重庆十八中2016-2017学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
重庆市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析
重庆市2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|0＜log 4x ＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（ ） A ．（0，1） B ．（0，2] C ．（1，2） D ．（1，2] 2．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ） A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2＜0 C ．存在x 0∈R ，使得x 02≥0 D ．存在x 0∈R ，使得x 02＜03．如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 1、BC 1的中点，则以下结论中不成立的是（ ）A ．EF 与BB 1垂直 B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与CD 异面 D ．EF 与A 1C 1异面4．已知四棱锥P ﹣ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P ﹣ABCD 的四个侧面中面积最大的是（ ）A ．6B ．8C ．D ．35．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．6．设函数f （x ）定义在实数集上，f （2﹣x ）=f （x ），且当x≥1时，f （x ）=lnx ，则有（ ）A ．B ．C ．D ．7．设平面区域D 是由双曲线y 2﹣=1的两条渐近线和抛物线y 2=﹣8x 的准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点（x ，y ）∈D ，则x+y 的最小值为（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．0 D ．38．一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是（ ）A ．m ＞1，且n ＜1B ．mn ＜0C ．m ＞0，且n ＜0D ．m ＜0，且n ＜09．若直线l 过点P （﹣3，﹣）且被圆x 2+y 2=25截得的弦长是8，则直线l 的方程为（ ） A ．3x+4y+15=0 B ．x=﹣3或3x+4y+15=0C ．x=﹣3或y=﹣D ．x=﹣310．设椭圆=1（a ＞0，b ＞0）的离心率e=，右焦点F （c ，0），方程ax 2+bx ﹣c=0的两个根分别为x 1，x 2，则点P （x 1，x 2）在（ ）A ．圆x 2+y 2=2内B ．圆x 2+y 2=2上C ．圆x 2+y 2=2外D ．以上三种情况都有可能11．已知正三棱锥P ﹣ABC 的高PO 为h ，点D 为侧棱PC 的中点，PO 与BD 所成角的余弦值为，则正三棱锥P ﹣ABC 的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．12．若实数x 、y 满足x|x|﹣y|y|=1，则点（x ，y ）到直线y=x 的距离的取值范围是（ ）A ．[1，） B ．（0，] C ．（，1） D ．（0，1]二、填空题（每题5分）13．已知||=1，||=6， •（﹣）=2，则向量与的夹角为 ．14．在抛物线y 2=2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为 ．15．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，左焦点为F 2，若椭圆上存在一点P ，满足线段PF 1相切于椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF 1的中点，则该椭圆的离心率为 ．16．设 条件．三、解答题（17、18、19、20、21各题12分，22题10分）17．已知p ：方程x 2+mx+1=0有两个不等的负实根，q ：方程4x 2+4（m ﹣2）x+1=0无实根．若“p 或q”为真，“p 且q”为假．求实数m 的取值范围．18．设△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，且．（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若x ∈[0，π），求函数f （x ）=sin （x ﹣B ）+sinx 的值域．19．点A 、B 分别是椭圆长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA⊥PF．求点P 的坐标．20．如图，直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1=AC=CB=AB ．（Ⅰ）证明：BC 1∥平面A 1CD（Ⅱ）求二面角D ﹣A 1C ﹣E 的正弦值．21．如图，已知A （﹣4a ，0）（a ＞0），B 、C 两点分别在y 轴和x 轴上运动，并且满足•=0， =．（1）求动点Q 的轨迹方程；（2）设过点A 的直线与点Q 的轨迹交于E 、F 两点，A′（4a ，0），求直线A′E、A′F 的斜率之和．22．在等腰直角△ABC 中，AB=AC=4，点P 是边AB 上异于A 、B 的一点，光线从点P 出发经过BC 、CA 反射后又回到点P ，光线交线段BC 于点Q ，交线段CA 于点R ，若光线QR 经过△ABC 的重心，求线段AP 的长度．重庆市2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|0＜log 4x ＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（ ） A ．（0，1） B ．（0，2] C ．（1，2） D ．（1，2] 【考点】交集及其运算；其他不等式的解法．【分析】求出集合A 中其他不等式的解集，确定出A ，找出A 与B 的公共部分即可求出交集． 【解答】解：由A 中的不等式变形得：log 41＜log 4x ＜log 44， 解得：1＜x ＜4，即A=（1，4）， ∵B=（﹣∞，2]， ∴A∩B=（1，2]． 故选D2．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ） A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2＜0 C ．存在x 0∈R ，使得x 02≥0 D ．存在x 0∈R ，使得x 02＜0 【考点】命题的否定；全称命题．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可． 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为．存在x 0∈R ，使得x 02＜0． 故选D ．3．如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 1、BC 1的中点，则以下结论中不成立的是（ ）A ．EF 与BB 1垂直 B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与CD 异面 D ．EF 与A 1C 1异面 【考点】异面直线的判定．【分析】观察正方体的图形，连B 1C ，则B 1C 交BC 1于F 且F 为BC 1中点，推出EF∥A 1C 1；分析可得答案． 【解答】解：连B 1C ，则B 1C 交BC 1于F 且F 为BC 1中点，三角形B 1AC 中EF，所以EF∥平面ABCD ，而B 1B⊥面ABCD ，所以EF 与BB 1垂直；又AC⊥BD，所以EF 与BD 垂直，EF 与CD 异面．由EF ，AC∥A 1C 1得EF∥A 1C 1故选D ．4．已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大的是（）A．6 B．8 C． D．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是四棱锥，利用三视图的数据直接求解四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积，得到最大值即可．【解答】解：因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为4，2，后面是等腰三角形，腰为3，所以后面的三角形的高为： =，所以后面三角形的面积为： =2．两个侧面面积为： =3，前面三角形的面积为： =6，四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积：6．故选A．5．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的应用；数列的应用．【分析】先设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，由题意可知：a+c=2b，由此可以导出该椭圆的离心率．【解答】解：设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，则2a+2c=2×2b，即a+c=2b⇒（a+c）2=4b2=4（a2﹣c2），所以3a2﹣5c2=2ac，同除a2，整理得5e2+2e﹣3=0，∴或e=﹣1（舍去），故选B．6．设函数f（x）定义在实数集上，f（2﹣x）=f（x），且当x≥1时，f（x）=lnx，则有（）A．B．C．D．【考点】对数值大小的比较．【分析】由f（2﹣x）=f（x）得到函数的对称轴为x=1，再由x≥1时，f（x）=lnx得到函数的图象，从而得到答案．【解答】解：∵f（2﹣x）=f（x）∴函数的对称轴为x=1∵x≥1时，f（x）=lnx∴函数以x=1为对称轴且左减右增，故当x=1时函数有最小值，离x=1越远，函数值越大故选C．7．设平面区域D是由双曲线y2﹣=1的两条渐近线和抛物线y2=﹣8x的准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点（x，y）∈D，则x+y的最小值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，画出三角形平面区域，根据z=x+y的最小值为斜率为﹣1的直线的纵截距的最小值，即可求出z=x+y的最小值．【解答】解：抛物线y2=﹣8x的准线方程为x=2，双曲线y2﹣=1的两条渐近线方程为y=±x，由题意，三角形平面区域的边界为x=2，y=±x，设z=x+y即y=z﹣x，则z=z﹣x的最小值为斜率为﹣1的直线的纵截距的最小值．：y=﹣x，平移可得，作出直线l当直线l过原点时，取得最小值0．故选：C．8．一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是（）A．m＞1，且n＜1 B．mn＜0 C．m＞0，且n＜0 D．m＜0，且n＜0【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由一次函数的图象和性质，我们可以求出一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的等价命题，进而逐一分析已知中四个答案中的条件与一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的充要关系，即可得到答案．【解答】解：若一次函数的图象同时经过第一、三、四象限则＞0，＜0，即m＞0且n＜0故“m＞1，且n＜1”是“一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的”的不充分也不必要条件；“mn＜0”是“一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的”的必要但不充分条件；“m＞0，且n＜0”是“一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的”的充要条件；“m＜0，且n＜0”是“一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的”的不充分也不必要条件；故选B9．若直线l过点P（﹣3，﹣）且被圆x2+y2=25截得的弦长是8，则直线l的方程为（）A．3x+4y+15=0 B．x=﹣3或3x+4y+15=0C．x=﹣3或y=﹣D．x=﹣3【考点】直线与圆的位置关系．【分析】算出圆心为O（0，0）、半径r=5，根据垂径定理算出直线到圆心的距离等于3．讨论直线斜率存在时设直线方程，由点到直线的距离公式建立关于k的等式，解出k，可得直线的方程；当直线斜率不存在时，直线方程为x+3=0，到圆心的距离也等于3，符合题意．由此即可得所求的直线方程．【解答】解：圆x2+y2=5的圆心为O（0，0），半径r=5；设圆心到直线的距离为d，①当过点P（﹣3，﹣）的直线斜率存在时，设直线方程为y+=k（x+3），即2kx﹣2y+6k﹣3=0，∵直线圆x2+y2=25截得弦长为8，∴根据垂径定理，得=4，即=4，解得d=3；根据点到直线的距离公式，得=3，解之得k=﹣，此时直线的方程为y+=﹣（x+3），化简得3x+4y+15=0；②当过点P（﹣3，﹣）的直线斜率不存在时，直线方程为x=﹣3，即x+3=0；由圆心到直线的距离d=3，可得直线被圆截得的弦长也等于8，符合题意；综上，所求的直线方程为3x+4y+15=0或x+3=0．故选：B．10．设椭圆=1（a ＞0，b ＞0）的离心率e=，右焦点F （c ，0），方程ax 2+bx ﹣c=0的两个根分别为x 1，x 2，则点P （x 1，x 2）在（ ）A ．圆x 2+y 2=2内B ．圆x 2+y 2=2上C ．圆x 2+y 2=2外D ．以上三种情况都有可能 【考点】椭圆的应用．【分析】先根据x 1+x 2=﹣，x 1x 2=﹣表示出x 12+x 22，再由e==得到a 与c 的关系，从而可表示出b 与c 的关系，然后代入到x 12+x 22的关系式中可得到x 12+x 22的范围，从而可确定答案．【解答】解：∵x 1+x 2=﹣，x 1x 2=﹣x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=e==∴a=2c b 2=a 2﹣c 2=3c 2所以x 12+x 22=＜2所以在圆内 故选A ．11．已知正三棱锥P ﹣ABC 的高PO 为h ，点D 为侧棱PC 的中点，PO 与BD 所成角的余弦值为，则正三棱锥P ﹣ABC 的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】利用异面直线所成的角，得到底面边长与高h 的关系，易求，V P ﹣ABC===．【解答】解：设底面边长为a ，连接CO 交AB 于F ，过点D 作DE∥PO 交CF 于E ，连接BE ，则∠BDE 即PO 与BD 所成角，∴cos∠BDE=，∵PO⊥面ABC ，∴DE⊥面ABC ，∴△BDE 是直角三角形，∵点D 为侧棱PC 的中点，∴DE=h ，∴BE=h ，在正三角形ABC 中，BF=a ，EF=CF=a ，在Rt△BEF 中，BE 2=EF 2+BF 2，∴，∴V P ﹣ABC ===故选：C ．12．若实数x 、y 满足x|x|﹣y|y|=1，则点（x ，y ）到直线y=x 的距离的取值范围是（ ）A ．[1，） B ．（0，] C ．（，1） D ．（0，1]【考点】简单线性规划．【分析】对x ，y 的取值进行分段，由此求出曲线方程，然后画图，由图形可得曲线上点（x ，y ）到直线y=x 的距离的取值范围．【解答】解：当x≥0且y≥0时， 方程化为：x|x|﹣y|y|=x 2﹣y 2=1； 当x ＞0且y ＜0时，方程化为：x|x|﹣y|y|=x 2+y 2=1； 当x ＜0且y ＞0时，无意义； 当x ＜0且y ＜0时，方程化为：x|x|﹣y|y|=y 2﹣x 2=1． 作出图象如图所示，∵直线y=x 为两段等轴双曲线的渐近线，四分之一个单位圆上的点到直线y=x 的距离的最大值为1， 故选：D ．二、填空题（每题5分）13．已知||=1，||=6， •（﹣）=2，则向量与的夹角为 ．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由•（﹣）=2，得，利用向量夹角公式可求得＜＞．【解答】解：由•（﹣）=2，得﹣=2，即=3，cos ＜，＞==，所以＜＞=，故答案为：．14．在抛物线y 2=2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为 2 ． 【考点】抛物线的简单性质．【分析】确定抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，考查结论．【解答】解：由题意，抛物线的准线方程为x=﹣由抛物线的定义，可得+4=5，∴p=2． 故答案为：215．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，左焦点为F 2，若椭圆上存在一点P ，满足线段PF 1相切于椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF 1的中点，则该椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设线段PF 1的中点为M ，利用OM 是△F 1PF 2的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形OMF 1的三边之长，再由勾股定理结合隐含条件求离心率．【解答】解：设线段PF 1的中点为M ，由题意知，OM=b ，又OM 是△F 1PF 2的中位线，∴OM=PF 2=b ，则PF 2=2b ，由椭圆的定义知PF 1=2a ﹣PF 2=2a ﹣2b ，又MF==（2a ﹣2b ）=a ﹣b ，OF 1=c ，在直角三角形OMF 1中，由勾股定理得：（a ﹣b ）2+b 2=c 2， 又a 2﹣b 2=c 2，可得2a=3b ， 故有4a 2=9b 2=9（a 2﹣c 2），由此可求得离心率e=，故答案为：．16．设必要不充分条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】充分性是说明p可以推出q，必要性说明由q可以推出p．在这个定义下进行正反认证，发现题中应该是必要不充分条件．【解答】解：若x≠0且x≠1，只有在x≥0的情况下，才有，说明充分性不成立反过来，若，说明在x≥0的大前提下，x2≠x可得x≠0且x≠1，说明必要性成立故答案为：必要不充分三、解答题（17、18、19、20、21各题12分，22题10分）17．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假．求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】根据题意，首先求得p、q为真时m的取值范围，再由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，分p 假q真与p真q假两种情况分别讨论，最后综合可得答案．【解答】解：由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，若p为真，则其等价于，解可得，m＞2；若q为真，则其等价于△＜0，即可得1＜m＜3，若p假q真，则，解可得1＜m≤2；若p真q假，则，解可得m≥3；综上所述：m∈（1，2]∪[3，+∞）．18．设△ABC的三内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若x∈[0，π），求函数f（x）=sin（x﹣B）+sinx的值域．【考点】解三角形；三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）根据a、b、c成等比数列，可得b2=ac，由正弦定理得sin2B=sinAsinC，利用，可得，根据b不是△ABC的最大边，即可求角B的大小；（Ⅱ）先化简函数，再根据x∈[0，π），可得，从而可得，故可求函数f（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）因为a、b、c成等比数列，所以b2=ac，所以由正弦定理得sin2B=sinAsinC．又，所以．因为sinB＞0，则．因为B∈（0，π），所以B=或．又b2=ac，则b≤a或b≤c，即b不是△ABC的最大边，故．…（Ⅱ）因为，则=．…∵x∈[0，π），∴，∴．故函数f（x）的值域是．…19．点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．求点P的坐标．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先根据椭圆的方程可分别求得A，F的坐标，设出点P的坐标，则可分别表示出和，进而根据PA⊥PF求得x和y的关系式，与椭圆方程联立求得x和y即交点P的坐标．【解答】解：由已知可得点A（﹣6，0），F（4，0）设点P的坐标是（x，y），则，由已知得，则或x=﹣6.由于y＞0，只能x=，于是，∴点P 的坐标是．20．如图，直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1=AC=CB=AB ．（Ⅰ）证明：BC 1∥平面A 1CD（Ⅱ）求二面角D ﹣A 1C ﹣E 的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）通过证明BC 1平行平面A 1CD 内的直线DF ，利用直线与平面平行的判定定理证明BC 1∥平面A 1CD （Ⅱ）证明DE⊥平面A 1DC ，作出二面角D ﹣A 1C ﹣E 的平面角，然后求解二面角平面角的正弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点，又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF，因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD ．（Ⅱ）因为直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，所以AA 1⊥CD，由已知AC=CB ，D 为AB 的中点，所以CD⊥AB，又AA 1∩AB=A，于是，CD⊥平面ABB 1A 1，设AB=2，则AA 1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，CD=，A 1D=，DE=，A 1E=3故A 1D 2+DE 2=A 1E 2，即DE⊥A 1D ，所以DE⊥平面A 1DC ，又A 1C=2，过D 作DF⊥A 1C 于F ，∠DFE 为二面角D ﹣A 1C ﹣E 的平面角，在△A 1DC 中，DF==，EF==，所以二面角D ﹣A 1C ﹣E 的正弦值．sin∠DFE=．21．如图，已知A（﹣4a，0）（a＞0），B、C两点分别在y轴和x轴上运动，并且满足•=0， =．（1）求动点Q的轨迹方程；（2）设过点A的直线与点Q的轨迹交于E、F两点，A′（4a，0），求直线A′E、A′F的斜率之和．【考点】轨迹方程；平面向量数量积的运算．【分析】（1）分别设出Q、B、C的坐标，利用向量等式把B的坐标用Q的坐标表示，结合•=0求得动点Q的轨迹方程；（2）写出过点A的直线为y=k（x+4a）（k≠0），联立直线方程和抛物线方程，利用根与系数的关系得到E，F两点纵坐标的和，再写出直线A′E、A′F的斜率之和整理得答案．【解答】解：（1）设Q（x，y），B（0，yB ），C（xC，0），则，，∵=，∴，则，又A（﹣4a，0）（a＞0），∴，由已知•=0，则，即y2=9ax，∴动点Q的轨迹方程为y2=9ax；（2）设过点A的直线为y=k（x+4a）（k≠0），再设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），联立，得ky 2﹣9ay+36a 2k=0，则，∴k A′E +k A′F =又，∴=，由，得k A′E +k A′F =0．22．在等腰直角△ABC 中，AB=AC=4，点P 是边AB 上异于A 、B 的一点，光线从点P 出发经过BC 、CA 反射后又回到点P ，光线交线段BC 于点Q ，交线段CA 于点R ，若光线QR 经过△ABC 的重心，求线段AP 的长度．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】建立坐标系，可得直线方程和重心坐标，由反射原理可得P 的两个对称点坐标，可得直线方程，进而可得P 的坐标，可得AP 长度．【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系，则A （0，0），B （4，0），C （0，4），可得BC 的方程为x+y=4，可得重心（，），设P （a ，0），则P 关于AC 即y 轴的对称点P′（﹣a ，0），设P 关于BC 的对称点P″（m ，n ），则，解得，即P″（4，4﹣a ），∴光线QR 即P′P″的方程为y=（x+a ），代入（，）可得=（+a ），解得a=或a=0（舍去）∴线段AP 的长度为。
重庆市重庆一中2016-2017学年高二上学期期末考试试卷 数学(理) Word版含答案
秘密★启用前2017年重庆一中高2018级高二上期期末考试数 学 试 题 卷（理科） 2017.1数学试题共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题：（本大题 12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须填涂在答题卡上相应位置。
1.椭圆22143x y +=的焦距为（ ） A.1 B.2 C.3 D.42.圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（ ）A.2πB.3πC.4πD.π3.已知圆22:440C x y ax y ++++=的圆心C 在直线20x y +=上，则实数a 的值为（ ）A.1B.1-C.2D.2-4.已知实数,x y 满足2000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A.4B.3C.0D.25.下列命题是真命题的是（ ）A.x R ∀∈，都有210x -≥ B.平面直角坐标系中任意直线都有斜率 C.a R ∃∈，使得21a> D.过空间一点存在直线与平面平行6.人民代表人民选，现从甲地区6名候选人选出3名人大代表、乙地区5名候选人选出2名人大代表，则不同的选法有（ ） A.80种B.100种C.150种D.200种7.已知平面α及平面α同一侧外的不共线三点,,A B C ，则“,,A B C 三点到平面α的距离都相等”是“平面//ABC 平面α”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8.如图，点O 为ABC ∆所在平面外一点，且,,OA OB OC 两两互相垂 直，1OA OC ==，点E 为棱AC 的中点，若三棱锥O ABC -的体积为12，则异面直线直线OA 与BE 所成角的余弦值为（ ）12 D.149.（原创）在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点,E F 分别是棱111,A D CC 的中点，在平面11BB C C 内存在点G 使得1//AG EF ，则直线AD 到平面EFG 的距离为（ ）10.（原创）已知点M 是双曲线22:1C x y -=上异于顶点的一点，O 是坐标原点，F 是双曲线C 的右焦点，且过F 作直线l 使得//l OM ，l 交双曲线C 于不同两点,A B ，则2=OM AB（ ） A.34 B.23 C.13 D.1211.（原创）如图，⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是一个三行两列的数表，现从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任选六个不同的数字填在该数表的6个方格子中，每个方格子中只填一个数字，且在这三行中只有．．第三行的两个数字之和为6，则不同的排列方法有（ ）种 A.2880 B.2156 C.3040 D.3544OACBE12.（原创）已知抛物线2:4(0)y px p Γ=>，AB 为过抛物线Γ焦点的弦，AB 的中垂线交抛物线Γ于点,C D 。
重庆市高二上学期期中数学试卷(理科)(II)卷(模拟)
重庆市高二上学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二上·邯郸期末) 在空间直角坐标系中，A，B，C三点到坐标分别为A（2，1，﹣1），B （3，4，λ），C（2，7，1），若，则λ=（）A . 3B . 1C . ±3D . ﹣32. （2分）已知向量,且A(-2,1),B(-1,3),C(3,4)，则点D的坐标为（）A . (2,1)B . (2,2)C . (1,2)D . (2,3)3. （2分） (2018高二上·集宁月考) 椭圆的离心率为（）A .B .C .D .4. （2分）已知双曲线的离心率为e<2，则k的范围为（）A .B .C .D .5. （2分）设椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上异于长轴端点的一点，，△的内心为I，则=（）A .B .C .D .6. （2分）抛物线的焦点坐标为（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·广安模拟) 椭圆的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形（O为坐标原点），则椭圆的离心率是（）A .B .C .D .8. （2分）焦点坐标是（-2，0），（2，0），且虚轴长为2的双曲线的方程是（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高二上·葫芦岛期中) 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足 =0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A . （0，1）B . （0， ]C . （0，）D . [ ，1）10. （2分） (2016高二上·昌吉期中) 焦点在x轴上的椭圆的焦距为4 ，则长轴长是（）A . 3B . 6C . 6D . 211. （2分）已知O为坐标原点，双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点O的两点A、B，若（+）•=0，则双曲线的离心率e为（）A . 2B . 3C .D .12. （2分）双曲线的顶点和焦点到其渐近线距离的比是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·呼伦贝尔开学考) 已知双曲线C：，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的率心率为________．14. （1分） (2017高二下·宾阳开学考) 已知双曲线E：﹣ =1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是________．15. （1分） (2016高二上·平原期中) 已知 =（2，﹣1，3）， =（﹣4，2，x）， =（1，﹣x，2），若（ + ）⊥ ，则实数x的值为________．16. （1分）(2019高二上·长治月考) 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共70分)17. （15分）(2017·闵行模拟) 如图，椭圆x2+ =1的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B为顶点，焦距为2 ，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M的纵坐标yM的取值范围；（3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由．18. （15分） (2017高一下·廊坊期末) 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）求二面角A1﹣BD﹣A的大小；（3）求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值．19. （10分）已知△ABC是边长为l的等边三角形，D、E分别是AB、AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到三棱锥A﹣BCF，其中BC= ．（1）证明：D E∥平面BCF；（2）证明：CF⊥平面ABF．20. （15分） (2016高二上·沙坪坝期中) 如图，椭圆C： =1（0＜b＜3）的右焦点为F，P为椭圆上一动点，连接PF交椭圆于Q点，且|PQ|的最小值为．（1）求椭圆方程；（2）若，求直线PQ的方程；（3） M，N为椭圆上关于x轴对称的两点，直线PM，PN分别与x轴交于R，S，求证：|OR|•|OS|为定值．21. （5分）(2018·茂名模拟) 已知椭圆C1以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4.（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的l倍(l＞1)，过点C(−1,0)的直线l与椭圆C2交于A ， B两个不同的点，若，求△OAB的面积取得最大值时直线l的方程.22. （10分） (2018高二下·佛山期中) 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为，，过右焦点的直线与椭圆交于，两点(点在轴上方)．（1）若，求直线的方程；（2）设直线，的斜率分别为，．是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共70分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、。
重庆市高二上学期期中数学试卷(理科)A卷(测试)
重庆市高二上学期期中数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二上·牡丹江期中) 已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A .B . 1C .D .2. （2分）双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高二下·杭州期末) 设向量 =（﹣1，﹣1，1）， =（﹣1，0，1），则cos＜，＞=（）A .B .C .D .4. （2分）已知、分别为椭圆C的两个焦点,点B为其短轴的一个端点,若为等边三角形,则该椭圆的离心率为（）A .B .C . 2D .5. （2分） (2016高二上·陕西期中) 下列命题正确的是（）A . 已知实数a，b，则“a＞b”是“a2＞b2”的必要不充分条件B . “存在x0∈R，使得”的否定是“对任意x∈R，均有x2﹣1＞0”C . 函数的零点在区间内D . 设m，n是两条直线，α，β是空间中两个平面，若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β6. （2分） (2015高二上·集宁期末) 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为侧面BCC1B1的中心．若 =z+x +y ，则x+y+z的值为（）A . 1B .C . 2D .7. （2分）如图，已知点S（0，3），SA，SB与圆C：x2+y2﹣my=0（m＞0）和抛物线x2=﹣2py（p＞0）都相切，切点分别为M，N和A，B，SA∥ON，=λ，则实数λ的值为（）A . 4B . 2C . 3D . 38. （2分） (2018高二上·白城月考) 在正三棱柱中，若，点是的中点，则点到平面的距离是（）A . 1B .C .D . 29. （2分） (2017高三上·安庆期末) 已知双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1 ，F2 ， O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=60°，则双曲线C的离心率为（）A .B .C .D .10. （2分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，点D在棱BB1上，若BD=3，则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为（）A .B .C .D .11. （2分）已知O为坐标原点，P是曲线：上到直线：距离最小的点，且直线OP是双曲线的一条渐近线。
高二数学上学期期中试题18
2016～2017学年度第一学期期中调研测试高二数学试题注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号写在答题纸上并填涂准考证号．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：样本数据123,,,...,n x x x x 的方差为2211()n i i S x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑一、填空题：本大题共14小题，每小 题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．圆2220x y x y +-+=的圆心坐标为 ▲ ． 2．命题“若1x =，则21x =”的逆命题是 ▲ ．3．如图，当输入的x 值为3时，输出y 的结果是 ▲ ． 4．如图是某校高二年级举办的歌咏比赛上，五位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所 剩数据的方差为 ▲ ．788345925．命题“:10p x -=”是命题“:(1)(2)0q x x -+=”的 条件．（填：“充分不必要”、“必要不充分”、“充要条件”、“既不充分也不必要”）6．某工厂生产甲、乙、丙3类产品共600件．已知甲、乙、丙3类产品数量之比为1:2:3．现 要用分层抽样的方法从中抽取120件进行质量检测，则甲类产品抽取的件数为__▲__． 7．圆221:9O x y +=与圆222:(3)(4)1O x y -+-=的公切线条数为 ▲ ． 8．某校高二年级共1000名学生，为了调查该年级学生视力情况，若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000，001，002，…，999，若抽样时确定每组都是抽出第2个数，则第6组抽出的学生的编号 ▲ ．9．一份共3道题的测试卷，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30%、50%、10%和10%，若班级共有50名学生，则班级平均分为 ▲ ．第3题图10．有一张画有内接正方形的圆形纸片，若随机向圆形纸片内丢一粒小豆子，则豆子落入正方形内的概率为 ▲ ．11．执行如图所示的伪代码，输出i 的值为 ▲ ．1020232Pr int i S While S S i i i End While i←←<←+←+ 12．已知圆229x y +=与圆224230x y x y +-+-=相交于,A B 两点，则线段AB 的长为 ▲ ．13．已知直线y x b =+与圆222440x y x y +-+-=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，若0OA OB =u u r u u u r g ，则实数b 的值为 ▲ ．14．已知点(1,2),(3,2)M N ，点F 是直线:3l y x =-上的一动点，当MFN ∠最大时，过点,,M N F 的圆的方程是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤． 15．（本题满分14分）某校举行“青少年禁毒”知识竞赛网上答题，高二年级共有500名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了100名学生的成绩进行统计．请你解答下列问题：（1）根据下面的频率分布表和频率分布直方图，求出a d +和b c +的值；（2）若成绩不低于90分的学生就能获奖，问所有参赛学生中获奖的学生约为多少人？分数 (第15题图)16．（本题满分14分）将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察其向上的点数，分别记为,x y ． （1）若记“8x y +=”为事件A ，求事件A 发生的概率； （2）若记“2212x y +≤”为事件B ，求事件B 发生的概率． 17．（本题满分14分）给出如下算法：0Re 12(1)End For Print S ad nFor i Form To nS S i i S← ←++ g 试问：当循环次数为n （*n N ∈）时，若S M <对一切n （*n N ∈）都恒成立，求M的最小值． 18．（本题满分16分）河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距离水面9m ，拱圈内水面宽22m ，一条船在水面以上部分高6.5m ，船顶部宽4m ，故通行无阻，今日水位暴涨了2.7m ，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．试问：船身至少应该降低多少米？（精确到0.01，参考数据：99.383≈）19．（本题满分16分）已知圆C ：224440x y x y +--+=，点(3,4)E ．（1）过点E 的直线l 与圆交与,A B 两点，若AB =l 的方程；（2）从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点记为M ，O 为坐标原点，且满足PM PO =，求使得PM 取得最小值时点P 的坐标．20．（本题满分16分）已知直线1l ：(14)(23)(214)0k x k y k +--+-=，圆C ：226890x y x y +--+=． （1）判断直线1l 与圆的位置关系，并证明你的结论；（2）直线2l 过直线1l 的定点且12l l ⊥，若1l 与圆C 交与,A B 两点，2l 与圆C 交与,E F两点，求AB EF +的最大值．2016～2017学年度第一学期期中调研测试高二数学试题参考答案一、填空题：1、1(,1)2-2、若21x =，则1x = 3、12 4、235、充分不必要6、207、48、101 9、2 10、2π11、9 12 13、1或4- 14、22(2)(1)2x y -+-= 二、解答题：15、解 （1）39,0.33a d b c +=+= （每个值４分，共８分）（2）由（1）知学生成绩在[90,100]之间的频率为0.3，故可估计所有参赛学生中能获奖的人数约为5000.3150⨯=人．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 16、解 将骰子抛掷一次，它出现的点数有1,2,3,4,5,6这六种结果．先后抛掷2次骰子，第一次骰子向上的点数有6种可能的结果，对于每一种，第二次又有6种可能出现的结果，于是基本事件一共有6636⨯=（种）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（1）记“8x y +=”为事件A ，则A 事件发生的基本事件有5个，所以所求的概率为 5()36P A =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 （2）记“2212x y +≤”为事件B ，则B 事件发生的基本事件有6个，所以所求的概率为61()366P B == ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 答：事件A 发生的概率为536，事件B 发生的概率为16． ．．．．．．．．．．．．．．14分17、解 由循环语句知 222...1223(1)S n n =+++⨯⨯+ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分所以111111112[()()...()()]122311S n n n n =-+-++-+--+12(1)1n =-+ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 记2()21f x x =-+，易知()f x 在(1,)-+∞上单调递增所以 ()2f x <所以对一切*()n n N ∈，都有2S <，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12分 所以2M ≥，即M 的最小值为2． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分18、解 设正常水位时水面与拱桥的交点分别为,A B ，以AB 的中点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xoy ，则(11,0),(11,0),(0,9)A B D -，设拱桥所在圆方程为220x y Dx Ey F ++++=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分所以1112101112109810D F D F E F ++=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩解得0409121D E F =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩ ．．．．．．．．．．．8分所以圆方程为224012109x y y ++-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 当2x =，可得当2x =时，208.829y =≈ ．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 故有 6.5(8.82 2.70)0.38m --= ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 ∴为使船能通过桥洞，船身应该至少降低0.38m ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分 19、解 圆C 方程可化为22(2)(2)4x y -+-=（1）当直线l 与x轴垂直时，满足AB =:3l x = ．．．．．．．2分 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 方程为4(3)y k x -=-，即34y kx k =-+ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分因为AB =，所以圆心到直线的距离1d = ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 由点到直线的距离公式得1= 解得34k =所以直线l 的方程为3744y x =+ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分所以所求直线l 的方程为3x =或 3744y x =+．．．．．．． ．．．．．．．7分 （2）因为PM PO =，PM =，PO =化简得1110y x +-= ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 即点11(,)P x y 在直线10y x +-=上， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 当PM 最小是时，即PO 取得最小，此时OP 垂直直线10y x +-=所以OP 的方程为0y x -= ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分所以010y x y x -=⎧⎨+-=⎩ 解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点P 的坐标为11(,)22． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分 20、解 （1）直线与圆相交 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 证明：直线方程可整理为(22)(4314)0x y x y k -+++-=所以22043140x y x y -+=⎧⎨+-=⎩ 解得22x y =⎧⎨=⎩所以直线过定点(2,2)P ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分 圆C 方程可整理为22(3)(4)16x y -+-=因为圆心C 到点(2,2)P 的距离d 为d ==由4d =，所以直线与圆C 相交． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）设点C 到直线AB ，EF 的距离分别为1212,(,0)d d d d ≥则22125d d += ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分又AB EF ==所以AB EF +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 则22()AB EF +==22124(1616d d -+-+=4(27+=4(27+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分又因为22121225d d d d ≤+=所以2212254d d ≤（当且仅当12d d ==时取到等号）．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分所以272≤==所以227()4(272)2162AB EF +≤+⨯=所以AB EF +≤所以AB EF +的最大值为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分。
2017-2018学年重庆一中高二上学期期中考试数学(理)试题Word版 含答案
2017-2018学年重庆一中高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知命题:p x R ∃∈， 210x x -+>，则（ ）A. :p x R ⌝∃∈， 210x x -+≤B. :p x R ⌝∃∈， 210x x -+<C. :p x R ⌝∀∈， 210x x -+≤D. :p x R ⌝∀∈， 210x x -+<【答案】C【解析】 命题:p x R ∃∈， 210x x -+>的否定是特称命题，故可知其否定为 :p x R ⌝∀∈， 210x x -+≤故选C2．“0mn >”是“方程221mx ny +=表示焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】方程221mx ny +=转化为221x y m n +=表示焦点在x 轴上的椭圆 则110m n>>，即0n m >> ∴ “0mn >”是“方程221mx ny +=表示焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件 故选B3．若球的体积与其表面积数值相等，则球的大圆面积等于（ ）A. πB. 3πC. 6πD. 9π【答案】D【解析】由题意得： 32443R R ππ= 3R ∴=则球的大圆面积等于9π故选D4．若双曲线以2y x =±为渐近线，且过(1,A ，则双曲线的方程为（ ） A. 2214y x -= B. 2214y x -= C. 221164x y -= D. 221164y x -= 【答案】D【解析】(1)若焦点在x 轴上，则22221x y a b-=由题意得： 221201{ 2a b b a-==，无解舍去 （2）若焦点在y 轴上，则22221y x a b-= 由题意得： 222011{ 2a b b a-==，解得2216{ 4a b == 故双曲线的方程为221164y x -= 故选D5．下列命题是真命题的是（ ）A. 命题“若8a b +≠，则2a ≠或6b ≠”为真命题B. 命题“若8a b +≠，则2a ≠或6b ≠”的逆命题为真命题C. 命题“若220x x -=，则0x =或2x =”的否命题为“若220x x -≠，则0x ≠或2x ≠”D. 命题“若220x x -=，则0x =或2x =”的否定形式为“若220x x -≠，则0x ≠或2x ≠”【答案】A【解析】B ，逆命题为“若2a ≠或6b ≠，则8a b +≠”，当44a b ==，时， 8a b +=，故错误；C ，其否命题为“若220x x -≠，则0x ≠且2x ≠”，故错误；D ，其否定形式为“若220x x -=，则0x ≠且2x ≠”，故错误；故选A6．已知直线m n l 、、和平面,αβ，直线m ⊂平面α，下面四个结论：①若n α⊥，则n m ⊥；②若||,||n l αα，则||n l ；③若,||,||l n n αβαβ⋂=，则||n l ；④若,n n αβ⊥⊥，则||αβ；⑤若直线n l 、互为异面直线且分别平行于平面αβ、，则||αβ.其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】②中,n l αα ，则n l 错误，直线n ， l 可能是异面直线；⑤中， αβ 错误，根据面面平行的判定定理，要有两条相交线与面平行，才能证明； 故选C7．下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A. 8B. 16C. 32D. 48【答案】B【解析】由题意得：几何体如下图所示几何体为四棱锥，底面为直角梯形，梯形上底下底分别为42，，高为4 四棱锥的高为4 故该几何体的体积为()1142441632V =⨯⨯+⨯⨯= 故选B 8．直线40x y m ++=交椭圆22116x y +=于A B 、两点，若线段AB 中点的横坐标为1，则m =（ ）A. -2B. -1C. 1D. 2【答案】A【解析】40x y m ++= ， 144m y x ∴=-- 设()11A x y ，， ()22B x y ， 22112222116{ 116x y x y +=+=，两式相减， ()121212121164y y x x x x y y -+=-=--+ AB 中点的横坐标为1 则纵坐标为14将114⎛⎫⎪⎝⎭，代入直线144m y x =--，解得2m =- 点睛：本题主要考查了直线与椭圆相交的性质的应用，要注意灵活应用题目中的直线的中点即直线的斜率的条件的表示，本题中设而不求的解法是处理直线与圆锥取消相交中涉及到斜率与中点时常用的方法，比较一般联立方程的方法可以简化基本运算。
数学---重庆市南川中学2016-2017学年高二(上)期中试卷(文)(解析版)
2016-2017学年重庆市南川中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．（5分）直线x﹣y+1=0的倾斜角为（）A．B．C．D．2．（5分）命题：“∀x≥0，x2≥0”的否定是（）A．∀x＜0，x2＜0 B．∀x≥0，x2＜0C．∃x＜0，x2＜0 D．∃x≥0，x2＜03．（5分）若p是假命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．￢p是假命题D．￢q是假命题4．（5分）已知两平行直线3x﹣4y+1=0和3x﹣4y﹣4=0，则两直线的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）若三点A（﹣1，0），B（2，3），C（0，m）共线，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．26．（5分）已知命题p：x=1且y=1，命题q：x+y=2，则命题p是命题q的（）条件．A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面8．（5分）若已知A（1，1，1），B（﹣3，﹣3，﹣3），则线段AB的长为（）A．4B．2C．4D．39．（5分）已知F1、F2是椭圆的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A、B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为（）A．6 B．5 C．4 D．310．（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的体积为（）A．36πB．34πC．32πD．30π11．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣B．﹣C．D．212．（5分）已知圆M：（x+）2+y2=36，定点N（，0），点P为圆M上的动点，点Q 在NP上，点G在线段MP上，且满足=2，•=0，则点G的轨迹方程为（）A．+=1 B．+=1C．﹣=1 D．﹣=1二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置）13．（5分）命题“若x2＜2，则”的逆否命题是．14．（5分）已知直线过点（2，0）与（0，﹣3），则该直线的方程为．15．（5分）已知正三棱锥V﹣ABC的正视图、俯视图如图所示，它的侧棱VA=2，底面的边AC=2，则由该三棱锥的表面积为．16．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为椭圆E：+=1 （a＞b＞0）的左顶点，B，C在椭圆E上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=30°，则椭圆E的离心率等于．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知直线的方程为3x﹣4y+2=0．（1）求过点（﹣2，2）且与直线l垂直的直线方程；（2）求直线x﹣y﹣1=0与2x+y﹣2=0的交点，且求这个点到直线的距离．18．（12分）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直．（1）证明：BC∥平面PDA；（2）证明：BC⊥PD．19．（12分）命题p：A={x||x﹣a|≤4}，命题q：B={x|（x﹣2）（x﹣3）≤0}（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面P AD是等边三角形，且平面P AD⊥底面ABCD，G为AD的中点．（1）求证：BG⊥平面P AD；（2）求点G到平面P AB的距离．21．（12分）已知圆C的圆心坐标（1，1），直线l：x+y=1被圆C截得弦长为，（1）求圆C的方程；（2）从圆C外一点p（2，3）向圆引切线，求切线方程．22．（12分）已知椭圆C：的离心率为，且过点P（1，），F为其右焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点A（4，0）的直线l与椭圆相交于M，N两点（点M在A，N两点之间），若△AMF与△MFN的面积相等，试求直线l的方程．参考答案一、选择题1．A【解析】将x﹣y+1=0变为：y=x+1，则直线的斜率k=1，由tan=1得，所求的倾斜角是，故选A．2．D【解析】由全称命题的否定为特称命题，命题：“∀x≥0，x2≥0”的否定是“∃x≥0，x2＜0”，故选：D．3．B【解析】p是假命题，q是假命题，￢p是真命题，￢q是真命题，可得p∨q是假命题．故选：B．4．A【解析】两平行直线3x﹣4y+1=0和3x﹣4y﹣4=0间的距离为d==1，故选：A．5．A【解析】∵三点A（﹣1，0），B（2，3），C（0，m）共线，∴，∴（1，m）=λ•（3，3）=（3λ，3λ），解得m=1，故选A．6．B【解析】由p⇒q，反之不成立，例如取x=3，y=﹣1．∴命题p是命题q的充分不必要条件．故选：B．7．B【解析】对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错；对于B，∵l1⊥l2，∴l1，l2所成的角是90°，又∵l2∥l3∴l1，l3所成的角是90°∴l1⊥l3，B对；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错．故选B．8．A【解析】|AB|==4故选A9．A【解析】由椭圆的定义得两式相加得|AB|+|AF2|+|BF2|=16，又因为在△AF1B中，有两边之和是10，所以第三边的长度为：16﹣10=6故选A．10．D【解析】根据几何体的三视图知，该几何体是半球体与圆锥体是组合体，结合图中数据可得，球的半径R==3；所以该几何体的体积为V几何体=×πR3+πR2h=×π×33+π×32×4=30π．故选：D．11．A【解析】圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1，解得：a=，故选：A．12．A【解析】由=2，•=0，知Q为PN的中点且GQ⊥PN，∴GQ为PN的中垂线，∴|PG|=|GN|∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a=3，半焦距c=，∴短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是+=1．故选：A．二、填空题13．“若|x|≥，则x2≥2”【解析】命题“若x2＜2，则”的逆否命题是“若|x|≥，则x2≥2”．故答案为：“若|x|≥，则x2≥2”．14．=1【解析】由截距式，可得直线的方程为=1．故答案为=1．15．6【解析】正三棱锥V﹣ABC中，侧棱长VA=2，底面三角形的边长AC=2，可得底面面积为：×2×2×sin60°=3，侧面的侧高为：=1，故每个侧面的面积为：×2×1=，故该三棱锥的表面积为3+3×=6．故答案为：6．16．【解析】∵AO是与X轴重合的，且四边形OABC为平行四边形∴BC∥OA，B、C两点的纵坐标相等，B、C的横坐标互为相反数∴B、C两点是关于Y轴对称的．由题知：OA=a四边形OABC为平行四边形，所以BC=OA=a可设B（﹣，y）C（，y）代入椭圆方程解得：|y|=b，设D为椭圆的右顶点，因为∠OAB=30°，四边形OABC为平行四边形所以∠COD=30°对C点：tan30°==解得：a=3b根据：a2=c2+b2得：a2=c2+e2=e=故答案为：．三、解答题17．解：（1）设与直线3x﹣4y+2=0垂直的直线方程为4x+3y+c=0，把点（﹣2，2）代入，得：﹣8+6+c=0，解得c=2，∴所求直线方程为4x+3y+2=0．（2）联立，得，∴直线x﹣y﹣1=0与2x+y﹣2=0的交点为A（1，0），点A（1，0）到直线3x﹣4y+2=0的距离：d==1．18．证明：（1）因为四边形ABCD是长方形，所以BC∥AD，因为BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，所以BC∥平面PDA．（2）因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD，因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面PDC，因为PD⊂平面PDC，所以BC⊥PD．19．解：（1）命题p：A={x||x﹣a|≤4}=[a﹣4，a+4]，命题q：B={x|（x﹣2）（x﹣3）≤0}=[2，3]．∵A∩B=∅，∴a+4＜2，或a﹣4＞3，解得a＜﹣2，或a＞7．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（7，+∞）．（2）q是p的充分不必要条件，则a﹣4≤2，3≤a+4，解得1≤a≤6，∴实数a的取值范围是[1，6]．20．（1）证明：连接PG，∴PG⊥AD，∵平面P AG⊥平面ABCD∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥GB，又ABCD是菱形，且∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴GB⊥AD，∴GB⊥平面P AD．（2）解；设点G到平面P AB的距离为h，△P AB中，P A=AB=a∴面积S=•a•a=a2，∵v G﹣P AB=V A﹣PGB=a2×h=a2×a，∴h=a．21．解：（1）设圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=r2因为圆心C到直线l的距离：d==，所以：r2=+=1，即r=1，圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1；（2）当切线的斜率不存在时，显然x=2为圆的一条切线；当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为y﹣3=k（x﹣2），即：kx﹣y﹣2k+3=0由=1，解得k=，所以切线方程为y﹣3=（x﹣2），即3x﹣4y+6=0综上：所求的切线方程为x=2和3x﹣4y=6=0．22．解：（Ⅰ）∵椭圆C：的离心率为，∴，所以a=2c，b=c．设椭圆方程为，又点P（1，）在椭圆上，所以，解得c=1，所以椭圆方程为．（Ⅱ）易知直线l的斜率存在，设l的方程为y=k（x﹣4），由，消去y整理，得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由题意知△=（32k2）2﹣4（3+4k2）（64k2﹣12）＞0，解得．设M（x1，y1），N（x2，y2），则①，②．因为△AMF与△MFN的面积相等，所以|AM|=|MN|，所以2x1=x2+4 ③由①③消去x2得x1=④将x2=2x1﹣4代入②得x1（2x1﹣4）=⑤将④代入⑤，整理化简得36k2=5，解得，经检验成立．所以直线l的方程为y=（x﹣4）．。
2016-2017年重庆市万州二中高二上学期期中数学试卷及参考答案(理科)
2016-2017学年重庆市万州二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0，圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0，则圆C1与圆C2的位置关系为（）A．外切B．内切C．相交D．相离2．（5分）如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A．6 B．8 C．2+3D．2+23．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；④若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①和③B．②和③C．③和④D．①和④4．（5分）过点（3，1）作一直线与圆（x﹣1）2+y2=9相交于M、N两点，则|MN|的最小值为（）A．B．2 C．4 D．65．（5分）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2π+2B．4π+2C．2π+D．4π+6．（5分）已知圆的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A．B．C．D．7．（5分）把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．（5分）若过点的直线与圆x2+y2=4有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．9．（5分）平面上到定点A（l，2）距离为1且到定点B（5，5）距离为d的直线共有4条，则d的取值范是（）A．（0，4） B．（2，4） C．（2，6） D．（4，6）10．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，M是棱PC上一点．若PA=AC=a，则当△MBD的面积为最小值时，直线AC与平面MBD 所成的角为（）A．B．C．D．11．（5分）若实数x，y满足x2+y2﹣2x+2y+3=0，则x﹣y的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，6） C．[2，6]D．[﹣4，0]12．（5分）已知边长为的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿对角线BD折成二面角A﹣BD﹣C为120°的四面体ABCD，则四面体的外接球的表面积为（）A．25πB．26πC．27πD．28π二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若圆x2+（y﹣1）2=4上存在A，B两点关于点P（1，2）成中心对称，则直线AB的方程为．14．（5分）已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且AB=2，BC=1，AC=3，三棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积为．15．（5分）一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的倍．16．（5分）三棱锥ABCD中，BC=DC=AB=AD=，BD=2，平面ABD⊥平面BCD，O为BD的中点，P、Q分别为线段AO，BC上的动点，且AP=CQ，求三棱锥PQCO 体积的最大值．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）四面体ABCD及其三视图如图1，2所示．（1）求四面体ABCD的体积；（2）若点E为棱BC的中点，求异面直线DE和AB所成角的余弦值．18．（12分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．（1）求AC边所在直线方程；（2）求顶点C的坐标；（3）求直线BC的方程．19．（12分）已知四棱锥A﹣BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；（Ⅱ）求证：平面ADE⊥平面ACD；（Ⅲ）求四棱锥A﹣BCDE的体积．20．（12分）如图，四边形ABCD为矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E 为BC上的动点．（1）当E为BC的中点时，求证：PE⊥DE；（2）设PA=1，在线段BC上存在这样的点E，使得二面角P﹣ED﹣A的平面角大小为．试确定点E的位置．21．（12分）已知曲线C的方程为：ax2+ay2﹣2a2x﹣4y=0（a≠0，a为常数）．（1）判断曲线C的形状；（2）设曲线C分别与x轴、y轴交于点A、B（A、B不同于原点O），试判断△AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；（3）设直线l：y=﹣2x+4与曲线C交于不同的两点M、N，且|OM|=|ON|，求曲线C的方程．22．（12分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；（2）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．（3）求线段AB长度的最小值．2016-2017学年重庆市万州二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0，圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0，则圆C1与圆C2的位置关系为（）A．外切B．内切C．相交D．相离【解答】解：由于圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0，即（x+1）2+（y+4）2=25，表示以C1（﹣1，﹣4）为圆心，半径等于5的圆．圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=10，表示以C2（2，2）为圆心，半径等于10的圆．由于两圆的圆心距等于=3，大于半径之差而小于半径之和，故两个圆相交．故选：C．2．（5分）如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A．6 B．8 C．2+3D．2+2【解答】解：作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段C′B′∥x′轴，所以在原图形中对应的线段平行于x轴且长度不变，点C′和B′在原图形中对应的点C和B的纵坐标是O′B′的2倍，则OB=2，所以OC=3，则四边形OABC的长度为8．故选：B．3．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；④若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①和③B．②和③C．③和④D．①和④【解答】解：对于①，由n∥α，可知α内有直线l与n平行，由m⊥α，知m⊥l，则m⊥n，①正确；对于②，若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α与β相交，②错误；对于③，若α∥β，β∥γ，知α∥γ，由m⊥α，则m⊥γ，③正确；④若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β或α与β相交，④错误．∴正确的命题是①③．故选：A．4．（5分）过点（3，1）作一直线与圆（x﹣1）2+y2=9相交于M、N两点，则|MN|的最小值为（）A．B．2 C．4 D．6【解答】解：圆心到（3，1）的距离：所以|MN|min=4故选：C．5．（5分）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2π+2B．4π+2C．2π+D．4π+【解答】解：此几何体为一个上部是正四棱锥，下部是圆柱由于圆柱的底面半径为1，其高为2，故其体积为π×12×2=2π棱锥底面是对角线为2的正方形，故其边长为，其底面积为2，又母线长为2，故其高为由此知其体积为=故组合体的体积为2π+故选：C．6．（5分）已知圆的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，∴整理得：（x﹣4）2+y2=1，∴圆心为C（4，0），半径r=1．又∵直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴点C到直线y=kx+2的距离小于或等于2，∴≤2，化简得：3k2+4k≤0，解之得﹣≤k≤0，∴k的最小值是﹣．故选：A．7．（5分）把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：如图，当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大取AC的中点E，则BE⊥平面DAC，故直线BD和平面ABC所成的角为∠DBEcos∠DBE=，∴∠DBE=45°．故选：B．8．（5分）若过点的直线与圆x2+y2=4有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：当过点的直线与圆x2+y2=4相切时，设斜率为k，则此直线方程为y+2=k（x+2），即kx﹣y+2k﹣2=0．由圆心到直线的距离等于半径可得=2，求得k=0或k=，故直线的倾斜角的取值范围是[0，]，故选：B．9．（5分）平面上到定点A（l，2）距离为1且到定点B（5，5）距离为d的直线共有4条，则d的取值范是（）A．（0，4） B．（2，4） C．（2，6） D．（4，6）【解答】解：平面上到定点A（l，2）距离为1的点的轨迹为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1．到定点B（5，5）距离为d的点的轨迹为：（x﹣5）2+（y﹣5）2=d2．∵平面上到定点A（1，2）距离为1且到定点B（5，5）距离为d的直线共有4条，∴上述两个圆外离，∴1＜1+d＜=5，解得0＜d＜4．则d的取值范是（0，4）．故选：A．10．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，M是棱PC上一点．若PA=AC=a，则当△MBD的面积为最小值时，直线AC与平面MBD 所成的角为（）A．B．C．D．【解答】解：连结AC，BD交于O，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，所以：PA⊥BDAC⊥BD．所以BD⊥平面PAC进一步求出：BM=DM过O点作OM⊥PC于M，当△MBD的面积为最小时，只需OM最小即可．若PA=AC=a所以：∠ACP=即为所求．故选：B11．（5分）若实数x，y满足x2+y2﹣2x+2y+3=0，则x﹣y的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，6） C．[2，6]D．[﹣4，0]【解答】解：∵实数x，y满足x2+y2﹣2x+2y+3=0，配方可得（x﹣1）2+（y+）2=1，故可设x﹣1=cosθ，y+=sinθ，则x=1+cosθ，y=﹣sinθ，∴x﹣y=1+cosθ﹣（﹣sinθ）=4+cosθ﹣sinθ=4+2cos（θ+），∴当cos（θ+）=1时，原式取最大值4+2=6；当cos（θ+）=﹣1时，原式取最小值4﹣2=2．故选：C．12．（5分）已知边长为的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿对角线BD折成二面角A﹣BD﹣C为120°的四面体ABCD，则四面体的外接球的表面积为（）A．25πB．26πC．27πD．28π【解答】解：如图所示，∠AFC=120°，∠AFE=60°，AF==3，∴AE=，EF=设OO′=x，则∵O′B=2，O′F=1，∴由勾股定理可得R2=x2+4=（+1）2+（﹣x）2，∴R2=7，∴四面体的外接球的表面积为4πR2=28π，故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若圆x2+（y﹣1）2=4上存在A，B两点关于点P（1，2）成中心对称，则直线AB的方程为x+y﹣3=0．【解答】解：由题意，圆x2+（y﹣1）2=4的圆心坐标为C（0，1），∵圆x2+（y﹣1）2=4上存在A，B两点关于点P（1，2）成中心对称，∴CP⊥AB，P为AB的中点，∵=1，∴k AB=﹣1，∴直线AB的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即x+y﹣3=0．故答案为：x+y﹣3=0．14．（5分）已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且AB=2，BC=1，AC=3，三棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积为12π．【解答】解：△ABC中AB=2，BC=1，AC=3，由勾股定理可知斜边AC的中点O′就是△ABC的外接圆的圆心，∵三棱锥O﹣ABC的体积为，∴=，∴OO′=∴R==，球O的表面积为4πR2=12π．故答案为：12π．15．（5分）一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的2倍．【解答】解：∵一个圆柱和一个圆锥同底等高∴设底面半径为r，高为h，∵圆锥的侧面积是其底面积的2倍，∴πrl=2πr2，l=2rh=r∴圆柱的侧面积=2πrl=2πr2，其底面积=πr2∴圆柱的侧面积是其底面积的2倍，故答案为：．16．（5分）三棱锥ABCD中，BC=DC=AB=AD=，BD=2，平面ABD⊥平面BCD，O为BD的中点，P、Q分别为线段AO，BC上的动点，且AP=CQ，求三棱锥PQCO 体积的最大值．【解答】解：如图所示，∵BC=DC=AB=AD=，BD=2，平面ABD⊥平面BCD，O为BD的中点，∴AO⊥平面BCD，AO=OC=1，∠OCB=45°．设AP=x（0＜x＜1）．∴==x．∴三棱锥PQCO体积V====，当且仅当x=时取等号．∴三棱锥PQCO体积的最大值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）四面体ABCD及其三视图如图1，2所示．（1）求四面体ABCD的体积；（2）若点E为棱BC的中点，求异面直线DE和AB所成角的余弦值．【解答】解：（1）根据直角三角形性质，得：BD⊥DC，AD⊥DC，∴l1=AD=1，，∴四面体ABCD的体积．（2）取AC中点F，连DF，EF，则∠DEF为AB与DE所成角或补角．，∴．所以异面直线DE和AB所成角的余弦值．18．（12分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．（1）求AC边所在直线方程；（2）求顶点C的坐标；（3）求直线BC的方程．【解答】解：（1）由AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0可知k AC=﹣2，又A（5，1），AC边所在直线方程为y﹣1=﹣2（x﹣5），即AC边所在直线方程为2x+y﹣11=0．（2）由AC边所在直线方程为2x+y﹣11=0，AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，由，解得x=4，y=3，所以顶点C的坐标为（4，3）．（3）设点B的坐标为（x0，y0），且点B与点A关于直线2x﹣y﹣5=0对称，∴2•﹣﹣5=0，又点B在直线BH上，∴x0﹣2y0﹣5=0，∴x0=﹣1，y0=﹣3，所以，由两点式，得直线BC的方程为6x﹣5y﹣9=0．19．（12分）已知四棱锥A﹣BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；（Ⅱ）求证：平面ADE⊥平面ACD；（Ⅲ）求四棱锥A﹣BCDE的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取AC中点G，连接FG、BG，∵F，G分别是AD，AC的中点∴FG∥CD，且FG=DC=1．∵BE∥CD∴FG与BE平行且相等∴EF∥BG．EF⊄面ABC，BG⊂面ABC∴EF∥面ABC…（4分）（Ⅱ）∵△ABC为等边三角形∴BG⊥AC又∵DC⊥面ABC，BG⊂面ABC∴DC⊥BG∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC，DC，∴BG⊥面ADC．…（6分）∵EF∥BG∴EF⊥面ADC∵EF⊂面ADE，∴面ADE⊥面ADC．…（8分）解：（Ⅲ）方法一：连接EC，该四棱锥分为两个三棱锥E﹣ABC和E﹣ADC．．…（12分）方法二：取BC的中点为O，连接AO，则AO⊥BC，又CD⊥平面ABC，∴CD⊥AO，BC∩CD=C，∴AO⊥平面BCDE，∴AO为V A的高，，∴﹣BCDE．20．（12分）如图，四边形ABCD为矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E 为BC上的动点．（1）当E为BC的中点时，求证：PE⊥DE；（2）设PA=1，在线段BC上存在这样的点E，使得二面角P﹣ED﹣A的平面角大小为．试确定点E的位置．【解答】证明：以为原点，AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图．…（1分）（1）不妨设AP=a，则P（0，0，a），E（1，1，0），D（0，2，0），从而，…（5分）于是•=（1，1，﹣a）•（1，﹣1，0）=0，所以，所以PE⊥DE…（6分）（2）解：设BE=x，则P（0，0，1），E（1，x，0），D（0，2，0），则…（8分）向量为平面AED的一个法向量．设平面PDE的法向量为，则应有即解之得c=2b，令b=1，则c=2，a=2﹣x，从而，…（10分）依题意=，即，解之得（舍去），所以点E在线段BC上距B点的处．…（12分）21．（12分）已知曲线C的方程为：ax2+ay2﹣2a2x﹣4y=0（a≠0，a为常数）．（1）判断曲线C的形状；（2）设曲线C分别与x轴、y轴交于点A、B（A、B不同于原点O），试判断△AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；（3）设直线l：y=﹣2x+4与曲线C交于不同的两点M、N，且|OM|=|ON|，求曲线C的方程．【解答】解：（1）将曲线C的方程化为﹣﹣（2分）可知曲线C是以点（a，）为圆心，以为半径的圆．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）△AOB的面积S为定值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）证明如下：在曲线C的方程中令y=0得ax（x﹣2a）=0，得点A（2a，0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）在曲线C的方程中令x=0得y（ay﹣4）=0，得点B（0，），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴S=|OA||OB|=|2a|||=4（为定值）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（3）∵圆C过坐标原点，且|OM|=|ON|，∴圆心（a，）在MN的垂直平分线上，∴=，∴a=±2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）当a=﹣2时，圆心坐标为（﹣2，﹣1），圆的半径为，圆心到直线l：y=﹣2x+4的距离d==＞，直线l与圆C相离，不合题意舍去，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）∴a=2，这时曲线C的方程为x2+y2﹣4x﹣2y=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）22．（12分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；（2）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．（3）求线段AB长度的最小值．【解答】解：（1）由题意知，圆M的半径r=2，M（0，4），设P（2b，b），∵PA是圆M的一条切线，∴∠MAP=90°，∴，解得，∴P（0，0）或．（2）设P（2b，b），∵∠MAP=90°，∴经过A，P，M三点的圆N以MP为直径，其方程为，即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0，由，解得或，∴圆过定点（0，4），．（3）因为圆N方程为，即x2+y2﹣2bx﹣（b+4）y+4b=0，圆M：x2+（y﹣4）2=4，即x2+y2﹣8y+12=0，②﹣①得：圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：2bx+（b﹣4）y+12﹣4b=0，点M到直线AB的距离，相交弦长即：，当时，AB有最小值．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
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2016-2017学年重庆十八中高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线3x+y﹣a=0与6x+2y+1=0的位置关系是（ ） A．相交 B．平行 C．重合 D．平行或重合 2．设m，n是两条直线，α，β是两个平面，给出四个命题 ①m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α⇒α∥β ②m⊥α，n⊥α⇒m∥
n
③m∥α，m∥n⇒n∥α ④α⊥β，m⊂α⇒m⊥β 其中真命题的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 4．空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=，则异面直线
AD，BC所成的角的补角为（ ）
A．120° B．60° C．90° D．30° 5．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（ ）
A． B． C． D． 6．已知圆C：x2+y2+mx﹣4=0上存在两点关于直线x﹣y+3=0对称，则实数m的值（ ） A．8 B．﹣4 C．6 D．无法确定 7．过点A（1，4），且横、纵截距的绝对值相等的直线的条数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．将你手中的笔想放哪就放哪，愿咋放就咋放，总能在教室地面上画一条直线，使之与笔
所在的直线（ ） A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 9．一束光线从点A（﹣1，1）出发，经x轴反射到圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上的最短
路程是（ ） A．3﹣1 B．2 C．4 D．5 10．已知点P（m，n）是直线2x+y+5=0上的任意一点，则的最小值为
（ ） A．5 B． C． D． 11．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 12．点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面体ABCD体积的
最大值为，则该球的表面积为（ ）
A． B．8π C．9π D．12π
二、填空题：本题共4小题，每小题5分． 13．若直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，则a= ． 14．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
15．过点的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2=4交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为 ． 16．过直线x=4上动点P作圆O：x2+y2=4的两条切线PA，PB，其中A，B是切点，则下
列结论中正确的是 ．（填正确结论的序号） ①|OP|的最小值是4；
②•=0； ③•=4； ④存在点P，使△OAP的面积等于；
⑤任意点P，直线AB恒过定点．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算过程． 17．直线过点P（﹣3，1），且与x轴，y轴分别交于A，B两点． （Ⅰ）若点P恰为线段AB的中点，求直线l的方程； （Ⅱ）若=，求直线l的方程． 18．在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+5与坐标轴的交点都在圆C上． （Ⅰ）求圆C的方程； （Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交于A，B两点，且CA⊥CB求a的值． 19．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，AD=1，点M为
PC中点，过A、M的平面α与此四棱锥的面相交，交线围成一个四边形，且平面α⊥平面
PBC． （1）在图中画出这个四边形（不必说出画法和理由）； （2）求平面α与平面ABM所成锐二面角的余弦值．
20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C． （Ⅰ）证明：A1C1=AB1； （Ⅱ）若AC⊥AB1，∠BCC1=120°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．
21．△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠ACB=90°，D、E分别是边AC和AB的中点，
现将△ADE沿DE折起，使面ADE⊥面DEBC，H、F分别是边AD和BE的中点，平面BCH与AE、AF分别交于I、G两点 （Ⅰ）求证：IH∥BC； （Ⅱ）求直线AE与平面角GIC所成角的正弦值．
22．已知一个动点P在圆x2+y2=36上移动，它与定点Q（4，0）所连线段的中点为M． （1）求点M的轨迹方程． （2）过定点（0，﹣3）的直线l与点M的轨迹交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）
且满足+=，求直线l的方程． 2016-2017学年重庆十八中高二（上）期中数学试卷（理
科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线3x+y﹣a=0与6x+2y+1=0的位置关系是（ ） A．相交 B．平行 C．重合 D．平行或重合 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】由直线方程易判：当a=﹣时，两直线重合，当a≠﹣时，两直线平行，进而可得答案． 【解答】解：∵3×2=1×6，
∴当a=﹣时，两直线重合，
当a≠﹣时，两直线平行， ∴直线3x+y﹣a=0与6x+2y+1=0的位置关系为平行或重合， 故选：D
2．设m，n是两条直线，α，β是两个平面，给出四个命题 ①m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α⇒α∥β ②m⊥α，n⊥α⇒m∥
n
③m∥α，m∥n⇒n∥α ④α⊥β，m⊂α⇒m⊥β 其中真命题的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】①利用面面平行的判定定理判断．②利用线面垂直的性质判断．③利用线面平行的定义和性质判断．④利用面面垂直的性质和线面垂直的性质判断． 【解答】解：①根据面面平行的判定定理可知m，n必须是相交直线，∴①错误． ②根据垂直于同一个平面的两条直线平行可知，m⊥α，n⊥α⇒m∥n正确．
③若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，∴③错误．
④根据面面垂直的性质定理可知，若α⊥β，m⊂α，则m⊥β不一定成立．∴④错误．
故选：B．
3．圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 【考点】圆与圆的位置关系及其判定． 【分析】求出半径，求出圆心，看两个圆的圆心距与半径的关系即可． 【解答】解：圆O1：x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2=1，圆心是O1（1，0），半径是r1=1 圆O2：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4，圆心是O2（0，2），半径是r2=2 ∵|O1O2|=，故|r1﹣r2|＜|O1O2|＜|r1+r2| ∴两圆的位置关系是相交． 故选 B
4．空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=，则异面直线
AD，BC所成的角的补角为（ ）
A．120° B．60° C．90° D．30° 【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，利用三角形中位线定理可得：EG=BC，
FG=AD．在△EFG中，由余弦定理可得：cos∠EGF，即可得出． 【解答】解：如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG， 利用三角形中位线定理可得：EG=BC=1，FG=AD=1．
在△EFG中，由余弦定理可得：cos∠EGF==﹣， ∴∠EGF=120°． ∴异面直线AD，BC所成的角为60°，其补角为120°． 故选：A．
5．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（ ） A． B． C． D． 【考点】简单空间图形的三视图． 【分析】由三视图的作法规则，长对正，宽相等，对四个选项进行比对，找出错误选项． 【解答】解：本题中给出了正视图与左视图，故可以根据正视图与俯视图长对正，左视图与俯视图宽相等来找出正确选项 A中的视图满足三视图的作法规则； B中的视图满足三视图的作法规则； C中的视图不满足三视图的作法规则中的宽相等，故其为错误选项； D中的视图满足三视图的作法规则； 故选C
6．已知圆C：x2+y2+mx﹣4=0上存在两点关于直线x﹣y+3=0对称，则实数m的值（ ） A．8 B．﹣4 C．6 D．无法确定 【考点】直线和圆的方程的应用；恒过定点的直线．
【分析】因为圆上两点A、B关于直线x﹣y+3=0对称，所以直线x﹣y+3=0过圆心（﹣，0），由此可求出m的值． 【解答】解：因为圆上两点A、B关于直线x﹣y+3=0对称，
所以直线x﹣y+3=0过圆心（﹣，0），
从而﹣+3=0，即m=6． 故选C．
7．过点A（1，4），且横、纵截距的绝对值相等的直线的条数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】直线的截距式方程． 【分析】当截距为0时，设y=kx，待定系数法求k值，即得所求的直线方程；
当截距不为0时，设，或， 待定系数法求a值，即得所求的直线方程． 【解答】解：当截距为0时，设y=kx，把点A（1，4）代入，则得k=4，即y=4x；
当截距不为0时，设，或，过点A（1，4）， 则得a=5，或a=﹣3，即x+y﹣5=0，或x﹣y+3=0 这样的直线有3条：y=4x，x+y﹣5=0，或x﹣y+3=0． 故选C．
8．将你手中的笔想放哪就放哪，愿咋放就咋放，总能在教室地面上画一条直线，使之与笔
所在的直线（ ） A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直