上海市高三数学上学期期末试题分类汇编复数与极限新人教版
上海市(新版)2024高考数学人教版考试(综合卷)完整试卷
上海市（新版）2024高考数学人教版考试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是 ( )A．(2,3)B．(－2,3)C．(－2，－3)D．(2，－3)第(2)题设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A．B．C．D．第(3)题已知集合，则=A．B．C．D．第(4)题若、是非零向量，且，，则函数是A．一次函数且是奇函数B．一次函数但不是奇函数C．二次函数且是偶函数D．二次函数但不是偶函数第(5)题函数的部分图象如图所示，现将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向下平移1个单位所得图象对应的函数为，则下列结论正确的是（）A．函数在区间单调递减B．C ．点是函数图象的一个对称中心D ．直线是函数的一条对称轴第(6)题阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序.若输出的为，则判断框中填写的内容可以是（）A．B．C．D．第(7)题在复平面内，复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(8)题函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题若圆与圆交于A，B两点，则下列选项中正确的是（）A．点在圆内B．直线的方程为C．圆上的点到直线距离的最大值为D．圆上存在两点P，Q，使得第(2)题如图，在四棱锥中，已知底面，底面为等腰梯形，，，记四棱锥的外接球为球，平面与平面的交线为的中点为，则（）A．B．C．平面平面D．被球截得的弦长为1第(3)题直线是曲线的切线，则实数的值可以是（）A．3πB．πC．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设为抛物线的焦点，、、为抛物线上不同三点，且，为坐标原点，若、、的面积分别为、、，则___________.第(2)题函数的图象在点处的切线方程为___________.第(3)题的展开式中的系数为__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在世界杯期间，学校组织了世界杯足球知识竞赛，有单项选择题和多项选择题（都是四个选项）两种：(1)甲在知识竞赛中，如果不会单项选择题那么就随机猜测.已知甲会单项选择题和甲不会单项选择题随机猜测的概率分别是.问甲在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，求他会这道单项选择题的概率；(2)甲在做某多项选择题时，完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，他选择一个选项､两个选项､二个选项的概率分别为.已知多项选择题每道题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分.某个多项选择题有三个选项是正确的，记甲做这道多项选择题所得的分数为，求的分布列及数学期望.第(2)题已知点是抛物线上不同三点，直线与抛物线相切.(1)若直线的斜率为2，线段的中点为，求的方程；(2)若为定值，当变动时，判断是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.第(3)题如图，圆台的上、下底面圆半径分别为1，2，圆台的高为，是下底面圆的一条直径，点在圆上，且，点在圆上运动（与在的两侧），是圆台的母线，.(1)求的长；(2)求平面与平面夹角的余弦值.第(4)题已知数列的首项，其前项和为，对于任意正整数，，都有.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，且.①求证数列为常数列.②求数列的前项和.第(5)题已知函数．(1)证明：当时，；(2)求在区间上的零点个数．。
0809上海高考数学模拟试题分类汇编第14部份复数极限
上海市期末模拟试题分类汇编第14部份复数 极限(大纲版)09年全国名校上学期期末试题分类汇编,由李良老师组织,囊括课标地域的广东 、安徽、浙江、宁夏海南、山东、江苏、辽宁、福建和大纲地域的上海、北京、湖北、四川、重庆、河南、河北、吉林黑龙江等地市级名校的上学期期中期末试题,有以下名师参加了分类汇编:山东高密市凤城中学 辽宁省朝阳县高中 7 江苏省厉庄高级中学 54 江苏东海县第二中学 8 河北省沽源一中 6 山东诸城四中1 江苏镇江市实验高级中学2 广东 2 河南南乐一中 0 江苏无锡 9 北大附中云南实验学校 5 升学指导报 7 安徽蒙城一中 河南内黄一中 7 山东省禹城综合高中 9 江苏省射阳中学 0 江苏邳州运河中学 1 河南省济源第一中学3 山东高密市凤城中学 6 安徽蚌埠市龙亢农场中学 3 江苏省东台市五烈中学 1 山东省东营市东营区二中 8 山东苍山县第二中学徐敏练5咱们组成了mathres 数学专家小组,胜任各类图书和稿件的编写任务.欢迎列位报社编辑和出版公司约稿.可直接加入 QQ 群: 4504781;也可直接联系各名师QQ 或邮箱.一.选择题1．（上海市宝山区2008学年高三年级第一次质量调研13）复数arccos (22)(,xz x i x R i π=-+-∈是虚数单位)，在复平面内的对应点只可能位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：B2．（上海市长宁区2008学年高三年级第一次质量调研14）设x C ∈，方程2||||0x x -=的解集为 ( )A ．{0,1}B ．{0,1,1}-C ．{0,1,1,,}i i --D ．以上都不对答案：D 二.填空题1. （上海虹口区08学年高三数学第一学期期末试卷1）z C ∈,且(2)(1)2z i i ++=，则z =___________. 答案：1i -+2．（ 2009年上海市一般高等学校春天招生考试2）计算：=-2)i 1( （i 为虚数单位）. 答案：i 2-.3．（上海市黄浦区2008学年高三年级第一次质量调研6）已知复数z 知足1(z i iz i +=-是虚数单位)，则z =_____________． 答案：i -4.（08年上海市部份重点中学高三联考2）若(2)a i i b i -=+，其中i R b a ,,∈是虚数单位，则=+b a __________答案：35．（上海市奉贤区2008年高三数学联考5）已知复数w 知足2w 4(3w)i -=+ (i 为虚数单位），则|w i +|＝_________________.6．（上海市宝山区2008学年高三年级第一次质量调研6）关于x 的方程240x x k ++=有一个根为23i -+(i 为虚数单位)，则实数k =_________． 答案：137．（上海市宝山区2008学年高三年级第一次质量调研6）如图，已知正△111A B C 的边长是1，面积是1P ，取△111A B C 各边的中点222,,,A B C △222A B C 的面积为2P ，再取△222A B C 各边的中点333,,,A B C △333A B C 的面积为3P ，依此类推.记12,n n S P P P =+++则lim n n S →∞=__________．A 1B 1C 12B 2C 2A 3B 3C 38．（上海市高考模拟试题9）若复数z 知足()i a z ai +=+1，且z 在复平面内所对应的点位于x 轴的上方，则实数a 的取值范围是 . 答案：()1,1-1 （嘉定区2008～2009第一次质量调研第4题）设i 是虚数单位，复数i z +=11，i t z 22+=R t ∈(），若21z z ⋅是实数，则=t _________．答案：22 （上海徐汇等区第一学期期末质量抽查第6题） 22221232lim()1111n nn n n n →∞++++=++++____________.答案：23（闸北区09届高三数学（理）第1题） 复数ii -+1123的虚部是 ．答案：2；4 （闸北区09届高三数学（理）第2题） ])43(21[lim 22nn n n ++-∞→的值是 ．答案：-1；5 （上海市静安区2008学年高三年级第一次质量调研第1题）计算：2421lim(2)22n n n n n →∞+--=+______________．答案：1 6 （上海市静安区2008学年高三年级第一次质量调研第5题）已知复数z 知足方程2230z z -+=，则||z =_____________．7 （闵行区2008学年第一学期高三质量监控理卷第4题）已知点Z 是复数21iz i-=+在复平面内对应的点，则点Z 在第 象限. 答案：四8 （（南汇区2008学年度第一学期期末理科第2题）在复平面内，复数1＋i 2009(1－i)2 对应的点位于第____象限．答案：二9 （浦东新区2008学年度第一学期期末质量抽测卷数学理科第1题）计算：=+-∞→1212lim nn n ．答案：1 10上海市青浦区2008学年高三年级第一次质量调研第4题)计算：20091()1i i+=-__________. 答案： i 三.解答题 1．（上海市长宁区2008学年高三年级第一次质量调研19）（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知关于t 的方程220t t a -+=的一个根为1.()a R +∈(1)求方程的另一个根及实数a 的值；(2)是不是存在实数m ，使对x R ∈时，不等式22log ()22[1,2]a x a m km k k +≥-+∈-对恒成立？若存在，试求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由..1. (Ⅰ)另一根为1-(1)(1)4a ∴==(Ⅱ)设存在实数m 知足条件，不等式为22422log (4),m km k x -+≤+24log (4)x +的最小值为1，2221m km k ∴-+≤对[1,2]k ∈-恒成立，即22(1)10m k m -+-≤对[1,2]k ∈-恒成立， 设2()2(1)1g k m k m =-+-则22(1)230(2)430g m m g m m ⎧-=+-≤⎪⎨=-+≤⎪⎩解得3113m m -≤≤⎧⎨≤≤⎩1m ∴=，因此存在1m =知足条件.1（嘉定区2008～2009第一次质量调研第17题）（本题满分12分）设复数i a z )cos 21()sin 4(22θθ++-=，其中i 为虚数单位，a 为实数，),0(πθ∈．若z 是方程0522=+-x x 的一个根，且z 在复平面内所对应的点在第一象限，求θ与a 的值．答案：解：方程0522=+-x x 的根为i x 21±=，……（4分） 因为z 在复平面内所对应的点在第一象限，因此i z 21+=，因此⎩⎨⎧=+=-2cos 211sin 422θθa ，……（6分）解得21cos =θ，因为),0(πθ∈，因此3πθ=．……（8分）因此44341sin 4122=⋅+=+=θa ，2±=a ．……（11分）因此3πθ=，2±=a ．……（12分）。
上海市16区2020届高三上学期期末数学复数试题分类汇编及答案评分标准(3页)
上海市16区2020届高三上学期期末数学复数试题分类汇编试题分类汇编一、填空、选择题1、（宝山区2020届高三上期末（一模））若(1i)2i z +=（i 是虚数单位），则||z =2、（（奉贤区2020届高三上期末（一模））复数z 满足|3i |2z -=（i 为虚数单位），则复数4z -模的取值范围是（ ）A. [3,7]B. [0,5]C. [0,9]D. 以上都不对3、（虹口区2020届高三上期末（一模））若复数3i 1iz -=+（i 为虚数单位），则||z = 4、（黄浦区2020届高三上期末（一模））已知(i)(1i)(z a a =-+∈R ，i 为虚数单位）为纯虚数，则a =5、（静安区2020届高三上期末（一模））设x ，y R ∈，若复数x i y i +-是纯虚数，则点(,)P x y 一定满足( )A ．y x =B ．1y x =C ．y x =-D ．1y x=- 6、（闵行区2020届高三上期末（一模））复数5i 2-的共轭复数是 7、（浦东新区2020届高三上期末（一模））复数z 满足i 1i z ⋅=+（i 为虚数单位），则||z =8、（普陀区2020届高三上期末（一模））已知i 为虚数单位，若复数1i 1iz m =++是实数，则实数m 的值为 .9、（青浦区2020届高三上期末（一模））若复数i(32i)z =-（i 是虚数单位），则z 的模为 10、（松江区2020届高三上期末（一模））设1i 2i 1iz -=++，则||z = 11、（徐汇区2020届高三上期末（一模））复数1i 34i++的共轭复数为 12、（杨浦区2020届高三上期末（一模））设1z 、2z 为复数，则下列命题中一定成立的是（ ） A. 如果120z z ->，那么12z z > B. 如果12||||z z =，那么12z z =±C. 如果12||1z z >，那么12||||z z > D. 如果22120z z +=，那么120z z == 13、（崇明区2020届高三上期末（一模））已知z ∈C ，“z +＝0”是“z 为纯虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也非必要条件14、（杨浦区2020届高三上期末（一模））设a ∈R ，2(1)i a a a a --++为纯虚数（i 为虚数单位），则a =参考答案：1 2、A 3 4、－1 5、B6、2i -+ 7 8、12 9 10、1 11、71i 2525+ 12、C 13、B 14、2二、解答题1、（长宁嘉定金山区2020届高三上期末（一模））在复平面内复数1z 、2z 所对应的点为1Z 、2Z ，O 为坐标原点，i 是虚数单位. （1）112i z =+，234i z =-，计算12z z ⋅与12OZ OZ ⋅u u u u r u u u u r ；（2）设1i z a b =+，2i z c d =+（,,,a b c d ∈R ），求证：2121OZ OZ z z ⋅≤⋅u u u u r u u u u r ，并指出向量1OZ u u u u r 、2OZ u u u u r 满足什么条件时该不等式取等号.参考答案：1、解：（1）()()121234112z z i i i ⋅=+⋅-=+ ……………3分()11,2OZ =u u u u r ，()23,4OZ =-u u u u r所以125OZ OZ ⋅=-u u u u r u u u u r ……………6分证明（2）()1,OZ a b =u u u u r ，()2,OZ c d =-u u u u r12OZ OZ ab cd ⋅=+u u u u r u u u u r ，()2212OZ OZ ab cd ⋅=+u u u u r u u u u r ……………3分()()22212z z ac bd ad bc ⋅=-+-()22212120z z OZ OZ ab cd ⋅-⋅=-≥u u u u r u u u u r所以 1212OZ OZ z z ⋅≤⋅u u u u r u u u u r ……………6分当ab cd 时取“=”，此时12//OZ OZ u u u u r u u u u r . ……………8分。
高三数学上学期期末考试试题分类汇编复数与极限
上海市各区县2017届高三上学期期末考试数学试题分类汇编复数与极限一、复数 一、（崇明县2017届高三第一次模拟）复数(2)i i +的虚部为 ． 二、（虹口区2017届高三一模）已知i iz+=-21，则复数z 的虚部为 ． 3、（黄浦区2017届高三上学期期终调研）若复数z 知足i 1=12z -（i 为虚数单位），则z =_________． 4、（静安区2017届向三上学期期质量检测）若复数z 为纯虚数， 且知足i )i 2(+=-a z (i 为虚数单位)，则实数a 的值为 ．五、（闵行区2017届高三上学期质量调研）若a 为实数，(2)(2)4ai a i i +-=-（i 是虚数单位），则a = ( )(A) 1- (B) 0 (C) 1 (D) 2六、（浦东新区2017届高三上学期教学质量检测）若复数()()12ai i +-在复平面上所对应的点在直线y x =上，则实数a =____________．7、（青浦区2017届高三上学期期末质量调研）已知复数i z +=2（i 为虚数单位）， 则=2z八、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）已知a b R ∈、，i 是虚数单位，若2a i bi +=-，则 2()a bi += ▲ ．九、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）若复数z 知足：i z i ⋅=（i 是虚数单位），则z =______．10、（杨浦区2017届高三上学期期末品级考质量调研）294z z i +=+（i 为虚数单位），则||z =________． 1一、（长宁、嘉定区2017届高三上学期期末质量调研）设i 为虚数单位，在复平面上，复数2)2(3i -对应的点到原点的距离为__________．1二、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）若1i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）（A ）2,3b c == （B ）2,1b c ==- （C ）2,1b c =-=- （D ）2,3b c =-=13、（奉贤区2017届高三上学期期末）已知复数z 知足2)1(=-i z ,其中i 是虚数单位，则z =____________. 14、（金山区2017届高三上学期期末）若复数z 知足232z z i +=-，其中i 为虚数单位， 则z =复数参考答案：一、2 二、1 3、1+2i 4、21五、B六、3 7、34i - 八、34i - 九、2 10、5 1一、【解析】复数===对应的点到原点的距离==．故答案为：1二、D 13、1i + 14、12i - 二、极限一、（宝山区2017届高三上学期期末）23lim1n n n →∞+=+二、（崇明县2017届高三第一次模拟）已知无穷数列{}n a 知足1*1()2n n a a n N +=∈，且21a =，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则lim n n S →∞= ．3、（虹口区2017届高三一模）数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 是它前n 项和，则2limnn nS a →∞= ．4、（黄浦区2017届高三上学期期终调研）在数列{}n a 中，若对一切*n ∈N 都有13n n a a +=-，且2462lim()n n a a a a →∞++++92=，则1a 的值为 . 五、（静安区2017届向三上学期期质量检测）在无穷等比数列{}n a 中，21)(lim 21=+⋅⋅⋅++∞→n n a a a ，则1a 的取值范围是【 】 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛210，；B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛121，； C ．()10，； D ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛210，⎪⎭⎫ ⎝⎛121， 六、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）已知数列{}n a 知足11a =，23a =，若*12()n n n a a n N +-=∈，且21{}n a -是递增数列、2{}n a 是递减数列，则212limn n na a -→+∞= ▲ ．7、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）25lim1n n n →∞-=+____________．八、（杨浦区2017届高三上学期期末品级考质量调研）设常数0a >，9(x x展开式中6x 的系数为4，则2lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=_______．九、（长宁、嘉定区2017届高三上学期期末质量调研）若数列}{n a 的所有项都是正数，且n n a a a n 3221+=+++ （*N ∈n ），则=⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→1321lim 212n a a a n n n _____________．10、（金山区2017届高三上学期期末）若n a 是(2)n x +（*n N ∈，2n ≥，x R ∈）展开式中2x 项的二项式系数，则23111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+=参考答案：一、解析：23lim 1n n n →∞+=+32lim 11x n n→∞++＝2 二、4 3、14 4、－12 五、D六、12-7、 2 八、12 九、【解析】∵++…+=n 2+3n （n ∈N *），∴n=1时，=4，解得a 1=16．n ≥2时，且++…+=（n ﹣1）2+3（n ﹣1），可得：=2n+2，∴a n =4（n+1）2．=4（n+1）．∴（）==2．10、2。
上海市各区县高三数学上学期期末考试试题分类汇编 极
上海市各区县2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编极限一、填空题1、（宝山区2015届高三上期末）计算lim n →∞2123n n ++++L ＝2、（崇明县2015届高三上期末）设无穷等比数列{}n a (*)n N ∈的公比12q =-,11a =，则2462lim()n n a a a a →∞++++=K3、（长宁区2015届高三上期末）已知()214732lim6752n a n n n →∞++++-⎡⎤⎣⎦=--L ，则a =4、（虹口区2015届高三上期末）若数列{}n a 为等差数列，且12341,21a a a a =++=，则122limnn a a a n →∞+++=L5、（黄浦区2015届高三上期末）已知二项式*(12)(2,N )nx n n +≥∈的展开式中第3项的系数是A ，数列{}n a *(N )n ∈是公差为2的等差数列，且前n 项和为n S ，则limn nAS →∞＝ 6、（嘉定区2015届高三上期末）设无穷等比数列}{n a 的公比为q ．若1242)(lim a a a a n n =+++∞→Λ，则=q ________7、（金山区2015届高三上期末）计算：112323lim ++∞→+-n n nn n = ▲ 8、（闸北区2015届高三上期末）设*∈N n ，圆122141:()(1)41n n n C x y n +--+-=+的面积为n S ，则=+∞→n n S lim9、（浦东区2015届高三上期末）若0lim =∞→nn x ，则实数x 的取值范围是 .10、（普陀区2015届高三上期末）若1lim=+∞→an ann ，则常数=a .11、（青浦区2015届高三上期末）已知1cos 22n n n a π=，则无穷数列{}n a 前n 项和的极限为12、（徐汇区2015届高三上期末）已知函数222111()1()()(1)2222015n n n f x x n =+++++++L ，其中*n N ∈．当12 3 n =L ，，，时，()n f x 的零点依次记作123 x x x L ，，，，则lim n n x →∞=二、选择题1、（杨浦区2015届高三上期末）对数列{}{},n n a b ，若区间[],n n a b 满足下列条件：①[]11,n n a b ++≠⊂[]()*,n n a b n N ∈；②()lim 0nn n ba →∞-=，则称{},n n a b ⎡⎤⎣⎦为区间套。
2021-2022年高三上学期期末考试数学试题分类汇编-复数与极限
2021-2022年高三上学期期末考试数学试题分类汇编-复数与极限一、复数1、（崇明县xx高三第一次模拟）复数的虚部为．2、（虹口区xx高三一模）已知，则复数的虚部为．3、（黄浦区xx高三上学期期终调研）若复数满足（为虚数单位），则_________．4、（静安区xx向三上学期期质量检测）若复数为纯虚数，且满足(为虚数单位)，则实数的值为．5、（闵行区xx高三上学期质量调研）若为实数，（是虚数单位），则 ( )(A) (B) (C) (D)6、（浦东新区xx高三上学期教学质量检测）若复数在复平面上所对应的点在直线上，则实数____________．7、（青浦区xx高三上学期期末质量调研）已知复数（为虚数单位），则8、（松江区xx高三上学期期末质量监控）已知，是虚数单位，若，则▲ ．9、（徐汇区xx高三上学期学习能力诊断）若复数满足：（是虚数单位），则=______．10、（杨浦区xx高三上学期期末等级考质量调研）（为虚数单位），则________．11、（长宁、嘉定区xx高三上学期期末质量调研）设为虚数单位，在复平面上，复数对实用文档应的点到原点的距离为__________．12、（徐汇区xx高三上学期学习能力诊断）若（是虚数单位）是关于的实系数方程的一个复数根，则（）（A）（B）（C）（D）13、（奉贤区xx高三上学期期末）已知复数满足,其中是虚数单位，则____________.14、（金山区xx高三上学期期末）若复数满足，其中为虚数单位，则复数参考答案：1、22、13、4、5、B6、37、8、9、2 10、511、【解析】复数===对应的点到原点的距离==．故答案为：12、D 13、 14、二、极限1、（宝山区xx高三上学期期末）实用文档实用文档2、（崇明县xx 高三第一次模拟）已知无穷数列满足，且，记为数列的前n 项和，则 ．3、（虹口区xx 高三一模）数列是首项为1，公差为2的等差数列，是它前项和，则 ．4、（黄浦区xx 高三上学期期终调研）在数列中，若对一切都有，且，则的值为 .5、（静安区xx 向三上学期期质量检测）在无穷等比数列中，，则的取值范围是【 】A ．；B ．；C ．；D ．6、（松江区xx 高三上学期期末质量监控）已知数列满足，，若，且是递增数列、是递减数列，则 ▲ ．7、（徐汇区xx 高三上学期学习能力诊断）____________．8、（杨浦区xx 高三上学期期末等级考质量调研）设常数，展开式中的系数为4，则_______．9、（长宁、嘉定区xx 高三上学期期末质量调研）若数列的所有项都是正数，且n n a a a n 3221+=+++ （），则=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++∞→1321lim 212n a a a n n n _____________． 10、（金山区xx 高三上学期期末）若是（，，）展开式中项的二项式系数，则参考答案：1、解析：32lim11xnn→∞++＝22、43、4、－125、D6、7、2 8、9、【解析】∵++…+=n2+3n（n∈N*），∴n=1时，=4，解得a1=16．n≥2时，且++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1），可得：=2n+2，∴an=4（n+1）2．=4（n+1）．∴（）==2．10、220706 50E2 僢32762 7FFA 翺26957 694D 楍31869 7C7D 籽37589 92D5 鋕!038035 9493 钓21515 540B 吋23385 5B59 孙d4ZJ实用文档。
上海高考数学复习百所名校好题分项解析汇编之专题11 复数(教师版)
高三数学百所名校好题分项解析汇编之上海专版(2020版) 专题11 复数一、单选题1．（2020·上海高三）设z C ∈，则0z z +=是z 为纯虚数的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】设z a bi =+，则z a bi =-，2z z a +=若0z z +=，则0a =，z bi =，当0b =，则0z =，不是纯虚数 若z 为纯虚数，则0a =，0b ≠，此时20z z a +==成立 所以0z z +=是z 为纯虚数的必要不充分条件 故选B.2．（2019·上海市吴淞中学高三开学考试）已知z 均为复数，则下列命题不正确的是（ ） A ．若z z =则z 为实数B ．若20z <，则z 为纯虚数C ．若|1||1|z z +=-，则z 为纯虚数D ．若31z =，则2z z =【答案】C【解析】由题意，设复数(,)z a bi a b R =+∈，对于A 中，由z z =，即a bi a bi +=-，解得0b =，所以复数z 为实数，所以A 正确；对于B 中，复数2222z a b abi =-+，因为20z <，可得00a b =≠，，所以复数z 为纯虚数，所以是正确的；对于C 中，当0z =时，满足|1||1|z z +=-，所以复数z 不一定为纯虚数，所以不正确；对于D 中，由31z =，可得310z -=，即2(1)(1)0z z z -++=，解得1z =或12z =-±，所以2z z =，所以是正确的.故选C. 3．（2020·上海高考模拟）复数31ii--等于（ ） A ．B ．12i -C ．2i +D ．2i -【答案】C【解析】 因为3(3)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i --++===+--+,故选C. 4．（2019·上海高三期末）设,x y R ∈，若复数x iy i+-是纯虚数，则点(,)p x y 一定满足（ ） A ．y x = B ．1y x=C ．y x =-D ．1y x=-【答案】B【解析】由()()()()22111x i y i x i xy x yi y i y i y i y y +++-+==+--+++是纯虚数， ∴100xy x y -=⎧⎨+≠⎩，得x ≠0，y 1x =．故选：B ．5．（2019·上海市七宝中学高二开学考试）若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ） A ．2b =， 3c = B ．2b =， 1c =- C ．2b =-， 3c = D ．2b =-， 1c =-【答案】C【解析】由题意可得：()()2110b c +++=，则：()()120b c -++++=，整理可得：()()10b c i +-+=，据此有：10b c +-=⎧⎪⎨=⎪⎩，求解方程组可得：23b c =-⎧⎨=⎩.本题选择C 选项. 6．（2019·上海高三期末）已知下列4个命题： ①若复数12z z ，的模相等，则12z z ，是共轭复数．②12z z ，都是复数，若12z z +是虚数，则12z z 不是的共轭复数． ③复数z 是实数的充要条件是z z =．（z 是z 的共轭复数）．④已知复数12312i,?1i,32i z z z =-+=-=-（i 是虚数单位），它们对应的点分别为A ，B ，C . O 为坐标原点．若OC xOA yOB =+（x y R ∈，），则1x y +=. 则其中正确命题的个数为（ ）. A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】1号可能复数相等，故错误．2号明显正确，因为如果为共轭复数，则相加为实数，不会为虚数．4号,a bi a bi +=-,计算得到b=0,故正确．3号，由题可知，()()()1,2,1,1,3,2A B C ---，建立等式,()()3,2,2x y x y -=-+-建立等式，得到3{22x y x y -+=-=-，解得1,4x y ==，故错误．故选B ．7．（2019·上海高三）欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位，x ∈R ，e 为自然底数）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2018i e 表示的复数在复平面中位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】e 2018i ＝cos2018+i sin2018，∵2018＝642π+（2018﹣642π），2018﹣642π∈(,)2ππ，∴cos2018＝cos （2018﹣642π）＜0． sin2018＝sin （2018﹣642π）＞0，∴e 2018i 表示的复数在复平面中位于第二象限． 故选B ． 二、填空题8．（2019·上海市南洋模范中学高三）若复数z 满足1ii z-=-，其中i 为虚数单位，则z =_____． 【答案】1i - 【解析】由1i z -＝﹣i ，得21i (1i)iz 1i i i --===+--， ∴1z i =-．故答案为1﹣i ．9．（2019·上海市南洋模范中学高三月考）设复数11z i =+，()22z xi x =+∈R ，若12z z ⋅∈R ，则x 的值等于______． 【答案】2- 【解析】11z i =+，()22z xi x =+∈R ，()()()()121222z z i xi x x i ∴⋅=++=-++，12z z R ⋅∈，20x ∴+=，解得2x =-，因此，2x =-.故答案为2-.10．（2019·上海高三）若复数z x yi =+（x ，y ∈R ，i 为虚数单位）满足|||22|z z i =--，则33x y +的最小值为_______. 【答案】6【解析】由|||22|z z i =--=,化简得2x y +=,即2y x =-,所以33x y+233x x -=+932363x x=+≥=⨯=,当且仅当 1.1x y ==时等号成立.故答案为:6 11．（2019·上海华师大二附中高三）如果复数z 满足2220z z -+=，那么z =______.【解析】设z ＝a +bi ，则由z 2﹣2z +2＝0得（a +bi ）2﹣2（a +bi ）+2＝0， 即a 2﹣b 2﹣2a +2+（2ab ﹣2b ）i ＝0， 则a 2﹣b 2﹣2a +2＝0①且2ab ﹣2b ＝0②， 由2ab ﹣2b ＝0得ab ﹣b ＝0，即b ＝0或a ＝1，若b ＝0，由①得a 2﹣2a +2＝0此时a 无解， 若a ＝1由①得b 2＝1，即b ＝1或b ＝﹣1， 即z ＝1+i 或z ＝1﹣i ，则|z |12．（2019·上海高三）若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z =______． 【答案】12i -【解析】设z a bi =+，(a 、b 是实数)，则z a bi =-，232z z i +=-，2232a bi a bi i ∴++-=-，33a ∴=，2b =-，解得1a =，2b =-，则12z i =-故答案为12i -．13．（2019·上海市七宝中学高三月考）已知复数03z i =+（i 为虚数单位），复数z 满足003z z z z ⋅=+，则z =__________.【解析】复数03z i =+，复数z 满足003z z z z ⋅=+，()020333i iz i z z i i++∴===- 13131ii -+==--，z ==. 14．（2019·上海市建平中学高三月考）若复数z 满足i 12i01z+=，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________【答案】1-【解析】i 12i 01z +=即12(12)0,2iiz i z i i+-+===-，z 的虚部为1- 故答案为1-15．（2019·上海华师大二附中高三月考）已知复数3sin cos z i θθ=+（i 是虚数单位），且z =则当θ为钝角时，tan θ=______. 【答案】1-【解析】2222cos 5sin 5cos z θθθθ==+=+, 222sin cos ,tan 1θθθ=∴=,θ为钝角,tan 1θ∴=-故答案为:1-16．（2019·上海高三）已知复数1cos 2()i z x f x =+，2cos )i z x x =++（x ∈R ，i 为虚数单位），在复平面上，设复数1z 、2z 对应的点分别为1Z 、2Z ，若1290Z OZ ︒∠=，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最小正周期为________. 【答案】π【解析】1cos 2()i z x f x =+，2cos )i z x x =++，1290Z OZ ︒∠=则()()1cos )cos 20cos )cos 2x x x f x f x x x x ++=∴=-+()211111cos cos 2cos 2sin 2244264f x x x x x x x π⎛⎫=-=--=-+- ⎪⎝⎭函数()f x 的最小正周期为22T ππ== 故答案为π17．（2019·上海高三）若复数z 满足2(i)34i a b +=+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），则22a b +=________ 【答案】5【解析】由（a +bi ）2＝a 2﹣b 2+2abi ＝3+4i ，得22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩．∴a 2+b 2＝5．故答案为5．18．（2019·上海市青浦高级中学高三月考）已知复数1i z m =+（m ∈R ），212i z =-，若12||||z z =，则||m =_______ . 【答案】2【解析】因为复数1i z m =+（m ∈R ），212i z =-，又12||||z z =，=24m =，即||2m =，故答案为2.19．（2019·上海市川沙中学高二期末）已知a 是实系数一元二次方程22(21)10x m x m --++=的一个虚数根，且 2a ≤，则实数m 的取值范围是________.【答案】34⎛-⎝ 【解析】由已知得()()222141430m m m ∆=--+=--<，解得34m >-；又因为 2a ≤，所以222142m -⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得m ≤≤所以实数m 的取值范围是34m -<≤ 故得解.20．（2019·上海市七宝中学高二期中）设z 是复数，()a z 表示满足1n z =时的最小正整数n ，i 是虚数单位，则1i()1ia +=-________. 【答案】4【解析】∵21(1)1211(1)(1)11i i i i i i i +++-===--++∴1()()1ia a i i+=- ∵()a z 表示满足1n z =的最小正整数n ∴当4n =时满足1n i =第一次成立 ∴()4a i = 故答案为4.21．（2019·上海高三）已知复数集合{i |1,1,,}A x y x y x y R =+≤≤∈221133{|(i),}44B z z z z A ==+∈，其中i 为虚数单位，若复数z A B ∈，则z 对应的点Z 在复平面内所形成图形的面积为________【答案】72【解析】因为复数集合{i |1,1,,}A x y x y x y R =+≤≤∈，所以集合A 所对应的平面区域为1x =±与1y =±所围成的正方形区域；又221133{|,}44B z z i z z A ⎛⎫==+∈⎪⎝⎭，设1z a bi =+，且1a ≤, 1b ≤, ,a b R ∈， 所以()()()21333333444444z i z i a bi a b a b i ⎛⎫⎛⎫=+=++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设2z 对应的点为(),x y ， 则()()3434x a b y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以3232a x y b y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，又1a ≤,1b ≤，所以33223322x y y x ⎧-≤+≤⎪⎪⎨⎪-≤-≤⎪⎩， 因为复数z A B ∈⋂，z 对应的点Z 在复平面内所形成图形即为集合A 与集合B 所对应区域的重叠部分，如图中阴影部分所示，由题意及图像易知：阴影部分为正八边形，只需用集合A 所对应的正方形区域的面积减去四个小三角形的面积即可.由321x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得112B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，由321x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得112C ⎛⎫⎪⎝⎭，， 所以11172242222S =⨯-⨯⨯⨯=阴影. 故答案为7222．（2019·上海交大附中高三月考）国际数学教育大会（ICME ）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含着许多数学元素．主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME -14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n ，则2n= ⎪⎝⎭____（其中i 为虚数单位）．【答案】1- 【解析】由题意将八进制数3744换算成十进制的数得：0123484878382020⨯+⨯+⨯+⨯=，∴()()20202101021010[]1i i ====-， 故答案为-1. 三、解答题23．（2019·上海市建平中学高三）已知复数12sin z θ=-，21(2cos )i z θ=+，i 为虚数单位，[,]32ππθ∈. （1）若12z z ⋅为实数，求θ的值；（2）若复数1z 、2z 对应的向量分别是a 、b ，存在θ使等式()()0a b a b λλ-⋅-=成立，求实数λ的取值范围. 【解析】（1）(122sin 4sin cos z z i θθθθ⋅=++，因为12z z ⋅为实数，所以4sin cos θθ=，所以sin 22θ=，又因为,32ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以3πθ=；（2）因为()2sin 1,2cos a b λλθθ-=--，()2sin ,2cos a b λθλλθ-=-，所以())22()()821sin 1cos a b a b λλλλθλθ-⋅-=-+++，又因为存在θ使等式()()0a b a b λλ-⋅-=成立，所以())22821sin 1cos 0λλθλθ-+++=在,32ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解， 所以22sin 13λπθλ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭在,32ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，又因为0,36ππθ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以1sin 0,32πθ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以2210,12λλ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦，解得[0,2[23,)λ∈-++∞. 24．（2019·上海高三期末）在复平面内复数1z 、2z 所对应的点为1Z 、2Z ，O 为坐标原点，i 是虚数单位. （1）112z i =+，234z i =-，计算12z z ⋅与12OZ OZ ⋅；（2）设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d ∈R ），求证：1212OZ OZ z z ⋅≤⋅，并指出向量1OZ 、2OZ 满足什么条件时该不等式取等号.解：（1）()()121234112z z i i i ⋅=+⋅-=+()11,2OZ =，()23,4OZ =-所以125OZ OZ ⋅=- 证明（2）1z a bi =+，2z c di =+()()12ac bd ad z i z bc =-++∴⋅()()22212z z ac bd ad bc ∴⋅=-++()1,OZ a b =，()2,OZ c d =12OZ OZ ac bd ∴⋅=+，()2212OZ OZ ac bd ⋅=+()()()222221212||z z OZ OZ ac bd ad bc ac bd ∴-⋅-⋅=-+++ ()()2240ad bc ac bd ad cb =--=+⋅≥所以1212OZ OZ z z ⋅≤⋅，当且仅当ad cb =时取“=”，此时12OZ OZ .。
上海市各区县高三数上期期末考试试题分类汇编复数理.doc
上海市各区县2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编复数亠、填空题zi =1 +i , Z2 =2+ xi (x 亡R),若zi 乙亡R，则x 的值等于2、+（奉贤区2015届高三上期末）若1 i是实系数一元二次方程p q+3、（长宁区2015届高三上期末）2复数1~2i _■1 ----------.（i是虚数单位）4、（虹口区2015届高三上期末）若复数1+■ ZIZ满足2 ii（i为虚数单位），则复数2+ =5、（嘉定区2015届高三上期末）设i是虚数单位，-则2i * 3芒&、（金山区2015届高三上期末）如果复数2 ~bi z =1 i1 j（b R）的实部与虚部相等，则ZZ的共觇复数（崇明县2015届高三上期末）设复数+ + =2 px qx 0的一个根，则7、（浦东区2015届高三上期末）已知复数z满足z（1二厅2（ i为虚数单位），则z8、（青浦区2015届高三上期末）若复数3i£i为虚数单位），则Z的值为______________9、（松江区2015届高三上期末）若复数z 4z满足0,则z的值为▲1 Z + ・=10、（徐汇区2015届高三上期末）设i是虚数单聊复数3 = — + Y z满足(2 i) z 5,则z={ = +3+3 +(|| +(0z =11> （杨浦区2015届高三上期末）已知= = • €集合B {x| x z z,z、z A} （zi可以等于z2）,则集合B的子集个数为___________________________ =12 12 + --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2ia12、（闸北区2015届高三上期末）若复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a1 2i=+ 一 +二、选择题1> （宝山区2015届高三上期末）设z 1 i （i是虚数单位），则复数2对应的点位于（）=+ e z e（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限2、（（黄浦区2015届高三上期末）已知z a bi （a、b R，i是虚数单位），^,z2 C ,定义:D z == a + b , D(zi,z 2)引乙一Z2||・给出下列命题：()llzll Illi€>(1)对任意z C,都有D(z) 0；⑵若z 是复数z 的共觇复数，则D(z) D(z) 恒成立；= € =(3) 若 D(z ) D(z ) (z 、z C),则 z z ；121212€ < +(4) (理科)对任意 Z1> Z 2> Z J C,结论 D (Z1 ,Z 3)D (Z1,Z2)D(Z 2,Z 3)恒成立［答］( )・A ・⑴⑵⑶⑷B •⑵⑶⑷3、(金山区 2015届高三上期末)复数则a 的取值范围是 (A ).(A) a>1 (B) a>0 (C)4、(静安区2015届高三上期末)已知+ Z数的点是r 4p1 i32•T 1…十…:……w • I • 1-4 -3 J ・1 1 2： 3 4X■ ■ ■ ■ + • ■ ■ ■ ■ ..c-2•3c ・⑵⑷ D • (2)(3)乙= a+bi( a 、b R, i 为虚数单位)，z 2=--I <a<1 (D) a< - 1 或 a> 1i 为虚数单位，图中复平面内的点 A 表示复数z ,贝!J 其中真命题是b+i ,且| 乙|v| z2I ,则表示复参考答案一、填空题二、选择题1、A2、C3、C4、D12、4 A. M B±D-2 2 2i5i 5、-1 6、1-i 7 、均 8 59、 2i 10 >511. 16。
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上海市2010届高三上学期数学期末试题分类汇编
第11部分:复数与极限
一、选择题:
14、（2010年1月长宁区高三数学质量抽测理）复数
31i
i
--等于（ C ）. A ．i 21+ B.12i - C.2i + D.2i -
17、（2010年1月上海市金山区高三质量测试）下列说法错误的是 ( D )
(A)若z ∈C ，则|z |=1的充要条件是z =z
1 (B)若z =sin θ+icos θ (其中0<θ<
2
π)，则(z z +-11)2
<0
(C)若方程x 2
+bx+c =0的系数不都是实数，则此方程必有虚数根 (D)复数(a –b )+(a+b )i 为纯虚数的充要条件是a 、b ∈R ，且a=b
17．（2010年1月21日上海市杨浦区高三质量测试）若z 是实系数方程220x x p -+=的一个虚根，且2z =，则p = ( C )．
()2A ()3B ()4C ()5D
二、填空题
12．（2010年1月浦东新区质量抽测理科）已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，若
318S =，419S a -=-，则lim n n S →∞
=_16__.
1．（2010年1月嘉定区高三质量调研）设i 为虚数单位，计算
=++i
i
13______________．i -2 9．（2010年1月嘉定区高三质量调研）若022lim 1
=++∞→n
n n
n a ，则实数a 的取值范围是_____________________．2{-<a a 或}2>a
2. （2010年1月普陀区高三质量调研） 221
lim 135(21)
n n n →∞+=++++- . 2
1．（2010年1月上海市宝山区高三质量测试）若复数2
14+=-+t
z t i
对应的点在第四象限，则实数t 的取值范围是 ．(1,2)-
9．（2010年1月上海市宝山区高三质量测试）已知 3()+∈a i a R 是一元二次方程
240-+=x x t 的一个根，则实数t=______．13
3、（2010年1月上海市金山区高三质量测试）(
i
1i 1-+)2010
= -1 ．(i 为虚数单位) 8、（2010年1月上海市金山区高三质量测试）设数列(a n )为等差数列，a 1=1，公差为1，{b n }也是等差数列，b 1=0，公差为2，则n
n n a n b b b 321lim
⨯+++∞→ = ．31
5．（2010年1月21日上海市杨浦区高三质量测试）计算：
2
lim 123n
n C n
→∞=+++⋅⋅⋅+ 1 . 12．（2010年1月21日上海市杨浦区高三质量测试）若将一颗质地均匀的骰子，先后抛掷两
次，出现向上的点数分别为a b 、，设复数z a bi =+ ，则使复数 2
z 为纯虚数的概率是 . 1
6
三、解答题:
19．（2010年1月浦东新区质量抽测理科）（本题满分14分）
设复数1z 满足)(,31)1(21R a i a z i z i ∈-=+=-（其中i 为虚数单位）.若
||2||121z z z >-，求实数a 的取值范围.
解： i i
i
z 211311+-=-+=
……………………………………………………………………5分 i a i a i z z +--=+-+-=-1)()21(21………………………………………………8分
由||2||121z z z >-， 101)1(2>+--∴a ……………………………………10分
,4-<∴a 或2>a
故实数a 的取值范围是),2()4,(∞+--∞ .……………………………………14分
19．（2010年1月嘉定区高三质量调研）（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
（理）已知复数bi a z +=，其中a 、b 为实数，i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数，且存在非零实数t ，使i t a t
i
z 342-+=成立． （1）求b a +2的值；
（2）若5|2|≤-z ，求实数a 的取值范围．
19．（理）（1）由题意可得，ati t i bi a 342-+=-，所以⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==②
4
3①
2t at b t
a ，…（3分）
由①得，a t 2=
，代入②得a a
a b 22
3-⋅=，所以62=+b a ．…………（6分） （2）由5|2|≤-z 得5|)2(|≤+-bi a ，即5)2(2
2≤+-b a ，……（8分）
由（1）得a b 26-=，所以25)26()2(22≤-+-a a ， 化简得0152852
≤+-a a ，…………（10分） 所以a 的取值范围是⎥⎦
⎤⎢⎣⎡5,53
．…………（12分）
19．（2010年1月嘉定区高三质量调研）（文）已知复数i z +=11，i t z +=2，其中R t ∈，
i 为虚数单位．
（1）若21z z ⋅是实数（其中2z 为2z 的共轭复数），求实数t 的值； （2）若22||21≤+z z ，求实数t 的取值范围．
19．（文）（1）i t t i t i z z )1()1())(1(21-++=-+=⋅，……（3分） 由已知，21z z ⋅是实数，所以01=-t ，即1=t ．…………（6分）
（2）由22||21≤+z z ，得22|2)1(|≤++i t ，即224)1(2
≤++t ，……（8分）
即84)1(2
≤++t ，解得13≤≤-t ．……（11分）
所以t 的取值范围是]1,3[-．…………（12分）。