圆锥曲线与向量的综合性问题
专题四 平面向量与圆锥曲线综合应用
专题四 平面向量与圆 曲线 鬻 锥 曲线 冀 嚣
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！
⑤了解圆锥曲线的初步应用．
３ 矗鸯命 题规 律 ： ．
（ ） 面向量 常 以选 择题 、 １平 填空 题 及 与三 角 函 数 、 解析 几 何 、 体 几 何 等单 元 综 合 成 解答 题 的 ｉ 立 形式 出现． 主要 考 查平 面 向量 的概 念 、 质 、 何 意义 、 面 向量 的数 量积 、 面 向量 的坐 标 运算 和 性 几 平 平 几何 运算 等 ， 出向量 自身性 质 的考查 和 向量 工具 性 的考查 ． 突
ｉ
； 垂直的问题 ， 向量垂直的条件． 掌握
ｔ Βιβλιοθήκη 移公式． ⑦掌握正弦定理 、 余弦定理 ， 并能初步运用它们解斜三角形．
；
：
（） ２ 直线 ： ①理解直线的倾斜角和斜率的概念 ， 掌握过两点的直线的斜率公式． 掌握直线方程 的点斜式、
两点式 、 一般 式 ， 能根 据条 件熟 练地求 出直线 方程． 并
个向 ” 解成“ 个向 量分 两 量：
Ａ 外心 ．
麓
Ｂ ．内心
Ｃ 重心 ．
Ｄ 垂心 ．
（） １ 解法 一 （ 特例 法 ） ：
之和” ‘ 向量之： 或把‘ 两个 和 写 一 量” ” 成“ 个向 ． ：
（） ２ 掌握共线 （ 平行 ） ：
设 ＡＡ Ｃ是一个 直 角三 角形 ， ０为 斜 边 中点 ， Ｂ 则 日点 为 直 角顶 点 ， 这 时有 明 ＝Ｏ Ａ＋Ｏ Ｂ＋Ｏ ．ｍ：１ Ｃ，． ’ ． 解 法二 （ 接推 导 ） 直 ：
的数量积． 平面两点间的距离． 平移． ｉ 直线的倾斜角和斜率． 直线方程的点斜式和两点式． 直线方程的一般式． ｉ 两 条直 线平 行与 垂直 的条件 ． 两条 直线 的交 角． 点到 直线 的距离 ． ｉ 用二元一次不等式表示平面区域． 简单 的线性规划问题． ’
圆锥曲线综合训练题(分专题,含答案)
圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程． （2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程． （1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．（2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系． 解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程. 解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-ky k x . 由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③ 由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．∴所求椭圆方程为1315422=+y x 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即)32,325(P ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,43,13412252222b a ba 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,41522b a （1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程．解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1.（2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ， 即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=uu u v uuu v若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =， 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠， 由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即 ()11,OP x y =u u u r ，()22,OQ x y =u u u r，于是12120x x y y +=，即()()21212110ky y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，2224(1)40k k k k k +-+=g ，解得4k =-或0k =（舍去），又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I ）Θe c a =∴=2422， Θc a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±334分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分） （III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN⊥MQ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩L L L L L L L L ………3分 由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN⊥MQ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。
向量与圆锥曲线的综合应用
￣Ｐ ｌｌ ｊ・ Ｏ —
由
【 析】 ’ １ ） 解 ． ，， ‘ Ｏ
由 吖 十 Ｄ 得 ＋ Ｆ 产３ ．
由抛物线焦半径公式可得：Ｉ Ｉ Ｂ Ｉ ＋ｌ ＋ Ｆ
ｌ Ｃ Ｉ ｌ １ ： Ｆ №
答案 Ｂ
４￣孕所 ． ｘ 一 柳 ① ｏ ｃ ＝ Ｌ 二一 ｌ Ｊ 一 — 坪 ｔ ＇ ， ＝ 又为 Ｐ｜ 线 一一 ，以 因点在 曲吾善ｌ所 双 上
平面 内的 动 点，满 足 Ｉ ＋ Ｉ・ｌ Ｉ ＭＮ ＭＰ
Ｎ ＝， Ｐ Ｏ 则动 Ａｐｘ ） （， 的轨 迹 方 程 为 （ ） ｙ －
・
Ａ． ￣Ｓ Ｂ． 一８ Ｃ． ４ Ｄ． 一 ｘ ｙ＝ ｘ ｙ ｘ ／＝ ｘ １ ４ ，
【 解析 】
， 由题意知 Ｍ （ ，、 ２ ） ＿０ Ｎ（ｏ， ２） ， ２ ，Ｐ （ Ｚ ． Ｎ ＝ — ｘ
［ ￣ ｌ （）ｆＰ — Ｎ ／ ｉ １ Ｊ— Ｉ Ｆ ＪＦ ・Ｐ ２
，
Ｉ Ｎ Ｉ４ ， Ｍ ＝ 则 Ｖ ４ ）ｆ ，， ０
由 Ｉ ＡＩ・Ｉ Ｉ Ⅳ・ ７ ， ｒ Ｍ ＋ ＾ Ｏ４／ｃ２＋ ＋ 一 ）０化简整理得 一 ｌ （ 。 ， ｘＪ ） ４ ２＝ ， Ｊ ｆ ＋ ＝ ．
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２ 一＼ ｌ八
一
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２ 、
： ＝ 从而 一 ｏ
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ＥＩ・ｆ Ａ・Ｅ Ｂ Ｂ ＞ ０‘ Ｅ ．０ ． ．
＜ｅ ＜ 即ｅ 为锐 角． 【 析 】 （） 解 １设 Ｄ ｌ ） ， ， ， Ａ ＝ａ ， ￣ Ｄ ｔＢ －
【 ６ 设抛物线Ｃ ｉ 例 】 的焦点为 Ｆ 动 点Ｐ ， 在 直线ｈ — 一 ＝ 上运动 ， Ｐ作抛物线 ｃ的两条切 Ｙ ２０ 过 线 Ｐ Ｐ 且与抛 物线 ｃ分别相切于 Ａ、 Ａ、 Ｂ， Ｂ两点．
2011年高考两类圆锥曲线综合题
＝
＝
１ （＋ ＋ ＋ ＋２ ４ ） １ ＋２ 告） １ ｔ （＋ｋ ＋
＝ ４ ＋） ＋ ２ 古 １ ８（ 古≥ ４ √ ・＝ ＋％ ８ × ６
当且仅当ｋ＝ 即ｋ １， ． 取最小值 １． ：± ／ Ｈ， 赢 ６
评 注： 由于向量既能体现 “ ” 形 的直 观位置特 征 ， 又具有
“ ” 良好运算性质 ， 数 的 是数形 结合与转 换 的桥 梁和纽带． 而 解析几何也具有数形结合与转换 的特 征 ， 以在 向量与解 析 所 几何知识 的交汇处设计试题 ， 已逐渐 成为高考命 题 的一个新 亮 点． 通常涉及 到 夹角 、 平行 、 垂直 、 共线 、 迹 等 问题 的 处 轨 理， 目标是将 几何 问题坐标化 、 号化 、 符 数量 化 ， 而将推 理 从
Ｙ＝ 一１ ， 依据 向量 的坐标 运算Ａ ・ 的值用 的 函 （ ）再 动
数来表示 。
解： （Ｉ） 程 略 ， 案 ： 点 Ｐ 的轨 迹 Ｃ 的方 程 为 ，２＝ 过 答 动 ｙ
４ （ ＞０ 和 Ｙ＝ （ ＜ ） ｘ ｉ ） ０ ０ ．
（ 由题意知 ， Ⅱ） 直线 ｌ 的斜率存 在且 不为 ０ 设为 ｋ 则 ， ，
１ 的方 程 为 Ｙ＝ 一１ ． 。 （ ）
由ｙ良 一 ， ｚ一 ４ ＋ ： ｛＝ ¨得 （ｚ ） ０ １‘ ｚ ２＋ ： ．
【 ＝４ Ｙ ｘ
转化为运算． 这类 问题 的难度 在高 考 中一 般处 于 中等偏 上 ，
也 可 能 以压 轴题 的 “ 份 ” 身 出现 ． ２ 方 程 、 等 式 与 圆锥 曲线 综 合 ． 不
￣
／ ３ ） ．ｔ） — ｋｚ （ ｔ— ＋ ２ ＝
由 Ｉ ＧＩ＝ｌＤｌ ＥＩ解得 ｔ ｋ Ｏ Ｏ ・ｌ ， Ｏ ＝ 因此 直线 ｌ 的方 程为 Ｙ＝ （ ｋ ｘ＋１ ， 以直线 ｌ 过顶 点 ）所 恒
圆锥曲线综合练习题(有答案)
圆锥曲线综合练习一、 选择题：1．已知椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上,若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．82．直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）A B ．12 C D ．233．设双曲线22219x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．若m 是2和8的等比中项,则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（ )A B C D 5．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M N ，两点，O 为坐标原点．若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 6．已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点,点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．7．双曲线221259x y -=上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为（ ）A ．22或2B ．7C ．22D ．28．P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+= 上的点，则||||PM PN -的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．99．已知点(8)P a ，在抛物线24y px =上,且P 到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离为( ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．1610．在正ABC △中，D AB E AC ∈∈，，向量12DE BC =，则以B C ，为焦点，且过D E ，的双曲线离心率为（ ）A B 1 C 1 D 111．两个正数a b ，的等差中项是92,一个等比中项是a b >，则抛物线2by x a=-的焦点坐标是（ ）A ．5(0)16-， B ．2(0)5-， C ．1(0)5-， D ．1(0)5， 12．已知12A A ，分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点,椭圆C 上异于12A A ，的点P恒满足1249PA PA k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．49 B ．23 C ．59D 513．已知2212221(0)x y F F a b a b+=>>、分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆 上，且满足0OA OB +=(O 为坐标原点)，2120AF F F ⋅=2， 则直线AB 的方程是( ) A ． 22y =B ．22y x =C ．3y =D ．3y = 14．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点(02)M ，的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为A ．3B 17C 5D ．9215．若椭圆221x y m n+=与双曲线221(x y m n p q p q -=，，，均为正数）有共同的焦点F 1,F 2，P 是两曲线的一个公共点，则12||||PF PF ⋅等于 ( ）A ．m p +B ．p m -C ．m p -D ．22m p -16．若()P a b ，是双曲线22416(0)x y m m -=≠上一点，且满足20a b ->，20a b +>，则该点P 一定位于双曲线（ ) A ．右支上 B ．上支上 C ．右支上或上支上 D ．不能确定17．如图，在ABC △中，30CAB CBA ∠=∠=，AC BC ，边上的高分别为BD AE ，，则以A B ， 为焦点，且过D E ，的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（ ) A ．3 B ．1 C ．32D ．218221sin 2sin 3cos 2cos 3=--表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线19．已知12F F ，是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,点P 在椭圆上,且122F PF π∠=记线段1PF 与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若1FOQ △与四边形2OF PQ 的面积之比为1:2,则该椭圆的离心率等于 （ ） A ．23 B ．33 C ．43- D 3120．已知双曲线方程为2214y x -=，过(21)P -，的直线L 与双曲线只有一个公共点，则直线l 的条数共有（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 21．已知以1(20)F -，,2(20)F ，为焦点的椭圆与直线340x y +=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ） A ．2 B ．6 C ．7 D ．222．双曲线22221x y a b-=与椭圆22221x y m b +=(00)a m b >>>，的离心率互为倒数，那么以a b m ，，为边长的三角形是（ )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形23．已知点(10)(10)A B -，，，及抛物线22y x =，若抛物线上点P 满足PA m PB =，则m 的最大值为（ ） A ．3 B ．2 CD24．设12F F ，是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32x a =上一点,21F PF △是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为( ）A ．12B ．23C ．34D ．4525．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A B ，两点，||AB =则C 的实轴长为（ ）AB． C ．4 D ．826．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A B ，两点,||12AB =，P 为C 准线上一点，则ABP △的面积为（ )A ．18B ．24C ．36D ．48 27．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(42)-，，则它的离心率为（ ） ABCD28．椭圆221ax by +=与直线1y x =-交于A B ，两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则ab的值为（ ） AB. C.29．若椭圆221(00)x y m n m n +=>>，与曲线22||x y m n +=-无焦点,则椭圆的离心率e 的取值范围是（ )A．1) B．(0 C．1) D．(0 30．已知12F F ，分别是椭圆22143x y +=的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与1F A 的延长线、12F F 的延长线以及线段2AF 相切，若(0)M t ，为一个切点,则（ ）A ．2t =B ．2t >C ．2t <D ．t 与2的大小关系不确定31．如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A B ，,交其准线于点C ，若||2||BC BF =，且||3AF =，则此抛物线方程为（ ）A ．29y x =B ．26y x =C ．23y x = D．2y32．已知椭圆2214x y +=的焦点为12F F 、，在长轴12A A 上任取一点M,过M 作垂直于12A A 的直线交椭圆于P ，则使得120PF PF ⋅<的M 点的概率为( D ） ABC ．12D33．以O 为中心,12F F ，为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足12||2||2||MF MO MF ==，则该椭圆的离心率为( ） AB ．23CD34．已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点,点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（ ） A． B ．2 C ．1 D ．035．在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为1242x x =-=，的两点,过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线的顶点坐标为（ ) A ．(29)--， B ．(05)-， C ．(29)-， D ．(16)-，36．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．837．直线3440x y -+=与抛物线24x y =和圆22(1)1x y +-=从左到右的交点依次为A B C D ，，，，则||||AB CD 的值为（ )A ．16B ．116 C ．4 D ．1438．如图，双曲线的中心在坐标原点O ，A C ，分别是双曲线虚轴的上、下端点，B 是双曲线的左顶点,F 是双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点DBDF 的余弦是（ ）ABC D39．设双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为( ）A ．(12]，B ．2]C ．2)D ．(12)，40．已知11()A x y ，是抛物线24y x =上的一个动点，22()B x y ，是椭圆22143x y +=上的一个动点,(10)N ，是一个定点，若AB ∥x 轴,且12x x <，则NAB △的周长l 的取值范围为（ )A ．10(5)3，B ．8(4)，C ．10(4)3，D ．11(5)3，41．2=e ，右焦点(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个根分别为1x ，2x ，则点12()P x x ，在（ ）A ．圆1022=+y x 内 B ．圆1022=+y x 上 C ．圆1022=+y x 外 D ．以上三种情况都有可能42．过双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P ,若M 为线段FP 的中点, 则双曲线的离心率是( )A B C ．2 D43．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上不存在点P 使得右焦点F 关于直线OP(O 为双曲线的中心）的对称点在y轴上，则该双曲线离心率的取值范围为（ )A ．)+∞B ．)+∞C ．D ．44．已知以椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A B C D 45的左准线l ，左．右焦点分别为F 1．F 2，抛物线C 2的准线为l ，焦点是F 2，C 1与C 2的一个交点为P ，则｜PF 2 ）A B C ．4 D ．846．已知F 1、F 2是双曲线 12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两焦点,以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ） A ．4+32 Ｂ．3+1 Ｃ．3—1 Ｄ．213+47．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左顶点、右焦点分别为A 、F,点B （0，b ）,-=+,则该双曲线离心率e 的值为（ ）A ．213+ B C ．215- D ．248．直线l 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右准线,以原点O 为圆心且过双曲线焦点的圆被直线l 分成弧长为2：1的两段，则双曲线的离心率为( )A ．B ．C ．2D ．49．从双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F 引圆222a y x =+的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MT MO -与a b -的大小关系为 A ．a b MT MO ->- B ．a b MT MO -=- C ．a b MT MO -<-D ．不确定．50．点P 为双曲线1C :()0,012222>>=-b a by a x 和圆2C :2222b a y x +=+的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠，其中21,F F 为双曲线1C 的两个焦点,则双曲线1C 的离心率为( ） A ．3B ．21+C ．13+D ．251．设圆锥曲线r 的两个焦点分别为12F F ，，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4：3：2，则曲线r 的离心率等于 A ．1322或B ．23或2C ．12或2 D ．2332或 52．已知点P 为双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，右支上一点，12F F ，分别为双曲线的左、右交点，I 为22PF F △的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ=+△△△成立，则λ的值为( )AB C ．b a D ．ab二、填空题:53．已知12F F ，为椭圆221259x y +=的两个焦点,过1F 的直线交椭圆于A B ，两点．若22||||12F A F B +=，则||AB = ． 54．中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为4，离心率为12的椭圆的方程为 ． 55．9．已知双曲线221y x a-=的一条渐近线与直线230x y -+=垂直,则a = .56．已知P 为椭圆22194x y +=上的点,12F F ，是椭圆的两个焦点，且1260F PF ∠=，则12F PF △ 的面积是 ． 57．已知双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，和椭圆221169x y +=有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 ．58．若双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的一条渐近线与椭圆22143x y +=的焦点在x 轴上的射影恰为该椭圆的焦点,则双曲线的离心率为 ． 59．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，过点2F 做与x 轴垂直的直线与双曲线一个焦点P ，且1230PF F ∠=，则双曲线的渐近线方程为 ．60．已知12F F 、分别为椭圆221259x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上一点,Q 是y 轴上的一个动点，若12||||4PF PF -=，则12()PQ PF PF ⋅-= 。
圆锥曲线的综合问题
[例 1] P(1,1)为椭圆x42＋y22＝1 内的一定点，过 P 点引一 弦，与椭圆相交于 A、B 两点，且 P 恰好为弦 AB 的中点，如 图所示，求弦 AB 所在的直线方程及弦 AB 的长度．
解析：设弦 AB 所在的直线方程为 y－1＝k(x－1)，A、B 两点坐标分别为 (x1，y1)，(x2，y2)，则 x12＋2y21＝4，① x22＋2y22＝4.② ①－②得： (x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ∵P(1,1)为弦 AB 的中点，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2. ∴k＝xy11－－xy22＝－12.
上述两种情形联立方程组消元后，二次项系数为 0，即只 能得到一个一次方程．
思想方法技巧
一、向量法 向量的坐标可以用其起点、终点的坐标表示，因此向量 与解析几何保持着天然的联系．通过向量的坐标可以把解析 几何的很多问题向量化，利用向量的共线、垂直、夹角、距 离等公式巧妙地解决解析几何问题．
二、点差法 涉及到直线被圆锥曲线截得弦的中点问题(即中点弦问题) 时，常用根与系数的关系及点差法求解．
(1)求点 M 的轨迹方程； (2)过点 F(0,1)作互相垂直的两条直线 l1、l2，l1 与点 M 的 轨迹交于点 A、B，l2 与点 M 的轨迹交于点 C、Q，求A→C·Q→B的 最小值．
解析：(1)设 M(x，y)，E(a,0)，由条件知 D(0，－8)， N(a＋2 x，2y＋0)，∵N 在 y 轴上，∴x＝－a， ∵E→D⊥E→M，∴E→D·E→M＝(－a，－8)·(x－a，y)＝－a(x－ a)－8y＝2x2－8y＝0，∴x2＝4y(x≠0)， ∴点 M 的轨迹方程为 x2＝4y(x≠0)．
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，Q(x4，y4)，直线 l1： y＝kx＋1(k≠0)，则直线 l2：y＝－1kx＋1，
圆锥曲线综合题向量PPT
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求证： k1k2 k3k4且k1 k2 k3 k4 0;
( x1 , y1 )、 [解析] (1) 设 点P、Q的 坐 标 分 别 为 x y ( x 2 , y 2 ), 则 1, a b 2 2 x2 y2 2 1, 2 a b
2 2 2
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由OA OB ( x1 x 2 , y1 y2 ), a ( 3,1), OA OB与a共 线, 得 3( y1 y2 ) ( x1 x2 ) 0, 又y1 x1 c , y2 x 2 c , 3( x1 x2 2c ) ( x1 x 2 ) 0, 3 2a c 3c 2 2 x1 x 2 c , 即 2 , a 3 b . 2 2 a b 2 6a c 6 c a b ,故 离 心 率 e . 3 a 3
2 2 4
a a a c 2 2 2 即(b 2 ) x 2 2 cx ( 2 a b ) 0, b b b 4 2 a c 2 2 ( 2 a b ) b x1 x 2 0, 4 a 2 b 2 b 4 4 b a .
2
4
4
4 2
即b a , c a a .
a ab P ( , ). OA 、 OB 、 OF 成 等 比 数 列 , c c 2 a ab A( ,0). PA (0, ). c c
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a ab OP ( , ), c c 2 b ab FP ( , ), c c
【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线综合题
解几综合题1.如图，()A m 和(,)B n 两点分别在射线OS 、OT 上移动，且12OA OB ⋅=-，O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+.（Ⅰ）求m n ⋅的值；（Ⅱ）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？（Ⅲ）若直线l 过点E （2，0）交（Ⅱ）中曲线C 于M 、N 两点，且3ME EN =，求l 的方程.2. 如图，在平面直角坐标系中，已知动点()y x P ,，y PM ⊥轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称， 4=⋅MN OP（1）求动点P 的轨迹W 的方程（2）若点Q 的坐标为()0,2，A 、B 为W 上的两个动点，且满足QB QA ⊥，点Q 到直线AB 的距离为d ，求d 的最大值3. 已知直线l 过椭圆E:2222x y +=的右焦点F ，且与E 相交于,P Q 两点. ① 设1()2OR OP OQ =+（O 为原点），求点R 的轨迹方程；② 若直线l 的倾斜角为060，求1||PF4. 在双曲线1131222=-x y 的上半支有三点A ，B ，C ，其中B 是第一象限的点，F 为双曲的上焦点.若线段AC 的中点D 在直线y=6上，且|AF|，|BF|，|CF|构成等差数列. （Ⅰ）求点B 的坐标；（Ⅱ）若直线l 经过点D ，且在l 上任取一点P （不同于D 点），都存在实数λ，使得 ||||(CP AP +=λ证明：直线l 必过定点，并求出该定点的坐标。
5. 如图，椭圆两焦点F 1、F 2与短轴两端B 1、B 2正好是正方形的四个顶点，且焦点到椭圆上一点最近距离为.12-（I ）求椭圆的标准方程；（II ）过D(0，2)的直线与椭圆交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，设λ=||DN DM ，求λ的取值范围.6. 已知F 1、F 2分别是椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，其左准线与x 轴相交于点N ，并且满足，.2||,221121==F F NF F F （1）求此椭圆的方程；（2）设A 、B 是这个椭圆上的两点，并且满足]31,51[,∈=λλ当NB NA 时，求直线AB 的斜率的取值范围.7. 已知O 为坐标原点，点E 、F 的坐标分别为（-1，0）、（1，0），动点A 、M 、N 满足||||AE m EF =（1m >），0MN AF =⋅，1()2ON OA OF =+，//AM ME ．（Ⅰ）求点M 的轨迹W 的方程； （Ⅱ）点0(,)2mP y 在轨迹W 上，直线PF 交轨迹W 于点Q ，且PF FQ λ=，若12λ≤≤，求实数m 的范围．8. 已知点A （－1，0），B （1，－1）和抛物线.x y C 4:2=，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图.（I ）若△POM 的面积为25，求向量OM 与OP 的夹角； （II ）试探求点O 到直线PQ 的距离是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由.9. 设不等式组⎩⎨⎧x ＋y >0，x －y >0表示的平面区域为D ．区域D 内的动点P 到直线x ＋y ＝0和直线x －y ＝0的距离之积为1．记点P 的轨迹为曲线C ． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点F (2，0)的直线与曲线C 交于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求线段AB 的长．10. 如图，在△OSF 中，c OF a OS OSF ==︒=∠,,90（c a ,均为正常数），E 、P 是平面OSF内的动点，且满足0=⋅OF SE ，),(R ∈=λλ向量PE c PF a +与PE c PF a -垂 直。
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圆锥曲线与向量的综合性问题一、常见基本题型：在向量与圆锥曲线相结合的题目中，主要是利用向量的相等、平行、垂直去寻找坐标之间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合运用。
(1) 问题的条件以向量的形式呈现，间接的考查向量几何性质、运算性质，例1、设(1,0)F ，M 点在x 轴的负半轴上，点P 在y 轴上，且,MP PN PM PF =⊥． 当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹C 的方程； 解：（解法一）MP PN =，故P 为MN 的中点．设(,)N x y ，由M 点在x 轴的负半轴上，则(,0),(0,),(0)2yM x P x ->又(1,0)F ，(,),(1,)22y yPM x PF ∴=--=-又PM PF ⊥，204y PM PF x ∴⋅=-+=所以，点N 的轨迹C 的方程为24(0)y x x => （解法二）MP PN =，故P 为MN 的中点．设(,)N x y ，由M 点在x 轴的负半轴上，则(,0),(0,),(0)2yM x P x -> -又由,MP PN PM PF =⊥，故FN FM =，可得22FN FM = 由(1,0)F ，则有222(1)(1)x y x -+=--，化简得：24(0)y x x => 所以，点N 的轨迹C 的方程为24(0)y x x =>例2、已知椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，离心率5e =，过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆 于A 、B 两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点(1,0)M ，且()MA MB AB +⊥，求直线l 的方程；解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为(,0)c ，因为28y x =的焦点坐标为(2,0)，所以2c =因为c e a ==25a =，21b =故椭圆方程为：2215x y +=（Ⅱ）由（I ）得(2,0)F ，设l 的方程为(2)y k x =-（0k ≠）代入2215x y +=，得， 设1122(,),(,),A x y B x y 则2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++， 12121212(4),()y y k x x y y k x x ∴+=+--=-112212122121(1,)(1,)(2,),(,)MA MB x y x y x x y y AB x x y y ∴+=-+-=+-+=--12212112()0,(2)()()()0MA MB AB x x x x y y y y +⋅=∴+--+-+=2222220420,310,5151k k k k k k ∴--=∴-==++所以直线l的方程为2020x x -=-=或（2）所求问题以向量的形式呈现例3、已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线2y =（1）求椭圆E 的方程；（2）过点C （—1，0），斜率为k 的动直线与椭圆E 相交于A 、B 两点，请问x 轴上 是否存在点M ，使⋅为常数若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请 说明理由。
解：（1）根据条件可知椭圆的焦点在x 轴，且a c ea ====又b =故== 故所求方程为221,553x y +=即5322=+y x ， （2）假设存在点M 符合题意，设AB ：),1(+=x k y 代入53:22=+y x E 得：0536)13(2222=-+++k x k x k)0,(),,(),,(2211m M y x B y x A 设则1353,136********+-=+-=+k k x x k k x x22221211(1)()()MA MB k x x k m x x k m ⋅=++-+++ 221614233(31)m m m k +=+--+ 要使上式与k 无关，则有6140,m += 解得73m =-，存在点)0,37(-M 满足题意。
例4、线段AB 过y 轴上一点()0,N m ，AB 所在直线的斜率为()0k k ≠，两端点A 、B 到y 轴的距离之差为4k .(Ⅰ)求出以y 轴为对称轴，过A 、O 、B 三点的抛物线方程；(Ⅱ)过该抛物线的焦点F 作动弦CD ，过C 、D 两点分别作抛物线的切线，设 其交点为M ，求点M 的轨迹方程，并求出2FC FD FM⋅的值.解：(Ⅰ)设AB 所在直线方程为m kx y +=，抛物线方程为py x 22=， 且()11,y x A ， ()22,y x B ，不妨设01>x ，02<x ∴k x x 421=- 即k x x 421=+把m kx y +=代入py x 22=得0222=--pm pkx x ∴pk x x 221=+，∴k pk 42=∴2=p 故所求抛物线方程为y x 42=(Ⅱ)设⎪⎭⎫ ⎝⎛23341,x x C ，⎪⎭⎫ ⎝⎛24441,x x D则过抛物线上C 、D 两点的切线方程分别是 2334121x x x y -=，2444121x x x y -=∴两条切线的交点M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+4,24343x x x x设CD 的直线方程为1+=nx y ，代入y x 42=得0442=--nx x∴443-=x x 故M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-+1,243x x 点M 的轨迹为1-=y⎪⎭⎫ ⎝⎛-=→--141,233x x FC ⎪⎭⎫⎝⎛-=→--141,244x x FD∴()14141412423242343++-⋅+=⋅→--→--x x x x x x FD FC ()1411242343++-+=x x x x ()2412423-+-=x x而()224321102--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=→--x x FM ()2414422423432423++=+++=x x x x x x 故12-=⋅→--→--→--FMFB FA(3)问题的条件及待求的问题均已向量的形式呈现例5、在直角坐标系xOy 中，1的线段的两端点C 、D 分别在x 轴、y 轴上 滑动，2CP PD =．记点P 的轨迹为曲线E ．（I ）求曲线E 的方程；（II ）经过点（0，1）作直线l 与曲线E 相交于A 、B 两点，,OM OA OB =+当点M 在曲线E 上时，求cos ,OA OB <>的值． 解：（Ⅰ）设C (m ，0)，D (0，n )，P (x ，y )． 由CP →＝2PD →，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －m ＝－2x ，y ＝2(n －y )，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝(2＋1)x ，n ＝2＋12y ，由|CD →|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2，∴(2＋1)2x 2＋(2＋1)22y 2＝(2＋1)2，整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1．（Ⅱ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM →＝OA →＋OB →，知点M 坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0， 则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2．y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2，由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)22＝1，即4k 2(k 2＋2)2＋8(k 2＋2)2＝1，解得k 2＝2．这时x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 2＋x 2)＋1＝－34，(x 21＋y 21)(x 22＋y 22)＝(2－x 21)(2－x 22)＝4－2(x 21＋x 22)＋(x 1x 2)2＝4－2[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＋(x 1x 2)2＝3316，cosOA →，OB →＝x 1x 2＋y 1y 2(x 21＋y 21)(x 22＋y 22)＝－3311．二、针对性练习 1. 已知圆M ：22(5)36x y ++=及定点(5,0)N ，点P 是圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上， 且满足.0,2=⋅=NP GQ NQ NP（1）求点G 的轨迹C 的方程；（2）过点K （2，0）作直线,l 与曲线C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，设OS OA OB =+ ,是否存在这样的直线,l 使四边形OASB 的对角 线相等若存在，求出直线,l 的方程； 若不存在，说明理由.解：（1）由Q NP GQ NQNP ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=02为PN 的中点，且GQ PN GQ ⇒⊥是PN 的中垂线，PG GN ∴=， ∴6PM GM GP GM GN =+=+=＞.52 ∴点G 的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，又.25,3=⇒==b c a∴.14922=+y x （2） ∵.⇒+=OB OA OS 四边形OASB 为平行四边行，假设存在直线1，使⇒=AB OS 四边形OASB 为矩形.OB OA ⊥⇒ 若1的斜率不存在，则1的方程为,2=x由2222169943x x OA OB x y y ==⎧⎧⎪⎪⇒⇒⋅=⎨⎨+=±⎪⎪⎩⎩＞0. 这与0=⋅OB OA 相矛盾， ∴1的斜率存在. 设直线1的方程()()()11222,,,,.y k x A x y B x y =-()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=149222y x x k y ，化简得：()().013636492222=-+-+k x k x k∴(),49136,493622212221+-=+=+k k x x k k x x ∴()()()[]4920422.222212122121+-=++-=--=k k x x x x k x k x k y y由121200OA OB x x y y ⋅=⇒+=∴().2304920491362222±=⇒=+-+-k k k k k ∴存在直线1：0623=--y x 或0623=-+y x 满足条件. 二、针对性练习1.已知过抛物线()022>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于12(,)A x y ,()22,B x y （12x x <）两点，且9=AB ． （1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OB OA OC λ+=，求λ的值． 解：（1）直线AB的方程是)2py x =-,与22y px =联立， 消去y ，得22450x px p -+=，所以4521p x x =+， 由抛物线定义得：921=++=p x x AB ，所以p=4， 抛物线方程为：x y 82=（2）由p=4，,05x 422=+-p px 化简得0452=+-x x ， 从而,4,121==x x 24,2221=-=y y ,从而A(1,22-),B(4,24)设)24,4()22,1()(3,3λ+-==→y x OC =)2422,41(λλ+-+， 又因为3238x y =，即()[]=-21222λ8（41+λ），即14)12(2+=-λλ，解得2,0==λλ或2、在平面直角坐标系内已知两点(1,0)A -、(1,0)B ，若将动点(,)P x y 的横坐标保持不变，倍后得到点()Q x ，且满足1AQ BQ ⋅=.（Ⅰ）求动点P 所在曲线C 的方程；（Ⅱ）过点B作斜率为的直线l 交曲线C 于M 、N 两点，且0OM ON OH ++=， 又点H 关于原点O 的对称点为点G ，试问M 、G 、N 、H 四点是否共圆若共 圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由.解（Ⅰ）设点P 的坐标为(,)x y ，则点Q的坐标为()x ，依据题意，有(1,2),().AQ x y BQ x =+=-221,12 1.AQ BQ x y ⋅=∴-+=∴动点P 所在曲线C 的方程是221.2x y +=（Ⅱ）因直线l 过点B，且斜率为k =:1).l y x =- 联立方程组22121)x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去y ，得22210.x x --=设11(,)M x y 、22(,)N x y ，可得1212112xx x x +=⎧⎪⎨=-⎪⎩，于是12121x x y y +=⎧⎪⎨+⎪⎩.又0OM ON OH ++=，得1212(,),OH x x y y =----即(1,H - 而点G 与点H 关于原点对称，于是，可得点2G若线段MN 、GH 的中垂线分别为1l 和2l，GH k =121:),:.2l y x l y --=联立方程组1)2y x y ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，解得1l 和2l的交点为11(,8O因此，可算得1||O H =1||O M =所以M 、G 、N 、H四点共圆，且圆心坐标为11(,8O。