《经济数学基础》综合练习(线性代数)
经济数学基础作业3(电大)
经济数学基础作业3（线性代数部分第1章行列式——第二章矩阵）知识要点：1．行列式的概念和性质掌握二阶和三阶行列式的计算。
了解行列式的性质：特别是性质1、性质3、性质5。
2．了解矩阵和几类特殊矩阵的概念3．理解矩阵可逆与逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件； 4．知道方阵的行列式性质： 设B A ,是n 阶方阵，k 是数，则（1）B A AB ⋅=；（2）A k kA n =；（3）A A T =； （4）若A 可逆，则AA 11=- 5.了解矩阵秩的概念； 6.理解矩阵初等行变换的概念： （1）将矩阵的某两行对换位置； （2）将某一行遍乘一个非零常数k ；（3）将矩阵的某一行遍乘一个非零常数k 加到另一行。
7．熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算。
掌握这几种运算的有关性质，注意：（1）矩阵的乘法一般不满足交换律，即AB =BA 不一定成立； （2）在矩阵的乘法中存在,0,0≠≠B A 有0=AB ；（3）矩阵乘法的消去律不成立，即,0≠A 且AC AB =，不能导出C B =。
8．熟练掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵，熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵。
一）填空题1.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=161223235401A ，则A 的元素__________________23=a . 解：A 的元素23a 表示矩阵中第2行与第3列交叉的元素，即23a =3。
2.设B A ,均为3阶矩阵，且3-==B A ，则T AB 2-=________. 解：因为 若B A ,是n 阶方阵，k 是数，则B A AB ⋅=，A k kA n =，A A T =因此B A B A AB T T ⋅-=⋅-=-8)2(23=72)3()3(8-=-⨯-⨯-3.设B A ,均为n 阶矩阵，则等式2222)(B AB A B A +-=-成立的充分必要条件是. 解：因为222))(()(B AB BA A B A B A B A +--=--=-222B AB A +-=的充分必要条件是AB =BA4. 设B A ,均为n 阶矩阵，)(B I -可逆，则矩阵X BX A =+的解______________=X . 解：因为： X BX A =+，则A X B I =-)(，A B I X 1)(--=5.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=300020001A ，则__________1=-A . 求逆矩阵的初等行变化法：),(),(1-→⋅⋅⋅⋅⋅⋅→A I I A),(3100021001100010001100010001300020001),(1-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A I I A⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-310002100011A （二）单项选择题1. 以下结论或等式正确的是（ ）． A ．若B A ,均为零矩阵，则有B A = B ．若AC AB =，且O A ≠，则C B = C ．对角矩阵是对称矩阵 D ．若O B O A ≠≠,，则O AB ≠ 解：A 不正确。
2022年经济数学基础综合练习题及解答
“经济数学基本”综合练习题及解答（合计59道）注意：如下7道大题中5道以原题浮现，2道类型相仿，每题10分如下3题中必有一道以原题浮现 1/1、求极限4331lim 31x x x x -+→∞-⎛⎫⎪+⎝⎭()4343433129lim43lim43131323133lim lim lim 1313131x x x x x x x x x x x x x x e x x x →∞→∞-+-+-+---+++→∞→∞→∞-+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+== ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭解：=ee1/2、求极限0x →解：220023303~3,2~22433=lim lim 43344x x x Sin x x x x x x x →→→=⨯==当时，原式1/3、求极限sin 201lim tan 3x x e x→-；sin 2022:0,1~sin 2~2,tan 3~3,lim33x x x x e x x x x x →→-∴==解原式如下3题中必有一道以原题浮现 2/1、设函数21Sin xy x =-，求dy ；解：()()()()()()()()()()()2222212122121221211122121Sin x x Sin x x Cos x x Sin x Cos x x Sin x y x x x Cos x x Sin xdy y dx dx x ''-------+'===----+'∴==- 2/2、设函数()3223x y x x e -=-，求dy ；解:()()()()()()()()()()22222222222222232343232434610431043x x x x x x x x y x x e x x e x e x x e x e x x e x x e dy y dx x x e dx--------'''=-+-=-+--=-+-+=--'∴==--2/3、设函数212x y x e -=，求dy ；解：()212212()x x y x e x e --'''=+ 1221222x x xe x e --=- 12212(22)x x dy xe x e dx --=-如下3题中必有一道以原题浮现 3/1、计算不定积分 2cos 3x x dx ⎰；22 220cos3sin9cos27sin3333=3sin +18cos 54sin +C333x x x x x x x x xx x --∴-原式 3/2、计算不定积分23x xe dx ⎰；233332201113927xx x x x xe e e e - 原式23331223927x x xx e xe e c =-++ 3/3、计算不定积分 2sin 2x x dx ⎰2220sin 2cos4sin8cos2222x x x x x x -- 原式22cos 8sin 16cos 222x x xxx C =-+++如下3题中必有一道以原题浮现 4/1、用抛物线公式计算定积分()111f x dx -⎰旳近似值，其中()x f 旳值给出如下表：解：()()()()()()()()()111724635114231111134458526737127418213703b af x dx y y y y y y y n --≈⨯++++++⎡⎤⎣⎦---=⨯++++++⎡⎤⎣⎦-=⨯+⨯+⨯=⎰ 4/2、用抛物线公式计算定积分()162f x dx -⎰旳近似值，其中()x f 旳值给出如下表：解：()()()()()()()()()1617246352142311621 2.8 3.342.93423.5 3.83716.149.927.360.3b af x dx y y y y y y y n --≈⨯++++++⎡⎤⎣⎦---=⨯++++++⎡⎤⎣⎦-=+⨯+⨯=⎰ 4/3、用数值积分公式计算定积分()131f x dx ⎰旳近似值，其中()x f 旳值给出如下表：解：()()()131224345432f x dx ≈++++++⎰45= 如下3题中必有一道以原题浮现,λ为什么值时，线性方程组12341234123321252383x x x x x x x x x x x λ+++=⎧⎪++-=⎨⎪++=⎩有解，并求一般解。
经济类专业学位联考综合能力数学基础(线性代数)模拟试卷11(题后
经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷11(题后含答案及解析)题型有：1.jpg />=( )．A．dB．2dC．4dD．8d正确答案：D解析：在已知D=|aij|=d的条件下，通过行列式性质将D1还原为原行列式，即有D1故选D．知识模块：线性代数2．若n阶行列式Dn=＜0，则n为( )．A．任意正整数B．奇数C．偶数D．4k－1或4k－2，k=1，2，…正确答案：D解析：由行列式定义，该行列式非零项为副对角线元素的乘积，即有Dn=(－1)τ(n(n－1)…321)=(－1)[n(n－1)]／2，若Dn＜0，则应有1／2n(n－1)为奇数，即n=4k－1或4k－2，k=1，2，…．故选D．知识模块：线性代数3．设A，B均为3阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A－1－B|=2，则|A－B－1|=( )．A．－3B．－2C．2D．3正确答案：A解析：由矩阵与行列式的关系，有|A－1－B|=|A－1(E－AB)|=|A－1||E－AB|=2，|E－AB|=2|A|=6，从而有|A－B－1|=|AB－E||B－1|=(－1)3|E－AB||B－1|=－6×=－3．故选A．知识模块：线性代数4．设αj与βj分别是n阶矩阵A的第j行元素构成的行向量和第j列元素构成的列向量，ej是n阶单位矩阵E的第j列元素构成的列向量，则( )．A．Aei=αjB．eja=αjC．Aej=βjD．ejA=βj正确答案：C解析：选项C，依题设，A=(β1，β2，…，βn)，E=(e1，e2，…，en)，于是有A=AE=A(e1，e2，…，en)=(Ae1，Ae2，…，Aen)，即有Aej=βj(j=1，2，…，n)，故选C．选项A，由Am×n(ej)n×1知是n×1的矩阵，而αj是1×n的矩阵，显然两者不相等．选项B，D，ej是n×1的矩阵，A是n×n的矩阵，两者不能相乘．知识模块：线性代数5．设A为n阶矩阵，且满足4(A－E)2=(A+2E)2，则矩阵A，A－E，A－2E，A－3E中必定可逆的矩阵个数为( )．A．4B．3C．2D．1正确答案：B解析：将方程展开并整理为A2－4A=O，从而有A(A－4E)=O，推得|A||A－4E|=0．同理，有(A－E)(A－3E)=3E，推得|A－E||A－3E|≠0；(A－2E)2=4E，推得|A－2E|≠0．可以确定|A－E|≠0，|A－2E|≠0，|A－3E|≠0，即矩阵A－E，A －2E，A－3E必定可逆，但无法判断矩阵A是否可逆，故选B．知识模块：线性代数6．E2017(1，2)E2018(2，3)=( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：由于Em(i，j)因此有故选B．知识模块：线性代数7．设α1，α2，α3为同维向量，则下列结论不正确的是( )．A．α1，α2，α3中任何一个向量均可被向量组α1，α2，α3线性表示B．若存在一组数k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=0，则α1，α2，α3必线性相关C．若α1=2α2，则α1，α2，α3必线性相关D．若α1，α2，α3中有一个零向量，则α1，α2，α3必线性相关正确答案：B解析：选项B，根据向量组线性相关的概念，只有在k1，k2，k3不全为零的情况下，满足k1α1+k2α2+k3α3=0，才能确定α1，α2，α3线性相关，所以该选项不正确，故应选B．选项A，向量组中任意一个向量均可由自身向量组线性表示，即对于任意一个向量αi(i=1，2，3)，不妨取α1，则存在一组不全为零的数1，0，0，使得α1=1．α1+0．α2+0．α3．选项C，由条件可知，存在一组不全为零的数1，－2，0，使得α1－2α2+0．α3=0，因此α1，α2，α3线性相关．选项D，不妨取α1=0，于是存在一组不全为零的数1，0，0，使得1．α1+0．α2+0．α3=0．因此α1，α2，α3线性相关．知识模块：线性代数8．设α1=(1，2，－1，0)T，α2=(1，1，0，2)T，α3=(2，1，1，a)T，若α1，α2，α3的最大无关组由两个线性无关的向量组成，则a=( )．A．2B．3C．6D．8正确答案：C解析：根据题设，该向量组的秩为2，于是解法1用初等变换．即由(α1，α2，α3)T知当a=6时，α1，α2，α3的最大无关组由两个线性无关的向量组成．故选C．解法2用行列式．由题意知，该向量组构造的矩阵的任意一个3阶子式为零，故故当a=6时，α1，α2，α3的最大无关组由两个线性无关的向量组成，故选C．知识模块：线性代数9．设α1，α2，α3，β均为4维向量，则下列结论正确的是( )．A．若β不能被向量组α1，α2，α3线性表示，则α1，α2，α3，β必线性无关B．若向量组α1，α2，α3，β线性相关，则β可以被向量组α1，α2，α3线性表示C．β可以被向量组α1，α2，α3的部分向量组线性表示，则可以被α1，α2，α3线性表示D．β可以被向量组α1，α2，α3线性表示，则β可以被其任何一个部分向量组线性表示正确答案：C解析：选项C，β可以被向量组α1，α2，α3的部分向量组线性表示，则必定可被整个向量组α1，α2，α3线性表示，故选C．选项A，α1，α2，α3可能是线性相关向量组，因此，α1，α2，α3，β可能线性相关．选项B，向量组α1，α2，α3，β线性相关，则其中必定有向量可以被其余向量线性表示，但这个向量未必是β．选项D，β可以被向量组α1，α2，α3线性表示，但未必可以被其任何一个部分向量组线性表示．如向量β=(1，1，1，0)可以被α1=(1，0，0，0)，α2=(0，1，0，0)，α3=(0，0，1，0)线性表示，但不能被其中任意两个向量线性表示．知识模块：线性代数10．设四元齐次线性方程组若该方程组仅有零解，则λ( )．A．≠1B．≠－1C．≠±1D．可取任意实数正确答案：C解析：方程组的系数矩阵为=1－λ4，又方程组仅有零解，从而知，λ≠±1．故选C．知识模块：线性代数11．设A为n(n＞2)阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若r(A*)=1，则方程组Ax=0的基础解系含无关解的个数是( )．A．nB．n－1C．1D．0正确答案：C解析：根据n阶矩阵A的秩与其伴随矩阵A*的秩的关系，当r(A*)=1时，r(A)=n－1．因此，齐次线性方程组Ax=0的基础解系所含无关解的个数为n－r(A)=1，故选C．知识模块：线性代数12．设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，若使齐次方程组ABx=0必有非零解，则( )．A．n＞mB．n＜mC．n=mD．m，n大小关系不确定正确答案：B解析：选项B，齐次方程组ABx=0必有非零解，即必须有r(AB)＜m．又由r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n}，知只有n＜m，才能确保r(AB)＜m成立，故选B同时也否定了选项D的正确性．选项A，若n＞m，则r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n}=m，不能确保r(AB)＜m成立．选项C，类似地，n=m不能确保r(AB)＜m成立．知识模块：线性代数13．设方程组(Ⅰ)(Ⅱ)－3x1+3x2－5x3=0，若两个方程组有公共非零解，则a=( )．A．2B．1C．－1D．－2正确答案：D解析：两个方程组有公共非零解，即两个方程组的联立方程组有非零解，于是有解得a=－2，故选D．知识模块：线性代数计算题14．计算行列式Dn=正确答案：构造n+1阶加边行列式，有涉及知识点：线性代数15．设n维向量α=(1／2，0，…，0，1／2)，矩阵A=E－αTα，C=E+2αTα，计算|AC|．正确答案：由题设，αTα解法1由AC=(E－αTα)(E+2αTα)=E+αTα－2αT(ααT)α=E，所以，|AC|=|E|=1．解法2将行列式|A|按第一行展开，得|A|=|E －αTα|类似地，有|C|=|E+2αTα|因此得|AC|=|A||C|=1．涉及知识点：线性代数16．设矩阵A=，矩阵B满足方程ABA*=2BA*+E，其中A*为A的伴随矩阵，求|B|．正确答案：在方程两边右乘A，得ABA*A=2BA*A+A，由A*A=|A|E及|A|=3，方程简化为3AB=6B+A，因式分解化为(3A－6E)B=A，再两边取行列式，有|3A －6E||B|=|A|=3，于是由|3A－6E|==27，得|B|=3／|3A－6E|=1／9．涉及知识点：线性代数17．设αT=，β=(3，2，1)，A=αTβ，计算Am(m为正整数，且m≥3)．正确答案：A=αTβ于是，由矩阵乘法的结合律，有Am=3m－1αTβ涉及知识点：线性代数18．已知矩阵A=，且矩阵X满足AXA+BXB=AXB+BXA+E，其中E是3阶单位矩阵，求X正确答案：将方程整理，有AX(A－B)=BX(A－B)+E，得(A－B)X(A－B)=E．由于|A－E|==1≠0，可知A－B可逆，因此X=(A－B)－1(A－B)－1，其中，由得(A－B)－1故X=(A－B)－1(A－B)－1 涉及知识点：线性代数19．设A=BTCB．求A200．正确答案：注意到B，C均为初等矩阵，且B=E(2，3)，C=E(13(－2))，故有BT=B－1=B，B2=E，Cm=E(13(－2m))，因此A200 涉及知识点：线性代数设向量组α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性无关，问：20．α1能否被α2，α3线性表示，证明你的结论；正确答案：α1可以被α2，α3线性表示．证明如下：因为α2，α3，α4线性无关，其部分组α2，α3也线性无关，又α1，α2，α3线性相关，于是，α1可以被α2，α3线性表示．涉及知识点：线性代数21．α4能否被α1，α2，α3线性表示，证明你的结论．正确答案：α4不能被α1，α2，α3线性表示．证明如下：用反证法．假设α4可以被α1，α2，α3线性表示，即存在数k1，k2，k3，使得α4=k1α1+k2α2+k3α3，由(1)，α1可以被α2，α3线性表示，知α4可以被α2，α3线性表示，即α2，α3，α4线性相关，与已知条件矛盾．故α4不能被α1，α2，α3线性表示．解析：讨论向量组的线性关系，要准确把握线性相关概念的含义．如α4可以被α1，α2，α3线性表示，即可写出α1，α2，α3线性表达式，在α1可以被α2，α3线性表示的条件下，可推得α4可以被α2，α3线性表示，即α2，α3，α4线性相关．知识模块：线性代数22．求向量组α1=(1，1，0)T，α2=(1，0，－1)T，α3=(0，1，1)T的一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组表示．正确答案：解法1由(α1，α2，α3)T知α1，α2为其一个最大无关组，且α3=α1－α2．解法2设存在常数k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=0，于是，由(α1，α2，α3)知α1，α2为其一个最大无关组，解得α3=α1－α2．涉及知识点：线性代数23．α1=，讨论a为何值时，(1)β不能被α1，α2，α3线性表示；(2)β可以被α1，α2，α3线性表示，且表达式唯一；(3)β可以被α1，α2，α3线性表示，且表达式不唯一．正确答案：设一组数k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=β，则有下面用两种解法求解．解法1先求系数行列式，即(1)当a=0时，对增广矩阵施以初等行变换，方程组无解，即β不能被α1，α2，α3线性表示．(2)当a≠0且a ≠1时，方程组有唯一解，即β可以被α1，α2，α3线性表示，且表达式唯一．(3)当a=1时，方程组有无穷多解，即β可以被α1，α2，α3线性表示，且表达式不唯一．解法2直接由初等变换讨论，即(1)当a=0时，方程组无解，即β不能被α1，α2，α3线性表示．(2)当a≠0且a≠1时，方程组有唯一解，即β可以被α1，α2，α3线性表示，且表达式唯一．(3)当a=1时，方程组有无穷多解，即β可以被α1，α2，α3线性表示，且表达式不唯一．涉及知识点：线性代数24．设A=，求解线性方程组Ax=b．正确答案：方程组的系数矩阵A对应的行列式是由元素1，2，－3，－1构造的范德蒙德行列式，则=(－1－1)(－1－2)(－1+3)(－3－1)(－3－2)(2－1)=240≠0，故方程组有唯一解，由类似地，D3=D4=0，因此，根据克拉默法则解得x1=D1／D=2，x2=x3=x4=D4／D=0．故x=(2，0，0，0)T．涉及知识点：线性代数25．设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且r(A)=3，α1=(1，2，3，4)T，α2+α3=(0，1，2，3)T，试求线性方程组Ax=b 的通解．正确答案：依题设，r(A)=3，知方程组导出组的基础解系由一个无关解构成，即为原方程组两个特解的差，可利用线性方程组解的性质表示为2α1－(α2+α3)=(2，3，4，5)T．又α1=(1，2，3，4)T为原方程组的一个特解，因此，Ax=b 的通解为x=C(2，3，4，5)T+(1，2，3，4)T，C为任意常数．涉及知识点：线性代数26．已知二次三项式f(x)满足f(1)=1，f(－1)=8，f(2)=－3，求此二次三项式f(x)．正确答案：设该二次三项式f(x)=ax2+bx+c，从而有该方程组的系数行列式知方程组有解且有唯一解．由解得a=－1／6，b=－7／2，c=14／3，因此，涉及知识点：线性代数。
经济数学基础线性代数综合练习题
经济数学基础线性代数综合练习题2016《线性代数》综合练习一、选择题1、若===),,(,3),,(,3),,,(3214324321ααααααααααr r r 则（）（A ）2；（B ）3；（C ）1或2或3；（D ）2或3 2、设A 、B 为满足AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有（）。
（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关；（B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关；（C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关；（D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。
3、设A 为3阶方阵，将A 的第2行加到第3行后得到矩阵B ，则AB -1=（）。
（A ）??101001010；（ B ）100101010；（C ）110001010；（D ）-110010001。
4、下列向量集按R n 的加法和数乘构成R 上一个线性空间的是（）。
（A ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量；（B ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量；（C ）R n 中，坐标是整数的所有向量；（D ）R n 中，坐标满足x 1=1，x 2，…，x n 可取任意实数的所有向量。
5、已知=y x A 6364221，B 为三阶矩阵，且AB =O ，则有( )（A ）当y =3x 时，r(B )=1 （B ）当y =3x 时，r(B ) ≠2 （C ）当y ≠3x时，r(B )=1 （D ）当y ≠3x 时，r(B ) ≠26、设A 的伴随矩阵A *≠O ，若α1，α2，α3，α4是非齐次线性方程组β=AX 的互不相等的解，则齐次线性方程组AX =O 的基础解系（）（A ）不存在（B ）仅含一个非零解向量, (C) 含有两个线性无关的解向量(D) 含有三个线性无关的解向量7、设非奇异矩阵A 的各行元素之和为2，则矩阵（31A 2）-1有一个特征值等于（）。
经济类专业学位联考综合能力数学基础(线性代数)模拟试卷9(题后
经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷9(题后含答案及解析)题型有：1.jpg />的系数矩阵的行向量组分别线性无关和线性相关，但方程组均仅有零解．所以，A的行向量组线性无关既不是Ax=0仅有零解的充分条件，也不是Ax=0仅有零解的必要条件．故选D．知识模块：线性代数10．设A为3阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若r(A)=1，则方程组A*x=0的基础解系含无关解的个数为( )．A．3B．2C．1D．0正确答案：A解析：由r(A)=1知A的所有2阶子式均为零，所以r(A*)=0，从而知方程组A*x=0的基础解系含无关解的个数为3，故选A．知识模块：线性代数11．设n元非齐次线性方程组Ax=b，Ax=0为其导出组，则( )．A．若Ax=0有非零解，则Ax=b必有无穷多解B．若Ax=0仅有零解，则Ax=b必有唯一解C．若Ax=b有无穷多解，则Ax=0必有非零解D．Ax=b解的状态与Ax=0是否有非零解没有关联性正确答案：C解析：选项C，从非齐次线性方程组的通解结构可以看到，若Ax=b有无穷多解，其导出组必含基础解系，因此，Ax=0必有非零解．故选C．选项A，B，Ax0有非零解，并不能确定对应的非齐次线性方程组一定有解．因此，结论A，B不正确．选项D，在Ax=b有解的情况下，Ax=b解的状态与Ax=0有无非零解有关联，如选项C．知识模块：线性代数12．设A为m×n矩阵，r(A)＜n，则( )．A．ATAx=0与Ax=0的解之间没有关联B．Ax=0的解一定是ATAx=0的解，但反之不然C．ATAx=0的解一定是Ax=0的解，但反之不然D．Ax=0与ATAx=0为同解方程组正确答案：D解析：关键在于两方程组非零解之间的关系，若η是方程组Ax=0的非零解，即有Aη=0，也必有ATAη=0，因此，η也必定是方程组ATAx=0的解．反之，若η是方程组ATAx=0的非零解，也必有Aη=0，否则，Aη≠0，使得(Aη)TA η=ηTATAη≠0，从而与假设ATAη=0矛盾．从而知ATAx=0与Ax=0为同解方程组，综上，知选项A，B，C均不正确，故选D．知识模块：线性代数计算题13．计算行列式正确答案：解法1将各行依次减去第一行，得解法2将各行加至第一行，提出公因子后，得涉及知识点：线性代数14．设函数f(x)，g(x)均在点x=1处存在一阶导数，且f(1)=g(1)=1，f’(1)=1，g’(1)=2，计算正确答案：由行列式性质，其中涉及知识点：线性代数15．设A为n(n为奇数)阶矩阵，满足ATA=E，且|A|＞0，计算|E－A]2[|．正确答案：由于|E－A2|=|E－A||E+A||E+A|，所以本题实际要推导|E+A|=0或|E－A|=0．由题设，|ATA|=|A|2=1，且|A|＞0，得|A|=1．于是，由|A|=1，AAT=E，n为奇数，则有E－A=AAT－A=A(AT－E)，从而有|E－A|=|A||AT－E|=|A||A－E|=(－1)n|A||E－A|=－|A||E－A|，即有等式(1+|A|)|E－A|=2|E－A|=0，得|E－A|=0，因此|E－A2|=|E－A||E+A|=0．涉及知识点：线性代数16．设A－1=，求(A*)－1．正确答案：解法1由题设，A可逆，则有A*=|A|A－1，从而有(A*)－1=(|A|A －1)－1=1／|A|A，(A－1)*=|A|(A－1)－1=1／|A|A，若记B=A－1，即有(A*)－1=(A－1)*=B*其中涉及知识点：线性代数17．设矩阵A的伴随矩阵为A*=，且ABA－1=BA－1+3E，其中E为4阶单位矩阵，求矩阵B．正确答案：解法1用A*=|A|A－1替换等式中的A－1．由|A*|=|A|4－1=|A|3=8，得|A|=2．将等式两边左乘A－1，右乘A，有B=A－1B+3E=1／2A*B+3E，即(2E －A*)B=6E．又2E－A*可逆，于是B=6(2E－A*)－1，由(2E－A*)－1因此解法2由AA*=|A|E得A=|A|(A*)－1．由|A*|=|A|4－1=|A|3=8，得|A|=2．故A=|A|(A*)－1可知A－E为可逆矩阵．将等式整理得(A－E)BA－1=3E，有JB=3(A－E)－1A，又(A－E)－1因此涉及知识点：线性代数设A，B，Q为3阶方阵，且B=QTAQ，QQT=E．18．计算Bm(m为正整数，且m≥3)；正确答案：由矩阵乘法的结合律，有Bm=QTAmQ．涉及知识点：线性代数19．若取A=，计算B10．正确答案：由初等矩阵的幂的运算性质，A10左乘矩阵A10相当于将该矩阵的第2行放至第1行，第3行放至第2行，第1行放至第3行，Q右乘某矩阵相当于将该矩阵的第2列放至第1列，第3列放至第2列，第1列放至第3列，即有B10 涉及知识点：线性代数20．设A，B，C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB，C=A+CA，求矩阵B－C．正确答案：由B=E+AB，C=A+CA，知(E－A)B=E，C(E－A)=A，可知E－A，B互为逆矩阵，也有B(E－A)=E，于是有B(E－A)－C(E－A)=(B－C)(E－A)=E －A，因为E－A可逆，从而有B－C=E．涉及知识点：线性代数21．若矩阵的秩为2，求t的值．正确答案：解法1已知该矩阵的秩为2，所以它的所有3阶子式都为零，因此，只要计算出其中含待定常数t的两个3阶子式，即可确定t的值．即由解得t=3．解法2对该矩阵作初等变换，有可知当t=3时，该矩阵的秩为2．涉及知识点：线性代数22．设α1，α2，α3为n维列向量组，且β1=α1，β2=2α1+α2，β3=－α1+2α2+kα3，问当k取何值时，α1，α2，α3可以被β1，β2，β3线性表示，并在k=1时，给出表达式．正确答案：依题设，两向量组有以下关系：(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)Q．其中转换矩阵为则α1，α2，α3可以被β1，β2，β3线性表示的充分必要条件是Q可逆，即k≠0．当k=1时，由得Q－1=，从而有(α1，α2，α3)=(β1，β2，β3)Q－1=(β1，β2，β3)，即有表达式α1=β1，α2=－2β1+β2，α3=5β1－2β2+β3．涉及知识点：线性代数23．设向量组α1，α2，…，αn线性无关，若要求向量组α1+α2，α2+α3，…，αn－1+αn，αn+α1线性无关，则n应满足什么条件?正确答案：解法1用定义证明．设一组数k1，k2，…，kn，使得k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+…+kn－1(αn－1+αn)+kn(αn+α1)=0，即(k1+kn)α1+(k2+k1)α2+…+(kn－1+kn－2)αn－1+(kn+kn－1)αn=0，因为α1，α2，…，αn线性无关，则有于是，向量组α1+α2，α2+α3，…，αn－1+αn，αn+α1线性无关的充要条件是方程组(*)仅有零解，即系数行列式=1+(－1)n+1≠0，即向量组α1+α2，α2+α3，…，αn－1+αn，αn+α1线性无关的充要条件是n为奇数．解法2讨论两向量组转换矩阵的奇异性．由(α1+α2，α2+α3，…，αn－1+αn，αn+α1)知向量组α1+α2，α2+α3，…，αn－1+αn，αn+α1线性无关的充要条件是其转换矩阵非奇异，即=1+(－1)n+1≠0，即n为奇数．涉及知识点：线性代数24．设αi=(ai1，ai2，…，ain)T(i=1，2，3；n＞3)是n维实向量；且α1，α2，α3线性无关，已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组的非零解向量，判断向量组β，α1，α2，α3的线性相关性．正确答案：依题设，αiTβ=0(i=1，2，3)，即βTαi=0，又β≠0，因此，βTβ≠0，于是设一组数k1，k2，k3，k，使得k1α1+k2α2+k3α3+kβ=0，k1α1+k2α2+k3α3+kβ=0，两边左乘βT，即有k1βTα1+k2βTα2+k3βTα3+k βTβ=kβTβ=0，得k=0，从而有k1α1+k2α2+k3α3=0，由于α1，α2，α3线性无关，则必有k1=k2=k3=0，由此知α1，α2，α3，β线性无关．涉及知识点：线性代数25．求解四元齐次线性方程组的通解并用其基础解系表示．正确答案：方程组的系数矩阵为知r(A)=2＜4，方程组有非零解，且基础解系有两个线性无关解向量，取自由未知量为x2，x3，将x2，x3依次取0，1和1，0，代入方程组得η1=(0，0，1，0)T，η2=(－1，1，0，1)T，η1，η2即为方程组的一个基础解系．通解为x=C1η1+C1η2，C1，C2为任意常数．涉及知识点：线性代数26．设A为4阶矩阵，r(A)=3，其代数余子式A11≠0，A*为A的伴随矩阵．试求线性方程组A*x=0的一个基础解系．正确答案：由于r(A)=3，因此r(A*)=1，从而知线性方程组A*x=0的基础解系由4－1=3个线性无关解构成．设矩阵A的列向量组为β1，β2，β3，β4，即A=(β1，β2，β3，β4)．由A*A=|A|E=O，即A*(β1，β2，β3，β4)=0，得A*βj=0(j=1，2，3，4)，即A的列向量均为方程组A*x=0的解．又由A11≠0，知由β2，β3，β4构成的矩阵中有一个3阶子式不为零，从而知r(β2，β3，β4)=3，即β2，β3，β4线性无关．因此β2，β3，β4构成方程组A*x=0的一个基础解系．涉及知识点：线性代数。
《线性代数(经管类)》综合测验题库完整
《线性代数（经管类）》综合测验题库一、单项选择题1.下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的是( )A.A-1正定B.A没有负的特征值C.A的正惯性指数等于nD.A合同于单位阵2.二次型f（x1,x2,x3）= x12+ x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列说确的是( )A.是正定的B.其矩阵可逆C.其秩为1D.其秩为23.设f=X T AX，g=X T BX是两个n元正定二次型，则( )未必是正定二次型。
A.X T（A+B）XB.X T A-1XC.X T B-1XD.X T ABX4.设A，B为正定阵，则( )A.AB，A+B都正定B.AB正定，A+B非正定C.AB非正定，A+B正定D.AB不一定正定，A+B正定5.二次型f=x T Ax经过满秩线性变换x=Py可化为二次型y T By，则矩阵A与B( )A.一定合同B.一定相似C.即相似又合同D.即不相似也不合同6.实对称矩阵A的秩等于r，又它有t个正特征值，则它的符号差为( )A.rB.t-rC.2t-rD.r-t7.设8.f（x1,x2,x3）= x12-2x1x2+4x32对应的矩阵是( )9.设A是n阶矩阵，C是n阶正交阵，且B=C T AC，则下述结论( )不成立。
A.A与B相似B.A与B等价C.A与B有相同的特征值D.A与B有相同的特征向量10.下列命题错误的是( )A.属于不同特征值的特征向量必线性无关B.属于同一特征值的特征向量必线性相关C.相似矩阵必有相同的特征值D.特征值相同的矩阵未必相似11.下列矩阵必相似于对角矩阵的是( )12.已知矩阵有一个特征值为0，则( )A.x=2.5B.x=1C.x=-2.5D.x=013.已知3阶矩阵A的特征值为1，2，3，则|A-4E|=( )A.2B.-6C.6D.2414.已知f（x）=x2+x+1方阵A的特征值1,0,-1,则f（A）的特征值为( )A.3，1，1B.2，-1，-2C.3，1，-1D.3，0，115.设A的特征值为1，-1，向量α是属于1的特征向量，β是属于-1的特征向量，则下列论断正确的是( )A.α和β线性无关B.α+β是A的特征向量C.α与β线性相关D.α与β必正交16.设α是矩阵A对应于特征值λ的特征向量，P为可逆矩阵，则下列向量中( )是P-1AP对应于λ的特征向量。
2019-2020年电大考试数学经济基础试题答案及答案
《经济数学基础》真题一、填空题(每题3分，共15分)6．函数()f x =的定义域是 (,2](2,)-∞-+∞ ．7．函数1()1xf x e =-的间断点是 0x =．8．若()()f x dx F x C =+⎰，则()x x e f e dx --=⎰()x F e c --+．9．设10203231A a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，当a = 0 时，A 是对称矩阵。
10．若线性方程组12120x x x x λ-=⎧⎨+=⎩有非零解，则λ= －1 。
6．函数()2x xe ef x --=的图形关于 原点 对称．7．已知sin ()1xf x x=-，当x → 0时，()f x 为无穷小量。
8．若()()f x dx F x C =+⎰，则(23)f x dx -=⎰1(23)2F x c -+ ．9．设矩阵A 可逆，B 是A 的逆矩阵，则当1()T A -= TB 。
10．若n 元线性方程组0AX =满足()r A n <，则该线性方程组 有非零解 。
6．函数1()ln(5)2f x x x =++-的定义域是 (5,2)(2,-+∞ ． 7．函数1()1xf x e =-的间断点是 0x = 。
8．若2()22x f x dx x c =++⎰，则()f x =2ln 24x x +．9．设111222333A ⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则()r A = 1 。
10．设齐次线性方程组35A X O ⨯=满，且()2r A =，则方程组一般解中自由未知量的个数为 3 。
6．设2(1)25f x x x -=-+，则()f x =x2+4 ．7．若函数1sin 2,0(),0x x f x xk x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则k= 2 。
8．若()()f x dx F x c =+⎰，则(23)f x dx -=⎰1/2F(2x-3)+c．9．若A 为n 阶可逆矩阵，则()r A = n 。
注意经济数学基础综合练习及模拟试题(含答案)
注意：经济数学基础综合练习及模拟试题（含答案）一、单项选择题 1．若函数xxx f -=1)(， ,1)(x x g +=则=-)]2([g f ( )． A ．-2 B ．-1 C ．-1.5 D ．1.5 正确答案：A2．下列函数中为偶函数的是（ ）．A ．x x y -=2B ．x x y --=e eC ．11ln +-=x x y D ．x x y sin = 正确答案：D3．函数)1ln(1-=x y 的连续区间是（ ）．A ．），（），（∞+⋃221B ．），（），∞+⋃221[C ．），（∞+1D ．），∞+1[正确答案：A李蓉：为什么是A ，答案B 的前面有中括号的定义与答案A 区别是？顾静相：答案B 左边的是方括号[，表示能取到端点，在左端点处函数没有意义。
4．曲线11+=x y 在点（0, 1）处的切线斜率为（ ）． A ．21 B ．21- C ．3)1(21+x D ．3)1(21+-x正确答案：B5．设c xxx x f +=⎰ln d )(，则)(x f =（ ）． A ．x ln ln B ．x x ln C ．2ln 1x x - D ．x 2ln 正确答案：C6．下列积分值为0的是（ ）．A ．⎰ππ-d sin x x x B ．⎰-+11-d 2e e x xx C ．⎰--11-d 2e e x xx D ．⎰-+ππx x x d )(cos 正确答案：C7．设)21(=A ，)31(-=B ，I 是单位矩阵，则I B A -T＝（ ）． A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5232 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6321 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6231 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5322 正确答案：A8. 设B A ,为同阶方阵，则下列命题正确的是（ ）. A .若O AB =，则必有O A =或O B =B .若O AB ≠，则必有O A ≠,O B ≠C .若秩O A ≠)(,秩O B ≠)(，则秩O AB ≠)(D . 111)(---=B A AB正确答案：B9. 当条件（ ）成立时，n 元线性方程组b AX =有解．A . r A n ()<B . r A n ()=C . n A r =)(D . O b = 正确答案：D蒋玉兰：关于这题，上午我们一些辅导教师还在说难了点。
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《经济数学基础》综合练习（线性代数）
一、单项选择题
1．设A 为23⨯矩阵，B 为32⨯矩阵，则下列运算中（ ）可以进行. A ．AB B ．AB T C ．A +B D ．BA T 2．设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ） A . T T T )(B A AB = B . T
T T )(A B AB = C . 1T 11
T
)()
(---=B A AB D . T 111T )()(---=B A AB
3．设B A ,为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（ ）． A . 若AB = I ，则必有A = I 或B = I B .T
T
T
)(B A AB = C . 秩=+)(B A 秩+)(A 秩)(B D .111)
(---=A B AB
4．设B A ,均为n 阶方阵，在下列情况下能推出A 是单位矩阵的是（ ）． A ．B AB = B ．BA AB = C ．I AA = D ．I A
=-1
5．设A 是可逆矩阵，且A AB I +=，则A -=1（ ）. A . B B . 1+B C . I B + D . ()I AB --1
6．设)21(=A ，)31(-=B ，I 是单位矩阵，则I B A -T
＝（ ）．
A ．⎥⎦⎤⎢
⎣⎡--6231 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6321 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5322 D ．⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--5232 7．设下面矩阵A , B , C 能进行乘法运算，那么（ ）成立.
A ．A
B = A
C ，A ≠ 0，则B = C B ．AB = AC ，A 可逆，则B = C C ．A 可逆，则AB = BA
D ．AB = 0，则有A = 0，或B = 0
8．设A 是n 阶可逆矩阵，k 是不为0的常数，则()kA -=1
（ ）．
A .kA -1
B .
11k
A n
- C . --kA 1
D . 11k A - 9．设⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=314231003021A ，则r (A ) =（ ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
10．设线性方程组b AX =的增广矩阵通过初等行变换化为⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡--0000
01200041
31
062131，
则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ ）．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 11．线性方程组⎩⎨
⎧=+=+0
1
2121x x x x 解的情况是（ ）．
A . 无解
B . 只有0解
C . 有唯一解
D . 有无穷多解 12．若线性方程组的增广矩阵为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=01221λA ，则当λ＝（
）时线性方程组无
解．
A ．
1
2
B ．0
C ．1
D ．2 13． 线性方程组AX =0只有零解，则AX b b =≠()0（ ）.
A . 有唯一解
B . 可能无解
C . 有无穷多解
D . 无解
14．设线性方程组AX=b 中，若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则该线性方程组（ ）． A ．有唯一解 B ．无解 C ．有非零解 D ．有无穷多解
15．设线性方程组b AX =有唯一解，则相应的齐次方程组O AX =（ ）． A ．无解 B ．有非零解 C ．只有零解 D ．解不能确定
二、填空题
1．两个矩阵B A ,既可相加又可相乘的充分必要条件是 .
2．计算矩阵乘积[]⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡10211000321= ．
3．若矩阵A = []21-，B = []132
-，则A T B=
．
4．设A 为m n ⨯矩阵，B 为s t ⨯矩阵，若AB 与BA 都可进行运算，则m n s t ,,,有关系式 ．
5．设⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201a A ，当a = 时，A 是对称矩阵. 6．当a 时，矩阵⎥
⎦
⎤
⎢
⎣⎡-=a A 131可逆. 7．设B A ,为两个已知矩阵，且B I -可逆，则方程X BX A =+的解=X
．
8．设A 为n 阶可逆矩阵，则r (A )= ．
9．若矩阵A =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--330204212，则r (A ) = ．
10．若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则线性方程组AX = b
．
11．若线性方程组⎩⎨
⎧=+=-00
2
121x x x x λ有非零解，则=λ
．
12．设齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A ，且秩(A ) = r < n ，则其一般解中的自由未知量的个数等于 ．
13．齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=000020103211A 则此方程组的一般解为 .
14．线性方程组AX b =的增广矩阵A 化成阶梯形矩阵后为
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-→110000012401
021d A
则当d 时，方程组AX b =有无穷多解.
15．若线性方程组AX b b =≠()0有唯一解，则AX =0 .
三、计算题
1．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=113421201A ，⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=303112B ，求B A I )2(T -．
2．设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=021201A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200010212B ，⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=242216C ，计算C BA +T ．
3．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1121243613，求1
-A ．
4．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210，求逆矩阵1-A ． 5．设矩阵 A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021201，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡142136，计算(AB )-1． 6．设矩阵 A =⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-022011，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321，计算(BA )-1． 7．解矩阵方程⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--214332X ．
8．解矩阵方程⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡02115321X . 9．设线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=-+=+b
ax x x x x x x x 321
32131
2022
讨论当a ，b 为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解.
10．设线性方程组 ⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=-+--=+0
522312321
32131x x x x x x x x ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解
的情况.
11．求下列线性方程组的一般解：
⎪⎩⎪
⎨⎧=-+-=+-+-=-+0
352023024321
4321431
x x x x x x x x x x x 12．求下列线性方程组的一般解：
⎪⎩
⎪
⎨⎧=-+-=-+-=+-12
61423
23
252321321321x x x x x x x x x 13．设齐次线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=+-=+-0
830352023321
321321x x x x x x x x x λ
问λ取何值时方程组有非零解，并求一般解.
14．当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=-+=++1542131
321321x x x x x x x x λ 有解？并求一般解.
15．已知线性方程组b AX =的增广矩阵经初等行变换化为
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→→300000331013
611λ A
问λ取何值时，方程组b AX =有解？当方程组有解时，求方程组b AX =的一般解.
四、证明题
1．试证：设A ，B ，AB 均为n 阶对称矩阵，则AB =BA ．
2．试证：设A 是n 阶矩阵，若3
A = 0，则21)(A A I A I ++=--． 3．已知矩阵 )(2
1
I B A +=
，且A A =2，试证B 是可逆矩阵，并求1-B . 4. 设n 阶矩阵A 满足A I 2=，T AA I =，证明A 是对称矩阵.
5．设A ，B 均为n 阶对称矩阵，则AB ＋BA 也是对称矩阵．。