分式的约分和通分

分式的约分和通分

(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．

(2)分式约分的依据：分式的基本性质．

(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因

式．

(4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．

3．例题与练习：

例1： 约分：()53

2164.1abc bc a - ()()()x y a y x a --3

22.2 （1）①有没有公因式？②公因式是什么？ 解：23235324444164c

a abc c abc a abc bc a -=⋅⋅-=- 小结：分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以约去分子、分母中相同因

式的最低次幂，注意系数也要约分

(2).请学生分析如何约分：由于()y x x y --=-，所以，分子和分母的公因式是：()y x a -，约分可得：

解：()()()()()()()()22

32322222y x a y x a y x y x a y x a y x a x y a y x a --=--⋅--=---=-- 小结：①当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的

基本性质进行约分．②注意对分子、分母符号的处理．分子或分母的系数

是负数时，一般先把负号提到分式本身的前边．

例2 .把下列各式约分：()x x x 525.122-- ()6

34.222-+++a a a a 解：()()()()x x x x x x x

x x 5555525.122+=--+=-- ()()()()()2

12313634.222-+=-+++=-+++a a a a a a a a a a (五)小结：

1．约分的主要步骤：先把分式的分子，分母分解因式，然后约去分子分母中的相同因式的最低次幂，（包括分子分母中系数的最大公约数）。

2．约分的依据是分式的基本性质：约去分子与分母的公因式相当于被约去的公因式同时除原分式的分子分母，根据分式的基本性质，所得的分式与原分式的值相等。

3．若分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，则约去分子、分母中相同因式的最低次幂，分子、分母的系数约去它们的最大公约数．

4．若分式的分子、分母中有多项式，则要先分解因式，再约分．

(六)注意：1.当分式的分子与分母的因式只差一个符号时，要先处理好符号再约分，因

式变号规则如下：()()()()⎩

⎨⎧--=--=---121222n n n

n a b b a a b b a （其中n 为自然数）。 2．分式的分子，分母的多项式中有部分项不同时，不得将其中的一部分相同

的项约去（约分只能约分子分母中相同的因式）。

什么叫分数的通分？

答：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。

3．分数通分的方法及步骤是什么？

答：先求出几个异分母分数的分母的最小公倍数，作为它们的公分母，把原来的各分数化成用这个公分母做分母的分数。

4．分数通分时，为什么各分数的值不变？

答：分数通分时，原分数的分子、分母都乘以同一个不等于零的数，这个数就是用公分母除以原来各分数的分母所得到的商，根据分数的基本性质，各分数的值不变。

二、新课

和分数通分类似，把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个分式的公分母。

例1 求分式4322361,41,21xy

y x z y x 的公分母。 分析：对于三个分式的分母中的系数2，4，6，取其最小公倍数12；对于三个分式的分母的字母，字母x 为底的幂的因式，取其最高次幂x 3，字母y 为底的幂的因式，取其最高次幂y 4，再取字母z 。所以三个分式的公分母为12x 3y 4z 。

指出：24x 6y 6z ，48x 5y 9z ，…都是上述三个分式的公分母，其中12x 3y 4z 是这些公分母中最简单的一个，称为最简公分母。

最简公分母的意义是，各分式分母中的系数是最小公倍数与所有的字母（或因式）

的最高次幂的积，叫做最简公分母。

例2 求分式2241x x -与4

12-x 的最简公分母。 分析：先把这两个分式的分母中的多项式分解因式，即

4x-2x 2=-2x （x-2），x 2-4=（x+2）（x-2），

把这两个分式的分母中所有的因式都取到，其中，系数取正数，取它的积，即2x （x+2）（x-2）就是这两个分式的最简公分母。

请同学概括求几个分式的最简公分母的步骤。

答：1．取各分式的分母中系数最小公倍数；

2．各分式的分母中所有字母或因式都要取到；

3．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；

4．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。

例3 通分：

（1）xy y x x y 41,3,22； （2）2

2225,103,54ac b b a c c b a -。

解 （1）因为最简公分母是12xy 2，所以

222222322123343141,1244343,1266262xy

y y xy y xy xy x x y x x y x xy y y x y y x y =⨯⨯==⨯⨯==⨯⨯=； （2）因为最简公分母是10a 2b 2c 2，所以

2223

222222232222103103103,108252454c

b a b

c bc b a bc c b a c c b a c a c a c b c a a c b a =⨯⨯==⨯⨯=， 2223

22221025525525c

b a ab ab a

c ab b ac b =⨯⨯=-。 例4 通分：

4

2,361,)42(222---x x x x x x ， 请同学观察各个分式的分母的特点，说出通分的思路。

答：各个分式的分母都是多项式，并且可以分解因式。这时，可先把各分式的分母

中的多项式分解因式，再确定各分式的最简公分母，最后通分。

解 （2x-4）2=［2（x-2）］2=4（x-2）2，

6x-3x 2=-3x （x-2），x 2-4=（x+2）（x-2）。

所以，最简公分母是12x （x+2）（x-2）2，故

22222)

2)(2(12)2)(2(4361,)2)(2(12)2(3)42(-+-+=--++=-x x x x x x x x x x x x x x ， 2

22)2)(2(12)2(2442-+-=-x x x x x x x 。 四、小结

1．把异分母的分式化为同分母的分式的理论依据是从式的基本性质；

2．分式通分的关键是，确定各分式的最简公分母；

3．分式通分的目的是，把异分母的分式转化为与原分式相等的同分母的分式，为学习异分母分式的加减法做准备。