分式的约分和通分
人教版八年级数学上册16.分式的基本性质约分与通分
x2 2
2x 28
已知，1 1 3 ，求分式 2a 3ab 2b 的值。
ab
a ab b
练习：
P8 1.约分. 2.通分.
作业： P9 6. 7.
例 2.不改变分式的值，使下列分子与分母 都不含“－”号
⑴
⑵
⑶
不改变分式的值，把下列各式的分 子与分母的各项系数都化为整数.
⑴
⑵
5x1 y
(3)
6 5
x
5 1
y
,
65
5x1 y
6 5
x
5 1
y
,
65
3.不改变分式的值,把下列各式的分子与分母都不含 “－”号.
(1) 3x 2y
(2) abc d
2q (3) p
(4) 3m 2n
巩固练习
1.若把分式
x y B y 的 和 都扩大两倍,则分式的值( )
x y
A．扩大两倍 B．不变 C．缩小两倍 D．缩小四倍
(1)
与
(2)
与
例3.填空，使等式成立.
⑴
⑵
（其中 x+y ≠0 ）
2.填空:
(1)
9mn2 36n3
m ()
(2)
x2
xy x2
x (
y )
(3) a b． ( ) ab a2b
分数的约分与通分
1.约分：
约去分子与分母的最大公约数，化
为最简分数。
2.通分：
先找分子与分母的最简公分母，再
分式的分子与分母同时乘以（或除以）同 一个不等于零的整式 ，分式的值不变.
用 公 式 表 示 为:
A AM , A AM . B BM B BM (其 中M是 不 等 于 零 的 整 式)
《分式的基本性质的应用：约分、通分》教学设计1
第十五章分式15.1.2第二课时分式的约分、通分教学目标：一．知识与技能1.类比分数的约分、通分，理解分式约分、通分的意义，理解最简公分母的概念.2.类比分数的约分、通分掌握分式约分、通分的方法与步骤.二．过程与方法通过类比分数的约分与通分，探索分式的约分与通分的法则，学会运用类比转化的思想方法研究数学问题.三．情感态度与价值观通过研究解决问题的过程，培养学生合作交流的意识与探究精神.四．重点难点重点：运用分式的基本性质正确的进行分式的约分与通分难点：通分时最简公分母的确定；运用通分法则将分式进行变形.五．教学方法讲练结合六．教学媒体多媒体，实物投影七．教学过程教学过程板书设计教学反思约分是分式基本性质的直接利用。
通过学习约分，不仅可以巩固分式的基本性质，而且还可以为下节课学习分式四则运算打下基础.本节课我采用了如下方法：1.重视复习的作用.第一环节安排复习引入，唤起学生对分式基本性质和整式的单项式，多项式，多项式因式分解中相关知识的回忆，为约分做准备.2.引导学生自主摸索.新课学习以学生自主探究为主，教师引导与点拨为辅的方式进行，让全体学生通过观察，探究，展示，交换，小结等活动，一步一步地从化简分式的过程中抽象出分式的概念.学生也在约分的探究学习中相互交换了自己的想法和作法通过合作交流增进了学生对约分的理解.通分是在分式基本性质的基础上的运用，它为后面学习分式的加减法奠定基础.所以我仍采取了自主探究的学习方式，让学生经历知识的形成过程，动脑思考，动手验证，突出学生主体性.让学生在探究过程中有所体验，有所感悟，目的在于激励学生积极主动的参与摸索通分知识的全过程.在本节课的教学中应让学生讨论的更充分一些，教学效果会更好！附录： 当堂检测1.下列分式中，最简分式是（ ）A. 21B. a a 2C. 22y x y x -+D. 22y x y x ++ 2.将 3623121824xa y x a 约分的结果为（ ） A. 91226y a B. 2634y a C. 2234y a D. axy 68 3.化简 mnm n m +-222 的结果是 （ ）A. m n m 2-B. mnm - C. m n m + D. n m n m --4.分式 ax b 2， bx c32-， 35xa 的最简公分母是（ ）A. abx 15B. 315abx C.abx 30 D.330abx5.化简44422++-a a a = 6.分式 xx 312- 与 922-x 的最简公分母是7.化简123162--m m 得 ；当 m= -1时，原式的值为8.通分：（1）bc a y ab x 2296， （ 2 ）16,12122-++-a a a a。
分式的约分与通分技巧
分式的约分与通分技巧在数学中，分式是由分子和分母组成的表达式，分式可以通过约分和通分来进行简化或合并。
约分是指分式的分子与分母同时除以它们的公约数，使分子和分母尽可能小。
通分则是将两个分式的分母统一为相同的数，以便进行比较或运算。
在本文中，我们将介绍分式的约分与通分的一些技巧。
一、分式的约分技巧当一个分式的分子和分母有公约数时，可以进行约分。
约分的目的是使得分子和分母尽可能地简化，这样可以方便计算和比较。
1. 找出分子和分母的公约数：公约数是指能够同时整除两个或多个数的数。
例如，对于分式4/8，公约数有1、2和4。
2. 除去公约数：将分子和分母分别除以它们的公约数。
对于分式4/8，我们可以除以公约数2，得到最简分式1/2。
3. 化简分式：如果分式的分子和分母仍然有公约数，可以继续进行约分操作，直到无法再约分为止。
例如，对于分式12/24，我们可以先找出它们的最大公约数为12，然后进行除法操作，得到最简分式1/2。
二、分式的通分技巧在进行分式的比较或运算时，往往需要将分式的分母统一为相同的数，这就是通分操作。
1. 找出分式的最小公倍数：最小公倍数是指两个或多个数的公倍数中最小的一个数。
例如，对于分式1/2和3/4，我们可以找出它们的最小公倍数为4。
2. 乘以适当的倍数：将分子和分母同时乘以适当的倍数，使得分母变为最小公倍数。
对于分式1/2，我们乘以2/2得到2/4；对于分式3/4，我们乘以1/1得到3/4。
3. 进行比较或运算：通分后的分式可以进行比较或运算。
例如，对于分式1/2和3/4，通分后分别为2/4和3/4，可以直接比较它们的大小。
三、约分与通分的应用约分与通分技巧在数学中的应用非常广泛，特别是在分数的计算、比较和运算中。
1. 分数的加减运算：当进行分数的加减运算时，需要先找到它们的最小公倍数，然后进行通分操作，最后进行相应的运算。
例如，对于分式1/2和1/3的相加，我们可以找到它们的最小公倍数为6，然后分别将它们通分为3/6和2/6，再进行加法运算得到5/6。
15.1第3课时 约分与通分(优秀经典公开课比赛课件)
1．把一个分式的分子与分母的____约去，叫做 分式的约分．
2．分子与分母没有_______的分式，叫做最简 分式．
3．不改变分式的值，把几个异分母分式化成 _________的分式，这样的变形叫做分式的通分， 各分母的所有因式的____________的积，叫做 最简公分母．Βιβλιοθήκη 二、探究案三、课堂练习
1．下列分式中是最简分式的是( )
A．－a2b
a2
B. m＋n
m2＋n2
C.x2－4
x＋2
D. a2－9b2
（a－3b）2
1
1
1
2．分式a2－2a＋1，a2－1，a2＋2a＋1的最简公分母是( )
A．a4＋2a2＋1
B．(a2－1)(a2＋1)
C．a4－2a2＋1
D．(a－1)4
3．通分： (1) a ，b ， a
知识点 1 分式的约分 1．约分：
(1)6a2bc 12ab2
(2)x2－2x 2－x
（3） a2－b2 a2＋ab
(4)x2－2xy＋y2 3x－3y
2．下列分式约分，正确的是( )
A.x2＋y2＝x＋y
x＋y
B.2a－2b＝ 2
a2－b2 a－b
C.－a－b＝－1
a－b
D.x2－y2＝x＋y
x－y
知识点 2 分式的通分 3．分式－ 5 和 3 的最简公分母是________
6x2y 4xyz
4．把3a－1 3b，a2－a b2，（a＋b b）2通分，最简公分母是_______
5．将分式x－1 2，3x2＋6，x3－3 4x通分后， 它们分别变为______________________
分式的约分、通分专项练习题
分式提升训练—分式的约分和通分分式的约分专项训练约分步骤：1.对分式的分子与分母进行因式分解2.公因式（共同部分）公因式找法：1.系数找最大公约数2.相同字母或整式找最低次幂 3.约去公因式，化为最简分式1.不改变下列分式的值，使分式的分子、分母首相字母都不含负号。
①xy--②y x y x 2---- ③y x y x --+-约分练习：1．根据分数的约分，把下列分式化为最简分式：a a 1282 =_____;c ab bc a 23245125=_______()()b a b a ++13262=__________221326b a b a -+=________ 2、约分⑴233123ac c b a ⑵ ()2xy y y x + ⑶ ()22y x xy x ++ ⑷()222y x y x --3、约分：；()x x x 525.122-- ()634.222-+++a a a a (3) d b a c b a 32232432- (4) )(25)(152b a b a +-+- (5) b a ab a --2； (6) 2242xx x ---；4.约分①a a ab b 222-- ②c b a c b a ++-+22)( ③2222926y x xy y x -+ ④2435241216c b a c b a⑤224422b a b a -+ ⑥12223-++m m m m ⑦34)2(6)2(2y x x x y y -- ⑧mn n m mn 5101522+5.约分（1）22699x x x ++- （2） 96922+--a a a （3） ()()()()b a y x b a y x -+-+23 （4） 918322---x x x （5）63422-+++x x x x（6）xx x 22497-- （7）()()y x a x y a --271223 （8）xyxy y x 222+ （9） （10） m m m -+-11226.约分： (1)； (2)； (3)； (4)． （5）； （6）；（7）； （8）(9)； (10)．7.先化简，再求值：233223949124xyx xy y x y x -++，其中x =1，y =1通分专项训练通分步骤：1.对分式的分母进行因式分解 2.找最简公分母步骤1.系数找最小公倍数2.相同字母或整式找最高次幂3.多出来的字母一起作为最简公分母 3.将每一个分式的分母化成最简公分母（注意分子，分母同时变化）通分练习：1. 通分：（1）xy y x x y 41,3,22； （2）22225,103,54ac bb ac c b a -。
分式的约分与通分教案
学之导教育中心教案 学生: 何日琛 授课时间: 2012.2.3课时： 2 年级: 八年级 教师： 周老师课 题 分式的约分和分式的通分教学架构一、知识回顾 二、错题再现 三、知识新授 四、小结与预习 教学内容一、知识回顾1、分式的概念及判断例：()nm n m b a b x x x y x x x x +-+----,26,3,5 ,1,2 ,34 ,151,1222π其中分式共有（ ）个。
2、分式有意义的条件和分式值为零的条件例：（1）当x 取什么值时，下列分式有意义？ （2）什么条件下，下列分式的值为0？ x 31 x -31 535+-x x 1612-x x x 1- 321+-a a ()()4392++-a a a3、分式的基本性质例1：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号：25-x y - b a 2- n m 34- y x 2-- 例2：如果把分式yx x +2中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） 二、错题再现1、分式xx 213-有意义的条件是 ；等于0的条件是 。
本次内容掌握情况总结教 师 签 字 学 生 签 字2、分式36122--x x 有意义，则x 3、不改变分式的值,把分式0.420.51x x +- 中分子、分母各项系数化成整数为________. 4、如果75)13(7)13(5=++a a 成立,则a 的取值范围是__________ 三、知识新授知识点1：分式的约分最简分式：分子分母不含有公因式的分式叫做最简分式.约分：利用分式的基本性质，约去分式中分母和分子中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分例1、下列分式中，是最简分式的有（ ）个. ().,,,22222n m n m y xy y x y x y x a b -+++-+ A.1 B. 2 C. 3 D.4练习：1、下列四个分式中，最简分式是（ ） A. ay ax 32 B. 112+++x x x C. b a b a +-22 D. b a b a ++22 2、下列各式中，是最简分式的为( )A. ()22224b a b a +- B.32a ab - C.22y x y x ++ D. y x y x 2222+- 3、下列分式是最简分式的是（ ）A 、11m m --；B 、3xy y xy -；C 、22x y x y-+； D 、6132m m -； 例2、约分： （1）cab bc a 2321525 （2）99622-++x x x练习：1、（1）c b a bc a 3222015 （2)112+-x x (3)ab b a b a +233 (4)y x y xy x 33612622-+-2、下列约分正确的是（ ）A 、313m m m +=+ B 、212y x y x -=-+ C 、123369+=+a b a b D 、()()yx a b y b a x =--例3：先化简，再求值： 99622-+-m m m ，其中1-=m练习：先化简，再求值：1272322+--+a a a a ，其中21-=a知识点2：分式的通分例1：（1）cab b a b a 2223-与 （2）5352+-x x x x 与 最简公分母：练习：1、下列各题中，所求的最简公分母，错误的是（ ）A ．x 31与26x a 最简公分母是26x B. 3231b a 与c b a 3231最简公分母是c b a 323 C.n m +1与n m -1的最简公分母是22n m - D.)(1)(1x y b y x a --与是简公分母是))((x y y x ab -- 2、通分（1）bc a y ab x 2296与 （2）y x y x -+11与例2、通分:（1）2)(2y x xy +与22y x x - （2）1612122-++-a a a a 与练习：（1）2)(22y x xy y x y x ++-与 （2）32329422+--m m m mn 与例3：已知432z y x ==，求z y x z y x ++-+的值练习：（1）已知115x y +=，则分式2322x xy y x xy y -+++的值为_______ ；（2）已知113x y -=，则分式2322x xy y x xy y +---的值为 ；（3）已知bab 2a b ab 3a ,2b 1a 1+++-=+则=____________.四、小结与预习1、分式的约分与通分2、分式的运算。
分式通分约分教学设计
分式通分约分教学设计教学设计：分式通分约分教学目标：1. 了解分式的概念和性质。
2. 掌握分式通分的方法和技巧。
3. 熟练运用分式通分的方法，解决实际问题。
4. 掌握分式的约分规则和约分技巧。
教学准备：1. 准备教学课件和教学素材。
2. 准备白板、黑板和彩色粉笔。
3. 准备分式通分和约分的练习题。
教学过程：引入：1. 通过提问引导学生思考：你们知道什么是分式吗？分式有哪些基本性质？2. 引导学生回忆分式的定义和性质。
第一部分：分式通分Step 1：概念讲解1. 使用教学课件或板书的方式，向学生讲解分式通分的概念。
2. 引导学生理解通分的概念，即将分母不同的分式转化为具有相同分母的分式。
Step 2：通分方法和技巧1. 教师向学生介绍通分的方法和技巧，如找到分母的最小公倍数，然后分别将分式的分子乘以相应的倍数，使得分母相等。
2. 通过例题演示通分的方法和技巧。
3. 接着，教师引导学生一起做一些练习题，加深学生对通分方法的理解。
第二部分：分式约分Step 3：概念讲解1. 教师向学生讲解分式约分的概念，即将分子和分母同时除以一个公因数，使得分子和分母都不包含公因数。
Step 4：约分规则和技巧1. 教师向学生介绍约分的规则和技巧，如寻找分子和分母的公因数，然后分别将分子和分母除以公因数，使得约分后的分式最简形式。
2. 通过例题演示约分的方法和技巧。
3. 接着，教师引导学生一起做一些练习题，加深学生对约分方法的理解。
Step 5：综合练习1. 教师设计一些综合练习题，包括分式的通分和约分。
2. 鼓励学生积极参与，解答练习题。
总结：1. 教师向学生总结本节课的主要内容，强调分式通分和约分的重要性和实际应用价值。
2. 回答学生的问题，澄清他们在学习过程中遇到的困惑。
拓展任务：1. 鼓励学生进一步拓展分式的应用，例如在实际生活中的应用场景。
2. 布置拓展任务，让学生自主探究和应用分式的知识。
教学评价：1. 教师通过观察学生的学习表现，了解学生对分式通分和约分的掌握情况。
分式的约分与通分技巧
分式的约分与通分技巧分式是数学中常见的一种表达形式，它由分子和分母组成。
在进行数学运算或问题解答时，需要对分式进行约分或通分，以便更方便地进行计算或分析。
本文将介绍分式的约分与通分技巧，并提供一些实例进行说明。
一、分式的约分技巧分式的约分是指将分式的分子和分母同时除以它们的最大公约数，使得分子和分母的比值保持不变，但分式的表示形式更简洁。
下面是一些常见的约分技巧：1. 找出分子和分母的公共因子，计算它们的最大公约数。
然后将分子和分母同时除以最大公约数。
例如，对于分式6/12，我们可以找到分子6和分母12的最大公约数为6。
将分子和分母同时除以6，得到约分后的分式1/2。
2. 利用质数进行约分。
如果分子分母都可以被同一个质数整除，那么可以直接将分子和分母同时除以这个质数。
例如，对于分式18/24，我们可以发现分子18和分母24都可以被2整除。
将分子和分母同时除以2，得到约分后的分式9/12。
继续约分，我们可以得到3/4。
二、分式的通分技巧通分是指将两个或多个分式的分母统一为相同的数值。
通分可以使得分式之间的比较和运算更加便利。
下面是一些常见的通分技巧：1. 找出两个分式分母的最小公倍数，将两个分式的分母都改为最小公倍数，并使得分子保持不变。
例如，对于分式1/2和2/3，它们的分母分别为2和3。
2和3的最小公倍数为6，因此我们可以将1/2乘以3/3，2/3乘以2/2，得到通分后的分式3/6和4/6。
2. 利用分母之间的因数关系进行通分。
如果两个分数的分母之间存在因数关系，可以根据这个关系进行通分。
例如，对于分式1/3和1/6，我们可以发现6可以整除3。
将1/3乘以2/2，得到通分后的分式2/6。
以上是分式的约分与通分技巧的简要介绍。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题和分式的特点选择合适的约分与通分方法。
熟练掌握这些技巧可以提高我们在数学运算和问题解答中的效率和准确性。
通过本文的介绍，我们对分式的约分与通分技巧有了更深入的了解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
分式的约分和通分
(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
(2)分式约分的依据：分式的基本性质．
(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因
式．
(4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．
3．例题与练习：
例1： 约分：()53
2164.1abc bc a - ()()()x y a y x a --3
22.2 （1）①有没有公因式？②公因式是什么？ 解：23235324444164c
a abc c abc a abc bc a -=⋅⋅-=- 小结：分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以约去分子、分母中相同因
式的最低次幂，注意系数也要约分
(2).请学生分析如何约分：由于()y x x y --=-，所以，分子和分母的公因式是：()y x a -，约分可得：
解：()()()()()()()()22
32322222y x a y x a y x y x a y x a y x a x y a y x a --=--⋅--=---=-- 小结：①当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的
基本性质进行约分．②注意对分子、分母符号的处理．分子或分母的系数
是负数时，一般先把负号提到分式本身的前边．
例2 .把下列各式约分：()x x x 525.122-- ()6
34.222-+++a a a a 解：()()()()x x x x x x x
x x 5555525.122+=--+=-- ()()()()()2
12313634.222-+=-+++=-+++a a a a a a a a a a (五)小结：
1．约分的主要步骤：先把分式的分子，分母分解因式，然后约去分子分母中的相同因式的最低次幂，（包括分子分母中系数的最大公约数）。
2．约分的依据是分式的基本性质：约去分子与分母的公因式相当于被约去的公因式同时除原分式的分子分母，根据分式的基本性质，所得的分式与原分式的值相等。
3．若分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，则约去分子、分母中相同因式的最低次幂，分子、分母的系数约去它们的最大公约数．
4．若分式的分子、分母中有多项式，则要先分解因式，再约分．
(六)注意：1.当分式的分子与分母的因式只差一个符号时，要先处理好符号再约分，因
式变号规则如下：()()()()⎩
⎨⎧--=--=---121222n n n
n a b b a a b b a （其中n 为自然数）。
2．分式的分子，分母的多项式中有部分项不同时，不得将其中的一部分相同
的项约去（约分只能约分子分母中相同的因式）。
什么叫分数的通分？
答：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。
3．分数通分的方法及步骤是什么？
答：先求出几个异分母分数的分母的最小公倍数，作为它们的公分母，把原来的各分数化成用这个公分母做分母的分数。
4．分数通分时，为什么各分数的值不变？
答：分数通分时，原分数的分子、分母都乘以同一个不等于零的数，这个数就是用公分母除以原来各分数的分母所得到的商，根据分数的基本性质，各分数的值不变。
二、新课
和分数通分类似，把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个分式的公分母。
例1 求分式4322361,41,21xy
y x z y x 的公分母。
分析：对于三个分式的分母中的系数2，4，6，取其最小公倍数12；对于三个分式的分母的字母，字母x 为底的幂的因式，取其最高次幂x 3，字母y 为底的幂的因式，取其最高次幂y 4，再取字母z 。
所以三个分式的公分母为12x 3y 4z 。
指出：24x 6y 6z ，48x 5y 9z ，…都是上述三个分式的公分母，其中12x 3y 4z 是这些公分母中最简单的一个，称为最简公分母。
最简公分母的意义是，各分式分母中的系数是最小公倍数与所有的字母（或因式）
的最高次幂的积，叫做最简公分母。
例2 求分式2241x x -与4
12-x 的最简公分母。
分析：先把这两个分式的分母中的多项式分解因式，即
4x-2x 2=-2x （x-2），x 2-4=（x+2）（x-2），
把这两个分式的分母中所有的因式都取到，其中，系数取正数，取它的积，即2x （x+2）（x-2）就是这两个分式的最简公分母。
请同学概括求几个分式的最简公分母的步骤。
答：1．取各分式的分母中系数最小公倍数；
2．各分式的分母中所有字母或因式都要取到；
3．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；
4．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。
例3 通分：
（1）xy y x x y 41,3,22； （2）2
2225,103,54ac b b a c c b a -。
解 （1）因为最简公分母是12xy 2，所以
222222322123343141,1244343,1266262xy
y y xy y xy xy x x y x x y x xy y y x y y x y =⨯⨯==⨯⨯==⨯⨯=； （2）因为最简公分母是10a 2b 2c 2，所以
2223
222222232222103103103,108252454c
b a b
c bc b a bc c b a c c b a c a c a c b c a a c b a =⨯⨯==⨯⨯=， 2223
22221025525525c
b a ab ab a
c ab b ac b =⨯⨯=-。
例4 通分：
4
2,361,)42(222---x x x x x x ， 请同学观察各个分式的分母的特点，说出通分的思路。
答：各个分式的分母都是多项式，并且可以分解因式。
这时，可先把各分式的分母
中的多项式分解因式，再确定各分式的最简公分母，最后通分。
解 （2x-4）2=［2（x-2）］2=4（x-2）2，
6x-3x 2=-3x （x-2），x 2-4=（x+2）（x-2）。
所以，最简公分母是12x （x+2）（x-2）2，故
22222)
2)(2(12)2)(2(4361,)2)(2(12)2(3)42(-+-+=--++=-x x x x x x x x x x x x x x ， 2
22)2)(2(12)2(2442-+-=-x x x x x x x 。
四、小结
1．把异分母的分式化为同分母的分式的理论依据是从式的基本性质；
2．分式通分的关键是，确定各分式的最简公分母；
3．分式通分的目的是，把异分母的分式转化为与原分式相等的同分母的分式，为学习异分母分式的加减法做准备。