17直线的交点坐标与距离公式学案
人教版高中必修23.3直线的交点坐标与距离公式教学设计
人教版高中必修23.3直线的交点坐标与距离公式教学设计一、教学目标1.掌握直线的交点坐标公式和距离公式；2.能够灵活运用公式求出直线的交点坐标和点到直线的距离；3.培养学生的数学思维能力和实际问题解决能力。
二、教学重点和难点1.教学重点：直线的交点坐标公式和距离公式的理解和应用；2.教学难点：如何将公式应用于实际问题中。
三、教学过程1. 导入（5分钟）通过观察教室内的椅子、桌子等物体，引导学生认识坐标系，并回顾直线的一般式方程。
2. 演示（10分钟）给出两条直线的一般式方程，演示如何求出它们的交点坐标。
然后再给出一条直线和一点的坐标，演示如何求出点到直线的距离。
3. 讲解和演练（35分钟）3.1 直线的交点坐标公式讲解直线的交点坐标公式的推导过程，并给出一些例题进行演练。
3.2 点到直线的距离公式讲解点到直线的距离公式的推导过程，并给出一些例题进行演练。
4. 拓展应用（25分钟）展开一些拓展问题，如求解平面内两条直线的夹角、平面内直线与圆的交点坐标等，鼓励学生自己思考解决方法。
5. 总结（5分钟）总结直线的交点坐标公式和点到直线的距离公式的应用及相关知识点，强调掌握了这些知识对解决实际问题的重要性。
四、教学建议1.考虑学生的实际情况，设计具有生活化的例题，让学生能够将所学知识应用到实际问题中。
2.考虑学生的数学基础，适当调整难度，不能让学生感到过于困难或过于简单，要保持适当的挑战性。
3.培养学生的自主学习能力，鼓励学生在课堂外进行练习和思考，加深对知识点的理解和掌握。
五、教学评价方式1.课堂练习：通过一些例题、探究活动等进行现场评价；2.作业：难度适当，涵盖各个知识点，既要求计算又要求应用；3.月考、期中考等：涵盖本单元所有的知识点，既考查基础知识掌握情况，又考查应用能力。
六、教学资源1.主要教材：人教版高中数学必修3；2.辅助教材：蒙奇数学教学网、题海网等；3.教具：PPT、黑板、白板等。
直线的交点坐标及两点间距离公式导学案
两条直线的交点坐标及两点间的距离班级________姓名_________一、教学目标1、 掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对应关系，并且会通过直线方程系数判定解得情况，培养学生树立辩证统一的观点。
2、 当两条直线相交时，会求交点坐标。
培养学生思维的严谨性，注意学生语言表达能力的训练。
3、 掌握平面内两点间距离公式及其推到过程；通过具体的例子来体会坐标法对于证明简单平面几何问题的重要性。
4、 能灵活运用公式解决一些简单问题；使学生掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应的问题，培养学生勇于探索，善于发现，独立思考的能力以及不断超越自我的创新品质。
二、教学重点、难点重点：1、根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点。
2、平面内两点间距离公式以及公式的推导。
难点：1、对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解。
2、如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题。
三、教学方法：探索讨论法四、教学设计问题提出：在同一平面内，两条直线之间存在平行、相交、重合等位置关系，这些位置关系的基本特征与公共点的个数有关.因此，如何将两直线的交点进行量化，便成为一个新的课题。
那么如何由直线的方程求两条相交直线的交点呢？知识探究（一）：两条直线的交点坐标思考1:若点P 在直线l 上，则点P 的坐标(x0，y0)与直线l 的方程Ax+By+C=0有什么关系？思考2:直线2x+y-1=0与直线2x+y+1=0，直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的位置关系分别如何？思考3:能根据图形确定直线3x+4y-2=0与直线得这两条直线的交点坐标？思考4:一般地，若直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0和l 2:A 2x+B 2y+C 2=0相交，如何求其交点坐标？思考5：对于两条直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0和l 2:A 2x+B 2y+C 2=0，若方程组⎧=++0111C y B x A有唯一解、有无数组解，无解，则两直线的位置关系如何？知识探究（二）：过交点的直线系思考1:经过直线l1：3x+4y-2=0与直线l2：2x+y+2=0的交点可作无数条直线，你能将这些直线的方程统一表示吗？思考2:方程（m，n不同时为0）表示什么图形？思考3:上述直线l1与直线l2的交点M（-2，2）在这条直线上吗？当m，n为何值时，方程分别表示直线l1和l2？思考4:方程表示的直线包括过交点M（-2，2）的所有直线吗？思考5:方程表示经过直线l1和l2的交点的直线系，一般地，经过两相交直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程可怎样表示？在平面直角坐标系中，根据直线的方程可以确定两直线平行、垂直等位置关系，以及求两相交直线的交点坐标，我们同样可以根据点的坐标确定点与点之间的相对位置关系.平面上点与点之间的相对位置关系一般通过什么数量关系来反映？知识探究（三）：两点间的距离公式思考1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？思考2:在y轴上，已知点P1(0，y1)和P2(0，y2)，那么点P1和P2的距离为多少？思考3:已知x轴上一点P1(x0思考4:思考5:距离可得什么结论？m(342)(22)0x y n x y+-+++= m(342)(22)0x y n x y+-+++=342(22)0x y x yλ+-+++=m(342)(22)0x y n x y+-+++= 12||PP===思考6:当直线P 1P 2与坐标轴垂直时，上述结论是否成立？思考7:特别地，点P(x ，y)与坐标原点的距离是什么？知识探究（四）：距离公式的变式探究思考1:已知平面上两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，直线P 1P 2的斜率为k ，则 y 2-y 1可怎样表示？从而点P 1和P 2的距离公式可作怎样的变形？思考2:已知平面上两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，直线P 1P 2的斜率为k ，则x 2-x 1可怎样表示？从而点P 1和P 2的距离公式又可作怎样的变形？思考3:上述两个结论是两点间距离公式的两种变形，其使用条件分别是什么？思考4:若已知 和 ，如何求 ？五、理论迁移例1、判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出其交点的坐标。
高中数学-直线的交点坐标与距离公式学案
高中数学-直线的交点坐标与距离公式学案课程标准 1、能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；2、探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
学习目标重点难点 重点：1、求两直线交点坐标的方法；2、求三种距离的方法。
难点：点到直线的距离公式的推导。
学习过程学习内容（任务）及问题 学习活动及行为【模块一】两条直线的交点坐标问题1、一元二次方程组的解与两直线交点坐标之间有什么关系？问题2、已知两条直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=相交，怎么求出它们的交点坐标？【例题讲解】例1、求下列两条直线的交点坐标：1:3420l x y +-=，2:220l x y ++=。
例2、判断下列各对直线的位置关系。
如果相交，求出交点的坐标。
⑴1:0l x y -=，2:33100l x y +-=； ⑵1:340l x y -+=，2:6210l x y --=； ⑶1:3450l x y +-=，2:68100l x y +-=。
【即时训练】教材104P 练习1,2问题3、当λ变化时，方程342(22)0x y x y λ+-+++=表示什么图形？图形有何特点？ 评价：学生能正确求出两直线的交点坐标。
【模块二】两点间的距离问题1、已知平面上的两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，如何推导这两点间的距离公式12||PP ？问题2、已知111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12||______________PP =。
【例题讲解】例3、已知点(1,2)A -，(2,7)B ，在x 轴上求一点P ，使得||||PA PB =，并求||PA 的值。
【即时训练】教材106P 练习1,2例4、证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
问题3、利用解析法解决问题的基本步骤有哪些是什么？评价：学生能正确运用两点间的距离公式解题。
高中数学必修2第三章第三节《直线的交点坐标与距离公式》全套教案
直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标【教学目标】1.理解求两条直线交点的方法思想，即解方程组的转化思想；2.能正确地通过解方程组确定交点坐标；3.通过求交点坐标判断两条直线的位置【教学重点难点】对转化思想的理解，求两条直线交点即解方程组确定交点坐标，过定点直线系的定点求法，对含字母参数解的讨论【学前准备】：多媒体，预习例题两点间的距离【教学目标】1．根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两直线求交点；2．会求平面内两点间的距离，及建立恰当的直角坐标系。
【教学重难点】两条直线的平行与垂直的判定方法1．根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两直线求交点；2．会求平面内两点间的距离，及建立恰当的直角坐标系。
【学前准备】：多媒体，预习例题三.巩固练习（20分钟）已知两直0111=++ybxa线和0122=++ybxb的交点为P（2，3），求过两点),(),(2211baBbaA、的直线方程四．小结谈收获五.布置作业完成课后习题1．求两点12(3,5),(1,2)P P-间的距离；2．在X轴上有和原点及点（5，-3）等距离的点，求此点的坐标；3．已知A(5,-8),B(-3,6) 延长AB至点P点使|PB|=21|AB|,求P 点坐标；4．如果点A(x,4)与点B(0,-2)的距离是10个单位，求A的位置；5．求证以A(-6,8)、B(6,-8)、C(8,6)为顶点的三角形是等腰三角形；6．已知点P到两条坐标轴及点（3，6）距离相等，求点P的坐标；7．若)1,1(),3,2(BA--，点)2,(aP是AB的垂直平分线上一点，则=a___________；8．在平行四边形ABCD中，顶点A、B、C的坐标各为（-1，-1），（5，-1），（3，5）。
求顶点D的坐标；9．已知,x y满足221x y+=，求226825x y x y++-+的最大值和最小值；10．已知01,01x y<<<<，求证：,x y()()()()2222 2222111122 x y x y x y x y +++-+-++-+-≥，并求使等式成立的条件.参考答案：1．5，2．17,05⎛⎫⎪⎝⎭，3．解：设P （x,y ），利用P 在直线AB 上得x,y 的一个式子，再利用|PB|=21|AB|得x,y 的另一个式子，联解即可得713x y =-⎧⎨=⎩，即P （-7，13）。
直线的交点坐标与距离公式教案
直线的交点坐标与距离公式教案教案标题：直线的交点坐标与距离公式教案教学目标：1. 理解直线的交点坐标的计算方法2. 掌握直线之间的距离公式3. 能够应用所学知识解决实际问题教学重点：1. 直线的交点坐标的计算2. 直线之间的距离公式的应用教学难点：1. 多个直线的交点坐标的计算2. 距离公式在实际问题中的运用教学准备：1. 教学投影仪2. 教学PPT3. 相关教学案例和练习题教学过程：1. 引入：通过一个生活中的实际问题引入直线的交点坐标和距离公式的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：首先介绍直线的交点坐标的计算方法，包括两条直线的交点坐标和多条直线的交点坐标的计算方法。
然后讲解直线之间的距离公式，包括点到直线的距离和直线之间的距离的计算方法。
3. 示例分析：通过几个实际案例，演示直线的交点坐标和距离公式的应用方法，引导学生理解和掌握相关知识。
4. 练习：让学生进行相关练习，巩固所学知识，提高解决问题的能力。
5. 拓展：引导学生应用所学知识解决更复杂的实际问题，拓展他们的思维和应用能力。
6. 总结：对本节课所学内容进行总结，并强调学生在日常生活中的应用价值。
教学反馈：1. 针对学生在练习和课堂表现中存在的问题，进行及时的指导和反馈。
2. 鼓励学生在实际生活中应用所学知识，并分享应用案例。
教学评价：1. 通过课堂练习和作业考察学生对直线的交点坐标和距离公式的掌握程度。
2. 观察学生在解决实际问题时的应用能力和思维拓展情况。
教学延伸：1. 鼓励学生进行更多的实际应用探究，拓展知识的应用范围。
2. 引导学生深入了解相关数学理论，拓展数学知识面。
《直线的交点坐标及两点间距离公式》导学案
《直线的交点坐标及两点间距离公式》导学案 编写：胡林海 审核：高一数学组 编写时间：2013-5-7班级： 组别： 组名： 姓名： 一、学习目标:1、会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标2、会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系3、掌握两点间距离公式并会应用 二、学习重点、难点：重点：1、根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点。
2、平面内两点间距离公式以及公式的推导。
难点：1、对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解。
2、如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题。
三、使用说明及学法指导:1. 自学：精读教材102-106，完成导学案（30分钟）2. 群学程序：（1） 对子学习：结合导学案完成情况进行对子间交流。
并相互给予等级评定。
（2） 群学：组长带领全组同学交流自学环节中存在的疑惑和问题；并对展示任务讨论，确定展示方案，并在黑板上做好展示准备。
（30分钟）四、知识链接：1．直线方程有哪几种形式？ 2．平面内两条直线有什么位置关系？五、学习过程：自主探究 知识探究（一）：两条直线的交点坐标思考1:一般地，若直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=相交，如何求其交点坐标？看下表，并填空：展示单元一A1：判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出其交点的坐标. （1）12:237,:421;l x y l x y -=+= （2）122:2640,:;33x l x y l y -+==+思考2:交点坐标与二元一次方程组有什关系？归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？(1)若二元一次方程组有唯一解，1l 与2l ＿＿＿＿＿ (2)若二元一次方程组无解，则1l 与2l ＿＿＿＿＿＿ (3)若二元一次方程组有无数解，则1l 与2l ＿＿＿＿＿＿＿知识探究（二）：过交点的直线系展示单元二思考1:经过直线1:3420l x y +-=与直线2:220l x y ++=的交点可作无数条直线，你能将这些直线的方程统一表示吗？思考2:方程 (342)(22)0m x y n x y +-+++= （,m n 不同时为0）表示什么图形？思考3:上述直线1l 与直线2l 的交点M （-2，2）在这条直线上吗？当,m n 为何值时，方程(342)(22)0m x y n x y +-+++=分别表示直线1l 和2l ？思考4:方程(342)(22)0m x y n x y +-+++=表示经过直线1l 和2l 的交点的直线系，一般地，经过两相交直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程可怎样表示？B2：不论m 为何实数，直线l ：(1)(21)5m x m y m -+-=-恒过一定点，并求出此定点的坐标。
高中数学直线的交点坐标与距离公式教案(第一课时)新课标 人教版 必修2(A)
直线的交点坐标与距离公式(第一课时)两条直线的交点坐标教学要求：进一步掌握两条直线的位置关系，能够根据方程判断两直线的位置关系，理解两直线的交点与方程的解之间的关系，会求两条相交直线的交点坐标.教学重点：理解两直线的交点与方程组的解之间的关系.教学难点：理解两直线的交点与方程组的解之间的关系.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：如何用代数方法求方程组的解?2. 讨论：两直线交点与方程组的解之间有什么关系？二、讲授新课：1. 教学直线上的点与直线方程的解的关系：① 讨论：直线上的点与其方程AX+BY+C=0的解有什么样的关系？② 练习：完成书上P109的填表.③ 直线L 上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解。
反之直线L 的方程的每一组解都表示直线上的点的坐标。
2. 教学两直线的交点坐标与方程组的解之间的关系及求两直线的交点坐标① 讨论：点A （-2,2）是否在直线L1：3X+4Y-2=0上？点A （-2,2）是否在直线L2：2X+Y+2=0上？② A 在L1上，所以A 点的坐标是方程3X+4Y-2=0的解，又因为A 在L2上，所以A 点的坐标也是方程2X+Y+2=0的解。
即A 的坐标（-2,2）是这两个方程的公共解，因此（-2,2）是方程组 3X+4Y-2=0 2X+Y+2=0 的解.③ 讨论：点A 和直线L1与L2有什么关系？为什么？④ 出示例1：求下列两条直线的交点坐标L1：3X+4Y-2=0L2：2X+Y+2=03．教学如何利用方程判断两直线的位置关系？① 如何利用方程判断两直线的位置关系？② 两直线是否有公共点，要看它们的方程是否有公共解。
因此，只要将两条直线L1和L2的方程联立，得方程组 111222A X+B Y+C =0A X+B Y+C =01．若方程组无解，则L1//L22.若方程组有且只有一个解，则L1与L2相交3.若方程组有无数解，则L1与L2重合③ 出示例2：判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标。
直线的交点坐标与距离公式 教案
教师引导学生先从点与直线的
位置关系入手，看表一，并填空.
几 何 元 素 及 关 代数表示
系
点A
A （a，b）
直线 L
L：Ax + By + C =
0
点 A 在直线上
直线 L1 与 L2 的 交点 A
师生互动 课堂设问一：由直线方 程的概念，我们知道直线上 的一点与二元一次方程的解 的关系，那如果两直线相交 于一点，这一点与这两条直 线的方程有何关系？
【解析】当 l1∥l2（或重合） 时：
A1B2 – A2B1 = 1×3 – （m – 2）·m = 0，解得：m = 3，m = –1.
（1）当 m = 3 时，l1：x + 3y + 6 = 0，l2：x + 3y + 6 = 0，所以 l1 与 l2 重合；
（2）当 m = –1 时，l1：x – y + 6 = 0，l2：–3x + 3y – 2 = 0，所以 l1∥l2；
教学过程 教学 环节
教学内容
创设 情景 导入 新课
用大屏幕打出直角坐标系中两 直线，移动直线，让学生观察这两 直线的位置关系.
概念 形成 与 深化
1．分析任务，分组讨论，判断
两直线的位置关系
已知两直线 L1：A1x + B1y + C1 = 0，L2：A2x + B2y + C2 = 0.
如何判断这两条直线的关系？
回忆数轴上两点间的距
概念的 P2 (x2 , y2 ) 分别向 y 轴和 x 轴作垂线， 离公式，同学们能否用以前所
形成与 垂足分别 N1 0，y1 ，M2 x2，0 ， 学的知识来解决平面直角坐
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作业_____题;巩固复习____________________;预习布置_____________________
教师课后反思
签字
教学主任：教学组长：学生/家长：
类型四：求两平行直线间的距离
求两条平行线 间的距离.
5．两直线x－y－2＝0与2x－2y＋3＝0的距离为()
类型五：对称问题
已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．
课堂检测
测试题(累计不超过20分钟)_______道；成绩_______；教学需:加快□;保持□;放慢□;增加内容□
1．中心对称
(1)若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得
(2)直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l1∥l2，由点斜式得到所求直线方程．
2．轴对称
(1)点关于直线的对称
乐恩特教育个性化教学辅导教案
编号：17
授课教师
李杏
地点
益田
时间
2012-05-31
19:00-21:00
学生
王怡
年级
高二
科目
数学
课题
直线的交点坐标与距离公式
教学目标
1.求两直线的交点坐标2、两点间的距离3点到直线的距离3两平行直线间的距离
教学重点
点到直线的距离
教学难点
点到直线的距离
教
学
过
程
直线的交点坐标与距离公式
知识点三：点到直线的距离公式
点 到直线 的距离为 .
要点诠释：
此公式常用于求三角形的高、两平行间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.点 到直线 的距离为直线上所有的点到已知点 的距离中最小距离.
知识点四：两平行线间的距离
本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线 与直线 的距离为 .
1.已知集合M={(x,y)∣x+y=2}，N={(x,y)∣x–y=4},那么集合M∩N为( )
A. {3,–1}B. 3,–1C. (3,–1)D.{(3,–1)}
2.已知直线y=kx+2k+1与直线y=– x+2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是( )
A.–6<k<2 B.– <k<0C.– <k< D. <k<+∞
C. 3x+2y－7=0和4x+y－6=0 D. 2x+3y－7=0,x+4y－6=0
8．过两直线x– y+1=0和 x+y– =0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有( )
A.0条B.1条C.2条D.3条
9已知点P(2，－1)．(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；
(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
3．已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于()
A. B．2－ C. －1 D. ＋1
6.点P在直线x+y–4=0上，O为原点，则|OP|的最小值是( )
A．2 B. C. D.
7．一条直线经过P(1,2),且与A(2,3)、B(4,－5)距离相等,则直线 为( )
A. 4x+y－6=0 B.x+4y－6=0
一、目标认知
1.掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标.
2.掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离.
二、知识要点梳理
知识点一：直线的交点：
求两直线 与 的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组 的解即可.若有 ，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有 ，则方程组无解，此时两直线平行；若有 ，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标.
要点诠释：
求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数.
知识点二：两点间的距离公式
两点 间的距离公式为 .
要点诠释：
此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握.
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1P2的直线垂直于对称轴l，由方程组
可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，
x1≠x2)
(2)直线关于直线的对称
四：经典例题透析
类型一：求交点坐标
判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标.
要点诠释：
(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一
般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上直线间的距离公式 时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直
线中x，y的系数要保持一致.
知识点五：对称问题
4．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)可能是()
A．(1，－3)B．(3，－1) C．(－3,1) D．(－1,3)
类型二：求两点间的距离
1在直线2x-y=0上求一点P，使它到点M(5，8)的距离为５，并求直线PM的方程
类型三：求点到直线的距离
求点P(3，-2)到下列直线的距离：