圆锥曲线_利用向量转化几何条件
圆锥曲线解题技巧和方法综合全
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：〔1〕中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法〔点差法〕：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式〔当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论〕，消去四个参数。
如：〔1〕)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
〔2〕)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)则有02020=-k by a x 〔3〕y 2=2p*〔p>0〕与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(*0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A 〔2，1〕的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
〔2〕焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(*,y)为椭圆x a y b 22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。
〔1〕求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；〔2〕求|||PF PF 1323+的最值。
〔3〕直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的根本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()()〔1〕求证：直线与抛物线总有两个不同交点〔2〕设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
圆锥曲线解题十招全归纳
《圆锥曲线解题十招全归纳》招式一：弦的垂直平分线问题 (2)招式二：动弦过定点的问题 (4)招式四：共线向量问题 (6)招式五：面积问题 (13)招式六：弦或弦长为定值、最值问题 (16)招式七：直线问题 (20)招式八：轨迹问题 (24)招式九：对称问题 (30)招式十、存在性问题 (33)招式一：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。
由2(1)y k x y x=+⎧⎨=⎩消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ∆=--=-+> 即2104k <<② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。
则线段AB 的中点为22211(,)22k k k--。
线段的垂直平分线方程为：221112()22k y x k k k --=--令y=0,得021122x k =-，则211(,0)22E k -ABE ∆为正三角形，∴211(,0)22E k -到直线AB 的距离d 。
AB =21k =+2d k=21k +=k =053x =。
【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理．．．．．．．．产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形（即D 在AB 的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
向量与圆锥曲线的综合应用
￣Ｐ ｌｌ ｊ・ Ｏ —
由
【 析】 ’ １ ） 解 ． ，， ‘ Ｏ
由 吖 十 Ｄ 得 ＋ Ｆ 产３ ．
由抛物线焦半径公式可得：Ｉ Ｉ Ｂ Ｉ ＋ｌ ＋ Ｆ
ｌ Ｃ Ｉ ｌ １ ： Ｆ №
答案 Ｂ
４￣孕所 ． ｘ 一 柳 ① ｏ ｃ ＝ Ｌ 二一 ｌ Ｊ 一 — 坪 ｔ ＇ ， ＝ 又为 Ｐ｜ 线 一一 ，以 因点在 曲吾善ｌ所 双 上
平面 内的 动 点，满 足 Ｉ ＋ Ｉ・ｌ Ｉ ＭＮ ＭＰ
Ｎ ＝， Ｐ Ｏ 则动 Ａｐｘ ） （， 的轨 迹 方 程 为 （ ） ｙ －
・
Ａ． ￣Ｓ Ｂ． 一８ Ｃ． ４ Ｄ． 一 ｘ ｙ＝ ｘ ｙ ｘ ／＝ ｘ １ ４ ，
【 解析 】
， 由题意知 Ｍ （ ，、 ２ ） ＿０ Ｎ（ｏ， ２） ， ２ ，Ｐ （ Ｚ ． Ｎ ＝ — ｘ
［ ￣ ｌ （）ｆＰ — Ｎ ／ ｉ １ Ｊ— Ｉ Ｆ ＪＦ ・Ｐ ２
，
Ｉ Ｎ Ｉ４ ， Ｍ ＝ 则 Ｖ ４ ）ｆ ，， ０
由 Ｉ ＡＩ・Ｉ Ｉ Ⅳ・ ７ ， ｒ Ｍ ＋ ＾ Ｏ４／ｃ２＋ ＋ 一 ）０化简整理得 一 ｌ （ 。 ， ｘＪ ） ４ ２＝ ， Ｊ ｆ ＋ ＝ ．
一
２ 一＼ ｌ八
一
一
２ 、
： ＝ 从而 一 ｏ
ｉ
ＥＩ・ｆ Ａ・Ｅ Ｂ Ｂ ＞ ０‘ Ｅ ．０ ． ．
＜ｅ ＜ 即ｅ 为锐 角． 【 析 】 （） 解 １设 Ｄ ｌ ） ， ， ， Ａ ＝ａ ， ￣ Ｄ ｔＢ －
【 ６ 设抛物线Ｃ ｉ 例 】 的焦点为 Ｆ 动 点Ｐ ， 在 直线ｈ — 一 ＝ 上运动 ， Ｐ作抛物线 ｃ的两条切 Ｙ ２０ 过 线 Ｐ Ｐ 且与抛 物线 ｃ分别相切于 Ａ、 Ａ、 Ｂ， Ｂ两点．
圆锥曲线几何问题的转换
的方程为：或
例6：在平面直角坐标系中，已知抛物线的准线方程为，过点作抛物线 的切线，切点为（异于点），直线过点与抛物线交于两点，与直线交于
点 （1）求抛物线的方程 （2）试问的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由 解：（1）由准线方程可得： 抛物线方程： （2）设切点，抛物线为 切线斜率为 切线方程为：，代入及 可得：，解得：（舍）或
几何问题的转换
一、基础知识： 在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化，
合理的进行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大 的简化运算的复杂程度，在本节中，将列举常见的一些几何条件的转 化。 1、在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形 中的线段变为有向线段后可以承载向量；另一方面，向量在坐标系中能 够坐标化，从而将几何图形的要素转化为坐标的运算，与方程和变量找 到联系 2、常见几何问题的转化： （1）角度问题： ① 若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率 ② 若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而 利用向量数量积的符号进行判定 （2）点与圆的位置关系 ① 可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系，但需要解 出圆的方程，在有些题目中计算量较大 ② 若给出圆的一条直径，则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判 定：若点在圆内，为钝角（再转为向量：；若点在圆上，则为直角 （）；若点在圆外，则为锐角（） （3）三点共线问题 ① 通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线 ② 通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线 （4）直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题，从 而转为坐标运算： ，则共线； （5）平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系
妙用圆锥曲线中的“向量”,活化高中数学课堂教学
题能否用参数方程 、 用参数方 程是否简便还是需要具体 分析的 ， 这就是法无定法 ， 贵得其所吧 ！
顺便说一下 ， 借 助于几何画板 ， 通过上述 问题 （ １ Ｉ ） 、 （ Ⅲ） 的讨论 ， 笔者猜想应该有下面的结论 成立．
已知椭 圆ｃ ： ＋ ： １ （ Ⅱ ＞ ６ ＞ ０ ） ， 设Ａ１ 、 ４ ２ 、 Ａ 一、 ４ ， 卜
参考文献 ：
叼
１ ０ ／ ￣ ２ ＝ － Ｃ Ｏ Ｓ ２ ￣ ＋ 三
２ ２
１ ． 李艳． 用椭 圆参数 方程 时的一 个“ 误 区” ［ Ｊ ］ ． 中学数
学教 学参考（ 上） ， ２ ０ １ ３ （ ９ ） ．
２ ． 胡 寅年． 几 何 问题 代 数 度 量 — — ２ Ｏ ｌ ２ 年 上 海 卷
Ｐ Ｏ Ｑ ＝ ／ Ｑ Ｄ 肚 ≥ ， 证 明 ： ＋ ＋ 为 定 值
证明： 设 Ｐ ｆ ＼ 。 ， ２ ｉ ） ， 其中 ∈ １ ｏ ， ２ 叮 Ｔ ） ． ／
不妨设 Ｐ、 Ｑ、 Ｒ为逆 时针顺序 的椭 圆上 三点 ．利用 旋转
到此 ， 可 以看 出椭 圆的参数方程对 于处理两点有具 体角度 问题有 时也 是可 以用 的． 因此 ， 笔者觉 得具 体 问
材 法
和 内化 的思维语 言 ， 找到正确解题 的方案． 例１ 直线 ｚ 与椭 圆Ｅ： ＋ ： １ 相交 于 、 两点 ， 且
４ ４
动 点 删 两个 焦 点的 张 角 最大 值为 要， 且到 其中 一 个焦
点 的距 离最 大值 为３ ， 在椭 圆 内存 在一 个动 点ｐ 且 满 足 Ｉ Ｏ Ａ １ ． Ｉ Ｏ Ｂ Ｉ ＝ Ｉ Ｑ Ｏ Ｉ ｚ ， 试求 ・ Ｑ 的取值范 围．
高考数学 专题14 解析几何解题技巧—巧施转化,柳暗花明(解析版)
专题14 解析几何解题技巧—巧施转化，柳暗花明一．【学习目标】1.掌握圆锥曲线的定义；2．掌握焦点三角形的应用和几何意义； 3.掌握圆锥曲线方程的求法； 4.掌握直线与圆锥曲线的位置关系； 5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。
二．【知识点总结】1.椭圆定义：平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数(大于12,F F 之间的距离)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点12,F F 叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程(1) 22221,(0)x y a b a b +=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中c =(2) 22221,(0)x y a b b a +=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中c =3．椭圆的几何性质以22221,(0)x y a b a b+=>>为例(1)范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：(0,0)O(3)顶点：长轴端点：12(,0),(,0)A a A a -，短轴端点：12(0,),(0,)B b B b -；长轴长12||2A A a =，短轴长12||2B B b =，焦距12||2F F c =.(4)离心率,01,ce e e a=<<越大，椭圆越扁，e 越小，椭圆越圆． (5) ,,a b c 的关系：222c a b =-. 4．双曲线的定义：平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数(小于12,F F 之间的距离)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点12,F F 叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 5．双曲线的标准方程(1) 22221,(0,0)x y a b a b -=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中c(2) 22221,(0,0)x y a b b a-=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中c6．双曲线的几何性质以22221,(0,0)x y a b a b-=>>为例(1)范围：,x a x a ≥≤-．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：(0,0)O(3)顶点：实轴端点：12(,0),(,0)A a A a -，虚轴端点：12(0,),(0,)B b B b -；实轴长12||2A A a =，虚轴长12||2B B b =，焦距12||2F F c =.(4)离心率,1ce e a=> (5) 渐近线方程b y x a=±. 7．抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫抛物线的准线. 8．抛物线的标准方程(1) 22222,2,2,2,(0)y px y px x py x py p ==-==->．对应的焦点分别为：(,0),(,0),(0,),(0,)2222p p p p F F F F --. (2)离心率1e =. 三．【题型归纳】（一）利用向量转化几何条件 （二）面积条件的转化 （三）弦长的转化 （四）角平分线的转化 四．【题型方法】（一）利用向量转化几何条件例1．如图，已知满足条件3z i i -=（其中i 为虚数单位）的复数z 在复平面xOy 上的对应点(),Z x y 的轨迹为圆C （圆心为C ），定直线m 的方程为360x y ++=，过()1,0A -斜率为k 的直线l 与直线m 相交于N 点，与圆C 相交于P Q 、两点，M 是弦PQ 中点. （1）若直线l 经过圆心C ，求证：l 与m 垂直；（2）当PQ =l 的方程；（3）设t AM AN =⋅u u u u r u u u r，试问t 是否为定值？若为定值，请求出t 的值，若t 不为定值，请说明理由.【答案】（1）证明见详解；（2）1x =-或4340x y -+=；（3）t 为定值且5t =- 【解析】（1）证明如下： 因为33z i i -=，所以()22:34C x y +-=，所以圆心()0,3C ，半径2R =；又因为()1,0A -，所以()30301l k -==--且13m k =-，所以1l m k k ⋅=-，所以l 与m 垂直；（2）当直线l 的斜率不存在时，:1l x =-，此时2221=2PQ d R ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()244112PQ =⨯-=，所以3PQ =当l 的斜率存在且为k 时，():1l y kx =+，2321k d R k -==+，所以22223PQ R d =-=43k =，此时:4340l x y -+=； 综上：直线l 的方程为1x =-或4340x y -+=；（3）当直线l 的斜率不存在时，可知：()()51,3,1,,1,03M N A ⎛⎫---- ⎪⎝⎭，所以()50,3,0,3AM AN ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u u r u u u r ，所以5t AM AN =⋅=-u u u u r u u u r，即5t =-；当直线l 的斜率存在且为k 时，设():1l y k x =+，()()1122,,,P x y Q x y ，联立()()22134y k x x y ⎧=+⎪⎨+-=⎪⎩可得：()()2222126650k x kk x k k ++-+-+=，所以2122321M x x k k x k +-+==+，()22311M M k ky k x k +=+=+，即222233,11k k k k M k k ⎛⎫-++ ⎪++⎝⎭，所以222133,11k k k AM k k ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭u u u u r ；又由()1360y k x x y ⎧=+⎨++=⎩可得：365,1313k k N k k ---⎛⎫⎪++⎝⎭，所以55,1313k AN k k --⎛⎫= ⎪++⎝⎭u u u r ，故()()()()()()()()()222225351131555113113113k k k k k k t AM AN k k k k k k -+-++--=⋅=+==-++++++u u u u r u u u r， 综上可知：t 为定值，且5t =-.练习1．已知1F 、2F 分别是椭圆2214xy +=的两焦点，点P 是该椭圆上一动点，则12PF PF ∈⋅u u u v u u u v _________.【答案】[]2,1-【解析】由椭圆2214x y +=知，焦点1(F，2F ，设(,),22P x y x -≤≤，则()22122221(,),)3384134PF PF x y x x x x y y x ⋅=-⋅-=+-==+---u u u r u u u u r ，22x -≤≤Q ，204x ∴≤≤，故12[2,1]PF PF ⋅∈-u u u r u u u u r，故答案为：[]2,1-练习2．已知椭圆：()2222:10x y a b a bΓ+=>>的右焦点为()1,0,F M 点的坐标为()0,b ，O 为坐标原点，OMF ∆是等腰直角三角形.（1）求椭圆Γ的方程；（2）经过点()0,2C 作直线AB 交椭圆Γ于,A B 两点，求AOB ∆面积的最大值；（3）是否存在直线l 交椭圆于,P Q 两点，使点F 为PQM ∆的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2（3）43y x =-.【解析】（1）由OMF ∆是等腰直角三角形，可得1,b a ===故椭圆方程为2212x y +=；（2）设过点()0,2C 的直线AB 的方程为2y kx =+，,A B 的横坐标分别为,A B x x ， 将线AB 的方程为2y kx =+代入椭圆方程， 消元可得222(1+2)860,16240k x kx k ++=∆=->，∴232k >， 2286,1212A B A B k x x x x k k∴+=-=++，A B x x ∴-== 令2k t =，则3,2A B x x t >-=令32u t =-，则0,A B u x x >-==（当且仅当2u =时取等号）又AOB ∆面积122A B A B x x x x =⨯⨯-=-，∴△AOB 面积的最大值为2； （3）假设存在直线l 交椭圆于,P Q 两点，且使点F 为PQM ∆的垂心， 设()()1122,,,P x y Q x y ，因为(0,1),(1,0)M F ，所以1PQ k =．于是设直线l 的方程为y x m =+，代入椭圆方程， 消元可得2234220x mx m ++-=．由>0∆，得23m <，且21212422,33m m x x x x -+=-=, 由题意应有0MP FQ ⋅=u u u r u u u r，所以()()1221110x x y y -+-=，所以()212122(1)0x x x x m m m ++-+-=．整理得222242(1)033m mm m m -⨯--+-=．解得43m =-或1m =． 经检验，当1m =时，PQM ∆不存在，故舍去． ∴当43m =-时，所求直线l 存在，且直线l 的方程43y x =-练习3．已知点12F F 、为椭圆的两个焦点，其中左焦点()13,0F -的坐标为，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，P 为椭圆上一点。
(完整版)圆锥曲线解题方法技巧归纳
圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备: 1. 直线方程的形式(1) 直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、 一般式。
(2) 与直线相关的重要内容 ① 倾斜角与斜率k tan , [0,)② 点到直线的距离dA/ B y0_C tan(3) 弦长公式 直线 y kx b 上两点 A(x i , yj, B(X 2, y 2)间的距离：AB| J i k 2|x X 2J (1 k 2)[(X i X 2)2 4沁]或 AB J i *|y i y 2(4) 两条直线的位置关系 ① l 1 l 2 k 1k 2=-1② l 1 //12k 1 k 2且b 1 b 22、圆锥曲线方程及性质(1) 、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)标准方程： 2 2—匚 1(m 0, n 0且 m n) m n 距离式方程:.(x c)2 y 2 . (x c)2 y 2 2a参数方程： x a cos , y bsin(2) 、双曲线的方程的形式有两种③夹角公式：k 2 12 2标准方程：—-1(m n 0)(3) 、三种圆锥曲线的通径你记得吗？椭圆：近；双曲线：玄；抛物线：2pa a(4) 、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？b 2 tan —2P 在双曲线上时，S FP F 2 b 2 cot —,t| PF |2 | PF |2 4c 2 uur ujrn uur uimr(其中 F 1PF 2,COS 】1鳥尙，PF ?PF 2 |PF 1||PF 2|COS(6)、 记住焦 半 径公式： (1 )椭圆焦点在x 轴上时为a ex g ；焦点在y 轴上时为a ey °，可简记为“左加右减，上加下减”(2) 双曲线焦点在x 轴上时为e|x 01 a(3) 抛物线焦点在x 轴上时为| x , | 2,焦点在y 轴上时为| % | 2 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ _ 第二、方法储备 1、点差法(中点弦问题)2B X 2,y 2，M a,b 为椭圆— 42 2 2 2 2222如: 已知F ,、 2 2F 2是椭圆勻七1的两个焦点,平面内一个动点 M足MF !MF 22则动点M 的轨迹是(A 、双曲线;B 、双曲线的一支；C 、两条射线;D 、一条射线(5)、焦点三角形面积公式：P 在椭圆上时，S F1p F2设 A x ,, y ,2仝1的弦AB 中点则有3仝生1,空空1 ;两式相减得二竺上上04 3 4 3 4 3x i X2 捲X2 y i y2 y i y2 3a4 3 k AB一不2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式0，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点A(X!, y i), B(X2, y2)，将这两点代入曲线方程得到①②两个式子，然后①-②，整体消元..................... ,若有两个字母未知数，贝S要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。
圆锥曲线中的典型问题与方法：圆锥曲线解题技巧和方法综合
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。
如：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
（2）)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有0220=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。
（1）求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；（2）求|||PF PF 1323+的最值。
（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()()（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
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圆 锥 曲 线-利 用 向 量 转 化 几 何 条 件
欢欢老师的数学课堂
3.已 知 椭 圆C
:
x2 a2
+
y2 b2
=
1(a
>b> Nhomakorabea0)
，双 曲 线 x2 a2
−
y2 b2
=
1(a
>
0, b
>
0)
的两条渐近
线l1, l2 ，过 椭 圆C 的 右 焦 点F 作 直 线l ，使 得l⊥l2 ，又l 与l2 交 于P 点，设l 与 椭 圆C的
2
圆 锥 曲 线-利 用 向 量 转 化 几 何 条 件
欢欢老师的数学课堂
三、证 明 三 点 共 线 转 化 为 向 量
1.（利 用−→a
=
−→ λb
,转 化 为 比 值 关 系）已 知 曲 线C
:
(5
−
m)x2
+
(m
−
2)y2
=
8(m
∈
R)
（1）若 曲 线C 是 焦 点 在x 轴 上 的 椭 圆，求m 的 取 值 范 围；
直 径 的 圆 恒 过 点M ？若 存 在 求 出 点M 的 坐 标，若 不 存 在 说 明 理 由。
1
圆 锥 曲 线-利 用 向 量 转 化 几 何 条 件
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2.已
知F1,
F2分
别
是
椭
圆
x2 4
+
y2
=
1
的 左 右 焦 点。
（1）若P
是
第
一
象
限
内
该
椭
圆
上
一
点，−P−F→1
·
−−→ P F2
且|P Q|
<
|P R|
，求 |P R| |P Q|
的 取 值 范 围。
√ 2.已 知 椭 圆E 的 中 心 在 原 点O ，焦 点 在x 轴 上，离 心 率e = 3 ，椭 圆E 的 右 顶 点 与 上
3 顶 点 之 间 的 距 离 为√5.
(1) 求 椭 圆E 的 标 准 方 程；
(2) 过 定 点P (−3, 4) 且 斜 率 为k 的 直 线 交 椭 圆E 于 不 同 的 两 点M, N ，在 线 段M N 取 异 于M, N 的 点H ，满 足 |P M | = |M H| ，证 明：点H 恒 在 一 条 直 线 上，并 求 出 这 条 直 线
与 曲 线C交 于 不 同 的 两 点M, N，直 线y = 1与 直 线BM 交 于 点G，求 证：A, G, N 三 点 共
线.
3
圆 锥 曲 线-利 用 向 量 转 化 几 何 条 件
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四、同 一 直 线 上 不 同 线 段 比 的 问 题 转 化 为 向 量
1. 已 知x2 − y2 = 1(x > 1) 设 直 线y = −2x + m 与y 轴 交 于 点P ，与C相 交 于 点Q, R ， 3
两 个 交 点 由 上 至 下 依 次 为A, B。
（1）当l1, l2 夹 角 为60◦，双 曲 线 的 焦 距 为4时，求 椭 圆C 的 方 程 及 离 心 率； （2）求|F A| 的 最 大 值。
|AP |
5
圆 锥 曲 线-利 用 向 量 转 化 几 何 条 件 答 案 解 析
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二、角 条 件 转 化 为 向 量（直 角、锐 角、钝 角） 1.椭 圆 的 方 程 为 x2 + y2 = 1 ，设 动 直 线l : y = kx + m 与 椭 圆 有 且 只 有 一 个 公 共 点P ，
43 且 与 直 线x = 4 相 交 于 点Q ，试 探 究：在 坐 标 平 面 内 是 否 存 在 定 点M ，使 得 以P Q 为
，即 为 动 点P 轨 迹C 的 方 程；
（2）设 点A(x1, y1), B(x2, y2), M (x0, −2) ，
由 题 意 直 线AB的 斜 率k
存 在 且k
̸=
0，设 其 方 程 为y
=
kx + 1，则x0
3 = −k
，得M
(−
3 k
,
−2)
y = kx + 1
由 x2 = 4y,
一、数 量 积 公 式 与 韦 达 定 理 结 合 √
1.解：（1）设 动 点P 的 坐 标 为(x, y) ，由 题 意 知： x2 + (y − 1)2 = |y −(−2)|−1 = |y +2|−1 √
，且y ≥ 0，∴ x2 + (y − 1)2 = y + 1 =⇒ x2 + (y − 1)2 = (y + 1)2，化 简 得：x2 = 4y
（2）设m = 4 ，曲 线C 与y 轴 的 交 点 为A, B （点A 位 于 点B 的 上 方），直 线y = kx + 4 与
曲 线C交 于 不 同 的 两 点M.N ，直 线y = 1与 直 线BM 交 于 点G 。 求 证：A, G, N 三 点 共
线。
2.已 知 椭 圆C : x2 + y2 = 1与y 轴 的 交 点 为A, B（点A 位 于 点B的 上 方），直 线y = kx + 4 84
圆 锥 曲 线-利 用 向 量 转 化 几 何 条 件
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一、数 量 积 公 式 与 韦 达 定 理 结 合 1.平 面 上 动 点P 到 点F (0, 1) 的 距 离 比 它 到 直 线l : y = −2 的 距 离 小1． （Ⅰ）求 动 点P 的 轨 迹C 的 方 程； （Ⅱ）过 点F 作 直 线 与 曲 线C 交 于 两 点A, B ，与 直 线l 交 于 点M ，求|M A| · |M B| 的 最 小 值．
=
−
5 4
,求 点P 的 坐 标；
（2）设 过 定 点M (2, 0) 直 线l 于 椭 圆 交 于 不 同 的 两 点A, B ，且∠AOB为 锐 角，求 直 线l 斜
率 的 取 值 范 围。
3.已 知 中 心 在 坐 标 原 点O，焦 点 在x轴 上，长 轴 长 是 短 轴 长 的2倍 的 椭 圆 经 过 点M (2, 1) 直 线l平 行 于OM，且 与 椭 圆 交 与A!B两 个 不 同 点； （1）求 椭 圆 的 方 程 （2）若∠AOB为 钝 角，求 直 线l在y轴 上 的 截 距m的 取 值 范 围； （3）求 证 直 线M A, M B与x轴 围 城 的 三 角 形 总 是 等 腰 三 角 形。
，消 去y得x2 − 4kx − 4 = 0
于 是∆ = 16(k2 + 1) > 0恒 成 立，且x1 + x2 = 4k, x1x2 = −4，
又y1y2 = (kx1 + 1)(kx2 + 1) = k2x1x2 + k(x1 + x2) + 1 = 1, y1 + y2 = k(x1 + x2) + 2 = 4k2 + 2，