浙江省宁波市效实中学2013至2014高一上学期期中考试数学试题
浙江省效实中学2014届高三上学期期始考数学理试题
宁波效实中学高三起始考（理科数学）说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分．请在答题卷内按要求作答 第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1、函数()sin ([,0])f x x x x π=-∈-的单调递增区间是 A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ--C ．[,0]3π-D ．[,0]6π- 2、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++= A ．63B ．45C ．36D ．273、函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是A ．2,3π-B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π4、已知数列{}n a 满足12430,3n n a a a ++==-,则{}n a 的前10项和等于A ．()10613--- B ．()101139-- C ．()10313-- D ．()1031+3-5、设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = A ．2B ．4C ．6D ．86、已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan A ．34 B ．43 C ．43- D ．34- 7、在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=A ．23B ．13C ．13-D ．23-8、已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是A ．34000cm 3B ．38000cm 3C ．32000cmD ．34000cm9、已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是A ．()y f x =的图像关于(),0π中心对称B ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称C ．()f xD ．()f x 既奇函数,又是周期函数 10、在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2等于A ．2B ．4C ．5D ．10第Ⅱ卷（非选择题 共70分）二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．11、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++= ____.12、若13cos(),cos()55αβαβ+=-=，.则tan tan αβ= . 13、已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.14、已知平面向量a ，b ，c 不共线，且两两之间的夹角都相等，若|a |＝2，|b |＝2，|c |＝1，则a＋b ＋c 与a 的夹角是________． 15、如图ABC ∆中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC,sin 3BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________16、下面有五个命题：①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是,2k k Z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭正视图侧视图俯视图ACDP E③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有三个公共点.④把函数.2sin 36)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =ππ+= ⑤函数sin()[0].2y x ππ=-在，上是减函数其中真命题的序号是 （写出所有真命题的编号）17、已知点O 在二面角AB αβ--的棱上，点P 在α内，且45POB ∠=︒。
浙江省宁波市效实中学高三数学上学期期中试卷文(含解析)
2014-2015学年浙江省宁波市效实中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．1．集合，则A∩B=（）A．（0，1） B．（0，1] C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，0）∪（0，1）2．已知向量，若，则实数x的值为（）A． 2 B．﹣2 ．±2 D． 03．等差数列{a n}满足：a4+a6+a8+a10+a12=20，则a9﹣=（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 44．化简：=（）A． cosα B．﹣cosα C． cos2α D．﹣cos2α5．经过抛物线x2=4y的焦点和双曲线的右焦点的直线方程为（）A． 3x+y﹣3=0 B． x+3y﹣3=0 C． x+48y﹣3=0 D． 48x+y﹣3=06．已知0＜a＜b＜1，则a b，log b a，b的关系是（）A．b＜a b＜log b a B．b＜log b a＜a bC． log b a＜b＜a b D． a b＜b＜log b a7．当x＞0，y＞0时，“x+y≤2”是“xy≤1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件8．将函数y=sin x的图象向右平移2个单位后，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）的单调递减区间是（）A． [﹣1+2k，1+2k]，k∈Z B． [1+4k，3+4k]，k∈ZC． [﹣1+4k，1+4k]，k∈Z D．9．如图，将两个全等的30°的直角三角形ABC和直角三角形ADC拼在一起组成平面四边形ABCD，若，则x，y分别等于（）A． B． C． D．10．设函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，则成f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，则t的范围是（）A．（0，） B．（0，1） C．（0，] D．（，+∞]二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．11．椭圆的离心率为，则m= ．12．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=1，a5=a3+2a1，则a3= ．13．已知定义在R上的函数f（x），满足f（x）=f（x+4），f（2+x）=f（2﹣x），若0＜x＜2时，f（x）=2﹣x，则f（2015）= ．14．已知直线y=﹣x+a与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y+2）2=4相交于A，B两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a= ．15．己知点P（x，y）满足条件（k为常数），若z=x+3y的最大值为﹣8，则k= ．16．已知△OAB中，|=2，M是△OAB重心，且=0，则cos∠AOB= ．17．已知正项数列{a n}的首项a1=1，且2na n+12+（n﹣1）a n a n+1﹣（n+1）a n2=0（n∈N*），则{a n}的通项公式为a n= ．三、解答题：本大题共5小题，共49分．要求写出解题过程或演算步骤．18．△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C对边，且a2=bc．（1）当a=4，，求△ABC的面积；（2）若A=，判断△ABC的形状．19．已知函数f（x）满足f（log a x）=，其中a＞0，且a≠1．（1）求函数y=f（x）的解析式，并判断其奇偶性；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值恒为负数，求实数a的取值范围．20．数列{a n}的前n项和S n满足：S n=2a n﹣4n（n∈N*）．（1）证明数列{a n+4}是等比数列；（2）设，其中λ＞0，若{b n}为递减数列，求实数λ的取值范围．21．已知函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+1，a∈R．（1）当a＞0时，求函数y=的定义域；（2）若存在m＞0使关于x的方程f（|x|）=m+有四个不同的实根，求实数a的取值范围．22．抛物线C：y2=2px经过点M（4，﹣4），（1）不过点M的直线l分别交抛物线于A、B两点，当直线l的斜率为，求证：直线MA与直线MB的倾斜角互补．（2）不经过点M的动直线l交抛物线C于P、Q两点，且以PQ为直径的圆过点M，那么直线l是否过定点？如果是，求定点的坐标；如果不是，说明理由．2014-2015学年浙江省宁波市效实中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．1．集合，则A∩B=（）A．（0，1） B．（0，1] C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，0）∪（0，1）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据对数函数的定义域求出集合A，再根据不等式求出集合B，再利用两个集合的交集的定义求出A∩B．解答：解：集合A={x|y=log2（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}=（﹣∞，1），集合B={x|x2＞0}={x|x≠0}=（﹣∞，0）∪（0，+∞），故集合A∩B=（﹣∞，0）∪（0，1）故选D．点评：本题主要考查对数函数的定义域，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．已知向量，若，则实数x的值为（）A． 2 B．﹣2 C．±2 D． 0考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量平行的坐标运算求解即可．解答：解：向量，若，所以x3=8，解得x=2．故选：A．点评：本题考查向量的坐标运算，向量的平行条件的应用，基本知识的考查．3．等差数列{a n}满足：a4+a6+a8+a10+a12=20，则a9﹣=（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：在等差数列{a n}中，由a4+a6+a8+a10+a12=20，能求出a8，再由a9﹣=（a8+d）﹣（a8+2d）=a8，能求出结果．解答：解：在等差数列{a n}中，∵a4+a6+a8+a10+a12=5a8=20，∴a8=4，a9﹣=（a8+d）﹣（a8+2d）=a8=2．故选：B．点评：本题考查等差数列的通项公式的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．4．化简：=（）A． cosα B．﹣cosα C． cos2α D．﹣cos2α考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：由诱导公式和二倍角的正弦公式化简即可．解答：解：=2sin2α﹣1=1﹣cos2α﹣1=﹣cos2α．故选：D．点评：本题主要考察了诱导公式和二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．5．经过抛物线x2=4y的焦点和双曲线的右焦点的直线方程为（）A． 3x+y﹣3=0 B． x+3y﹣3=0 C． x+48y﹣3=0 D． 48x+y﹣3=0考点：抛物线的标准方程；双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线x2=4y的焦点坐标、双曲线的右焦点，即可求出直线方程．解答：解：抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1），双曲线的右焦点的坐标为（3，0），∴所求直线方程为，即x+3y﹣3=0．故选：B．点评：本题考查抛物线、双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．6．已知0＜a＜b＜1，则a b，log b a，b的关系是（）A．b＜a b＜log b a B．b＜log b a＜a bC． log b a＜b＜a b D． a b＜b＜log b a考点：对数的运算性质；对数值大小的比较．专题：计算题．分析：由题意不妨a，b取特殊值，求出a b，log b a，b的值，得到答案．解答：解：0＜a＜b＜1，不妨取a=，b=a b=，logb a=2，b==﹣显然b＜a b＜log b a故选A．点评：本题考查对数的运算性质，对数值大小的比较，特殊值法比较大小，是基础题．7．当x＞0，y＞0时，“x+y≤2”是“xy≤1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义，分别证明其充分性和必要性，从而得到答案．解答：解：x＞0，y＞0时，由x+y≤2，得（x+y）2≤4，∴x2+2xy+y2≤4，又x2+y2≥2xy，∴4xy≤4，∴xy≤1，是充分条件；令x=4，y=，满足xy≤1，不满足x+y≤2，不是必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查了不等式的性质，是一道基础题．8．将函数y=sin x的图象向右平移2个单位后，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）的单调递减区间是（）A． [﹣1+2k，1+2k]，k∈Z B． [1+4k，3+4k]，k∈ZC． [﹣1+4k，1+4k]，k∈Z D．考点：复合三角函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：首先通过平移变缓得到f（x）的解析式，进一步利用整体思想求出单调递减区间．解答：解：函数y=sin x的图象向右平移2个单位后，得到：f（x）=，令：（k∈Z），解得：4k+3≤x≤4k+5，令k=k﹣1既得选项C故选：C点评：本题考查的知识点：函数图象的变换符合左加右减的性质，利用整体思想求函数的单调区间．9．如图，将两个全等的30°的直角三角形ABC和直角三角形ADC拼在一起组成平面四边形ABCD，若，则x，y分别等于（）A． B． C． D．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据直角三角形中的边角关系求出各边长，余弦定理求出DB2=x2+y2①，Rt△CC′B 中，由勾股定理得BC2=CC'2+C′B2，即 6=（y﹣1）2+x2 ②，由①②可解得 x、y值．解答：解：由题意得，若设 AD=，DC=1，则 AC=2，AB=，BC=1，由题意知，，△BCD中，∵AB=AD=，∠BAD=60°，∴DB=，∵，∠ADC=90°，∴DB2=3x2+y2，∴3x2+y2=3 ①．如图，作=y，=x则=+，CC′=y﹣1，C′B=x，Rt△CC′B中，由勾股定理得BC2=CC'2+C′B2，即 1=（y﹣1）2+3x2，②由①②可得 x=，y=，故选：D．点评：本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，余弦定理、勾股定理得应用，体现了数形集合的数学思想．10．设函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，则成f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，则t的范围是（）A．（0，） B．（0，1） C．（0，] D．（，+∞]考点：函数的值域．专题：新定义．分析：由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t的取值范围．解答：解：∵函数f（x）=为“倍缩函数”，且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，∴f（x）在[a，b]上是增函数；∴，即，∴方程+t=0有两个不等的实根，且两根都大于0；∴，解得：0＜t＜，∴满足条件t的范围是（0，），故答案选：A．点评：本题考察了函数的值域问题，解题时构造函数，渗透转化思想，是中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．11．椭圆的离心率为，则m= 3或．考点：椭圆的简单性质．专题：分类讨论．分析：方程中4和m哪个大，哪个就是a2，利用离心率的定义，分0＜m＜4和m＞4两种情况求出m的值．解答：解：方程中4和m哪个大，哪个就是a2，（ⅰ）若0＜m＜4，则a2=4，b2=m，∴c=，∴e==，得 m=3；（ⅱ）m＞4，则b2=4，a2=m，∴c=，∴e==，得 m=；综上：m=3或m=，故答案为：3或．点评：本题考查椭圆的标准方程和简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想．12．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=1，a5=a3+2a1，则a3= ．考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：设公比为q，利用a2=1，a5=a3+2a1，求出公比，即可求出a3．解答：解：设公比为q，则∵a2=1，a5=a3+2a1，∴q3=q+，∴q=，∴a3=．故答案为：．点评：本题考查等比数列的通项的运用，考查学生的计算能力，比较基础．13．已知定义在R上的函数f（x），满足f（x）=f（x+4），f（2+x）=f（2﹣x），若0＜x＜2时，f（x）=2﹣x，则f（2015）= ．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：由题意求出函数的周期T=4，转化f（2015）为f（4×503+3）=f（3），再由函数f （x）满足f（2+x）=f（2﹣x），得f（3）=f（2+1）=f（2﹣1）=f（1），代入f（x）=2﹣x，然后求值．解答：解：函数f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x+4）=f（x），∴函数的周期为4，f（2015）=f（4×503+3）=f（3），函数f（x）满足f（2+x）=f（2﹣x），∴f（3）=f（2+1）=f（2﹣1）=f（1），∵0＜x＜2时，f（x）=2﹣x，∴f（1）=2﹣1=∴f（2015）=，故答案为：．点评：题考查函数的周期的应用，函数值的求法，考查计算能力．14．已知直线y=﹣x+a与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y+2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a= ．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．解答：解：圆心C（2，﹣2），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，解得a=．故答案为：．点评：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．15．己知点P（x，y）满足条件（k为常数），若z=x+3y的最大值为﹣8，则k= 6 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：画出可行域，将目标函数变形，画出相应的直线，将其平移，数学结合当直线移至点A时，纵截距最大，z最大，代值可得k的方程，解方程可得．解答：解：画出可行域，将z=x+3y变形为y=x+z，画出直线y=﹣x平移至点A时，纵截距最大，z最大，联立方程得，解得代入已知可得z=+3（）=﹣8，解得k=6．故答案为：6点评：本题考查简单线性规划，画不等式组的可行域是解决问题的关键，属中档题．16．已知△OAB中，|=2，M是△OAB重心，且=0，则cos∠AOB= ﹣．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：将，分别用向量，表示，由=0，得到，然后利用向量的数量积定义求值．解答：解：∵△OAB中，|=2，M是△OAB重心，∴，，∴=﹣=﹣（）=﹣1+﹣=0，∴=﹣1，∴cos∠AOB=﹣；故答案为：﹣．点评：本题考查了平面向量的加减法法则运用以及利用向量的数量积定义求三角形内角的余弦值．17．已知正项数列{a n}的首项a1=1，且2na n+12+（n﹣1）a n a n+1﹣（n+1）a n2=0（n∈N*），则{a n}的通项公式为a n= ．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：由已知条件得2na n+1﹣（n+1）a n=0，即=，再用累乘法，即可求出通项公式a n．解答：解：∵2na n+12+（n﹣1）a n a n+1﹣（n+1）a n2=0，∴（2na n+1﹣（n+1）a n）•（a n+1+a n）=0，∵数列{a n}为正项数列，∴a n+1+a n≠0，∴2na n+1﹣（n+1）a n=0，∴=，∴=，=，=，…=，两边累乘得，==n•∴a n=，故答案为：，点评：本题主要考查数列通项公式的求解，利用递推数列，利用累乘法是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共49分．要求写出解题过程或演算步骤．18．△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C对边，且a2=bc．（1）当a=4，，求△ABC的面积；（2）若A=，判断△ABC的形状．考点：余弦定理的应用；三角形的形状判断．专题：计算题；解三角形．分析：（1）利用正弦定理，可得B=C，进而b=c，结合a2=bc，a=4，求出b，c，即可求△ABC的面积；（2）由A=，a2=bc，可得a2=b2+c2﹣2bc•=bc，即可判断△ABC的形状．解答：解：（1）∵，∴tanB=tanC，∴B=C，∴b=c，∵a2=bc，a=4，∴b=c=4，∴；（2）∵A=，a2=bc，∴a2=b2+c2﹣2bc•=bc，∴（b﹣c）2=0，∴b=c，∵A=，∴△ABC是等边三角形．点评：本题考查余弦定理的应用，考查三角形的形状判断，考查学生的计算能力，属于中档题．19．已知函数f（x）满足f（log a x）=，其中a＞0，且a≠1．（1）求函数y=f（x）的解析式，并判断其奇偶性；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值恒为负数，求实数a的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：（1）换元法：令t=log a x，则x=a t，代入函数式可得解析式，利用奇偶函数的定义可判断；（2）分a＞1和0＜a＜1两种情况对函数的单调性进行讨论，当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值恒为负数，等价于f（x）﹣4＜0恒成立，也即f（x）＜4恒成立，利用函数的单调性可作出判断；解答：解：（1）令log a x=t则x=a t，∴f（t）=（a t﹣a﹣t），∴f（x）=（a x﹣a﹣x）；∵f（﹣x）=（a﹣x﹣a x）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数；（2）当a＞1时，a﹣x递减，﹣a﹣x递增，a x递增，所以a x﹣a﹣x递增，又＞0，所以f（x）在R上递增；当0＜a＜1时，a﹣x递增，﹣a﹣x递减，且a x递减，所以a x﹣a﹣x递减，又＜0，故此时f（x）递增；综上，当a＞0且a≠1时，f（x）在R上递增．当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值恒为负数，等价于f（x）﹣4＜0恒成立，也即f（x）＜4恒成立，因为y=f（x）在（﹣∞，2）上单调递增，f（x）＜f（2）==，所以，∴又a＞0，a≠1，故点评：本题主要考查函数的奇偶性与单调性，利用函数的单调性求函数在某区间上的最值，属于中档题．20．数列{a n}的前n项和S n满足：S n=2a n﹣4n（n∈N*）．（1）证明数列{a n+4}是等比数列；（2）设，其中λ＞0，若{b n}为递减数列，求实数λ的取值范围．考点：等比关系的确定；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由S n=2a n﹣4n（n∈N*）．利用当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，化为a n+4=2（a n﹣1+4），即可证明．（2）由（1）可得：，=．{b n}为递减数列，可得b n+1＜b n，即可得出．解答：（1）证明：∵S n=2a n﹣4n（n∈N*）．∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣4n﹣（2a n﹣1﹣4n+4）=2a n﹣2a n﹣1﹣4，化为a n+4=2（a n﹣1+4），又当n=1时，a1=S1=2a1﹣4，解得a1=4．∴数列{a n+4}是等比数列，首项为8，公比为2；（2）解：由（1）可得：，化为．∴=，∵{b n}为递减数列，∴b n+1＜b n，∴＜，又λ＞0，化为≥3，当n=1时取等号．∴λ＞3．点评：本题考查了等比数列的定义通项公式、数列的单调性，考查了变形能力与计算能力，属于难题．21．已知函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+1，a∈R．（1）当a＞0时，求函数y=的定义域；（2）若存在m＞0使关于x的方程f（|x|）=m+有四个不同的实根，求实数a的取值范围．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由题意，f（x）=ax2﹣（a+1）x+1≥0，讨论a，求定义域；（2）令t=m+≥2，则原命题可化为ax2﹣（a+1）x+1﹣t=0有两个不同的正根，从而解得．解答：解：（1）由题意，f（x）=ax2﹣（a+1）x+1≥0，即（ax﹣1）（x﹣1）≥0，①当0＜a＜1时，函数y=的定义域为{x|x≥或x≤1}，②当a=1时，函数y=的定义域为R，③当a＞1时，函数y=的定义域为{x|x≥1或x≤}；（2）令t=m+≥2，则关于x的方程f（|x|）=t有四个不同的实根可化为a|x|2﹣（a+1）|x|+1﹣t=0有四个不同的实根，即ax2﹣（a+1）x+1﹣t=0有两个不同的正根，则，解得a＜﹣3﹣．点评：本题考查了定义域的求法即二次不等式的解法，同时考查了二次方程的根的位置判断，属于中档题．22．抛物线C：y2=2px经过点M（4，﹣4），（1）不过点M的直线l分别交抛物线于A、B两点，当直线l的斜率为，求证：直线MA与直线MB的倾斜角互补．（2）不经过点M的动直线l交抛物线C于P、Q两点，且以PQ为直径的圆过点M，那么直线l是否过定点？如果是，求定点的坐标；如果不是，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）代入点M，即可得到抛物线方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的方程是，联立抛物线方程，消去x，得到y的二次方程，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，化简整理即可得证；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），以PQ为直径的圆过点M，则由，即有=0，由数量积的坐标公式，结合抛物线方程，即可得y1y2﹣4（y1+y2）=32=0，再由直线方程，即可得到定点．解答：（1）证明：抛物线C：y2=2px经过点M（4，﹣4），即有16=8p，解得，p=2．则抛物线方程为y2=4x，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的方程是，由，得y2﹣8y+8m=0，，则直线MA与直线MB的倾斜角互补．（2）解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），以PQ为直径的圆过点M，则由，即有=0，则（x1﹣4）（x2﹣4）+（y1+4）（y2+4）=0，即，化简，得y1y2﹣4（y1+y2）+32=0，则过PQ的直线为==，则直线恒过定点（8，4）．点评：本题考查抛物线方程和运用，考查联立直线方程和抛物线方程，消去未知数，运用韦达定理，考查直线和圆的方程，以及直线的斜率公式的运用，考查运算能力，属于中档题．。
2013学年高一数学上学期期中试题3-11及答案(新人教A版 第137套)
浙江省效实中学2012-2013学年高一数学上学期期中试题(3-11)新人教A 版说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分．第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．下列函数与()1f x x =+表示同一函数的是 （A ）12log 2x y += （B）1y =（C）2y = （D ）2log (1)2x y +=2．已知集合{(,)|02}A x y x =≤≤，{(,)|10}B x y y =-≤≤，则 （A ）{0}A B = （B ）{(,)|12}A B x y x =-≤≤（C ）AB =∅ （D ）A B 在坐标平面内表示的图形面积为23．比较三个数21log 3a =，132b =，21()3c =的大小，则（A ）a b c << （B ）c a b << （C ）a c b << （D ）c b a <<4．已知2log 3(5)()(2)(5)x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(2012)f =（A ）81 （B ）9 （C ）3 （D5．下列函数不是奇函数的是（A ）()|1|f x x x =- （B ）21()x f x x -=（C）()lg(f x x = （D ）21()21x x f x +=-6．若函数2log ()y f x =的值域是(0,)+∞，则()f x 可以等于 （A ）1x x +（B（C ）2x（D ）1()12x + 7．如图，是三个对数函数1log a y x =，2log b y x =，3log c y x =的图象，则（A ）a b c << （B ）1c b a<< 3y 2yy（C ）1c a b<<（D ）c b a << 8．已知12,x x 是方程24()1022x x x x -+=--的两根，则12x x += （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）49．设函数()f x 的定义域为A ，且满足任意x A ∈恒有()(2)2f x f x +-=的函数是 （A ）2()log f x x = （B ）()2x f x = （C ）()1xf x x =- （D ）2()f x x = 10．已知方程1lg ()2xx =有两个不同的实数根12,x x ，则有（A ）121x x > （B ）120x x < （C ）1201x x << （D ）121x x =第Ⅱ卷（非选择题 共70分）二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分． 11．函数2log (1)y x =+的定义域A = ▲ ．12．设{2,3,5,7,8}U =，{2,8}A =，{3,5,8}B =，则()U C A B = ▲ ．13．函数223()0.2xx f x -+=的单调递增区间是 ▲ ．14．已知()|6|()f x ax a Z =-∈，若3{|()2}x f x ∈<，则{|()2}x f x ≥= ▲ ． 15．关于x 的方程2(1)2230a x ax a -++-=至少有一个正根，则a ∈ ▲ ． 16．已知22012()2012lg log 1xf x x x x =++-，若(2012)3f =，则1()2012f = ▲ ． 17．当3x ≥时，不等式2(41)(2)0ax a x x -+--≥恒成立，则a 的范围是 ▲ ． 三、解答题：本大题共5小题，共49分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18． （1）计算：11320.00881-++ （2）解方程：lg lg 3100xx ⋅=．19．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()32f x x =-．(1)求()f x 的解析式；(2) 写出()f x 的单调区间； （3）解不等式()()f x f x -≥．宁波效实中学二○一○学年度第一学期 期中考试高一数学答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）二、填空题：（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11、),1+∞-（ 12、}5,3{ 13、)1,(-∞ 14、),4[]2,+∞∞- （ 15、]2,32（ 16、2- 17、]1,0[20．用定义证明：22()1xf x x =-在(1,1)-上单调递减． 18、解：（1）10（2）1000或101ks5u19、解：（1）32(0)()0(0)32(0)x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪--<⎩（2）递减区间(,0)-∞，(0,)+∞ （3）302x -≤≤或32x ≥20．略21．已知函数()|21||1|f x x k x =-++．ks5u(1) 当1k =-时，把()f x 写成分段函数，并画出()f x 的图象； （2）若1()2f 是函数()f x 的最小值，求k 的取值范围． ks5u21、解：（1）12()21()|21||1|3(1)22(1)x x f x x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪=--+=--<<⎨⎪-≤-⎪⎪⎩，图略（2）1(2)1()21()(2)1(1)2(2)1(1)k x k x f x k x k x k x k x ⎧+-+≥⎪⎪⎪=-++-<<⎨⎪-++-≤-⎪⎪⎩，2020k k +≥⎧⎨-≤⎩，22k -≤≤22．设2()41f x x =-，()21g x x =-+ （1）若关于x 的方程()(2)2xg x f m =+有负实数根，求m 的取值范围；（2）若()()()F x af x bg x =+（,a b 都为常数，且0a >）ks5u①证明：当01x ≤≤时，()F x 的最大值是|2|a b a -+； ②求证：当01x ≤≤时，()|2|0F x a b a +-+≥．22、解：（1）0x <，设2(0,1)x t =∈，22241m t t =-- 22242t t -<，1m ∴< （2）证明：2()42F x ax bx b a =-+-对称轴4b x a= ①当142b a ≤即2a b ≥时，max ()(1)3F x F a b ==- 当142b a >即2a b <时，max ()(0)F x F b a ==-故max3(2)()|2|(2)a b a b F x a b a b a a b -≥⎧==-+⎨-<⎩ks5u ②即求min ()|2|0F x a b a +-+≥ks5u22(2)()4()44b a b F x a x a a--=-+当04ba≤即0b ≤时，min ()|2|(0)220F x a b a F a b a a +-+=+-+=> 当014ba<<即04b a <<时min 2222()|2|()248(02)488(24)4bF x a b a F a b a a a b b a aa ab b a b a a +-+=+-+⎧-<≤⎪⎪=⎨-+-⎪<<⎪⎩min ()|2|0F x a b a ∴+-+>当14ba≥即4b a ≥时，min ()|2|(1)20F x a b a F b a a +-+=+-=> 综上，当01x ≤≤时，()|2|0F x a b a +-+≥。
浙江省效实中学2013-2014学年高一上学期期始考数学试题
2013年效实中学高一数学模拟测试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）1．下列运算正确的是 （ ） A. 43a a -= B. 325()a a -= C. 23a a a ⋅= D.623a a a ÷=2．从错误！不能通过编辑域代码创建对象。
中随机取出三个不同的数，则其和为奇数的概率为 （ ）A ．错误！不能通过编辑域代码创建对象。
B ．错误！不能通过编辑域代码创建对象。
C ．错误！不能通过编辑域代码创建对象。
D ．错误！不能通过编辑域代码创建对象。
3．如图所示，在△ABC 中，AB=AC=10cm ，BC=16cm ，M 、N 、D 分别是AB 、AC 、BC 的中点，连接DM 、BN 交于点E ，则图中阴影部分△BDE 的面积为 （ ） A ．4 cm 2 B ．6 cm 2 C ．8 cm 2 D ．12 cm 24．已知a =7，b =70，则9.4等于 （ ）A ．10b a + B ．10a b - C ．a b D ．10ab5．四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，给出下列四个条件：①AD ∥BC ②AD=BC ③OA=OC ④OB=OD从中任选两个条件，能使四边形ABCD 为平行四边形的选法有 （ ） A ．3种 B ．4种 C ．5种 D ．6种 6．若方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有．．一个公共根，则（ ） A ．b a = B ．0=+b a C ．1=+b a D ．1-=+b a 7．如图所示，直线(0)y kx k =>与双曲线2y x=交于A 、B 两点，若A 、B 两点的坐标分别为A 11(,)x y 、B 22(,)x y ，则1221x y x y +的值为 Ks5u（ ）A ．﹣8B ． 4C ．﹣4D ． 08．图①、图②、图③分别表示甲、乙、丙三人由A 地到B 地的路线图（箭头表示行进的方向）．图②中E 为AB 的中点，图③中AJ ＞JB ．判断三人行进路线长度的大小关系 为 （ ）（第3题）EABAB图① 图② 图③A ．甲=乙=丙B ．甲＜乙＜丙C ．乙＜丙＜甲D ．丙＜乙＜甲 9．如图，正方形ABCD 中，AB=3，点E 在边CD 上，且CD=3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG ，CF ．下列结论： ①点G 是BC 中点；②FG=FC ；③S △FGC =．其中正确的是 （ ） A .① ② B. ① ③ C.②③ D.①②③10.已知122013,,,a a a ⋅⋅⋅是一列互不相等的正整数.若任意改变这2013个数的顺序，并记为122013,,,b b b ⋅⋅⋅，则数112220132013()()()N a b a b a b =--⋅⋅⋅-的值必为 （ ） A ．偶数 B .奇数 C.0 D. 1二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）Ks5u11．小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是 ．Ks5u12．一束光线从y 轴上点A （0，1）出发， 经过x 轴上点C 反射后经过点 B （3，3），则光线从A 点到B 点经过的路线长是 ．Ks5u13．观察下列图形：45-7-3-13-31842012-2521603-2y -2x-549图① 图② 图③ 图④ 图⑤请用你发现的规律直接写出图④中的数y = ；图⑤中的数x = ．14．如图所示，□ABCD 中，AM ⊥BC 于M ， AN ⊥CD 于N ，已知AB=10，BM=5，MC=3，第8题图（第14题）第16题图H GF E D C B A 第11题图则MN 的长为 ．15.对于正整数,n 若(,n pq p q =≥且,p q 为整数），当p q -最小时，则称pq 为n 的“最佳分解”，并规定()qf n p=（如12的分解有121,62,43,⨯⨯⨯其中，43⨯为12的最佳分解，则3()4f n =）。
浙江省宁波市效实中学高三数学上学期期中试卷 理(含解
2014-2015学年浙江省宁波市效实中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．1．集合，则A∩B=（）A．（0，1） B．（0，1] C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，0）∪（0，1）2．已知向量，若，则实数x的值为（）A． 2 B．﹣2 C．±2 D． 03．等差数列{a n}满足：a4+a6+a8+a10+a12=20，则a9﹣=（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 44．化简：=（）A． cosα B．﹣cosα C． cos2α D．﹣cos2α5．已知0＜a＜b＜1，则a b，log b a，b的关系是（）A．b＜a b＜log b a B．b＜log b a＜a bC． log b a＜b＜a b D． a b＜b＜log b a6．α，β是两个平面，l是直线，给出以下四个命题：①若l⊥α，α⊥β，则l∥β，②若l∥α，α∥β，则l∥β，③l⊥α，α∥β，则l⊥β，④l∥α，α⊥β，则l⊥β，其中真命题有（）A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个7．当x＞0，y＞0时，“x+y≤2”是“xy≤1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件8．中心为原点，焦点在x轴上，离心率为e=，且与直线y=x+2相切的椭圆的方程为（）A． B．C． D．9．将函数y=sin x的图象向右平移2个单位后，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）的单调递减区间是（）A． [﹣1+2k，1+2k]，k∈Z B． [1+4k，3+4k]，k∈ZC． [﹣1+4k，1+4k]，k∈Z D．10．设函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，则成f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，则t的范围是（）A．（0，） B．（0，1） C．（0，] D．（，+∞]二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．11．若sinα=，α∈（0，2π），则α= ．12．已知定义在R上的函数f（x），满足f（x）=f（x+4），f（2+x）=f（2﹣x），若0＜x＜2时，f（x）=2﹣x，则f（2015）= ．13．已知点P（x，y）的坐标满足：，过P的直线交圆C：x2+y2=25于A、B两点，则弦长|AB|的最小值为．14．已知△OAB中，|=2，M是△OAB重心，且=0，则cos∠AOB= ．15．已知点F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，则双曲线的离心率e的取值范围是．16．异面直线a，b所成的角为θ，过空间中定点P，与a，b都成60°角的直线有四条，则θ的取值范围是．17．已知正项数列{a n}的首项a1=1，且2na n+12+（n﹣1）a n a n+1﹣（n+1）a n2=0（n∈N*），则{a n}的通项公式为a n= ．三、解答题：本大题共5小题，共49分．要求写出解题过程或演算步骤．18．△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C对边，且a2=bc．（1）当a=4，，求△ABC的面积；（2）求函数的定义域和值域．19．数列{a n}的前n项和S n满足：S n=2a n﹣4n（n∈N*）．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，其中λ＞0，若{b n}为递减数列，求实数λ的取值范围．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，BC=CD=2AB=2，△PAD是等边三角形，M、N分别为BC、PD的中点．（1）求证：MN∥平面PAB；（2）若MN⊥PD，求二面角P﹣AD﹣C的余弦值．21．已知函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+1，a∈R．（1）当a＞0时，求函数y=的定义域；（2）若存在m＞0使关于x的方程f（|x|）=m+有四个不同的实根，求实数a的取值范围．22．过抛物线C：y2=2px上的点M（4，﹣4）作倾斜角互补的两条直线MA、MB，分别交抛物线于A、B两点．（1）若|AB|=4，求直线AB的方程；（2）不经过点M的动直线l交抛物线C于P、Q两点，且以PQ为直径的圆过点M，那么直线l是否过定点？如果是，求定点的坐标；如果不是，说明理由．2014-2015学年浙江省宁波市效实中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．1．集合，则A∩B=（）A．（0，1） B．（0，1] C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，0）∪（0，1）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据对数函数的定义域求出集合A，再根据不等式求出集合B，再利用两个集合的交集的定义求出A∩B．解答：解：集合A={x|y=log2（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}=（﹣∞，1），集合B={x|x2＞0}={x|x≠0}=（﹣∞，0）∪（0，+∞），故集合A∩B=（﹣∞，0）∪（0，1）故选D．点评：本题主要考查对数函数的定义域，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．已知向量，若，则实数x的值为（）A． 2 B．﹣2 C．±2 D． 0考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量平行的坐标运算求解即可．解答：解：向量，若，所以x3=8，解得x=2．故选：A．点评：本题考查向量的坐标运算，向量的平行条件的应用，基本知识的考查．3．等差数列{a n}满足：a4+a6+a8+a10+a12=20，则a9﹣=（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：在等差数列{a n}中，由a4+a6+a8+a10+a12=20，能求出a8，再由a9﹣=（a8+d）﹣（a8+2d）=a8，能求出结果．解答：解：在等差数列{a n}中，∵a4+a6+a8+a10+a12=5a8=20，∴a8=4，a9﹣=（a8+d）﹣（a8+2d）=a8=2．故选：B．点评：本题考查等差数列的通项公式的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．4．化简：=（）A． cosα B．﹣cosα C． cos2α D．﹣cos2α考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：由诱导公式和二倍角的正弦公式化简即可．解答：解：=2sin2α﹣1=1﹣cos2α﹣1=﹣cos2α．故选： D．点评：本题主要考察了诱导公式和二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．5．已知0＜a＜b＜1，则a b，log b a，b的关系是（）A．b＜a b＜log b a B．b＜log b a＜a bC． log b a＜b＜a b D． a b＜b＜log b a考点：对数的运算性质；对数值大小的比较．专题：计算题．分析：由题意不妨a，b取特殊值，求出a b，log b a，b的值，得到答案．解答：解：0＜a＜b＜1，不妨取a=，b=a b=，logb a=2，b==﹣显然b＜a b＜log b a故选A．点评：本题考查对数的运算性质，对数值大小的比较，特殊值法比较大小，是基础题．6．α，β是两个平面，l是直线，给出以下四个命题：①若l⊥α，α⊥β，则l∥β，②若l∥α，α∥β，则l∥β，③l⊥α，α∥β，则l⊥β，④l∥α，α⊥β，则l⊥β，其中真命题有（）A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，D中由条件均可能得到l∥β，即A，B，D三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．解答：解：若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故①错误；若l∥α，α∥β，则l⊂β或l∥β，故②错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故③正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故④错误；故选A．点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．7．当x＞0，y＞0时，“x+y≤2”是“xy≤1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义，分别证明其充分性和必要性，从而得到答案．解答：解：x＞0，y＞0时，由x+y≤2，得（x+y）2≤4，∴x2+2xy+y2≤4，又x2+y2≥2xy，∴4xy≤4，∴xy≤1，是充分条件；令x=4，y=，满足xy≤1，不满足x+y≤2，不是必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查了不等式的性质，是一道基础题．8．中心为原点，焦点在x轴上，离心率为e=，且与直线y=x+2相切的椭圆的方程为（）A． B．C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过离心率得到a、b关系式，设出椭圆C的方程，利用直线y=x+2与椭圆相切，△=0．由此得b2的值；求出椭圆方程即可．解答：解：∵e=，∴，即a2=2c2，a2=2b2，设椭圆的方程为：，由消y得：，△=192﹣4×3×（24﹣2b2）=0，解得b2=4，∴椭圆方程为：，故选C．点评：本题考查椭圆方程的求法，直线与圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力．9．将函数y=sin x的图象向右平移2个单位后，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）的单调递减区间是（）A． [﹣1+2k，1+2k]，k∈Z B． [1+4k，3+4k]，k∈ZC． [﹣1+4k，1+4k]，k∈Z D．考点：复合三角函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：首先通过平移变缓得到f（x）的解析式，进一步利用整体思想求出单调递减区间．解答：解：函数y=sin x的图象向右平移2个单位后，得到：f（x）=，令：（k∈Z），解得：4k+3≤x≤4k+5，令k=k﹣1既得选项C故选：C点评：本题考查的知识点：函数图象的变换符合左加右减的性质，利用整体思想求函数的单调区间．10．设函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，则成f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，则t的范围是（）A．（0，） B．（0，1） C．（0，] D．（，+∞]考点：函数的值域．专题：新定义．分析：由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t的取值范围．解答：解：∵函数f（x）=为“倍缩函数”，且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，∴f（x）在[a，b]上是增函数；∴，即，∴方程+t=0有两个不等的实根，且两根都大于0；∴，解得：0＜t＜，∴满足条件t的范围是（0，），故答案选：A．点评：本题考察了函数的值域问题，解题时构造函数，渗透转化思想，是中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．11．若sinα=，α∈（0，2π），则α= 或．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：根据sinα的值以及α的范围，求得α的值．解答：解：∵sinα=，α∈（0，2π），∴α=或，故答案为：或．点评：本题主要考查根据三角函数的值求角，属于基础题．12．已知定义在R上的函数f（x），满足f（x）=f（x+4），f（2+x）=f（2﹣x），若0＜x＜2时，f（x）=2﹣x，则f（2015）= ．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：由题意求出函数的周期T=4，转化f（2015）为f（4×503+3）=f（3），再由函数f （x）满足f（2+x）=f（2﹣x），得f（3）=f（2+1）=f（2﹣1）=f（1），代入f（x）=2﹣x，然后求值．解答：解：函数f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x+4）=f（x），∴函数的周期为4，f（2015）=f（4×503+3）=f（3），函数f（x）满足f（2+x）=f（2﹣x），∴f（3）=f（2+1）=f（2﹣1）=f（1），∵0＜x＜2时，f（x）=2﹣x，∴f（1）=2﹣1=∴f（2015）=，故答案为：．点评：题考查函数的周期的应用，函数值的求法，考查计算能力．13．已知点P（x，y）的坐标满足：，过P的直线交圆C：x2+y2=25于A、B两点，则弦长|AB|的最小值为．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用直线与圆的位置关系，确定点P的位置，进行即可即可．解答：解：作出不等式对应的平面区域．过点P的直线l与圆C：x2+y2=36相交于A、B两点，要使|AB|最小，则圆心O到过P的直线的距离最大，由图象可知当点P在C处时，满足条件，此时OC⊥AB，C是直线y=x与y=1的交点，为（3，1），则OC=，又OB=5，所以AB=；故答案为：；点评：本题主要考查平面区域的画法和直线与圆的位置关系的应用；利用直线和圆相交，根据弦长公式确定点P的位置是解决本题的关键，属于中档题．14．已知△OAB中，|=2，M是△OAB重心，且=0，则cos∠AOB= ﹣．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：将，分别用向量，表示，由=0，得到，然后利用向量的数量积定义求值．解答：解：∵△OAB中，|=2，M是△OAB重心，∴，，∴=﹣=﹣（）=﹣1+﹣=0，∴=﹣1，∴cos∠AOB=﹣；故答案为：﹣．点评：本题考查了平面向量的加减法法则运用以及利用向量的数量积定义求三角形内角的余弦值．15．已知点F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，则双曲线的离心率e的取值范围是（1，+1）．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：先求出A，B两点的纵坐标，由△ABF2是锐角三角形知，tan∠AF2F1=＜1，e2﹣2e ﹣1＜0，解不等式求出e 的范围．解答：解：在双曲线中，令x=﹣c 得，y=±，∴A，B两点的纵坐标分别为±．由△ABF2是锐角三角形知，∠AF2F1＜，tan∠AF2F1=＜tan =1，∴＜1，c2﹣2ac﹣a2＜0，e2﹣2e﹣1＜0，∴1﹣＜e＜1+．又 e＞1，∴1＜e＜1+，故答案为：（1，1+）．点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，判断∠AF2F1＜，tan =＜1，是解题的关键．16．异面直线a，b所成的角为θ，过空间中定点P，与a，b都成60°角的直线有四条，则θ的取值范围是（60°，90°] ．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：为解决本题，先来掌握一个知识点：若平面α外一条直线和平面α内两相交直线m，n所成角相等，且m，n所成角为θ1，c与m所成角为θ2，则．掌握这个知识点后，然后可根据条件画出图形，便可得到，所以60°＜θ≤90°．解答：解：如图，已知异面直线a，b，过点P分别作a1∥a，b1∥b，则相交直线a1，b1确定一平面α；假设PA是与a，b都成60°角的四条直线中的一条，即：和直线a，b所成角都是60°；即PA和a1，b1所成角都是60°，设c是θ的平分线，d是θ补角的平分线；容易知道PA和a1所成角大于c和b1所成角；∵0°＜θ≤90°，∴；∴存在直线PA和a1，b1所成角都为60°，而PA关于平面α的对称直线也和a1，b1所成角为60°；假设PB和a1，b1所成角为60°，并且PB关于平面α的对称直线也和a1，b1成60°角，这样就找到四条直线和a1，b1成60°角；而要使PB和a1，b1所成角为60°，则：，即θ＞60°，又0°＜θ≤90°；∴60°＜θ≤90°；θ的取值范围为（60°，90°]．故答案为：（60°，90°]．点评：考查异面直线所成角的概念及范围，以及空间想象能力及作图能力．17．已知正项数列{a n}的首项a1=1，且2na n+12+（n﹣1）a n a n+1﹣（n+1）a n2=0（n∈N*），则{a n}的通项公式为a n= ．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：由已知条件得2na n+1﹣（n+1）a n=0，即=，再用累乘法，即可求出通项公式a n．解答：解：∵2na n+12+（n﹣1）a n a n+1﹣（n+1）a n2=0，∴（2na n+1﹣（n+1）a n）•（a n+1+a n）=0，∵数列{a n}为正项数列，∴a n+1+a n≠0，∴2na n+1﹣（n+1）a n=0，∴=，∴=，=，=，…=，两边累乘得，==n•∴a n=，故答案为：，点评：本题主要考查数列通项公式的求解，利用递推数列，利用累乘法是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共49分．要求写出解题过程或演算步骤．18．△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C对边，且a2=bc．（1）当a=4，，求△ABC的面积；（2）求函数的定义域和值域．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，整理得到B=C，利用等角对等边得到b=c，把a，b=c代入a2=bc，求出a=b=c=4，得到三角形为等边三角形，求出面积即可；（2）利用余弦定理表示出cosA，把a2=bc代入利用基本不等式求出cosA的范围，确定出A 的范围，进而确定出f（A）的定义域与值域即可．解答：解：（1）由正弦定理得：==，即sinBcosC=sinCcosB，整理得：sinBcosC﹣cosBsinC=sin（B﹣C）=0，∴B﹣C=0，即B=C，∵a=4，a2=bc，∴a=b=c=4，即△ABC为等边三角形，则S△ABC=×42=4；（2）∵a2=bc，∴cosA==≥=，∴A∈（0，]，即A+∈（，]，则f（A）=sin（A+）∈[，1]．点评：此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式的运用，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理是解本题的关键．19．数列{a n}的前n项和S n满足：S n=2a n﹣4n（n∈N*）．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，其中λ＞0，若{b n}为递减数列，求实数λ的取值范围．考点：数列递推式；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）首先利用递推关系式，整理构造新数列，利用新数列的特点求出通项．（2）结合（1）的结论，和数列的递减性，所以b n+1﹣b n＜0，进一步利用恒成立问题求出结果．解答：解：（1）数列{a n}的前n项和S n满足：S n=2a n﹣4n，①则：S n﹣1=2a n﹣1﹣4（n﹣1）（n≥2），②①﹣②得：a n=2a n﹣2a n﹣1﹣4，整理得：a n=2a n﹣1+4，恒等变换得：a n+4=2（a n﹣1+4），（常数），则：{a n+4}是以（a1+4）为首项，2为公比的等比数列．，当n=1时，代入①解得：a1=4，，则：．（2），由（1）得：，由于若{b n}为递减数列，所以：b n+1﹣b n＜0，即：，∵λ＞0，∴整理得：λ＞，要使上式恒成立只需满足：即可．当n=1时，解得：λ＞3．点评：本题考查的知识要点：构造新数列求通项公式，利用递减数列求参数的范围，恒成立问题的应用．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，BC=CD=2AB=2，△PAD是等边三角形，M、N分别为BC、PD的中点．（1）求证：MN∥平面PAB；（2）若MN⊥PD，求二面角P﹣AD﹣C的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）取PC中点Q，可证面NQM∥面PAB，得MN∥面PAB；（2）取AD中点O，PO⊥AD，MO⊥AD，∠POM是二面角P﹣AD﹣C平面角，解三角形得二面角P﹣AD﹣C的余弦值．解答：证明：（1）取PC中点Q，连接QN，QM，如下图所示：∵M、N分别为BC、PD的中点．∴QM∥PB，又∵QM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，∴QM∥平面PAB，同理QN∥平面PAB，∵QM∩QN=Q，QM，QN⊂平面NQM∴平面NQM∥平面PAB，又∵MN⊂平面NQM∴MN∥面PAB；解：（2）取AD中点O，连接OP，OM，∵△PAD是等边三角形，∴PO⊥AD，∵AB∥CD，AB⊥AD，∴MO⊥AD，∴∠POM是二面角P﹣AD﹣C平面角，∵BC=CD=2AB=2，∴AD=，MB=MC=1，∠BCD=，∴MD=，PO=×=，又∵MN⊥PD，∴PM=MD=，MO=，由余弦定理得：．故二面角P﹣AD﹣C的余弦值为点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定与性质，难度中档．21．已知函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+1，a∈R．（1）当a＞0时，求函数y=的定义域；（2）若存在m＞0使关于x的方程f（|x|）=m+有四个不同的实根，求实数a的取值范围．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由题意，f（x）=ax2﹣（a+1）x+1≥0，讨论a，求定义域；（2）令t=m+≥2，则原命题可化为ax2﹣（a+1）x+1﹣t=0有两个不同的正根，从而解得．解答：解：（1）由题意，f（x）=ax2﹣（a+1）x+1≥0，即（ax﹣1）（x﹣1）≥0，①当0＜a＜1时，函数y=的定义域为{x|x≥或x≤1}，②当a=1时，函数y=的定义域为R，③当a＞1时，函数y=的定义域为{x|x≥1或x≤}；（2）令t=m+≥2，则关于x的方程f（|x|）=t有四个不同的实根可化为a|x|2﹣（a+1）|x|+1﹣t=0有四个不同的实根，即ax2﹣（a+1）x+1﹣t=0有两个不同的正根，则，解得a＜﹣3﹣．点评：本题考查了定义域的求法即二次不等式的解法，同时考查了二次方程的根的位置判断，属于中档题．22．过抛物线C：y2=2px上的点M（4，﹣4）作倾斜角互补的两条直线MA、MB，分别交抛物线于A、B两点．（1）若|AB|=4，求直线AB的方程；（2）不经过点M的动直线l交抛物线C于P、Q两点，且以PQ为直径的圆过点M，那么直线l是否过定点？如果是，求定点的坐标；如果不是，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）求出抛物线的方程，设出AB的直线方程，由弦长公式可求得m；（2）设P，Q两点的坐标，表示出以PQ为直径的圆，然后判断直线l是否过定点即可．解答：解：（1）由题意可得：抛物线方程为y2=4x，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程是x=my+b，由，得y2﹣4my﹣4b=0，由k AM+k BM=0，得y1+y2=8，则m=2，由弦长公式，得b=﹣2，因此直线AB的方程是x﹣2y+2=0（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），以PQ为直径的圆过点M，则由，即有=0，则（x1﹣4）（x2﹣4）+（y1+4）（y2+4）=0，即，化简，得y1y2﹣4（y1+y2）=32=0，过PQ的直线为==，恒过（8，4）点．点评：本题主要考查抛物线的定义、弦长公式，直线过定点等知识，属于基础题．。
浙江省效实中学2013届高三上学期期中数学理试题
宁波效实中学二零一二学年度第一学期高三数学（理）期中试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分．第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知集合22{|log 0},{|20}A x x B x x x =∈>=∈--<R R ，则AB =(A)(1,2)-(B) (1,)-+∞ (C) (1,1)- (D) (1,2)2．已知sin()2sin()2ππαα-=-+，则sin 2α等于(A)45-(B) 25- (C) 25 (D) 453．若向量,a b 满足1,2a b ==，且()a a b ⊥+，则a 与b 的夹角为(A)2π(B)23π(C)34π(D)56π 4．等差数列{}n a 的公差0d ≠，且134,,a a a 成等比数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则4253S S S S --的值为(A)3(B)57(C)75(D) 15．函数2()24ln f x x x x =--的单调递增区间是 (A)(,1),(0,2)-∞-(B) (1,0),(2,)-+∞ (C) (0,2)(D) (2,)+∞6． 已知函数2()sin(2),()2cos f x x g x x π=-=，则下列结论正确的是 (A)函数()f x 在区间[,]42ππ上为增函数 (B) 函数()()y f x g x =+的最小正周期为2π (C) 函数()()y f x g x =+的图象关于直线8x π=对称(D) 将函数()f x 的图象向右平移2π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()g x 的图象 7．已知2a b >≥．现有下列不等式：①23b b a >-；②4221ab a b+<+；③ab a b >+； ④log 3log 3a b >．其中正确的是 (A) ①②(B) ①③(C) ②④(D) ③④8．O 是ABC ∆所在平面内一点，动点P 满足(),0sin sin AB AC OP OA AB BAC Cλλ=++>，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的(A) 内心 (B) 外心 (C) 重心 (D) 垂心 9．若关于x 的不等式2||2x x a +-<至少有一个正数解，则实数a 的取值范围是(A)(2,2)- (B) 9(2,)4- (C) 99(,)44- (D) 9(,2)4-10．如图放置的正方形, 1.,ABCD AB A D =分别在x 轴、y 轴的正半轴（含原点）上滑动，则OC OB⋅的最大值是 (A)(B)(C) (D) 2第Ⅱ卷（非选择题 共70分）二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．11．复数z 满足(2)(1)1z i i -+=-，其中i 是虚数单位，则复数z = ▲ ．12．在25(1)(1)x x x ++-的展开式中，含5x 项的系数是 ▲ ．13．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如右图，则()f π= ▲ ．14．若函数33,0,()14,03x x x f x x x a x ⎧+≤⎪=⎨-+>⎪⎩在其定义域R 上有且只有一个零点， 则实数a 的取值范围是 ▲ ．15．在A B C ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边，AD 为BC 边上的高．已知55cos =C ， 且5451+=，则=ba ▲ ． 16．在ABC ∆中，cb a ,,分别为角,,A B C 所对的边，若c A b B a 53cos cos =-， 则)tan(B A -的最大值为 ▲ ．第13题图第10题图17．设正整数数列{}n a 满足：24a =，且对于任何*n ∈N ，有11111122111n n n n a a a a n n ++++<<+-+， 则10a = ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共49分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．(本题满分9分)已知函数23()3cos(0)222xf x x ωωω=+->在一个周期内的图象如图所示，点A 为图象的最高点，,B C 为图象与x 轴的交点，且三角形ABC 的面积为4． （I ）求ω的值及函数()f x 的值域； （II）若00()(,)123f x x ππ=∈，求0()6f x π+的值．19．(本题满分9分)用0,1,2,3,4,5这六个数字，组成四位数． （I ）可以组成多少没有重复数字的四位数？（II ）可组成多少个恰有两个相同数字的四位数？第18题图20．(本题满分10分)在ABC ∆中，c b a ,,分别为角,,A B C 所对的边，向量),2(b c a +=，)cos ,(cos C B n =，且n m ,垂直．（I ）确定角B 的大小；（II ）若ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，且1=BD ，设,BC x BA y ==，试确定y 关于x 的函数式，并求边AC 长的取值范围．21．(本题满分11分)已知以1a 为首项的数列{}n a 满足1,3,, 3.n n n nn a c a a a a d++<⎧⎪=⎨≥⎪⎩（I ）当11,1,3a c d ===时，求数列{}n a 的通项公式；（II ）当101,1,3a c d <<==时，试用数列1a 表示数列{}n a 前100项的和100S ；（III ）当1110(*),a m c m m <<∈=N 时，正整数3d m ≥时，证明：数列23262921111,,,m m m a a a a m m m m+++----成等比数列的充要条件是3d m =．22．(本题满分10分)已知函数1)(23-+=ax x x f ，R x ∈，R a ∈ ． (Ⅰ) 设对任意]0,(-∞∈x ，x x f ≤)(恒成立，求a 的取值范围；(Ⅱ) 是否存在实数a ，使得满足t a t t f ln 24)('2-=的实数t 有且仅有一个？若存在，求出所有这样的a ；若不存在，请说明理由．宁波效实中学二○一二学年度第一学期高三数学（理）期中试卷答案一、选择题(1)D ． (2) A ． (3)C ． (4) A ． (5) D ． (6)C ． (7)B ． (8)C ． (9)B ． (10) D ． 二、填空题(11)2i - (12)6 (13)(14)163a > (15)(16) 34(17)100． 三、解答题(18)(I)()),3f x x πω=+又|ABC S BC ∆=，2||2BC ππω==，则2ω=。
数学(理)卷.2013届浙江省宁波效实中学高三上学期期中考试(2012 11)
浙江省宁波市效实中学2013届高三上学期期中数学理试题说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分．第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知集合22{|log 0},{|20}A x x B x x x =∈>=∈--<R R ，则A B =I(A)(1,2)-(B) (1,)-+∞ (C) (1,1)- (D) (1,2)2．已知sin()2sin()2ππαα-=-+，则sin 2α等于(A)45-(B) 25- (C) 25 (D) 453．若向量,a b r r满足1,a b ==r r ()a a b ⊥+r r r，则a r 与b r 的夹角为(A)2π(B)23π(C)34π(D)56π 4．等差数列{}n a 的公差0d ≠，且134,,a a a 成等比数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则4253S S S S --的值为(A)3(B)57(C)75(D) 15．函数2()24ln f x x x x =--的单调递增区间是 (A)(,1),(0,2)-∞-(B) (1,0),(2,)-+∞ (C) (0,2)(D) (2,)+∞6． 已知函数2()sin(2),()2cos f x x g x x π=-=，则下列结论正确的是 (A)函数()f x 在区间[,]42ππ上为增函数 (B) 函数()()y f x g x =+的最小正周期为2π (C) 函数()()y f x g x =+的图象关于直线8x π=对称(D) 将函数()f x 的图象向右平移2π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()g x 的图象7．已知2a b >≥．现有下列不等式：①23b b a >-；②4221ab a b+<+；③ab a b >+； ④log 3log 3a b >．其中正确的是 (A) ①②(B) ①③(C) ②④(D) ③④8．O 是ABC ∆所在平面内一点，动点P 满足(),0sin sin AB ACOP OA AB B AC Cλλ=++>u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r， 则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的(A) 内心 (B) 外心 (C) 重心 (D) 垂心 9．若关于x 的不等式2||2x x a +-<至少有一个正数解，则实数a 的取值范围是(A)(2,2)- (B) 9(2,)4- (C) 99(,)44- (D) 9(,2)4-10．如图放置的正方形, 1.,ABCD AB A D =分别在x 轴、y 轴的正半轴（含原点）上滑动，则OC OB ⋅u u u r u u u r的最大值是 (A) (B) 2 (C) 3 (D) 2ks5u第Ⅱ卷（非选择题 共70分）二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．11．复数z 满足(2)(1)1z i i -+=-，其中i 是虚数单位，则复数z = ▲ ．12．在25(1)(1)x x x ++-的展开式中，含5x 项的系数是 ▲ ．13．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如右图，则()f π= ▲ ．14．若函数33,0,()14,03x x x f x x x a x ⎧+≤⎪=⎨-+>⎪⎩在其定义域R 上有且只有一个零点， 则实数a 的取值范围是 ▲ ．15．在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边，AD 为BC 边上的高．已知55cos =C ， 且AC AB AD 5451+=，则=ba ▲ ．ks5u 16．在ABC ∆中，cb a ,,分别为角,,A B C 所对的边，若c A b B a 53cos cos =-， 则)tan(B A -的最大值为 ▲ ．第13题图第10题图17．设正整数数列{}n a 满足：24a =，且对于任何*n ∈N ，有11111122111n n n n a a a a n n ++++<<+-+，则10a = ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共49分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．(本题满分9分)已知函数233()3cos sin (0)222xf x x ωωω=+->在一个周期内的图象如图所示，点A 为图象的最高点，,B C 为图象与x 轴的交点，且三角形ABC 的面积为3π． （I ）求ω的值及函数()f x 的值域；ks5u （II ）若004()3,(,)5123f x x ππ=∈，求0()6f x π+的值．19．(本题满分9分)用0,1,2,3,4,5这六个数字，组成四位数． （I ）可以组成多少没有重复数字的四位数？（II ）可组成多少个恰有两个相同数字的四位数？ ks5u第18题图20．(本题满分10分)在ABC ∆中，c b a ,,分别为角,,A B C 所对的边，向量),2(b c a m +=，)cos ,(cos C B =，且,垂直．（I ）确定角B 的大小；（II ）若ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，且1=BD ，设,BC x BA y ==，试确定y 关于x 的函数式，并求边AC 长的取值范围．21．(本题满分11分)已知以1a 为首项的数列{}n a 满足1,3,, 3.n n n nn a c a a a a d ++<⎧⎪=⎨≥⎪⎩（I ）当11,1,3a c d ===时，求数列{}n a 的通项公式；（II ）当101,1,3a c d <<==时，试用数列1a 表示数列{}n a 前100项的和100S ；（III ）当1110(*),a m c m m <<∈=N 时，正整数3d m ≥时，证明：数列23262921111,,,m m m a a a a m m m m+++----成等比数列的充要条件是3d m =．ks5u22．(本题满分10分)已知函数1)(23-+=ax x x f ，R x ∈，R a ∈ ． (Ⅰ) 设对任意]0,(-∞∈x ，x x f ≤)(恒成立，求a 的取值范围；(Ⅱ) 是否存在实数a ，使得满足t a t t f ln 24)('2-=的实数t 有且仅有一个？若存在，求出所有这样的a ；若不存在，请说明理由． ks5u宁波效实中学二○一二学年度第一学期高三数学（理）期中试卷答案一、选择题(1)D ． (2) A ． (3)C ． (4) A ． (5) D ． (6)C ． (7)B ． (8)C ． (9)B ． (10) D ． 二、填空题(11)2i - (12)6 (13)(14)163a > (15)(16) 34(17)100． ks5u 三、解答题(18)(I)()),3f x x πω=+又|ABC S BC ∆==，2||2BC ππω==，则2ω=。
数学理卷·2014届浙江省效实中学高三上学期期中考试(2013.11)
宁波效实中学二○一三学年度第一学期期中考试试卷高三数学（理科）说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分．请在答题卷内按要求作答 第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1、设全集{}05U x Z x =∈≤≤，集合{}3,1A =，{},B y y x x A ==∈，则()U C A B =UA .{}0,4,5,2B .{}0,4,5C .{}4,5,2D .{}4,52、已知sin(3)2sin()2ππαα-=-+，则sin cos αα=A .25-B .25C .25或25-D .15-3、已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则"()[1,2]"f x 为上的增函数是"()[4,5]"f x 为上的减函数的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要4、()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期是π，若其图象向左平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象A .关于点(,0)12π对称B .关于点5(,0)12π对称C .关于直线512x π=对称D .关于直线12x π=对称 5、在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，若M 为AB 的中点，则点C 到平面1A DM的距离为A .3 B .6a C .2a D .12a 6、已知函数()f x 满足()()f x f x ππ+=-，且当(0,)x π∈时，()cos f x x x =+，则(2),(3),(4)f f f 的大小关系是A .(2)(3)(4)f f f <<B .(2)(4)(3)f f f <<C .(4)(3)(2)f f f <<D .(3)(4)(2)f f f << 7、已知,m n 为异面直线，,m n αβ⊥⊥平面平面，直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄，则A . //αβ且//l αB .αβ⊥且l β⊥C . α与β相交，且交线垂直于lD .α与β相交，且交线平行于l8、2()21,()1x f x g x x =-=-，(),()()()(),()()f x f xg x F x g x f x g x ≥⎧=⎨-<⎩，则下列判断正确的是A .()F x 为偶函数B .()F x 有最小值1-，无最大值C .()F x 有最大值1，无最小值D .()F x 无最大值，也无最小值9、已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若12345a a a =，且133551315513S S S S S S ++=，则2a =A .3B .5C .9D .1010、已知函数()32()20f x ax bx a =+-≠有且仅有两个不同的零点12,x x ，则A .当0a <时，12120,0x x x x +<>B .当0a <时，12120,0x x x x +><C .当0a >时，12120,0x x x x +<>D .当0a >时，12120,0x x x x +><第Ⅱ卷（非选择题 共70分）二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．11、若212iz i -=+，则复数z 的实部与虚部的和为________. 12、若2,1,,602a b a b a b ︒==<>=+=v v v v v v ，则_________.13、数列{}n a 满足12a =，2112(1)n n a a n+=+⋅，则n a =_________ 14、已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .15、半圆的直径4AB =，O 为圆心，C 是半圆上不同于,A B 的任意一点，若P 为半径OC上的动点，则()PA PB PC +⋅u u u v u u u v u u u v的最小值是___________.16、在直角ABC ∆中，两条直角边分别为a b 、，斜边和斜边上的高分别为c h 、，则c h a b++的取值范围是 .17、若,,()(22x y R x y t x xy +∈+≥+恒成立，则t 的范围是____________.三、解答题：本大题共5小题，共49分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18、在数列{}n a 中，1122,210,1n n n n n a a a a b a +=-+==-. （1）求证：{}n b 为等差数列，并求n b ； （2）若数列{}n c 满足23121...333n n n c c c c b -++++=，求数列{}n nc 的前n 项和n T .19、已知函数2()2(3sin cos )f x x x =--（1）当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域；（2）若ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3ba=， sin(2)22cos()sin A C A C A+=++，求()f B 的值.20、在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，2,60AB DAB ︒=∠=，平面PAD ⊥平面ABCD ，且PAD ∆为正三角形,E 为AD 中点,M 为线段PC 上的一点. （1）若M 为PC 中点，求证：//ME PAB 平面；（2）若二面角M EB C --的平面角为60︒，求直线AB 与平面MEB 所成角的余弦值.21、已知()xf x xe =，2()2g x ax ax =+，a R ∈（1）若()f x 与()g x 在(0,0)处的切线互相垂直，求a 的值； （2）设()()()F x f x g x =-，当12a ≤≤(||)y F x =在[,]a a -的最大值.22、对于实数x ，将满足“10<≤y 且y x -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用记号{}x 表示．例如{}811.20.2,{1.2}0.8,{}77=-==.对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件：1{}a a =，11,00,0n n n n a a a a +⎧⎧⎫≠⎪⎨⎬=⎨⎩⎭⎪=⎩,, 其中123n =L ,,,.（1）若2=a ，求23,a a 并猜想数列{}n a 的通项公式（不需要证明）；（2）当41>a 时，对任意的n ∈*N ，都有a a n =，求符合要求的实数a 构成的集合A ； （3）若a 是有理数，设qpa =（p 是整数，q 是正整数，p ,q 互质），对于大于q 的任意正整数n ，是否都有0=n a 成立，证明你的结论．2013学年第一学期期中高三数学（理）答案1-10： DACCA BDBBB11、-1 12、、22n n 14、43π15、132-16、14a a e =->+或、16t ≤18、（1）112222222111111n n n n n n n na b b a a a a a ++--=-=-==-----，所以，{}n b 为等差数列，且11221b a ==-，所以，2n b n =（2）当1n =时，112c b ==；当2n ≥时，联立23121231122...2333...22333n n n n c c c c n c c c c n ---⎧++++=⎪⎪⎨⎪++++=-⎪⎩，得123n n c -=，所以123(2)n n c n -=⋅≥ 所以 ，123(1)n n c n -=⋅≥，123n n nc n -=⋅，12123212323...233232323...23n n nn T n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅=⋅+⋅+⋅++⋅１ ，所以2122(133...3)23n nn T n --=++++-⋅23123(12)31n n n n T n n ∴-=--⋅=-⋅-，11()322n n T n ∴=-⋅+19、22()2(3sin cos cos )f x x x x x =-+-22cos sin cos cos222sin(2)6x x x x x x x π=-+=+=+7[0,],2[,]2666x x ππππ∈∴+∈Q ，1sin(2)[,1]62x π+∈-，()[1,2]f x ∴∈-（2）由条件得 sin(2)2sin 2sin cos()A C A A A C +=++sin cos()cos sin()2sin 2sin cos()A A C A A C A A A C +++=++化简得 sin 2sin C A =2,,c a b ∴==由余弦定理得 30,60,90A B C ︒︒︒===()(60)2sin1501f B f ︒︒∴===20、（1）取BC 中点M ，连MN,NE, MN//PB,所以MN//平面PAB EN//AB,所以NE//平面PAB 所以 平面MNE//平面PAB 所以 MN//平面PAB（2）如图，建立空间直角坐标系，(0,0,0),(1,0,0),3,0),(1,0,0)3),(3,0)E A B D P C --算得 平面MEB 的法向量1(33,0,2)n λλ=u v， 平面EBC 的法向量2(0,0,1)n =u u v12221cos ,213(1)4n n λλ<>==⋅-+u v u u v，解得11()3λ=-或者舍去此时，122(3,0,)33n =u v ，13cos ,n AB <>=u v u u u v 1321、（1）'()(1),'()22,xf x x eg x ax a =+=+又'(0)'(0)1f g =-，所以21a =-，12a =- （2）2()(2)xF x xe ax ax =-+，只要求()[0,]F x a 在上的最大值，'()(1)(22)(1)(2)x x F x x e ax a x e a =+-+=+-，令 ()2(12)xh x e x x =-≤≤,'()20x h x e =->，min ()(1)20h x h e ∴==->，()0h x >恒成立，2x e x ∴>，2a e a ∴>，()(0,ln 2)(ln 2,)F x a a a ∴↓↑在又322(0)0,()(2)(2)a a F F a ae a a a e a a ==-+=--，令2()2(12)x m x e x x x =--≤≤,'()22x m x e x =--,''()20x m x e =->，所以'()2)m x 在递增，2'()'(2)2220m x m e ∴≤=--<，所以()m x 单调递减，()(1)40m x m e ≤=-<， 所以max ()(0)0F x F ==22、（1）2221211111(2)2()t x x x a x x ax x a a ==-=-+=--+，且102,x a <<2(0,]t a ∴∈（2）212121212121212122112121111()2()()()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +---=+-+=+-222121212121212142141422a x x a a x x x x t x x x x x x t---+-=++=++, 当12a ≥时，2140a -≤，214a t t t -∴+为的增函数， 且当2t a =时，有最大值21()a a- 即12x x a ==时，21212111()()()x x a x x a --≤-（3）212121114()()2a x x t x x t---=++， 令2214()2,(0,]a f t t t a t -=++∈ 当12a ≥时，2()(0,)f t a 在递增，所以221()()()f t f a a a≤=-，故舍去 当102a <<时，2222214(14)'()1a t a f t t t ---=-=，所以，())f t ↓+∞↑在，要使得2()()f t f a ≥恒成立，则有2a ≥，2414a a -≥，且102a <<解得0a <<。
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宁波效实中学 二○一三学年度
第一学期高一期中数学试卷
说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分．
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1.已知函数()
f x =
A ．(,1)-∞
B ．(,1]-∞
C ．(1,)+∞
D ．[1,)+∞
2．已知集合{|2}S x x =<，2
{|340}T x x x =--≤，则()R S T =
A ．(2,4)
B ．[2,4]
C ．(,4)-∞
D ． (,4]-∞
3．在区间(,0)-∞上为增函数的是
A ．1=y
B ．21x y +=
C ．122---=x x y
D ． 21x
y x
-=
- 4．设函数2
21,1
()2,1,
x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+->⎪⎩则
1(2)f f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值为
A ．18
B ．89
C ．1516
D ．27
16
-
5．若函数()f x = 3
44
2
++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 A ．(,)-∞+∞ B ．3[0,)4 C ．3(,)4+∞ D ．3
(0,)4
6．设,a b 是非零实数，若a b <，则下列不等式一定成立的是
A ．22a b <
B ．22ab a b <
C ．
2211
ab a b
<
D ．
b a
a b
< 22．已知定义在R 上的奇函数()f x ．当0x <时，2
()2f x x x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）问：是否存在实数,()a b a b ≠，使()f x 在[,]x a b ∈时，函数值的集合为11[,]b a
？若存在，求出,a b ；若不存在，请说明理由．
附加题：
已知*
,,N a b c ∈，方程2
=0ax bx c ++在区间(1,0)-上有两个不同的实根，求a b c ++的最小值．
命题、校对：高一数学备课组
宁波效实中学 二○一三学年度
第一学期
高一期中数学参考答案
11、7 12、{0,2,}3
- 13、 (,1]-∞ 14、 3 15、5[,3]3
16、 [4,)+∞ 17、660
18、(I)2
,[0,1)(1,)1()0,{1,1}
2,(,1)(1,0)1
x x x f x x x x x -+⎧∈+∞⎪-⎪
=∈-⎨⎪+⎪-∈-∞--+⎩; 图象如图： (II)值域为(,2](1,)-∞--+∞
19、（I ）(,1)
(3,)A =-∞-+∞，
[0,2)[4,)B =+∞；
（II ）[4,)A
B =+∞，
()
[1,3][4,)R C A B =-+∞。
20、（I ）奇函数，证明略；（II ）单调递增，证明略；（III ）1(0,)2
； 21、（I ）5
2
a =±
；（II ）(,2)(1,)a ∈-∞-+∞ 22、（1）222,0,()0,0,2,0.x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩
（2）112a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩或121
a b ⎧+=-
⎪⎨
⎪=-⎩。
附加题：a b c ++的最小值为11.。