6-2012级高数A(1)期末考试试题&&答案
2012 高等数学A(1) 学术无敌资料
高等数学A （1） 期末考试复习资料土木学术实践部专用希望大家认真复习高数，上册是下册学习的基础。
重点复习资料：自测题（有可能原题出现） 重点内容：1.求极限（包括已知极限值求解参数 如填空第8题）2.不定积分与定积分（换元法 计算题一定会考 其中变上限定积分求导是超级重点）3.微分的求解（隐函数求导是计算题重点）4.重要定理（罗尔定理的应用、拉格朗日中值定理的应用，可能会出现在证明题中）5.函数之间的关系（连续、可导、极限存在 这三者的关系与应用肯定会考）6.定积分的应用（弧长 体积等）7.导数的应用（每年都是重点 导数与极值最值的关系，列表求解） 提示：①去年附加题考的是极限的证明，确保前面85以上的想拿A+的可以看看定义②计算题占的比重很大，偏基础，一定要细心。
求导求微分、求极限、求积分都基础题一、填空题1.=-→xe x x 1lim 30__________ 2.是等价无穷小，（与（时，当)21ln())022x x kx x x +==→βα则k= _________ 3.=+=-dy y x则设),31ln(__________ 4. 反常积分21________ln edx x x+∞=⎰5.⎰-=+22)sin (cos ππdx x x x __________6.()2ln 1lim_______________1x x x x e →+=-7.函数()1xf x x =在区间()0,+∞上的最大值为 ____________8.a= _________ b= _________9.设1201()()1f x f x dx x =+,则10()________f x dx =⎰10. 求顶点为)2,6,5(),2,1,1(--B A 和)1,3,1(-C 的三角形的面积为________二、选择题 1.曲线的水平渐近线为2sin 2-+=x xx y （ ）． Ａ．0y =; B ．1y =-； C ．2y =-； D ．0=x ． 2. 下列极限正确的是（ ）。
高数历年考题(第一学期)
历年高等数学(A)Ⅰ期末考试卷1998级一． 试解下列各题（24分）1． 讨论极限112lim 21-+-→x x x x 2.求x dt e e xt t x cos 1)(lim 0 0--⎰-→ 3.求⎰xdx arccos4．求dx x x ⎰-2cos sin π二． 试解下列各题（35分）1． 若函数⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1,11,01,1)(x x x x f 及x e x g =)(，确定)]([x g f 与)]([x f g 的间断点，指出其类型2． 设)(x y y =由方程y x x arctg y +=所确定，求y ' 3． 求⎰+41x x dx 4．求⎰+42sin 1πθθd 5．设)(x y y =由方程组⎩⎨⎧+=+=tt y arctgtt x 63所确定，求)(x y '' 三． 求圆域222)(a c y x ≤-+ )0(c a <<绕x 轴旋转而成的旋转体的体积（10分）四． 设有底面为等边三角形的一个直柱体，其体积为常量V （0>V ），若要使其表面积达到最小，底面的边长应是多少？（10分）五． 设函数f (x ) 在[0,1]上可导且0< f (x )<1，在(0,1)上有1)(' ≠x f ，证明在(0,1)内有且仅有一个x ，使f (x )=x .（8分）六． 连接两点M (3, 10, -5)和N (0, 12, z )的线段平行平面0147=-++z y x ，确定N 点的未知坐标（6分）七、自点P (2, 3, -5)分别向各坐标面作垂线，求过三个垂足的平面方程（7分）1999级一． 试解下列各题（30分） 1． 求)12(lim +-+∞→n n n n2．验证罗尔定理对32)(2--=x x x f 在[-1,3]上的正确性3．x arctgx x x 30sin lim -→ 4．求⎰++dx x x 1322 5．设)(x y y =由方程1=++y xy x 确定，求y ' 二．试解下列各题（28分）1．设⎩⎨⎧+=+=t t y t t x 2222，求22dx y d 2．求⎰-πθθ 0 3)sin 1( d 3．求⎰1 0 dx e x4．试求空间直线⎩⎨⎧-=+=7652z y z x 的对称式方程三．求由y = ln x , y =0和 x = 2所围图形的面积及该平面图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积(12分)四． 求函数⎰+=xtdt t y 0arctan )1(的极小值（12分）五． 设j i a +=，k j b +-=2，求以向量b a,为边的平行四边形的对角线的长度(8分)六． 证明：当0≠x 时，有不等式x e x +>1（10分）一、试解下列各题(30分)1. 求x x x )3l n (2lim+∞→ ； 2. 求dx x x⎰-31 ； 3. 设x x e e y -+=，求y '' ；4. 求曲线)2()1(2-+=x x y 的凹凸区间；5. 求过球面9)4()1()3(222=++++-z y x 上一点2)- 0, ,1(p 的切平面方程。
2012高数(专)试卷答案A
考试科目：高等数学（专科）命题教师： 应用数学教研室 适用年级：2011级学年度：2011—2012 学期：第二 学期考生人数：27一、填空题 （共 15 分，每小题3分）1. 2. 3 3. 222221x y z a c +-= 4. 215311x y z -+-==--， 5. {}2(,)x y y x > 二、单项选择 （共 15分，每小题 3分）1. D2. A3.C4. D5. B三、 （共24分，每小题6分）1. 2001l i m l n (1)x x t d t x→+⎰ = 01lim ln(1)2x x x →+ = 01lim 2(1)x x →+=12 ………………………………每步（2分） 2. 412t d t --⎰=24222412121113(2)(2)(2)(2)222t dt t dt t t t t ---+-=-+-=⎰⎰ ……………………每步（2分） 3. 2236z x xy x ∂=+∂， 22266z x y x∂=+∂，212z xy y x ∂=∂∂ ……………………每步（2分） 4. 20x xe dx ⎰2222200021x x xxe e dx e e e =-=-=+⎰ ……………………每步（2分）四、计算分析题（共16分，每小题8分）1. 解：设平面方程为：0.Ax By Cz D +++= ……………………（2分）根据题意可知 0,A B C D +++=0,B C D -+=0,A B C ++= ……………………（2分）解得：2,,0,A C B C D =-==即 平面方程为20.x y z -++=……………………（4分）2. 解：当1t =对应的点为1(,2,1)2……………………（2分） 在该点处的切向量为1(,1,2)4-，于是切线方程为 12121124x y z ---==-………（4分） 法平面方程为 11()(2)2(1)0(281610)42x y z x y z ---+-=-+-=或 ……………………（2分） 五、综合题（共 16 分，每小题8 分）1. 求函数22(,)4()f x y x y x y =---的极值.解：令(,)420,(,)420.x y f x y x f x y y =-==--= 得驻点为(2,2)-.……………………（4分）(2,2)2,xx A f =-=- (2,2)0,xy B f =-=(2,2)2,yy C f =-=-由于20,AC B ->且0A >. 所以(,)f x y 在点(2,2)-处取极大值(2,2)8.f -=……………………（4分）2. 计算二重积分cos Dx yd σ⎰⎰，其中区域D 是顶点分别为(0,0)，(,0)π和(,)ππ的三角形区域.考试科目：高等数学（专科）命题教师： 应用数学教研室 适用年级：2011级学年度：2011—2012 学期：第二 学期考生人数：27 解：积分区域{}(,)0,0D x y x y x π=≤≤≤≤，视该区域为X-型区域. ……………………（2分） 000cos cos sin x D x yd dx x ydy x xdx ππσπ===⎰⎰⎰⎰⎰ ……………………（每步2分，共6分） 六、应用题（共14 分，每小题 7分）1. 求由曲线2y x =与22y x x =-所围图形的面积.解：曲线2y x =与22y x x =-的交点为(0,0),(1,1). 以x 为积分变量. ……………………（2分） 由微元法知：12201(2).3S x x x dx =--=⎰ ……………………（5分） 2. 求曲面224z x y =--与XOY 平面所围成的立体的体积.解：该曲面的在XOY 投影区域为{}22(,)4D x y x y =+≤，顶为224z x y =--.……………………（2分）根据二重积分的定义可知该立体的体积为2222200(4)(4)8D x y d d r rdr πσθπ--=-=⎰⎰⎰⎰.……………（5分）。
高等数学a1期末考试题库及答案
高等数学a1期末考试题库及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 以下哪个选项是函数f(x)=x^3-3x+1的导数？A. 3x^2-3B. x^3-3C. 3x^2-3x+1D. x^3-3x答案：A2. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx的值是多少？A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：B3. 以下哪个级数是收敛的？A. 1/n^2B. 1/nC. 1/n^(1/2)D. 1/n^(-1)答案：A4. 函数y=e^(-x)的不定积分是？A. -e^(-x)B. e^(-x)C. -e^xD. e^x答案：B5. 以下哪个矩阵是可逆的？A. [1 2; 3 4]B. [1 0; 0 1]C. [0 1; 1 0]D. [1 1; 1 1]答案：B6. 计算二重积分∬(D) x*y dA，其中D是由x=0, y=0, x+y=1围成的区域，结果是多少？A. 1/8B. 1/6C. 1/4D. 1/2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+2x+1的极小值点是______。
答案：-12. 计算极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是______。
答案：13. 矩阵A=[1 2; 3 4]的行列式det(A)是______。
答案：-24. 函数y=ln(x)的反函数是______。
答案：e^x三、计算题（每题10分，共40分）1. 求函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的二阶导数。
答案：f''(x)=12x^2-24x+122. 计算定积分∫(-2到2) (x^2-2x+1) dx。
答案：8/33. 证明函数f(x)=x^3在(-∞, +∞)上是增函数。
答案：略4. 计算二阶偏导数∂²z/∂x∂y，其中z=x^2y+y^2x。
答案：2x+2y四、证明题（每题10分，共10分）1. 证明对于任意实数x，不等式e^x ≥ x+1成立。
高数a大一期末考试题及答案专科
高数a大一期末考试题及答案专科 一、单项选择题（每题3分，共30分） 1. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数为（ ）。 A. 2x+3 B. x^2+3 C. 2x+6 D. 3x+2
答案：A 2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为（ ）。 A. 0 B. 1 C. -1 D. 2
答案：B 3. 若函数f(x)在x=1处连续，则下列说法正确的是（ ）。 A. f(1)存在 B. ∃f(1) C. f(1)=lim(x→1)f(x) D. 以上说法均正确
答案：D 4. 曲线y=x^3-3x^2+2x+1在点(1,-1)处的切线斜率为（ ）。 A. 0 B. 1 C. -1 D. 2
答案：C 5. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数为（ ）。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
答案：C 6. 已知函数f(x)=e^x，则f'(x)为（ ）。 A. e^x B. -e^x C. e^(-x) D. -e^(-x)
答案：A 7. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点个数为（ ）。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
答案：C 8. 函数y=ln(x)的反函数为（ ）。 A. y=e^x B. y=ln(x) C. y=x^(-1) D. y=x^2
答案：A 9. 若f(x)=x^2+2x+1，则f'(-1)的值为（ ）。 A. -1 B. 0 C. 1 D. 3 答案：C 10. 函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上的最大值为（ ）。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
答案：D 二、填空题（每题4分，共20分） 11. 函数f(x)=x^3的二阶导数为_________。 答案：6x
12. 极限lim(x→∞) (1/x)的值为_________。 答案：0 13. 函数f(x)=x^2-4x+3的单调递增区间为_________。 答案：[2, +∞)
高数a大一期末考试题简单及答案
高数a大一期末考试题简单及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(2)的值。
A. 0B. 4C. -4D. 8答案：A2. 计算极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 求不定积分∫e^(-x)dx。
A. -e^(-x)B. e^(-x)C. -e^(-x) + CD. e^(-x) + C答案：C4. 判断下列级数是否收敛：∑(1/n^2)，其中n从1到∞。
A. 收敛B. 发散C. 条件收敛D. 绝对收敛答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 设函数g(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 1，求g'(x)的导数。
答案：9x^2 - 4x + 56. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx的值。
答案：1/37. 求函数y = ln(x)的反函数。
答案：e^y8. 判断函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6在x = 2处的凹凸性。
答案：凹函数三、解答题（每题15分，共40分）9. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 5的极值点。
解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x + 4，令f'(x) = 0，解得x = 1 或 x = 4/3。
再求二阶导数f''(x) = 6x - 6，代入x = 1和x = 4/3，得到f''(1) = 0，f''(4/3) = 4 > 0。
因此，x = 1处为拐点，x =4/3处为极小值点。
10. 证明级数∑((-1)^n * n^(-2))收敛。
证明：根据交错级数收敛定理，只需证明级数的项绝对值单调递减且极限为0。
首先，|(-1)^n * n^(-2)| = n^(-2)单调递减，且lim(n→∞) n^(-2) = 0。
高数A期末考试题及答案
高数A期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 极限lim(x→0) (sin x)/x 的值是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的导数是（）。
A. 2x + 3B. 2x + 2C. x^2 + 3D. x^2 + 6x + 2答案：A3. 函数y = e^x的不定积分是（）。
A. e^x + CB. e^x - CC. ln(e^x) + CD. ln(x) + C答案：A4. 以下哪个级数是收敛的（）。
A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 2 + 3 + 4 + ...D. 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 微分方程dy/dx = 2x的通解是 y = _______ + C。
答案：x^22. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的极值点是 x = _______。
答案：1 和 23. 曲线y = x^2在点(1,1)处的切线斜率是 _______。
答案：24. 函数f(x) = ln(x)的反函数是 f^(-1)(x) = _______。
答案：e^x三、计算题（每题15分，共30分）1. 计算定积分∫(0 to 1) (x^2 - 2x + 1) dx。
解：∫(x^2 - 2x + 1) dx = (1/3)x^3 - x^2 + x |(0 to 1) = (1/3) - 1 + 1 - (0) = 1/3。
2. 计算极限lim(x→∞) [(x^2 + 3x + 2) / (x^2 - 2x + 1)]。
解：lim(x→∞) [(x^2 + 3x + 2) / (x^2 - 2x + 1)] = lim(x→∞) [1 + 3/x - 2/x^2] = 1。
高数下册期末a卷考试题及答案
高数下册期末a卷考试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 以下哪个函数不是周期函数？A. \( \sin(x) \)B. \( \cos(x) \)C. \( e^x \)D. \( \tan(x) \)答案：C2. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x=1 \) 处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C3. 以下哪个选项是 \( \int_0^1 x^2 dx \) 的正确计算结果？A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( 1 \)D. \( 2 \)答案：A4. 以下哪个选项是 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B5. 以下哪个选项是 \( \int \frac{1}{x} dx \) 的原函数？A. \( \ln|x| + C \)B. \( x + C \)C. \( e^x + C \)D. \( \sin x + C \)答案：A6. 以下哪个选项是 \( \int e^x \cos x \, dx \) 的正确积分结果？A. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) + C \)B. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x - \sin x) + C \)C. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) - C \)D. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x - \sin x) - C \)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的定义域是 \( ______ \)。
答案：\( (0, +\infty) \)2. 函数 \( f(x) = \sqrt{x} \) 的导数是 \( ______ \)。
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第 1 页 （共 6 页） 诚信应考,考试作弊将带来严重后果！ 湖南大学课程考试试卷
课程名称： 高等数学A(1) ；课程编码： ；试卷编号： A ；考试时间：120分钟 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 应得分 33 48 12 7 100 实得分
评卷人
一．填空题（每小题3分，共33分） 1．若函数22,0()1,0ln(),0axxfxxbxxx在0x处连续， 则 a , b .
2．若2,0()(1),0axexfxbxx处处可导，则a ,b . 3．设函数()yfx在点0x处可导，当自变量x由0x增加到0xx时，记y 为()fx的增量，dy为()fx的微分，则0limxydyx . 4．函数()1fxx的带佩亚诺余项的二阶麦克劳林公式为 . 5．曲线22(1)yx的最小曲率半径 .
考试中心填写： ____年___月___日 考 试 用
专业班级：
学号： 姓名：
装订线（题目不得超过此线）
湖南大学课程考试试卷
湖南大学教务处考试中心 第 2 页 （共 6 页）
6．曲线1ln(0)yxexx的斜渐近线为 . 7. 设xe是()fx的一个原函数，则()fxdx . 8．121(1)1xxdx . 9. 01min,2xedx . 10.曲线1()2xxyee上相应于x从1到1的一段弧的长度s . 11.已知一阶线性常微分方程()xypxye有特解,xyxe 则该微分方程的通解为 .
二．计算题（每小题8分，共48分） 1．求3101tanlim.1sinxxxx
第 3 页 （共 6 页）
2．设2sin1lntan,2cos224xxyx 求.dydx
3.方程202tan()secxyxxytdt确定隐函数(),yyx 求22.dydx
装订线（题目不得超过此线）
湖南大学课程考试试卷
湖南大学教务处考试中心 第 4 页 （共 6 页）
4．求21.xdxxx
5. 设21(),txftedx 求120().tftdt
第 5 页 （共 6 页）
6. 求微分方程2cosyyx的通解.
三. 应用题 (12分)
过抛物线2yx上一点2(,)aa作切线，问a为何值时所作切线与抛物线241yxx所围成的图形面积最小？
装订线（题目不得超过此线）
湖南大学课程考试试卷
湖南大学教务处考试中心 第 6 页 （共 6 页）
四．证明题( 7分)
设函数()fx在区间[,]ab上连续，在(,)ab内可导，且有
221(),(),2bafaafxdxba 求证：在(,)ab内至少存在一点, 使得()()1.ff
第 7 页 （共 6 页）
高数A(1)(A卷)期末考试题参考答案 一. 填空题(每小题3分，共33分) (1) 1,;e (2) 0,1; (3) 0; (4)221111();28xxxox
(5) 1;4 (6) 1;yxe (7) ;xeC (8) ;2 (9) 1(ln21);2 (10) 1;ee (11) ().xyxCe 二. 计算题(每小题8分，共48分) 1. 解. 3311001tantansinlimlim11sin1sinxxxxxxxxx
3()1()0tansinlim1(),()1sinxxx
xxxxxx
因为 1()0lim1(),xxxe
3300()tansin1limlim,(1sin)2xxxxxxxx
所以 原式.e
解法二. 原式＝xxxxsin1tan1ln1limexp30
30)sin1ln()tan1ln(limexpxxxx 第 8 页 （共 6 页）
2203sin1costan1seclimexpxxxxx
x
)sin1)(tan1(3cos)tan1(sec)sin1(limexp220xxxxxxx
x
e 解法三. 原式xxxxsin1tan1ln1limexp30
xxxxxsin1sintan1
limexp30
e 解法四. 原式310sin1sintan1limxxxxx 310sin1)cos1(tan1limxxxxx 313
021limxxx
e
2. 解：3222243sin2cos4sincoscos2sin,2cos4cos2cosxxxxxxxxx
第 9 页 （共 6 页）
21111lntansec2242224tan24xxx
12cosx
31.cosdydxx
3. 解法一. 方程两边同时对x求导，得 222[sec()](1)[sec()](1)xyyxyy
2sin()yxy
2sin()cos()(1)yxyxyy32sin()cos().xyxy
解法二. 由所给方程可得 )tan(yxx 两边同时对x求导，得 )(sec)1(12yxy 2sin()yxy
以下同解法一。 4．解法一. 2211(12)32xxdxdxxxxx 第 10 页 （共 6 页）
2221()321142dxxdxxxx
23arcsin(21).2xxxC
解法二. 22111142xxdxdxxxx
令11sin,,2222xuu 则 221131sin221142xxdxdxuduxxx
31cos22uuC
23arcsin(21).2xxxC
解法三. 2211(12)32xxdxdxxxxx 222132)(x
xd
xxxxd
Cxxxarcsin32
5．解. 2(1)0,()tffte