圆锥曲线中的向量同构
2021年高中数学.5圆锥曲线的共同性质
2021年高中数学2.5圆锥曲线的共同性质要点精讲椭圆、双曲线、抛物线有共同的性质：圆锥曲线上的点到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在定直线l 上)的距离之比是一个常数e. 这个常数e 叫做圆锥曲线的离心率，定点F 就是圆锥曲线的焦点，定直线l 就是该圆锥曲线的准线．椭圆的离心率满足0<e <1，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e =1．根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是典型题解析【例1】以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，，则动点P 的轨迹为双曲线；②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若则动点P 的轨迹为椭圆； ③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点.其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）【分析】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质主要由a,b,c,e 的关系求得【解】双曲线的第一定义是:平面上的动点P 到两定点是A,B 之间的距离的差的绝对值为常数2a, 且,那么P 点的轨迹为双曲线,故①错， 由,得P 为弦AB 的中点,故②错，设的两根为则可知两根互与为倒数,且均为正,故③对， 的焦点坐标(),而的焦点坐标(),故④正确.【点评】要牢牢掌握椭圆,双曲线的第一定义,同时还要掌握圆锥曲线的统一定义,弄清圆锥曲线中a,b,c,e 的相互关系.【例2】设曲线1sin cos 1cos sin 2222=-=+θθθθy x y x 和有4个不同的交点．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围．【分析】本小题主要考查坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识，以及逻辑推理能力和运算能力． 【解】（I ）两曲线的交点坐标（x ，y ）满足方程组 即有4个不同交点等价于且即 又因为所以得的取值范围为（0，（II ）由（I ）的推理知4个交点的坐标（x ，y ）满足方程 即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为 因为在上是减函数，所以由知r 的取值范围是【例3】设双曲线C 的中心在原点，以抛物线y 2=2x －4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线．（Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l:y=2x ＋1与双曲线C 交于A ．B 两点，求|AB|；（Ⅲ）对于直线y=kx ＋1，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由已知条件判断双曲线C 的焦点在x 轴上，然后求双曲线标准方程中的a ，b ；（Ⅱ）利用弦长公式求|AB|；（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称求k 值，发现矛盾，从而判断不存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称． 【解】（Ⅰ）由抛物线y 2=2x －4，即y 2=2 (x －)，可知抛物线顶点为（，0），准线方程为x=．在双曲线C 中，中心在原点，右焦点（，0），右准线x=，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===33213363322222c b a b a c c a c ∴双曲线c 的方程3x 2－y 2=1 （Ⅱ）由0241)12(3131222222=++⇒=+-⇒⎩⎨⎧=-+=x x x x y x x y∴|AB|=2（Ⅲ）假设存在实数k ，使A ．B 关于直线y=ax 对称，设A(x 1，y 1)．B(x 2，y 2)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅=+++=+-=222)(121212121x x a y y x x k y y ka 由022)3(1312222=---⇒⎩⎨⎧-=+=kx x k x y kx y ④ 由②③，有a(x 1＋x 2)=k(x 1＋x 2)＋2 ⑤ 由④知：x 1＋x 2=代入⑤整理得ak=3与①矛盾，故不存在实数k ，使A ．B 关于直线y=ax 对称．【点评】两点关于一直线对称有两方面的含义：一是两点的连线与已知直线垂直；另一方面两点的连线段的中点在已知直线上．【例4】已知椭圆的左、右焦点分别是 、，是椭圆外的动点，满足，点Ｐ是线段与该椭圆的交点，点Ｔ在线段上，并且 满足．（Ⅰ）设为点Ｐ的横坐标，证明 ； （Ⅱ）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程；∠的正切值；若不存在，请说明理由．【分析】用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.. （Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为 由P 在椭圆上，得.)()()(||222222221x aca xa b b c x y c x F +=-++=++=由0,>+-≥+≥a c x aca a x 知，所以 证法二：设点P 的坐标为记则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由cx r r a r r 4,2222121=-=+，得．证法三：设点P 的坐标为② ③椭圆的左准线方程为 由椭圆第二定义得，即.||||||21x ac a c a x a c F +=+= 由0,>+-≥+-≥a c x aca a x 知，所以（Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上. 当|时， 由，得.又，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，，所以有综上所述，点T 的轨迹C 的方程是解法二：设点T 的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上. 当|时，由，得.又，所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为（），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y c x x 因此 ① 由得 ② 将①代入②，可得综上所述，点T 的轨迹C 的方程是（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （）使S=的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得， 由④得所以，当时，存在点M ，使S=； 当时，不存在满足条件的点M.当时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=， 由2222022021b c a y c x MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得解法二：③ ④C 上存在点M （）使S=的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由④得 上式代入③得.0))((2224220≥+-=-=c b a c b a cb a x于是，当时，存在点M ，使S=；当时，不存在满足条件的点M.当时，记c x y k k c x y k k M F M F -==+==00200121,，由知，所以规律总结1.讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线的方程联立成方程组，消去y 得关于x 的方程，讨论得关于x 的方程解的情况对应得到直线与圆锥曲线的位置关系．一般注意以下三点：（１）要注意与两种情况，只有时，才可用判别式来确定解 的个数； （2）直线与圆锥曲线相切时，一定有 ；（3）直线与圆锥曲线有且只有一个交点时，不一定相切．对椭圆来讲，一定相切；对双曲线来讲，除了相切，还有一种相交，此时 此时直线与渐近线平行，直线与双曲线的一支相交有一个交点； 对抛物线来说，除了相切，还有一种相交，此时 此时直线与抛物线的对称轴平行只有一个交点． 2．直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相交，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．当弦所在直线的斜率k 存在时．利用两点距离公式()21221221)(y y x x P P -+-=及斜率公式得弦长公式为：()()[]21221212221411x x x xk x x k P P -++=-+=，或当弦所在直线的斜率k 存在且非零时，弦长公式可表示为：()[]2122121222141111y y y y k y y k P P -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=． ③④。
圆锥曲线同构齐次化
圆锥曲线同构齐次化全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：圆锥曲线在数学中是一类非常经典的曲线，包括圆、椭圆、抛物线和双曲线等。
圆锥曲线同构齐次化是在研究圆锥曲线的过程中常用的一种方法，它可以简化问题的处理，并帮助我们更好地理解曲线的性质。
本文将介绍圆锥曲线同构齐次化的基本概念和应用，希望能帮助读者更好地理解这一重要的数学工具。
一、圆锥曲线的定义和分类在介绍圆锥曲线同构齐次化之前，我们先来简单了解一下圆锥曲线的定义和分类。
圆锥曲线是平面上的一类曲线，它们可以用数学方程表示。
在笛卡尔坐标系中，圆锥曲线的一般方程可以写成：Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0其中A、B、C、D、E、F为常数，且至少有一个系数不为零。
通过选择不同的系数，我们可以得到不同类型的圆锥曲线。
根据方程中系数的不同取值，圆锥曲线可以分为四类：圆、椭圆、抛物线和双曲线。
它们的特点如下：- 圆：A = C，B = 0，A、B、C均为正数或均为负数。
- 椭圆：A > 0，B^2 - 4AC < 0。
- 抛物线：B^2 - 4AC = 0。
- 双曲线：B^2 - 4AC > 0。
圆锥曲线同构齐次化是一种数学方法，通过将圆锥曲线的方程进行特定的变换，使得曲线的表达更加简洁、清晰，方便研究和分析。
具体来说，圆锥曲线同构齐次化的定义如下：设u = ax + by，v = cx + dy其中a、b、c、d为待定系数，使得曲线的方程变为：三、圆锥曲线同构齐次化的应用圆锥曲线同构齐次化在数学研究中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 研究圆锥曲线的性质通过同构齐次化，我们可以将圆锥曲线的方程化简为一个更加简单的形式，从而更容易研究其性质。
可以求得曲线的焦点、方程的焦点、方程的直线等信息。
2. 解决圆锥曲线相关问题在数学问题中，有时需要对圆锥曲线进行分析和求解。
通过同构齐次化，可以简化问题的处理，让求解过程更加直观、便捷。
同构方程视角下高中数学解题思考——以解析几何试题为例
同构方程视角下高中数学解题思考——以解析几何试题为例杨科荣
【期刊名称】《数理天地(高中版)》
【年(卷),期】2024()3
【摘要】本文从同构方程的视角出发,通过实例分析说明同构方程在高中数学解析几何试题中的应用.首先介绍了同构方程的概念和关键性质,并探讨同构方程的基本应用.接着详细讲解解析几何的基本概念和定理,并利用同构方程的相关知识阐述解析几何中的关键问题.最后,总结同构方程视角下的高中数学解题方法的优势和实践,为高中数学教学提供宝贵的经验.
【总页数】3页(P48-50)
【作者】杨科荣
【作者单位】浏阳市艺术学校
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.关于"解析几何"问题解题方法选取的思考与做法——以2014年高考江苏卷第17题高考题为例
2.基于运算素养视角下的高中数学解题教学策略研究--以某一圆锥曲线综合问题为例
3.同构方程视角下高中数学解题思考——以解析几何试题为例
4.同构方程视角下的高中数学解题研究
5.同构方程视角下高中数学解题思考——以解析几何试题为例
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圆锥曲线常考七大题型汇总，一文全学透！
圆锥曲线常考七大题型汇总，一文全学透！都说数学中的圆锥曲线高考难题排名第二名，大部分同学抱怨无从下手，计算能力跟不上，算错一次没有勇气从头再来，今天小浙老师教大家如何学好！1、牢记核心知识点核心的知识点是基础，好多同学在做圆锥曲线题时，特别是小题，比如椭圆，双曲线离心率公式和范围记不清，焦点分别在x轴，y轴上的双曲线的渐近线方程也傻傻分不清，在做题时自然做不对。
2、计算能力与速度计算能力强的同学学圆锥曲线相对轻松一些，计算能力是可以通过多做题来提升的。
后期可以尝试训练自己口算得到联立后的二次方程，然后得到判别式，两根之和，两根之积的整式。
当然也要掌握一些解题的小技巧，加快运算速度。
3、思维套路拿到圆锥曲线的题，很多同学说无从下手，从表面感觉很难。
老师建议：山重水复疑无路，没事你就算两步。
大部分的圆锥曲线大题，都有共同的三部曲：一设二联立三韦达定理。
一设：设直线与圆锥曲线的两个交点，坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线方程为y=kx+b。
二联立：通过快速计算或者口算得到联立的二次方程。
三韦达定理：得到二次方程后立马得出判别式，两根之和，两根之积。
走完三部曲之后，在看题目给出了什么条件，要求什么。
例如涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．总结起来：找值列等量关系，找范围列不等关系，通常结合判别式，基本不等式求解。
4、题型总结圆锥曲线中常见题型总结1、直线与圆锥曲线位置关系这类问题主要采用分析判别式，有△＞0，直线与圆锥曲线相交；△=0，直线与圆锥曲线相切；△＜0，直线与圆锥曲线相离．若且a=0，b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．注意：设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况，可单独提前讨论。
2、圆锥曲线与向量结合问题这类问题主要利用向量的相等，平行，垂直去寻找坐标间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合应用，体现数形结合的思想，达到简化计算的目的。
圆锥曲线题型总结：圆锥曲线与向量结合的三种题型【精品】
圆锥曲线题型总结：圆锥曲线与向量结合的三种题型【精品】圆锥曲线与向量的结合——圆锥曲线题型总结一、AP=λPB解题方法总结如下：设直线AB与圆锥曲线C相交于点A、B，P为直线AB上的任意一点，A（x1，y1），B（x2，y2），则可以得到AP=λPB。
利用这个条件，可以构造两根之和与两根之积，消去x2，然后利用XXX定理求解。
例如，对于题目“设双曲线C：2-x^2/a^2=y^2/b^2（a>b）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．设直线l与y轴的交点为P，且PA=5PB．求a的值．”，可以按照上述方法解题。
首先联立方程组，得到两个交点的坐标。
然后利用构造两根之和与两根之积的方法，消去x2，得到一个关于a的方程。
最后利用XXX定理求解，得到a的值。
二、PR/PQ的取值范围对于题目“已知x-1>0（x>1），设直线y=-2x+m与y轴交于点P，与双曲线C相交于点Q、R，且|PQ|＜3/2|PR|，求PR/PQ的取值范围．”，可以采用向量的方法解题。
设向量PQ 为a，向量PR为b，则PR/PQ=|b|/|a|。
根据向量的定义，可以得到a和b的表达式。
然后根据题目中的条件，可以列出一个关于m的不等式。
最后，通过分析不等式的解集，可以得到PR/PQ的取值范围。
已知直线 $C:x-1=0$（$x\neq 1$ 且 $x\neq -1$），设直线$y=x+m$（$m>0$）与 $y$ 轴交于点 $P$，与轨迹 $C$ 相交于点 $Q$、$R$，且 $|PQ|<|PR|$，求 $m$ 的取值范围。
解法一：设 $Q(x_1,y_1)$，$R(x_2,y_2)$，联立$\begin{cases} 4x^2-y^2-4=PRx \\ 3x-2mx-m-4=0 \end{cases}$。
则可设 $x_2=-\lambda x_1$（$\lambda>1$），即 $-x_1x_2=\lambda x_2^2$，此时$y_P=x_P+m$，$y_Q=x_Q+m$。
圆锥曲线题型总结：圆锥曲线与向量结合的三种题型【精品】
圆锥曲线题型总结：圆锥曲线与向量的结合一、PB AP λ=【2004全国1理21】设双曲线C ：1x 222=-y a（a ＞0）与直线l ：x+y=1相交于两个不同的点A 、B ．设直线l 与y 轴的交点为P ，且PB PA 125=．求a 的值． 【解析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （0，1）联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=-1x 1x 222y y a 整理得（1-2a ）2x +22a x-22a =0.又因为PB PA 125=，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)1(125)1(125x 2121y y x 构造两根之和与两根之积得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=•=+②x 125①1217x 2221221x x x x 由②①2消去x 2得21221)x x x x +（=60289，再由韦达定理得221a 2a -=60289，解得a=1317.【2014四川理】已知3x 22y -=1（x>1）设直线y=﹣2x+m 与y 轴交于点P ，与C 相交于点Q 、R ，且|PQ|＜|PR|，求PQPR 的取值范围．【解析】设Q （x 1，y 1），R （x 2，y 2），联立⎩⎨⎧+-==--m x y y 203x 322整理得 2x +4mx-2m +3=0.因为直线与双曲线的右支相交，所以⎪⎩⎪⎨⎧>•>+>∆00x 02121x x x 解得m>1.又因为x ≠1，所以m ≠2.则可设PQ PR=12x x =12x x =λ（λ>1），则⎩⎨⎧=•+=+②x ①)1(x 2221221λλx x x x ，利用②①2消去x 2得21221)x x x x +（=λλ21）（+，再利用韦达定理得21221)x x x x +（=316m 22+m ；316m 22+m =λλ21）（+，于是316m 22+m ）（），（16,7647644⋃∈，解得1<λ<7或7<λ<7+43，故PQPR 的取值范围是（1,7）⋃（7，7+43）【2012四川文21】 已知C:4x 22y -=1（x ≠1且x ≠-1）设直线(0)y x m m =+>与y 轴交于点P ，与轨迹C 相交于点Q R 、，且||||PQ PR <，求||||PR PQ 的取值范围。
中学数学 圆锥曲线中向量共线问题的处理套路
圆锥曲线中向量共线问题的处理套路【前言】首先要了解在圆锥曲线中向量的一些基本形式：（1）单一共线型AP PB =λ(2)混合共线型,PA PQ PB PQ =λ=μ(3)点在曲线上OM OA OB =λ+μ(当+=1λμ时，M 、A 、B 三点共线，形如32OM OA OB =+),接下来从圆锥曲线的套路出发，结合向量的一些基本形式，探讨一下圆锥曲线中向量的处理套路。
套路一 参数转化为两点的纵标之比或横标之比此策略主要解决单一共线型，用三角形相似结合韦达定理将参数转化为两点的纵标之比或横标之比 【例题1】如图所示，已知圆()22:18C x y ++=，定点()1,0A ，M 为圆上动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足2AM AP =,0NP AM =,点N 的轨迹为曲线E （1）求曲线E 的方程（2）过定点()0,2F 的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足FG FH =λ,求λ的取值范围。
【分析】求λ的取值范围，突破口在于将FG FH =λ转化为12=x x λ，可以直接用向量转化，也可以用三角相似转化。
下一步关键在于如何将λ和k联系，处理策略是()2121212x x x x +=γ++γ这样就建立了λ和k 联系，再利用k 的取值范围就能求出λ的范围。
【简析】（1）∵2AM AP =,0NP AM =.∴NP 为AM 的垂直平分线，∴NA NM =又∵CN NM +=∴2CN AN +=>∴动点N 的轨迹是以点()0C -1，，()1,0A 为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为2a =，焦距222,1,1c a c b ====。
∴曲线E 的方程2212x y +=。
（3）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为2y kx =+，代入椭圆方程2212x y +=，得2214302k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，由0>∆得232k >。
四川省宜宾市第三中学高一教学论文圆锥曲线在高考中的常见题型及其解法
圆锥曲线在高考中的常见题型及其解法从近几年全国各地的高考题来看，圆锥曲线问题一直是以拉开差距的题目的身份出现，题目的综合性较强，计算能力要求较高，难度较大。
因此，对于那些想考上较好大学的学生而言，圆锥曲线问题就成了必争之地，而要突破它也并非难事，让我们来看看高考中这类问题是怎样出现的吧！一、新趋势——与圆结合随着课程改革的不断推广，新课标教材中降低了对圆锥曲线的要求，这让我们看到高考中圆锥曲线与圆相结合的问题逐渐增多（尤其是新课标考区），而且难度较小。
如：例1：（07年广东理）在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在第二象限、半径为的圆C 与直线y x =相切于坐标原点O ．椭圆22219x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．（I ）求圆C 的方程；（II ）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（I ）圆C ：22(2)(2)8x y ++-=；（II ）由条件可知a =5，椭圆方程为221259x y +=，∴F （4，0）.若存在这样的点Q ，则F 在OQ 的中垂线上，又O 、Q 在圆C 上，所以O 、Q 关于直线CF 对称；直线CF 的方程为y -1=1(1)3x --,即340x y +-=.设Q （x,y ），则334022yx x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，解得45125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以存在满足条件的点Q ，其坐标为412(,)55.点评：圆与圆锥曲线相结合的问题主要是强调对圆锥曲线基本概念的理解，要充分利用圆的几何性质对题目条件进行合理的转化，以简化计算，解决问题。
二、向量参与圆锥曲线问题的两种方式我们经常在圆锥曲线问题中看到向量，比较简单的是用向量语言表述几何关系。
如用0=⋅表示OA 和OB 互相垂直，用()+=21表示M 是线段AB 的中点等等。
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圆锥曲线中的向量同构
以下是关于圆锥曲线中的向量同构的问题。
圆锥曲线中的向量同构，通常是指在圆锥曲线坐标系中，两个向量之间的坐标变换关系。
设圆锥曲线的方程为：
椭圆：x^2/a^2+y^2/b^2=1
双曲线：x^2/a^2-y^2/b^2=1
抛物线：y=ax^2
假设有一个向量A=(x1,y1)，另一个向量B=(x2,y2)。
我们可以通过以下坐标变换关系来实现向量同构：
1.椭圆：
对于椭圆，坐标变换关系为：
x2=x1*sqrt(1-y1^2/b^2)
y2=y1*sqrt(1-x1^2/a^2)
2.双曲线：
对于双曲线，坐标变换关系为：
x2=x1*sqrt(1+y1^2/b^2)
y2=-y1*sqrt(1+x1^2/a^2)
3.抛物线：
对于抛物线，坐标变换关系为：
x2=x1/(y1+a)
y2=y1*2+a
通过这些坐标变换关系，我们可以实现圆锥曲线中向量的同构。
需要注意的是，这些变换关系仅在特定条件下成立，例如a、b分别为椭圆、双曲线、抛物线的半轴长。
在实际应用中，根据
具体问题来确定向量同构的关系。
。