伍德里奇计量经济学导论概率论知识

③ 累积概率分布（Cumulative Probability Distribution）： 是随机变量小于或等于某个特定值的概率。
PM r(1)0.9
累积概率分布也常称为累积概率分布（Cumulative Probability Function，c.d.f.）。
④ 贝努利分布（Bernoulli Distribution）：
个结果的集合。
⑤ 随机变量（Random Variable， r.v.）：随机变量是一个随 机结果的一系列数值表示。 a) 离散随机变量（Discrete Random Variable） 只能取离散数值，如：0,1,2，… b) 连续离散随机变量（Continuous Random Variable） 如，0,1,2，… 可能取值的连续空间。
相同。
③ 贝努利方差：
v G a Y 2 0 r p 2 1 p 1 p 2 p p 1 p
因而，贝努利标准差为 Y p1p。
3. 随机变量线性函数的均值和方差
① 例子：考虑一个所得税方案，在这个方案下，个人的收入以 20%的税率被征收，然后给$2000美元的补助金（免税的）。 请问在这个税收方案下如何将税后收入Y和税前收入X联系起来？
3. 连续型随机变量的概率分布
① 概率累积分布：是连续型随机变量小于或等于某个特定值的概 率。
② 概率密度函数（Probability Density Function，p.d.f.）
③ 例子：一个从家开车到学校的老师，他的通勤时间可以取某值 的一个连续区间，由于通勤时间依赖于诸如天气和交通状况等 随机因素，自然应该是连续型随机变量。1.2 随机变源自的期望1. 随机变量的期望
假设Y为随机变量。 ① 期望（Expected Value）：随机变量Y的期望值是多次重复试验
或发生过程中随机变量Y的长期平均值，表示为E[Y]。 变量Y的期望值也被称为Y的期望（Expected），或Y的均值
（mean），表示为 Y 。
② 重要概念一: 期望和均值
vY a E r Y Y 2
b) 一个随机变量的标准差就是方差的平方根，表示为 Y 。
② 重要概念二：方差和标准差
假设随机变量Y的方差是用
2 Y
表示，计算公式为：
k
Y 2 vY a rE Y Y2 y iY2p i i 1
Y的标准差是 Y ，即方差的平方根。标准差的单位与Y的单位
高级计量经济学I
第一章 概率论、统计学知识复习
整个计量经济学中，有三种类型的统计方法被普遍使用：估 计方法、假设检验方法和置信区间方法。
本章大纲
随机变量与概率分布 期望值、均值及方差 二元随机变量 正态分布、卡方分布、F分布和学生t分布 随机抽样及样本均值 抽样分布的大样本逼近 总体均值的估计 利用数据对因果效应的均值差进行估计 随机变量的期望
i1
期望值也被称为Y的均值或Y的期望，通常用
Y
表示。
③ 贝努利随机变量的期望值：
EGp
2. 标准差和方差
① 标准差（Standard Deviation或方差（Variance）：它们测度一 个概率分布的离散程度或分散度。
a) 一个随机变量的方差是Y对其均值的离差平方的期望，表示为 var(Y)，即
1.1 随机变量与概率分布
1. 概率、样本空间和随机变量
① 结果（outcomes）：随机过程中相互排斥的可能后果被称为结果。 ② 结果的概率（Probability）：是指这个结果长期发生次数的
比率。 ③ 样本空间（Sample Space）：所有可能结果的集合称为样本
空间。 ④ 事件（Event）：是样本空间的一个子集，即事件是一个或多
b) 税后收入Y的方差为：
v Y E Y a Y E r 2 0 . 8 X 0 2 0 . 8 0 X 0 2 0 . 6 v 0 0 X
c) Y的标准差为：
Y 0.8X
③ 将以上分析推广，假设Y以截距a（代替$2000）和斜率b（代 替0.8）依赖于X，因此，
a) Y与X的联系：
YabX
b) Y的期望、方差和标准差分别为：
YabX
Y2 b2X2
Y bX
4. 分布形态的其他测度指标：
均值和标准差测量一个分布的两个重要指标：中心水平（均 值）和离散程度（标准差）。我们将讨论一个分布的另外两个 测量指标：偏度和峰度。注意：均值、方差、偏度和峰度都是 以分布的矩为基础的。
在这个方案下，税后收入Y和税前收入X可以由以下方程联系 起来：
Y200 0 .8X 0
② 假设一位女士明年的税前收入是个均值为 X 、方差为 X
的随机变量。请问在这个方案下她的税后收入的均值和方差为 多少？
a) 在这个方案下，她税后收入Y的期望值为：
E Y Y E 2 0 . 8 X 0 2 0 0 . 8 X 00
a) 贝努利随机变量（Bernoulli Random Variable）
b) 贝努利分布：
设G是高级计量经济I的最终成绩，其中，G=0表示non-pass， G=1表示pass。G的结果和对应的概率为
1 概率p为 G0 概率1为 -p (*)
其中，p表示pass的概率。公式（*）中的概率分布就是贝努利分 布。
假设随机变量Y取k个可能的值，1,2,k，其中 1 表示第一
个值， 2 表示第二个值，以此类推。Y取 1 的概率为 p1 ，Y
取 2 的概率为 p 2，以此类推。用E[Y]表示Y的期望值，它是：
k
EY1p12p2 kpk ipi i1
k
其中，算式“ i p i”意味着“i取值从1到k时 i pi 的和”。Y
① k阶矩（kth moment)：
2. 离散型随机变量的概率分布 ① 概率分布（Probability Distribution）：变量所有的可能值和
每个值发生的概率的列表。这些概率之和为1。 如，用M表示你在写学期论文时电脑死机的次数。
② 事件概率（Event Probability）：
PrM (1)0.10 P M r 1 或 (M 2 ) 0 .1 0 0 .0 0 6 .16