圆锥曲线大题11，向量内积为定值，点乘双根法更便捷
圆锥曲线齐次式与点乘双根法
+ = y 圆锥曲线齐次式与点乘双根法一，圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值x 2 y 2例 1：Q 1 , Q 2 为椭圆 2b 2 + b2 线OD ，求 D 的轨迹方程.= 1上两个动点，且OQ 1 ⊥ OQ 2 ，过原点O 作直线Q 1Q 2 的垂解法一（常规方法）：设Q 1 (x 1 , y 1 ),Q 2 (x 2 , y 2 ) ， D (x 0 , y 0 ) ,设直线Q 1Q 2 方程为 y = kx + m ，⎧ y = kx + m⎪联立⎨ x 2 ⎪⎩ 2b 2 y 2b2 1 化简可得:(2b 2k 2 + b 2 )x 2 + 4kmb 2 x + 2b 2 (m 2 - b 2 ) = 0 ，所以x 1x 2 = 2b 2 (m 2 + b 2 ) 2b 2k 2 + b 2, y 1 y 2 = b 2 (m 2 - 2b 2k 2 ) 2b 2k 2 + b 2因为OQ 1 ⊥ OQ 2 所以2b 2 (m 2 + b 2 ) b 2 (m 2 - 2b 2k 2 ) 2(m 2 - b 2 )m 2 - 2b 2k 2x 1x 2 + y 1 y 2 = 2b 2k 2 + b 2 + 2b 2k 2 + b 2 = 2k 2+1 + 2k 2 +1 =0∴3m 2 = 2b 2 (1+ k 2 ) *又因为直线 Q Q 方程等价于为 y - y = - x0 (x - xx x 2) ， 即 y = - 0 x + 0 + y对比于1 2 0y 0 y 0⎨ 20 00 0y y ⎧- x 0 = k y = kx + m ，则⎪ y 0x 代入* 中，化简可得： x 2 + y 2= 2b 2. 3 ⎪ 0 + y = m ⎪ y 0 ⎩ 0解法二（齐次式）：⎧ mx + ny= 1 ⎧ mx + ny = 1 ⎪ ⎪ 设直线Q 1Q 2 方程为 mx + ny = 1，联立⎨ x 2 + y 2 =⇒ ⎨ x 2 + y 2- =⎪⎩ 2b2b21⎪⎩ 2b2 b21 0x 2 y22x 2 y 2 2 2 2 22b 2 + (m x + ny ) b 2= 0 化简可得: 2b 2 + m x b 2- n y- 2mnxy = 0 整理成关于 x , y x , y 的齐次式： (2 - 2b 2n 2 ) y 2 + (1- 2m 2b 2 ) x 2 - 4mnb 2xy = 0 ，进而两边同时除以 x 2，则2 2 2 2 2 21- 2m 2b 2(2 - 2b n )k - 4mnb k +1- 2m b= 0 ⇒ k 1k 2 =2 - 2b 2n 21- 2m 2b 2因为OQ 1 ⊥ OQ 2 OQ 1 ⊥ OQ 2 所以 k 1k 2 = -1，2 - 2b 2n2= -1∴3 = 2b 2 (m 2 + n 2 ) *又因为直线 Q Q 方程等价于为 y - y = - x0 (x - xx x 2) ， 即 y = - 0 x + 0 + y 对比于1 2⎧x 0= my 0 y 0⎪ x 2 + y 22mx + ny = 1，则⎨ 0 0y 代入* 中，化简可得： x 2+ y 2= b 2 .3 0 = n ⎪ x 2 + y 2 ⎩ 0 0例 2：已知椭圆 x 2 + 24= 1，设直线l 不经过点P (0,1) 的直线交于 A , B 两点，若直线 PA , PB 的斜率之和为-1，证明：直线l 恒过定点.⎩ ⎩解：以点 P 为坐标原点，建立新的直角坐标系 x ' py ' ，如图所示：旧坐标 新坐标(x , y ) ⇒ (x ', y ')即(0,1) ⇒ (0, 0)⎧ x ' = x ⎧ A → A ' 所以⎨ y ' = y -1 ⇒ ⎨B → B '原来 k + k = -1⇒y 1 -1 + y 2 -1 = -1 则转换到新坐标就成为： y 1 ' + y 2 '= -1PAPBx x x ' x ' 1 21 2即k 1 '+ k 2 ' = -1设直线l 方程为： mx '+ ny ' = 1原方程： x 2 + 4 y 2 = 4 则转换到新坐标就成为： x '2 + 4( y '+1)2= 4展开得： x '2 + 4 y '2+ 8 y ' = 0⎨⎪x' ⎩ ⎩ 构造齐次式： x '2 + 4 y '2+ 8 y '(mx '+ ny ') = 0整理为： (4 + 8n ) y '2 + 8mx ' y '+ x '2= 0两边同时除以 x '2 ，则(4 + 8n )k '2+ 8mk '+1 = 0所以 k '+ k ' = -8m= -1 所以 2m - 2n = 1 ⇒ m = n + 1124 + 8n 21 x '而 mx '+ ny ' = 1 ∴(n + )x '+ ny ' = 1 ⇒ n (x '+ y ') + -1 = 0 对于任意 n 都成立.2 2⎧x '+ y ' = 0则： ⎪⇒ -1 = 0 ⎩ 2⎧ x ' = 2 ⎨ y ' = -2，故对应原坐标为⎧ x = 2 ⎨ y = -1所以恒过定点(2, -1) .x 2例 3：已知椭圆y 2+ = 1，过其上一定点 P (2,1) 作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭 8 2圆于 A , B 两点，证明：直线 AB 斜率为定值.解：以点 P 为坐标原点，建立新的直角坐标系 x ' py ' ，如图所示：旧坐标新坐标(x , y ) ⇒ (x ', y ')即(2,1) ⇒ (0, 0)所以⎧x ' =x - 2⇒⎧A →A '⎨y '=y -1⎨B →B '⎩⎩原来k +k = 0 ⇒ y1-1+y2-1= 0 则转换到新坐标就成为：y1'+y2'= 0PA PB x - 2 x -1 x ' x '1 2 1 2即k1 '+k2' = 0设直线 AB 方程为： mx '+ny ' = 1原方程： x2 + 4 y2 = 8 则转换到新坐标就成为： (x '+ 2)2 + 4( y '+1)2 = 8 展开得： x '2 + 4 y '2 + 4x '+ 8 y ' = 0构造齐次式： x '2 + 4 y '2 + 4x '(mx '+ny ') + 8 y '(mx '+ny ') = 0整理为： y '2 (4 + 8n) +x ' y '(4n + 8m) + (1 + 4m)x '2 = 0两边同时除以 x '2 ，则(4 + 8n)k '2 + (4n + 8m)k '+1+ 4m = 0所以 k '+k ' =-4n + 8m= 0 所以 n =-2m1 2 4 +8n1而mx '+ny ' = 1 ∴mx '+ (-2m) y ' = 1 ⇒mx - 2my -1 = 0 .所以k =21平移变换，斜率不变，所以直线AB 斜率为定值.21 2 1 1 2 2 1 2 1 21 二，点乘双根法例 4：设椭圆中心在原点O ，长轴在 x 轴上，上顶点为 A ，左右顶点分别为 F 1 , F 2 ，线段OF 1 ,OF 2 中点分别为 B 1 , B 2 ，且△AB 1B 2 是面积为 4 的直角三角形.（1） 求其椭圆的方程（2） 过 B 1 作直线l 交椭圆于 P , Q 两点，使 PB 2 ⊥ QB 2 ，求直线l 的方程.x 2y 2解：（1） + = 20 4（2）易知：直线l 不与轴垂直，则设直线l 方程为： y = k (x + 2) ， P (x 1, y 1 ), Q (x 2 , y 2 )因为 PB ⊥ QB，则，22PB 2 QB 2 =0所以(x - 2, y )(x - 2, y ) = 0 ⇒ (x - 2)(x - 2) + k 2(x + 2)(x + 2) = 0 *⎧ y = k (x + 2) ⎪2 2 2现联立⎨ x 2+ y 2 = ⇒ x ⎩ 20 4+ 5k (x + 2) - 20 = 0则方程 x 2 + 5k 2 (x + 2)2 - 20 = 0 可以等价转化(1+ 5k 2)( x - x )( x - x ) = 012即 x 2 + 5k 2 (x + 2)2 - 20 = (1+ 5k 2)(x - x )(x - x )令 x = 2 ， 4 + 80k 2- 20 = (1+ 5k 2)( x 1 - 2)( x 2 - 2) ⇒ ( x 1 - 2)( x 2 - 2) =80k 2 -16 1+ 5k 2令 x = -2 ， 4 + 0 - 20 = (1+ 5k 2)( x + 2)( x + 2) ⇒ ( x + 2)( x + 2) = -161 2 1 21+ 5k 21结合(x1 - 2)(x2- 2) +k (x1 + 2)(x2 + 2) = 0 *化简可得：80k 2 -161+ 5k 2+-16= 01+ 5k 280k 2 -16k 2 -16 = 0 ⇒ 64k 2 =16 ⇒k 2 =1∴k =±1 4 2所以直线l 方程为： y =± 1(x + 2) . 22。
高考全国卷圆锥曲线解答题中的定值问题
ʏ广东省佛山市顺德区容山中学 潘敬贞圆锥曲线中的定值问题内容丰富多彩,通常有线段为定值,线段之比为定值,线段之积为定值,两条直线斜率的运算为定值,夹角为定值,面积为定值,某个量的系数运算为定值,向量数量积为定值等问题,这些问题往往具有强大的几何背景,其求解思路一般是:(1)先由特殊寻找出定值,然后证明;(2)直接推理,消掉参数得到所求几何量为定值㊂圆锥曲线中的定值问题的求解对分析问题和解决问题的能力要求比较高,需要同学们具备一定的运算求解能力㊁推理论证能力,以及丰富的解题经验㊂针对各类定值问题,文章结合实例厘清各类问题的求解思路,目的是帮助同学们提高备考的针对性和有效性㊂一、线段之比为定值线段之比为定值问题就是当某个动点在运动时,两条线段都与某一个或几个参数有联系,通过代数变形,化简后即可得到线段之比为定值㊂例1 已知F 1,F 2分别为椭圆C :x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的左焦点和右焦点,M 为C 上的动点,其中动点M 到左焦点F 1的最短距离为1,且当әM F 1F 2的面积最大时,әM F 1F 2恰好为等边三角形㊂(1)求椭圆C 的方程㊂(2)斜率为k 的动直线l 过点F 2,且与椭圆C 交于A ,B 两点,线段A B 的垂直平分线交x 轴于点P ㊂试问:P F 2|A B |是否为定值若是,请求出该定值;若不是,请说明理由㊂解析:(1)设F 1F 2=2c ,由题意可知a -c =1,a =2c ,解得a =2,c =1,所以b =a 2-c 2=3,故椭圆C 的方程为x 24+y23=1㊂(2)P F 2|A B |为定值㊂由题意可知,动直线l 的方程为y =k (x-1),联立x 24+y23=1,y =k (x -1),消去y 整理得3+4k 2 x 2-8k 2x +4k 2-3=0㊂设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2,则x 1+x 2=8k 23+4k 2,x 1x 2=4k 2-33+4k2㊂设A B 的中点为Q x 0,y 0,则x 0=x 1+x 22=4k 23+4k 2,y 0=k x 0-1 =-3k3+4k2㊂当k ʂ0时,线段A B 的垂直平分线的方程为y --3k 3+4k 2=-1k x -4k23+4k2,令y =0,解得x =k23+4k2,所以P F 2=k 23+4k 2-1=31+k 23+4k2㊂A B=x 1-x 2 2+y 1-y 22=1+k 2x 1+x 2 2-4x 1x 2=12k 2+13+4k2㊂所以P F 2|A B |=31+k 23+4k 2121+k 23+4k2=14㊂当k =0时,l 的方程为y =0,此时A B =2a =4,P F 2=c =1,故P F 2|A B |=14㊂ 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年4月综上所得,|P F 2||A B |为定值14㊂评注:由于直线A B 经过定点,因此在写其方程时只有一个参数(斜率k ),由弦长公式即可用参数k 表示线段A B ,又线段A B 的垂直平分线的斜率为-1k,故也可用参数k 表示线段P F 2,此时只需对线段之比化简即可得到结论㊂本题求解的关键是在写直线方程和用参数k 表示线段的过程中,需要讨论斜率k 是否为零㊂二㊁线段之积为定值线段之积为定值问题的求解原理与线段之比为定值问题的求解原理基本一样㊂例2已知椭圆C :x 2a 2+y2b2=1a >b >0的左顶点和下顶点分别为A ,B ,|A B |=25,过椭圆C 的焦点且与长轴垂直的弦长为2㊂(1)求椭圆C 的方程;(2)已知M 为椭圆C 上一动点(M 不与A ,B 重合),直线A M 与y 轴交于点P ,直线B M 与x 轴交于点Q ,证明:|A Q |㊃|B P |为定值㊂解析:(1)由题意可知a 2+b 2=20,2b2a=2,解得a =4,b =2,所以椭圆C 的方程为x 216+y24=1㊂(2)由题意及(1)知A (-4,0),B (0,-2),设M x 0,y 0 ,P 0,y P ,Q x Q ,0 ,因为M 在椭圆C 上,所以x 20+4y 20=16,由A ,P ,M 三点共线得y P 4=y 0x 0+4,即y P =4y 0x 0+4,同理可得x Q =2x 0y 0+2㊂所以|A Q |㊃|B P |=|x Q +4|㊃|y P +2|=2x 0+4y 0+8x 0+4㊃2x 0+4y 0+8y 0+2=4x 20+4y 20+16+4x 0y 0+8x 0+16y 0x 0+4 y 0+2 =432+4x 0y 0+8x 0+16y 0x 0+4 y 0+2 =16㊂所以|A Q |㊃|B P |为定值16㊂评注:本题求解时,先设点M x 0,y 0,然后用三点共线原理顺利实现用点M 的坐标表示线段|A Q |与线段|B P |,此题化简过程显得尤为关键,最后一步还需要由点M 在椭圆上得x 20+4y 20=16,并将其代入代数式进行化简㊂三㊁直线斜率运算为定值直线斜率运算包括加减运算和乘除运算,直线斜率运算为定值问题反映两条直线在运动过程中其斜率运算满足某个特殊的关系式㊂例3已知椭圆E :x 2a 2+y2b2=1a >b >0的离心率为32,短轴长为2㊂(1)求椭圆E 的方程;(2)过点M -4,0且斜率不为0的直线l 与E 自左向右依次交于点B ,C ,点N 在线段B C 上,且M BM C=N BN C,P 为线段B C 的中点,记直线O P ,O N 的斜率分别为k 1,k 2,求证:k 1k 2为定值㊂解析:(1)由题意及椭圆的性质可知ca=32,2b =2,则1-b 2a2=34,所以a 2=4,故椭圆E 的方程为x 24+y 2=1㊂(2)由题意可知直线l 的斜率一定存在,故设直线l 的方程为y =k (x +4),设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),N (x 3,y 3),P (x 0,y 0),联立x 24+y 2=1,y =k (x +4),消去y 整理得(4k 2+1)x 2+32k 2x +64k 2-4=0,由Δ=16(1-12k 2)>0,得0<k 2<112,所以x 1+x 2=-32k 24k 2+1,x 1x 2=64k 2-44k 2+1,所以x 0=-16k24k 2+1,y 0=k (x 0+4)=4k 4k 2+1,所以P -16k 24k 2+1,4k4k 2+1㊂因为M BM C=N BN C ,所以x 1+4x 2+4=x 3-x 1x 2-x 3,知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年4月解得x 3=2x 1x 2+4(x 1+x 2)x 1+x 2+8=2ˑ64k 2-44k 2+1+4ˑ-3k 24k 2+1-32k24k 2+1+8=-1,y 3=3k ,所以N (-1,3k ),故k 1k 2=y 0x 0㊃y 3x 3=-14kˑ(-3k )=34,即k 1k 2为定值㊂评注:本题第(2)问求解的关键是将直线的斜率坐标化㊁代数化,在化简过程中充分利用条件M B M C =N BN C,并将这一条件转化为坐标问题,然后化简得到所需的等式㊂本题的综合性强,计算量大,属于较难试题㊂四㊁夹角为定值夹角为定值问题就是当直线在运动的过程中,某个角度大小不变,其求解思路是:将夹角为定值问题转化为直线的位置关系问题,同时还要注意利用向量工具助力求解㊂例4 已知点P (-2,y 0)为抛物线C :x 2=2p y (p >0)上一点,F 为抛物线C 的焦点,抛物线C 在点P 处的切线与y 轴相交于点Q ,且әF P Q 的面积为2㊂(1)求抛物线C 的方程;(2)设直线l 经过点(2,5)交抛物线C 于M ,N 两点(异于点P ),求证:øM P N 的大小为定值㊂解析:(1)因为әF P Q 的面积为2,所以12|F Q |㊃2=2,即|F Q |=2㊂因为x 2=2p y ,所以y =x 22p ,求导得y '=xp ,所以点P 处的切线的斜率为-2p,切线的方程为y -y 0=-2p (x +2),令x =0,可得y =y 0-4p =2p -4p =-2p ,所以p 2+2p =2,解得p =2,所以抛物线C 的方程为x 2=4y ㊂(2)设M x 1,x 214,N x 2,x 224,设直线l 的方程为y =k (x -2)+5,联立y =k (x -2)+5,x 2=4y ,消去y 整理得x 2-4k x +8k -20=0,所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=8k -20㊂因为P (-2,1),所以P M ң=x 1+2,x 214-1,P N ң=x 2+2,x 224-1,所以P M ң㊃P N ң=(x 1+2)(x 2+2)+x 214-1x 224-1=x 1x 2+2(x 1+x 2)+4+x 21x 2216-(x 1+x 2)2-2x 1x 24+1=8k -20+8k+(8k -20)216-16k 2-16k +404+5=0,所以P M ңʅP N ң,所以øP MN 的大小为定值90ʎ㊂评注:本题的求解是将夹角为定值问题转化为直线的位置关系问题,再借助向量工具即可得证㊂本题难度不大,求解思路清晰,过程简洁㊂五㊁向量的数量积为定值例5 在平面直角坐标系x O y中,过椭圆C :x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的右焦点F的直线x +y -2=0交椭圆C 于A ,B 两点,P 为A B 的中点,且O P 的斜率为13㊂(1)求椭圆C 的方程㊂(2)设过点F 的直线l (不与坐标轴垂直)与椭圆C 交于D ,E 两点,试问:在x 轴上是否存在定点M ,使得MD ң㊃M E ң为定值若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由㊂解析:(1)由题意可设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (x 0,y 0),则x 21a 2+y 21b 2=1,x 22a 2+y 22b 2=1,两式相减可得,(x 1-x 2)(x 1+x 2)a2+(y 1-y 2)(y 1+y 2)b 2=0㊂又因为y 1-y 2x 1-x 2=-1,P 为A B 的中点,且O P 的斜率为13,所以y 0=13x 0,即y 1+y 2=13x 1+x 2,所以可解得a 2=3b 2,即a 2=3a 2-c 2,即a 2= 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年4月32c 2,又因为c =2,所以a 2=6,所以椭圆C 的方程为x 26+y22=1㊂(2)设直线l 的方程为y =k x -2,代入椭圆C 的方程x 26+y 22=1,化简整理得3k 2+1x 2-12k 2x +12k 2-6=0,设D x 3,y 3 ,E (x 4,y 4),则x 3+x 4=12k21+3k2,x 3x 4=12k 2-61+3k2㊂假设x 轴上存在定点M t ,0,使得MD ң㊃M E ң为定值,则有MD ң㊃M E ң=(x 3-t ,y 3)(x 4-t ,y 4)=(x 3-t )(x 4-t )+y 3y 4=(x 3-t )(x 4-t )+k 2(x 3-2)(x 4-2)=(k 2+1)x 3x 4-(2k 2+t )(x 3+x 4)+4k 2+t2=(k 2+1)12k 2-61+3k 2-(2k 2+t )12k 21+3k2+4k 2+t 2=(3t 2-12t +10)k 2+t 2-61+3k2,要使上式为定值,即与k 无关,则应有3t 2-12t +10=3(t 2-6),解得t =73,故当点M 的坐标为73,0时,MD ң㊃M E ң为定值㊂评注:本题以存在性设问,有一定的开放性㊂由于是证明向量的数量积为定值,所以可用向量的坐标运算直接将问题代数化,此时只需联立直线和曲线的方程,并借助韦达定理,最后通过等式代换化简即可㊂六、面积为定值例6 已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32,过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1㊂(1)求椭圆C 的方程;图1(2)如图1,设M 为椭圆上位于第一象限内的一个动点,A ,B 分别为椭圆的左顶点和下顶点,直线M B 与x 轴交于点C ,直线M A 与y 轴交于点D ,求证:四边形A B C D 的面积为定值㊂解析:(1)由已知可得ca=32,2b2a=1,a 2=b 2+c 2,解得a =2,b =1,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1㊂(2)因为椭圆C 的方程为x 24+y 2=1,所以A (-2,0),B (0,-1)㊂由题意可设M (m ,n )(m >0,n >0),则m 24+n 2=1,即m 2+4n 2=4㊂所以直线B M 的方程为y =n +1mx -1,令y =0,得x C =mn +1㊂同理可得,直线A M 的方程为y =n m +2(x +2),令x =0,得y D =2nm +2㊂所以S 四边形A B C D =12㊃A C ㊃B D =12㊃mn +1+2㊃2n m +2+1=12㊃(m +2n +2)2(m +2)(n +1)=12㊃4m n +4m +8n +8m n +m +2n +2=2㊂所以四边形A B C D 的面积为定值2㊂评注:本题求解的关键是将线段坐标化,从而实现将面积代数化㊂首先设M (m ,n )(m >0,n >0),得m 2+4n 2=4,直线B M 的方程为y =n +1m x -1,从而x C =mn +1,同理得y D =2n m +2,所以S 四边形A B C D =12ˑ|A C |ˑ|B D |=12ˑm n +1+2ˑ2nm +2+1,最后通过化简即可证明四边形A B C D 的面积为定值2㊂本文结合实例对圆锥曲线中的定值问题进行了梳理,希望同学们在平时的学习中,能根据以上六大类问题逐一分析,动手求解,经常思考和反思,不断积累解题经验,从而提升自身的数学综合能力㊂(责任编辑 王福华)知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年4月。
高中解析几何简化计算之点乘双根法
（ Ⅰ）
设 P（ m，0）
则→PA = （ →PA·P→B
x1 =（
，－Am（ ，xy1 ，1 ）y1，）P→，BB=（
x1 － m） （ x2 －
x2 ，y2 ） ， （ x2 － m，y2 m） + y1 y2
）， =（
x1
－
m）
（
x2
－
m） + k2 （ x1 － 1） （ x2 － 1） ．
解题技巧与方法
JIETI JIQIAO YU FANGFA
131
高中解析几何简化计算之点乘双根法
◎陈俊健 （ 广西南宁市第三中学（ 青山校区） ，广西 南宁 530021）
【摘要】高中解析几何在求解圆锥曲线与直线问题的时 候，通常需要联立方程，利用韦达定理去求解． 利用韦达定 理进行运算求解时，稍不注意就容易出错． 在求解点乘或者 斜率乘积为定值，甚至求 x1 x2 ，y1 y2 的时候，我们可以改进 解法，引入 点 乘 双 根 法，避 开 韦 达 定 理，简 化 计 算，减 少 失误．
C：
x2 a2
+
y2 b2
= 1 （ a ＞ b ＞ 0） 上，且椭圆的
离心率为
1 2
．
（ 1） 求椭圆 C 的方程．
（ 2） 若 M 为椭圆 C 的右顶点，点 A，B 是椭圆 C 上不同
的两点（
均异于
M）
且满足直线
MA
与
MB
斜率之积为
1 4
．
试判断直线 AB 是否过定点？ 若是，求出定点坐标； 若不是，
定理进行繁杂计算的过程，达到简化计算、提高解题速度的
效果，下面举例说明．
例 1 （ 2018 年西南四省名校高三第一次大联考） 已知
用齐次式解圆锥曲线定值问题的注意事项
用齐次式解圆锥曲线定值问题的注意事项齐次式解圆锥曲线定值问题是高等数学中的一个重要内容，它是解析几何的一个重要分支。
在解决定值问题时，我们需要注意一些事项，这些事项对于正确解题非常重要。
本文将从圆锥曲线的概念、齐次式解题的基本原理和注意事项等方面进行介绍。
一、圆锥曲线的概念圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容，它包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
圆锥曲线是通过平面和圆锥体的相交而成的曲线，它具有很多重要的数学性质和应用。
在圆锥曲线中，椭圆、双曲线和抛物线都可以用二次方程的形式表示，而圆则有特殊的表示形式。
在解定值问题时，我们主要关注的是椭圆、双曲线和抛物线。
二、齐次式解题的基本原理在解析几何中，齐次式是解决几何问题的一种基本方法。
齐次式解题的基本原理是将空间中的几何问题转化为代数问题，通过代数的方法来求解几何问题。
齐次式解题的一个核心思想是将几何问题转化为代数问题，然后用代数的方法来解决问题。
对于圆锥曲线定值问题，我们通常采用齐次式解题的方法。
通过齐次式的方法，我们可以将定值问题转化为一个齐次方程组的解法问题，然后通过求解齐次方程组来得到几何问题的解答。
三、注意事项在使用齐次式解题的过程中，我们需要注意以下几个方面。
1.确定问题的类型和条件在解决定值问题时，我们首先要确定问题的类型和条件。
例如，在解决椭圆、双曲线和抛物线的定值问题时，我们要确定问题的类型，然后根据问题的条件来确定解题的方法和步骤。
不同类型的圆锥曲线问题有不同的解题方法和步骤，我们需要根据具体问题的条件来确定解题的思路。
2.转化为标准形式在使用齐次式解题的过程中，我们通常要将问题转化为标准形式。
例如，在解决椭圆的定值问题时，我们通常要将椭圆的方程转化为标准形式，然后再利用齐次式解题的方法来求解问题。
转化为标准形式可以使问题更清晰地呈现在我们面前，有利于我们进行后续的解题过程。
3.利用齐次式解题的方法在解决定值问题时，我们要善于利用齐次式解题的方法。
【经典高考】高考数学 圆锥曲线齐次式与点乘双根法
一，圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值例1：12,Q Q 为椭圆222212x y b b+=上两个动点，且12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，求D 的轨迹方程.解法一（常规方法）：设111222(,),(,)Q x y Q x y ，00(,)D x y ,设直线12Q Q 方程为y kx m =+，联立222212y kx mx y bb =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简可得: 22222222(2)42()0b k b x kmb x b m b +++-=，所以 222222212122222222()(2),22b m b b m b k x x y y b k b b k b+-==++ 因为12OQ OQ ⊥所以2222222222221212222222222()(2)2()2=0222121b m b b m b k m b m b k x x y y b k b b k b k k +---+=+=+++++ 22232(1)m b k ∴=+*又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即200000x x y x y y y =-++对比于y kx m =+，则00200x k y x y my ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩代入*中，化简可得：2220023x y b +=.解法二（齐次式）：设直线12Q Q 方程为1mx ny +=，联立222222221111022mx ny mx ny x y x y b b b b+=+=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+=+-=⎪⎪⎩⎩ 22222()02x y mx ny b b +-+=化简可得:22222222202x y m x n y mnxy b b+---= 整理成关于,x y ,x y 的齐次式：2222222(22)(12)40b n y m b x mnb xy -+--=，进而两边同时除以2x ，则22222222122212(22)412022m b b n k mnb k m b k k b n---+-=⇒=- 因为12OQ OQ ⊥12OQ OQ ⊥所以121k k =-，222212122m b b n-=-- 22232()b m n ∴=+*又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即200000x x y x y y y =-++对比于1mx ny +=，则0220002200x m x y y n x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩代入*中，化简可得：2220023x y b +=.例2：已知椭圆2214x y +=，设直线l 不经过点(0,1)P 的直线交于,A B 两点，若直线,PA PB的斜率之和为1-，证明：直线l 恒过定点.解：以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系''x py ，如图所示：旧坐标 新坐标(,)(',')x y x y ⇒即(0,1)(0,0)⇒所以'''1'x x A A y y B B =→⎧⎧⇒⎨⎨=-→⎩⎩原来12121111PA PB y y k k x x --+=-⇒+=-则转换到新坐标就成为：1212''1''y y x x +=- 12''1k k +=-即设直线l 方程为：''1mx ny +=原方程：2244x y +=则转换到新坐标就成为：22'4('1)4x y ++=展开得：22'4'8'0x y y ++=构造齐次式：22'4'8'('')0x y y mx ny +++=整理为：22(48)'8'''0n y mx y x +++=两边同时除以2'x ，则2(48)'8'10n k mk +++=所以128''148m k k n +=-=-+所以12212m n m n -=⇒=+而''1mx ny +=1'()''1('')1022x n x ny n x y ∴++=⇒++-=对于任意n 都成立. 则：''0'2''2102x y x x y +=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=--=⎩⎪⎩，故对应原坐标为21x y =⎧⎨=-⎩所以恒过定点(2,1)-. 例3：已知椭圆22182x y +=，过其上一定点(2,1)P 作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭圆于,A B 两点，证明：直线AB 斜率为定值.解：以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系''x py ，如图所示：旧坐标 新坐标(,)(',')x y x y ⇒即(2,1)(0,0)⇒所以'2''1'x x A A y y B B =-→⎧⎧⇒⎨⎨=-→⎩⎩原来1212110021PA PB y y k k x x --+=⇒+=--则转换到新坐标就成为：1212''0''y y x x += 12''0k k +=即设直线AB 方程为：''1mx ny +=原方程：2248x y +=则转换到新坐标就成为：22('2)4('1)8x y +++=展开得：22'4'4'8'0x y x y +++=构造齐次式：22'4'4'('')8'('')0x y x mx ny y mx ny +++++=整理为：22'(48)''(48)(14)'0y n x y n m m x +++++=两边同时除以2'x ，则2(48)'(48)'140n k n m k m +++++=所以1248''048n mk k n++=-=+所以2n m =-而''1mx ny +='(2)'1210mx m y mx my ∴+-=⇒--=.所以1=2k 平移变换，斜率不变，所以直线AB 斜率为定值12.二，点乘双根法例4：设椭圆中心在原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左右顶点分别为12,F F ，线段12,OF OF 中点分别为12,B B ，且12AB B △是面积为4的直角三角形.（1）求其椭圆的方程（2）过1B 作直线l 交椭圆于,P Q 两点，使22PB QB ⊥，求直线l 的方程.解：（1）221204x y +=（2）易知：直线l 不与轴垂直，则设直线l 方程为：(2)y k x =+，1122(,),(,)P x y Q x y 因为22PB QB ⊥，则22=0PB QB ，所以211221212(2,)(2,)0(2)(2)(2)(2)0x y x y x x k x x --=⇒--+++=*现联立22222(2)5(2)2001204y k x x k x x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩则方程2225(2)200x k x ++-=可以等价转化212(15)()()0k x x x x +--= 即2222125(2)20(15)()()x k x k x x x x ++-=+--令2x =，22212122801648020(15)(2)(2)(2)(2)15k k k x x x x k -+-=+--⇒--=+令2x =-，212122164020(15)(2)(2)(2)(2)15k x x x x k -+-=+++⇒++=+结合21212(2)(2)(2)(2)0x x k x x --+++=*化简可得：22280161601515k k k --+=++2222118016160641642k k k k k --=⇒=⇒=∴=±所以直线l 方程为：1(2)2y x =±+.。
第11课_圆锥曲线中的定点、定值问题
x1
x2
x1x2
即 k m 2 代入 y kx m
那么 k(x 1) y 2x ，即直线 AB 过定点 (1,2)
另外，当直线垂直 x 轴时，设 A(x1, y1) ， B(x1, y1) ，代入 k1 k2 4 ， 易得 x1 1，即直线 AB 的方程为 x 1 ，也过定点 (1,2)
，直线过定点
(1,2)
f
(x,
y)
g(x,
y)
0
，则曲线以
f (x, g(x,
y) y)
0 0
的交点为定点。
【典例分析】
例 1．如图，过抛物线 y 2 x 上一点 A(4,2) 作倾斜角互补的两条直线 AB, AC 交 抛物线于 B, C 两点，求证：直线 BC 的斜率是定值。
证明：显然直线 AB, AC 的斜率都不是零，设 AB 的直线方程是 y k(x 4) 2 ，
k1
k1k 2 [ x
(
2
k
2 2
m)] ，
即 y k1k2 (x m) 2 ，
直线 MN 恒过定点 (m,2) .
【典例分析】
变式训练3. 已知椭圆方程 x2 y2 1 ，过点 P(0,2) 分别作直线 PA, PB 交椭圆于 A, B 两点，设直线 84
PA， PB的斜率分别为 k1 ， k2 ，且 k1 k2 4 ，求证：直线 AB 过定点
第11课 圆锥曲线中的定点、定值问题
【要点梳理】
1．解析几何中，定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是一个难点， 解决这类问题并没有常规方法，但基本思想是明确的，那就是定点、定值必 然是在变化中所表现出来的不变量，所以可运用函数的思想方法，结合等式 的恒成立求解，也就是说要与题中的可变量无关。
圆锥曲线中的定值问题(解析版)-学霸养成2022高考数学压轴大题必杀技系列之圆锥曲线
专题6 圆锥曲线中的定值问题一、考情分析求定值是圆锥曲线中颇有难度的一类问题,也是备受高考关注的一类问题,由于它在解题之前不知道定值的结果,因而更增添了题目的神秘色彩.解决这类问题时,要善于运用辩证的观点去思考分析,在动点的“变”中寻求定值的“不变”性,用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值,揭开神秘的面纱,这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题,从而找到解决问题的突破口.同时有许多定值问题,通过特殊探索法不但能够确定出定值,还可以为我们提供解题的线索.二、解题秘籍(一) 定值问题解题思路与策略定值问题肯定含有参数, 若要证明一个式子是定值, 则意味着参数是不影响结果的, 也就是说参数在解式子的过程中都可以消掉, 因此解决定值问题的关键是设参数：(1)在解析几何中参数可能是点（注意如果设点是两个参数时, 注意横坐标要满足圆锥曲线方程）(2)可能是角（这里的角常常是将圆锥曲线上的点设为三角函数角的形式）,(3)也可能是斜率（这个是最常用的, 但是既然设斜率了, 就要考虑斜率是否存在的情况）常用的参数就是以上三种, 但是注意我们设参数时要遵循一个原则：参数越少越好.因此定值问题的解题思路是：(1)设参数；(2)用参数来表示要求定值的式子；(3)消参数.2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．【例1】(2022届河北省张家口市高三上学期期末)已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的离心率为2,右顶点D（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l与双曲线C交于,A B两点,且0,OA OB O⋅=为坐标原点,点O到直线l的距离是否为定值？若是,求出这个定值；若不是,请说明理由.【分析】（1）结合双曲线的离心率,顶点到渐近线的距离求得,a b,由此求得双曲线C的方程.（2）根据直线l 与坐标轴平行或不平行两种情况进行分析,结合根与系数关系以及0OA OB ⋅=列方程,化简后根据点到直线距离公式求得O 点到直线l 的距离. 【解析】（1）由题意,得双曲线C 的渐近线方程为by x a=±, 右顶点为(),0D a .又222+=a b c ,,2ab c e c a====, 所以12a c =,故b = 又2234a a +=,解得21a =, 所以双曲线C 的方程为2213y x -=. （2）设()()1122,,,A x y B x y .当直线l 和轴线平行时,1122,x y x y ==,解得1122x y x y ====, 所以点O 到直线l当直线l 和轴线不平行时, 设直线l 的方程为x my t =+,由221,3y x x my t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得()222316330m y mty t -++-=, ()()()22222Δ(6)4313312310mt m t m t =---=+->,所以2121222633,3131mt t y y y y m m --+==--. 又1122,x my t x my t =+=+,所以()()()()2212121212121210OA OB x x y y my t my t y y m y y mt y y t ⋅=+=+++=++++=,得()()()2222222133631031m t m t t m m +--+-=-,解得22233t m =+.又点O 到直线l的距离为d ,则222312tdm==+,故d=所以点O到直线l【例2】（2022届上海市松江区高三一模）2222Γ:1(0,0).x ya b y xa b-=>>=已知双曲线的焦距为渐近线方程为（1）求双曲线Γ的方程；（2）若对任意的m R∈,直线y kx m=+与双曲线Γ总有公共点,求实数k的取值范围；（3）若过点()1,0的直线l与双曲线Γ交于M N､两点,问在x轴上是否存在定点P,使得PM PN⋅为常数？若存在,求出点P的坐标及此常数的值,若不存在,请说明理由.【分析】（1）由离心率及渐近线方程求出,a b即可得双曲线方程；（2）联立直线与双曲线方程,消元得方程,分类讨论,当方程为一元一次方程时不符合题意,当方程为一元二次方程时利用判别式求解即可;（3）假设存在P, 计算PM PN⋅,根据韦达定理化简,当满足7202a-=时,PM PN⋅为常数.【解析】（1）由题意可知,bca==因为222c a b=+,所以1a b==,所以双曲线的方程为2212xy-=；（2）联立221,2xyy kx m⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得222(12)42(1)0k x kmx m---+=,当2120k-=时,此时易知0m=时,直线与双曲线没有公共点,不符合题意,所以2120-≠k,且0∆≥,即222(4)8(12)(1)0km k m+-+≥,所以2221m k≥-,所以2210k-<,解得k<<所以k<<（3）设1122(,),(,)(,)，M x y N x y P a b , 所以1122(,),(,)PM x a y PN x a y =-=-,当斜率不存在时,可知不符合,所以设直线(1)y k x =-, 所以2121212()PM PN x x a x x a y y ⋅=-+++ 22221212(1)()()k x x a k x x a k =+-++++,①联立2212(1)x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩,得2222(12)42(1)0k x k x k -+-+=, 所以22121222422,2121k k x x x x k k ++==-- ②, 把②代入①化简得：2222227234232221221ak k a PM PN a a a k k --+⋅=+=-++--, 所以当7202a -=时,得74a =,此时1716PM PN ⋅=. (二) 与线段长度有关的定值问题与线段长度有关的定值问题通常是先引入 参数,利用距离公式或弦长公式得到长度解析式,再对解析式化简,得出结果为定值【例3】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ,点⎭在椭圆C 上,过椭圆C 的右焦点F 作与x 轴垂直的直线与椭圆相交于D 、E 两点,且四边形12A DA E 的面积为6． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线()()22y k x m m =--<<与椭圆C 相交于M 、N 两点,且与x 轴相交于点P ,若22PM PN +的值与m 无关,求斜率k 的值．【分析】（1）根据题干条件可得出关于a 、b 的方程组,解出这两个量的值,即可得出椭圆C 的标准方程； （2）联立直线与椭圆的方程,设点()11,M x y 、()22,N x y ,列出韦达定理,可得出22PM PN +的表达式并化简,结合已知条件可求得k 的值. 【解析】（1）由题意知122A A a =．将x c =代入椭圆C 的方程得2b y a =±,所以22bDE a=, 所以由四边形12A DA E 的面积为6,得2121122622b A A DE a a ⋅=⨯⨯=,所以b =又点⎭在椭圆C 上,所以222312a b +=,所以,2a =. 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）由()22143y k x m x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,消去y 得()222223484120k x k mx k m +-+-=, 则()()()422222226443441248430k m k k m k k m ∆=-+-=+->．设()11,M x y 、()22,N x y ,则2122834k mx x k +=+,2212241234k m x x k -=+, 易知(),0P m ,所以()()()22212221P k x m x N m M P ⎡⎤=+-+-+⎣⎦()()()2221212121222k x x x x m x x m ⎡⎤=++--++⎣⎦()2222222222841281222343434k m k m k m k m m k k k ⎡⎤⎛⎫-=+-⨯-⨯+⎢⎥ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()2222221643243434k m k k k +⎡⎤=--++⎣⎦+．由上式可知要使22PM PN +的值与m 无关,必有2430k -=,解得k = 所以直线()y k x m =-的斜率k的值为 (三)与面积有关的定值问题【例4】与面积有关的定值问题通常是利用面积公式把面积表示成某些变量的表达式,再利用题中条件化简. 已知O 为坐标原点,椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>的右顶点为A ,动直线l ：()11y x m =-与Γ相交于B ,C 两点,点B 关于x 轴的对称点为B ',点B '到Γ的两焦点的距离之和为4． （1）求Γ的标准方程．（2）若直线B C '与x 轴交于点M ,OAC ,AMC 的面积分别为1S ,2S ,问12S S 是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由．【分析】（1）用椭圆的定义及性质即可得解；（2）利用“设而不求法”表示出OAC ,AMC 的面积,即可求出12S S . 【解析】（1）由对称性得点B '在椭圆Γ上,根据点B '到Γ的两焦点的距离之和为4及椭圆的定义,得24a =,解得2a =． 因为Γ所以c a =所以c =所以222431b a c =-=-=所以Γ的标准方程为2214x y +=．（2）12S S 是定值,且该定值为1．理由如下：由()221,411,x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()22144my y ++=,即()224230m y my ++-=． 设()11,B x y ,()22,C x y ,则()11,B x y '-,且12224m y y m +=-+,12234y y m =-+． 易得直线B C '的方程为112121y y x x y y x x +-=+-, 令0y =,得211121x x x y x y y -=++ ()1211211my y y my y y -=+++22121112211my y my my my y y y -++=++121221my y y y =++223241424m m m m -⨯+=+=-+． 所以当m 变化时,直线B C '与x 轴交于定点()4,0M ． 所以1222114212CCOA OA S S AM AM y y ⨯⨯=⨯=-⨯==, 即12S S 是定值,且定值为1．(四) 与斜率有关的定值问题与斜率有关的定值问题常见类型是斜率之积商或斜率之和差为定值,求解时一般先利用斜率公式写出表达式,再利用题中条件或韦达定理化简.【例5】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,直线21y x =-与抛物线交于M ,N 两点,且||||4MF NF +=． （1）求抛物线C 的方程；（2）若(4P ,)(0)m m >是抛物线C 上一点,过点(1,4)Q -的直线与抛物线C 交于A ,B 两点（均与点P 不重合）,设直线PA ,PB 的斜率分别为1k ,2k ,求证：12k k 为定值．【分析】(1)联立直线和抛物线方程,根据抛物线定义和焦半径公式得到12||||22p pMF NF x x +=+++,根据韦达定理可得到最终结果；（2）代入点P 坐标可得到参数m 的值,设直线AB 的方程为1(4)x t y -=+,联立该直线和抛物线方程,34123434343444161644(4)(4)4()16y y k k x x y y y y y y --=⨯==--+++++,代入韦达定理可得到最终结果.【解析】（1）设点1(M x ,1)y ,点2(N x ,2)y ,联立2221y pxy x ⎧=⎨=-⎩,整理得24(42)10x p x -++=, ∴1242142p px x ++==+, 由抛物线的定义知12||||14222p p pMF NF x x p +=+++=++=, 解得2p =,∴抛物线C 的方程为24y x =．（2）(4P ,)(0)m m >为抛物线C 上一点,4m ∴=,即(4,4)P ,设3(A x ,3)y ,4(B x ,4)y ,直线AB 的方程为1(4)x t y -=+,由21(1)4x t y y x-=+⎧⎨=⎩,消去x 得241640y ty t ---=, 344y y t ∴+=,34164y y t =--,34123434343444161616444(4)(4)4()1616444163y y k k x x y y y y y y t t --=⨯====--+++++--+⨯+, 即12k k 为定值．(五) 与向量有关的定值问题与向量有关的定值问题常见类型是根据向量共线,写出向量系数的表达式,再通过计算得出与向量系数有关的定值结论；或利用向量得数量级运算得出定值.【例6】（2022届广东省广州市高三上学期12月调研）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>1F,2F 分别为椭圆C 的左,右焦点,M 为椭圆C 上一点,12MF F △的周长为4+（1）求椭圆C 的方程；（2）P 为圆225x y +=上任意一点,过P 作椭圆C 的两条切线,切点分别为A ,B ,判断PA PB ⋅是否为定值?若是,求出定值：若不是,说明理由,【分析】（1）由离心率和焦点三角形周长可求出,a c ,结合关系式得出b ,即可得出椭圆C 的方程； （2）由PB 平行于y 轴特殊情况求出0PA PB ⋅=,即1PA PB k k ⋅=-；当PB 平行于y 轴时,设过P 的直线为()00y k x x y =-+,联立椭圆方程,令0∆=化简得关于k 的二次方程,由韦达定理即可求解. 【解析】（1）由题可知,224c e a c a ==+=+解得2,a c ==又222a b c =+,解得1b =,故椭圆的标准方程为：2214x y +=；（2）如图所示,当PB 平行于y 轴时,PA 恰好平行于x 轴,()()()0,12,0,2,1A B P ,()()2,0,0,1PA PB =-=-,0PA PB ⋅=； 当PB 不平行于y 轴时,设()00,P x y ,设过点P 的直线为()00y k x x y =-+, 联立()220014x y y k x x y ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得()()()2220000418410k x k y kx x y kx ⎡⎤++-+--=⎣⎦, 令0∆=得()()()2222000064164110k y kx k y kx ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦,化简得 ()22200004210x k x y k y --+-=,设12,PA PB k k k k ==,则20122014y k k x -⋅=-,又22005x y +=,故220012220014144y x k k x x --⋅===---,即0PA PB ⋅=. 综上所述,0PA PB ⋅=.【例7】（2022届上海市金山区高三上学期一模）已知()0,1P 为椭圆C ：22143x y +=内一定点,Q 为直线l ：3y =上一动点,直线PQ 与椭圆C 交于A ､B 两点（点B 位于P ､Q 两点之间）,O 为坐标原点.（1）当直线PQ 的倾斜角为4π时,求直线OQ 的斜率； （2）当AOB 的面积为32时,求点Q 的横坐标；（3）设AP PB λ=,AB BQ μ=,试问λμ-是否为定值？若是,请求出该定值；若不是,请说明理由.【分析】（1）先得到直线PQ 的方程为：1y x =+,由13y x y =+⎧⎨=⎩得到Q 的坐标求解；（2）设直线PQ 的方程为1y kx =+,由221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,结合韦达定理求得12x x -,再由121322AOB S OP x x =⋅-=求解.（3）设直线PQ 的方程为()1x m y =-,由()221431x y x m y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,得到()()()224318180m y y +-+--=,,有()()1212228811,114343y y y y m m -+-=--⋅-=-++,再根据AP PB λ=,AB BQ μ=,得到12121122221333,11333y y y y y y y y y y λμ---+--====-+----求解.【解析】（1）因为直线PQ 的倾斜角为4π,且()0,1P , 所以直线PQ 的方程为：1y x =+,由13y x y =+⎧⎨=⎩,得()2,3Q , 所以直线OQ 的斜率是32OQ k =；（2）易知直线PQ 的斜率存在,设直线PQ 的方程为1y kx =+,由221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得()2234880k x kx ++-=, 设()()1122,,,A x y B x y ,则12122288,3434k x x x x k k +=-⋅=-++,所以12x x -==所以121322AOBSOP x x =⋅-==, 解得214k =,即12k =±, 所以直线PQ 的方程为112y x =+或112y x =-+, 由1123y x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩,得()4,3Q ； 由1123y x y ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩,得()4,3Q -； （3）易知直线PQ 的斜率存在,设直线PQ 的方程为()1x m y =-, 由()221431x y x m y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,得()()()224318180m y y +-+--=,设()()1122,,,A x y B x y ,则()()1212228811,114343y y y y m m -+-=--⋅-=-++, 所以()()12121111y y y y -+-=-⋅-, 因为AP PB λ=,AB BQ μ=, 所以12121122221333,11333y y y y y y y y y y λμ---+--====-+----, 所以112213113y y y y λμ---=++--, ()()()()()()1111222112111113y y y y y y ⎡⎤-+-+--⎣⎦=+=--.(六) 与代数式有关的定值问题与代数式有关的定值问题．一般是依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值【例8】已知A ,B 是双曲线221:13y C x -=的左、右顶点,P 是双曲线1C 上不同于A ,B 的一点． （1）若线段PB 的垂直平分线分别交PB ,P A 于点(),M M M x y ,(),N N N x y ,求M N x x -；（2）若O 为坐标原点,射线OP 交椭圆222:13y C x +=于点Q ,设直线P A ,PB ,QA ,QB 的斜率分别为1k ,2k ,3k ,4k ,求22221234k k k k +--的值．【分析】（1）由双曲线1C 的方程可得()1,0A -,()10B ,,设()()000,P x y x ≠1,则001,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭,写出直线PB , P A 的方程,联立求解得N x ,即可求解； （2）由斜率公式结合题意求解即可【解析】（1）由双曲线1C 的方程可得()1,0A -,()10B ,,设()()000,P x y x ≠1, 又M 是线段PB 的中点,则001,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭ 直线PB 的斜率为001y x -,直线P A 的斜率为001y x +, 又PB MN ⊥,则直线MN 的方程为00001122y x x y x y -+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, 即2000001122x x y y x y y --=++, 又直线P A 的方程为00(1)1y y x x =++, 联立得()2220000011(1)221x y y x x x x --++=++, 代入()220031y x =-,消去2y ,解得0214x x -=, 即0214N x x -=,则001213244M N x x x x +--=-=． （2）设()11,Q x y ,则0000111112342200110122111111y y x y y y x y k k k k x x x x x x +++=+++=++-+---, 易知220013y x -=,221113y x +=,化简得011234016x x k k k k y y ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭,因为O ,P ,Q 三点共线,所以0101y y x x =, 所以12340k k k k +++=．易知20001220003111y y y k k x x x =⋅==+--,同理可得343k k =-, 由12340k k k k +++=,得22221212343422k k k k k k k k ++=++,所以2222123412k k k k +--=-．(六) 与定值有关的结论1.若点A ,B 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上关于原点对称的两点,点P 是椭圆C 上与A ,B 不重合的点,则22PA PBb k k a⋅=-；2.若点A ,B 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>上关于原点对称的两点,点P 是双曲线C 上与A ,B 不重合的点,则22PA PBb k k a⋅=. 3.设点是椭圆C ：上一定点,点A,B 是椭圆C 上不同于P 的两点,若0PA PB k k +=,则直线AB 斜率为定值；4. 设点是双曲线C ：一定点,点A,B 是双曲线C 上不同于P 的两点,若0PA PB k k +=,直线AB 斜率为定值； 5. 设点是抛物线C ：一定点,点A,B 是抛物线C 上不同于P 的两点,若0PA PB k k +=,直线AB 斜率为定值. 6.设,,A B C 是椭圆上不同3点,B,C 关于x 轴对称,直线AC,BC 与x 轴分别交于点,M N ,则2OM ON a =.7.点A ,B 是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上动点,O 为坐标原点,若OA OB ⊥,则2211OA OB+=2211a b +（即点O 到直线AB 为定值）8. 经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线,与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2,则212||||PA PA b ⋅=.9. 过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点,弦MN 的垂直平分线交x轴于P,则||||2PF eMN =. 10. 点P 为椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点,过P 引x 轴、y 轴的平行线,交y 轴、x 轴于,M N ,交直线by x a=-于,Q R ,记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ,则：(),P m n ()222210x y a b a b+=>>()220bm n an ≠(),P m n ()222210,0x y a b a b-=>>()220bm n an-≠(),P m n ()220y px p =>()0pn n-≠()222210x y a b a b+=>>122ab S S +=. 【例9】（2022届上海市黄浦区高三一模）设常数0m >且1m ≠,椭圆Γ：2221x y m +=,点P 是Γ上的动点．（1）若点P 的坐标为()2,0,求Γ的焦点坐标；（2）设3m =,若定点A 的坐标为()2,0,求PA 的最大值与最小值； （3）设12m =,若Γ上的另一动点Q 满足OP OQ ⊥（O 为坐标原点）,求证：O 到直线PQ 的距离是定值．【分析】（1）由题可得2m =,c =即得；（2）由题可得()222282459x PA x y x =-+=-+,利用二次函数的性质即得； （3）当直线PQ 斜率存在时设其方程为y kx t =+,联立椭圆方程可得()2224210k x ktx t +++-=,利用韦达定理及条件可得2215k t +=,进而可得O 到直线PQ 的距离为定值,当直线PQ 斜率不存在时,可得x =易得O 到直线PQ 的距离为定值,即证.【解析】（1）∵椭圆Γ：2221x y m +=,点P 的坐标为()2,0,∵2m =,c∵Γ的焦点坐标为()),；（2）设(),P x y ,又()2,0A ,由题知2219x y +=,即2219x y =-,∵()()222222288912214599942x x PA x y x x x ⎛⎫=-+=-+-=-+=-+ ⎪⎝⎭,又33x -≤≤,∵当3x =-时,2PA 取得最大值为25；当94x =时,2PA 取得最小值为12；∵PA 的最大值为5,. （3） 当12m =时,椭圆Γ：2241x y +=, 设()()1122,,,P x y Q x y ,当直线PQ 斜率存在时设其方程为y kx t =+,则由2241y kx t x y =+⎧⎨+=⎩,得()2224210k x ktx t +++-=, ∵()()()222212122221,,2441044kt t x x x x kt k t k k--+==∆=-+->++, 由OP OQ ⊥可知0OP OQ ⋅=,即12120x x y y +=,∵()()12120x x kx t kx t +++=,即()()22121210k x x kt x x t ++++=,∵()22222121044t ktk kt t k k--+⋅+⋅+=++,可得2215k t +=,满足0∆>,∵O 到直线PQ 的距离为d ==为定值；当直线PQ 斜率不存在时,OP OQ ⊥,可得直线方程为x =,O 到直线PQ综上,O 到直线PQ 的距离是定值． 三、跟踪检测1．如图,点M 是圆22:(1)16A x y ++=上任意点,点(0,1)B ,线段MB 的垂直平分线交半径AM 于点P ,当点M 在圆A 上运动时,（1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）//BQ x 轴,交轨迹E 于Q 点（Q 点在y 轴的右侧）,直线:l x my n =+与E 交于,C D （l 不过Q 点）两点,且直线CQ 与直线DQ 关于直线BQ 对称,则直线l 具备以下哪个性质？证明你的结论？ ∵直线l 恒过定点；∵m 为定值；∵n 为定值．【分析】（1）根据题意得P 的轨迹E 是以A ,B 为焦点,长轴长为4的椭圆,进而根据椭圆的定义求解即可； （2）根据题意0CQ DQ k k +=,再设1122()()C x y D x y ，，，,进而直线l 与椭圆联立方程,结合韦达定理得整理得(21)(223)0m m n -+-=,再根据C ,D ,Q 三点不共线得12m =. 【解析】（1）如图,由A 方程,得(0,1)A -,半径4r =,∵P 在BM 的垂直平分线上,∵PM PB =, 所以||||||||||4||2PA PB PA PM AM AB +=+==>=, ∵P 的轨迹E 是以A ,B 为焦点,长轴长为4的椭圆, 由24a =,则2a =,1c =,23b =,∵点P 的轨迹E 的方程为22143y x +=．（2）解：∵直线l 与轨迹E 交于C ,D 两点,设1122()()C x y D x y ，，，,如图22143x my n y x=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x ,得22()143y my n ++=, 整理,得222(34)84120m y mny n +++-=,122834mn y y m +=-+，212241234n y y m -=+,因为CQ 与DQ 关于BQ 对称,//BQ x 轴, 所以0CQ DQ k k +=,312Q ⎛⎫⎪⎝⎭，,132x ≠,232x ≠, 12121103322y y x x --+=--,即122133(1)(1)022y x y x ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∵11x my n =+,22x my n =+,∵整理：121232()2302my y n m y y n ⎛⎫+--+-+= ⎪⎝⎭,22241238223034234n mn m n m n m m -⎛⎫⎛⎫+----+= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭, 即24(48)230m n m n +--+=, 即(21)(223)0m m n -+-=,若2230m n +-=,点312Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，满足:l x my n =+,即C ,D ,Q 三点共线,不合题意, ∵210m -=,即12m =, ∵直线l 中m 为定值12．2．（20022届广西“智桂杯”高三上学期大联考）如图,已知抛物线：2:C x y =,()0,1M ,()0,1N -,过点M 垂直于y 轴的垂线与抛物线C 交于B ,C ,点D ,E 满足CE CN λ=,()01ND NB λλ=<<.（1）求证：直线DE 与抛物线有且仅有一个公共点；（2）设直线DE 与此抛物线的公共点为Q ,记BCQ △与DEN 的面积分别为1S ,2S ,求12S S 的值. 【解析】（1）易知()()1,1,1,1B C -,设(),D x y ,由ND NB λ=,可得()(),11,2x y λ+=, 故有(),21D λλ-,同理()1,12E λλ--,于是直线DE 的方程是()()()2142y x λλλ--=--,即()()24221y x λλ=---∵与抛物线方程联立,即()()224221y x x y λλ⎧=---⎪⎨=⎪⎩得到()()2210x λ--=,此方程有两个相等的根：)1(2x λ=-代入∵,得()221y λ=-, 故直线DE 与抛物线有且仅有一个公共点()()2,2121Q λλ--（2）()()()()2211112*********BCQ Q S S BC h y λλλ==⋅=⨯⨯-=⨯⨯--=-△ 设直线DE 与y 轴交于G ,则()()20,21G λ--, 于是()()()()()222112122211DEN D E S S NG x x λλλλλ==⋅-=⋅---=⋅--+△ 故有122S S =.3．（2022届云南省红河州高三检测）在平面直角坐标系Oxy 中,点M 是以原点O 为圆心,半径为a 的圆上的一个动点.以原点O 为圆心,半径为()0b a b >>的圆与线段OM 交于点N ,作MD x ⊥轴于点D ,作NQ MD ⊥于点Q .（1）令MOD α∠=,若4a =,1b =,3πα=,求点Q 的坐标； （2）若点Q 的轨迹为曲线C ,求曲线C 的方程；（3）设（2）中的曲线C 与x 轴的正半轴交于点A ,与y 轴的正负半轴分别交于点1B ,2B ,若点E ､F 分别满足3AE OE =-,243AF OB =,设直线1B E 和2B F 的交点为K ,设直线l ：2ax c=及点(),0H c ,（其中c ,证明：点K 到点H 的距离与点K 到直线l 的距离之比为定值ca.【解析】（1）设(),Q x y ,则由题知4cos 23sin 3x y ππ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩,因此Q ⎛ ⎝⎭（2）（2）设MOD α∠=及(),Q x y ,则由题知cos sin x a y b αα=⎧⎨=⎩,则点Q 的轨迹C 为椭圆,方程为：()222210x y a b a b +=>>. （3）设(),K x y ,由题知,()10,B b ,,04a E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()20,B b -,3,4F a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭,1B E l ：14x ya b +=,即4bx ay ab +=,2B F l ：34y b xa b b +=-+,即44bx ay ab -=,联列上述直线方程,解得8171517x a y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.KH =817a c =-令点K 到直线l 的距离为PM ,则2881717c c a PM a a c a a c ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭.因此有KH cPMa=.4．（2022届衡水金卷高三测试）已知抛物线2:4C y x =的准线为l ,直线1x my =+交C 于A ,B 两点,过点A ,B 分别作l 上的垂线,垂足分别为A ',B '.（1）若梯形ABB A ''的面积为求实数m 的值；（2）是否存在常数λ,使得2A B AF BF λ''=⋅成立?若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由? 【解析】（1）由题得准线:1l x =-,直线1x my =+过焦点(1,0)F . 设()11,A x y ,()22,B x y ,则()11,A y '-,()21,B y '-,联立21,4x my y x=+⎧⎨=⎩得2440y my --=,所以124y y m +=,124y y =-,所以()21212242x x m y y m +=++=+,221212116y y x x ==,12y y -===而梯形ABB A ''的面积()()1212111122S AA BB A B x x y y '''=+'=+++- (2244m =+=解得m .（2）()()12||||11AF BF AF BF x x ⋅=-⋅=-++()()()2212121142141x x x x m m =-+++=-+++=-+,又()222212161A B A B y y m ''''==-=+,所以24A B AF BFλ''==-⋅为常数.5．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ,过点F 的直线l 交抛物线C 于A ,B 两点,当l x ⊥轴时,2AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 交y 轴于点D ,过点D 且垂直于y 轴的直线交抛物线C 于点P ,直线PF 交抛物线C 于另一点Q .∵是否存在定点M ,使得四边形AQBM 为平行四边形？若存在,求出定点M 的坐标；若不存在,请说明理由.∵求证：QAF QBF S S ⋅△△为定值.【解析】（1）当l x ⊥轴时,易得2AB p =, 所以22p =,解得1p =,所以抛物线C 的方程为22y x =；（2）∵解：易知直线l 的斜率存在且不为0,设直线l 的方程为()102x my m =+≠, 代入抛物线C 的方程22y x =,并整理得2210y my --=,设()11,A x y ,()22,B x y ,由根与系数的关系得12=2y y m +,121y y =-.所以21212121222x x my my m ++++==,所以线段AB 的中点N 的坐标为221,2m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,连接QM ,若四边形AQBM 为平行四边形,则N 是QM 的中点, 易知10,2D m ⎛⎫- ⎪⎝⎭,因此211,82P mm ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 设直线PQ 的方程为12x ty =+,代入抛物线C 的方程22y x =,整理得2210y ty --=,所以112P Q Q y y y m=-⋅=-, 故2Q y m =,因此()22,2Q m m ,故可得22212212M m x m +=⨯-=,220M y m m =-=,故点M 的坐标为()1,0M ,因此存在定点()1,0M ,使得四边形AQBM 为平行四边形；∵证明：点()22,2Q m m 到直线1:2l x my =+的距离d =由()11,A x y ,1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭,可得1AF =,因此11124QAF S AF d y =⋅=△, 同理可得214QBFS y =, 所以12111616QAF QBFSSy y ⋅==,为定值.6．已知过点()0,1A -且斜率大于零的直线1l 与抛物线()2:20C x py p =>及圆22670x y x +-+=都相切.（1）求p 的值；（2）过点()0,2B 的动直线2l 与抛物线C 交于点P ,Q ,以BP 为直径的圆与直线0y y =交于点M ,N ,若MN 为定值,求0y 的值.【解析】（1）解法一：由22x py =,得22x y p=,x y p '=. 设直线1l 与抛物线C 切于点2,2t t p ⎛⎫⎪⎝⎭,易知0t >,则1l 的斜率212t t p k p t+==,得t =k ∵直线1l的方程为1y =-. 圆22670x y x +-+=的标准方程为()2232x y -+=,∵圆心为()3,0,其到直线1l的距离d ==得2p =.解法二：由题设直线1l 的方程为()10y kx k =->, 由直线1l 与圆22670x y x +-+=即圆()2232x y -+=相切,=得1k =,故直线1l 的方程为1y x =-,将其代入()220x py p =>,得2220x px p -+=.∵直线1l 与抛物线()2:20C x py p =>相切,∵2480p p ∆=-=,∵2p =.（2）设()11,P x y ,则2114x y =,以BP 为直径的圆的圆心11,122x y E ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,()2222221111112444BP x y y x y y =+-=+-+=+.连接EM ,过E 作直线0y y =的垂线,垂足为G ,则10,2x G y ⎛⎫⎪⎝⎭,MN ====当01y =时,2MN =,为定值,故01y =.7．已知1F ,2F 分别是双曲线C ：22221x ya b-=(0a >,0b >)的左、右焦点,126F F =,P 是C 上一点,112PF F F ⊥,且12PF PF +=（1）求双曲线C 的标准方程；（2）经过点2F 的直线l 与双曲线C 交于A ,B 两点,过点A 作直线2x =的垂线,垂足为D ,过点O 作OM BD ⊥(O 为坐标原点),垂足为M .则在x 轴上是否存在定点N ,使得MN 为定值？若存在,求出点N 的坐标；若不存在,请说明理由.【解析】（1）由题意得212PF PF a -=, ∵112PF F F ⊥,1226F F c ==, ∵222136PF PF -=,又12PF PF +=236a ⋅=,解得a = ∵26a =,2293b a =-=,∵双曲线C 的标准方程为22163x y -=.（2）由(1)得()23,0F ,设()11,A x y ,()22,B x y ,则()12,D y , 易知直线l 的斜率不为0,设直线l 的方程为3x ty =+,t ≠,联立直线l 与双曲线C 的方程,消去x 得()222630t y ty -++=,∵()22410t ∆=+>,∵12262t y y t +=--,12232y y t =-. ∵直线BD 的斜率21212221y y y y k x ty --==-+, ∵直线BD 的方程为()211221y y y y x ty --=-+, 设BD 交x 轴于E 点,如图,∵OM ∵BD ,∵若在x 轴上存在定点N ,使得MN 为定值,则E 为定点,N 为OE 中点,12MN OE =,即直线BD 过x 轴上的定点E .在直线BD 的方程()211221y y y y x ty --=-+中,令0y =,得()12112121121222ty y y ty y y x y y y y y ++=-=--+-1122121233152222263222222t ty y t t t t y y t t ++--=-=-=+=⎛⎫---+ ⎪--⎝⎭, ∵直线BD 过定点5,02E ⎛⎫⎪⎝⎭.∵5,04N ⎛⎫⎪⎝⎭,则1524MN OE ==.综上,在x 轴上存在定点5,04N ⎛⎫⎪⎝⎭,使得MN 为定值54.8．（2022届四川省南充市高三一诊）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2,椭圆C 的下顶点和上顶点分别为1B ,2B ,且122B B =,过点()0,2P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）当1k =时,求OMN 的面积；（3）求证：直线1B M 与直线2B N 的交点T 的纵坐标为定值． 【解析】（1）因为122B B =,所以22b =,即1b =,,所以c a 设c m =,则a =,0m >,又222c a b =-,即2222m m b =-,解得1m =或1-（舍去）,所以a =1b =,1c =,所以椭圆的标准方程为2212x y += （2）由22122x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222220x x ++-=23860x x ++=,284360∆=-⨯⨯<所以直线与椭圆无交点,故OMN 的面积不存在．（3）由题意知,直线l 的方程为2y kx =+,设()11,M x y ,()22,N x y ,则22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得()2221860k x kx +++=,则()()22122122Δ846120821621k k k x x k x x k ⎧=-⨯+>⎪⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=⎪+⎩, 因为直线和椭圆有两个交点,所以()()22824210∆=-+>k k ,则232k >, 设(),T m n ,因为1B ,T ,M 在同一条直线上,则111111313y kx n k m x x x +++===+, 因为2B ,T ,N 在同一条直线上,则222221111y kx n k m x x x -+-===+, 由于()21212283311213440621k x x n n k k k m m x x k ⎛⎫⋅- ⎪++-+⎝⎭+⋅=+=+=+,所以12n =,则交点T 恒在一条直线12y =上,故交点T 的纵坐标为定值12. 9．（2022届】河北省邯郸市高三上学期训练）在平面直角坐标系xOy 中,动点P 到点30,2T ⎛⎫⎪⎝⎭的距离比它到直线:1l y =-的距离大12. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点T 的直线l 与动点P 的轨迹C 交于,A B 两点,问11AT BT+是否为定值？若是求出定值,不是说明理由.【解析】（1）方法一：设动点(),P x y ,()112y ++*.若1y ≥-,则()*32y =+,两边平方并化简可得：26x y =；若1y <-,则()*12y =--,两边平方并化简可得：242x y =-,显然不成立.∴动点P 的轨迹C 的方程为26x y =.方法二：由动点P 到点30,2T ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离比它到直线:1l y =-的距离大12,知动点P 到点30,2T ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与它到直线3:2l y =-的距离相等,满足抛物线定义；由抛物线的定义知：动点P 的轨迹C 的方程为：26x y =.（2）易知直线l 斜率存在,设直线l 的方程为：32y kx =+,由2326y kx x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2690x kx --=,则236360k ∆=+>, 设()11,A x y ,()22,B x y ,则126x x k +=,129x x =-,21263y y k ∴+=+,1294y y =. 抛物线26x y =焦点为T ,由抛物线定义知：132AT y =+,232BT y =+, ()121212121212331111333933222422y y y y AT BT y y y y y y y y ++++∴+=+==⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()22226666293999363424k k k k ++===++⨯++, ∴11AT BT +为定值23. 10．（2022届云南省昆明市高三摸底）已知点0(,2)M x 在抛物线2:2(0)C y px p =>上,C 的焦点为F ,2MF =．（1）求抛物线C 的方程及0x ；（2）经过点(2,2)-的直线l 与C 交于A ,B 两点,且A ,B 异于点M ,若直线MA 与MB 的斜率存在且不为零,证明：直线MA 与MB 的斜率之积为定值．【解析】（1）由题知：000422122px p px x =⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=+=⎩⎪⎩. 所以抛物线C 的方程：24y x =.（2）当直线l 的斜率不存在时,直线l 为2x =,联立224x y x =⎧⎨=⎩,得(2,A,(2,B -.2MA k ==,2MB k ==-,则()()224MA MB k k ⋅=-=-.当直线l 的斜率存在时,设直线l 为2(2)+=-y k x ,设11(,)A x y ,22(,)B x y , 则：1121MA y k x -=-,2221MB y k x -=-. 联立22(2)4y k x y x+=-⎧⎨=⎩得：22204ky y k ---=因为2112()022k ∆=++>,所以124y y k+=,1288y y k =--．所以121222121212121222(2)(2)161611(2)(2)2()4(1)(1)44y y y y y y x x y y y y y y ----⋅===--+++++--,所以121222164881184y yx xk k--⋅==-----++,所以直线MA与MB的斜率之积为定值4-．。
第11讲 点乘双根法(解析几何)(解析版)
第11讲 点乘双根法知识与方法在计算两个向量的数量积（即点乘）时，会遇到 (x 1−x 0)(x 2−x 0)+(y 1−y 0)(y 2−y 0)的结构, 常规 方法是将它展开, 再结合韦达定理化简整理,也可以利用“点乘双根法”进行整体处理, 达到简化运算, 快速解题的目的.1.方法介绍所谓的“点乘双根法”, 是指构建双根式，整体处理含 或 (x 1−x 0)(x 2−x 0)(y 1−y 0) 等类似结构的计算问题.(y 2−y 0)2.理论基础二次函数 的双根式. 若一元二次方程 f (x )=ax 2+bx +c ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两根 , 则, 取 , 可得 x 1,x 2f (x )=a (x−x 1)(x−x 2)x =x 0f (x 0)=a (x 1−x 0)(x 2−x 0).3.适用类型, 或 等形式.x 1x 2, y 1y 2,(x 1−m )(x 2−m ),(y 1−m )(y 2−m )PA ⋅PB 4.解题步骤化双根式 赋值 整体代入.→→典型例题下面以一个例题来说明点乘双根法的解题步骤.【例1】 已知点 是拋物线 上一定点, 以M (x 0,y 0)y 2=2px (p >0)M 为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形 , 则动直线 过定点 △MAB AB .(x 0+2p,−y 0)【证明】设 , 由 , 得 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)MA ⋅MB =0(x 1−x 0)(x 2−x 0)+(y 1−y 0)(y 2−y 0)=0（∗)显然直线 不与 轴平行，设其方程为 .AB x x =my +t 步骤 1: 化双根式联立 , 得 , 方程两根为 , 则 {y 2=2px x =my +ty 2−2pmy−2pt =0y 1,y 2(y 1−y )(y 2−y )=y 2−2pmy (1)−2pt 联立 , 得, 则 {y 2=2px x =my +t x 2−(2t +2m 2p )x +t 2=0(x 1−x )(x 2−x )=x 2−(2t +2m 2p )x +t 2(2)步骤 2: 赋值在(1)中, 令 , 则 (4)y =y 0(y 1−y 0)(y 2−y 0)=y 20−2pmy 0−2pt 在(2)中, 令 , 则 (5)x =x 0(x 1−x 0)(x 2−x 0)=x 20−(2t +2m 2p )x 0+t 2步骤 3: 整体代入即 ,t 2−(2p +2x 0)t +x 20−m 2y 20+y 20−2pmy 0=0即 ,[t−(x 0−my 0)]⋅[t−(x 0+my 0+2p )]=0所以 或 ,t =x 0−my 0t =x 0+my 0+2p 情形一：当 , 即 时, 说明点 在直线 上, 不合题意;t =x 0−my 0x 0=my 0+t M AB 情形二：当 , 即 时, 直线 过定点 t =2p +x 0+my 0x 0+2p =m (−y 0)+t x =my +t .(x 0+2p,−y 0)综上所述：直线 恒过定点 .AB (x 0+2p,−y 0)通过本例可以看到，利用点乘双根法处理这类问题时，看起来式子仍然不少, 实际上运算量已经減少了很多.【例2】 设椭圆中心在原点 , 长轴在 轴上，上顶点为 , 左右顶点分别为 O x A F 1,F 2,线段 中点分别为 , 且 是面积为 4 的直角三角形.OF 1,OF 2B 1,B 2△AB 1B 2(1) 求椭圆的方程;(2) 过 作直线 交椭圆于 两点, 使 , 求直线 的方程.B 1l P ,Q PB 2⊥QB 2l【解析】（1）设所求椭圆的标准方程为 , 右焦点为 .x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)F 2(c ,0)因为 是直角三角形, 又 , 故 为直角, 因此 ,△AB 1B 2|AB 1|=|AB 2|∠B 1AB 2|OA |=|OB 2|得 .b =c2 结合 c2=a 2−b 2 得 4b 2=a 2−b 2, 故 a 2=5b 2,c 2=4b 2 , 所以离心率 e =在 中, , 故 2Rt ABB ∆12OA B B ⊥22,1221||||22MBB B cS B B OA OB OA b b =⋅=⋅=⋅=由题设条件 , 得 , 从而 .2,4AB B S ∆=24b =22520a b ==因比, 所求椭圆的标准方程为 ;221204x y +=(2) 显然直线 不与 轴垂直，设 的方程为 ,l x l ()()1122(2),,,,y k x P x y Q x y =+因为 , 则 ,22PB QB ⊥220PB QB ⋅=所以 ()()()()()()2112212122,2,022220(*)x y x y x x k x x -⋅-=⇒--+++=联立 22222(2)5(2)2001204y k x x k x x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩因为 是方程的两根, 所以 ,12,x x ()()()2222125(2)2015x k x k x x xx ++-=+--令 , 得 ,2x =()()()()()2221212280164802015222215k k k x x x x k -+-=+--⇒--=+令 , 得 ,2x =-()()()()()21212216402015222215k x xx x k -+-=+++⇒++=+代入 (*), 得,22280161601515k k k --+=++化简可得: , 所以 ,22221801616064164k k k k --=⇒=⇒=12k =±故直线 方程为: .l 1(2)2y x =±+【例3】 设 分别为椭圆 的左、右顶点, 过左焦点 且斜率为 ,A B 22132x y +=F 的直线与椭圆交于 两点. 若 , 求 的值.k ,C D 8AC DB AD CB ⋅+⋅=k 【答案】 k =【解析】设点 , 由 得直线 的方程为 ()()1122,,,C x y D x y (1,0)F -CD (1)y k x =+,由方程组 , 消去 , 整理得 .22(1)12y k x y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()2222236360k x k x k +++-=由韦达定理可得 .22121222636,2323k k x x x x k k -+=-=++因为,(A B 所以AC DB AD CB⋅+⋅()()11222211,,x y x y xy x y =+⋅-+⋅--1212622x x y y =--()()2121262211x x k x x =--++8=由 , 得 .8AC DB AD CB ⋅+⋅=()()21212111x x k x x +++=-因为 是方程 的两根, 所以12,x x ()2222236360k x k x k +++-=()()()()()()()2222221212236362323k xk x k k x x x x k x x xx +++-=+--=+--令 , 则 , 所以 0x =()22123623k kx x -=+21223623k x x k -=+令 , 则 1x =-()()()()222212236362311k k k k x x+-+-=+++所以 ()()12241123x x k ++=-+因为 ,()()21212111x x k x x +++=-所以 , 解得222223641,22323k k k k k--=-=++k =【例4】设 为曲线 上两点, 与 的横坐标之和为 4 .,A B 2:4x C y =A B (1) 求直线 的斜率;AB(2) 设 为曲线 上一点, 在 处的切线与直线 平行, 且 , M C C M AB AM BM ⊥求直线 的方程.AB 【答案】 (1) 1； (2) 7y x =+【解析】(1) 设 , 则 ()()1122,,,A x y B x y 2212121212,,,444x x x x y y x x ≠==+=于是直线 的斜率 .AB 12121214y y x x k x x -+===-(2) 由 , 得 .24x y =2x y '=设 , 由題设知, 解得 , 于是 ()33,M x y 312x =32x =(2,1)M 因为 , 所以 , 即 .AM BM ⊥0MA MB ⋅=()()()()121222110x x y y --+--=设直线 的方程为 , 因为点 在直线 上,AB y x m =+,A B AB 所以 ,1122,y x m y x m =+=+所以 .()()()()121222110x x x m x m --++-+-=由 得 . 由 , 得 .24y x m x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩2440x x m --=16(1)0m ∆=+>1m >-()()21244x x m x x x x --=--在 式中, 令 , 得 (1)2x =()()212242422m x x -⨯-=--在(1)式中, 令 , 得 1x m =-()()212(1)4(1)411m m m x m x m --⨯--=+-+-∴()()()()12122211x x x m x m --++-+-,222424(1)4(1)40m m m m =-⨯-+--⨯--=解得 , 或 (舍）, 所以直线 的方程为 .7m =1m =-AB 7y x =+强化训练1. 椭圆 , 若直线 与椭圆 交于 两点 22:143x x C +=:l y kx m =+C ,A B (,A B 不是左右顶点）, 且以直线 为直径的圆恒过椭圆 的右顶点. 求证：直线AB C 恒过定点, 并求出该点的坐标.l【答案】 2,07⎛⎫⎪⎝⎭【解析】设椭圆的右顶点为 ,()()1122(2,0),,,,C A x y B x y 则 ()()1212220,(*)CA CB x x y y ⋅=--+=联立 , 整理得: ,22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()()222348430k x mkx m +++-=因为 是方程 的两个根, 所以12,x x ()()222348430k x mkx m +++-=()()()()()2222123484334(1)k xmkx m k x x x x +++-=+--取 , 得 ,2x =()()()()()2221243416433422k mk m k x x +++-=+--所以 (2).()()22122161642234k mk m x x k++--=+取 , 并两边同时乘以 , 可得 m x k =-2k 2221212231234m m m k y y k x x k k k -⎛⎫⎛⎫=++= ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭(3).将（2和(3)整体代入 (*), 得,2222221616431203434k mk m m k k k ++-+=++即 , 即 或 ,2241670k mk m ++=(72)(2)0,2m k m k m k ++=∴=-27m k =-当 时, 直线 过点 , 不合题意;2m k =-:(2),l y kx m k x l =+=-(2,0)C 当 时, 直线 , 显然 恒过定点 .27m k =-2:7l y kx m k x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭l 2,07⎛⎫⎪⎝⎭2. 已知椭圆 的右焦点为 , 过 且与2222:1(0)x y E a b a b+=>>(1,0)F F x 轴垂直的弦长为 3 .(1) 求椭圆标准方程;(2) 直线 过点 与满圆交于 两点, 问 轴上是否存在点 , 使 l F ,A B x P PA PB ⋅为定值?若存在, 求出 的坐标; 若不存在, 说明理由.P【答案】 (1) ; (2) 见解析22143x y +=【解析】 (1)易得椭圆标准方程为 ;22143x y +=(2) 当直线 的斜率存在时, 设为 , 则直线 的方程为 ,l k l (1)y k x =-设 , 则()()1122(,0),,,,P m A x y B x y ()()()22221234(1)1234x k x k x x x x +--=+--(1).()()1122,,,PA x m y PB x m y =-=-()()()()()()21212121211(2)PA PB x m x m y y x m x m k x x ⋅=--+=--+--在(1)中令 , 得 , (3)x m =()()22212234(1)1234m k m x m x m k+----=+在(1)中令 , 得 , (4)1x =()()12291134x x k ---=+把(3)4代入(2)并整理得()()22224(1)931243m k m PA PB k --+-⋅=+ 所以, 得 , 此时 .()224(1)931243m m---=118m =13564PA PB ⋅=- 当直线 的斜率不存在时, , 仍有 .l 33111,,1,,,0228A B P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13564PA PB ⋅=- 综上所述, 的坐标为 .P 11,08P ⎛⎫⎪⎝⎭3. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点, 直线 与椭圆 有且只有一个公共点 .:3l y x =-+E T (1) 求椭圆 的方程及点 的坐标;E T (2) 设 是坐标原点, 直线 平行于 , 与椭圆 交于不同的两点 , O l OT E ,A B 且与直线 交于点 . 证明: 存在常数 , 使得 , 并求 l P λ2||||||PT PA PB λ=⋅λ的值.【答案】 (1) (2) ,(2,1);45λ=【解析】 (1) , 点 坐标为 , 过程路.22163x y +=T (2,1)(2) 由已知可设直线 的方程为 ,l 1(0)2y x m m =+≠由方程组 可得 1,23y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩223213m x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩所以 点坐标为 , 设点 的坐标分别为, P 222282,1,||339m m PT m ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,A B ,()()1122,,,A x y B x y 由方程组 , 可得 (1)2216312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩()22344120x mx m ++-=而 是 的两根, 所以12,x x ()22344120x mx m ++-= (2)()()()2212344123x mx m x x x x ++-=--方程(2)的判别式为 , 由 , 解得 .()21692m ∆=-0∆>m <<由(2)得 212124412,33m m x x x x -+=-=所以1122||233m m PA x x ==-=-同理, 所以22||3m PB x =-1252222433m m PA PB x x ⎛⎫⎛⎫=----⎪⎪⎝⎭⎝⎭②中令，得223mx =-得()2212222232424123223333m m m m m m x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-=---- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得 21222822339m m x x m ⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故存在，使得2109PA PB m =54λ=2||||||.{PT PA PB λ=⋅。
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圆锥曲线大题11，向量内积为定值，点乘双根法更便捷
这里的计算使用点乘双根法更便捷哦：
【方法点睛】本题的关键点就在于
【方法点睛】证明向量内积为定值的方法与前面的题目中证明方法大同小异：
（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.
（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢
（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算
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