2019年高考全国I卷模拟试卷及答案 理科数学(一)
理科数学 第1页（共8页） 理科数学 第2页（共8页）绝密 ★ 启用前 2019年高考全国I 卷模拟试卷理 科 数 学（一）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·益阳期末]已知集合{}2log 2M x x =<，{}1,0,1,2N =-，则M N =（ ）A ．{}1,0,1,2-B ．{}1,1,2-C ．{}0,1,2D ．{}1,22．[2019·芜湖期末]设1i 2i 1iz +=+-，则z =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．[2019·咸阳模拟]设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若44a =，972S =，则10a =（ ） A ．20 B ．23 C ．24 D ．284．[2019·永州二模]我国古代数学名著《数学九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒，则这批米中，谷约为（ ） A ．134石 B ．169石 C ．338石 D ．454石5．[2019·河北名校联盟]“1m >”是“方程22115y x m m +=--表示焦点在y 轴上的双曲线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．[2019·安庆期末]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．19π6B ．17π6C ．23π6D ．10π37．[2019·浙江联考]函数()()2sin ππ1xf x x x =-≤≤+的图象可能是（ ） A ．B ．C ．D ．8．[2019·芜湖期末]若01a b <<<，b x a =，a y b =，log b z a =，则x ，y ，z 大小关系正确的 是（ ） A ．y x z << B ．x y z <<C ．z x y <<D ．z y x <<9．[2019·佛山质检]执行如图所示程序框图，若输出的S 值为20-，在条件框内应填写（ ）A ．3?i >B ．4?i <C ．4?i >D ．5?i <此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号第3页（共8页） 第4页（共8页）10．[2019·广州毕业]已知抛物线2:8C y x =的焦点为F，直线)2y x =-与C 交于A ，B （A 在x 轴上方）两点，若AF mFB =，则实数m 的值为（ ） AB ．3C ．2D ．3211．[2019·枣庄期末]某几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点P 与点Q 在正视图与侧视图上的对应点分别为A ，B ，则在该几何体表面上，从点P 到点Q 的路径中，最短路径的长度为（ ）ABC．D12．[2019·河南联考]设函数()()sin f x x ωϕ=+，()()(){}000,A x f x f x '==，()22,162x y B x y ⎧⎫⎪⎪=+≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，若存在实数ϕ，使得集合A B 中恰好有5个元素，则()0ωω>的取值范围是（ ）A．⎫⎪⎪⎣⎭B．⎫⎪⎪⎣⎭ C．⎫⎪⎪⎣⎭D．⎫⎪⎪⎣⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·泉州质检]已知向量()3,0=a，(2+=a b ，则a 与b 的夹角等于_________．14．[2019·天津七校联考]若二项式621x x ⎫+⎪⎪⎝⎭的展开式中的常数项为m ，则213d mx x =⎰______． 15．[2019·金山中学]数列{}n a 且21,2πsin ,4n n n na n n ⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，若n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2018S =______．16．[2019·长郡中学]长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学教师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学高级教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是____．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·天津期末]在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()2cos π3B -=，1c =，sin sin a B A ．（1）求边a 的值； （2）求cos 23πB ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．18．（12分）[2019·韶关调研]如图，四棱锥中P ABCD -，四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，PA PD AD ==，平面PAD ⊥平面ABCD ． （1）求证：AD PB ⊥；（2）求二面角A PC D --的余弦值．理科数学 第5页（共8页） 理科数学 第6页（共8页）19．（12分）[2019·南通一模]“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X ；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y ． （1）求X 为“回文数”的概率；（2）设随机变量ξ表示X ，Y 两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望()E ξ．20．（12分）[2019·珠海期末]已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且右焦点)2F ．（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线:l y kx =E 交于A ，B 两点，当AB 最大时，求直线l 的方程．第7页（共8页） 第8页（共8页）21．（12分）[2019·枣庄期末]已知()()2e x f x ax a =-∈R ． （1）求函数()f x '的极值；（2）设()()e x g x x f x =-，若()g x 有两个零点，求a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·高安中学]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+=⎧⎨⎩，（ϕ为参数）．以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线3C 的极坐标方程为()0π,θααρ=<<∈R ，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是 曲线3C 与2C 的交点，且A ，B 均异于极点O，且AB =a 的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·南昌二中]已知函数()241f x x x =-++． （1）解不等式()9f x ≤；（2）若对于任意()0,3x ∈，不等式()2f x x a <+恒成立，求实数a 的取值范围．理科数学答案 第1页（共10页） 理科数学答案 第2页（共10页）绝密 ★ 启用前2019届高考模拟试卷理科数学答案（一）一、选择题． 1．【答案】D【解析】由题知{}04M x x =<<，故{}1,2M N =．故选D ．2．【答案】B 【解析】()()()()1i 1i 1i 2ii 1i 1i 1i 2+++===--+，则3i z =，故3z =，故选B ． 3．【答案】D【解析】由于数列是等差数列，故41913493672a a d S a d =+==+=⎧⎨⎩，解得18a =-，4d =，故101983628a a d =+=-+=．故选D ． 4．【答案】B【解析】由题意可知：这批米内夹谷约为281534169254⨯≈石，故选B ． 5．【答案】B【解析】22115y x m m +=--表示焦点在y 轴上的双曲线1050m m ->⎧⇔⎨-<⎩，解得15m <<，故选B ． 6．【答案】A【解析】由三视图可以看出，该几何体上半部是半个圆锥，下半部是一个圆柱， 从而体积2211119ππ1π13236V =⨯⨯⨯+⨯⨯=⨯，故选A ．7．【答案】A 【解析】因为()()()()()22sin sin ππ11x xf x f x x x x --==-=--≤≤+-+，可得()f x 是奇函数．排除C ； 当π3x =时，0π3f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，点在x 轴的上方，排除D ； 当3πx =-时，π103f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，排除B ；故选A ．8．【答案】B【解析】取特殊值，令14a =，12b =，则121142b x a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，141122a y b ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，121log log 24b z a ===，则1411222⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即x y z <<，可排除A 、C 、D 选项，故答案为B ． 9．【答案】D【解析】模拟执行程序，可得：1i =，10S =，满足判断框内的条件，第1次执行循环体，11028S =-=，2i =， 满足判断框内的条件，第2次执行循环体，2824S =-=，3i =， 满足判断框内的条件，第3次执行循环体，3424S =-=-，4i =， 满足判断框内的条件，第4次执行循环体，44220S =--=-，5i =， 此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的S 值为20-， 则条件框内应填写5?i <，故选D ．10．【答案】B【解析】设A 、B 在l 上的射影分别是1A 、1B ，过B 作1BM AA ⊥于M ．由抛物线的定义可得出Rt ABM △中，得60BAE ∠=︒， 1111cos6012AA BB AM AF BF m AB AF BF AF BF m ---︒=====+++，解得3m =，故选B ． 11．【答案】C【解析】由题，几何体如图所示理科数学答案 第3页（共10页） 理科数学答案 第4页（共10页）（1）前面和右面组成一面此时PQ = （2）前面和上面在一个平面此时PQ，C ．12．【答案】A【解析】()()sin f x x ωϕ=+的最大值或最小值，一定在直线1y =±上，又在集合B 中． 当1y =±时，22162x y +≤，得x ≤23T T ⎧≤⎪∴⎨>⎪⎩2π22π3ωω⎧⋅≤⎪⎪∴⎨⎪⋅>⎪⎩，ω≤<，故选A ．二、填空题． 13．【答案】120︒【解析】已知向量()3,0=a，(2+=a b ，令(1,=c ，则()()(1110122=-=-=-b c a ， 设向量a 、b 的夹角是θ，于是31031cos 62θ⨯-+⋅-====-a ba b，故120θ=︒． 14．【答案】124【解析】由题意，二项展开式的通项为6621231661C C rrrr rr r T x x ---+⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由1230r -=，得4r =，所以246C 5m =⋅=⎝⎭，则52235331113d 3d |51124m x x x x x ===-=⎰⎰．15．【答案】30282019【解析】数列{}n a 且21,2πsin ,4n n n na n n ⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，①当n 为奇数时，21111222n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭；②当n 为偶数时，πsin4n n a =， 所以()()201813520172462018S a a a a a a a a =+++++++++，()1111111009302811010123352017201920192019⎛⎫=-+-++-++-++=+= ⎪⎝⎭． 故答案为30282019． 16．【答案】小学中级【解析】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为a ，b ，c ，d ， 则13a b c d +++=，1d ≥，c d a b +≤+，b c <，a b <， 所以()13a b a b -+≤+，7a b ∴+≥，6c d +≤，若7a b +=，则6c d +=，a b <，3a ∴=，4b =，5c =，1d =，若8a b +≥，则5c d +≤，1d ≥，4c ∴≤，b c <，3b ∴≤，5a b ≥>，矛盾， 队长为小学中级时，去掉队长则2a =，4b =，5c =，1d =， 满足11d =≥，64c d a b +=≤+=，45b c =<=，24a b =<=；队长为小学高级时，去掉队长则3a =，3b =，5c =，1d =，不满足a b <； 队长为中学中级时，去掉队长则3a =，4b =，4c =，1d =，不满足b c <；队长为中学高级时，去掉队长则3a =，3b=，5c =，0d =，不满足1d ≥；综上可得队长为小学中级．三、解答题．17．【答案】（1）53；（2．理科数学答案 第5页（共10页） 理科数学答案 第6页（共10页）【解析】（1）由()2cos π3B -=，得2cos 3B =-， 因为1c =，由sin sin a B A，得ab =，∴b =， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得234150a a +-=， 解得53a =或3a =-（舍），∴53a =．（2）由2cos 3B =-，得sin B，∴sin2B =，1cos29B =-，∴cos 2cos 2cos sin 2sin 333πππB B B ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭．18．【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）证明：取AD 中点O 连结PO ，BO ，PA PD =，PO AD ∴⊥．又四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，故ABD △是正三角形， 又点O 是AD 的中点，BO AD ∴⊥． 又POBO O =，PO 、BO ⊂平面BOP ，AD ∴⊥平面BOP ，又PB ⊂平面BOP ，AD PB ∴⊥．（2）PA PD =，点O 是AD 的中点，PO AD ∴⊥．又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，PO ∴⊥平面ABCD ，又AO ，BO ⊂平面ABCD ，PO AO ∴⊥，PO BO ⊥．又AO BO ⊥， 所以OA ，OB ，OP 两两垂直．以O 为原点，分别以OA ，OB ，OP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -． 设2AB =，则各点的坐标分别为()1,0,0A，()B，()C -，()1,0,0D -，()0,0,1P ．故()AC =-，()1,0,1AP =-，()1PC =--，()1,0,1PD =--， 设()1111,,x y z =n ，()2222,,x y z =n 分别为平面PAC ，平面PCD 的一个法向量， 由110AC AP ⎧⋅⎪⎨⋅==⎪⎩n n，可得1111300x x z -⎧=-+=⎪⎨⎪⎩，令11z =，则11x =，1y =()1=n ．由220PC PD ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪⎩=n n，可得22222200x z x z --=--=⎧⎪⎨⎪⎩，令21z =，则21x =-，2y =故21,⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭n ．()121,cos ,⎛⎫⋅- ⎪ ⎪===n n ．又由图易知二面角A PC D --是锐二面角，所以二面角A PC D --． 19．【答案】（1）29；（2）随机变量ξ的概率分布为随机变量ξ的数学期望为()79E ξ=． 【解析】（1）记“X 是‘回文数’”为事件A ．9个不同2位“回文数”乘以4的值依次为44，88，132，176，220，264，308， 352，396．其中“回文数”有44，88．所以，事件A 的概率()29P A =． （2）根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2．由（1）得()29P A =． 设“Y 是‘回文数’”为事件B ，则事件A ，B 相互独立．根据已知条件得，()29C 2059P B ==． ()()()25280119981P P A P B ξ⎛⎫⎛⎫===--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；理科数学答案 第7页（共10页） 理科数学答案 第8页（共10页）()()()()()252543111999981P P A P B P A P B ξ⎛⎫⎛⎫==+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()()()251029981P P A P B ξ===⋅=．所以，随机变量ξ的概率分布为所以，随机变量ξ的数学期望为()28431070128181819E ξ=⨯+⨯+⨯=． 20．【答案】（1）2214x y +=；（2）y = 【解析】（1）设椭圆E 的左焦点()1F ，则12242a PF PF a =+=⇒=， 又2221c b a c ==-=，所以椭圆E 的方程为2214x y +=．（2）由()2222144044y kx k x x y ⎧⎪⎨⎪=⇒+++=+=⎩，设()11,A x y ，()22,B x y ，由()2221128161404Δkk k =-+>⇒>，且12x x +=，122414x x k =+，AB=设2114t k =+，则10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，AB=， 当112t =，即k =AB ，此时:l y =+ 21．【答案】（1）0a ≤时，()f x '没有极值，0a >时，()f x '有极小值22ln2a a a -； （2）()0,+∞．【解析】（1）()e 2x f x ax ='-，()e 2x f x a '-'=．①若0a ≤，显然()0f x ''>，所以()f x '在R 上递增，所以()f x '没有极值． ②若0a >，则()0ln2f x x a <⇔<''，()0ln2f x x a >⇔>''， 所以()f x '在(),ln2a -∞上是减函数，在()ln2,a +∞上是增函数． 所以()f x '在ln2x a =处取极小值，极小值为()()ln221ln2f a a a =-'．（2）()()()2e 1e x x g x x f x x ax =-=-+．函数()g x 的定义域为R ， 且()()2e e 2x x g x x ax x a ='=++．①若0a >，则()00g x x <'⇔<；()00g x x >'⇔>．所以()g x 在(),0-∞上是减函数， 在()0,+∞上是增函数．所以()()min 01g x g ==-．令()()1e x h x x=-，则()e x h x x '=．显然()00h x x <'⇔<， 所以()()1e x h x x =-在(),0-∞上是减函数． 又函数2y ax =在(),0-∞上是减函数，取实数0<，则()20110g h a ⎛⎛>+⋅=-+= ⎝⎝．又()010g =-<，()10g a =>，()g x 在(),0-∞上是减函数，在()0,+∞上是增函数． 由零点存在性定理，()g x 在⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1上各有一个唯一的零点．所以0a >符合题意． ②若0a =，则()()1e x g x x =-，显然()g x 仅有一个零点1．所以0a =不符合题意．③若0a <，则()()ln 2e e ax g x x -'⎡⎤=-⎣⎦．（i ）若()ln 20a -=，则12a =-．此时()0g x '≥，即()g x 在R 上递增，至多只有一个零点，所以12a =-不符合题意．（ii ）若()ln 20a -<，则102a -<<，函数()g x 在()(),ln 2a -∞-上是增函数，在()()ln 2,0a -上是减函数，在()0,+∞上是增函数，所以()g x 在()ln 2x a =-处取得极大值，且极大值()()(){}2ln 2ln 2110g a a a -=--+<⎡⎤⎣⎦， 所以()g x 最多有一个零点，所以102a -<<不符合题意．（iii ）若()ln 20a ->，则12a <-，函数()g x 在(),0-∞和()()ln 2,a -+∞上递增，在()()0,ln 2a -上递减，所以()g x 在0x =处取得极大值，且极大值为()010g =-<， 所以()g x 最多有一个零点，所以12a <-不符合题意．综上所述，a 的取值范围是()0,+∞．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．理科数学答案 第9页（共10页） 理科数学答案 第10页（共10页）22．【答案】（1）()221:24C x y -+=，()222:24C x y +-=；（2）7π12α=或11π12．【解析】（1）()221:24C x y -+=，()222:24C x y +-=．（2）1:4cos C ρθ=，联立极坐标方程θα=，得4cos A ρα=，4sin B ρα=，π4A B ρρα⎛⎫∴-=-= ⎪⎝⎭sin 4πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭0πα<<，∴7π12α=或11π12．23．【答案】（1）[]2,4-；（2）5a ≥．【解析】（1）()9f x ≤，可化为2419x x -++≤， 即2339x x >-≤⎧⎨⎩或1259x x -≤≤-≤⎧⎨⎩或1339x x <--+≤⎧⎨⎩，解得24x <≤或12x -≤≤或21x -≤<-；不等式的解集为[]2,4-． （2）2412x x x a -++<+在()0,3x ∈恒成立， 52412124133ax x x a x a x x a x a -⇒-++<+⇒--+<-<+-⇒<<+， 由题意得，()50,3,33a a -⎛⎫⊆+⎪⎝⎭，所以5005335a a a a a -≤≥⎧⇒⇒≥⎨+≥≥⎩⎧⎨⎩．。
2019年全国1卷高考数学理科含答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
1．已知集合 M x 4 x 2， N x x2 x 6 0 ，则 M N
A．x 4 x 3
的中点．
（1）证明： MN ∥平面 C1DE ； （2）求二面角 A MA1 N 的正弦值．
19．（12 分）
已知抛物线 C ：y2 3x 的焦点 F ，斜率为 3 的直线 l 与 C 的交点为 A ，B ，与 x 轴的交点为 P ． 2
（1）若 AF BF 4 ，求 l 的方程；
的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5 1 。若某人满足上述两个黄金分割比 2
例，且腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为 26cm，则其身高可能是
A．165cm
B．175cm
C．185cm
5．函数
f
x
sin x x cos x x2
在 , 的图象大致为
D．190cm
（ 5 1 0.618 称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为 42cm ；将人体的头顶至咽喉 2
的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为 68cm ，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的
长度之比是 5 1 可计算出肚脐至足底的长度约为110 ；将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相 2
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
x
1 1
t2 t2
,
2019年高考理科数学(全国1卷)答案详解(附试卷)
P 20 5 64 16
PS：其实可以对题目进行抽象：即有 A、B 两种字母，填 6 个位置，求恰有 3 个 A 的概率.这样更
容易求解.
【答案】A
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7．（平面向量）已知非零向量 a，b 满足 | a | 2 | b | ，且 (a b) b ，则 a 与 b 的夹角为
头顶至肚脐的长度小于 68.07cm，所以身高小于 68.07+68.07÷0.618=178.21cm. 所以选答案 B.
【答案】B
5．（函数）函数
f
(x)
sin x x cos x x2
在[, ] 的图像大致为
A．
B．
C．
D．
【解析】∵
f (x)
sin x x cos x x2
A． (x+1)2 y 2 1 B． (x 1)2 y2 1 C． x2 ( y 1)2 1 D． x2 ( y+1)2 1
【解析】由题意得 z i x ( y 1)i ，∵ z i =1 ，∴ x2 ( y 1)2 1 ，即 x2 ( y 1)2 1
【答案】D
6．（概率统计）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻 组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦 恰有 3 个阳爻的概率是
5
A．
16
11
B．
32
21
C．
32
11
D．
16
【解析】所有重卦的个数为 26 64 ，恰有 3 个阳爻的个数为 C36C33 20 ，因此恰有 3 个阳爻的概率为
(完整版)2019年全国1卷理科数学解析版
2019年全国1卷理科数学试题及详解一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}{}242,60M x x N x x x =-<<=--<，则M N =（ ）A ．{}43x x -<<B ．{}42x x -<<-C ．{}22x x -<<D ．{}23x x <<【答案】C 。
【解析】由260x x --<可得()()32023x x x -+<⇒-<<，故{}23N x =-<<。
故而可得MN ={}22x -<<,故选C 。
2．设复数1z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则（ ）A ．()2211x y ++= B ．()2211x y -+= C ．()2211x y +-= D ．()2211x y ++= 【答案】C 。
【解析】由z 在复平面内对应的点为(),x y 可得z x yi =+，故而()11z i x y i -=+-==，化简可得()2211x y +-=。
故选C.3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】B 。
【解析】取中间值。
22log 0.2log 100a a =<=⇒<,0.202211b b =>=⇒>，0.300.20.2101c c =<=⇒<<，故而可得a c b <<，故选B.4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶到肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为512-(510.6182-≈，称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此。
2019年全国卷Ⅰ理数数学高考试题(含答案)
21．（12分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
A．165 cmB．175 cmC．185 cmD．190cm
5．函数f(x)= 在 的图像大致为
A． B．
C． D．
6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
16．已知双曲线C： 的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若 ， ，则C的离心率为____________．
三、解答题：
17．(12分) 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 ．
（1）求A；
（2）若 ，求sinC．
18．（12分） 如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
2019年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(全国1卷参考版)【含答案及解析】
2019 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国1 卷参考版）【含答案及解析】姓名 _____________ 班级 ________________ 分数 ____________、选择题1. 设集合 ， ，则（ A ） （ B ）（ C ）（ D ）2. 设，其中， 实数，则（ A ） 1 （ B ）（ C ）（ D ） 2前 9 项的和为 27， B ） 99 （ C ） 984. 某公司的班车在 7:00 ，8:00 ，8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐 班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 （ A ） （ B ） （ C ） （ D ）5. 已知方程 表 示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是（ A ） （ B ）（ C ） （ D ）6. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径 . 若该几何体的体积是 ，则它的表面积是3. 已知等差数列 （ A ） 100，则 （ D ） 978. 若，则（ A ）（ B ）B ）（C ），则输出 x，y 的值满足9. 执行右面的程序框图，如果输入的A )B )C )D )10.以抛物线 C的顶点为圆心的圆交 C于 A、 B两点，交 C 的准线于 D、E两点. 已知|AB|= ， |DE|= ，则 C的焦点到准线的距离为（ A ） 2 （ B ） 4 （ C ） 6 （ D ） 811.平面过正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的顶点 A，// 平面 CB 1 D 1 ，平面 ABCD=，m 平面 AB B 1 A 1 =n ，则 m、n 所成角的正弦值为（ A ） _______________________ （ B ）_________________ （ C ）________________ （ D ）12.已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为（ A ） 11 （ B ） 9 （ C ） 7 （ D ） 5二、填空题13.设向量 a= （ m，1 ），b= （ 1，2 ），且|a+b| 2 =|a| 2 +|b| 2 ，则m= ____________________________________ .14.的展开式中， x 3 的系数是 __________________________ . （用数字填写答案）15.设等比数列满足 a 1 +a 3 =10 ，a 2 +a 4 =5 ，则 a 1 a 2 ⋯a n 的最大值为 _____________________________________ ．16.某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg ，乙材料 1kg ，用 5 个工时；生产一件产品 B需要甲材料 0.5kg ，乙材料 0.3kg ，用 3个工时．生产一件产品 A的利润为 2100 元，生产一件产品 B的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150kg ，乙材料 90kg ，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为元三、解答题17.的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知（Ⅰ）求 C；（Ⅱ）若的面积为，求的周长．18.如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面 ABEF为正方形， AF=2FD，，且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是．Ⅰ）证明：平面 ABEF 平面 EFDC；Ⅱ）求二面角 E-BC-A 的余弦值．19.某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰 . 机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元. 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数 . （Ⅰ）求的分布列；（Ⅱ ）若要求，确定的最小值；（Ⅲ ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？20.设圆的圆心为 A，直线 l 过点 B （ 1,0 ）且与 x 轴不重合， l 交圆 A于 C，D两点，过 B 作 AC的平行线交 AD于点 E.（Ⅰ）证明为定值，并写出点 E 的轨迹方程；（Ⅱ ）设点 E 的轨迹为曲线 C 1 ，直线 l 交 C 1 于 M,N两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点，求四边形 MPNQ面积的取值范围 .21.已知函数有两个零点（Ⅰ）求 a 的取值范围；Ⅱ）设 x 1 ，x 2 是的两个零点，证明：22.选修 4-1 ：几何证明选讲如图，△ OAB是等腰三角形，∠ AOB=12°0 .以 O为圆心，OA为半径作圆 .Ⅰ）证明：直线 AB 与O 相切；Ⅱ）点 C,D 在⊙O上，且 A,B,C,D 四点共圆，证明： AB∥CD.23.选修 4— 4：坐标系与参数方程在直角坐标系 x y 中，曲线 C 1 的参数方程为（ t 为参数， a>0 ）．在以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 2 ：ρ=.（Ⅰ）说明 C 1 是哪一种曲线，并将 C 1 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线 C 3 的极坐标方程为，其中满足 tan =2 ，若曲线 C 1 与 C 2 的公共点都在 C 3 上，求 a ．24.选修 4— 5：不等式选讲已知函数 .（Ⅰ）在图中画出的图像；（Ⅱ）求不等式的解集．参考答案及解析第1 题【答案】第2 题【答案】第3 题【答案】第4 题【答案】第5 题【答案】第6 题【答案】第7 题【答案】第8 题【答案】第9 题【答案】第 10 题【答案】第 11 题【答案】第 12 题【答案】第 14 题【答案】第 15 题【答案】第 13 题【答案】第 16 题【答案】216000【解析】 试题分析：设生产产品/、产品E 分别为工、•匸件，束厢之和为二元，那么1.5x+0.5r n 150.x÷0 3.V M 90.■ 5工十3儿600. ①x...0,Iy-O-目⅛⅛数二= 210(k + 900)∙・二元一次不尊式组①竽价于3x+.v n 300.10x + 3.v n 900,• 5x÷3y n 600,② x..0,L y... 0.作出二元一次不等式组②表示的平面区域(如團)，即可行域.7 7 7p ■ =2100r + 900v 变形，得尸-丁十扁，平行直线―-丁 ,当直线JU 一丁十硫 经过 点M 时J -取得最大值， 10r + 3υ = 900V5x+3v≡600U •解方程组 ,得M 的坐标(6(HOO).所以当X =60 , 3 =100 时，∑aaχ=2100×60 + 900×100 = 216000 .第 17 题【答案】第 18 题【答案】（I ）见解析（∏） 一匹19【解析】试题分析；（I ＞证明AF 丄平面EFDC ,结合AFU 平面ABEF 、可得平面ABEF 丄平面 EFDC .（II ）建立空间坐标系，利用向量求.试题解析：（I 〉由已知可得AF 丄DF ,AFdFE ,所以AF 丄平面EFDC .又AFU 平面ABEF ；故平面ABEF 丄平面EFDC •〈II 〉过D 作DG 丄EF ,垂足为G ,由（I ）知DG 丄平面ABEF ・以G 为坐标原点、，GF 的方向为X 轴正方向，IGFl 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系 由(I > 知ZDFE 为二面角D-AF-E 的平面角，故ZDFE = 60。
2019年全国卷1(理科数学)含答案
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅰ卷）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则MN =A ．}{43xx -<<B ．}42{xx -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23xx <<2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ．C ．D ．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62sin cos ++x xxx8．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+9．记为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ．310n a n =- C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为n SA ．B ．C ． D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年高考全国1卷理科数学试题及答案(精校版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则A.{|0}A B x x =<IB.A B =R UC.{|1}A B x x =>UD.A B =∅I 2.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A.14B.π8C ．12D.π43.设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB.14,p pC.23,p pD.24,p p4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A.1B.2C.4D.85．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A.[2,2]-B.[1,1]-C.[0,4]D.[1,3]6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A.15B.20C.30D.357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A.10 B.12 C.14 D.168．右面程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A.A >1 000和n =n +1B.A >1 000和n =n +2C.A ≤1 000和n =n +1D.A ≤1 000和n =n +29.已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2 B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 210．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A.16B.14C.12D.1011．设xyz 为正数，且235x y z ==，则A.2x <3y <5zB.5z <2x <3yC.3y <5z <2xD.3y <2x <5z12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A.440B.330C.220D.110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= _____________ .14.设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为_____________ .15．已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点。
2019年高考理科数学全国卷1(附参考答案和详解)
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2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)及答案
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分， 表示“甲药的累计得分为 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 ， ， ，其中 ， ， ．假设 ， ．
(i)证明： 为等比数列；
(ii)求 ，并根据 的值解释这种试验方案的合理性．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
19．已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若 ，求|AB|．
20．已知函数 ， 为 的导数．证明：
（1） 在区间 存在唯一极大值点；
16．已知双曲线C： 的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若 ， ，则C的离心率为____________．
17． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 ．
（1）求A；
（2）若 ，求sinC．
18．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
A． B． C． D．
7．已知非零向量a，b满足 =2 ，且（a–b） b，则a与b的夹角为
A． B． C． D．
8．如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入
A．A= B．A= C．A= D．A=
9．记 为等差数列 的前n项和．已知 ，则
A． B． C． D．
2019年高考理科数学试卷(全国I卷)及答案
2019年全国高考理科数学试卷（全国I 卷）及答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.已知集合}24|{<<-=x x M ，}06|{2<--=x x x N ，则=N M （）A.}34|{<<-x xB.}24|{-<<-x xC.}22|{<<-x xD.}32|{<<x x 2.设复数z 满足1z i -=，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（）A.22(1)1x y ++=B.22(1)1x y -+=C.22(1)1x y +-=D.22(1)1x y ++=3.已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.b c a<<4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是215-（618.0215≈-称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是215-.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为cm 105，头顶至脖子下端的长度为cm 26，则其身高可能是（）A.cm 165B.cm 175C.cm 185D.cm 1905.函数2sin ()cos x xf x x x+=+在[,]ππ-的图像大致为（）A.B.C.D.6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A.516B.1132C.2132D.11167.已知非零向量,a b 满足2a b = ，且()a b b -⊥ ，则a 与b的夹角为（）A.6πB.3πC.23πD.56π8.右图是求112+12+2的程序框图，图中空白框中应填入（）A.12A A =+B.12A A=+C.112A A =+D.112A A=+9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知40S =，55a =，则（）A.25n a n =- B.310n a n =- C.228n S n n=- D.2122n S n n =-10.已知椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点.若||2||22B F AF =，||||1BF AB =，则C 的方程为（）A.1222=+y xB.12322=+y x C.13422=+y x D.14522=+y x 11.关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数②()f x 在区间(,)2ππ单调递增③()f x 在[],ππ-有4个零点④()f x 的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A.①②④B.②④C.①④D.①③12.已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，,E F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为（）A.B.C.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.曲线23()x y x x e =+在点(0,0)处的切线方程为.14.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若113a =，246a a =，则5S =.15.甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该对获胜，决赛结束）根据前期的比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是.16.已知双曲线C:22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点.若112,0F A AB F B F B =⋅=uuu r uuu r uuu r uuu r ，则C 的离心率为.三、解答题（本大题共5小题，共60分）17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .设()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-.（1）求A ；2b c +=，求sin C .18.如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14,2,60AA AB BAD ==∠=︒，,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点.（1）证明：//MN 平面1C DE ；（2）求二面角1A MA N --的正弦值.19.已知抛物线x y C 3:2=的焦点为F ，斜率为23的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .（1）若4||||=+BF AF ，求l 的方程；（2）若PB AP 3=，求||AB .20.已知函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导函数.证明：(1)()f x '在区间(1,2π-存在唯一极大值点；(2)()f x 有且仅有2个零点.21．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验．实验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮实验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止实验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮实验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮实验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在实验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i = 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i = ，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．（i）证明：1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-= 为等比数列；（ii）求4p ，并根据4p 的值解释这种实验方案的合理性．四、选做题（2选1）（本大题共2小题，共10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22211()41t x t t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ+=.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值.23.已知,,a b c 为正数，且满足1abc =，证明：（1）222111a b c a b c++≤++（2）333()()()24a b b c c a +++++≥2019年高考理科数学（全国I 卷）参考答案选择题1-5CCBBD 6-12ABAAB CD13.3y x =14.5S =121315.0.1816.217.解答：（1）由()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=结合正弦定理得222b c a bc+-=∴2221cos =22b c a A b c +-=⋅⋅又(0,)A π∈，∴=3A π.（22b c +=sin 2sin A B C +=,()sin 2sin A A C C ++=∴6sin()2sin 23C C π++=,∴1sin cos 222C C -=∴2sin()62C π-=又203C π<<∴662C πππ-<-<又sin()06C π->∴062C ππ<-<∴2cos 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴sin sin()66C C ππ=-+=sin cos cos sin 6666C C ππππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎝⎭⎝⎭624=.18、解：（1）连结,M E 和1,B C ，∵,M E 分别是1BB 和BC 的中点，∴1//ME B C 且112ME B C =，又N 是1A D ，∴//ME DN ，且ME DN =，∴四边形MNDE 是平行四边形，∴//MN DE ，又DE ⊂平面1C DE ，MN ⊄平面1C DE ，∴//MN 平面1C DE.（2）以D 为原点建立如图坐标系，由题(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，1(2,0,4)A，M 1(0,0,4)A A =-uuu r，1(2)A M =--uuuu r ，1(2,0,4)A D =--uuur，设平面1AA M 的法向量为1111(,,)n x y z =u r ，平面1DA M 的法向量为2222(,,)n x y z =u u r，由111100n A A n A M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uuu r u r uuuu r得11114020z x z -=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，令1x =得1n =u r ，由212100n A D n A M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r uuur u u r uuuu r得2222224020x z x z --=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，令22x =得2(2,0,1)n =-u u r ，∴12121215cos ,5n n n n n n ⋅==⋅u r u u ru r u u r u r u u r ，∴二面角1A MA N --的正弦值为5.19.解答：设直线l 的方程为b x y +=23，设),(11y x A ，),(22y x B ，（1）联立直线l 与抛物线的方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y bx y 3232消去y 化简整理得0)33(4922=+-+b x b x ，0494)33(22>⨯--=∆b b ，21<∴b ，9)33(421b x x -⨯=+，依题意4||||=+BF AF 可知42321=++x x ，即2521=+x x ，故259)33(4=-⨯b ，得87-=b ，满足0>∆，故直线l 的方程为8723-=x y ，即07128=+-x y .（2）联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y b x y 3232消去x 化简整理得0222=+-b y y ，084>-=∆b ，21<∴b ，221=+y y ，b y y 221=， PB AP 3=，可知213y y -=，则222=-y ，得12-=y ，31=y ，故可知23-=b 满足0>∆，∴3134|13|941||11||212=+⨯+=-⋅+=y y k AB .20.解答：(1)对()f x 进行求导可得，1()cos 1f x x x '=-+，(12x π-<<取1()cos 1g x x x=-+，则21()sin (1)g x x x '=-++,在(1,2x π∈-内21()sin (1)g x x x '=-++为单调递减函数，且(0)1g =，21(102(1)2g ππ=-+<+所以在(0,1)x ∈内存在一个0x ，使得()0g x '=，所以在0(1,)x x ∈-内()0g x '>，()f x '为增函数；在0(,2x x π∈内()0g x '<，()f x '为减函数，所以在()f x '在区间(1,2π-存在唯一极大值点；（2）由（1）可知当(1,0)x ∈-时，()f x '单调增，且(0)0f '=，可得()0'<x f 则()f x 在此区间单调减；当0(0,)x x ∈时，()f x '单调增，且(0)0f '=，()0f x '>则()f x 在此区间单调增；又(0)0f =则在0(1,)x x ∈-上()f x 有唯一零点0x =.当0(,2x x π∈时，()f x '单调减，且0()0,()02f x f π''><，则存在唯一的10(,)2x x π∈，使得1()0f x '=，在01(,)x x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调增；当1(,)2x x π∈时，()f x 单调减，且()1ln(1)1ln 022f e ππ=-+>-=，所以在0(,)2x x π∈上()f x 无零点；当(,)2x ππ∈时，sin y x =单调减，ln(1)y x =-+单调减，则()f x 在(,)2x ππ∈上单调减,()0ln(1)0f ππ=-+<,所以在(,)2x ππ∈上()f x 存在一个零点.当(,)x π∈+∞时，()sin ln(1)1ln(1)0f x x x π=-+<-+<恒成立，则()f x 在(,)x π∈+∞上无零点.综上可得，()f x 有且仅有2个零点.21.解答：（1）一轮实验中甲药的得分有三种情况：1、1-、0．得1分时是施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则(1)(1)P X αβ==-；得1-分时是施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则(1)(1)P X αβ=-=-；得0分时是都治愈或都未治愈，则(0)(1)(1)P X αβαβ==+--．则X的分布列为：（2）（i ）因为0.5α=，0.8β=，则(1)0.4a P X ==-=，(0)0.5b P X ===，(1)0.1c P X ===．可得110.40.50.1i i i i p p p p -+=++，则110.50.40.1i i i p p p -+=+，则110.4()0.1()i i i i p p p p -+-=-，则114i ii i p p p p +--=-，所以1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-= 为等比数列．（ii ）1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-= 的首项为101p p p -=，那么可得：78714p p p -=⨯，67614p p p -=⨯，………………2114p p p -=⨯，以上7个式子相加，得到76811(444)p p p -=⨯+++ ，则886781111441(1444)143p p p p --=⨯++++=⨯=- ，则18341p =-，再把后面三个式子相加，得23411(444)p p p -=⨯++，则4423411844141311(1444)334141257p p p --=⨯+++==⨯==-+．4p 表示“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只，且甲药的累计得分为4”，因为0.5α=，0.8β=，αβ<，则实验结果中“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只，且甲药的累计得分为4”这种情况的概率是非常小的，而41257p =的确非常小，说明这种实验方案是合理的．22.(1)曲线C :由题意得22212111t x t t -==-+++即2211x t +=+，则2(1)y t x =+，然后代入即可得到2214y x +=(1)x ¹-而直线l ：将cos ,sin x y ρθρθ==代入即可得到2110x ++=（2）将曲线C 化成参数方程形式为则d =所以当362ππθ+=23.（1）1abc = ，111bc ac ab a b c∴++=++.由基本不等式可得：222222,,222b c a c a b bc ac ab +++≤≤≤，于是得到222222222111222b c a c a b a b c a b c +++++≤++=++.（2）由基本不等式得到：332()8()a b a b ab +≥+≥，332()8()b c b c bc +≥+≥，332()8()c a c a ac +≥+≥.于是得到333333222()()()8[()()()]a b b c c a ab bc ac +++++≥++824≥⨯。