2016-2017学年浙江省宁波市北仑中学高二(下)期中数学试卷

2016-2017学年浙江省宁波市北仑中学高二（下）期中数学试卷一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）已知函数f（x）=2ln3x+8x，则的值为（）A．﹣20 B．﹣10 C．10 D．202．（4分）从一批产品中取出三件，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）A．A与C是对立事件B．B与C互斥C．任两个均互斥D．任两个均不互斥3．（4分）二项式的展开式中的有理项共有（）A．4项 B．5项 C．6项 D．7项4．（4分）2015年6月20日是我们的传统节日﹣﹣”端午节”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A=“取到的两个为同一种馅”，事件B=“取到的两个都是豆沙馅”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．5．（4分）设函数y=f（x）在定义域内可导，它的图象如下图所示，则它的导函数y=f'（x）图象可能为（）A．B．C．D．6．（4分）已知随机变量ξ+η=8，若ξ～B（10，0.6），则Eη，Dη分别是（）A．6和2.4 B．2和2.4 C．2和5.6 D．6和5.67．（4分）某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单．若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学（其余三人在其他学校各选一所不同大学）的概率是（）A．B． C． D．8．（4分）已知可导函数f（x）（x∈R）满足f′（x）＞f（x），则当a＞0时，f（a）和e a f（0）大小关系为（）A．f（a）＜e a f（0）B．f（a）＞e a f（0）C．f（a）=e a f（0） D．f（a）≤e a f（0）9．（4分）某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为（）A．360 B．520 C．600 D．72010．（4分）设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）二．填空题：本大题共7小题，多空每空3分，单空每题4分，共36分．把答案填在答题卷的相应位置．11．（6分）在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．甲能正确完成其中的4道题，乙能正确完成每道题的概率为，且每道题完成与否互不影响．（1）记所抽取的3道题中，甲答对的题数为X，则X的分布列为；（2）记乙能答对的题数为Y，则Y的期望为．12．（6分）若函数f（x）=x3+3ax﹣1在x=1处的切线与直线y=6x+6平行，则实数a=；当a≤0时，若方程f（x）=15有且只有一个实根，则实数a的取值范围为．13．（6分）若，其中a2=﹣6，则实数m=；a1+a3+a5=．14．（6分）甲、乙二人做射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件．规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为，且第一次由甲开始射击．①求前3次射击中甲恰好击中2次的概率；②求第4次由甲射击的概率．15．（4分）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．16．（4分）关于二项式（x﹣1）2005，有下列命题：①该二项展开式中非常数项的系数之和是1；②该二项展开式中第六项为C x1999；③该二项展开式中系数最大的项为第1002项；④当x=2006时，（x﹣1）2005除以2006的余数是2005．其中正确命题的序号是．（注：把你认为正确的命题序号都填上）17．（4分）如图所示，在排成4×4方阵的16个点中，中心位置4个点在某圆内，其余12个点在圆外．从16个点中任选3点，作为三角形的顶点，其中至少有一个顶点在圆内的三角形共有个．三．解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：（1）有女生但人数必须少于男生；（2）男生甲必须包括在内，但不担任数学课代表；（3）女生乙一定要担任语文课代表，男生丙只想担任数学课代表或物理课代表．19．（15分）已知f（x）=ax﹣lnx，其中x∈（0，e]（e是自然对数的底数），（1）当a=1时，求f（x）的单调区间、极值；（2）是否存在a∈R，使f（x）的最小值是3，若存在求出a的值，若不存在，说明理由．20．（15分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．21．（15分）已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1．（1）求展开式中各项系数的和；（2）求展开式中含x的项；（3）求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．22．（15分）已知函数．（Ⅰ）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；（Ⅲ）设函数，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．2016-2017学年浙江省宁波市北仑中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）（2017春•北仑区校级期中）已知函数f（x）=2ln3x+8x，则的值为（）A．﹣20 B．﹣10 C．10 D．20【解答】解：∵函数f（x）=2ln3x+8x，∴f′（x）=+8，∴f′（1）=10．∴=2=2f′（1）=20．故选：D．2．（4分）（2013•西湖区校级模拟）从一批产品中取出三件，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）A．A与C是对立事件B．B与C互斥C．任两个均互斥D．任两个均不互斥【解答】解：由题意知事件C包括三种情况，一是有两个次品一个正品，二是有一个次品两个正品，三是三件都是正品，∴事件C中不包含B事件，事件C和事件B不能同时发生，∴B与C互斥，故选B．3．（4分）（2015秋•荆州校级期末）二项式的展开式中的有理项共有（）A．4项 B．5项 C．6项 D．7项=•2r•，【解答】解：二项式的展开式中通项公式为T r+1令20﹣为整数，可得r=0，2，4，6，8，10，共计6项，故选：C．4．（4分）（2016春•南城县校级期末）2015年6月20日是我们的传统节日﹣﹣”端午节”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A=“取到的两个为同一种馅”，事件B=“取到的两个都是豆沙馅”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，P（A）==，P（AB）==，∴P（B|A）==，故选：A．5．（4分）（2017春•北仑区校级期中）设函数y=f（x）在定义域内可导，它的图象如下图所示，则它的导函数y=f'（x）图象可能为（）A．B．C．D．【解答】解：函数的图象可知，x＜0时，函数是增函数，f′（x）＞0，函数f（x）有两个极值点，导函数的图象与x轴有2个交点，排除A，C；x＞0的极大值前是增函数，导函数为正值，排除B．故选：D．6．（4分）（2015春•四平校级期末）已知随机变量ξ+η=8，若ξ～B（10，0.6），则Eη，Dη分别是（）A．6和2.4 B．2和2.4 C．2和5.6 D．6和5.6【解答】解：∵ξ～B（10，0.6），∴Eξ=10×0.6=6，Dξ=10×0.6×0.4=2.4，∵ξ+η=8，∴Eη=E（8﹣ξ）=2，Dη=D（8﹣ξ）=2.4故选B．7．（4分）（2012•永新县校级二模）某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单．若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学（其余三人在其他学校各选一所不同大学）的概率是（）A．B． C． D．【解答】解：五位同学到五所大学就读的所有就读方式有55=3125仅有两名学生录取到同一所大学（其余三人在其他学校各选一所不同大学）就读方式有5×C52A43=1200仅有两名学生录取到同一所大学（其余三人在其他学校各选一所不同大学）的概率是P==故选D8．（4分）（2014•陈仓区校级三模）已知可导函数f（x）（x∈R）满足f′（x）＞f （x），则当a＞0时，f（a）和e a f（0）大小关系为（）A．f（a）＜e a f（0）B．f（a）＞e a f（0）C．f（a）=e a f（0） D．f（a）≤e a f（0）【解答】解：由题意知，可设函数f（x）=e2x，则导函数f′（x）=2•e2x，显然满足f'（x）＞f（x），f（a）=e2a，e a f（0）=e a，当a＞0时，显然e2a＞e a ，即f（a）＞e a f（0），故选B．9．（4分）（2016•衡水万卷模拟）某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为（）A．360 B．520 C．600 D．720【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C21•C53•A44=480种情况；若甲乙两人都参加，有C22•C52•A44=240种情况，其中甲乙相邻的有C22•C52•A33•A22=120种情况；则不同的发言顺序种数480+240﹣120=600种，故选C．10．（4分）（2015•新课标Ⅰ）设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）【解答】解：设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，∵g′（x）=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当x＞﹣时，g′（x）＞0，∴当x=﹣时，g（x）取最小值﹣2，当x=0时，g（0）=﹣1，当x=1时，g（1）=e＞0，直线y=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，故﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1故选：D二．填空题：本大题共7小题，多空每空3分，单空每题4分，共36分．把答案填在答题卷的相应位置．11．（6分）（2017春•北仑区校级期中）在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．甲能正确完成其中的4道题，乙能正确完成每道题的概率为，且每道题完成与否互不影响．（1）记所抽取的3道题中，甲答对的题数为X，则X的分布列为X123P0.20.60.2；（2）记乙能答对的题数为Y，则Y的期望为E（Y）=2．【解答】解：（1）主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题；甲能正确完成其中的4题，所抽取的3道题中，甲答对的题数为X，由题意得X的可能取值为1，2，3，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴X的分布列为：（2）主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题，乙能正确完成每道题的概率为，且每道题完成与否互不影响，由题意Y的可能取值为0，1，2，3，且Y～B（3，），P（Y=0）==，P（Y=1）=••=，P（Y=2）=••=，P（Y=3）=•=，∴Y的分布列为：数学期望为E（Y）=0×+1×+2×+3×=2．（或E（Y）=3×=2）．故答案为：（1）（2）E（Y）=2．12．（6分）（2017春•北仑区校级期中）若函数f（x）=x3+3ax﹣1在x=1处的切线与直线y=6x+6平行，则实数a=1；当a≤0时，若方程f（x）=15有且只有一个实根，则实数a的取值范围为﹣＜a≤0．【解答】解：（1）由f（x）=x3+3ax﹣1，得到f′（x）=3x2+3a，因为曲线在x=1处的切线与y=6x+6平行，而y=6x+6的斜率为6，所以f′（1）=6，即3+3a=6，解得a=1；（2）令g（x）=x3+3ax﹣16，g′（x）=3x2+3a=3（x2+a），a=0时，g′（x）≥0，g（x）在R递增，而x→﹣∞时，g（x）→﹣∞，x→+∞时，g（x）→+∞，故函数g（x）有且只有一个零点，即方程f（x）=15有且只有一个实根，a＜0时，令g′（x）＞0，解得：x＞或x＜﹣，令g′（x）＜0，解得：﹣＜x＜，则g（x）在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣，）递减，在（，+∞）递增，故g（x）极大值=g（﹣）=a+3a﹣16＜0，解得：a＞﹣，综上：﹣＜a≤0，故答案为：1，﹣＜a≤0．13．（6分）（2017春•北仑区校级期中）若，其中a2=﹣6，则实数m=；a1+a3+a5=．【解答】解：，则x（1﹣mx）4=x，则﹣4m=a2=﹣6，解得m=．对：，令x=1时，=a1+a2+a3+a4+a5，x=﹣1时，﹣=﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5，∴2（a1+a3+a5）=+，解得a1+a3+a5=．故答案为：，．14．（6分）（2017春•北仑区校级期中）甲、乙二人做射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件．规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为，且第一次由甲开始射击．①求前3次射击中甲恰好击中2次的概率；②求第4次由甲射击的概率．【解答】解：①由题意，前3次射击中甲恰好击中2次，即前2次甲都击中目标，但第三次没有击中目标，故它的概率为••=．②第4次由甲射击包括甲连续射击3次且都击中；第一次甲射击击中，但第二次没有击中，第三次由乙射击没有击中；第一次甲射击没有击中，且乙射击第二次击中，但第三次没有击中；第一次甲射击没有击中，且乙射击第二次没有击中，第三次甲射击击中；故这件事的概率为++•+=，故答案为：；．15．（4分）（2007•天津）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有630种（用数字作答）．【解答】解：根据题意，分为三类：第一类是只用两种颜色则为：C62A22=30种，第二类是用三种颜色则为：C63C31C21C21=240种，第三类是用四种颜色则为：C64A44=360种，由分类计数原理，共计为30+240+360=630种，故答案为630．16．（4分）（2008•宁波校级模拟）关于二项式（x﹣1）2005，有下列命题：①该二项展开式中非常数项的系数之和是1；②该二项展开式中第六项为C x1999；③该二项展开式中系数最大的项为第1002项；④当x=2006时，（x﹣1）2005除以2006的余数是2005．其中正确命题的序号是①④．（注：把你认为正确的命题序号都填上）【解答】解：令x=1求出二项式（x﹣1）2005所有项的系数和为0，令x=0求出常数项为﹣l，非常数项的系数和是1，即得①正确；二项展开式的第六项为C20055x2000，即得②错误；二项展开式中系数绝对值最大的项为=C20051002，﹣=﹣C20051003，得系数最大的项是第1003项C20051002•x1003，即③错误；当x=2006时，（x﹣1）2005除以2 006的余数是2006﹣l=2005，即④正确．故答案为：①④．17．（4分）（2017春•北仑区校级期中）如图所示，在排成4×4方阵的16个点中，中心位置4个点在某圆内，其余12个点在圆外．从16个点中任选3点，作为三角形的顶点，其中至少有一个顶点在圆内的三角形共有312个．【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：①、取出的3个点都在圆内，有C43=4种取法，即有4种取法，②、在圆内取2点，圆外12点中取1点，有C42C101=60种，即有60种取法，③、在圆内取1点，圆外12点中取2点，有C41（C122﹣4）=248种，即有248种取法，则至少有一个顶点在圆内的三角形有4+60+248=312个，故答案为：312．三．解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）（2017春•北仑区校级期中）有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：（1）有女生但人数必须少于男生；（2）男生甲必须包括在内，但不担任数学课代表；（3）女生乙一定要担任语文课代表，男生丙只想担任数学课代表或物理课代表．【解答】解：（1）根据题意，分2步进行分析：①、在8个人中选出5人，有3男2女和4男1女2种情况，则有（C53C32+C54C31）种取法，②、将取出的5人全排列，有A55种情况，则共有（C53C32+C54C31）A55=5400种选法；（2）分2步进行分析：①、由于男生甲不担任数学课代表，在除数学课代表之外的4门不同学科的课代表选出1门，由甲担任，则男生甲有C41种选择情况，②、在除男生甲之外的7人中任选4人，有C74种情况，将4人全排列，对应其他4门不同学科的课代表，有C74•A44种情况，则C74C41A44=3360种符合条件的选法；（3）根据题意，女生乙一定在选出的5人中，对于男生丙分2种情况讨论：①、男生丙也在选出的5人中，则男生丙担任数学课代表或物理课代表，男生丙有C21种情况，在其余6人中任选3人，担任剩下3门不同学科的课代表，有A63种情况，此时有C21•A63种选法，②、男生丙不在选出的5人中，则在其余6人中任选4人，担任剩下4门不同学科的课代表，有A64种情况，此时有A44种选法，则一共有种符合条件的选法．19．（15分）（2017春•北仑区校级期中）已知f（x）=ax﹣lnx，其中x∈（0，e]（e是自然对数的底数），（1）当a=1时，求f（x）的单调区间、极值；（2）是否存在a∈R，使f（x）的最小值是3，若存在求出a的值，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵f（x）=ax﹣lnx，（x∈（0，e]），∴f′（x）=a﹣，a=1时，f′（x）=1﹣=，∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减．当1＜x＜e时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增．∴f（x）的极小值为f（1）=1．（2）假设存在实数a，使f（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]）有最小值3，f′（x）=．①当a≤0时，f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，解得a=（舍去），∴此时f（x）无最小值．②当＜e时，f（x）在上单调递减，在上单调递增．f（x）min=f=1+lna=3，a=e2，满足条件．③当≥e时，f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，解得a=（舍去）∴此时f（e）无最小值．综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时，f（x）有最小值3．20．（15分）（2014•安徽）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．【解答】解：用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，A k表示第k 局甲获胜，B k表示第k局乙获胜，则P（A k）=，P（B k）=，k=1，2，3，4，5（Ⅰ）P（A）=P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）=（）2+×（）2+××（）2=．（Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5．P（X=2）=P（A1A2）+P（B1B2）=，P（X=3）=P（B1A2A3）+P（A1B2B3）=，P（X=4）=P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）=，P（X=5）=P（A1B2A3B4A5）+P（B1A2B3A4B5）+P（B1A2B3A4A5）+P（A1B2A3B4B5）==，或者P（X=5）=1﹣P（X=2）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，故分布列为：E（X）=2×+3×+4×+5×=．21．（15分）（2017春•北仑区校级期中）已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1．（1）求展开式中各项系数的和；（2）求展开式中含x的项；（3）求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．【解答】解：由题意知，第五项系数为，第三项的系数为，则有，化简得n2﹣5n﹣24=0，解得n=8或n=﹣3（舍去）．（1）令x=1得各项系数的和为（1﹣2）8=1．==．（2）通项公式T k+1令﹣2k=，则k=1，可得：==．故展开式中含x的项为﹣16x．（3）设展开式中的第k项，第k+1项，第k+2项的系数绝对值分别为，，，若第k+1项的系数绝对值最大，则解得5≤k≤6．又T6的系数为负，∴系数最大的项为T7=1792x﹣11．由n=8知第5项二项式系数最大，此时T5=1120x﹣6．22．（15分）（2012•桂林二模）已知函数．（Ⅰ）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；（Ⅲ）设函数，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．【解答】解：（I）当p=2时，函数，f（1）=2﹣2﹣2ln1=0.，曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=2+2﹣2=2．从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣1）即y=2x﹣2．（II）．令h（x）=px2﹣2x+p，要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立．由题意p＞0，h（x）=px2﹣2x+p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，∴，只需，即p≥1时，h（x）≥0，f'（x）≥0∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是[1，+∞）．（III）∵在[1，e]上是减函数，∴x=e时，g（x）min=2；x=1时，g（x）max=2e，即g（x）∈[2，2e]，当p＜0时，h（x）=px2﹣2x+p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在y 轴的左侧，且h（0）＜0，所以f（x）在x∈[1，e]内是减函数．当p=0时，h（x）=﹣2x，因为x∈[1，e]，所以h（x）＜0，，此时，f（x）在x∈[1，e]内是减函数．∴当p≤0时，f（x）在[1，e]上单调递减⇒f（x）max=f（1）=0＜2，不合题意；当0＜p＜1时，由，所以．又由（2）知当p=1时，f（x）在[1，e]上是增函数，∴，不合题意；当p≥1时，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函数，f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是减函数，故只需f（x）max＞g（x）min，x∈[1，e]，而，g（x）=2，即，解得min综上所述，实数p的取值范围是．参与本试卷答题和审题的老师有：沂蒙松；涨停；caoqz；刘长柏；qiss；wdnah；minqi5；danbo7801；lincy；742048；刘老师；若尘；maths；左杰（排名不分先后）菁优网2017年6月23日。