概率论基础知识总结
概率论基础知识
对于连续型随机变量来说，它取任一指定实数值a的概率均为0，即P{X＝a}＝0。事实上0≤P{X＝a}≤P{a－△x＜X≤a}＝F(a)－F(a－△x).P{a＜X≤b}＝P{a≤X≤b}＝P{a＜X＜b}.
定理二：若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立：
多个事件相互独立：一般，设A1，A2，…，An是n(n≥2)个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，…，任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件A1，A2，…，An相互独立。
推论：①若事件A1，A2，…，An(n≥2)相互独立，则其中任意k(2≤k≤n)个事件也是相互独立的。
第一章 概率论的基本概念
一、事件运算常用定律（设A,B,C为事件）：
二、频率与概率
1.概率的公理化定义：
①非负性：对于每一个事件A，有P加性：设A1，A2，…是两两互不相容的事件，即对于AiAj＝∅，i≠j，i,j＝1,2,…，有P(A1∪A2∪…)＝P(A1)＋P(A2)＋….
P{X＞s＋t|X＞s}＝P{X＞t}
3.正态分布(高斯分布)[X～N(μ,σ2)]：
正态分布性质：
①曲线关于x＝μ对称，这表明对于任意h＞0有P{μ－h＜X≤μ}＝P{μ＜X≤μ＋h }.
②当x＝μ时取到最大值 ，x离μ越远，f(x)的值越小。
③在x＝μ±σ处曲线有拐点。曲线以Ox轴为渐近线。
标准正态分布：μ＝0，σ＝1.其概率密度和分布函数分别用φ(x)，Φ(x)表示，即有：
②若n个事件A1，A2，…，An(n≥2)相互独立，则将A1，A2，…，An中任意多个事件换成它们各自的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。
第六章 概率论基础知识
• 事实上，若事件A相对于事件B是独立的，即P(A｜B)=P(A),那么,当
P(A)>0时,有P(B｜A)= 独立的。
P( AB) P( A)
=
P( A) P( B) =P(B)即事件B相对于事件A也是 P( A)
• 若两事件A，B满足P(AB)=P(A)P(B),则称A,B相互独立。若四对事件
{A,B},{ A ,B},{A, B },{ A , B }中有一对是相互独立的,则另外三对 也是相互独立的。任意两个事件A、B，满足下列条件之一，就称为相 互独立的随机事件： ⑴P(A｜B)=P(A)且P(B)>0； ⑵P(B︱A)=P(B)且P(A)>0。 对任意两个相互独立的事件A、B,有 P(AB)=P(AB)=P(A｜B)P(B)=P(A)P(B)
P A 乙 P 乙
0.08 0.5714 0.14
• 4.随机事件的独立性
设A,B是两个事件,一般而言P(A)P(A｜B),这表示事件B的发生对事件 A的发生的概率有影响,只有当P(A)=P(A｜B)时才可以认为B的发生与 否对A的发生毫无影响,就称两事件是独立的.其直观意义也比较明确: 若无论事件B的发生与否,对事件A的概率都没有影响,那么,事件A对于 事件B是独立的。由于从“A相对于B独立”，推导出“B相对于A独 立”，所以，只要P(A｜B)= P(A)成立,我们就说,A与B是相互独立的。
表6-2 分布计算表
离散型随机变量
X的取值
－1
2
3
X的概率 1／6
1／2
1／3
2.离散随机变量的累积概率
P(X≤x)的概率，称为随机变量X(小于等于x)的累积概率，在例1中，随机 变量X≤2的累积概率为P(X≤2)=2／3。
概率论的知识点总结
概率论的知识点总结1.概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数学工具，其基本概念包括样本空间、事件和概率空间。
样本空间是随机试验的所有可能结果的集合，事件是样本空间的子集，概率空间包括样本空间和定义在样本空间上的概率测度。
2.概率分布概率分布描述了随机变量可能取值的概率情况。
概率分布分为离散分布和连续分布两种。
常见的离散分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等；常见的连续分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
概率密度函数和累积分布函数是描述连续分布的重要工具。
3.随机变量随机变量是一种具有随机性的变量，它可以取样本空间中的某些值。
随机变量分为离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量的概率分布由概率质量函数描述，连续随机变量的概率分布由概率密度函数描述。
4.数学期望和方差数学期望是随机变量的平均值，描述了随机变量的位置参数；方差是随机变量与其数学期望之间的离散程度，描述了随机变量的分散程度。
数学期望和方差是描述随机变量性质的重要指标，它们具有许多重要的性质，如线性性质、切比雪夫不等式等。
5.大数定律大数定律是描述随机变量序列平均值的收敛性质的定理。
大数定律包括弱大数定律和强大数定律两种。
弱大数定律描述了随机变量序列平均值收敛于数学期望的概率性质，强大数定律描述了随机变量序列平均值几乎必然收敛于数学期望的性质。
6.中心极限定理中心极限定理是概率论中一个重要的定理，描述了大量独立随机变量的和呈现出正态分布的性质。
中心极限定理包括林德伯格-莱维中心极限定理、李亥莱中心极限定理等。
中心极限定理在统计学和金融学中具有重要的应用价值，它解释了正态分布在自然界和人类活动中的普遍性。
以上是概率论的一些重要知识点，概率论作为一门基础数学学科，不仅具有重要的理论意义，而且在实际应用中有着广泛的应用价值。
随着数据科学和人工智能的快速发展，概率论的应用前景将更加广阔。
概率论知识点总结归纳
概率论知识点总结归纳概率论是数学中的一个分支，研究随机现象发生的规律性及其数学模型。
概率论广泛应用于统计学、金融、生物学等领域。
本文将对概率论的基本概念、概率计算方法、常见概率分布以及概率论在实际问题中的应用进行总结归纳。
一、基本概念1. 随机试验：在相同的条件下可以重复进行的实验，结果不确定。
2. 样本空间：随机试验所有可能结果的集合，用S表示。
3. 事件：由样本空间S的一个或多个元素构成的子集，表示试验结果的一个集合。
4. 概率：事件发生的可能性大小的度量，用P(A)表示。
二、概率计算方法1. 古典概型：指随机试验中每个基本事件发生的概率相等的情况。
计算概率时可以根据样本空间和事件个数进行计算。
2. 频率派概率：根据大量实验的频率来计算概率，概率等于事件发生的次数与试验次数之比的极限。
3. 主观概率：根据个人主观判断来计算概率，没有明确的计算方法。
三、常见概率分布1. 离散概率分布：表示随机变量在有限取值集合上的概率分布。
a. 伯努利分布：只有两个可能取值的离散概率分布。
b. 二项分布：多次伯努利试验的结果相加，每次试验相互独立。
c. 泊松分布：表示单位时间或空间内随机事件发生的次数的概率分布。
2. 连续概率分布：表示随机变量在一个区间上的概率分布。
a. 均匀分布：随机变量在一段区间上取值的概率相等。
b. 正态分布：最常见的连续概率分布，具有钟形曲线的特点。
四、概率论的应用1. 统计学：概率论是统计学的基础，通过概率论可以推导出统计学各种假设检验和置信区间的计算方法。
2. 金融学：概率论在金融学中被广泛应用，例如在风险管理、期权定价、投资组合构建等方面。
3. 生物学：概率论能够帮助解释生物学中的随机现象，如遗传、进化等过程中的概率计算。
4. 工程学：概率论可以用于工程问题的风险评估和可靠性分析，如工程结构的寿命预测等。
总结：概率论是研究随机现象的规律性及其数学模型的学科，它包括了基本概念、概率计算方法、常见概率分布以及在各个领域的应用。
大学概率论知识点总结
大学概率论知识点总结概率论是研究随机现象数量规律的数学分支，在大学数学中占据着重要的地位。
以下是对大学概率论中一些重要知识点的总结。
一、随机事件与概率1、随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。
例如，抛一枚硬币，正面朝上就是一个随机事件。
2、样本空间样本空间是随机试验的所有可能结果组成的集合。
3、事件的关系与运算包括包含、相等、并、交、差、互斥（互不相容）和对立等关系。
4、概率的定义概率是对随机事件发生可能性大小的度量。
古典概型中，概率等于有利事件的个数除以总事件的个数；几何概型中，概率等于几何度量（如长度、面积、体积等）的比值。
5、概率的性质包括非负性、规范性和可加性等。
二、条件概率与乘法公式1、条件概率在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率称为条件概率，记作 P(B|A)。
2、乘法公式P(AB) ＝ P(A)P(B|A)三、全概率公式与贝叶斯公式1、全概率公式如果事件组 B1，B2，，Bn 是样本空间的一个划分，且 P(Bi) ＞ 0（i ＝ 1, 2,， n），则对任意事件 A 有 P(A) ＝ΣP(Bi)P(A|Bi)2、贝叶斯公式在全概率公式的基础上，如果已知 P(A)，P(Bi) 和 P(A|Bi)，可以计算在事件 A 发生的条件下，事件 Bi 发生的概率 P(Bi|A)四、随机变量及其分布1、随机变量是定义在样本空间上的实值函数。
2、离散型随机变量其取值为有限个或可列个。
常见的离散型随机变量分布有：二项分布、泊松分布等。
3、连续型随机变量其取值可以是某个区间内的任意实数。
常见的连续型随机变量分布有：均匀分布、正态分布、指数分布等。
4、随机变量的分布函数F(x) ＝ P(X ＜＝ x)，具有单调不减、右连续等性质。
五、多维随机变量及其分布1、二维随机变量由两个随机变量组成。
2、联合分布函数F(x, y) ＝ P(X ＜＝ x, Y ＜＝ y)3、边缘分布包括边缘分布函数和边缘概率密度（离散型为边缘概率分布）。
(完整版)概率论知识点总结
概率论知识点总结第一章 随机事件及其概率第一节 基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。
随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。
不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。
必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。
样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集。
基本事件—单点集，复合事件—多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。
事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件 A 发生必然导致事件B 发生，则称B 包含A ，记为或。
A B ⊇B A ⊆相等关系：若且，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。
A B ⊇B A ⊆事件的和：“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件B 的和事件。
记为 A ∪B 。
事件的积：称事件“事件A 与事件B 都发生”为A 与B 的积事件，记为A∩ B 或AB 。
事件的差：称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为 A －B 。
用交并补可以表示为。
B A B A =-互斥事件：如果A ，B 两事件不能同时发生，即AB ＝Φ，则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。
互斥时可记为A ＋B 。
B A ⋃对立事件：称事件“A 不发生”为事件A 的对立事件（逆事件），记为。
对立事件的性质：A 。
Ω=⋃Φ=⋂B A B A ,事件运算律：设A ，B ，C 为事件，则有（1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA（2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A ∪C) A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC （4）对偶律（摩根律）： B A B A ⋂=⋃BA B A ⋃=⋂第二节 事件的概率概率的公理化体系：（1）非负性：P(A)≥0；（2）规范性：P(Ω)＝1（3）可数可加性：两两不相容时⋃⋃⋃⋃n A A A 21++++=⋃⋃⋃⋃)()()()(2121n n A P A P A P A A A P 概率的性质：（1）P(Φ)＝0（2）有限可加性：两两不相容时n A A A ⋃⋃⋃ 21)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=⋃⋃⋃ 当AB=Φ时P(A∪B)＝P(A)＋P(B)（3）)(1)(A P A P -=（4）P(A －B)＝P(A)－P(AB)（5）P （A ∪B ）＝P(A)＋P(B)－P(AB)第三节 古典概率模型1、设试验E 是古典概型,其样本空间Ω由n 个样本点组成,事件A 由k 个样本点组成.则定义事件A 的概率为nk A P =)(2、几何概率：设事件A 是Ω的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域Ω上随机投掷一点，该点落在区域 A 的概率为)()()(Ω=μμA A P 假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可.第四节 条件概率条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为条件概率，记作 P(A|B).)()()|(B P AB P B A P =乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)全概率公式：设是一个完备事件组，则P(B)=∑P()P(B|)n A A A ,,,21 i A i A 贝叶斯公式：设是一个完备事件组,则n A A A ,,,21 ∑==)|()()|()()()()|(j j i i i i A B P A P A B P A P B P B A P B A P 第五节 事件的独立性两个事件的相互独立：若两事件A 、B 满足P(AB)= P(A) P(B)，则称A 、B 独立，或称A 、B 相互独立.三个事件的相互独立：对于三个事件A 、B 、C ，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，P(ABC)= P(A) P(B)P(C)，则称A 、B 、C 相互独立三个事件的两两独立：对于三个事件A 、B 、C ，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，则称A 、B 、C 两两独立独立的性质：若A 与B 相互独立，则与B ，A 与，与均相互独立A B A B 总结：1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。
概率论必备知识点
概率论必备知识点概率论是一门研究随机现象数量规律的数学分支，它在各个领域都有着广泛的应用，从物理学、生物学、经济学到计算机科学等。
以下是一些概率论中的必备知识点。
一、随机事件与概率随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。
例如，抛一枚硬币，正面朝上就是一个随机事件。
概率则是用来衡量随机事件发生可能性大小的数值。
概率的取值范围在 0 到 1 之间，0 表示不可能发生，1 表示必然发生。
计算概率的方法有多种。
对于等可能事件，概率等于事件所包含的基本结果数除以总的基本结果数。
例如，掷一个骰子，出现点数为 3的概率就是 1/6，因为骰子共有 6 个面，每个面出现的可能性相等，而点数为 3 的只有 1 种情况。
二、古典概型古典概型是一种最简单的概率模型。
在古典概型中，试验的结果是有限的，并且每个结果出现的可能性相等。
例如，从装有 5 个红球和 3 个白球的袋子中随机取出一个球，求取出红球的概率，这就是一个古典概型问题。
计算古典概型的概率，可以使用公式：P(A) ＝ n(A) ／n(Ω)，其中P(A)表示事件 A 发生的概率，n(A)表示事件 A 包含的基本结果数，n(Ω)表示总的基本结果数。
三、几何概型几何概型是古典概型的推广，当试验的结果是无限的，且每个结果出现的可能性相等时，就可以使用几何概型来计算概率。
例如，在一个时间段内等待公交车，求等待时间不超过 5 分钟的概率。
在几何概型中，概率等于事件对应的区域长度（面积或体积）除以总的区域长度（面积或体积）。
四、条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
例如，已知今天下雨，明天晴天的概率就是一个条件概率。
条件概率的计算公式为：P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A)，其中 P(B|A)表示在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，P(AB)表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A)表示事件 A 发生的概率。
概率知识点归纳整理总结
概率知识点归纳整理总结概率基础知识1. 样本空间和事件概率论的基本概念是样本空间和事件。
样本空间是一个随机试验所有可能结果的集合，通常用Ω表示。
事件是样本空间的一个子集，表示随机试验的一些结果。
事件的概率描述了该事件发生的可能性有多大。
2. 概率的定义在样本空间Ω中，事件A包含n(A)个基本事件，概率P(A)定义为P(A)=n(A)/n(Ω)，即事件A的发生可能性是A包含的基本事件数目与样本空间的基本事件数目之比。
3. 概率的性质概率具有以下几个性质：（1）非负性：对于任意事件A，有0≤P(A)≤1；（2）规范性：样本空间的概率为1，即P(Ω)=1；（3）可列可加性：若事件A1，A2，A3，...两两互斥，则P(A1∪A2∪A3∪...)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+...。
4. 条件概率条件概率是指在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，表示为P(A|B)，其定义为P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。
5. 独立事件两个事件A和B称为独立事件，当且仅当P(A∩B)=P(A)P(B)。
6. 贝叶斯定理贝叶斯定理是用来计算逆概率的定理，它表示为P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)。
概率的应用1. 排列与组合排列和组合是概率论的一个重要应用。
排列是指从n个不同元素中取出m个元素进行排列的种数，用P(n,m)表示，其公式为P(n,m)=n!/(n-m)!。
组合是指从n个不同元素中取出m个元素进行组合的种数，用C(n,m)表示，其公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!）。
2. 事件的独立性在概率论中，独立性是一个重要的概念。
事件A和事件B称为独立事件，如果P(A∩B)=P(A)P(B)，即事件A的发生与事件B的发生互不影响。
在实际应用中，很多情况下要求两个事件的独立性，以便于计算事情发生的可能性。
3. 随机变量随机变量是概率论中的一个重要概念，它是一个从样本空间到实数的映射。
随机变量可分为离散型和连续型两种。
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2、概率的乘法定理：设P(A)>0，则有
P ( AB ) P ( B / A) P ( A)
补充知识 概率论基础
二、条件概率与统计独立
《通信原理（一）》CAI
3、全概率公式：设S为样本空间，A为其中的一个事件， B1、 B2…. Bn为S的一个划分，且P(Bi)>0 (i=1、2…)，则
P ( A ) P ( A / B 1 ) P ( B 1 ) P ( A / B 2 ) P ( B 2 ) ... P ( A / B n ) P ( B n )
（1）对离散随机变量，数x ip(x i )
（2）设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若积分
xf ( x ) dx
绝对收敛,则称该积分的值为随机变量X的数学期望。
记为E(X)
E(X )
xf ( x ) dx
补充知识 概率论基础
五、随机变量的数字特征
(X
1
, X
2
)
雅可比行列式
X 反 函 数 ： X
f 1 ( Y1 , Y 2 ) f 2 ( Y1 , Y 2 )
f1 结 论 ： f ( y 1 , y 2 ) f ( x1 , x 2 ) J f ( x1 , x 2 ) y1 f2
三、随机变量及其分布
（三）连续型随机变量的分布函数 3、两随机变量的联合分布函数：
《通信原理（一）》CAI
F ( x , y ) P{ X x , Y y }
4、二维随机变量（X、Y）关于X和Y的边缘分布函数：
F ( x ) P { X x} P { X x , Y } F ( x , ) 即 ： F ( x ) lim F ( x , y )
f ( x)dx
b
f ( x)dx
a
f ( x) dx F (b) F ( a)
补充知识 概率论基础
三、随机变量及其分布
（四）连续型随机变量的概率密度 3、二维随机变量(X、Y)的联合概率密度
f ( x, y) F ( x, y)
2
《通信原理（一）》CAI
xy
2、由贝叶斯公式：
P ( B1 / A )
P ( B1 ) P ( A / B1 ) P ( A)
0 .2 4
P ( B 2 / A ) 0.64
P ( B 3 / A ) 0.12
补充知识 概率论基础
二、条件概率与统计独立
5、事件独立：
《通信原理（一）》CAI
某一事件的出现未提供另一事件出现概率的信息。
fX
1X 2
( y1 , y 2 y1 ) d y1
fX
1X 2
( x1 , y x1 ) d x1
补充知识 概率论基础
五、随机变量的数字特征
1、数学期望
《通信原理（一）》CAI
数学期望又称为统计均值，实际就是对随机变量多个可 能的取值加权求和，权重就是各个值出现的相应概率。
称为X的分布函数。
补充知识 概率论基础
三、随机变量及其分布
（三）连续型随机变量的分布函数 2、性质：
F ( x ) P { X x } 可以看出：
《通信原理（一）》CAI
(1)F(x)是一个单调不减函数 (2) 0<=F(x)<=1 且 F(-∞)=0 F(+ ∞)=1
补充知识 概率论基础
《通信原理（一）》CAI
1、单个随机变量的函数的分布： 设Y和X是单调函数关系，存在反函数X=g(Y)，若X 位于（x0,x0+dx）,则Y位于(y0,y0+dx)，这两个事件的 概率应该是相等的：
f ( x)dx f ( y) f ( y )dy f (x) dx dy f [ g ( y )] dx dy
y1 y 2 于 是 ： f ( y 1 , y 2 ) f ( x 1 , x 2 ) J f ( x 1 , x 2 ) f X 利 用 边 缘 概 率 密 度 公 式 ： f ( y2 ) 最 后 ： f ( y)
1X 2
f2
( y1 , y 2 y1 )
补充知识 概率论基础
《通信原理（一）》CAI
基本概念
条件概率与统计独立
随机变量及其分布
随机变量的函数的分布
随机变量的数字特征
补充知识 概率论基础
一、基本概念
《通信原理（一）》CAI
1、随机现象：在个别试验中结果不确定，但在大量重复试 验中结果呈现规律性的现象。如抛硬币；炮击同一目标时弹 着点。
2、随机试验：满足三个条件的试验： （1）可以在相同的条件下重复进行；
概 率 与 频 率 的 关 系 ： lim nA n
n
P ( A)
补充知识 概率论基础
二、条件概率与统计独立
1、条件概率的定义：
《通信原理（一）》CAI
设A、B为随机试验的两个事件，且P(A)>0，则称
P (B / A) P( AB) P ( A) 为条件概率。 或 P ( A / B ) P( AB) P(B)
其中函数f(x)称为X的概率密度函数 也就有:
f ( x) F ( x)
'
补充知识 概率论基础
三、随机变量及其分布
（四）连续型随机变量的概率密度 2、性质:
（1） f ( x ) 0
《通信原理（一）》CAI
（ 2） f ( x ) d x F ( ) 1
( 3 )
b a
4、二维随机变量(X、Y)关于X和Y的边缘概率密度
f (x) f ( y)
f ( x, y )dy f ( x, y )dx
5、随机变量X和Y统计独立的充要条件：
f ( x, y ) f ( x) f ( y )
补充知识 概率论基础
四、(连续)随机变量的函数的分布
y y0+dy y0
x0 x0+dx
x
补充知识 概率论基础
四、(连续)随机变量的函数的分布
《通信原理（一）》CAI
2、两个随机变量的函数的分布： 已知二维随机变量（X1、X2）的概率密度f(x1,x2), 求新随机变量 Y g ( X , X ) 的概率密度。
Y2 g
1 2 1 1 1 2 2
三、随机变量及其分布
（三）连续型随机变量的分布函数
《通信原理（一）》CAI
现实意义:对于像元件的寿命t这样的随机变量,我们往往关 心t大于某值（例如10000小时）的可能性,而不是某个器件 的t=11111.235小时。 1、定义：设X是一个随机变量,x是任意实数,函数
F ( x ) P { X x}
i 1
3
补充知识 概率论基础
五、随机变量的数字特征
1、数学期望 数学期望的性质：
《通信原理（一）》CAI
（1）对常数C，E(C)=C
（2）对常数C，E(CX)=CE(X) （3） E(X+Y)=E(X)+E(Y) （4）若随机变量X与Y独立，则E(XY)=E(X) E(Y)
补充知识 概率论基础
n Bi S i 1
补充知识 概率论基础
二、条件概率与统计独立
4、贝叶斯公式：
《通信原理（一）》CAI
设B1、 B2…. Bn为S的一个划分，且P(Bi)>0 (i=1、2…)， A 为其中的一个事件， 则
P ( A Bi ) P ( A) P ( Bi ) P ( A / Bi )
（2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验 的所有可能结果；
（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
补充知识 概率论基础
《通信原理（一）》CAI
一、基本概念 3、样本空间：对于随机试验,尽管在每次试验之前不能预知
试验的结果,但试验所有的可能结果组成的集合是已知的.这 个集合称为样本空间。例如：抛硬币等。 随机事件：随机试验样本空间的子集称为随机事件。 一个事件可能是样本空间的一个元素（基本事件），也可能 是一些结果的集合。 4、概率：用数字P(A)表示事件出现的可能性， P(A)叫A的 概率。
P ( Bi / A )
i 1
n
P ( Bi ) P ( A / Bi )
补充知识 概率论基础
《通信原理（一）》CAI
例题：某电子厂的晶体管由三厂家供货，根据以往记录有如下数据：假设三 厂家的产品在仓库中均匀混合，无区别标志。1、在仓库中随机取一只晶体 管，求是次品的概率。2、在仓库中随机取一只晶体管，已知是次品，分析 它出自三厂家的概率各是多少。 厂家 次品率 供货份额 解：设A表示“取出的一只是次品”， 1 0.02 0.15 Bi表示“所取到的产品是第i厂家的”。 2 易知B1、 B2、 B3为S的一个划分， 3 0.01 0.03 0.80 0.05
1、数学期望
《通信原理（一）》CAI
例题：甲乙两人进行打靶,所得分数分别记为X1,X2,他们得 分布分别为: 2 2 X1 0 1 X2 0 1 pk 0 0.2 0.8
E (X 1 ) E (X 2 )
pk 0.6 0.3 0.1
i 1
3
x 1 i p ( x 1 i ) 0 * 0 1 * 0 .2 2 * 0 .8 1 .8 x 2 i p ( x 2 i ) 0 * 0 .6 1 * 0 .3 2 * 0 .1 0 .5