广东华南师大附中2011届高三综合测试_数学理

广东华南师大附中2010-2011学年高三综合测试（三）（数学理）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答 题卡的密封线内．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目 指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回．第一部分选择题(40分)一、选择题（每小题5分，共40分） 1．若1sin ,:≤∈∀x R x p ，则（ ）A ．1sin ,:>∈∃⌝x R x p B. 1sin ,:>∈∀⌝x R x p C. 1sin ,:≥∈∃⌝x R x p D. 1sin ,:≥∈∀⌝x R x p 2．“a=2”是“直线ax+2y=0与直线x+y=1平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图，在半径为R 的圆内随机撤一粒芝麻，它落在阴影部分 （圆内接正三角形）上的概率是（ ） A ．43 B. 433 C. π43 D. π433 4．甲校有3600名学生。

乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在 这三校分别抽取学生（ ）A ．30人，30人，30人B ．30人，45人，15人C ．20人，30人，10人 D. 30人，50人，10人5．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若80,15321321==++a a a a a a ，则=++131211a a a （ ）A. 120 B ．105 C ．90 D ．756. 已知两个不重合的平面α和β，下面给出四个条件： ①α内有无穷多条直线均与平面β平行； ②平面α，β均与平面γ平行；③平面α，β与平面γ都相交，且其交线平行； ④平面α，β与直线l 所成的角相等． 其中能推出α∥β的是（ ）A ．①B ，②C ．①和③D ．③和④7．设P 是双曲线19.222=⋅-y a x上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=O ，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则||2⋅PF =（ ） A. 1或5 B. 6 C. 7 D. 9 8. 如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上 按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦 AP 的长为d ，则函数d=f(l)的图像大致是（ ）第二部分非选择题（110分）二、填空题（每小题5分，共30分）9．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布)0)(,1(2>σσN ．若ξ在(0，1)内取值的概 率为0.4，则ξ在(0，2)内取值的概率为 ． 10．dx x ⎰--20|)1|2(=1l. 若(ax-1)5的展开式中x 3的系数是80，则实数a 的值是 ．3. 已知数列{}n a 中，a 1=1，a n+l =a n +n ，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是 ． 13．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加 某项志愿者活动，要求每人参加一天旦每天至多安排一 人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共 有 （用数字作答）21. 选做题(14～15题，考生只能从中选做一题，两题都做记第 一题的得分)14.（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系下，曲线⎩⎨⎧-=+=t y at x C 22:1（t 为参数），曲线⎩⎨⎧+==θθsin 22cos 2:2y x C（a 为参数）．若曲线C l 、C 2有公共点，则实数a 的取值范围 ．15．（几何证明选讲）如图，已知△ABC 内接于圆O ，点D 在OC的延长线上，AD 是⊙0的切线，若∠B=30°，AC=2，则OD 的长为 ． 三、解答题（共6大题，共80分） 16．（本题满分12分）已知)cos ,(sin x x a -=，()x x b cos 3,cos =，函数()23+⋅=b a x f(1)求f(x)的最小正周期； (2)当20π≤≤x 时，求函数f(x)的值域．17.（本题满分12分）甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场．每场比赛胜者得3 分，负者得0分，没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为32，甲胜丙的概率为41，乙胜丙的概率为51(1)求甲获第一名且丙获第二名的概率：(2)设在该次比赛中，甲得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望。

18．（本题满分14分）已知矩形ABCD ，AD=2AB=2，点E 是AD 的中点，将△DEC 沿CE 折起到△D ’EC 的位置，使二面角D'-EC -B 是直二面角。

(Ⅰ) 证明：BE ⊥CD ’；(Ⅱ) 求二面角D'-BC -E 的余弦值，19.（本题满分14分）己知数列{}n a 满足：1.1=a ，⎪⎩⎪⎨⎧-+=+为偶数为奇数n n a n n a a nn n ,2,211(1) 求a2，a3；(2) 设*,22N n a b n n ∈-=，求证{}n b 是等比数列，并求其通项公式； (3) 在(2)条件下，求数列{}n a 前100项中的所有偶数项的和S 。

20．（本题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为F 1，F 2；且2||21=F F 点⎪⎭⎫⎝⎛23,1在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且△AF 2B 的面积为7212，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．21．（本题满分14分）已知函数),(3)(23R b a x bx ax x f ⋅∈-+=，在点（1，f(1))处的切线方程为y+2=0． (1) 求函数f(x ）的解析式；(2) 若对于区间[一2,2]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有c x f x f ≤-|)()(|21，求实 数c 的最小值；（3) 若过点M(2,m)(m ≠2)，可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m 的取值范围，理科数学（参考答案）一、选择题： ACDB BACC二、填空题： 9. 0.8， 10.3， 11. a=2， 12. n ≤9， 13. 20， 14．]52,52[+- 15.4 三、解答题：16．解：(1)23cos 3cos sin )(2+-=x x x x f ． ………………2分)32sin(2cos 232sin 2123)12(cos 232sin 21π-=-=++-=x x x x x ．………4分 所以f(x ）的最小正周期为π， ……………6分． (2)32323.2.0ππππ≤-<-∴≤≤x x ………………8分1)32sin(23≤-≤-∴πx ，即f(x)的值域为]1,23[-……………12分 17． 解：(1)甲获第一，则甲胜乙且甲胜丙， ∴甲获第一的概率为6141.32=⋅⨯⋅ ……………2分丙获第二，则丙胜乙，其概率为54511=- …………4分∴甲获第一名且丙获第二名的概率为1525461=⨯……………6分(2)ξ可能取的值为O 、3、6…………………………7分甲两场比赛皆输的概率为 41)411)(321()0(=--==⋅ξP ……8分甲两场只胜一场的概率为 127)321(41)411(32)3(=-⨯+-⨯==ξP ………9分甲两场皆胜的概率为 614132)6(=⨯==ξP ……………lO 分∴ξ的分布列为ξ 0 3 6 P411276.14116161273410=⨯+⨯+⨯=∴ξE (2)18．（本题满分14分）解：(Ⅰ)∵AD=2AB=2，E 是AD 的中点，∴△BAE ，△CDE 是等腰直角三角形，∠BEC=90°，即又∵平面D'EC ⊥平面BEC ，面D'EC ∩面BEC=EC∴BE ⊥面D'EC ，∴BE ⊥CD ’． ……………4分 (Ⅱ)法一：设M 是线段EC 的中点，过M 作MF ⊥BC 垂足为F ，连接D ’M ，D'F,则D'M ⊥EC. ∵平面D'EC ⊥平面BEC ∴D'M ⊥平面EBC∴MF 是D'F 在平面BEC 上的射影，由三垂线定理得：D'F ⊥BC ∴∠D'FM 是二面D'-BC-E 的平面角．…………8分 在Rt △D'MF 中，2221'==EC M D ,2121==AB MF2''tan ==∠MFM D FM D ,33'cos =∠FM D∴二面角D ’-BC —E 的余弦值为33⋅ …………………………………………………14分，法二：如图，以EB ，EC 为x 轴、y 轴，过E 垂直于平面BEC 的射线为z 轴，建立空间直角坐标系． 则)22,22,0('),0,2,0(),0,0,2(D C B ……………8分 设平面BEC 的法向量为)1,0,0(1=n ；平面D'BC 的法向量为),,(222z y x n =)22,22,0('),0,2,2(-=-=C D BC , ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0'022C D n BC n ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-022220222222z y y x 取x 2=l ………12分 得()33,cos ,1,1,12121212=⋅>=<∴=n n n n n∴二面角D'-BC-E 的余弦值为33………………14分 19. 解：(Ⅰ)25,2332-==a a ， ………4分(Ⅱ)212)4(2122122122222122221----=--++=--=+++n n n n n n n n a n n a a n a a a b b …6分21212122=--⋅=n n a a …………8分21221-=-=a b ………9分∴数列{}n b 是等比数列，且n n n b )21()21()21(1-=⨯-=- 0（Ⅲ）由(Ⅱ)得；)503,2,1()21(222 =-=+=n b a n n n (2)50210042⨯=++=a a a S 5050502199211100211)211(21+=+-=--⨯-……14分20. 解：(1)设椭圆的方程为()012222>>=+b a by ax ，由题意可得：椭圆C 两焦点坐标分别为F 1(-1,0），F 2(1,0)． ………………2分42325)23()11()23()11(22222=+=+-+++=∴a2=∴a ,又c=1, b 2=4-l=3,故椭圆的方程为13422=+yx．…………4分(2)当直线l ⊥x 轴，计算得到：)23,1(),23,1(---B A32321||||21212=⨯⨯=⋅⋅=∆F F AB S B AF ，不符合题意，…………………6分当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：y=k(x+1)，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=134)1(22y x x k y ，消去y 得01248)43(2222=-+++k x k x k 显然△>O 成立，设),(),,(2211y x B y x A则2221222143124,438kk x x kk x x +-=⋅+=+ ………………8分又=⋅-+⋅+=2122124)(1||x x x x k AB ()()22224243124443641kk k kk +--+⋅+即2222243)1(12431121||kk kk k AB ++=++⋅+= ' …………………………………………10分又圆F 2的半径221||21|01|kk kk k r +=++-⨯=……………………………11分所以()72122431||121||24311221||2122222=++=+⋅++⨯==∆kh k k kk kk r AB S BAF化简，得0181724=-+k k ，即0)1817)(1(22=+-k k ，解得k=±1，……l3分 所以，21||22=+=kk r ，故圆F 2的方程为：(x-1)2+y 2=2． (4)(2)另解：设直线l 的方程为x=ty-1，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134122y x ty x ，消去x 得096)34(22=--+ty y t ，△>O 恒成立，设),(),,(2211y x B y x A ,则221221349,346ty y tt y y +-=⋅+=+所以=⋅-+=-21221214)(||y y y y y y ()2222223411234363436t t tt t++=+++又圆F 2的半径为22121|101|ttt r +=++⨯-=所以||||||212121212y y y y F F S BAF-=-⋅⋅=∆72123411222=+-=t t ，解得t 2=1， 所以2122=+=tr ．故圆F 2的方程为：2)1(22=+-y x21. （本题满分14分）解：(1)323)('2-+=bx ax x f …………1分根据题意，得⎩⎨⎧=-=,0)1(',2)1(f f 即⎩⎨⎧=-+-=-+,323,23b a b a 解得⎩⎨⎧==.0,1b a ………3分∴f(x)=x 3-3x ． ． ………………4分 (2)令f'(x)= 3x 2-3=O ，即3x 2-3=O ，解得x=±1．∵f(-1)=2，f(1)=-2，∴当x ∈[-2，2]时，f(x)max =2，f(x)min =-2． 则对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有()()()()4||||min max 21=-≤-x f x f x f x f ,所以c ≥4．所以c 的最小值为4． …………………8分(3)∵点M （2，m)(m ≠2）不在曲线y=f(x)上，∴设切点为(x 0，y 0)．则03003x x y -=33)('200-=x x f ，∴切线的斜率为3320-x则33300320--=-m x x x o ，即06622030=++-m x x因为过点M(2，m)（m ≠2），可作曲线y=f(x)的三条切线， 所以方程06622003=++-m x x 有三个不同的实数解．即函数g(x)= 2x 3-6x 2+6+m 有三个不同的零点． 则g'(x)=6x 2-12x.令g'(x)=0，解得x=O 或x=2．()()⎩⎨⎧<>∴,02,00g g 即⎩⎨⎧<+->+,02,06m m 解得-6<m<2. (4)。