经济数学基础综合练习及参考答案(积分部分)

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经济应用数学基础(一)微积分_试题及答案

；
；；；
3 2 6、函数 f ( x ) = x − x + 1 的极大点是
′ 7、设 f ( x ) = x ( x − 1)( x − 2)……(x − 2006) ，则 f (1) =
x 8、曲线 y = xe 的拐点是
；；；
9、
∫
2
0
x − 1dx
=
� � � � � � � � � � a = i + 3 j − 2 k , b = i − j + λ k 10、设，且 a ⊥ b ，则 λ =
；
⎧ 2x f ( x) = ⎨ ⎩a + x 2、设函数
x<0 x ≥ 0 在点 x = 0 连续，则 a =
；；
4 3、曲线 y = x − 5 在（-1，-4）处的切线方程是
f ( x )dx = x 4、已知 ∫
1 x lim(1 − ) 2 x = 5、 x →∞
3
+C
，则 f ( x ) =
（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导
9．设函数 f ( x ) 在 ( −∞, ∞) 上连续，且 f (0) = 0 ， f ′(0) 存在，则函数（A）在 x = 0 处左极限不存在（B）有跳跃间断点 x = 0 （C）在 x = 0 处右极限不存在（D）有可去间断点 x = 0
ln cos x dx 2 ∫ 3. cos x
4.
∫
x 2 dx
1 − x2
三、求解下列各题（每题 7 分，共 28 分） ⎧ e −2 x , x≤o ⎪ 2 f ( x) = ⎨ x 1 , x >0 ⎪ 2 ∫ f (t )dt ⎩1 + x

经济数学基础综合练习及参考答案

经济数学基础综合练习及参考答案第一部分微分学一、单项选择题．函数()1lg +=x xy 的定义域是（）．．1->x ．0≠x ．0>x ．1->x 且0≠x．若函数)(x f 的定义域是[，]，则函数)2(x f 的定义域是( )．．1],0[ ．)1,(-∞ ．]0,(-∞ )0,(-∞．下列各函数对中，（）中的两个函数相等．．2)()(x x f =，x x g =)( ．11)(2--=x x x f ，x x g =)(．2ln x y =，x x g ln 2)(=．x x x f 22cos sin )(+=，1)(=x g．设11)(+=xx f ，则))((x f f （）．．11++x x ．x x +1 ．111++x ．x+11．下列函数中为奇函数的是（）．．x x y -=2．xxy -+=e e．11ln+-=x x y ．x x y sin =．下列函数中，（）不是基本初等函数．．102=y ．xy )21(=．)1ln(-=x y ．31xy = ．下列结论中，（）是正确的．．基本初等函数都是单调函数．偶函数的图形关于坐标原点对称．奇函数的图形关于坐标原点对称．周期函数都是有界函数. 当x →0时，下列变量中（）是无穷大量．.001.0x . xx 21+ . x . x-2 . 已知1tan )(-=xxx f ，当（）时，)(x f 为无穷小量.. x →0 . 1→x . -∞→x . +∞→x．函数sin ,0(),0xx f x x k x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在处连续，则 ( )．．．- ．．. 函数⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f 在处（）．. 左连续 . 右连续 . 连续 . 左右皆不连续．曲线11+=x y 在点（, ）处的切线斜率为（）．．21-．21 ．3)1(21+x ．3)1(21+-x. 曲线x y sin =在点(, )处的切线方程为（）．. . . 21.．若函数x xf =)1(，则)(x f '（）．．21x ．21x．x 1 ．x 1．若x x x f cos )(=，则='')(x f （）．．x x x sin cos + ．x x x sin cos - ．x x x cos sin 2+ ．x x x cos sin 2-- ．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（）．．．．．．下列结论正确的有（）．．是 ()的极值点，且f '()存在，则必有f '() ．是 ()的极值点，则必是 ()的驻点．若f '() ，则必是 ()的极值点．使)(x f '不存在的点，一定是 ()的极值点. 设需求量对价格的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为（）．．p p32- ．--pp32 ．32-pp．--32pp二、填空题．函数⎩⎨⎧<≤-<≤-+=20,105,2)(2x x x x x f 的定义域是．．函数x x x f --+=21)5ln()(的定义域是．．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f．．设函数1)(2-=u u f ，xx u 1)(=，则=))2((u f．．设21010)(xx x f -+=，则函数的图形关于对称．．已知生产某种产品的成本函数为() ，则当产量时，该产品的平均成本为．．已知某商品的需求函数为 – ，其中为该商品的价格，则该商品的收入函数()． . =+∞→xxx x sin lim.．已知xxx f sin 1)(-=，当时，)(x f 为无穷小量．. 已知⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1111)(2x a x x x x f ，若f x ()在),(∞+-∞内连续，则=a .. 函数1()1exf x =-的间断点是 . ．函数)2)(1(1)(-+=x x x f 的连续区间是．．曲线y =)1,1(处的切线斜率是．．函数的单调增加区间为．．已知x x f 2ln )(=，则])2(['f ．．函数y x =-312()的驻点是 . ．需求量对价格p 的函数为2e 100)(p p q -⨯=，则需求弹性为E p =．．已知需求函数为p q 32320-=，其中为价格，则需求弹性 .三、计算题．423lim 222-+-→x x x x ．231lim 21+--→x x x x．0x → ．2343lim sin(3)x x x x →-+-．2)1tan(lim 21-+-→x x x x ．))32)(1()23()21(lim 625--++-∞→x x x x x x．已知y x x xcos 2-=，求)(x y ' ．．已知)(x f x x xln sin 2+=，求)(x f ' ．．已知xy cos 25=，求)2π(y '；．已知32ln x ，求y d ．．设x y x5sin cos e +=，求y d ．．设xx y -+=2tan 3，求y d ．．已知2sin 2cos x y x -=，求)(x y ' ．．已知xx y 53e ln -+=，求)(x y ' ．．由方程2e e )1ln(=++xy x y 确定y 是x 的隐函数，求)(x y '．．由方程0e sin =+yx y 确定y 是x 的隐函数，求)(x y '.．设函数)(x y y =由方程y x y e 1+=确定，求0d d =x x y．．由方程x y x y=++e )cos(确定y 是x 的隐函数，求y d ．四、应用题．设生产某种产品x 个单位时的成本函数为：x x x C 625.0100)(2++=（万元）, 求：（）当10=x 时的总成本、平均成本和边际成本；（）当产量x 为多少时，平均成本最小？．某厂生产一批产品，其固定成本为元，每生产一吨产品的成本为元，对这种产品的市场需求规律为q p =-100010（q 为需求量，p 为价格）．试求：（）成本函数，收入函数；（）产量为多少吨时利润最大？．设某工厂生产某产品的固定成本为元，每生产一个单位产品，成本增加元．又已知需求函数p q 42000-=，其中p 为价格，q 为产量，这种产品在市场上是畅销的，试求：（）价格为多少时利润最大？（）最大利润是多少？．某厂生产某种产品件时的总成本函数为() （元），单位销售价格为（元件），试求：（）产量为多少时可使利润达到最大？（）最大利润是多少？．某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为9800365.0)(2++=q q q C （元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？．已知某厂生产q 件产品的成本为C q q q ()=++25020102（万元）．问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？试卷答案一、单项选择题．．．．．．． . . . . . . . . . . 二、填空题.[，] . (, ) . 62-x .43-. 轴 . – . . 0→x . .0x = .)1,(--∞，)2,1(-，),2(∞+ . (1)0.5y '= .(,∞) . .x =1 .2p- . 10-p p三、极限与微分计算题．解 423lim 222-+-→x x x x )2)(2()1)(2(lim 2+---→x x x x x )2(1lim 2+-→x x x 41．解：231lim 21+--→x x x x )1)(2)(1(1lim 1+---→x x x x x21)1)(2(1lim1-=+-→x x x．解l i x →l i 1)x →。

经济数学基础积分学部分复习要求与综合练习

经济数学基础积分学部分复习要求与综合练习第一部分：复习要求第1章不定积分1．理解原函数与不定积分概念。

这里要解决下面几个问题：（1）什么是原函数？若函数)(x F 的导数等于)(x f ，即)()(x f x F ='，则称函数)(x F 是)(x f 的原函数。

（2）原函数不是唯一的。

由于常数的导数是0，故c x F +)(都是)(x f 的原函数（其中c 是任意常数）。

（3）什么是不定积分？原函数的全体c x F +)(（其中c 是任意常数）称为)(x f 的不定积分，记为⎰x x f d )(=c x F +)(。

（4）知道不定积分与导数（微分）之间的关系。

不定积分与导数（微分）之间互为逆运算，即先积分，再求导，等于它本身；先求导，再积分，等于函数加上一个任意常数，即⎰')d )((x x f =)(x f ,⎰)d )(d(x x f =x x f d )(,c x f x x f +='⎰)(d )(，c x f x f +=⎰)()(d2．熟练掌握不定积分的计算方法。

常用的积分方法有（1）运用积分基本公式直接进行积分；（2）第一换元积分法（凑微分法）；（3）分部积分法，主要掌握被积函数是以下类型的不定积分：①幂函数与指数函数相乘； ②幂函数与对数函数相乘；③幂函数与正（余）弦函数相乘；第2章定积分1．了解定积分的概念，知道奇偶函数在对称区间上的积分结果．要区别不定积分与定积分之间的关系。

定积分的结果是一个数，而不定积分的结果是一个表达式。

奇偶函数在对称区间上的积分有以下结果：若f x ()是奇函数，则有f x x a a()d -⎰=0若f x ()是偶函数，则有f x x f x x f x x aa a a()()()d d d --⎰⎰⎰==2202．熟练掌握定积分的计算方法。

常用的积分方法有（1）运用积分基本公式直接进行积分；（2）第一换元积分法（凑微分法）；注意：定积分换元，一定要换上、下限，然后直接计算其值（不要还原成原变量的函数）．（3）分部积分法，主要掌握被积函数是以下类型的定积分： ①幂函数与指数函数相乘； ②幂函数与对数函数相乘；③幂函数与正（余）弦函数相乘；3．知道无穷限积分的收敛概念，会求简单的无穷限积分。

经济数学(二重积分习题及答案)

第九章二重积分习题 9－11．设0),(≥y x f ，试阐述二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰的几何意义.解当0),(≥y x f 时，二重积分(,)d D f x y σ⎰⎰表示的是以xy 平面上的有界闭区间为底，以曲面),(y x f z =为顶,母线平行于z 轴，准线为区域D 的边界的一个曲顶柱体的体积.2．试确定下列积分的符号并说明理由:221(1)ln()d d x y x y x y+<+⎰⎰224(2)d x y x y*+≤⎰⎰解 (1) 因1x y +<，则将此式两边平方，得220121x y xy ≤+<-<于是 0)ln(22<+y x 故221ln()d d 0.x y x y x y +<+<⎰⎰(2)因为224d x y x y+≥⎰⎰222222221122343d d d d x y x y x y x y x y x yx y x y+≤<+≤<+≤<+≤=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰当221x y +≤1，且此区域面积为π，则221d x y x y π+≤≤⎰⎰当2212x y <+≤0，且此区域面积为π，则2212d 0xy x y <+≤≤⎰⎰当2223x y <+≤1-，且此区域面积为π，则2223d x y x y π<+≤≤-⎰⎰当2234x y <+≤≤且此区域面积为π,则2243d x y x y <+≤≤⎰⎰故 224d 00x y x y ππ+≤≤+--=<⎰⎰.3．试用二重积分的定义证明:(1) d DDS σ=⎰⎰(其中D S 为D 之面积)(2) (,)d (,)d DDkf x y k f x y σσ=⎰⎰⎰⎰(k 为常数)证 (1) 由二重积分的定义,有.1(,)d lim (,)n i i ii Df x y f λσεησ→==∆∑⎰⎰则当1),(≡y x f 时,上式变为01d lim lim ni D Di DS S λλσσ→→==∆==∑⎰⎰.(2) 由二重积分的定义,有,1,101(,)d lim () lim () lim (,)n i iioi Dni i ioi ni i ii kf x y kf k f k f λλλσξησξησξησ→=→=→==∆=∆=∆∑⎰⎰∑∑　(,)d .Dk f x y σ=⎰⎰4．根据二重积分的性质,比较下列积分的大小.()2(1) d Dx y σ+⎰⎰与3()d Dx y σ+⎰⎰,其中D 由x 轴、y 轴及直线1x y +=围成;()2(2) d Dx y σ+⎰⎰与3()d Dx y σ+⎰⎰，其中D 由圆2(2)x -+ 2(1)2y -=围成.解 (1) 积分区域D 如图9－1 所示. 因在所围区域内有10≤+≤y x ,所以 32)()(y x y x +≥+故 ()23d ()d D D x y x y σσ+≥+⎰⎰⎰⎰. 图9－1 (2) 积分区域D 如图9－2 所示.因圆22(2)(1)2x y -+-=的参数方程为22cos 12sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩则32(sin cos )32sin()4x y πθθθ+=++=++图9－2min ()321,1,x y x y +=-=+≥而且于是32)()(y x y x +≤+故 ()23d ()d .D D x y x y σσ+≤+⎰⎰⎰⎰5．利用二重积分的性质,估计下列积分的值.(1) ()d DI xy x y σ=+⎰⎰， :01,01D x y ≤≤≤≤22(2) sin sin d DI x y σ=⎰⎰， :0,0D x y ππ≤≤≤≤(3) (1)d DI x y σ=++⎰⎰， :01,02D x y ≤≤≤≤22(4) (49)d DI x y σ=++⎰⎰，22:4D x y +≤ 解 (1) 因01,01x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩则0102xy x y ≤≤⎧⎨≤+≤⎩故00d 2d 2d 2 2.D DDDI S σσσ=≤≤===⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 因0,0x y ππ≤≤⎧⎨≤≤⎩则0sin 10sin 1x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩于是 220sin sin 1x y ≤≤ 故200d d .D DDI S σσπ=≤≤==⎰⎰⎰⎰（3）因0102x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则411≤++≤y x故d (1)d 4d DDDx y σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即 28.I ≤≤(4) 因4022≤+≤y x ,则22229494()925x y x y ≤++≤++≤于是99d 25d 25D DDDS I S σσ=≤≤=⎰⎰⎰⎰而 24D S r ππ== 故 36100.I ππ≤≤习题 9－21.计算下列二重积分：22(1) ()d ,Dx y σ+⎰⎰其中D 是矩形区域：1,1x y ≤≤;22(2) ()d ,Dx y x σ+-⎰⎰其中D 由直线22y y x y x ===、与所围成;2(3) d ,Dxy σ⎰⎰其中D2y x y x ==由抛物线和直线所围成; 2111sin (4) d d .y x y x x -⎰⎰解 (1)积分区域D 如图9－3 所示.11222211()d d ()d Dxy x x y yσ--+=+⎰⎰⎰⎰12128(2)d .33x x -=+=⎰ 图9－3(2)积分区域D 如图9－4所示.22222102 ()d d ()d yyDx y x y x y x xσ+-=+-⎰⎰⎰⎰232019313()2486y y dy =-=⎰图9－4(3)积分区域D 如图9－5所示.2112232001 d d d ()d 3xx D xxy x xy y x y xx σ==⋅⎰⎰⎰⎰⎰ 1470111()d 3340x x x =-=⎰图9－5(4)积分区域D 如图9－6所示.22111110110sin sin d d d d sin d sin1cos1.x y xx y x x yx x x x x +-===-⎰⎰⎰⎰⎰图9－62．积分区域}{(,),D x y a x b c y d =≤≤≤≤，且被积函数为()(),f x g y ⋅求证：()()d d ()d ()d bdacDf xg y x y f x x g y y⋅=⎰⎰⎰⎰.证积分区域D 如图9－7所示.()()d d d ()()d b dacDf xg y x y x f x g y y=⎰⎰⎰⎰()[()d ]d ()d ()d ()d ()d b dacd bcab dacf xg y y xg y y f x xf x xg y y ==⋅=⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 图9－73．设(,)f x y 在D 上连续且D 由y x y a x b b a ===>、与（）围成，求证：d (,)d d (,)d .bx b baa a y x f x y y y f x y x =⎰⎰⎰⎰证积分区域D 如图9－8 所示. 交换等式左边二次积分的积分顺序有d (,)d d (,)d b xb baaayx f x y y y f x y x=⎰⎰⎰⎰图9－84．下列条件下，将(,)d DI f x y σ=⎰⎰按不同积分顺序化为二次积分：2(1) 4D y x y x ==由与所围成；(2) D x 由轴与半圆周()2220x y r y +=≥所围成. 解 (1) 由24y x =和y x =,得交点为(0,0),(4,4). y=x积分区域D 如图9－9 所示. 于是将I 化为先对y 后对x 的二次积分，得420d (,)d xxI x f x y y=⎰⎰将I 化为先对x 后对y 的二次积分，得2414d (,)d .y y I y f x y x =⎰⎰(2)积分区域D 如图9－10 所示. 图9－9将I 化为先对y 后对x 的二次积分，得22d (,)d rr x rI x f x y y--=⎰⎰将I 化为先对x 后对y 的二次积分，得2222d (,)d rr y r y I y f x y x---=⎰⎰图9－105.更换下列二次积分的积分顺序：10(1) d (,)d yy y f x y x⎰⎰10(2) d (,)d yy f x y x⎰⎰1(3) d (,)d e ln xx f x y y⎰⎰221101(4) d (,)d y y y f x y x---⎰⎰2113(3)2001(5) d (,)d d (,)d x x x f x y y x f x y y-+⎰⎰⎰⎰解 (1)因为原积分区域{}(,)01,D x y y y x y=≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－11 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域. 故211d (,)d d (,)d .yxyxy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰⎰(2) 因为原积分区域{}(,)01,0D x y y x y =≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－12 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域. 故111d (,)d d (,)d .yoxy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰⎰(3)因为原积分区域{}(,)1,0ln D x y x e y x=≤≤≤≤为X 型区域, 其图形如图9－13 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域.图9－11 图9－12故ln 11d (,)d d (,)d .xexee xf x y y y f x y x =⎰⎰⎰⎰（4）因为原积分区域{}22(,)01,11D x y y y x y =≤≤≤≤－－－为Y 型区域, 其图形如图9－14 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故2221111011d (,)d d (,)d .y x yy f x y x x f x y y -----=⎰⎰⎰⎰图9－13 图9－14（5）因为原积分区域{}2121,(,)01,0D D D D x y x y x =+=≤≤≤≤其中21(,)13,032D x y x y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭（－）为X 型区域, 其图形如图9－15 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域.图9－15 图9－16 2113(3)20011320d (,)d d (,)d d (,)d .故x x y yx f x y y x f x y yy f x y x --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰6．求由平面0011x y x y ====、、、所围成的柱体被平面0z =与2x + 3y + z = 6所截得的立体的体积.解该曲顶柱体如图9－16所示.习题 9－31.作适当变换，计算下列二重积分：()22(1) ()sin d d Dx y x y x y-+⎰⎰.D 是顶点为(,0)(2,)(,2)πππππ、、、(0,)π的四边形;22(2) d d ,Dx y x y ⎰⎰1240D xy xy y x y x x ====>由、、和所围成且、0y >;(3) d d ,yx yDex y +⎰⎰ D 由x 轴，y 轴和直线1x y +=所围成;()()1100623d d 7d 623d .2DV x y x yx x y y =--=--=⎰⎰⎰⎰2222(4) ()d d ,D y x x y a b +⎰⎰2222:1y x D a b +≤.解 (1) 积分区域D 如图9－17所示.令x y ux y v -=⎧⎨+=⎩，解得()()1212x u v y v u ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 于是原积分区域D 的边界x y π+=、3x y π+=、x y π-=、x y π-=-与图9－17新积分区域D’的边界3v π=、v π=、u π=、u π=-相对应. 其积分区域D’的图形如图9－18所示.因为11(,)12211(,)222x x x y u v J y y u v u v ∂∂∂∂∂====∂∂∂-∂∂故()()22sin d d Dx y x y x y -+⎰⎰22'322321sin d d 21d sin d 231sin 2324D u v u vu u v v u v v ππππππππ-=⋅=⎛⎫⎛⎫=⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 图9－183431().3223ππππ=⋅-=(2) 积分区域D 如图9－19所示.令 xy u yv x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得u x v y uv ⎧=⎪⎨⎪=⎩则新积分区域D’由u = 1,u = 2,v = 1,v = 4围成.其积分区域D’的图形如图9－20所示. 图9－19因为(,)(,)x xx y u v J y yu v u v ∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂2111()122222v v u u v u v v v u uvuv⋅-==22'2'1d d d d 211 d d 2DD D u x y x y uv u v v v u u v v =⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰故图9－2024211117d d ln 2.23u u v v ==⎰⎰ （3）积分区域D 如图9－21所示.令x y u y v +=⎧⎨=⎩，解得x u vy v =-⎧⎨=⎩则新积分区域D’由u = v 、v = 0和u = 1围成. 图9－21其积分区域D’的图形如图9－22所示.因为11(,)101(,)xxx y u v J y y u v u v∂∂-∂∂∂====∂∂∂∂∂图9－22故 10'd d 1d d d d y v v x yuuuoDD ex y e u v u e v+=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()1011d 2e u e u -=-=⎰.（4）积分区域D 如图9－23所示.令 cos sin x ar y br θθ=⎧⎨=⎩则新积分区域为 (){}',02,01D r r θθπ=≤≤≤≤ 图9－23因为(,)(,)x xx y r J yyr r θθθ∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂cos sin sin cos a ar abrb br θθθθ-==22222'21300 ()d d d d 1d d .2DD y xx y r abr r a bab r r ab πθθπ+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰故2.用变量替换，求下列区域D 的面积：(1)334851500.D xy xy xy xy x y ====>>由曲线、、和所围成且、 (2)D 由曲线333344y x y x x y x y ====、、、所围成且00.x y ≥≥、解 (1) 令3u xy v xy =⎧⎨=⎩，解得,u vx u y v u ==则新积分区域D’由 u = 4、u = 8、v = 5、v = 15围成.因为(,)(,)x xx y u vJy yu vu v∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂31221211122u u uv v vvvu u uv-==-81515545'd d111d d d d4ln2ln3.222DDDS x yu v u v vv v====⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰故图9－24(2) 令33yuxxvy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得838311xu vyuv⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则新积分区域D’由u = 1、u = 4、v = 1和v = 4围成. 其积分区域D’的图形如图9－25所示.因为(,)(,)x xx y u vJy yu vu v∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂图9－25 1113988883293111888831188()81388u v u vuvu v v u-----------==--故d dDDS x y=⎰⎰()33442211342111d d d()d8811d.88Duv u v u uv vu u---====⎰⎰⎰⎰⎰’100D x y x y+===3.设由直线、与所围成，求证：1cos()d d sin1.2Dx yx yx y-=+⎰⎰证积分区域D如图9－26所示.令x y vx y u+=⎧⎨-=⎩，解得()()1212x v uy v u⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩则新积分区域'D由v = 1,v = -u, 及v = u围成. 图9－26因为11(,)12211(,)222x x x y u v J y yu v u v ∂∂∂∂∂====∂∂∂-∂∂'1cos d d cos d d 2D D x y u x y u vx y v -=⋅+⎰⎰⎰⎰故图9－27101d cos d 2vv uv uv -=⎰⎰101[sin ]d 21sin1d sin1.2v v u v v v v v =-==⎰⎰4．选取适当变换，求证：()()11d d d , : 1.Df x y x y f u u D x y -+=+≤⎰⎰⎰证积分区域D 如图9－28所示.令x y ux y v +=⎧⎨-=⎩, 解得()()1212x u v y u v ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩则新积分区域'D 由u = 1, u = -1,v = 1及v = -1所围成其积分区域D’的图形如图9－29所示. 图9－28因为 11(,)12211(,)222x x x y u v J y y u v u v ∂∂∂∂∂====-∂∂∂-∂∂ 故'1()d d ()d d 2DD f x y x y f u u v +=-⎰⎰⎰⎰1111111d ()d ()d .2u f u v f u u ---==⎰⎰⎰习题 9－41.画出下列积分区域D 并把积分(),d d Df x y x y⎰⎰化成极坐标形式：()22222(1) 0 (2) 2x y a a x y x +≤>+≤()2222(3) 0 (4) 0101a x y b a b y x x ≤+≤<<≤≤-≤≤且解积分区域D 如图9－30所示.（1）令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则积分区域D 被夹在0θ=与2θπ=之间，且远近极点的边界方程分别为0r a r ==与,故图9－30()20,d d d (cos ,sin )d .aDf x y x y f r r r r πθθθ=⎰⎰⎰⎰(2) 积分区域D 如图9－31所示.令 cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则远近极点的边界方程分别为r=2cos θ与r = 0.由r ≥0和2cos 0θ≥得22ππθ-≤≤图9－31 则D 被夹在22ππθθ==-和之间, 故2cos 22(,)d d d (cos ,sin )d Df x y x y f r r r rπθπθθθ-=⎰⎰⎰⎰.(3) 积分区域D 如图9－32所示.令 cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则远近极点的边界方程分别为r a r b ==与，图9－32而D 被夹在02θθπ==与之间, 故20(,)d d d (cos ,sin )d .baDf x y x y f r r r r πθθθ=⎰⎰⎰⎰(4) 积分区域D 如图9－33所示.令 cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则远近极点的边界方程分别为图9－331cos sin r θθ=+0r =与，而D 被夹在02πθθ==和之间，故12cos sin 0(,)d d d (cos ,sin )d .Df x y x y f r r r r πθθθθθ+=⎰⎰⎰⎰2．将下列二次积分化为极坐标形式：2222222222001122222000(1) d ()d (2) d d (3) d ()d (4) d ()d aax x axxa a y xx x y y x x y y x x y y yx y x---++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解 (1)积分区域D 如图9－34所示.令 cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则22y ax x =-的极坐标方程为2cos ,r a θ=而D 被夹在02πθθ==与之间, 故图9－342222cos 22320d ()d d d .aax x a x x y y r r πθθ-+=⎰⎰⎰⎰(2) 积分区域D 如图9－35所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ 则0x a x ==与的极坐标方程分别为图9－26cos a r θ=与0;r =0y x y ==与的方程分别为04πθθ==与,故sec 22240d d d d .axa x x y y r r πθθ+=⎰⎰⎰⎰(3) 积分区域D 如图9－36所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则2y x y x ==与的极坐标方程分别为图9－36 tan sec r θθ=4πθ=与,故211tan sec 2224000d ()d d d .xx x x y y r πθθθ-+=⎰⎰⎰⎰(4) 积分区域D 如图9－37所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则222x y a +=上方程为,r a =而D 被夹在02πθθ==与之间, 故222232000d ()d d d .aa y ay x y x r r πθ-+=⎰⎰⎰⎰ 图9－373．用极坐标计算下列各题：22(1) d ,xy De σ+⎰⎰D 由圆周224x y +=所围成；22(2) d ,Dx y σ+⎰⎰{}2222(,);D x y a x y b =≤+≤(3) arctand ,Dy x σ⎰⎰2222140D x y x y y y x +=+===由、、和所围成的第I 象限部分；222224 d , :.DR x y D x y Rx σ--+≤⎰⎰（）解 (1) 积分区域D 如图9－38所示.令 cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ {}(,)02,02D r r θθπ=≤≤≤≤则,故222220d d d x y r Dee r r πσθ+=⎰⎰⎰⎰图9－382224012d (1)2re r e ππ==-⎰.(2) 积分区域D 如图9－39所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩(){},,02D r a r b θθπ=<<≤≤则,故图9－39222203333d d d 22().33baDx y r rb a b a πσθππ+=-=⋅=⋅-⎰⎰⎰⎰(3) 积分区域D 如图9－40所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩(),12,04D r r πθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭则,故图9－40 2224401013arctan d d d d d .64D y r r r r x ππσθθθθπ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4) 积分区域D 如图9－41所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩(),0cos ,22D r r R ππθθθ⎧⎫=≤≤-≤≤⎨⎬⎩⎭则, 故图9－41 ()cos 22222202cos 2220322220 d d d 2d d cos 2 d 03R DR R x y R r r rR r r rR R r πθππθπσθθθθ---=-⋅=-⋅⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰33332024 (sin )d ()333R R R πθθπ=--=-⎰.4．选择适当的坐标系，计算下列各题：()22(1) ()d d 30Dx y x y D y x y x a y a y a a +==+==>⎰⎰，由、、、所围成;222(2) d d :,00;Dy x y D x y a x y +=≥≥⎰⎰，、(3) d d 212;Dxy x y D y x y x xy xy ====⎰⎰，由、、与围成()2(4) d d :1,2,,2.Dx xy x y D x y x y y x y x ++=+===⎰⎰，解 (1) 令,y x uy v -=⎧⎨=⎩得变换式x v u y v =-⎧⎨=⎩则新积分区域D’由u = 0、u = a 、v = a 及v = 3a 所围成. D ’如图9－42所示.因为 11(,)101(,)x y J u v -∂===-∂()22222'322032230 ()d d 1d d d (22)d 2(1882)d 14.3DD aaa x y x y v u u u vu v vu u va a u au u u a ⎡⎤+=-+⋅-⎣⎦=-+=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰故图9－42（2）积分区域D 如图9－43所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩(),0,02D r r a πθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭则，故32d d d sin d .3aDa y x y r r r πθθ==⎰⎰⎰⎰图9－43（3）令y u xxy v ⎧=⎪⎨⎪=⎩. 得变换式v x u y vu ⎧=⎪⎨⎪=⎩则新积分区域D’由u = 1、u = 2、v =1、 v = 2所围成.D’如图9－44所示.因为()11122(,)1,21122v x y u u vu J u v uv u uv-∂===-∂- 图9－44故'2211113d d d d d d ln 2.224DD v xy x y v u v u v u u =-=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（4）令x y u y v x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，得变换式11u x vuv y v ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩则新积分区域D’由u = 1、u = 2、v = 1、v =2所围成. D’如图9－44所示.因为 ()()()()()222111,,111uv v x y uJ v u u v v v v -++∂===∂+++()'22()d d d d 11D D u ux xy x y u u v v v +=⋅⋅++⎰⎰⎰⎰故 ()322233111525d d d .72961u u v u u v ===+⎰⎰⎰5．试求区域D 的面积，其中D 为()()12,.r ϕθϕθαθβ≤≤≤≤解积分区域D 如图9－45所示.21()()d d d d .D DS x y r r βϕθαϕθθ==⎰⎰⎰⎰图9－45习题 9－51．计算下列广义二重积分：{}()20(1) d d . (,),0 (2)d d x yy Dx yxe x y D x y y x x e x y-+-≤≤=≥≥⎰⎰⎰⎰解（1）积分区域D 如图9－46所示.220 d d d d 1 d .2y y xDx xe x y x xe yxex +∞+∞--+∞-===⎰⎰⎰⎰⎰故（2）积分区域D 如图9－47所示. 图9－46()()020d d d d 1 d .2x yx y xDx e x y x e ye x +∞+∞-+-++∞-===⎰⎰⎰⎰⎰故2．用极坐标计算下列广义积分：(){}2222()()22221224(1) d d (2) cos()d d d d (3) ,1.()x y x y De x y e x y x y x y D x y xy x y +∞+∞-+-∞-∞+∞+∞-+-∞-∞+=+≤+⎰⎰⎰⎰⎰⎰，图9－47解 (1)cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令 (){},0,02D r r θθπ=≤≤+∞≤≤则，故22222()1d d d d d .2x y re x y e r r ππθθπ+∞+∞+∞-+--∞-∞===⎰⎰⎰⎰⎰(2)cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令 (){},0,02D r r θθπ=≤≤+∞≤≤则，故()2222()222200222020cos()d d d cos d 1 sin cos d 041 d .42x y r r e x y x ye r r re r r πππθθπθ+∞+∞-+-∞-∞+∞--+=⋅⎡⎤+∞=-⎢⎥⎣⎦==⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3) 积分区域D 如图9－48所示.cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令(){},01,02D r r θθπ=≤≤≤≤则，故图9－48212100224d d 124d d d 33()Dx yr r rx y ππθθπ=⋅==+⎰⎰⎰⎰⎰.3.计算下列广义积分：()()224452(1) d (2)1d x x x ex x x e x+∞+∞-++--∞-∞++⎰⎰解()()22445214(1) d d x x x ex ex+∞+∞-++-+--∞-∞=⎰⎰()2221441d(21)2121d ()212x t e e x t x e e t e +∞-+--∞+∞---∞-=+=+=⎰⎰由普阿松积分 ()222222222212332 (2) 1d d d d d ,d ,d 0.x x x x x x x x x e x x e x xe x e x I x e x I xe x I e x I I +∞+∞+∞+∞-----∞-∞-∞-∞+∞+∞+∞----∞-∞-∞++=++=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰令则由普阿松积分可得由奇函数的性质可得 ()22222222221222224220d d d d d d cos ,sin d sin cos d x x x y x yr I x e x x e xx e x y e y x y ex yx r y r r e r rπθθθθθ+∞+∞---∞-∞+∞+∞---∞-∞+∞+∞-+-∞-∞+∞-======⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰而 2225002201d sin 2d 411 sin 2d 44r e r r ππθθθθπ+∞-==⎰⎰⎰1I ==即()221d 0x x x e x +∞--∞++++⎰综合习题九1.选择填空：(1) 设Ｄ由x 轴、ln y x x e ==、围成，则(,)d d ( ).D f x y x y =⎰⎰① ln 1d (,)d exx f x y y⎰⎰②ln 0d (,)d ex x f x y y⎰⎰③1d (,)d ye yf x y x⎰⎰④10d (,)d yee yf x y x⎰⎰(2) 当( )a =时，有221d .xy x y π+≤=⎰⎰① 1 ②③④(3) 下列不等式中，（）是正确的.①||1||1(1)d 0x y x σ<<->⎰⎰ ②22221()d 0x y x y σ+≤-->⎰⎰③ ||1||1(1)d 0x y y σ≤≤->⎰⎰④ ||1||1(1)d 0x y x σ≤≤+>⎰⎰(4) 设3123d d d 444DD Dx y x y x yI I I σσσ+++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰，，,22:(1)(1)1,D x y -+-≤ 则有（）.① 123I I I << ② 231I I I <<③ 312I I I << ④ 321I I I << 解 (1) ① ④； (2) ②； (3) ④； (4) ①. 2．计算下列二重积分：.25512100d (1) d (2) d dln y xyxy x ey y x-⎰⎰⎰⎰2222(3) d , :,12D xy D y x x y x y σ≥≤+≤+⎰⎰2222(4) 1()()d d , :()()1Dy y x xx y D a b a b -++≤⎰⎰22222(5) ln()d , :1Dx y D x y σε+≤+≤⎰⎰，并求此二重积分当0ε→时之极限.解积分区域D 如图9－49所示.交换积分次序，得55511151d d d ln ln d 4.x y yx y dx y x y xx ===⎰⎰⎰⎰⎰故(2) 积分区域D 如图9－50所示. 图9－49 交换积分次序，得2221112200d d d d y y xyx eyy ex--=⎰⎰⎰⎰21220(1)d y ey y-=-⎰22112220d y y edy y ey--=-⎰⎰22222112211122220d d()1d d .0y y y y y ey y eeyyee y e ------=+=+-=⎰⎰⎰⎰图9－50(3) 积分区域D 如图9－51所示. cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令 ()5,12,44D r r ππθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭则，故图9－51522422214544cos sin d d d d 3sin 2d 0.xyr x y r rx y rππππθθθθθ=+==⎰⎰⎰⎰⎰D(4)积分区域D 如图9－52所示. 图9－52cos sin x ar y br θθ=⎧⎨=⎩令{},01,02D r r θθπ≤≤≤≤则＝（）（如图9－53）因为(,)(,)x xx y r J y yr r θθθ∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂ 图9－53 cos sin sin cos a ar abrb br θθθθ-==212222220021201()()d d d 1cos sin d 2d 1cos 2d .3Dy xx y r r abr ra b ab r r r ab ππθθθθθπ-+=-+=-⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰故(5) 积分区域D 如图9－54所示. cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令(){},1,02D r r θεθπ=≤≤≤≤则，故2122202220222 ln()d d ln d 1 (ln )d 2(ln 1)Dx y r r rπεπσθεεεθπεεε+=⋅-=--=--⎰⎰⎰⎰⎰ 图9－5422ln()d ,DI x y σ=+⎰⎰令则2220220lim lim (ln 1)ln lim 2lim.I εεεεπεεεεπεπππε→→-→→=--=--=-3.改变下列积分次序：2222sin 120sin211221(1) d (,)d (2) d (,)d(3) d (,)d (4) d (,)d d (,)d yx x xx x e y y x f x y y x f x y y y f x y x y f x y x y f x y xπ----+--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解 (1)因为积分区域{}2(,)12,22D x y x x y x x =≤≤-≤≤-为X 型区域, 其图形如图9－55 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域. 故22221111202d (,)d d (,)d .x x y x yx f x y y y f x y x -+---=⎰⎰⎰⎰(2)因为积分区域(,)0,sin sin 2x D x y x y x π⎧⎫=≤≤-≤≤⎨⎬⎩⎭为X 型区域, 其图形如图9－56 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域. 故sin 0sin21arcsin 12arcsin 0arcsin d (,)d d (,)d d (,)d .xx yyyx f x y yy f x y x y f x y x πππ----=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰图9－55 图9－56(3)因为积分区域{}(,)01,0yD x y y x e =≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－57 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故11111ln d (,)d d (,)d d (,)d .ye exy f x y x x f x y y x f x y y =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)因为积分区域{}121,(,)21,02D D D D x y y x y =+=-≤≤-≤≤+{}22(,)10,0D x y y x y =-≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－58所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故2121212d (,)d d (,)d d (,)d .y y xx y f x y x y f x y x x f x y y -+----+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰图9－57 图9－58 4.计算下列二重积分：24212(1) d sin d d sin d 22x x x x x x y x yy y ππ+⎰⎰⎰⎰112111224(2) d d d d y y yyxxyy e x y e x+⎰⎰⎰⎰22222(3) d d ,Dxy x y D x y a x y+≤+⎰⎰是由曲线位于第一象限的部分；22(4) d d ,(1cos )D x y x y D r a θ+=-⎰⎰由曲线所组成；22(5) d d :()() 1.Dy xy x y D a b +≤⎰⎰，()0,0(6) (,)d d (,).0x y D ex y f x y x y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩⎰⎰且其它解（1）积分区域D 如图9－59所示.24212d sin d d sin d 22x x x x x x y x yy y ππ+⎰⎰⎰⎰2222222221222221222113d sind d sind d sind 222d sind d sind 222d sind (cos)d 224(2).y y yyy y y yy yxxxy x y x y xyyyxxy x y xyyxyy x y yyππππππππππ=++=+==-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（2）积分区域D 如图9－60所示.22112111224212122212112222d d d d d d d d d d yyyyx x yy y y x x x x x x x y e xy e x x e y x e y x e y+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222122122112d d d d d d .82y y xxx x x x yxxx x e yx e ye e x e y =+==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰图9－59 图9－60（3）积分区域D 如图9－61所示.cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令 (),0,02D r r a πθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭则，故 222222220cos sin d d d d 1 sin 2d .24aDxy r x y r rx yra a ππθθθθθ=+==⎰⎰⎰⎰⎰ 图9－61(4) 积分区域D 如图9－62所示.cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令(){},0(1cos ),02D r r a θθθπ=≤≤-≤≤则，故2(1cos )22023330d d d d 15 (1cos )d .33a Dx y x y r r ra a πθπθπθθ-+=⋅=-=⎰⎰⎰⎰⎰图9－62（5）积分区域D 如图9－63所示. cos sin x ar y br θθ=⎧⎨=⎩令因为 (,)(,)xxx y r J yyr r θθθ∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂cos sin sin cos a ar abrb br θθθθ-== 图9－63(){},01,02D r r θθπ=≤≤≤≤则，故222222221(0)1(0)d d d d ()d d Dx y x y y y a b a b y x y y x y y x y+=≥+≤<=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰112d sin d d (sin )d 4.3br abr r br abr rab ππθθθθπ-=⋅+-⋅=⎰⎰⎰⎰()00020(6) (,)d d d d d d (d ) 1.x y Dx y xf x y x y x e y e x e y e x +∞+∞-++∞+∞--+∞-==⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5.设(,)f x y 在xoy 平面上连续且(0,0),f a =求22221lim (,)d d .t x y t I f x y x y tπ+→+≤=⎰⎰解222222(,)(,)lim lim x y t t t f x y dxdyf t I tt ξηπππ+++≤→→==⎰⎰222((,)x y t ξη+≤其中为圆域的内点)0(,)(0,0)t ξη→→当圆域半径时，必有，故 (,)0,0)lim (,)(0,0).f f a ξηξη→==（6.设()[0,]f x a 在上连续，求证：202[()d ()d ][()d ].aaaxf x x f y y f x x =⎰⎰⎰证令21200()d ()d [()d ]a a ax I f x x f y y I f x x ==⎰⎰⎰，I 1的积分区域D 1与交换积分次序后的积分区域D 2如图9－64所示.而102()d ()d ()d ()d aaaaxxI f x x f y y f x x f y y=+⎰⎰⎰⎰()d ()d ()d ()d aaaaxyf x x f y y f y y f x x=+⎰⎰⎰⎰12()()d d ()()d d D D f x f y x y f x f y x y=+⎰⎰⎰⎰12()()d d D D f x f y x y⋃=⎰⎰则20()d ()d a a I f x x f x x=⎰⎰()d ()d d ()()d aaaaf x x f y y x f x f y y==⎰⎰⎰⎰ 图9－64 12()()d d D D f x f y x y⋃=⎰⎰.7.已知()[,]f x a b 在上连续，求证：当0n >时，有11d ()()d ()()d .1byb n n aaa y y x f x xb x f x x n +-=-+⎰⎰⎰证因为积分区域{}(,),D x y a y b a x y =≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－65所示.交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故d ()()d d ()()d bybbnn aaaxy y x f x x x y x f x y-=-⎰⎰⎰⎰111()[()]d 1()[()]d 11()()d .1n ba n ba b n a b y x f x x x n b x f x x n b x f x x n +++-=+-=+=-+⎰⎰⎰8.设()[,]f x a b 在上连续，求证：图9－6522[()d ]()()d .b baaf x x b a f x x ≤-⎰⎰证 ,()()[,],k R f x g x a b ∀∈若与在上连续则必有2[()()]0f x kg x -≥从而2[()()]d 0baf x kg x x k -≥∆≤⎰关于的0.222()()]4()()bbbaaaf xg x dx f x dx g x dx ∆-≤⎰⎰⎰即=[0故222[()()]()()b b baaaf xg x dx f x dx g x dx≤⎰⎰⎰在上式中令()1,g x ≡则22[()d ]()()d .b baaf x x b a f x x ≤-⎰⎰.9．求证：221(sin cos )d 2.Dx y σ≤+≤⎰⎰其中{}(,)0101.D x y x y =≤≤≤≤，解积分区域D 如图9－66所示.考虑 22(,)sin cos f x y x y =+在D 内的最值，为此解方程组222cos 2sin x y f x x f y y ⎧'=⎪⎨'=-⎪⎩ 图9－66得驻点(0,0)(0,0) 1.f =且而在该区域内y x =上，有222(,)sin cos 2sin()4f x y x y x π=+=+因23301,1444244x x ππππππ≤≤≤+≤+<+=则由正弦函数的性质知min 0,0,1;x y f ===当时 max ,, 2.22x y f ππ===当时则 1(,)2f x y ≤≤故22(sin cos )d 2.Dx y σ≤+≤⎰⎰110．已知()[0,1]f x 在上连续，求证：11()()0d d 1.f x f y e x e y -⋅≥⎰⎰证令()(),f x F x e =则()[0,1]()0.F x F x >在上连续，且由综合习题六的第9题知2d ()d ()()b b a a x F x x b a F x ≥-⎰⎰即11()2()00d d (10)1f x f x x e x e ⋅≥-=⎰⎰故11()()0d d 1.f x f y e x e y -⋅≥⎰⎰11．求球体22224x y z a ++≤与圆柱体222x y ax +≤的公共部分的体积. 解由题意所求立体的图形如图9－67所示.上半球面的方程为 2224z a x y =-- 由对称性，得12221 444d d cos ,sin , d d = d d D V V a x y x yx r y r x y r r θθθ==--==⎰⎰令图9－671(,)0,02cos 2D r r a πθθθ⎧⎫=<<<<⎨⎬⎩⎭则 ,其图形如图9－68所示.11222122 4d d 4d d D D V a x y x ya r r r θ=--=-⋅⎰⎰⎰⎰2cos 2220d 4d a a r r rπθθ=-⋅⎰⎰图9－682cos 2222203222233201 d 4d(4)22cos 1 [(4)]d 031(2)(sin 1)d 3a a r a r a a r a πθππθθθθθ=---=--=--⎰⎰⎰⎰3220233031(2)[(1cos )d cos ]3281[(cos cos )]33282().323a x a a πππθθπθθπ=----=--+-=-⎰312432().69V V a π==-所以。

经济数学基础练习题微积分部分

经济——微积分部分一、填空题1．函数xx x f --+=21)5ln()(的定义域是．2．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f ．3．设函数xx x f -=1)(，则)1(xf = 。

4．函数2)(xxaa x f --=是_____________函数。

5．设3e)21(lim -∞→=+kxx x，则=k _____________．6．=+∞→xxx x sin lim． 6．若函数3ln =y ，则y '=． 7．若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(0) = ． 8．曲线x y =在点（4, 2）处的切线方程是．9．函数y x =-312()的单调增加区间是 . 10．函数y x =-312()的驻点是 .11．设某产品的需求量q 为价格p 的函数，且pq 5.0e1000-=，则需求对价格的弹性为 .12．过点)3,1(且切线斜率为x 2的曲线方程是y = ． 13．已知)(x f 的一个原函数为x-e，则)(x f = ．14．若)(x f '存在且连续，则='⎰])(d [x f ． 15．若c x F x x f +=⎰)(d )(，则x f x x )d e (e --⎰= . 二、单项选择题1．设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（）．A ． xB ．x + 1C ．x + 2D ．x + 3 2．下列函数中，（）不是基本初等函数．A ． x y )e1(= B ． 2ln x y = C ． xx y cos sin =D ． 35x y =3．下列极限计算正确的是（）．A ．e )11(lim 0=+→xx xB ．e )1(lim 1=+∞→x x xC ．11sinlim =∞→x x x D ．1sin lim=∞→xx x4．已知441x y =，则y ''=（）． A . 3x B . 23x C . x 6 D . 64．设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x f d 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '- 5．若函数f (x )在点x 0处可导，则( )是错误的．A ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠C ．函数f (x )在点x 0处连续D ．函数f (x )在点x 0处可微 6．．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（）． A ．sin x B ．e x C ．x 2 D ．3 - x7．设某商品的需求函数为2e10)(p p q -=，则当p =6时，需求弹性为（）．A ．--53eB ．－3C ．3D ．-128．=-⎰)d(e x x （）．A ．c x x+-eB ．c x xx++--e eC ．c x x+--e D ．c x xx +---ee9．下列等式成立的是( ) ． A ．xx x 1dd ln = B ．21d d 1xx x-= C ．x x x sin d d cos = D ．xx x1dd 12=10．下列无穷限积分收敛的是（）．A ．x xx ed ln ⎰∞+ B ．x xx ed ln ⎰∞+C ．x x x ed )(ln 12⎰∞+ D ．x xx ed ln 1⎰∞+三、计算题 1．xx xx sin 11lim2-+→2．xx x x )13(lim +-∞→3．232lim222+---→x x x x x4．设)11)(1(-+=xx y ，求d y ．5．设x x y xsin e +=，求y d ．6设121lncos-+=x x y ，求y '．7已知)(x f xx x x+-+=11ln cos 2，求y d8．设1e )cos(=++y y x ，求y d ．9．由方程0e ln 23=-+y x y x 确定y 是x 的隐函数，求y '． 10．x x xxd )2sin ln 1(++⎰11．x x x d 2cos 20⎰π12．x xxd ln 51e 1⎰+13．求微分方程0e32=+'+yy xy 满足初始条件3)1(=-y 的特解．14．求微分方程22x y y +='的通解． 15．求微分方程x xy y =+'的通解.四、应用题1．生产某种产品的固定成本为1万元，每生产一个该产品所需费用为20元，若该产品出售的单价为30元，试求：(1) 生产x 件该种产品的总成本和平均成本； (2) 售出x 件该种产品的总收入；(3) 若生产的产品都能够售出，则生产x 件该种产品的利润是多少？2．生产某种产品q 台时的边际成本10005.2)(+='q q C （元/台），固定成本500元，若已知边际收入为,20002)(+='q q R 试求（1）获得最大利润时的产量；（2）从最大利润的产量的基础再生产100台，利润有何变化？3.某厂生产某种商品q 千件的边际成本为36)(+='q q C （万元/千件），其固定成本是9800（万元）.求（1）产量为多少时能使平均成本最低？（2）最低平均成本是多少？4.已知某产品的边际成本为q q C 4)(='（万元/百台），边际收入为q q R 1260)(-='（万元/百台）。

经济应用数学基础(一)-微积分-课后习题答案_高

第一章　函数习　题　一（A）１．解下列不等式，并用区间表示解集合（其中δ＞０）：（１）（x－２）２＞９；（２）｜x＋３｜＞｜x－１｜；（３）｜x－x０｜＜δ；（４）０＜｜x－x０｜＜δ．解　（１）由（x－２）２＞９得｜x－２｜＞３，从而解得x－２＞３　或　x－２＜－３由此得　x＞５或x＜－１．因此，解集合为（－∞，－１）∪（５，＋∞）（２）由绝对值的几何意义知，不等式｜x＋３｜＞｜x－１｜表示点x与－３的距离大于点x与１的距离，如下图所示：因此，该不等式的解集合为（－１，＋∞）（３）由｜x－x０｜＜δ得－δ＜x－x０＜δ，由此得x０－δ＜x＜x０＋δ，因此，解集合为（x０－δ，x０＋δ）（４）由０＜｜x－x０｜知x≠x０，由｜x－x０｜＜δ知x０－δ＜x＜x０＋δ．因此，解集合为（x０－δ，x０）∪（x０，x０＋δ）２．证明如下不等式：（１）｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜；（２）｜a－b｜≤｜a－c｜＋｜c－b｜证　（１）由绝对值性质（４），有｜a－b｜≤｜a｜＋｜－b｜＝｜a｜＋｜b｜．（２）｜a－b｜＝｜a－c＋c－b｜≤｜a－c｜＋｜c－b｜．３．判断下列各对函数是否相同，并说明理由：（１）y＝x与y＝x２；（２）y＝１－x２＋x与y＝（１－x）（２＋x）；（３）y＝１与y＝ｓｉｎ２x＋ｃｏｓ２x；（４）y＝２ｃｏｓx与y＝１＋ｃｏｓ２x；（５）y＝ｌｎ（x２－４x＋３）与y＝ｌｎ（x－１）＋ｌｎ（x－３）；（６）y＝ｌｎ（１０－３x－x２）与y＝ｌｎ（２－x）＋ｌｎ（５＋x）．解　（１）因y＝x２＝｜x｜与y＝x的对应规则不同（值域也不同），故二函数不相同．（２）因y＝１－x２＋x与y＝（１－x）（２＋x）的定义域均为D f＝［－２，１］，故此二函数相同．（３）因ｓｉｎ２x＋ｃｏｓ２x≡１，x∈（－∞，＋∞），故此二函数相同．（４）因y＝１＋ｃｏｓ２x＝２ｃｏｓ２x＝２｜ｃｏｓx｜与y＝２ｃｏｓx的对应规则不同，可知此二函数不相同．（５）因y＝ｌｎ（x２－４x＋３）＝ｌｎ［（x－１）（x－３）］的定义域为D f＝（－∞，１）∪（３，＋∞）；y＝ｌｎ（x－１）＋ｌｎ（x－３）的定义域为D f＝（３，＋∞）．因此，此二函数不相同．（６）因y＝ｌｎ（１０－３x－x２）＝ｌｎ［（２－x）（５＋x）］与y＝ｌｎ（２－x）＋ｌｎ（５＋x）的定义域均为D f＝（－５，２），故此二函数相同．４．求下列函数的定义域：（１）y＝x２＋x－２；（２）y＝ｓｉｎ（x）；（２）y＝９－x２＋１ｌｎ（１－x）；（４）y＝ｌｎx２－９x１０；（５）y＝１x－３x＋１０x－１０；（６）y＝（x－１）（x－３）x－３．解　（１）使该函数有定义的x应满足条件：x２＋x－２＝（x－１）（x＋２）≥０由此解得x≥１或x≤－２．因此，该函数定义域为D f＝（－∞，２］∪［１，＋∞）．（２）使该函数有定义的x应满足条件：x≥０　且　ｓｉｎx≥０而由ｓｉｎx≥０得２kπ≤x≤（２k＋１）π，k＝０，１，２，…．因此，该函数的定义域为D f＝∪∞k＝０［（２kπ）２，（２k＋１）π２］．（３）使该函数有定义的x应满足如下条件：９－x２≥０，　１－x＞０，　１－x≠１解得　｜x｜≤３且x＜１且x≠０．因此，该函数定义域为D f＝［－３，０）∪（０，１）．（４）使该函数有定义的x应满足条件：x２－９x１０≥１由此得　x２－９x－１０＝（x＋１）（x－１０）≥０，解得x≥１０或x≤－１因此，该函数定义域为D f＝（－∞，－１］∪［１０，＋∞）（５）使该函数有定义的x应满足如下条件：x－３≠０，　x－１０≠０，　x＋１０x－１０≥０由此解得x＞１０或x≤－１０．因此，该函数定义域为D f＝（－∞，－１０］∪（１０，＋∞）．（６）使该函数有定义的x应满足条件：x－３≠０，　（x－１）（x－２）x－３≥０即（x－１）（x－２）≥０　且　x－３＞０痴x＞３（x－１）（x－２）≤０　且　x－３＜０痴１≤x≤２因此，该函数定义域为D f＝［１，２］∪（３，＋∞）．５．已知函数f（x）＝q－x２，｜x｜≤３x２－９，｜x｜＞３求函数值f（０），f（±３），f（±４），f（２＋a）．解　因为x＝０，x＝±３时，｜x｜≤３，所以f（０）＝９＝３， f（±３）＝９－（±３）２＝０又因为x＝±４时，｜x｜＞３，所以f（±４）＝（±４）２－９＝７当｜２＋a｜≤３即－５≤a≤１时，f（２＋a）＝q－（２＋a）２＝（１－a）（５＋a）当｜２＋a｜＞３即a＞１或a＜－５时，f（２＋a）＝（２＋a）２－９＝（a－１）（a＋５）所以f（２＋a）＝（１－a）（５＋a），－５≤a≤１（a－１）（５＋a），a＜－５或a＞１．６．讨论下列函数的单调性：（１）y＝１＋６x－x２；（２）y＝ｅ｜x｜．解　（１）易知该函数定义域为D f＝［０，６］．设x１，x２∈（０，６），　x１＜x２则f（x１）－f（x２）＝６x１－x２１－６x２－x２２＝（６x１－x２１）－（６x２－x２２）６x１－x２１＋６x２－x２２＝６（x１－x２）－（x２１－x２２）６x１－x２１＋６x２－x２２＝［６－（x１＋x２）］（x１－x２）６x１－x２１＋６x２－x２２＜０，０＜x１＜x２＜３＞０，３＜x１＜x２＜６所以该函数在区间（０，３）上单调增加，在区间（３，６）上单调减少．另解，因６x－x２＝９－（x－３）２，所以y＝１＋６x－x２是圆（x－３）２＋（y－１）２＝３２的上半圆．由此可知，该函数在（０，３）上单调增加，在（３，６）上单调减少．（２）因y＝ｅ｜x｜＝ｅx，x≥０ｅ－x，x＜０所以，该函数在［０，＋∞）上单调增加，在（－∞，０］上单调减少．７．讨论下列函数是否有界：（１）y ＝x ２１＋x２；（２）y ＝ｅ－x ２；（３）y ＝ｓｉｎ１x；（４）y ＝１１－x．解　（１）因为｜y ｜＝x２１＋x ２＝１－１１＋x２≤１所以，该函数有界．（２）因为｜y ｜＝ｅ－x ２＝１ｅx ２≤１ｅ０＝１所以，该函数有界．（３）因为ｓｉｎ１x≤１（x ≠０），所以，该函数有界．（４）对任意给定的正数M ＞０，令x ０＝１－１２M≠１，则｜y （x ０）｜＝１１－１－１２M＝２M ＞M此式表明，对任意给定的M ＞０，存在点x ０∈D f ，使｜y （x ０）｜＞M ．因此，该函数无界．８．讨论下列函数的奇偶性：（１）f （x ）＝x ｓｉｎx ＋ｃｏｓx ；（２）y ＝x ５－x ３－３；（３）f （x ）＝ｌｎ（x ＋１－x ２）；（４）f （x ）＝１－x ，x ＜０，１，x ＝０，１＋x ，x ＞０．解　（１）因为f （－x ）＝（－x ）ｓｉｎ（－x ）＋ｃｏｓ（－x ）＝x ｓｉｎx ＋ｃｏｓx ＝f （x ），x ∈（－∞，＋∞）所以，该函数为偶函数．（２）因为f （－x ）＝－x ５＋x ３－３≠f （x ）或－f （x ）所以，该函数既不是偶函数，也不是奇函数．（３）因为f （－x ）＝ｌｎ（－x ＋１＋x ２）＝ｌｎ（１＋x ２）－x２x ＋１＋x２＝－ｌｎ（x＋１＋x２）＝－f（x），　x∈（－∞，＋∞）所以，该函数为奇函数．（４）因为x＞０（即－x＜０）时，　f（－x）＝１－（－x）＝１＋xx＜０（即－x＞０）时，　f（－x）＝１＋（－x）＝１－x所以f（－x）＝１－x，x＜０１，x＝０１＋x，x＞０＝f（x）因此，该函数为偶函数．９．判别下列函数是否是周期函数，若是周期函数，求其周期：（１）f（x）＝ｓｉｎx＋ｃｏｓx；（２）f（x）＝｜ｓｉｎx｜；（３）f（x）＝xｃｏｓx；（４）f（x）＝１＋ｓｉｎπx．解　（１）因为f（x）＝ｓｉｎx＋ｃｏｓx＝２ｓｉｎx＋π４所以f（x＋２π）＝２ｓｉｎx＋２π＋π４＝２ｓｉｎx＋π４＝f（x）因此，该函数为周期函数，周期为２π．（２）因f（x＋π）＝｜ｓｉｎ（x＋π）｜＝｜－ｓｉｎx｜＝｜ｓｉｎx｜＝f（x）所以，该函数为周期函数，周期为π．（３）因ｃｏｓx是以２π为周期的周期函数，但是f（x＋２π）＝（x＋２π）ｃｏｓ（x＋２π）＝（x＋２π）ｃｏｓx≠xｃｏｓx＝f（x）所以，该函数不是周期函数．（４）因为f（x＋２）＝１＋ｓｉｎ（x＋２）π＝１＋ｓｉｎπx＝f（x）所以，该函数为周期函数，周期为２．１０．求下列函数的反函数及其定义域：（１）y＝１－x１＋x；（２）y＝１２（ｅx－ｅ－x）；（３）y＝１＋ｌｎ（x－１）；（４）y＝５３x－５；（５）y＝２ｓｉｎx３，　x∈－π２，π２；（６）y＝２x－１，０＜x≤１２－（x－２）２，１＜x≤２．解　（１）由y＝１－x１＋x　解出x，得x＝１－y１＋y因此，反函数为y＝１－x１＋x其定义域为D（f－１）＝（－∞，－１）∪（－１，＋∞）（２）由所给函数解出ｅx，得ｅx＝y±１＋y２＝y＋１＋y２（因为ｅx＞０，所以舍去“－”号）由此得x＝ｌｎ（y＋１＋y２）因此反函数为y＝ｌｎ（x＋１＋x２）其定义域为D（f－１）＝（－∞，＋∞）．（３）所给函数定义域为D（f）＝（１，＋∞），值域为Z（f）＝（－∞，＋∞）．由所给函数解出x，得x＝１＋ｅy－１，故反函数为y＝１＋ｅx－１其定义域为D（f－１）＝（－∞，＋∞）．（４）所给函数定义域、值域分别为D（f）＝（－∞，＋∞），　Z（f）＝（－∞，＋∞）由所给函数解出x，得x＝１３（y５＋５），　y∈Z（f）＝（－∞，＋∞）所以，反函数为y＝１３（x５＋５）其定义域为D（f－１）＝Z（f）＝（－∞，＋∞）（５）由所给函数解出x，得x＝３ａｒｃｓｉｎy２所以，反函数为y＝３ａｒｃｓｉｎx２其定义域为D（f－１）＝Z（f）＝［－１，１］．（６）由所给函数可知：当０＜x≤１时，y＝２x－１，y∈（－１，１］；当１＜x≤２时，y＝２－（x－２）２，y∈（１，２］；由此解出x，得x＝１２（１＋y），－１＜y≤１２－２－y，１＜y≤２　（舍去“＋”号，因１＜x≤２）因此，反函数为y＝１２（１＋x），－１＜x≤１２－２－x，１＜x≤２其定义域为D（f－１）＝Z（f）＝（－１，２］．１１．分析下列函数由哪些基本初等函数复合而成：（１）y＝ｌｏｇa x；（２）y＝ａｒｃｔａｎ［ｔａｎ２（a２＋x２）］；（３）y＝ｅ２x／（１－x２）；（４）y＝ｃｏｓ２x２－x－１．解　（１）所给函数由对数函数y＝ｌｏｇa u与幂函数u＝x复合而成；（２）所给函数由反正切函数y＝ａｒｃｔａｎu、幂函数u＝v２、正切函数v＝ｔａｎw 和多项式函数w＝a２＋x２复合而成；（３）所给函数由指数函数y＝ｅu和有理分式函数u＝２x１＋x２复合而成；（４）所给函数由幂函数y＝u２、余弦函数u＝ｃｏｓv、幂函数v＝w与多项式函数w＝x２－x－１复合而成．１２．设销售某种商品的总收入R是销售量x的二次函数，且已知x＝０，１０，２０时，相应的R＝０，８００，１２００，求R与x的函数关系．解　设总收入函数为R（x）＝ax２＋bx＋c（a≠０）已知R（０）＝０　所以c＝０又知R（１０）＝８００，　R（２０）＝１２００即有１００a＋１０b＝８００，　４００a＋２０b＝１２００整理后，得联立方程组１０a＋b＝８０，　２０a＋b＝６０由此解得　a＝－２，b＝１００．因此，总收入函数为R（x）＝１００x－２x２＝x（１００－２x）．１３．某种电视机每台售价为２０００元时，每月可售出３０００台，每台售价降为１８００元时，每月可多售出６００台，求该电视机的线性需求函数．解　设该电视机的线性需求函数为Q＝a－bp则由已知条件有Q（２０００）＝a－２０００b＝３０００Q（１８００）＝a－１８００b＝３６００由此解得a＝９０００，b＝３．因此，该商品的线性需求函数为Q＝９０００－３p．１４．已知某商品的需求函数与供给函数分别由下列方程确定：３p＋Q２d＋５Q d－１０２＝０p－２Q２s＋３Q s＋７１＝０试求该商品供需均衡时的均衡价格p e和均衡数量Q e．解　供需均衡的条件为Q d＝Q s＝Q e，对应均衡价格为p e，于是有３p３＋Q２e＋５Q－１０２＝０p e－２Q２e＋３Q e＋７１＝０由其中第二个方程得p e＝２Q２e－３Q３－７１　（倡）将上式代入第一个方程，得７Q２e－４Q e－３１５＝０由此解得Q e＝７（舍去负根）．将Q e＝７代入（倡）得p e＝６．因此，该商品供需均衡时，均衡价格p e＝６，均衡数量Q e＝７．（B）１．填空题：（１）已知函数f（x）的定义域为（０，１］，则函数f（ｅx）的定义域为，函数f x－１４＋f x＋１４的定义域为；（２）已知函数f（x）＝x１＋x２，则f（ｓｉｎx）＝；（３）已知函数f（x）＝x１－x，则f［f（x）］＝，f｛f［f（x）］｝＝；（４）已知f（３x－２）＝x２，则f（x）＝；（５）已知某商品的需求函数、供给函数分别为：Q d＝１００－２p，　Q s＝－２０＋１０p，则均衡价格p e＝，均衡数量Q e＝；答　（１）（－∞，０］，１４，３４；（２）ｓｉｎx｜ｃｏｓx｜；（３）x１－２x，x１－３x；（４）１９（x＋２）２；（５）１０，８０．解　（１）由０＜ｅx≤１得x∈（－∞，０］，由０＜x－１４≤１且０＜x＋１４≤１，得x∈１４，３４；（２）f（ｓｉｎx）＝ｓｉｎx１－ｓｉｎ２x＝ｓｉｎxｃｏｓ２x＝ｓｉｎx·｜ｃｏｓx｜；（３）f［f（x）］＝f（x）１－f（x）＝x１－２x，f｛f［f（x）］｝＝f［f（x）］１－f［f（x）］＝x１－３x；（４）令t＝３x－２，则x＝１３（t＋２），于是f（t）＝f（３x－２）＝x２＝１３（t＋２）２＝１９（t＋２）２所以f（x）＝１９（x＋２）２（５）由Q d＝Q s＝Q e，得１００－２p e＝－２０＋１０p e解得　p e＝１０，从而Q e＝８０．２．单项选择题：（１）若函数y＝x＋２与y＝（x＋２）２表示相同的函数，则它们的定义域为．（Ａ）（－∞，＋∞）；（Ｂ）（－∞，２］；（Ｃ）［－２，＋∞）；（Ｄ）（－∞，－２］．（２）设f （x ）＝１，｜x ｜＜１，０，｜x ｜＞１，则f ｛f ［f （x ）］｝＝．（Ａ）０；（Ｂ）１（Ｃ）１，｜x ｜＜１，０，｜x ｜≥１；（Ｄ）１，｜x ｜≥１，０，｜x ｜＜１．（３）y ＝ｓｉｎ１x在定义域内是．（Ａ）周期函数；（Ｂ）单调函数；（Ｃ）偶函数；（Ｄ）有界函数．（４）设函数f （x ）在（－∞，＋∞）内有定义，下列函数中，必为偶函数．（Ａ）y ＝｜f （x ）｜；（Ｂ）y ＝［f （x ）］２；（Ｃ）y ＝－f （－x ）；（Ｄ）y ＝f （x ２）ｃｏｓx ．（５）设函数f （x ）在（－∞，＋∞）内有定义，且f （x ＋π）＝f （x ）＋ｓｉｎx ，则f （x ）．（Ａ）是周期函数，且周期为π；（Ｂ）是周期函数，且周期为２π；（Ｃ）是周期函数，且周期为３π；（Ｄ）不是周期函数．答　（１）Ｃ；　（２）Ｃ；　（３）Ｄ；　（４）Ｄ；　（５）Ｂ．解　（１）由（x ＋２）２＝｜x ＋２｜＝x ＋２≥０可知x ≥－２，故选（Ｃ）．（２）因f ［f （x ）］＝１，｜f （x ）｜＜１０，｜f （x ）｜≥１＝１，｜x ｜≥１０，｜x ｜＜１f ｛f ［f （x ）］｝＝１，｜f ［f （x ）］｜＜１０，｜f ［f （x ）］｜≥１＝１，｜x ｜＜１０，｜x ｜≥１故选（Ｃ）．（３）因ｓｉｎ１x≤１，橙x ≠０，故选（Ｄ）．（４）因f （（－x ）２）ｃｏｓ（－x ）＝f （x ２）ｃｏｓx ，故选（Ｄ）．（５）因f （x ＋２π）＝f （x ＋π）＋ｓｉｎ（x ＋π）＝f （x ）＋ｓｉｎx －ｓｉｎx ＝f （x ）故f （x ）为周期函数，且周期为２π，选（Ｂ）．３．设f２x ＋１２x －２－１２f （x ）＝x ，求f （x ）．解　令t ＝２x ＋１２x －２，则x ＝２t ＋１２t －２，代入所给方程，得f （t ）－１２f ２t ＋１２t －２＝２t ＋１２t －２其中，由所给方程有f２t ＋１２t －２＝t ＋１２f （t ）于是得f （t ）－１２t ＋１２f （t ）＝２t ＋１２t －２由此得f （t ）＝２３t ２＋t ＋１t －１因此f （x ）＝２３x ２＋x ＋１x －１．４．证明下列各题：（）若函数f （x ），g （x ）在D 上单调增加（或单调减少），则函数h （x ）＝f （x ）＋g （x ）在D 上单调增加（或单调减少）．（２）若函数f （x ）在区间［a ，b ］，［b ，c ］上单调增加（或单调减少），则f （x ）在区间［a ，c ］上单调增加（或单调减少）．证　（１）对任意的x １，x ２∈D ，且x １＜x ２，因f （x ），g （x ）单调增加（减少），故有f （x １）＜f （x ２）　（f （x １）＞f （x ２））g （x １）＜g （x ２）　（g （x １）＞g （x ２））于是h （x １）＝f （x １）＋g （x １）＜f （x ２）＋g （x ２）＝h （x ２）（h （x １）＞h （x ２））所以，h （x ）＝f （x ）＋g （x ）在D 上单调增加（减少）．（２）对任意的x１，x２∈［a，c］，x１＜x２，若　a≤x１＜x２≤b或b≤x１＜x２≤c，则由题设有f（x１）＜f（x２）　（或f（x１）＞f（x２））若　a≤x１≤b＜x２≤c，则由题设有f（x１）≤f（b）＜f（x２）　（或f（x１）≥f（b）＞f（x２））综上所述，f（x）在［a，c］上单调增加（或单调减少）．５．设函数f（x）与g（x）在D上有界，试证函数f（x）±g（x）与f（x）g（x）在D 上也有界．证　因f（x）与g（x）在D上有界，故存在常数M１＞０与M２＞０，使得｜f（x）｜＜M１，　｜g（x）｜＜M２，　橙x∈D．令M＝M１＋M２＞０，则有｜f（x）±g（x）｜≤｜f（x）｜＋｜g（x）｜＜M１＋M２＝M，橙x∈D因此，f（x）±g（x）在D上有界．再令M＝M１M２，则有｜f（x）g（x）｜＝｜f（x）｜｜g（x）｜＜M１M２＝M，橙x∈D因此，f（x）g（x）在D上有界．６．证明函数f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界．证　要证f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界，只需证明：对任意给定的常数M＞０，总存在x０∈（０，＋∞），使得｜x０ｓｉｎx０｜＞M．事实上，对任意给定的M＞０，令x０＝π２＋２（１＋［M］）π∈（０，＋∞）（［M］为M的整数部分），则有｜f（x０）｜＝π２＋２（１＋［M］）π·ｓｉｎπ２＋２（１＋［M］）π＝π２＋２（１＋［M］）πｓｉｎπ２＝π２＋２（１＋［M］）π＞M于是，由M＞０的任意性可知，f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界．７．已知函数函数f（x）满足如下方程af（x）＋bf１x＝c x，x≠０其中a，b，c为常数，且｜a｜≠｜b｜．求f （x ），并讨论f （x ）的奇偶性．解　由所给方程有af１x＋bf （x ）＝cx于是，解方程组af （x ）＋bf １x＝c xaf１x＋bf （x ）＝cx可得f （x ）＝ac －bcx ２（a ２－b ２）x因为f （－x ）＝ac －bc （－x ）２（a ２－b ２）（－x ）＝－ac －bcx２（a ２－b ２）x＝－f （x ）所以，f （x ）为奇函数．８．某厂生产某种产品１０００吨，当销售量在７００吨以内时，售价为１３０元／吨；销售量超过７００吨时，超过部分按九折出售．试将销售总收入表示成销售量的函数．解　设R （x ）为销售总收入，x 为销售量（单位：吨）．依题设有当０≤x ≤７００时，售价p ＝１３０（元／吨）；当７００＜x ≤１０００时，超过部分（x －７００）的售价为p ＝１３０×０．９＝１１７（元／吨）．于是，销售总收入函数为R （x ）＝１３０x ，　０≤x ≤７００１３０×７００＋１１７×（x －７００），　７００＜x ≤１０００＝１３０x ，０≤x ≤７００１１７x ＋９１００，７００＜x ≤１０００可见销售总收入R （x ）为销售量x 的分段函数．９．某手表厂生产一只手表的可变成本为１５元，每天固定成本为２０００元，每只手表的出厂价为２０元，为了不亏本，该厂每天至少应生产多少只手表？解　设每天生产x 只手表，则每天总成本为C （x ）＝１５x ＋２０００因每只手表出厂价为２０元，故每天的总收入为２０x （元），若要不亏本，应满足如下关系式：２０x ≥１５x ＋２０００解得x≥４００（只）即，若要不亏本，每天至少应生产４００只手表．１０．某玩具厂每天生产６０个玩具的成本为３００元，每天生产８０个玩具的成本为３４０元，求其线性成本函数．该厂每天的固定成本和生产一个玩具的可变成本各为多少？解　设线性成本函数为C（x）＝ax＋b其中C（x）为总成本，x为每天的玩具生产量．由题设有C（６０）＝６０a＋b＝３００（元）C（８０）＝８０a＋b＝３４０（元）由此解得a＝２，　b＝１８０因此，每天的线性成本函数为C（x）＝２x＋１８０其中a＝２元为生产一个玩具的可变成本，b＝１８０元为每天的固定成本．第二章　极限与连续习　题　二（A）１．观察判别下列数列的敛散性；若收敛，求其极限值：（１）u n＝５n－３n；（２）u n＝１nｃｏｓnπ；（３）u n＝２＋－１２n；（４）u n＝１＋（－２）n；（５）u n＝n２－１n；（６）u n＝a n（a为常数）．解　（１）将该数列具体写出来为２，７２，４，１７４，２２５，…，５－３n，…观察可知u n→５（n→∞）．因此，该数列收敛，其极限为５．（２）因为u n＝１nｃｏｓnπ＝１n（－１）n＝１n→０（n→∞）所以，该数列收敛，其极限为０．（３）因为u n－２＝－１２n＝１２n→０（n→∞）所以，该数列收敛，其极限为２．（４）该数列的前五项分别为：－１，５，－７，１７，－３１，…观察可知u n→∞（n→∞）．因此，该数列发散．（５）该数列的前五项分别为０，３２，８３，１５４，２４５，…观察可知u n→∞（n→∞）．所以，该数列发散．（６）当a＜１时，u n＝a n→０（n→∞）；当a＞１时，u n＝a n→∞（n→∞）；当a＝１时，u n＝１→１（n→∞）；当a＝－１时，u n＝（－１）n，发散因此，a＜１时，数列收敛，其极限为０；a＝１时，数列收敛，其极限为１；a ≤－１或a＞１时，数列发散．２．利用数列极限的定义证明下列极限：（１）ｌｉｍn→∞－１３n＝０；（２）ｌｉｍn→∞n２＋１n２－１＝１；（３）ｌｉｍn→∞１n＋１＝０；（４）ｌｉｍn→∞n２＋a２n＝１（a为常数）．证　（１）对任意给定的ε＞０（不妨设０＜ε＜１），要使u n－０＝１３n＜ε只需n＞ｌｏｇ３１ε　（∵０＜ε＜１，∴ｌｏｇ３１ε＞０）取正整数N＝１＋ｌｏｇ３１ε＞ｌｏｇ３１ε，则当n＞N时，恒有－１３n－０＜ε因此ｌｉｍn→∞－１３n＝０．（２）对任意给定的ε＞０，要使u n－１＝n２＋１n２－１－１＝２n２－１＝２n＋１·１n－１≤１n－１＜ε只需n＞１＋１ε．取正整数N＝１＋１ε，则当n＞N时，恒有n２＋１n２－１－１＜ε由此可知ｌｉｍn →∞n ２＋１n ２－１＝１．（３）对任意给定的ε＞０，要使u n －０＝１n ＋１－０＝１n ＋１＜１n＜ε只需n ＞１ε２．取正整数N ＝１ε２＋１，则当n ＞N ＞１ε２时，恒有１n ＋１－０＜ε．由此可知ｌｉｍn→∞１n ＋１＝０．（４）对任意给定的ε＞０，要使u n －１＝n ２＋a２n －１＝a２n （n ２＋a ２＋n ）＜a２２n２＜ε只需n ＞a２ε．取正整数N ＝a ２ε＋１，则当n ＞N ＞a２ε时，恒有n ２＋a２n－１＜ε因此ｌｉｍn →∞n ２＋a２n＝１．３．求下列数列的极限：（１）ｌｉｍn →∞３n ＋５n ２＋n ＋４；（２）ｌｉｍn →∞（n ＋３－n ）；（３）ｌｉｍn →∞（１＋２n＋３n＋４n）１／n；（４）ｌｉｍn →∞（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１；（５）ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n ；（６）ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n１＋１４＋１４２＋…＋１４n．解　（１）因为３n ＋５n ２＋n ＋４＝３＋５n１＋１n ＋４n ２→３（n →∞）所以ｌｉｍn→∞３n ＋５n ２＋n ＋４＝３．（２）因为n ＋３－n ＝３n ＋３＋n →０（n →∞）所以ｌｉｍn →∞（n ＋３－n ）＝０．（３）因为（１＋２n＋３n＋４n）１／n＝４１４n＋２４n＋３４n＋１１／n→４（n →∞）所以ｌｉｍn→∞（１＋２n＋３n＋４n）１／n＝４．（４）因为（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１＝１２·－１２n＋１－１２n ＋１＋１→１２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１＝１２．（５）因为１＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝１－１２n ＋１１－１２＝２１－１２n ＋１→２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝２．（６）因为１＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝２１－１２n ＋１，１＋１４＋１４２＋…＋１４n ＝１－１４n －１１－１４＝４３１－１４n ＋１于是１＋１２＋１２２＋…＋１２n １＋１４＋１４２＋…＋１４n ＝３２·１－１２n ＋１１－１４n ＋１→３２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n１＋１４＋１４２＋…＋１４n＝３２．４．利用函数极限的定义，证明下列极限：（１）ｌｉｍx →３（２x －１）＝５；（２）ｌｉｍx →２＋x －２＝０；（３）ｌｉｍx →２x ２－４x －２＝４；（４）ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１．证　（１）对任意给定的ε＞０，要使（２x －１）－５＝２x －３＜ε只需取δ＝ε２＞０，则当０＜x －３＜δ时，恒有（２x －１）－５＝２x －３＜２δ＝ε因此ｌｉｍx →３（２x －１）＝５．（２）对任意给定的ε＞０，要使x －２－０＝x －２＜ε只零取δ＝ε２＞０，则当０＜x －２＜δ时，恒有x －２－０＝x －２＜δ＝ε所以ｌｉｍx →２＋x －２＝０．（３）对任意给定的ε＞０，要使（x ≠２）x ２－４x －２－４＝（x ＋２）－４＝x －２＜ε只需取δ＝ε＞０，则当０＜x －２＜δ时，恒有x ２－４x －２－４＝x －２＜δ＝ε因此ｌｉｍx →２x ２－４x －２＝４．（４）对任意给定的ε＞０，要使（１－１－x ）－１＝１－x ＜ε只需０＜１－x ＜ε２取δ＝ε２＞０，则当０＜１－x ＜δ时，恒有（１－１－x ）－１＝１－x ＜δ＝ε因此ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１．５．讨论下列函数在给定点处的极限是否存在？若存在，求其极限值：（１）f （x ）＝１－１－x ，x ＜１，在x ＝１处；x －１，x ＞０（２）f （x ）＝２x ＋１，x ≤１，x ２－x ＋３，１＜x ≤２，x ３－１，２＜x ，在x ＝１与x ＝２处．解　（１）因为f （１－０）＝ｌｉｍx →１－f （x ）＝ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋f （x ）＝ｌｉｍx →１＋（x －１）＝０这表明f （１－０）≠f （１＋０）．因此，ｌｉｍx →１f （x ）不存在．（２）在x ＝１处，有f （１－０）＝ｌｉｍx →１－（２x ＋１）＝３．f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋（x ２－x ＋３）＝３．因f （１－０）＝f （１＋０）＝３，所以，ｌｉｍx →１f （x ）＝３（存在）；在x ＝２处，有f （２－０）＝ｌｉｍx →２－（x ２－x ＋３）＝５f （２＋０）＝ｌｉｍx →２＋（x ３－１）＝７因f（２－０）≠f（２＋０），所以ｌｉｍx→２f（x）不存在．６．观察判定下列变量当x→？时，为无穷小：（１）f（x）＝x－２x２＋２；（２）f（x）＝ｌｎ（１＋x）；（３）f（x）＝ｅ１－x；（４）f（x）＝１ｌｎ（４－x）．解　（１）因为当x→２或x→∞时，x－２x２＋２→０因此，x→２或x→∞时，x－２x２＋２为无穷小．（２）因为当x→０时，ｌｎ（１＋x）→０因此，x→０时，ｌｎ（１＋x）为无穷小．（３）因为当x→＋∞时，ｅ１－x＝ｅｅx→０，因此，x→＋∞时，ｅ１－x为无穷小．（４）因为当x→４－或x→－∞时，１ｌｎ（４－x）→０因此，x→４－或x→－∞时，１ｌｎ（４－x）为无穷小．７．观察判定下列变量当x→？时，为无穷大：（１）f（x）＝x２＋１x２－４；（２）f（x）＝ｌｎ１－x；（３）f（x）＝ｅ－１／x；（４）f（x）＝１x－５．解　（１）因为当x→±２时，x２－４x２＋１→０因此当x→±２时，x２＋１x２－４→∞所以，x→±２时，x２＋１x２－４为无穷大．（２）因为当x→１时，１－x→０＋当x→∞时，－x→＋∞因此当x→１时，ｌｎ１－x→－∞当x→∞时，ｌｎ１－x→＋∞所以，x→１或x→∞时，ｌｎ１－x为无穷大．（３）因为ｌｉｍn→０－－１x＝＋∞所以ｌｉｍx→０－ｅ－１／x＝＋∞由此可知，x→０－时，ｅ－１／x为无穷大．（４）因为ｌｉｍx→５＋x－５＝０所以ｌｉｍx→５＋１x－５＝＋∞由此可知，x→５＋时，１x－５为无穷大．８．求下列函数的极限：（１）ｌｉｍx→３（３x３－２x２－x＋２）；（２）ｌｉｍx→０５＋４２－x；（３）ｌｉｍx→１６x－５x＋４x－１６；（４）ｌｉｍx→０（x＋a）２－a２x（a为常数）；（５）ｌｉｍx→０x２＋a２－ax２＋b２－b（a，b为正的常数）；（６）ｌｉｍx→１x＋x２＋…＋x n－nx－１（提示：x＋x２＋…＋x n－n＝（x－１）＋（x２－１）＋…＋（x n－１））解　（１）由极限的线性性质，得原式＝３ｌｉｍx→３x３－２ｌｉｍx→３x２－ｌｉｍx→３x＋２＝３x３３－２×３２－３＋２＝６２（２）因为ｌｉｍx→０（２－x）＝２≠０，所以原式＝５＋ｌｉｍx →０４２－x ＝５＋４ｌｉｍx →０（２－x ）＝５＋４２＝７．（３）因为x －５x ＋４＝（x －４）（x －１），x －１６＝（x －４）（x ＋４）．所以原式＝ｌｉｍx →１６（x －４）（x －１）（x －４）（x ＋４）＝ｌｉｍx →１６x －１x ＋４＝３８．（４）因为（x ＋a ）２－a ２＝x （x ＋２a ），所以原式＝ｌｉｍx →０x （x ＋２a ）x＝ｌｉｍx →０（x ＋２a ）＝２a ．（５）原式＝ｌｉｍx →０（x ２＋a ２－a ）（x ２＋a ２＋a ）（x ２＋a ２＋b ）（x ２＋b ２－b ）（x ２＋b ２＋b ）（x ２＋a ２＋a ）＝ｌｉｍx →０x ２（x ２＋b ２＋b ）x ２（x ２＋a ２＋a ）＝ｌｉｍx →０x ２＋b ２＋bx ２＋a ２＋a＝b a（６）因为 x ＋x ２＋…＋x n－n ＝（x －１）＋（x ２－１）＋…＋（x n－１）＝（x －１）［１＋（x ＋１）＋…＋（xn －１＋xn －２＋…＋１）］所以原式＝ｌｉｍx →１（x －１）［１＋（x ＋１）＋…＋（xn －１＋xn －２＋…＋１）］x －１＝ｌｉｍx →１［１＋（x ＋１）＋…＋（x n －１＋xn －２＋…＋１）］＝１＋２＋…＋n ＝１２n （n ＋１）．９．求下列函数的极限：（１）ｌｉｍx →∞［x ２＋１－x ２－１］；（２）ｌｉｍx →∞（x －１）１０（３x －１）１０（x ＋１）２０；（３）ｌｉｍx →＋∞５x ３＋３x ２＋４x ６＋１；（４）ｌｉｍx →∞（x ＋３１－x ３）；（５）ｌｉｍx →＋∞x （３x －９x ２－６）；（６）ｌｉｍx →＋∞（a x＋９）－a x＋４（a ＞０）．解　（１）原式＝ｌｉｍx →∞２x ２＋１＋x ２－１＝０．（２）原式＝ｌｉｍx→∞１－１x１０３－１x １０１＋１x２０＝３１０（３）原式＝ｌｉｍx →＋∞５＋（３／x ）＋（４／x ３）１＋（１／x ３）＝５．（４）因为（x ＋３１－x ３）［x ２－x３１－x ３＋（３１－x ３）２］＝x ３－（３１－x ３）３＝１所以原式＝ｌｉｍx→∞１x ２－x ３１－x ３＋（３１－x ３）２＝０．（５）因为x （３x －９x ２－６）＝x （３x －９x ２－６）（３x ＋９x ２－６）３x ＋９x ２－６＝x ［９x ２－（９x ２－６）］３x ＋９x ２－６＝６x３x ＋９x ２－６所以原式＝ｌｉｍx →＋∞６x３x ＋９x ２－６＝ｌｉｍx →＋∞６３＋９－（６／x ２）＝１（６）原式＝ｌｉｍx →＋∞５a x＋９＋a x＋４＝１，０＜a ＜１１０－５，a ＝１０，a ＞１．１０．求下列各题中的常数a 和b ：（１）已知ｌｉｍx →３x －３x ２＋ax ＋b＝１；（２）已知ｌｉｍx →＋∞（x ２＋x ＋１－ax －b ）＝k （已知常数）．解　（１）由于分子的极限ｌｉｍx →３（x －３）＝０，所以分母的极限也应为０（否则原式＝０≠１），即有ｌｉｍx →３（x ２＋ax ＋b ）＝９＋３a ＋b ＝０另一方面，因分子＝x －３，故分母x ２＋ax ＋b ＝（x －３）（x －c ），于是原式＝ｌｉｍx →３x －３（x －３）（x －c ）＝ｌｉｍx →３１x －c ＝１３－c＝１由此得c ＝２．于是得x ２＋ax ＋b ＝（x －３）（x －２）＝x ２－５x ＋６由此得a ＝－５，b ＝６（２）原式可变形为原式＝ｌｉｍx →＋∞［x ２＋x ＋１－（ax ＋b ）］［x ２＋x ＋１＋（ax ＋b ）］x ２＋x ＋１＋ax ＋b＝ｌｉｍx →＋∞（１－a ２）x ２＋（１－２ab ）x ＋（１－b ２）x ２＋x ＋１＋ax ＋b显然应有１－a ２＝０，即有a ＝±１．于是原式＝ｌｉｍx →＋∞（１－２ab ）x ＋（１－b ２）x ２＋x ＋１＋ax ＋b＝ｌｉｍx →＋∞１－２ab ＋（１－b ２）／x１＋（１／x ）＋（１／x ２）＋a ＋（b ／x ）＝１－２ab１＋a＝k （a ≠－１）由上式可知，a ≠－１，于是a ＝１，从而有１－２b２＝k 痴b ＝１２－k ．１１．已知f （x ）＝２＋x１＋x（１－x ）／（１－x ）（１）ｌｉｍx →０f （x ）；（２）ｌｉｍx →１f （x ）；（３）ｌｉｍx →∞f （x ）．解　令g （x ）＝２＋x １＋x ，h （x ）＝１－x１－x．（１）因为ｌｉｍx →０g （x ）＝２，ｌｉｍx →０h （x ）＝１所以ｌｉｍx →０f （x ）＝ｌｉｍx →０g （x ）h （x ）＝２１＝２．（２）因为ｌｉｍx →１g （x ）＝３２＞０ｌｉｍx →１h （x ）＝ｌｉｍx →１（１－x ）（１＋x ）（１－x ）（１＋x ）＝ｌｉｍx →１１１＋x ＝１２所以ｌｉｍx →１f （x ）＝ｌｉｍx →１g （x ）h （x ）＝３２１２（３）因为ｌｉｍx →∞g （x ）＝ｌｉｍx →∞１＋（２／x ）１＋（１／x ）＝１＞０ｌｉｍx →∞h （x ）＝ｌｉｍx→∞（１／x ）－（１－x ）（１／x ）－１＝０所以ｌｉｍx →∞f （x ）＝ｌｉｍx→∞g （x ）h （x ）＝１０＝１．１２．求下列极限：（１）ｌｉｍx →０ｓｉｎ３x ｓｉｎ２x ；（２）ｌｉｍx →０ｔａｎ５xｓｉｎ２x ；（３）ｌｉｍx →０ａｒｃｔａｎ４x ａｒｃｓｉｎ２x；（４）ｌｉｍx →∞x ｓｉｎ１x；（５）ｌｉｍx →０ｓｉｎ２（２x ）x２；（６）ｌｉｍx →０ｔａｎ３x －ｓｉｎ２xx；（７）ｌｉｍx →０１－ｃｏｓxx ｓｉｎx；（８）ｌｉｍx →０ax －ｓｉｎbxｔａｎkx（a ，b ，k ＞０）．解　（１）原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎ３x３x·２x ｓｉｎ２x ·３２＝３２．（２）原式＝ｌｉｍx →０ｔａｎ５x ５x ·２x ｓｉｎ２x ·５２＝５２．（３）原式＝ｌｉｍx →０ａｒｃｔａｎ４x ４x ·２x ａｒｃｓｉｎ２x ·４２＝２．（４）令u ＝１x，则x →∞时u →０．于是原式＝ｌｉｍu →０ｓｉｎu u＝１．（５）原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎ２（２x ）（２x ）２·４＝４ｌｉｍx →０ｓｉｎ２x ２x ２＝４．（６）原式＝３ｌｉｍx →０ｔａｎ３x ３x －２ｌｉｍx →０ｓｉｎ２x２x ＝３－２＝１（７）因为１－ｃｏｓx ～１２x ２（x →０），所以原式＝１２ｌｉｍx →０x ２x ｓｉｎx ＝１２ｌｉｍx →０x ｓｉｎx ＝１２（８）原式＝ｌｉｍx →０a k ·kx ｔａｎkx －b k ·ｓｉｎbx bx ·kxｔａｎkx＝a k －b k ＝a －bk．１３．求下列极限：（１）ｌｉｍx →∞１－１xx；（２）ｌｉｍx →∞１＋５xx；（３）ｌｉｍx →０（１－ｓｉｎx ）１／x；（４）ｌｉｍx →０（１＋３x ）１／x；（５）ｌｉｍx →０１－x２２／x；（６）ｌｉｍx →∞x －２x ＋２x．解（１）原式＝ｌｉｍx→∞１＋１－x－x－１＝１ｅ．（２）原式＝ｌｉｍx→∞１＋１x ／５x ／５５＝ｅ５．（３）令u ＝ｓｉｎx ，则x →０时，u →０．于是原式＝ｌｉｍu →０（１＋u ）１／u u ／ａｒｃｓｉｎ（－u ）＝ｅ－１．（４）原式＝ｌｉｍx →０［（１＋３x ）１／（３x ）］３＝ｅ３（５）原式＝ｌｉｍx →０１－x ２－２／x－１＝ｅ－１（６）原式＝ｌｉｍx →∞１－４x ＋２x＝ｌｉｍx→∞１－４x ＋２－（x ＋２）／４－４x ／（x ＋２）＝ｅ－４另解，令u ＝－x ＋２４，则x ＝－４u －２，且u →∞（x →∞时），于是原式＝ｌｉｍu →∞１＋１u－４u －２＝ｌｉｍu →∞１＋１uu －４·ｌｉｍu →∞１＋１u－２＝ｅ－４．１４．求下列极限：（１）ｌｉｍx →０（ｃｏｓx ）１／（１－ｃｏｓx ）；（２）ｌｉｍx →０（ｓｅｃ２x ）ｃｏｔ２x；（３）ｌｉｍx →π／２（１＋ｃｏｓx ）５ｓｅｃx；（４）ｌｉｍx →０ｓｉｎx －ｔａｎxｓｉｎx３；（５）ｌｉｍx →０（ｓｉｎx ３）ｔａｎx１－ｃｏｓx ２；（６）ｌｉｍx →π／６１－２ｓｉｎxｓｉｎ（x －π／６）；（７）ｌｉｍx →π／４（ｔａｎ２x ）ｔａｎπ４－x ．解（１）令u ＝１－ｃｏｓx ，则ｃｏｓx ＝１－u ，且u →０（x →０时），因此原式＝ｌｉｍu →０（１－u ）１／u＝ｅ－１．（２）令u ＝ｃｏｔ２x ，则ｓｅｃ２x ＝１＋１ｃｏｔ２x＝１＋１u ，且x →０时，u →＋∞．因此原式＝ｌｉｍu →＋∞１＋１uu＝ｅ（３）令u ＝ｃｏｓx ，则ｓｅｃx ＝１u ，且x →π２时，u →０．因此原式＝ｌｉｍu →０（１＋u ）５／u＝ｌｉｍu →０（１＋u ）１／u ５＝ｅ５．（４）因为x →０时，ｓｉｎx ～x ，ｓｉｎx ３～x ３，ｃｏｓx －１～－x２２所以原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎx （ｃｏｓx －１）ｃｏｓx ·ｓｉｎx３＝ｌｉｍx →０x ·（－x ２／２）x ３ｃｏｓx＝－１２ｌｉｍx →０１ｃｏｓx ＝－１２．（５）因为x →０时，ｓｉｎx ３～x ３，ｔａｎx ～x ，１－ｃｏｓx ２～１２（x ２）２，所以原式＝ｌｉｍx →０x ３·xx ４／２＝２（６）令u ＝x －π６，则x →π６时，u →０，且有ｓｉｎx ＝ｓｉｎu ＋π６＝１２（３ｓｉｎu ＋ｃｏｓu ）于是有原式＝ｌｉｍu →０１－（３ｓｉｎu ＋ｃｏｓu ）ｓｉｎu＝ｌｉｍu →０１－ｃｏｓu ｓｉｎu －３＝ｌｉｍu →０u ２／２ｓｉｎu－３＝－３．（７）因为ｔａｎ２x ＝ｓｉｎ２x ｃｏｓ２x ＝ｓｉｎ２xｃｏｓ２x －ｓｉｎ２xｔａｎπ４－x ＝ｓｉｎπ４－x ｃｏｓπ４－x ＝ｃｏｓx －ｓｉｎx ｃｏｓx ＋ｓｉｎx所以ｔａｎ２x ｔａｎπ４－x ＝ｓｉｎ２x ｃｏｓ２x －ｓｉｎ２x ·ｃｏｓx －ｓｉｎx ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ＝ｓｉｎ２x （ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ）２从而原式＝ｌｉｍx →π／４ｓｉｎ２x （ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ）２＝１２２＋２２２＝１２．１５．讨论下列函数的连续性：（１）f （x ）＝x１－１－x ，x ＜０，x ＋２，x ≥０；（２）f （x ）＝ｅ１／x，x ＜０，０，x ＝０，１xｌｎ（１＋x ２），x ＞０．解　（１）由题设知f （０）＝２，且f （０－０）＝ｌｉｍx →０－x １－１－x＝ｌｉｍx →０－x （１＋１－x ）x ＝２f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋（x ＋２）＝２可见ｌｉｍx →０f （x ）＝２＝f （０）．所以，该函数在x ＝０处连续．另一方面，x１－１－x 在（－∞，０）内为初等函数，连续；x ＋２在（０，＋∞）内为线性函数，连续．综上所述，该函数在（－∞，＋∞）内连续．（２）因f （０）＝０，且 f （０－０）＝ｌｉｍx →０－ｅ１／x＝０， f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋１xｌｎ（１＋x ２）＝ｌｉｍx →０＋x ｌｎ（１＋x ２）１／x ２＝０·１＝０所以　ｌｉｍx →０f （x ）＝０＝f （０）．因此，该函数在x ＝０处连续．另一方面，ｅ１／x在（－∞，０）内连续，１xｌｎ（１＋x ２）在（０，＋∞）内连续．综上所述，该函数在（－∞，＋∞）内连续．１６．指出下列函数的间断点及其类型；如为可去间断点，将相应函数修改为连续函数；作出（１）、（２）、（３）的图形：（１）f （x ）＝１－x２１＋x ，x ≠－１，０，x ＝－１；（２）f （x ）＝x ２，x ≤０，ｌｎx ，x ＞０；（３）f （x ）＝x x ；（４）f （x ）＝x ｓｉｎ１x．解　（１）由题设知f （－１）＝０，而ｌｉｍx →－１f （x ）＝ｌｉｍx →－１１－x ２１＋x ＝ｌｉｍx →－１（１－x ）＝２≠f （０）所以，x ＝－１为该函数的可去间断点．令f （－１）＝２，则f ～（x ）＝１－x ２１＋x ，x ≠－１２，x ＝－１＝１－x在（－∞，＋∞）内连续．f （x ）的图形如图２．１所示．图２．１图２．２（２）由题设有f （０）＝０，而f （０－０）＝ｌｉｍx →０－x ２＝０，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋ｌｎx ＝－∞所以，x ＝０为该函数的无穷间断点．f （x ）的图形如图２．２所示．（３）该函数在x ＝０处无定义，而f （０－０）＝ｌｉｍx →０－xx ＝ｌｉｍx →０－x－x ＝－１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋x x＝ｌｉｍx →０＋x x＝１．图２．３因为左、右极限均存在但不相等，所以，x ＝０为该函数的跳跃间断点．f （x ）的图形如图２．３所示．（４）该函数在x ＝０处无定义．因ｌｉｍx →０f （x ）＝ｌｉｍx →０x ｓｉｎ１x＝０，故x ＝０为该函数的可去间断点．若令f （０）＝０，则函数f ～（x ）＝x ｓｉｎ１x，x ≠００，x ＝０在（－∞，＋∞）内连续．１７．确定下列函数的定义域，并求常数a ，b ，使函数在定义域内连续：（１）f （x ）＝１x ｓｉｎx ，x ＜０，a ，x ＝０，x ｓｉｎ１x＋b ，x ＞０；（２）f （x ）＝ax ＋１，x ≤１，x ２＋x ＋b ，x＞１；（３）f （x ）＝１－x ２，－４５＜x ＜３５，a ＋bx ，其他．解　（１）D f ＝（－∞，＋∞）．因f （x ）在D f 的子区间（－∞，０）与（０，＋∞）内均为初等函数．因此，f （x ）在（－∞，０）∪（０，＋∞）内连续．现讨论f （x ）在分界点x ＝０处的连续性．已知f （０）＝a ，而且f （０－０）＝ｌｉｍx →０－ｓｉｎxx ＝１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋x ｓｉｎ１x＋b ＝b 当f （０－０）＝f （０＋０）＝f （０）时，即当a ＝b ＝１时，f （x ）在x ＝０处连续．综上所述，当a ＝b ＝１时，该函数在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（２）D f ＝（－∞，＋∞）．因为f （－１）＝１－a ，且f （－１－０）＝ｌｉｍx →（－１）－（x ２＋x ＋b ）＝bf （－１＋０）＝ｌｉｍx →（－１）＋（ax ＋１）＝１－a 所以，当a ＋b ＝１时，f （x ）在x ＝－１处连续．又因f （１）＝１＋a ，且f （１－０）＝ｌｉｍx →１－（ax ＋１）＝a ＋１f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋（x ２＋x ＋b ）＝２＋b所以，当a ＋１＝２＋b ，即a －b ＝１时，f （x ）在x ＝１处连续．综上所述，当a ＋b ＝１且a －b ＝１，即a ＝１，b ＝０时，f （x ）在x ＝－１和x ＝１处连续，从而f （x ）在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（３）D f ＝（－∞，＋∞）．因f －４５＝a －４５b ，且f －４５－０＝ｌｉｍx →－４５－（ax ＋b ）＝a －４５b f －４５＋０＝ｌｉｍx →－４５＋１－x ２＝３５所以，当a －４５b ＝３５，即５a －４b ＝３时，f （x ）在点x ＝－４５处连续．又因f３５＝a ＋３５b ，且f３５－０＝ｌｉｍx →３５－１－x ２＝４５f３５＋０＝ｌｉｍx →３５＋（a ＋bx ）＝a ＋３５b 所以，当a ＋３５b ＝４５，即５a ＋３b ＝４时，f （x ）在点x ＝３５处连续．综上所述，当５a －４b ＝３且５a ＋３b ＝４，即a ＝５７，b ＝１７时，f（x）在x＝－４５与x＝３５处连续，从而f（x）在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（B）１．填空题：（１）ｌｉｍn→∞１n２＋１（n＋１）２＋…＋１（２n）２＝；（２）ｌｉｍx→０ｌｎ（x＋a）－ｌｎax（a＞０）＝；（３）ｌｉｍx→a＋x－a＋x－ax２－a２（a＞０）＝；（４）若ｌｉｍx→＋∞xx n＋１－（x－１）n＋１＝k≠０，n为正整数，则n＝，k＝；（５）x→０时，１＋x－１－x是x的无穷小；（６）设f（x）＝ｓｉｎx·ｓｉｎ１x，则x＝０是f（x）的间断点；（７）设f（x）＝x x，则x＝０是f（x）的间断点；（８）函数f（x）＝１x２－５x＋６的连续区间是．答　（１）０；（２）１a；（３）１２a；（４）２００８，１２００８；（５）等价；（６）可去；（７）跳跃；（８）（－∞，２）∪（３，＋∞）．解　（１）因为１４n≤１n２＋１（n＋１）２＋…＋１（２n）２≤１n且ｌｉｍn→∞１４n＝０，ｌｉｍn→∞１n＝０．所以，由夹逼定理可知，原式＝０．（２）原式＝ｌｉｍx→０ｌｎ１＋x a１／x＝１aｌｉｍx→０ｌｎ１＋x a a／x＝１aｌｎｌｉｍx→０１＋x a a／x＝１aｌｎｅ＝１a．（３）因为x－a＋x－ax２－a２＝x－ax＋a（x＋a）＋１x＋a且ｌｉｍx→a＋x－ax＋a（x＋a）＝０，ｌｉｍx→a＋１x＋a＝１２a所以，原式＝１２a．（４）因为x n＋１－（x－１）n＋１＝［x－（x－１）］［x n＋x n－１（x－１）＋…＋x（x－１）n－１＋（x－１）n］＝x n１＋１－１x＋…＋１－１x n－１＋１－１x n所以，由题设有原式＝ｌｉｍx→＋∞x２００８－n１＋１－１x＋…＋１－１x n－１＋１－１x n＝k≠０显然，要上式成立，应有２００８－n＝０，即n＝２００８．从而原式＝ｌｉｍx→＋∞１１＋１－１x＋…＋１－１x n－１１－１x n＝１n＝k所以，k＝１n＝１２００８．（５）因为ｌｉｍx→０１＋x－１－xx＝ｌｉｍx→０２１＋x＋１－x＝１所以，x→０时，１＋x－１－x是x的等价无穷小．（６）因为ｌｉｍx→０ｓｉｎx·ｓｉｎ１x＝ｌｉｍx→０ｓｉｎx x·ｌｉｍx→０xｓｉｎ１x＝１×０＝０．所以，x＝０是f（x）的可去间断点（令f（０）＝０，即可）．（７）因为f （０－０）＝ｌｉｍx →０－－x x ＝－１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋xx＝１左、右极限存在，但不相等，故x ＝０为跳跃间断点．（８）该函数有定义的条件是x ２－５x ＋６＝（x －２）（x －３）＞０由此得x ＜２或x ＞３．因此，该函数的连续区间为（－∞，２）或（３，＋∞）．２．单项选择题：（１）函数f （x ）在点x ０处有定义，是极限ｌｉｍx →x ０f （x ）存在的．（Ａ）必要条件；（Ｂ）充分条件；（Ｃ）充分必要条件；（Ｄ）无关条件．（２）下列“结论”中，正确的是．（Ａ）无界变量一定是无穷大；（Ｂ）无界变量与无穷大的乘积是无穷大；（Ｃ）两个无穷大的和仍是无穷大；（Ｄ）两个无穷大的乘积仍是无穷大．（３）设函数f （x ）＝１，x ≠１，０，x ＝１，则ｌｉｍx →１f （x ）＝．（Ａ）０；（Ｂ）１；（Ｃ）不存在；（Ｄ）∞．（４）若ｌｉｍx →２x ２＋ax ＋bx ２－３x ＋２＝－１，则．（Ａ）a ＝－５，b ＝６；（Ｂ）a ＝－５，b ＝－６；（Ｃ）a ＝５，b ＝６；（Ｄ）a ＝５，b ＝－６．（５）设f （x ）＝１－x １＋x，g （x ）＝１－３x ，则当x →１时，．（Ａ）f （x ）与g （x ）为等价无穷小；（Ｂ）f （x ）是比g （x ）高阶的无穷小；（Ｃ）f （x ）是比g （x ）低阶的无穷小；（Ｄ）f （x ）与g （x ）为同阶但不等价的无穷小．（６）下列函数中，在定义域内连续的是．（Ａ）f （x ）＝ｃｏｓx ，x ≤０，ｓｉｎx ，x ＞０；（Ｂ）f （x ）＝１x，x ＞０，x ，x ≤０；（Ｃ）f （x ）＝x ＋１，x ≤０，x －１，x ＞０；（Ｄ）f （x ）＝１－ｅ－１／x ２，x ≠０，１，x ＝０．（７）下列函数在区间（－∞，１）∪［３，＋∞］内连续的是．（Ａ）f （x ）＝x ２＋２x －３；（Ｂ）f （x ）＝x ２－２x －３；（Ｃ）f （x ）＝x ２－４x ＋３；（Ｄ）f （x ）＝x ２＋４x ＋３．（８）若f （x ）在区间上连续，则f （x ）在该区间上一定取得最大、最小值．（Ａ）（a ，b ）；（Ｂ）［a ，b ］；（Ｃ）［a ，b ）；（Ｄ）（a ，b ］．答　（１）Ｄ；　（２）Ｄ；　（３）Ｂ；（４）Ａ；（５）Ｄ；　（６）Ｄ；　（７）Ｃ；　（８）Ｂ．解　（１）ｌｉｍx →x ０f （x ）是否存在与f （x ）在点x ０是否有定义无关，故应选（Ｄ）．（２）（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）都不正确．例如n →∞时n ｓｉｎn 是无界变量，而不是无穷大；n →∞时，n ｓｉｎn 是无界变量，n 是无穷大，而n ·n ｓｉｎn ＝n ２ｓｉｎn 是无界变量，不是无穷大；n →∞时，n 与－n 都是无穷大，但n ＋（－n ）＝０是一常量，不是无穷大．（Ｄ）正确．例如，设ｌｉｍu →∞u ０＝∞，　ｌｉｍu →∞v n ＝∞则对任意给定的M ＞０，存在正整数N １，N ２，使当n ＝N １，n ＞N ２时，恒有u n＞M ，v n ＞M取N ＝ｍａｘ｛N １，N ２｝，则当n ＞N 时，恒有u n v n＝u n ·v n＞M ·M ＝M２这表明ｌｉｍn →∞u n v n ＝∞．（３）易知f （１－０）＝f （１＋０）＝１，从而ｌｉｍx →１f （x ）＝１，故应选（Ｂ）．（４）因为ｌｉｍx →２（x ２－３x ＋２）＝ｌｉｍx →２（x －２）（x －１）＝０，因此，分子的极限也应为０，即应有x ２＋ax ＋b ＝（x －２）（x －c ）＝x ２－（２＋c ）x ＋２c由此得a ＝－（２＋c ），b ＝２c于是，由题设有ｌｉｍx →２x ２＋ax ＋b x ２－３x ＋２＝ｌｉｍx →２（x －２）（x －c ）（x －２）（x －１）＝ｌｉｍx →２x －cx －１＝２－c ＝－１由此得c ＝３，从而得a ＝－５，b ＝６．故应选（Ａ）．（５）因为。

经济数学基础微积分第六章习题解答

2
2 1

8
(8) 2 (1 x)5 dx 0
1(1 x)5dx 2 (x 1)5dx
0
1
1(1 x)5d(1 x) 2 (x 1)5d(x 1)
0
1
(1 x)6 1 (x 1)6 2
6
6
0
1
1 3
16
(9)
1
dx
0 x9 x
2
5
1 ln 21 2 20
(4) 2 (ex x)dx 0 (ex 1 x2 ) 2 20 e2 3
b
(5) a xdx (a b)
解：b a 0, 原式
b
xdx
1 x2 b 1 (b2 a2 )
a
2 a2
b 0 a,
原式
f (2) e4 0 极小值点 x 2
5、利用牛—莱公式计算下列积分：
4
21
(1) 1 (1 x )
dx x
4
2
21 (1 x) d x
4
2
2 (1 x) d(1 x)
1
2 (1
4
x )3
3
1
2
3
(2) 2 1 x3 dx
1 x2 x3
1 16
9 0 ( x 9 x)dx
1 16
1 16
9 0 x 9d(x 9) 9 0 xdx

1

2
(x

3
9) 2
16

1

2
3
x2
16
93

经济数学(定积分习题及答案)

第六章定积分习题 6－11.利用定积分的定义，计算由抛物线2y x =、直线x = a , x = b 及x 轴所围的图形的面积(0)S a b ≤≤.解将区间[],a b n 等分，则每个小区间的长均为i b ax n -∆=于是第i 个小区间为 (1),b a b a a i a i n n --⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦,取小区间的右端点为i ξ，即ib a a i n ξ-=+，则2()()(1,2,,)i b a f a i i n n ξ-=+=因为222211()()()(2)nnn i i i i a b a b a b aS f x a i i n n n ξ==---=∆=++∑∑ 2222111()2n n ni i i b a b a b a a a i i n n n ===⎡⎤---=++⎢⎥⎣⎦∑∑∑222(1)()(1)(21)226n n b a n n n b a b a na a n n n ⎡⎤+-++--=++⎢⎥⎣⎦222()(1)()(1)(21)()6a b a n b a n n b a a n n ⎡⎤-+-++=-++⎢⎥⎣⎦ 而222()(1)()(1)(21)lim ()6lim n n n a b a n b a n S n b a a n n →∞→∞⎡⎤-+-++=-++⎢⎣=⎥⎦()22()()3b a b a a a b a ⎡⎤-=-+-+⎢⎥⎣⎦223311()()()33b a a ab b b a =-++=-所以 2331d ().3b a x x b a =-⎰2.利用定积分的定义，计算下列积分：(1)1d x x⎰ (2)10d x e x ⎰解 (1) 将区间[]0,1n 等分，则每个小区间的长均为1i x n ∆=，于是第i 个小区间为1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 取小区间的右端点i x 为i ξ，即i i n ξ=，则()(1,2,,)i i f i n n ξ== 因为()11221()1112nn i i i nni i n n S f x i i n n n n ξ===+⋅=∆=∑∑∑ = ＝两端取极限，得2(1)1li l 22m m i n n n n n n S →→∞∞+== 所以11d 2x x =⎰.(2) 将区间[]0,1n 等分，则每个小区间的长均为1i x n ∆=，于是第i 个小区间为1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 取小区间的右端点i x 为i ξ，即iin ξ=，则 ()(1,2,,)i n i f e i n ξ==因为111112111(()()())nn i i i n n n n n n i i e e e e n S f x n ξ==⎡⎤===+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦∆∑∑111(1)1nn e e n e -=-两端取极限，得1111(1)(1l )1lim lim111imnnn n n nn ne e e e S e ne e n∞→∞→→∞--===---所以 10d 1x e x e =-⎰.2.利用定积分的几何意义，说明下列等式：(1)4π=⎰ (2)⎰-232cos ππx d x = 0(3)22sin 0xdx ππ-=⎰ (4)⎰-22cos ππxd x =2⎰20cos πxd x解 (1) 因为单位圆221x y +=在第一象限的方程为y =所以根据定积分的几何意义知0x⎰为单位园在第一象限的面积.故4x π=⎰.(2) 因为当322x ππ-≤≤时，曲线cos y x =在x 轴的上方和下方的曲边梯形的面积相等.所以根据定积分的几何意义知，322cos d 0x x ππ-=⎰.(3) 因为当22x ππ-≤≤时，函数sin y x =在x 轴上方和下方的曲边梯形的面积相等，所以根据定积分的几何意义知，22sin d 0x x ππ-=⎰.(4) 因为 cos y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为偶函数，其图形关于y 轴对称且都在x轴的上方，所以根据定积分的几何意义知，222cos d2cos dx x x x πππ-=⎰⎰.4.将下列极限表示成定积分：(1)2111 lim()14n n n n nn n n →∞++++++(2)1 lim n n →∞解（1）因为211114nn n nn n n++++++222211111121()1()1() 111()ninnn n ninn=⎡⎤⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦=+∑所以21lim)(1114n nn n nn n n→∞++++++1221111lim d11()nnixi n xn→∞===++∑⎰.（2）令1yn=[]1ln ln(1)ln(2)ln(2)lny n n n n n=⋅+++++-[] 1ln(1)ln(2)ln(2)lnn n n n n n=⋅+++++-112ln(1)ln(1)ln(1)nn n n n⎡⎤=⋅++++++⎢⎥⎣⎦111ln(1)nin n==+⋅∑因为lim lnny→∞＝11lim ln(1)nniin n→∞=+⋅∑＝1ln(1)dx x+⎰而yey ln=，所以1lim ln ln(1)dlim ny x xny e e→∞+→∞⎰==.习题6－2 1.确定下列定积分的符号：(1)21ln d x x x⎰ (2)4401cos d 2xx π-⎰(3)10sin cos d cos sin x x x x x x x -+⎰ (4)11||d x x-⎰解 (1) 因为被积函数()ln f x x x =在[1,2]上连续，且()0f x ≥，但()f x 不恒等于0，所以由性质6知,21ln d 0.x x x >⎰(2) 因为被积函数41cos ()2x f x -=在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，且()0f x ≥，但()f x 不恒等于0，所以由性质6知, 4401cos d 0.2x x π->⎰(3) 因为被积函数sin cos ()cos sin x x x f x x x x -=+在[]0,1上连续，且()0f x ≤，但()f x 不恒等于0，所以由性质6知, 10sin cos d 0.cos sin x x xx x x x -<+⎰(4) 因为被积函数()||f x x =在[-1,1]上连续，且()0f x ≥，但()f x 不恒等于0，所以由性质6知 11||d 0.x x ->⎰2.不计算定积分，比较下列各组定积分值的大小.(1)120d x x⎰与130d x x⎰ (2)320d x x⎰与330d x x ⎰(3)21ln d x x⎰与221ln d x x⎰ (4)43ln d x x⎰与423ln d x x⎰解 (1) 因为在[]0,1上，232(1)0x x x x -=-≥，即 23x x ≥ 所以 11230d d .x x x x ≥⎰⎰(2) 因为在[]1,3上，232(1)0x x x x -=-≤，即 23x x ≤所以 1123d d x x x x≤⎰⎰.(3) 因为在[]1,2上，20ln 1,ln ln ln (1ln )0x x x x x ≤<-=-≥即 2ln ln x x ≥所以 22211ln d ln d .x x x x ≥⎰⎰(4)因为在[3,4]上，1ln x <，()2ln ln ln 1ln 0x x x x -=-< 即 2ln ln x x <所以 44233ln d ln d .x x x x <⎰⎰3.估计下列积分值： (1)()4211d xx+⎰ (2)()52441sin d x x ππ+⎰(3)arctan d x x(4)202d x xe x -⎰解 (1) 因为被积函数2()1f x x =+在区间[]1,4上单调递增,所以在区间[]1,4上有22117x ≤+≤，14x ≤≤即故由定积分的估值定理，得()42161d 51xx ≤+≤⎰(2) 设被积函数()21sin f x x =+，则由()'sin20f x x ==，得驻点为 12,2x x ππ==.且()3532,1,,24242f f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即 211sin 2x ≤+≤故由定积分的估值定理，得()52441s i n d 2x x ππππ≤+≤⎰.(3) 设被积函数()arctan f x x x =，x ∈⎣ 因为'2()a r c t a n 01x f x x x =+>+，则()f x在⎣上单调递增，所以当x ∈⎣时，arctan f x x f ≤≤即arctan x x ≤故由定积分的估值定理，得2a r c t a n d.93x x ππ≤≤(4) 因为22022d d x x xxe x e x--=-⎰⎰，设被积函数2()x xf x e-=，[]0,2x ∈令()2'()210x xf x x e-=-=，得驻点为1411,(),(0)1,22x f e f -===且2(2)f e =，所以当[]0,2x ∈时， 2124xxee e --≤≤ 故由定积分的估值定理，得 212242d 2xxee x e --≤≤⎰即2102422d 2.x x e e x e---≤≤-⎰4.证明下列不等式：(1)2x π≤≤(2) 1126x π≤≤⎰证（1）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦而 20cos 1x ≤≤所以10,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 故由定积分的估值定理，得2x π≤≤（2）令()f x =()f x 在[]0,1上连续，且'()f x =令'()0f x =，得驻点23x =，且12(0)(1),()23f f f ===所以1[0,1]2x ∈故由定积分的估值定理，得1126x π≤⎰5.求下列极限：（1）10limd 1n xxn x e xe →∞+⎰（2）120lim d 1nn xxx→∞+⎰解 (1) 设被积函数()1n xx x e f x e =+，则[]()0,1f x 在上连续，由积分中值定理知，在区间（0，1）内，至少存在一点ξ，使得10d (0,1)11n x n x x e e x e e ξξξξ=∈++⎰ 故 10lim lim 01d 1n x n x n n x e e x e e ξξξ→∞→∞==++⎰.(2) 设被积函数1()1,()0,12n x f x f x x ⎡⎤=≤⎢⎥+⎣⎦则在上连续，由积分中值定理知，在区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内，至少存在一点ξ，使得1201d (0,)112n n x x x ξξξ=∈++⎰故120d l 1im lim 01n n n nx x x ξξ→∞→∞=++=⎰.6*. 设f (x ), g (x )在[a ,b ]上连续，求证：(1) 若在[a , b ]上，f (x )≥0且()d baf x x⎰=0，则在[a , b ]上, f (x )≡0;(2) (2) 若在[a , b ]上, f (x )≤g (x ) 且()d ()d bbaaf x xg x x=⎰⎰，则在[a , b ]上，必有 f (x )≡ g (x )解（1）用反证法.若)(x f 不恒等于为零，则至少存在一点] ,[0b a x ∈，使得)(0x f 0≠.不妨假设)(0x f ＞0，且) ,(0b a x ∈，则由)(x f 在]b , [a 的连续性知，0lim ()()0x x f x f x →=>，根据定理 2.3得推论2知，在点0x 的某个邻域内，就必有0)(21)(0>>x f x f .于是由性质4，得0000()d ()d ()d ()d bx x baax x f x x f x x f x x f x xδδδδ-+-+=++⎰⎰⎰⎰0000001()d ()d ()02x x x x f x x f x x f x δδδδδ++--≥>⋅=⋅>⎰⎰由此与已知⎰=bax x f 0d )(矛盾，反证法之假设不成立，即()0f x ≡.（2）令)()()(x f x g x F -=，则在]b , [a 上就必有0)(≥x F ，且d )(=⎰x x F ba.由（1）的结论可知，在]b , [a 上就必有0)(≡x F ，即)()(x g x f ≡.7*. 设f (x )在区间[a , b ]上连续，g(x)在区间[a , b ]上连续且不变号，求证至少存在一点ξ∈(a , b)，使得⎰⎰=ba b a x x g f x x g x f d )()(d )()(ξ.证因为)(x f 在]b , [a 上连续，必有最大值M 和最小值m ，所以 ] , [b a x ∈∀，有()m f x M ≤≤.设0)(>x g ，则有 )()()()(x Mg x g x f x mg ≤≤由定积分的性质5，得⎰⎰⎰≤≤bababaxx g M x x g x f x x g m d )(d )()(d )(于是，有Mxx g xx g x f m baba≤≤⎰⎰d )(d )()(又由介值定理知，在( , )a b 内，必存在一点ξ，使得()()d ()()d baba f x g x xf g x xξ=⎰⎰故⎰⎰=b abaxx g f x x g x f d )()(d )()(ξ (,)a b ξ∈.习题 6－31. 1. 已知函数sin d xy t t=⎰，求当x = 0及4x π=时, 此函数的导数.解因为'sin d )'si (n xy x x x==⎰所以 00'|sin |sin 00x x y x =====44'|sin |sin4x x y x πππ====2. 2. 求由00d cos d 0y xt e t t t +=⎰⎰决定的隐函数y （x ）对x 的导数. 解将方程两边对x 求导并注意到y 为x 得函数，得'cos 0y e y x ⋅+=解出'y ，得 'c o s yy e x -=-.3. 3. 当x 为何值时，2()d x t I x te t-=⎰有极值？此极值是极大值还是极小值？解由2'()0xI x xe -==，得驻点0x =，而当0x <时，'()0I x <，当0x >时，'()0I x >所以，当0x =时，()I x 有极值，此极值是极小值(0)0I =.4. 4. 计算下列导数：(1)20d d x t x ⎰(2)32d d x x t x ⎰202d (3)cos d d x t t t x ⎰解(1) 22'0d ()2d xt x x ==⎰323'2'd (2))()d x x t x x x =-⎰2=20224234d (3)cos d cos ()'2cos .d x t t t x x x x x x =-⋅=-⎰5. 5. 计算下列定积分：(1) 2214()d x t x x ++⎰(2) 220()d x a x +(3) 1⎰ (4) 42021331d 1x x xx -+++⎰(5)52032d x x x-+⎰ (6)101d x x -⎰| (7)(1)d xt t t-⎰ (8)d ()bax x a b <⎰(9) 21(1)()1(1)2x x f x xx ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩, 求20()d f x x ⎰.解 (1)23221147()d (4ln )4ln 233x x t x x tx tx ++=++=++⎰.00222d()d 11(2)1 1 (().033)x x a a x x a aa aa ππ===-=++(3) 1110012d()11arcsin 222x xπ===⎰⎰.420222113013311(4)d (3)d 11(arctan )| 1.4x x x x xx x x x π---++=+++=+=+⎰⎰(5) 因为被积函数22232,01,2532(32),12x x x x x x x x x ⎧-+≤≤≤≤⎪-+=⎨--+<<⎪⎩或所以122201520(32)32d (32d d )x x x x x x xx x =-+--++-⎰⎰⎰5221(32)d 14.2x x x +-+=⎰ (6) 因为在本题中，变量为x 且01x ≤≤，t 为参数，但是可以取任意实数，即本题结果应为t 的函数. 所以设1()d I t x t x=-⎰，则当0t ≤时，得111()d ()d 2I t x t x x t x t =-=-=-⎰⎰当01t <<时, 得11201()d ()d ()d 2ttI t x t x t x x x t x t t =-=-+-=-+⎰⎰⎰当1t ≥时, 得111()d ()d 2I t x t x t x x t =-=-=-⎰⎰故 21, 021(), 0121, 12t t I t t t t t t ⎧-≤⎪⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩.(7) 因为被积函数(1), 0(1)(1),01(1), 1t t t t t t t t t t t -≤⎧⎪-=--<≤⎨⎪-≥⎩，且x 为参数可取一切实数，所以应分下列情况讨论：当0x ≤时，有320()(1)d 32xx x I x t t t =-=-⎰当01x <<时，有320()(1)d 32xx x I x t t t =-=-+⎰ 当1x ≥时，有320111()(1)d (1)d 323xx x I x t t t t t t =-+-=-+⎰⎰故 323232,032(),01321,1323x x x x x I x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩.(8) 令被积函数0x =,得0x =，按数0在区间[],a b 的不同位置状况，可分为下列几种情况：① 当0a b <<时，得221d d ()2b b a a I x x x x b a ==-=--⎰⎰② 当0a b <<时，得02201d d ()2b a I x x x x b a =-+=+⎰⎰ ③ 当0a b <<时，得221d ()2b a I x x b a ==-⎰故综上所述，有2222221(), 021(), 21(), 002bab a a b b a b a I x dx a bb a --<<+⎧⎪⎪⎪==<<⎨⎪-<<⎪⎪⎩⎰.(9) 因为21(1)()1(1)2x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩所以 212120101208()d ()d (1)d ()d 23d f x x f x x f x x x x x x +=++==⎰⎰⎰⎰⎰.6. 6. 求下列极限：(1)001lim (1sin 2)d xx t tx →+⎰(2) 2001lim arctan d x x t t x →⎰(3)22limcos d x x x t t → (4)* 2220lim d xx t x e t e t x-→∞⎰解 (1) 0001lim(1sin lim(1sin 2) 1.2)d xx x t x t x →→+==+⎰(2)202000arctan 1lim arc 21lim lim 222(1tan )d x x x x x x x t t x →→→==+=⎰.(3)2222400cos dlim4cos0d.xx xxxtxtxt t→→→===222222222222dlim lim(12)1(4)lim dlim.2(12)x txx xx xtx x xxt e t x exe e xxxet e tx-*→→∞→∞→∞∞=+==+=⎰⎰7*. 设23,[0,1)(),[1,2]x xf xx x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，求()()dxx f t tΦ=⎰在[0，2]的表达式，并讨论Φ(x)在[0, 2]上的连续性与可导性.解因为当10<≤x时，⎰==Φxxttx323d)(当21≤≤x时，4123011()d d124x xx t t t tΦ=+=+⎰⎰所以)(xΦ的表达式为34, 013()1, 12412xxxxx⎧≤<⎪⎪Φ=⎨⎪+≤≤⎪⎩又因为)(xf在区间)1,0[与]2,1(上为初等函数，显然为连续函数.2311111lim()lim1,lim()lim1lim()1x x x xxf x x f x xf x--++→→→→→=====而即由1lim()(1)1xf x f→==知，)(xf在1=x处连续. 所以)(xf在区间]2,0[上连续. 故由定理6.5知，函数)(xΦ在区间]2,0[上可导.8*.设f(x)在[a, b]上可积，求证：当x∈(a, b)时，Φ(x)=0()dxf t t⎰在[a, b]上连续(提示: 注意可积函数的有界性).证因为设对任意的x, x x+∆∈(a, b)时,有()()()()d()d()dx x x x xa a xx x x x f t t f t t f t t+∆+∆Φ=Φ+∆-Φ=-=⎰⎰⎰又由f(x)在[a, b]上可积知,存在常数M>0, 使得()f x M≤所以()()d dx x x xx xx f t t M t M x+∆+∆∆Φ=≤≤∆⎰⎰而00lim0,lim()0x xx x∆→∆→∆=∆Φ=则故()xΦ在[a, b] 上任意一点x处连续, 即()xΦ在[a, b]上连续.习题6－41. 计算下列定积分：(1)30(1sin )d x xπ-⎰(2) 1x(3)x(4)2120d t tet-⎰(5)21ex⎰ (6)22cos cos 2d x x x ππ-⎰(7)22xππ-⎰(8)xπ⎰解 (1) 330(1sin )d d sin d x x x x xπππ-=-⎰⎰⎰20d (1cos )d cos x x xππ=+-⎰⎰3014(cos cos )33x x x ππ=+-=-12242222224422244cos (2)sin d sin sin cos 1sin d d sin sin 1 d d 1.4sin t x x t txtt t t tt tt t tπππππππππππ=-===-=-⎰⎰⎰⎰⎰令202201(3)21 13).()2x x a a x =-==--(4)222120112122200d()1.2d t t t te e t e et ------=-=-=⎰⎰2221211121(5)(1ln )d(1ln )2(1ln)1).e e e x x x x -=++=+=⎰⎰22202222032200(6)cos cos 2d 2(12sin )d sin 2d sin 4sin d sin 42 2sinsin .33x x x x xx x xx x πππππππ-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰22(7)2x xππ-=⎰11222203222sin(cos )d 2(cos )d cos 24 2(cos ).33x x xx x x πππ==-=-⋅=⎰⎰2202(8)d d d x x xx x x xxx πππππππ==-=-=⎰⎰⎰2. 2. 利用函数的奇偶性计算下列定积分：(1)sin d x x ππ-⎰ (2)422sin d x xππ-⎰(3)12x⎰(4)323423tan d 21x xx x x -++⎰解（1）因为sin x 在[],ππ-上为奇函数，所以sin d 0x x ππ-=⎰.（2）因为4sin x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是偶函数，所以 22202422222000122111 sin 21cos 2sin d ()d (12cos 2cos 2)d 21cos 4d 2113 sin 4.4422826212x x x x x x x xx x x πππππππππππ---++===⋅-=⋅++⋅+⋅=⎰⎰⎰⎰（3）因为221)(arcsin x x -在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是偶函数，所以1122202x x=⎰⎰11323220022(arcsin )d(arcsin )(arcsin )|.3324x x x π===⎰（4）因为3242tan 21x x x x ++在[]3,3-上是奇函数，所以323423tan d 021x xx x x -=++⎰.3. 证明下列各题：(1) 1122111d d 11x x t tt t =++⎰⎰(2)11(1)d (1)d mn n m x x x x x x-=-⎰⎰(3) 20sin d 2sin d nn x x x x ππ=⎰⎰证 (1) 令211,d d t t y y y ==-，则11112222111d d 1d d 1111xxxx y y t t ty yt =-===++++⎰⎰⎰⎰左端 = 右端.10111(1)d 1(1)d (1)d (1)d m n m n n m n m x x x x u u u uu u u x x x =-=---=-=-=⎰⎰⎰⎰(2)左端令右端.2022202(3)sin d sin ()d()222cos d 2cos d n n nn x x x u u u u u u uπππππππππ--==+++==⎰⎰⎰⎰左端令2022sin d 2sin d 2nn u y y y x x πππ===--⎰⎰令右端.4.* 设()f x 在[0,1]上连续且单调减少，求证：对任给()0,1α∈，均有1()d ()d f x x f x xαα>⎰⎰证由于1()d ()d f x x x t f t tαααα=⎰⎰令, 则当01,0t α<<<<时，01,0t t t αα<<<<<且又由已知()f x 在[0,1]上单调减少，所以()()f x f x α≥于是11()d ()d ()d f x t f t t f t tαααα=>⎰⎰⎰即 10()()f x dx f x dxαα>⎰⎰.5. 5. 计算下列积分：(1)1d x xe x -⎰ (2)1ln d ex x x⎰(3)41x⎰ (4)1arctan d x x x⎰ (5) 220cos d x e x x π⎰ (6)2(sin )d x x xπ⎰ (7)1ln d e ex x⎰(8)1(1)3d xx x-⎰(9)21cos ln d e x x xπ⎰解 (1)1111100002d d 1.x x x x xe x xe e x e e e -----=-+=--=-⎰⎰(2)22221111111ln d (1).2224l 4n d eee ex e x x x x x x e x -==-=+⎰⎰(3)44112ln x x =⎰⎰411422112ln 2d 8ln 244(2ln 21)x x x x-=-=-=-⎰.221011020101arctan |d 221111 ( 4)arcta (arctan ).24d 22n 4x x x x x x xx x x ππ-+=⋅--=-=⎰⎰222222022220220sin 2sin d 2cos 4cos d 24(5)c c s o o s d d xxx xx x exe x xe exe x xe e x x xex ππππππππ-=-=+=--⎰⎰⎰⎰移项解得 22c o sd 1(2)5.xe x x e ππ=-⎰22003203230301 si 1(6)(sin n 2642)d (1cos 2)d 21 cos 2d 62si 1 co n s 2.644642d cos 2d x x x x x xx x x x x x x x x x x x xππππππππππππ=-+=-+=--=-=⎰⎰⎰⎰⎰ (7) 令 ln 0x =，则1x =1111111111ln d ln d ln d 1 ln d ln |d 2(1).eeeee eeex x x x x xx x x x x x e =-+=-++-=-⎰⎰⎰⎰⎰111101221(8)(1)3d (1)3ln 3(1)1 33ln 3ln 311ln 32 3.ln 3(ln 3)ln 3x x xxxx x x d x dx -=--=--=-=⎰⎰⎰222211121(cos(ln)|sin(ln )d9)cos ln 1cos(ln d d )e e e e x x x x x xe x xπππππ+=--=⎰⎰⎰移项解得 212co 1(1s ln d ).2e x x e x ππ=-⎰6. 已知20cos d (2)x x x π+⎰= m , 求20sin cos d 1x x x x π+⎰.解2200sin cos sin 2d d 2122x x x x x t x x x ππ==++⎰⎰01sin d 22t t t π+⎰ 02011d(cos )221cos 1cos 111d ().0222222(2)t t t t t m t t ππππ=-+=-⋅+=+-+++⎰⎰ 7. 设2(2),()d .xyba bf x a xe f t t ++=⎰求解设2t x a =+，则222222()d 2(2) d 2d 2d (2).y a y a x b b x y a y a yb a b bbx y a b bf t t f x a x x e xxbe b e x b y a b e b ----+-=+=⋅⎡⎤=⋅-=--⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰8. 设1(2)2f =，'(2)0f =，20()d 1f x x =⎰，求12''0(2)d x f x x⎰. 解 201''2011(2 d )d (2)2x f x x f x x '=⎰⎰习题 6－51. 利用定义判断下列广义积分的敛散性，如果收敛，试计算其值.(1)411d x x +∞⎰ (2)2d 22xx x +∞-∞++⎰(3)0d axe x +∞⎰(4)0(1)d a x x+∞+⎰(5)21x⎰(6)1e⎰(7)220d (1)x x -⎰(8)2()d (0)aax a xa α->⎰解（1）344111111d limd lim ()3ttt t x x x xx +∞-→+∞→+∞==-⎰⎰3111lim ().333t t -→+∞=-+=（2）02220d d d 222222x x xx x x x x x +∞+∞-∞-∞=+++++++⎰⎰⎰02200220d d lim lim 2222d(1)d(1)lim lim .1(1)1(1)t t t t t t t t x x x x x x x x x x π→-∞→+∞→-∞→+∞=+++++++=+=++++⎰⎰⎰⎰（3）当a < 0时， 01lim d t ax t e x a →+∞=-⎰,所以广义积分收敛于1a -；当a ≥0时，0limd t axt e x→+∞=+∞⎰,所以广义积分发散.（4）当a < -1时，01lim (1)d 1a t x x a +∞→+∞+=-+⎰，所以广义积分收敛于11a -+；当a ≥-1时，0lim (1)d a t x x +∞→+∞+=∞⎰, 所以广义积分发散.（5）因为21210lim lim 1)d t tεεε+++→→+⎰30182lim (33t t ε+→=+=所以广义积分收敛且收敛于83.（6）因为 x = e 为瑕点，且存在ε>0,有0011lim lim e e εεεε++--→→=⎰⎰01lim arcsin(ln )lim[arcsin ln()arcsin(ln1)]e x e εεεε++-→→==--arcsin12π==.所以原瑕积分收敛，且1.2eπ=⎰（7）因为212222001d d d (1)(1)(1)x x xx x x =+---⎰⎰⎰且112(1)1lim lim 1x dxxεεεε++---→→==+∞-⎰即120d (1)x x -⎰发散, 所以原瑕积分发散.(8) 因为212()()d 1aaaax a x a x ααα+--=+⎰,且当 α= -1时，2()d aax a xα-⎰原式发散；当α< -1时，221()d 1(1)()aaaax a x x αααα-==∞--+-⎰发散；当 α> -1时，原式=12()d (1)aaa x a x ααα+-=+⎰收敛.所以当α≤-1时，原式发散；当α> -1时，原式收敛于1(1)a αα++.2. 2. 当k 为何值时，广义积分2d (ln )k xx x +∞⎰收敛？k 为何值时，该广义积分发散？k 为何值时，该广义积分取得最小值？解因为1222(ln )d (ln )d(ln )lim1(ln )bk kkb x x x x kx x -+∞+∞-→∞==-⎰⎰而当1=k 时，广义积分发散；当1<k 时，112d 1lim[ln ln 2]1(ln )k kk b x b k x x +∞--→∞=-=∞-⎰，广义积分发散；当1>k 时，1122d 11lim(ln )(1)(ln )(1)(ln 2)bkk k b x x x k x k +∞--→∞-==--⎰所以当1≤k 时，积分发散；当1>k 时，广义积分收敛于11(1)(ln 2)k k --.又设1(ln 2)()1k F k k -=-，则12(ln 2)[ln(ln 2)ln(ln 2)1]()(1)k k F k k --+'=-由0)(='k F ，得驻点011ln(ln 2)k =-，且当0k k <时0)(<'k F ，当0k k >时0)(>'k F ，故当11ln(ln 2)k =-时，该广义积分取得最小值. 3. 已知0sin d 2x x x π+∞=⎰，求证：（1）0sincos d 4x x x x π+∞=⎰ （2）220sin d 2x x x π+∞=⎰ 证（1）00sin cos 1sin 21d d(2).22224x x x x x x x ππ+∞+∞==⋅=⎰⎰ 222002000sin 1(2)d sin d()sin 2sin cos d 0sin 2sin d 2d .2xx x x x x x x xx xx t x t x t x t π+∞+∞+∞+∞+∞=-+∞=-+===⎰⎰⎰⎰⎰4*.求函数2()(2)dx tf x t e t-=-⎰的最大和最小值.解因f(x)为偶函数，则只需求f(x)在[0，+∞）内的最值.令222'()2(2)0xf x x x e-=-=，则得驻点为x=且当0x<'()f x> 0,当x>, '()f x< 0，故x=f(x)在[0，+∞]的极大值点，也是最大值点，且222200max()(2)d(2)d1t t tf x f t e t t e e t e----==-=--=+⎰⎰－而000()lim()(2)d(2)d1t t txf f x t e t t e e t+∞+∞+∞---→+∞+∞==-=---=⎰⎰(0)0f=所以min()(0)0.f x f==5. 用欧拉函数表示下列积分,并指出它们的收敛范围:（1）0d(0)nxe x n+∞->⎰(2)101(ln)d p xx⎰(3)()d0nm xx e x n+∞-≠⎰(4)1d(1)mnxxx-+∞+⎰解（1）11100111d d() (0)nx un ne x x u e u x nn n n-+∞+∞--==Γ>⎰⎰（2）10(1)10011(ln)d ln d dp p u u px u u e u e u ux x+∞--+-+∞=-=⎰⎰⎰(1) (1)p p=Γ+>-.(3)11001111d d()(0)nmm x n u nm mx e x u x e u un n n n+-+∞+∞--++==Γ>⎰⎰.（4）111()100d, (1)d11(1)mm n mnx x ux u x u u ux ux-+∞---==-+-+⎰⎰(,) (0)m n m n mβ=->>6. 利用欧拉积分计算下列积分：（1）0x⎰（2）642sin cos dx x xπ⎰解（1）331112233(1)d(,)22x x x xβ--=-=⎰⎰311311112(,)(,)22242228πββ-==⋅=.（2）令112221sin,d(1)d2u x x u u u--==-7511164222001sin cos d(1)d2x x x u u uπ--=-⎰⎰1751155133(,)(,).2222222888512ππββ=⋅=⋅=⋅⋅=7*.判别下列广义积分的敛散性：（1）21ln sin d xx x x +∞⎰(2）11d x x +∞⎰（3）0x ⎰ （4）201(1cos )d x x x π-⎰解（1）因为 [)1,,x ∀∈+∞有ln sin ()0x x f x x x =⋅≥而32lim ()limsin 0x x x f x x →+∞==故广义积分21ln sin d xx x x +∞⎰收敛.（2）因为 [)1,,x ∀∈+∞有1arctan 1()0f x x==≥而121sin lim()lim201x x x x f x x→+∞=⋅=>故广义积分11d xx +∞⎰发散.（3）因为 x = 0为瑕点，且(]0,1,x ∀∈恒有()01f x e=≥-且连续.而12sin 0lim ()lim lim 1sin 1x x x x x xx f x x e +++→→→⋅===-故广义积分1sin 0d 1x x e -⎰收敛.（4）因为x = 0为瑕点，且0,2x π⎛⎤∀∈ ⎥⎝⎦，恒有1cos ()0nx f x x -=≥ 而 2000, 21lim ()lim 0, 2 2p n p x x n p x f x n p x ++--→→>-≥⎧=⎨=-<⎩ 所以当1p ≥时,得 12n -≥,即3n ≥时，该积分发散;当0< p < 1时，得n - 1 < 2，即n < 3时，广义积分201(1cos )d x x x π-⎰收敛.综合习题六1.填空: (1) 若1120()d ()d ,a xf x x f x x =⎰⎰则a = .(2)12(2)d ()d ,b xf x x xf x x =⎰⎰若则b = .(3 ) 若2(23)d 0, .kx xx k -==⎰ 则(4 ) 若(1)d ,xy t t =-⎰则y 的极小值为 .解（1）2 ；（2） 4；（3）1 、0；（4）12-.2. 单项选择：（1）下面积分错误的是（）.①22sin d 0x x ππ-=⎰②122x x π-==⎰⎰③1211d 121xx x -=-=--⎰④22(6x x π--=-⎰(2)下列广义积分中，（）不收敛. ①11lnd 1x x -⎰②12()d 112e x x x +∞+-+⎰③42x⎰④e+∞⎰（3）若1(1ln )d e I x x=-⎰，则下列不等式（）是正确的.①10I e <<②1I e -<<③01I e ≤≤- ④1I e <<（4）若011()d ()22xf t t f x =-⎰且f （0）=1，则f （x ）=（）. ①2xe ②12x e ③2x e ④212x e解（1）③; （2）④; （3）③; （4）③.3.计算下列极限：（1）1lim n n i n →∞= （2）112limp p p p n n n +→∞+++（3）lim ()d x ax a x f t t x a →-⎰（其中()f t 为连续函数）(4）2(arctan )d limxx t t 解（1）11lim n n i x n →∞==⎰=1)x +⎰()32122(1)133x =+=|10（2）11121limlim pp p pn p n n i n i n n n +→∞→∞=+++⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ 1011d 1p x p x ==+⎰（3）因为f （x ）为连续函数,(()d )'()xaf t t f x =⎰且由积分中值定理有()()d ()xaf t t f x a ξ=-⎰且a x ξ<<所以 ()()l i m ()d l i m x a x a x a x x f x a f t t x a x a ξ→→⋅⋅-=--⎰lim ()().x axf af a ξ→==(4)2(arctan )d limxx t t2(arctan )d limxx t t x ⋅=2220(arctan )d limlim (arctan )4xx x t tx xπ→+∞→+∞===⎰4.计算下列积分：（1）20sin d 1cos x xxx π++⎰ (2)40ln(1tan )d x xπ+⎰(3)20(sin )d x x xπ⎰(4)2201d 1cos xx π+⎰解（1）因为222000sin sin d d d 1cos 1cos 1cos x x x x x x x xx x πππ+=++++⎰⎰⎰而 222200d 1sec d d(tan )1cos 222x x x x x x x x πππ==+⎰⎰⎰ =2200tan tan d ln 2222x x x x πππ⋅-=-⎰2200sin 1d d(1cos )1cos 1cos x x x x x ππ=-+++⎰⎰20ln(1cos )ln 2x π=-+=所以20sin d (ln 2)ln 21cos 22x x x x πππ+=-+=+⎰.（2）因为4ln(1tan )d 4x x x tππ+=-⎰令041tan ln[1] d(-)1tan tt t π-++⎰440[ln 2ln(1tan )] d ln 2ln(1tan )d 4t t x xπππ=-+=-+⎰⎰所以41ln(1tan )d ln 2ln 2248x x πππ+=⋅=⎰.（3）因为222001(sin )d d cos 2 d 22x x x x x x x x πππ=-⋅⎰⎰⎰而 230 d 26x x ππ=⎰220020011cos 2 d d(sin2)2411 sin 2sin 2 d d(cos 2) 424x x x x x x x x x x x x πππππ==-=⎰⎰⎰⎰0cos 2sin 2484x x x πππ⋅=-=所以 32(sin )d 64x x x πππ=-⎰.（4）令 tan x = t, 则x = arctan t,2d d 1t x t =+ 且221cos 1x t =+22200021d 1d 1cos 21t x xt π+∞+∞=+++⎰⎰⎰lim b →+∞=. 5. 计算下列广义积分.（1）221ln d (1)x xxx +∞+⎰(2)3022arctan d (1)x xx +∞+⎰(3) ⎰2d sin ln πxx(4)1x⎰解 (1)22211ln 11d ln d()2(1)1x x x x x x +∞+∞=-++⎰⎰22111ln 111lim ()lim d 2211bb b b x x x x x →+∞→+∞=-+⋅++⎰2111lim ()d 21b b xx x x →+∞=-+⎰20111lim ln ln(1)ln 2224bb x x →+∞⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦.(2) 2arctan , tan , d d sec x t x t x t t ===令则且2223/223/200arctan d sec d (1)(1tan )x t x t t x t π+∞==++⎰⎰2cos d t t tπ⎰222000d(sin )sin sin 1.2t t t ttdt ππππ==-=-⎰⎰(3) 因为1211/2ln sin lim ()lim lim (2)cos 0sin x x x x xx f x x x xx+++-→→→==-=。

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1 经济数学基础综合练习及参考答案第二部分积分学一、单项选择题 1．在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（）． A．y = x2 + 3 B．y = x2 + 4 C．y = 2x + 2 D．y = 4x

2. 若10d)2(xkx= 2，则k =（）．

A．1 B．-1 C．0 D．21 3．下列等式不成立的是（）． A．)d(edexxx B．)d(cosdsinxxx

C．xxxdd21 D．)1d(dlnxxx

4．若cxxfx2ed)(，则)(xf=（）. A. 2ex B. 2e21x C. 2e41x D. 2e41x 5. )d(exx（）． A．cxxe B．cxxxee C．cxxe D．cxxxee 6. 若cxxfxx11ede)(，则f (x) =（）． A．x1 B．-x1 C．21x D．-21x 7. 若)(xF是)(xf的一个原函数，则下列等式成立的是( )． A．)(d)(xFxxfxa B．)()(d)(aFxFxxfxa

C．)()(d)(afbfxxFba D．)()(d)(aFbFxxfba 8．下列定积分中积分值为0的是（）． A．xxxd2ee11 B．xxxd2ee11

C．xxxd)cos(3 D．xxxd)sin(2 9．下列无穷积分中收敛的是（）． A．1dlnxx B．0dexx C．12d1xx D．13d1xx

10．设R(q)=100-4q ，若销售量由10单位减少到5单位，则收入R的改变量是（）． A．-550 B．-350 C．350 D．以上都不对 11．下列微分方程中，（）是线性微分方程． A．yyyxln2 B．xxyyye2 C．yyxye D．xyyxyxlnesin 12．微分方程0)()(432xyyyy的阶是（）. 2

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题 1．xxded2 ． 2．函数xxf2sin)(的原函数是． 3．若cxxxf2)1(d)(，则)(xf . 4．若cxFxxf)(d)(，则xfxx)de(e= .

5．e12dx)1ln(ddxx . 6．1122d)1(xxx ． 7．无穷积分02d)1(1xx是．（判别其敛散性） 8．设边际收入函数为R(q) = 2 + 3q，且R (0) = 0，则平均收入函数为． 9. 0e)(23yyx是阶微分方程. 10．微分方程2xy的通解是．

三、计算题 ⒈ xxxd1sin2 2．xxxd2 3．xxxdsin 4．xxxd1)ln( 5．xxxd)e1(e3ln02 6．xxxdlne1

7．2e11d1lnxxx 8．xxxd2cos2π0 9．xxd)1ln(1e0 10．求微分方程12xxyy满足初始条件47)1(y的特解． 11．求微分方程0e32yyxy满足初始条件3)1(y的特解． 12．求微分方程xxyyln满足 11xy的特解. 13．求微分方程yyxylntan的通解． 14．求微分方程xxyyxln的通解. 15．求微分方程yxy2的通解． 16．求微分方程xxyyxsin的通解． 3

四、应用题 1．投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为)(xC=2x + 40(万元/百台). 试求

产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低. 2．已知某产品的边际成本C(x)=2（元/件），固定成本为0，边际收益R(x)=12-0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？ 3．生产某产品的边际成本为C(x)=8x(万元/百台)，边际收入为R(x)=100-2x（万元/百台），其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？ 4．已知某产品的边际成本为34)(xxC(万元/百台)，x为产量(百台)，固定成本为

18(万元)，求最低平均成本. 5．设生产某产品的总成本函数为 xxC3)((万元)，其中x为产量，单位：百吨．销售x百吨时的边际收入为xxR215)(（万元/百吨），求： (1) 利润最大时的产量； (2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？

试题答案一、单项选择题 1. A 2．A 3. D 4. D 5. B 6. C 7. B 8. A 9. C 10. B 11. D 12. C

二、填空题

1. xxde2 2. -21cos2x + c (c 是任意常数) 3. )1(2x 4. cFx)e( 5. 0 6. 0 7. 收敛的 8. 2 + q23 9. 2 10. cxy33 三、计算题

⒈ 解 cxxxxxx1cos)1(d1sind1sin2 2．解 cxxxxxx22ln2)(d22d2 3．解 cxxxxxxxxxxsincosdcoscosdsin

4．解 xxxd1)ln(=xxxxxd1)(21ln1)(2122 =cxxxxx4)ln2(2122 5．解 xxxd)e1(e3ln02=3ln02)ed(1)e1(xx= 3ln03)e1(31x=356 4

6．解 )(lnd2ln2)2(dlndlne1e1e1e1xxxxxxxxx e1e

14e2d2e2xxx

e24d2e2e1xx

7．解 xxxdln112e1=)lnd(1ln112e1xx=2e1ln12x=)13(2

8．解 xxxd2cos20=202sin21xx-xxd2sin2120=202cos41x=21 9．解法一 xxxxxxxd1)1ln(d)1ln(1e01e01e0 =xxd)111(1e1e0 =1e0)]1ln([1exx＝eln=1 解法二令1xu，则 uuuuuuuxxd1lndlnd)1ln(e1e1e11e0=11eeee1u

10．解因为 xxP1)(，1)(2xxQ 用公式 ]d1)e([ed12d1cxxyxxxx]d1)e([eln2lncxxxx xcxxcxxx24]24[1324

由 4712141)1(3cy，得 1c 所以，特解为 xxxy1243 11．解将方程分离变量：xyyxydede32 等式两端积分得 cxy3e31e212

将初始条件3)1(y代入，得 c33e31e21，c =3e61 所以，特解为：33ee2e32xy 12．解：方程两端乘以x1，得

xxxyxyln2

即 5

xxxyln)(

两边求积分，得 cxxxxxxxy2ln)(lndlndln2 通解为： cxxxy2ln2 由11xy，得1c 所以，满足初始条件的特解为：xxxy2ln2

13．解将原方程分离变量 xxyyydcotlnd 两端积分得 lnlny = lnC sinx 通解为 y = eC sinx

14. 解将原方程化为：xyxyln11，它是一阶线性微分方程，

xxP1)(，xxQln1)(

用公式 ()d()de[()ed]PxxPxxyQxxc]deln1[ed1d1cxxxxxx ]deln1[elnlncxxxx ]dln1[cxxxx )ln(lncxx 15．解在微分方程yxy2中，xxQxP2)(,1)(

由通解公式)de2(e)de2(eddcxxcxxyxxxx )e2e2(e)de2e2(ecxcxxxxxxxx

)e22(xcx 16．解：因为xxP1)(，xxQsin)(，由通解公式得

)desin(ed1d1cxxyxxxx

=)desin(elnlncxxxx =)dsin(1cxxxx =)sincos(1cxxxx

四、应用题 1．解当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为 64d)402(xxC

=642)40(xx= 100（万元）