）2－x ，g （x ）＝lnx －2a （x －1），其中常数a ∈R ．（Ⅰ）讨论g （x ）的单调性；（Ⅱ）当a ＞0时，若f （x ）有两个零点x 1，x 2（x 1＜x 2），求证：在区间（1，＋∞）上存在f （x ）的极值点x 0，使得x 0lnx 0＋lnx 0－2x 0＞0．21．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为2cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为11,2322x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．（Ⅰ）写出椭圆C 的普通方程和直线l 的倾斜角；（Ⅱ）若点P （1，2），设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求|PA|·|PB|的值．22．已知函数f （x ）＝|x ＋a|－|x －1|．（Ⅰ）当a ＝－2时，求不等式1()2f x ≥的解集； （Ⅱ）若f （x ）≥2有解，求实数a 的取值范围．23．已知曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，32sin()42ρθπ-=，射线θ＝φ，4θϕπ=+，4θϕπ=-与曲线C 1交于（不包括极点O ）三点A ，B ，C ．（Ⅰ）求证：||||2||OB OC OA +=； （Ⅱ）当12ϕπ=时，求点B 到曲线C 2上的点的距离的最小值． 24．设函数f （x ）＝|x －1|＋|2x －1|．（Ⅰ）若对∀x ＞0，不等式f （x ）≥tx 恒成立，求实数t 的最大值M ； （Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a ，b 满足a 2＋b 2＝2M ．证明：a ＋b≥2ab ．高二数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题1．B 2．B 3．C 4．C 5．A 6．A 7．D 8．D 9．D 10．A11．A 12．D 二、填空题13．0．16 14．3 15．270 16．[e ，＋∞） 三、解答题17．解：∵z ＝1＋mi ，∴1z mi =-． ∴(3)(1)(3)(3)(13)z i mi i m m i +=-+=+=-g ． 又∵(3)z i +g 为纯虚数， ∴30,130.m m +=⎧⎨-≠⎩∴m ＝－3． ∴z ＝1－3i ． （Ⅰ）13251122i z i i -+==---， ∴2215126||()()222z =-+-=． （Ⅱ）∵z ＝1－3i ， ∴2()(13)(3)(31)13(13)(13)10a i a i i a a iz i i i --++-===--+． 又∵复数z 2所对应的点在第四象限，∴30,10310.10a a +⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩∴3,1.3a a >-⎧⎪⎨<⎪⎩ ∴133a -<<．18．解：（Ⅰ）由题意可知，10x ＋0.012×10＋0.056×10＋0.018×10＋0.010×10＝1，∴x ＝0.004．∴合格率为1－10×0.004＝0.96．（Ⅱ）样本中C 等级的学生人数为0.012×10×50＝6， 而D 等级的学生人数为0.004×10×50＝2．∴随机抽取3人中，成绩为D 等级的人数X 的可能取值为0，1，2，∴3638205(0)5614C P X C ====，1226383015(1)5628C C P X C ====， 21263863(2)5628C C P X C ====， ∴X 的分布列为x 0 12P514 1528 328数学期望153213()122828284E X =⨯+⨯==．19．解：（Ⅰ）2500(2101109090)31.2510.828200300300200k ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯， ∴有99.9％的把握认为选择“有水的地方”与性别有关；（Ⅱ）估计该市的所有出游旅客中任一人选择“有水的地方”出游的概率为30035005P ==， X 的可能取值为0，1，2，3，由题意，得X ～B （3，35）， ∴随机变量X 的数学期望39()355E X =⨯=， 方差3218()35525D X =⨯⨯=． 20．（Ⅰ）解：函数g （x ）的定义域为（0，＋∞），导函数为1()2g x a x'=-．①当a≤0时，g′（x ）＞0恒成立，g （x ）在定义域（0，＋∞）上是增函数； ②当a ＞0时，1()02g a'=，并且， 在区间（0，12a ）上，g′（x ）＞0，∴g （x ）在（0，12a ）是增函数； 在区间（12a ，＋∞）上，g′（x ）＜0，∴g （x ）在区间（12a，＋∞）上是减函数．（Ⅱ）证明：当a ＞0时，在区间（0，1]上，f （x ）＜0是显然的，即在此区间上f （x ）没有零点；又由于f （x ）有两个零点，则必然f （x ）在区间（1，＋∞）上有两个零点x 1，x 2（x 1＜x 2）， f′（x ）＝lnx －2a （x －1），由（Ⅰ）知，f′（x ）在区间（0，12a）上是增函数，在区间（12a，＋∞）上是减函数． ①若12a ≥，则112a≤，在区间（1，＋∞）上，f′（x ）是减函数，f′（x ）≤f′（1）＝0，f （x ）在（1，＋∞）上单调递减，不可能有两个零点，所以必然有102a <<． ②当102a <<时，在区间（1，12a ）上，f′（x ）是增函数，f′（x ）＞f′（1）＝0；在区间（12a，＋∞）上，f′（x ）是减函数．依题意，必存在实数x 0，使得在区间（12a，x 0）上，f′（x ）＞0，f （x ）是增函数；在区间（x 0，＋∞）上，f′（x ）＜0，f （x ）是减函数．此时x 0＞1，且x 0是f （x ）的极大值点．所以f （x 0）＞0，且f′（x 0）＝0，即2000000ln (1)0,ln 2(1)0,x x a x x x a x ⎧--->⎪⎨--=⎪⎩消去a 得到x 0lnx 0＋lnx 0－2x 0＞0（x 0＞1）．设F （x ）＝xlnx ＋lnx －2x （x ＞1），1()ln 1F x x x'=+-． ∵22111()0x F x xx x-''=-=>，∴x ＞1时，F′（x ）单调递增．又F′（1）＝0，∴x ＞1时，F′（x ）＞0．∴x ＞1时，F （x ）单调递增．又F （1）＝－2＜0，F （e 2）＝2＞0．∴存在x 0＝e 2＞1满足题意． 亦可直接观察得到，x 0＝e 2时，e2lne 2＋lne 2－2e 2＝2＞0，满足题意．21．解：（Ⅰ）消去θ得到椭圆C 的普通方程为2214x y +=．直线l 的斜率为3，∴直线l 的倾斜角为3π．（Ⅱ）把直线l 的方程11,232,2x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2214x y +=中，得221(1)32(2)142t t +++=， 即213(183)1304t t +++=． ∴t 1·t 2＝4，即|PA|·|PB|＝4．22．解：（Ⅰ）当a ＝－2时，1,1,()23,12,1, 2.x f x x x x ⎧⎪=-+<⎨⎪->⎩≤≤当x ≤1时，由1()2f x ≥得112≥，成立，∴x≤1；当1＜x≤2时，由1()2f x ≥得1232x -+≥解得54x ≤，∴514x <≤；当x ＞2时，由1()2f x ≥得112-≥，不成立，∴无解．综上，1()2f x ≥的解集为5{|}4x x ≤．（Ⅱ）∵f （x ）＝|x ＋a|－|x －1|≥2有解， ∴f （x ）max ≥2．∵|x ＋a|－|x －1|≤（x ＋a ）－（x －1）＝|a ＋1|， ∴|a ＋1|≥2，∴a≥1或a≤－3．23．（Ⅰ）证明：依题意|OA|＝2cosφ，||2cos()4OB ϕπ=+，||2cos()4OC ϕπ=-， 则||||2cos()2cos()44OB OC ϕϕππ+=++-2[cos cos sin sin cos cos sin sin ]4cos cos 44444ϕϕϕϕϕπππππ-++=22cos 2||OA ϕ=．（Ⅱ）解：∵32sin()42ρθπ-=， ∴3sin cos 2ρθρθ-=． 曲线C 2的直角坐标方程为302x y -+=． 又∵B 极坐标为（1，3π），化为直角坐标为13(,)22， ∴B 到曲线C 2的距离为133||222242d -+==．∴所求距离的最小值为24． 24．（Ⅰ）解：11()|1||21||1||2|f x tx x x tx t x x⇔-+-⇔-+-≥≥≥恒成立min 11(|1||2|)t x x ⇔-+-≤∵1111|1||2||(1)(2)|1x x x x-+----=≥，当且仅当11(1)(2)0x x --≤，即112x ≤≤时取等号，∴t≤1，∴M ＝1．（Ⅱ）证明：∵a 2＋b 2≥2ab ，∴ab≤1． ∴1ab ≤．（当且仅当“a ＝b”时取等号）①又∵2a bab +≤，∴12ab a b +≤． ∴2ab aba b +≤，（当且仅当“a ＝b”时取等号）② 由①、②得12ab a b +≤．（当且仅当“a ＝b”时取等号） ∴a ＋b≥2ab ．。