直线圆锥曲线与向量的综合问题
圆锥曲线与向量小题
圆锥曲线小题专项训练1．已知抛物线x y 82=的准线与双曲线A,B 两点，双曲线的一条渐近线F 是抛物线的焦点，，且△FAB 是直角三角形，则双曲线的标准方程是（ ）2所对应的图形变成方程221x y +=所对应的图形，需经过伸缩变换ϕ为（ ）C.43x x y y '=⎧⎨'=⎩3的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆 上，且满足0=+OB OA （O 为坐标原点），0212=⋅F F AF ，若椭圆的离心率等于则直线AB 的方程是 ( ) ．A ．4．双曲线具有光学性质：“从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点。
”由此可得如下结论：如右图，过双曲线C ：右支上的点P 的切线l 平分12F PF ∠。
现过原点作l 的平行线交1PF 于M ，则||MP 等于（ ）A ．aB ．b CD ．与点P 的位置有关5e右焦点为F (c ,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1,x 2) （ ）A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能6．如图，在ΔABCC ，以A 、H 为焦点的双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3 CD7F 1是左焦点，O 是坐标原点，若双曲线上存在点P ，使1||||PO PF =，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．(]1,2 B ．(1,)+∞ C ．（1，3） D ．[)2,+∞8．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A.34 B. 35 C.2 D. 37 9．M ，N ，P 为椭圆上任意一点，且直线PM则直线PN 的斜率的取值范围是( )A ．B ．C ． ]2,8[--D ． ]8,2[ 10．设221a b +=，()0b ≠，若直线2ax by +=和椭圆（ ） A 、 B 、[]1,1-； C 、(][),11,-∞-+∞ ； D 、[]2,2-. 11．已知实系数方程2(1)10x a x a b +++++=的两根分别为一个椭圆和一个双曲线的离心率，值范围是（ ）A ．(2,1)-- B12．如图，已知点B x 轴下方的端点，过B 作斜率为1的直线交椭圆于点M ，点P 在y 轴上，且PM//x 轴，9=⋅BM BP ，若点P 的坐标为（0，t ），则t 的取值范围是（ ）A ．0<t<3B ．0<t ≤3CD ．0<t 13. 已知圆O 的半径为1，PA,PB 为该圆的两条切线，A,B 为两切点，则PB PA ⋅的最小值为（ ）A ．24+-B ．23+-C ．224+-D ．223+-14.已知双曲线]2,2[),(12222∈∈=-+e R b a by a x 的离心率，则一条渐近线与实轴所构成的角的取值范围是_________．15．给定椭圆12222=+by a x ，如果存在过左焦点F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ，则离心率e 的取值范围是_________.向量小题专项训练1．已知向量21e e +=，2122e e -=，则1e 与2e 共线是与共线的（ ）AC =BA A. B. D.值是（ ）A.33 B.22 C.32 D.43 4．如图),(y x P 是边长为1的正方形内的一点，若PAB ∆，PBC ∆，PCD ∆，PDA ∆面积均不小于61，则PAC AP ∠cos ||的最大值为（ ）A ．322 B ．552 C ．32 D ．22 5．如图抛物线C 1：y 2＝2px 和圆C 2：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＋y 2＝p 24，其中p >0，直线l 经过抛物线C 1的焦点，依次交抛物线C 1，圆C 2于A ，B ，C ，D 四点，则AB →·CD →的值为( )A.p 24 B. p 23 C.p 22D ．p 2 6.若向量a =)(,2x x ，b =)(3,2x -，且a ，b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是 . 7已知O 为ABC ∆的外心， 3,2==AC AB ，12=+y x，若y AB x += )0(≠xy ，则=∠BAC cos.8、设O 为△ABC 的内心，当AB=AC=5，BC=6时，n m +=，则n m +的值为________。
圆锥曲线综合训练题(分专题,含答案)
圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程． （2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程． （1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．（2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系． 解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程. 解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-ky k x . 由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③ 由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．∴所求椭圆方程为1315422=+y x 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即)32,325(P ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,43,13412252222b a ba 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,41522b a （1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程．解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1.（2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ， 即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=uu u v uuu v若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =， 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠， 由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即 ()11,OP x y =u u u r ，()22,OQ x y =u u u r，于是12120x x y y +=，即()()21212110ky y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，2224(1)40k k k k k +-+=g ，解得4k =-或0k =（舍去），又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I ）Θe c a =∴=2422， Θc a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±334分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分） （III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN⊥MQ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩L L L L L L L L ………3分 由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN⊥MQ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。
高二数学平面向量试题
高二数学平面向量试题1.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为侧面BCC1B1的中心．若，则x＋y＋z的值为()A．1B．3/2C．2D．3/4【答案】C【解析】所以则故选C2.若向量，=(m，m+1)，且∥，则实数m的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为两向量平行，所以，所以，故选A．【考点】向量平行的充要条件的坐标表示3.已知向量与的夹角为且，若，且，则实数的值为A．B．1C．2D．【答案】B【解析】因为，所以，所以得．【考点】1．数量积；2．向量垂直．4.已知，，且与夹角为，则等于A．B．C．D．【答案】B【解析】根据与夹角为，可知，所以，故选B．【考点】向量的数量积的定义式，向量数量积的运算法则．5.已知点，曲线C：恒过定点B，P为曲线C上的动点且的最小值为2，则（）A．﹣2B．﹣1C．2D．1【答案】D【解析】曲线C：恒过点B，则令，可得，即，又点，设，则，由于在（0，+∞）上有最小值2，且，故是的极值点，即最小值点．，恒成立，在（0，+∞）上是增函数，所以没有最小值；故不符合题意；当a＞0，时，，函数在是减函数，在是增函数，所以有最小值为，即，解得；故选D．【考点】平面向量数量积的运算．6.已知向量，若，则＝________．【答案】【解析】因为，所以，所以解得，＝【考点】向量模的运算．7.已知向量，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，若，则，解得．【考点】向量共线的坐标表示．8.已知方程x 2+y 2-2x-4y+m=0．（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M，N两点，且（其中O为坐标原点）求m的值；（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．【答案】（1）m＜5；（2）；（3）【解析】（1）将x 2+y 2-2x-4y+m=0转化为：，由方程表示圆，则有5-m＞0．（2）由先将直线与圆方程的联立，由相交于两点，则有，又，得出，由韦达定理求解；（3）线段的中点为圆心，圆心到端点的距离为半径，从而求得结论试题解析：（1）x 2+y 2-2x-4y+m=0即（x-1）2+（y-2）2=5-m（2分）若此方程表示圆，则5-m＞0∴m＜5（2）x=4-2y代入得5y 2-16y+8+m="0"∵△=（-16）2-4×5×（8+m）＞0∴，∵得出：x1x2+y1y2=0而x1x2=（4-2y1）•（4-2y2）=16-8（y1+y2）+4y1y2∴5y1y2-8（y1+y2）+16=0，∴满足故的m值为．（3）设圆心为（a，b），且O点为以MN为直径的圆上的点,半径圆的方程【考点】1．直线与圆相交的性质；2．二元二次方程表示圆的条件9.△ABC中，内角为A，B，C，所对的三边分别是a，b，c，已知，．（1）求；（2）设·,求．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据条件，采取化角的策略，由正弦定理得：，又，所以，所以，展开两边同除以即可；（2）因为·，，所以，则，由余弦定理得，所以，．试题解析：（1）∴（2）∵·，∴，则∴∴，【考点】1、正弦定理；2、余弦定理；3、两角和正弦公式；4、数量积公式．10.已知单位向量两两的夹角均为，且），若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系O-xyz（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作。
向量与圆锥曲线的综合应用
￣Ｐ ｌｌ ｊ・ Ｏ —
由
【 析】 ’ １ ） 解 ． ，， ‘ Ｏ
由 吖 十 Ｄ 得 ＋ Ｆ 产３ ．
由抛物线焦半径公式可得：Ｉ Ｉ Ｂ Ｉ ＋ｌ ＋ Ｆ
ｌ Ｃ Ｉ ｌ １ ： Ｆ №
答案 Ｂ
４￣孕所 ． ｘ 一 柳 ① ｏ ｃ ＝ Ｌ 二一 ｌ Ｊ 一 — 坪 ｔ ＇ ， ＝ 又为 Ｐ｜ 线 一一 ，以 因点在 曲吾善ｌ所 双 上
平面 内的 动 点，满 足 Ｉ ＋ Ｉ・ｌ Ｉ ＭＮ ＭＰ
Ｎ ＝， Ｐ Ｏ 则动 Ａｐｘ ） （， 的轨 迹 方 程 为 （ ） ｙ －
・
Ａ． ￣Ｓ Ｂ． 一８ Ｃ． ４ Ｄ． 一 ｘ ｙ＝ ｘ ｙ ｘ ／＝ ｘ １ ４ ，
【 解析 】
， 由题意知 Ｍ （ ，、 ２ ） ＿０ Ｎ（ｏ， ２） ， ２ ，Ｐ （ Ｚ ． Ｎ ＝ — ｘ
［ ￣ ｌ （）ｆＰ — Ｎ ／ ｉ １ Ｊ— Ｉ Ｆ ＪＦ ・Ｐ ２
，
Ｉ Ｎ Ｉ４ ， Ｍ ＝ 则 Ｖ ４ ）ｆ ，， ０
由 Ｉ ＡＩ・Ｉ Ｉ Ⅳ・ ７ ， ｒ Ｍ ＋ ＾ Ｏ４／ｃ２＋ ＋ 一 ）０化简整理得 一 ｌ （ 。 ， ｘＪ ） ４ ２＝ ， Ｊ ｆ ＋ ＝ ．
一
２ 一＼ ｌ八
一
一
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： ＝ 从而 一 ｏ
ｉ
ＥＩ・ｆ Ａ・Ｅ Ｂ Ｂ ＞ ０‘ Ｅ ．０ ． ．
＜ｅ ＜ 即ｅ 为锐 角． 【 析 】 （） 解 １设 Ｄ ｌ ） ， ， ， Ａ ＝ａ ， ￣ Ｄ ｔＢ －
【 ６ 设抛物线Ｃ ｉ 例 】 的焦点为 Ｆ 动 点Ｐ ， 在 直线ｈ — 一 ＝ 上运动 ， Ｐ作抛物线 ｃ的两条切 Ｙ ２０ 过 线 Ｐ Ｐ 且与抛 物线 ｃ分别相切于 Ａ、 Ａ、 Ｂ， Ｂ两点．
直线与圆锥曲线综合性问题(含答案)
直线与圆锥曲线综合性问题（含答案）一．考点分析。
⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.直线方程是二元一次方程,圆锥曲线方程是二元二次方程,由它们组成的方程组,经过消元得到一个一元二次方程,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是、、.⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为,则它的弦长上面的公式实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为，运用韦达定理来进行计算. 当直线斜率不存在是,则.注:,1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算；2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理，二是点差法；3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围,二是建立不等式，通过解不等式求范围. 二．考试探究圆锥曲线是解析几何的核心内容，也是高考命题的热点之一.高考对圆锥曲线的考查，总体上是以知识应用和问题探究为主，一般是给出曲线方程，讨论曲线的基本元素和简单的几何性质；或给出曲线满足的条件，判断（求）其轨迹；或给出直线与曲线、曲线与曲线的位置关系，讨论与其有关的其他问题（如直线的方程、直线的条数、弦长、曲线中参变量的取值范围等）；或考查圆锥曲线与其他知识综合（如不等式、函数、向量、导数等）的问题等. 1.,（2006年北京卷，文科，19）椭圆C:的两个焦点为F1,F2,点P 在椭圆C 上，且0∆>0∆=0∆<k 1122(,),(,)A x y B x y 1212()y y x x -=-k 12AB y y =-22221(0)x y a b a b+=>>（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 过圆x 2+y 2+4x-2y=0的圆心M ，交椭圆C 于A 、B 两点，且A 、B 关于点M对称，求直线l 的方程.〖解析〗（Ⅰ）由椭圆的定义及勾股定理求出a,b,c 的值即可，（Ⅱ）可以设出A 、B 点的坐标及直线方程，联立直线方程和椭圆方程后利用一元二次方程根与系数关系即可求出直线方程，也可以利用“点差法”求出直线的斜率，然后利用点斜式求出直线方程. 〖答案〗解法一：(Ⅰ)因为点P 在椭圆C 上，所以，a=3.在Rt △PF1F2中，故椭圆的半焦距c=,从而b2=a2－c2=4,所以椭圆C 的方程为＝1. (Ⅱ)设A ，B 的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）.已知圆的方程为（x+2）2+(y －1)2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l 的方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆C 的方程得（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k －27=0. 因为A ，B 关于点M 对称.所以,,,解得， 所以直线l 的方程为,,,,,即8x-9y+25=0. (经检验，所求直线方程符合题意) 解法二： (Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）2+(y －1)2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）.11212414,||,||.33PF F F PF PF ⊥==6221=+=PF PF a ,52212221=-=PF PF F F 54922y x +.29491822221-=++-=+kkk x x 98=k ,1)2(98++=x y,设A ，B 的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且,,,,,,,,,①,,,,,,,,,②由①－②得,,,,,,,,,③因为A 、B 关于点M 对称，所以x1+,x2=－4,,y1+,y2=2,代入③得＝，即直线l 的斜率为，所以直线l 的方程为y －1＝（x+2），即8x －9y+25=0. (经检验，所求直线方程符合题意.) 2．（2008年山东卷，文科，22）已知曲线所围成的封闭图形的面积为曲线的内切圆半径为．记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线．是上异于椭圆中心的点．（1）若（为坐标原点），当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；（2）若是与椭圆的交点，求的面积的最小值．≠,1492121=+yx ,1492222=+yx .04))((9))((21212121=+-++-y y y y x x x x 2121x x y y --98989811(0)xyC a b a b+=>>：1C 32C 1C 2C AB 2C l AB M l MO OA λ=O A 2C M M l 2C AMB △〖解析〗（Ⅰ）由三角形面积公式和点到直线的距离公式可得关于a ，b 的方程组，,曲线与坐标轴的交点为椭圆的顶点，显然为焦点在x 轴的椭圆；（Ⅱ）（1）设出的方程，，，联立直线与椭圆得到方程组后，由可得的轨迹方程，注意或不存在时所得方程仍然成立；（2）由直线的方程：和椭圆方程联立后表示出由不等式放缩即可求出最小值.〖答案〗（Ⅰ）由题意得又，解得，．因此所求椭圆的标准方程为．（Ⅱ）（1）假设所在的直线斜率存在且不为零，设所在直线方程为，．解方程组得，， 所以． 设，由题意知，所以，即， 因为是的垂直平分线，所以直线的方程为，即，因此， 1C 2C AB (0)y kx k =≠()A A A x y ，()M x y ，(0)MO OA λλ=≠M 0k =l 1y x k =-22214AMB S ABOM =△2ab ⎧=⎪⎨=0a b >>25a =24b =22154x y +=AB AB (0)y kx k =≠()A A A x y ，22154x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，222045A x k =+2222045A k y k =+22222222202020(1)454545AAk k OA x y k k k+=+=+=+++()M x y ，(0)MO OA λλ=≠222MO OA λ=2222220(1)45k x y kλ++=+l AB l 1y x k=-x k y =-22222222222220120()4545x y x y x y x y x yλλ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+==++又，所以，故． 又当或不存在时，上式仍然成立．综上所述，的轨迹方程为．（2）当存在且时，由（1）得，， 由解得，， 所以，，． 解法一：由于 ， 当且仅当时等号成立，即时等号成立， 此时面积的最小值是． 当，． 当不存在时，． 综上所述，的面积的最小值为． 解法二：因为， 220x y +≠2225420x y λ+=22245x y λ+=0k=M 222(0)45x y λλ+=≠k 0k ≠222045Ax k =+2222045A k y k=+221541x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，2222054M k x k =+222054M y k =+2222220(1)45AAk OA x y k +=+=+222280(1)445k AB OA k +==+22220(1)54k OM k+=+22214AMBSAB OM =△2222180(1)20(1)44554k k k k++=⨯⨯++2222400(1)(45)(54)k k k +=++22222400(1)45542k k k +⎛⎫+++ ⎪⎝⎭≥222221600(1)4081(1)9k k +⎛⎫== ⎪+⎝⎭224554k k +=+1k =±AMB △409AMB S=△0k=140229AMB S =⨯=>△k 140429AMB S ==>△AMB △409222222111120(1)20(1)4554k k OA OMk k +=+++++2224554920(1)20k k k +++==+。
圆锥曲线综合练习题(有答案)
圆锥曲线综合练习一、 选择题：1．已知椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上,若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．82．直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）A B ．12 C D ．233．设双曲线22219x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．若m 是2和8的等比中项,则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（ )A B C D 5．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M N ，两点，O 为坐标原点．若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 6．已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点,点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．7．双曲线221259x y -=上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为（ ）A ．22或2B ．7C ．22D ．28．P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+= 上的点，则||||PM PN -的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．99．已知点(8)P a ，在抛物线24y px =上,且P 到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离为( ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．1610．在正ABC △中，D AB E AC ∈∈，，向量12DE BC =，则以B C ，为焦点，且过D E ，的双曲线离心率为（ ）A B 1 C 1 D 111．两个正数a b ，的等差中项是92,一个等比中项是a b >，则抛物线2by x a=-的焦点坐标是（ ）A ．5(0)16-， B ．2(0)5-， C ．1(0)5-， D ．1(0)5， 12．已知12A A ，分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点,椭圆C 上异于12A A ，的点P恒满足1249PA PA k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．49 B ．23 C ．59D 513．已知2212221(0)x y F F a b a b+=>>、分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆 上，且满足0OA OB +=(O 为坐标原点)，2120AF F F ⋅=2， 则直线AB 的方程是( ) A ． 22y =B ．22y x =C ．3y =D ．3y = 14．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点(02)M ，的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为A ．3B 17C 5D ．9215．若椭圆221x y m n+=与双曲线221(x y m n p q p q -=，，，均为正数）有共同的焦点F 1,F 2，P 是两曲线的一个公共点，则12||||PF PF ⋅等于 ( ）A ．m p +B ．p m -C ．m p -D ．22m p -16．若()P a b ，是双曲线22416(0)x y m m -=≠上一点，且满足20a b ->，20a b +>，则该点P 一定位于双曲线（ ) A ．右支上 B ．上支上 C ．右支上或上支上 D ．不能确定17．如图，在ABC △中，30CAB CBA ∠=∠=，AC BC ，边上的高分别为BD AE ，，则以A B ， 为焦点，且过D E ，的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（ ) A ．3 B ．1 C ．32D ．218221sin 2sin 3cos 2cos 3=--表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线19．已知12F F ，是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,点P 在椭圆上,且122F PF π∠=记线段1PF 与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若1FOQ △与四边形2OF PQ 的面积之比为1:2,则该椭圆的离心率等于 （ ） A ．23 B ．33 C ．43- D 3120．已知双曲线方程为2214y x -=，过(21)P -，的直线L 与双曲线只有一个公共点，则直线l 的条数共有（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 21．已知以1(20)F -，,2(20)F ，为焦点的椭圆与直线340x y +=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ） A ．2 B ．6 C ．7 D ．222．双曲线22221x y a b-=与椭圆22221x y m b +=(00)a m b >>>，的离心率互为倒数，那么以a b m ，，为边长的三角形是（ )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形23．已知点(10)(10)A B -，，，及抛物线22y x =，若抛物线上点P 满足PA m PB =，则m 的最大值为（ ） A ．3 B ．2 CD24．设12F F ，是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32x a =上一点,21F PF △是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为( ）A ．12B ．23C ．34D ．4525．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A B ，两点，||AB =则C 的实轴长为（ ）AB． C ．4 D ．826．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A B ，两点,||12AB =，P 为C 准线上一点，则ABP △的面积为（ )A ．18B ．24C ．36D ．48 27．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(42)-，，则它的离心率为（ ） ABCD28．椭圆221ax by +=与直线1y x =-交于A B ，两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则ab的值为（ ） AB. C.29．若椭圆221(00)x y m n m n +=>>，与曲线22||x y m n +=-无焦点,则椭圆的离心率e 的取值范围是（ )A．1) B．(0 C．1) D．(0 30．已知12F F ，分别是椭圆22143x y +=的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与1F A 的延长线、12F F 的延长线以及线段2AF 相切，若(0)M t ，为一个切点,则（ ）A ．2t =B ．2t >C ．2t <D ．t 与2的大小关系不确定31．如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A B ，,交其准线于点C ，若||2||BC BF =，且||3AF =，则此抛物线方程为（ ）A ．29y x =B ．26y x =C ．23y x = D．2y32．已知椭圆2214x y +=的焦点为12F F 、，在长轴12A A 上任取一点M,过M 作垂直于12A A 的直线交椭圆于P ，则使得120PF PF ⋅<的M 点的概率为( D ） ABC ．12D33．以O 为中心,12F F ，为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足12||2||2||MF MO MF ==，则该椭圆的离心率为( ） AB ．23CD34．已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点,点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（ ） A． B ．2 C ．1 D ．035．在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为1242x x =-=，的两点,过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线的顶点坐标为（ ) A ．(29)--， B ．(05)-， C ．(29)-， D ．(16)-，36．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．837．直线3440x y -+=与抛物线24x y =和圆22(1)1x y +-=从左到右的交点依次为A B C D ，，，，则||||AB CD 的值为（ )A ．16B ．116 C ．4 D ．1438．如图，双曲线的中心在坐标原点O ，A C ，分别是双曲线虚轴的上、下端点，B 是双曲线的左顶点,F 是双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点DBDF 的余弦是（ ）ABC D39．设双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为( ）A ．(12]，B ．2]C ．2)D ．(12)，40．已知11()A x y ，是抛物线24y x =上的一个动点，22()B x y ，是椭圆22143x y +=上的一个动点,(10)N ，是一个定点，若AB ∥x 轴,且12x x <，则NAB △的周长l 的取值范围为（ )A ．10(5)3，B ．8(4)，C ．10(4)3，D ．11(5)3，41．2=e ，右焦点(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个根分别为1x ，2x ，则点12()P x x ，在（ ）A ．圆1022=+y x 内 B ．圆1022=+y x 上 C ．圆1022=+y x 外 D ．以上三种情况都有可能42．过双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P ,若M 为线段FP 的中点, 则双曲线的离心率是( )A B C ．2 D43．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上不存在点P 使得右焦点F 关于直线OP(O 为双曲线的中心）的对称点在y轴上，则该双曲线离心率的取值范围为（ )A ．)+∞B ．)+∞C ．D ．44．已知以椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A B C D 45的左准线l ，左．右焦点分别为F 1．F 2，抛物线C 2的准线为l ，焦点是F 2，C 1与C 2的一个交点为P ，则｜PF 2 ）A B C ．4 D ．846．已知F 1、F 2是双曲线 12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两焦点,以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ） A ．4+32 Ｂ．3+1 Ｃ．3—1 Ｄ．213+47．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左顶点、右焦点分别为A 、F,点B （0，b ）,-=+,则该双曲线离心率e 的值为（ ）A ．213+ B C ．215- D ．248．直线l 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右准线,以原点O 为圆心且过双曲线焦点的圆被直线l 分成弧长为2：1的两段，则双曲线的离心率为( )A ．B ．C ．2D ．49．从双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F 引圆222a y x =+的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MT MO -与a b -的大小关系为 A ．a b MT MO ->- B ．a b MT MO -=- C ．a b MT MO -<-D ．不确定．50．点P 为双曲线1C :()0,012222>>=-b a by a x 和圆2C :2222b a y x +=+的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠，其中21,F F 为双曲线1C 的两个焦点,则双曲线1C 的离心率为( ） A ．3B ．21+C ．13+D ．251．设圆锥曲线r 的两个焦点分别为12F F ，，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4：3：2，则曲线r 的离心率等于 A ．1322或B ．23或2C ．12或2 D ．2332或 52．已知点P 为双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，右支上一点，12F F ，分别为双曲线的左、右交点，I 为22PF F △的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ=+△△△成立，则λ的值为( )AB C ．b a D ．ab二、填空题:53．已知12F F ，为椭圆221259x y +=的两个焦点,过1F 的直线交椭圆于A B ，两点．若22||||12F A F B +=，则||AB = ． 54．中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为4，离心率为12的椭圆的方程为 ． 55．9．已知双曲线221y x a-=的一条渐近线与直线230x y -+=垂直,则a = .56．已知P 为椭圆22194x y +=上的点,12F F ，是椭圆的两个焦点，且1260F PF ∠=，则12F PF △ 的面积是 ． 57．已知双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，和椭圆221169x y +=有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 ．58．若双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的一条渐近线与椭圆22143x y +=的焦点在x 轴上的射影恰为该椭圆的焦点,则双曲线的离心率为 ． 59．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，过点2F 做与x 轴垂直的直线与双曲线一个焦点P ，且1230PF F ∠=，则双曲线的渐近线方程为 ．60．已知12F F 、分别为椭圆221259x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上一点,Q 是y 轴上的一个动点，若12||||4PF PF -=，则12()PQ PF PF ⋅-= 。
圆锥曲线综合题向量PPT
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求证： k1k2 k3k4且k1 k2 k3 k4 0;
( x1 , y1 )、 [解析] (1) 设 点P、Q的 坐 标 分 别 为 x y ( x 2 , y 2 ), 则 1, a b 2 2 x2 y2 2 1, 2 a b
2 2 2
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由OA OB ( x1 x 2 , y1 y2 ), a ( 3,1), OA OB与a共 线, 得 3( y1 y2 ) ( x1 x2 ) 0, 又y1 x1 c , y2 x 2 c , 3( x1 x2 2c ) ( x1 x 2 ) 0, 3 2a c 3c 2 2 x1 x 2 c , 即 2 , a 3 b . 2 2 a b 2 6a c 6 c a b ,故 离 心 率 e . 3 a 3
2 2 4
a a a c 2 2 2 即(b 2 ) x 2 2 cx ( 2 a b ) 0, b b b 4 2 a c 2 2 ( 2 a b ) b x1 x 2 0, 4 a 2 b 2 b 4 4 b a .
2
4
4
4 2
即b a , c a a .
a ab P ( , ). OA 、 OB 、 OF 成 等 比 数 列 , c c 2 a ab A( ,0). PA (0, ). c c
2
a ab OP ( , ), c c 2 b ab FP ( , ), c c
高考数学二轮复习考点十六《直线与圆锥曲线综合问题》课件
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 3，右焦点到一条渐近 线的距离为 2，则此双曲线的焦距等于( ) A． 3 B．2 3 C．3 D．6
答案 B
|bc＋0| 解析 由题意，得焦点 F(c，0)到渐近线 bx＋ay＝0 的距离为 d＝ a2＋b2 ＝bcc＝b＝ 2，又ac＝ 3，c2＝a2＋b2，解得 c＝ 3，所以该双曲线的焦距为 2c＝2 3，故选 B.
A．若 x1＋x2＝6，则|PQ|＝8 B．以 PQ 为直径的圆与准线 l 相切 C．设 M(0，1)，则|PM|＋|PP1|≥ 2 D．过点 M(0，1)与抛物线 C 有且仅有一个公共点的直线至多有 2 条 答案 ABC
解析 对于 A，因为 p＝2，所以 x1＋x2＋2＝|PQ|，则|PQ|＝8，故 A 正 确；对于 B，设 N 为 PQ 的中点，点 N 在 l 上的射影为 N1，点 Q 在 l 上的射 影为 Q1，则由梯形性质可得|NN1|＝|PP1|＋2 |QQ1|＝|PF|＋2 |QF|＝|P2Q|，故 B 正 确；对于 C，因为 F(1，0)，所以|PM|＋|PP1|＝|PM|＋|PF|≥|MF|＝ 2，故 C 正确；对于 D，显然直线 x＝0，y＝1 与抛物线只有一个公共点，设过 M 斜 率存在的直线的方程为 y＝kx＋1，联立yy＝ 2＝k4xx＋，1，可得 k2x2＋(2k－4)x＋1 ＝0，令 Δ＝0，则 k＝1，所以直线 y＝x＋1 与抛物线也只有一个公共点，此 时有三条直线符合题意，故 D 错误．故选 ABC.
三、填空题 9．若直线 2x＋4y＋m＝0 经过抛物线 y＝2x2 的焦点，则 m＝________.
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直线圆锥曲线与向量的综合问题高考考什么知识要点：1．直线与圆锥曲线的公共点的情况00),(02=++⇒⎩⎨⎧==++C Bx Ax y x f c by ax 曲线：直线：)0'''(2=++C y B y A 或 （1）没有公共点 → 方程组无解 （2）一个公共点 → 0,0)0)=∆≠→=→A ii A i 相切相交（3）两个公共点 → 0,0>∆≠A2．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：1212AB x y y =-=- 3．以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题 4.几何与向量综合时可能出现的向量容（1） 给出直线的方向向量或；（2）给出与相交,等于已知过的中点;（3）给出,等于已知是的中点;（4）给出,等于已知A 、B 与PQ 的中点三点共线;（5） 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线. （6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即（7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角。
（8）给出,等于已知是的平分线。
（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（14）在中，给出等于已知通过的心；（15）在中，给出等于已知是的心（三角形切圆的圆心，三角形的心是三角形三条角平分线的交点）；（16）在中，给出,等于已知是中边的中线;高考怎么考主要题型：1．三点共线问题；2．公共点个数问题；3．弦长问题；4．中点问题；5．定比分点问题；6．对称问题；7．平行与垂直问题；8．角的问题。
近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为（1）考查学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。
（2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。
特别提醒：法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线位置关系的重要工具。
高考真题1.[2012·卷] 若n＝(－2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为________(结果用反三角函数值表示)．．arctan2 [解析] 考查直线的法向量和倾斜角，关键是求出直线的斜率．由已知可得直线的斜率k×1－2＝－1，∴k＝2，k＝tanα，所以直线的倾斜角α＝arctan2.2.[2012·卷] 如图1－3，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．图1－3(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2.由题设条件S △AB 1B 2＝4，得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为： x 220＋y 24＝1. (2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为：x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5，又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以 B 2P →·B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16＝－16m 2＋1m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，得B 2P →·B 2Q →＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.3 [2012·卷] 设A 是单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m >0，且m ≠1)．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；(2)过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H .是否存在m ，使得对任意的k >0，都有PQ ⊥PH ？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)如图(1)，设M (x ，y )，A (x 0，y 0)，则由|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)，可得x ＝x 0，|y |＝m |y 0|，所以x 0＝x ，|y 0|＝1m|y |.①因为点A 在单位圆上运动，所以x 20＋y 20＝1.②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为x 2＋y2m2＝1(m ＞0，且m ≠1)．因为m ∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以当0＜m ＜1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(－1－m 2，0)，(1－m 2，0)；当m ＞1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，－m 2－1)，(0，m 2－1)． (2)方法1：如图(2)、(3)，对任意的k ＞0，设P (x 1，kx 1)，H (x 2，y 2)，则Q (－x 1，－kx 1)，N (0，kx 1)，直线QN 的方程为y ＝2kx ＋kx 1，将其代入椭圆C 的方程并整理可得(m 2＋4k 2)x 2＋4k 2x 1x ＋k 2x 21－m 2＝0.依题意可知此方程的两根为－x 1，x 2，于是由韦达定理可得－x 1＋x 2＝－4k 2x 1m 2＋4k 2，即x 2＝m 2x 1m 2＋4k 2.因为点H 在直线QN 上，所以y 2－kx 1＝2kx 2＝2km 2x 1m 2＋4k 2.于是PQ →＝(－2x 1，－2kx 1)，PH →＝(x 2－x 1，y 2－kx 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2x 1m 2＋4k 2，2km 2x 1m 2＋4k 2. 而PQ ⊥PH 等价于PQ →·PH →＝42－m 2k 2x 21m 2＋4k2＝0，即2－m 2＝0，又m ＞0，得m ＝2， 故存在m ＝2，使得在其对应的椭圆x 2＋y 22＝1上，对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH .方法2：如图(2)、(3)，对任意x 1∈(0,1)，设P (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则Q (－x 1，－y 1)，N (0，y 1)．因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以⎩⎨⎧m 2x 21＋y 21＝m 2，m 2x 22＋y 22＝m 2，两式相减可得m 2(x 21－x 22)＋(y 21－y 22)＝0.③ 依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合，故(x 1－x 2)(x 1＋x 2)≠0.于是由③式可得 y 1－y 2y 1＋y 2x 1－x 2x 1＋x 2＝－m 2.④又Q ，N ，H 三点共线，所以k QN ＝k QH ，即2y 1x 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2.于是由④式可得k PQ ·k PH ＝y 1x 1·y 1－y 2x 1－x 2＝12·y 1－y 2y 1＋y 2x 1－x 2x 1＋x 2＝－m 22.而PQ ⊥PH 等价于k PQ ·k PH ＝－1，即－m 22＝－1，又m ＞0，得m ＝2，故存在m ＝2，使得在其对应的椭圆x 2＋y 22＝1上，对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH .4大纲文数 [2011·全国卷] 已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：x 2＋y 22＝1在y 轴正半轴上的焦点，过F 且图1－4斜率为－2的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足OA →＋OB →＋OP →＝0. (1)证明：点P 在C 上；(2)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上． 【解答】 (1)证明：F (0,1)，l 的方程为y ＝－2x ＋1，代入x 2＋y 22＝1并化简得4x 2－22x －1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，则x 1＝2－64，x 2＝2＋64， x 1＋x 2＝22，y 1＋y 2＝－2(x 1＋x 2)＋2＝1，由题意得x 3＝－(x 1＋x 2)＝－22，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－1.所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－1. 经验证，点P 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－1满足方程x 2＋y 22＝1，故点P 在椭圆C 上．(2)证明：由P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－1和题设知Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1，PQ 的垂直平分线l 1的方程为y ＝－22x .①设AB 的中点为M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫24，12，AB 的垂直平分线l 2的方程为y ＝22x ＋14.②由①、②得l 1、l 2的交点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－28，18.|NP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋282＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－182＝3118， |AB |＝1＋－22·|x 2－x 1|＝322，|AM |＝324，|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24＋282＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－182＝338， |NA |＝|AM |2＋|MN |2＝3118，故|NP |＝|NA |.又|NP |＝|NQ |，|NA |＝|NB |， 所以|NA |＝|NP |＝|NB |＝|NQ |，由此知A 、P 、B 、Q 四点在以N 为圆心，NA 为半径的圆上．5 [2012·卷] 如图椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8. (1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q .试探究：在坐标平面是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．解：解法一：(1)因为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以4a ＝8，a ＝2.又因为e ＝12，即c a ＝12，所以c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝ 3. 故椭圆E 的方程是x 24＋y 23＝1.(2)由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且Δ＝0， 即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*)此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m ，3m .由⎩⎨⎧x ＝4，y ＝kx ＋m 得Q (4,4k ＋m )．假设平面存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．设M (x 1,0)，则MP →·MQ →＝0对满足(*)式的m 、k 恒成立．因为MP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4km－x 1，3m ，MQ →＝(4－x 1,4k ＋m )，由MP →·MQ →＝0，得－16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21＋12k m ＋3＝0，整理，得(4x 1－4)km ＋x 21－4x 1＋3＝0.(**)由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，所以⎩⎨⎧4x 1－4＝0，x 21－4x 1＋3＝0，解得x 1＝1.故存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .解法二：(1)同解法一．(2)由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且Δ＝0， 即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*)此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m ，3m .由⎩⎨⎧x ＝4，y ＝kx ＋m ，得Q (4,4k ＋m )．假设平面存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．取k ＝0，m ＝3，此时P (0，3)，Q (4，3)，以PQ 为直径的圆为(x －2)2＋(y －3)2＝4，交x 轴于点M 1(1,0)，M 2(3,0)；取k ＝－12，m ＝2，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，Q (4,0)，以PQ 为直径的圆为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342＝4516，交x 轴于点M 3(1,0)，M 4(4,0)．所以若符合条件的点M 存在，则M 的坐标必为(1,0)． 以下证明M (1,0)就是满足条件的点：因为M 的坐标为(1,0)，所以MP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4km－1，3m ，MQ →＝(3,4k ＋m )，从而MP →·MQ →＝－12k m －3＋12k m＋3＝0，故恒有MP →⊥MQ →，即存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .突破重难点例1．过点P (x ,y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A,B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =且1OQ AB •=，则点P 的轨迹方程是（ D ）A ．22331(0,0)2x y x y +=>> B ．22331(0,0)2x y x y -=>> C ．22331(0,0)2x y x y -=>> D ．22331(0,0)2x y x y +=>>例2． 已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)解法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2，将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16， 所以x 2B ＝164＋k2，又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2A ， 即164＋k 2＝161＋4k 2， 解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .解法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx . 将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2，由OB →＝2OA →， 得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k 2，将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2， 解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .例3.在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线y2＝2x 相交于A 、B 两点．（1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解]（1）设过点T(3,0)的直线l 交抛物线y 2=2x 于点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2). 当直线l 的钭率不存在时,直线l 的方程为x=3,此时,直线l 与抛物线相交于 点A(3,6)、B(3,－6). ∴OB OA ⋅=3；当直线l 的钭率存在时,设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠，由22(3)y x y k x =⎧⎨=-⎩得 2122606ky y k y y --=⇒=- 又 ∵ 22112211,22x y x y ==，∴2121212121()34•=+=+=OA OB x x y y y y y y ，综上所述，命题“如果直线l 过点T(3,0)，那么OB OA ⋅=3”是真命题；(2)逆命题是：设直线l 交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果OB OA ⋅=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(21,1)，此时•OA OB =3,直线AB 的方程为：2(1)3y x =+，而T(3,0)不在直线AB 上；说明：由抛物线y 2=2x 上的点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2) 满足OB OA ⋅=3，可得y 1y 2=－6，或y 1y 2=2，如果y 1y 2=－6，可证得直线AB 过点(3,0)；如果y 1y 2=2， 可证得直线AB 过点(－1,0),而不过点(3,0).例4已知A,B 为抛物线x 2=2py (p >0)上异于原点的两点，0OA OB ⋅=，点C 坐标为（0，2p ）（1）求证：A,B,C 三点共线；（2）若AM ＝BM λ（R ∈λ）且0OM AB ⋅=试求点M 的轨迹方程。