11.3 角的平分线的性质(第二课时)
角的平分线的性质第二课时教案
角的平分线的性质第二课时教案
11.3角的平分线的性质(第2课时)
【教学目标】
1．使学生掌握角的平分线的判定定理，并会用角的平分线的性质定理和判定定理解决有关简单问题．
2．通过引导学生参与活动的过程，使学生体验定理的发现及证明的过程提高思维能力．
3．通过师生互动，培养学生学习的自觉性，激发学生探究新知的热情． 【教学重点】角的平分线的判定定理的探索与角平分线的性质定理和判定定理应用．
【教学难点】角的平分线性质定理和判定定理的区别与联系．
【教学方法】启发探究式．
【教具】三角板
【教学流程】
一、复习引入：
学生口答角的平分线有什幺性质？教师强调说明：
“在角平分线上的点”都具有“到角的两边距离相等”的性质，即角平分线上没有不具备此性质的点．那幺，反过来会怎幺样呢？
二、探索新知：
1、提出问题，创设情境：
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个贸易市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）。
11.3角的平分线的性质说课稿
角的平分线的性质（二）一、教材的分析和处理本节课选自人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册，第十一章第三节内容“角的平分线的性质”。
1、教材的地位和作用角的平分线的性质是全等三角形知识的运用和延续，为后面证明线段相等、角相等的几何证明开辟了一种新的，更为简捷的方法。
同时也是轴对称图形的基础，并为解决九年级下册确定内切圆的圆心提供了依据。
本节分两个课时，我选的是第二课时。
本课时主要探究角的平分线的性质和判定，并能在此基础上进行简单的应用.教材不仅为学生动手操作、观察、思考、验证、交流等提供了较好的素材，使学生通过自主探究、合作交流等方式形成新的知识，更让学生学习了怎样从实际问题中建立数学模型，从而解决相关的实际问题。
2、教学目标知识与技能：掌握角的平分线的性质和判定，并会运用它们解决实际问题.过程与方法：通过让学生经历动手实践、合作交流、演绎推理的过程，培养学生的动手操作能力和逻辑思维能力，提高解决问题的能力.情感态度与价值观：经历对角的平分线的性质和判定的探索过程，发展应用数学知识的意识与能力，培养学生良好的学习态度及严谨的科学态度，体验探索过程中的乐趣与成功后的喜悦.3、教学重、难点重点：掌握角的平分线的性质和判定.难点：理解角的平分线的性质和判定的互逆关系，并能正确运用它们解决问题.4、教材的处理教材是围绕现实生活中的实际问题采用“创设问题情境—建立数学模型—解释、应用与拓展”的基本教学模式来展开教学活动。
让学生经历探索角的平分线的性质、判定的形成与初步的应用过程，从而能从理性逻辑思维的角度掌握性质和判定的区别与联系，达到真正的“学数学”和“用数学”。
二、教法、学法课堂教学利用引导，鼓励，赏识的教学方法充分调动学生的积极性，激发学生内在的动力，让他们主动的投入到学习中去，成为教学的主体和学习的主人，以获取最大限度的发展。
三、教学手段和教具准备教学手段：多媒体辅助教学，促进学生自主学习，提高学习效率.教具准备：学生各自准备一张三角形纸片.四、教学过程设计（1）创设情境、引入新知有两条小河交汇形成的三角区，土壤肥沃，气候宜人，有一头小牛的家就建在小河交汇所成的角平分线上的A处。
《 角的平分线的性质(第二课时)》精品教案 2022年公开课一等奖
教学过程设计角平分线的判定定理的应用：多媒体展示：〔1〕现有一条题目，两位同学分别用两种方法证明，问他们的做法正确？那一种方法好？ ：， CA ⊥OA 于A ，BC ⊥OB 于B ，AC=BC求证： OC 平分∠AOBB AO C证法1：∵CA ⊥OA ，BC ⊥OB ∴∠A=∠B 在△AOC 和△BOC 中⎩⎨⎧==BC AC OCOC ∴△AOC ≌△BOC 〔HL 〕∴∠AOC=∠BOC ∴OC 平分∠AOB 证法2：∵ CA ⊥OA 于A ，BC ⊥OB 于B ， AC=BC ∴OC 平分∠AOB 〔角平分线判定定理〕〔2〕：如图，AD 、BE 是△ABC 的两个角平分线，AD 、BE 相交于O 点求证：O 在∠C 的平分线上三、课堂训练多媒体展示：、1.如图，DB ⊥AN 于B ，交AE 于点O ，OC ⊥AM 于点C ，且OB=OC ，假设∠OAB =25°，求∠ADB 的度数.想及证明，归纳角平分线的判定定理。
学生明确在一定条件下，证角平分线不再用证三角形全等后再证角相等得出，可直接运用角平分线判定定理。
教师引导学生分析，思考，写出证明过程。
教师标准书写格式。
学生应用角的平分线判定定理解题。
概括能力。
使学生明确角平分线判定定理的作用。
稳固角的平分线的性质与判定的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力。
稳固本节所学。
BD MC N E A G板 书 设 计2.如图，AB =AC ，DE ⊥AB 于E ， DF ⊥AC 于F ，且DE =DF . 求证：BD =DC 四、小结归纳1.角平分线判定定理及期作用；2.在一定条件下，证角平分线不再用三角形全等后角相等得出，可直接运用角平分线判定定理。
3.三角形三个内角平分线交于一点，到三角形三边距离相等的点是三条角平分线的交点。
五、作业设计1.教材习题11.3第3、4题；2.补充作业：如图，ABC ∆的外角∠CBD 、∠BCE 的平分线相交于点F 。
角平分线的性质(2)最新版
角的平分线的性质(第2课时)精选教学PPT课件
A M
Q
O
N
B
应用角平分线性质定理的逆定理
1．判断题：
（2）如图，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则
OQ是∠AOB 的平分线；
(X )
A
M
Q
O
N
B
应用角平分线性质定理的逆定理
1．判断题： （3）已知：Q 到OA 的距离等于2 cm， 且Q 到OB
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线 上．
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
追问1 你能ห้องสมุดไป่ตู้明这个结论的正确性吗？
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
追问2 这个结论与角的平分线的性质在应用上有 什么不同？
这个结论可以判定角的平分线，而角的平分线的性 质可用来证明线段相等．
应用角平分线性质定理的逆定理
距离等于2 cm，则Q 在∠AOB 的平分线上．(√ )
A
M
Q
O
N
B
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个广告牌P，使它到两 条公路的距离相等．
（1） 这个广告牌P 应建于何处？这样的广告牌可 建多少个？
S
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个广告牌P，使它到两 条公路的距离相等．
P NM
变式拓展
变式2 如图，P 点是△ABC
A
的两个外角平分线 BM，CN 的交
点，求证：点 P 在∠BAC 的平分 B
C
线上．
P NM
变式拓展
变式3 如图，将问题3中“S 区”去掉，广告牌P 到两条公路和一条铁路的距离相等．这个广告牌P 应建 在何处？
新人教版11.3角的平分线的性质第二课时
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足， PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上． 证明: 证明 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）， ⊥ ， ⊥ （已知）， ∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义） ＝ ＝ ° 垂直的定义） 在Rt△PDO和Rt△PEO中 △ 和 △ 中 PO＝PO（公共边） ＝ （公共边） PD=PE ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL） △ ≌ △ （ ） ∴ ∠ POD＝∠POE ＝ ∴点P在∠AOB的平分线上
Hale Waihona Puke 2、如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 证明：过点 作 ⊥ 于 ， 证明：过点P作PD⊥AB于D， PE⊥BC于E，PF⊥AC于F ⊥ 于 ， ⊥ 于 ∵BM是 的角平分线, BM上 ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, 的角平分线 ∴PD=PE 同理,PE=PF. 同理,PE=PF. ∴PD＝ ∴PD＝PE=PF. 即点P到三边AB BC、CA的距离相等 AB、 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等 结论：三角形的三条角平分线交于一点， 结论：三角形的三条角平分线交于一点， 并且交点到三角形三边的距离相等。 并且交点到三角形三边的距离相等。
角的平分线的性质: 角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 用数学语言表述： ∵ OC是∠AOB的平分线 是 的平分线 PD⊥OA，PE⊥OB ⊥ ， ⊥ ∴ PD＝PE ＝
O 1 2 E B D P C A
反过来， 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是 否一定在这个角的平分线上呢？ 否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足， PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上．
角平分线的性质第2课时课件人教版八年级数学上册(完整版)
的距离分别为OF，OD，OE，且OF=OD=OE，若
∠BAC=70°，则∠BOC= 125° .
3.判断题:
(1)如图1，若QM=QN，则OQ平分∠AOB.( × )
(2)如图2，若QM⊥OA于点M，QN⊥OB于点N，则OQ平分
∠AOB.( × )
当堂训练
4.如图所示，点P是△ABC的外角∠CBE和外角∠BCF
讲授新知
知识点3 三角形三个内角平分线的性质
分别画出以下三角形的三个内角的角平分线，从位置上你能观察出什么 结论？
三角形三个内角的角平分线的交点位于三角形的内部.
讲授新知
过交点分别作三角形三边的垂线，根据角平分线的性质定理 你能得出什么结论？
A
A
A
┐
边的垂线段相等
┐
C
（1）使用该判定定理的前提是这个
点必须在角的内部；
（2）角的平分线的判定定理是证明两角相
等的重要办法.
O
几何表示：
B
E PC
┐
D
A
如图所示，因为点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂
足分别为D，E，且PD=PE，所以点P在∠AOB的平分线OC上.
范例应用
例1 如图所示，要在S 区建一个集贸市场，使 它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路 的交叉处500 m. 这个集贸市场应建于何处（在图 上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？
解：因为
图上距离
500m
=
1
20000
所以图上距离 = 0.025m = 2.5cm.
如图所示：P点即为所求 ;理由如下： P点在这个交叉口的角平分线上，
P
所以P点到公路与铁路的距离相等.
11.3角平分线的性质(第二课时)
2008年下期八年一期数学师生共用讲学稿（NO:10）
执笔：刘伟平审核：吴光丁姓名
学习课题：11.3角的平分线的性质（第二课时）
学习内容：教材P21
学习目标：1、进一步熟练角平分线的画法，证明几何命题的步骤
2、进一步理解角平分线的性质及运用
学习重点：角平分线的性质及运用
学习难点：角平分线的性质的灵活运用
学习方法：探究、交流、练习
学习过程：
一、课前巩固
1、画出三角形三个内角的平分线
你发现了什么特点吗？
2、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等
二、学习新知
（一）思考：教材P21
1、求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
2、完成思考中的问题（完成于书上）
（二）应用
1、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，求
证∠1＝∠2
三、总结
四、作业
1、如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB 交OB于E，F是OC上的另一点，连接DF，EF，
求证DF＝EF
2、如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，求证：D到PE的距离与D到PF的距离相等。
第2课时 角平分线的性质与判定的综合应用
求证：BD=2CD。
A
B 证明：
D
C
∵∠C=90°，∠B=30° ∴Rt△ABC中，AB=2BC，∠BAC=60° ∵AD是△ABC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=30°，AD=BD ∴Rt△ACD中，AD=2CD ∴BD=2CD
3.已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分线相
交于点F。
E
C
H
（三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等）
这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一，这个交点叫做三 角形的内心。
比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定 理
三边角三角形
交点性质
交于三角形内一点 交于三角形外一点 交于斜边的中点
第二课时
角平分线
1.角平分线的性质定理 定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等。
A D
如图，
O1 2
P C
∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E（已知
E B
）
∴PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边距
离这相个等结）论是经常用来证明两条线段相等的根据之一。
A
求证：点F在∠DAE的平分线上。
B
C
证明：
∵BF是∠CBD的角平分线 D ∴F到BC，AD的距离相等
F
E
∵BF是∠CBD的角平分线
∴F到BC，AE的距离相等
∴F到AD，AE的距离相等
从而点F在∠DAE的平分线上
4.已知：如图，P是∠AOB平分线上的一个点，并且
PC⊥OA，
PD⊥OB，垂足分别是C，D。 C A 求证：（1）OC=OD;
角平分线的性质和判定复习2
角平分线的性质和判定复习11.3角的平分线的性质（二）问题1：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：问题2：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表： 性质一：∵ ∴ 性质二：∵∴ 3.学生思考：如图所示，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m ，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？一、夯实基础1．如图1所示，AD ⊥OB ，BC ⊥OA ，垂足分别为D 、C ，AD 与BC 相交于点P ，若PA ＝PB ，则∠1与∠2的大小是（ ） A.∠1＝∠2 B.∠1＞∠2 C.∠1＜∠2 D.无法确定2．△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，若AB ＝12cm ，则△DBE 的周长为（ ）A 、12cm B 、10cm C 、14cm D 、11cm 3．如图2所示，已知PA 、PC 分别是△ABC 的外角∠DAC 、∠ECA 的平分线，PM ⊥BD ，PN ⊥BE ，垂足分别为M 、N ，那么PM 与PN 的关系是（） A.PM ＞PN B.PM ＝PN C.PM ＜PN D.无法确定4．如图3所示，△ABC 中，AB=AC ，AD 是∠A 的平分线，DE⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，下面给出四个结论，其中正确的结论有( )①AD 平分∠EDF ； ②AE=AF ；③AD 上的点到B 、C 两点的距离相等 ④到AE 、AF 距离相等的点，到DE 、DF 的距离也相等 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 5． 如图，已知点D 是∠ABC 的平分线上一点，点P 在BD 上，PA ⊥AB ，PC ⊥BC ，垂足分别为A ，C ．下列结论错误的是（ ）． A ．AD=CP B ．△ABP ≌△CBP C ．△ABD ≌△CBD D ．∠ADB=∠CDB ． 6． (2007广东)到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）Ａ．三条中线的交点 Ｂ．三条高的交点 Ｃ．三条边的垂直平分线的交点Ｄ．三条角平分线的交点7．在△ABC 中，∠C=900，AD 平分∠CAB ，BC ＝8cm ，BD＝5cm ，那么D 点到直线AB 的距离是 cm ． 二、细心做一做，你会成功BDＣD M A NP E图2 B 图3 图1A BCD PSS8．已知：AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BD ＝CD ，求证：∠B ＝∠C.9．如图，已知在△ABC 中，90C ∠= ，点D 是斜边AB 的中点，2AB BC =，DE AB ⊥ 交AC 于E ．求证：BE 平分ABC ∠．10． 先作图，再证明．（1①作ACB ∠的平分线CD ，交AB 于点D ； ②延长BC 到点E ，使CE CA =，连结AE ． （2）求证：CD AE ∥．11.如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB. 求证：DF ＝EF. 证明：∵∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴ ＝ （角的平分线的性质） ∵∠3＝∠1＋90°，∠4＝∠2＋90°，∴∠3＝∠4. (剩余的补充完整)12．如图，△ABC 中，P 是角平分线AD ，BE 的交点．求证：点P 在∠C 的平分线上．13．已知：如图，90B C ∠=∠=，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠． （1）若连接AM ，则AM 是否平分BAD ∠？请你证明你的结论． （2）线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．中考链接16．（2007广东茂名）Rt 90ABC C BAC ∠∠在△中，＝，分线AD 交BC 于点D ，2CD ＝，则点D 到AB 的距离是（ A ．1 B ．2 C ．3 D ．417．（2006年镇江）⑴如图，已知△ABC ，∠C ＝90°.（尺规作图，保留作图痕迹）：① 作∠B 的平分线，与AC 相交于点D ； ② ②在AB 边上取一点E ，使BE ＝BC③ 连接ED;⑵根据所作图形，写出一组相等的线段和 一组相等的锐角.（不包括BE ＝BC ，∠EBD ＝∠CBD ）答：________________________________________________．A B CD EPＭF34PDEO ABC12A EＣ参考答案夯实基础1．选A ，提示：∵AD ⊥OB ，BC ⊥OA ，PA ＝PB2．2．选A ；提示：∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，∠C △AED ，∴CD ＝DE ，AE ＝AC ，∴△DBE 的周长＝DE ＋EB BC ＋EB ＝AC ＋EB ＝AE ＋EB ＝AB ＝12cm ．3．选B ，提示：过P 作PT ⊥AC 于T ，因为PA 平分∠DAC 又PC 平分∠ACE ，PT ⊥AC ，PN ⊥BE ，∴PN ＝PT ，∴PM 4．选D ，提示：①②③④都正确． 5．A6．8，提示：根据角平分线的性质可得D 到斜边AB 7．①、②、④ 8．269．由∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，可作DE ⊥AB 于E 离是DE 的长，由角平分线的性质可知DE ＝CD ．又BC 以DE ＝CD ＝3cm ．所以D 点到直线AB 的距离是3cm ． 10．四处．提示：如图2所示：⑴作出△ABC 两内角的平分线，其交点为O 1；⑵分别作出△ABC 两外角平分线，其交点分别为O 2，O 3，O 4，故满足条件的修建点有四处，即O 1，O 2，O 3，O 4．11．因为AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，所以DE ＝DF ，在Rt △DEB 与Rt △DFC 中，BD ＝CD ，DE ＝DF ，所以Rt △DEB ≌Rt △DFC （HL ），所以∠B ＝∠C ． 12．D ∵是AB 的中点，12BD AB =∴， 2AB BC =∵，12BC AB =∴，BD BC =∴． 又∵DE AB ⊥，90C ∠= ，90C BDE ∠=∠=∴又BE BE =，Rt Rt BDE BCE △≌△（HL ）， DBE EBC ∠=∠∴，BE ∴平分ABC ∠．（1）作图略；（2）AC CE =∵，AC CE ⊥，ACE ∴△为等腰直角三角形，．45ACD ∠=∴又CD ∵平分ACB ∠．45CAE ∠=∴．ACD CAE ∠=∠∴．CD AE ∴∥． （1）AM 平分DAB ∠． 证明：过点M 作ME AD ⊥，垂足为E ．12∠=∠∵，MC CD ⊥，ME AD ⊥， ME MC =∴又MC MB =∵，ME MB =∴． MB AB ∵⊥，ME AD ⊥， ∴AM 平分DAB ∠．（2）AM DM ⊥，理由如下： 90B C ∠=∠= ∵，CD AB ∴∥（垂直于同一条直线的两条直线平行）．180CDA DAB ∠+∠= ∴（两直线平行，同旁内角互补）又112CDA ∠=∠∵，132DAB ∠=∠（角平分线定义）2123180∠+∠= ∴，1390∠+∠= ∴， 90AMD ∠= ∴．即AM DM ⊥．BB 的平分线，标出交点D ；标出点E ，连接ED ；⑵写出DE ＝DC ，∠BDE ＝∠BDC 或∠ADE ＝∠ABC ．2。
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教学过程设计
三、课堂训练 多媒体展示：、
1.如图，已知DB ⊥AN 于B ，交AE 于点O ，OC ⊥AM 于点C ，且OB=OC ，若∠OAB =25°，求∠ADB 的度数.
2.如图，已知AB =AC ，DE ⊥AB 于E ， DF ⊥AC 于F ，且DE =DF . 求证：BD =DC 四、小结归纳
1.角平分线判定定理及期作用；
2.在已知一定条件下，证角平分线不再用三角形全等后角相等得出，可直接运用角平分线判定定理。
3.三角形三个内角平分线交于一点，到三角形三边距离相等的点是三条角平分线的交点。
五、作业设计
1.教材习题11.3第3、4题；
2.补充作业：
如图，ABC ∆的外角∠CBD 、∠BCE 的平分线相交于点F 。
求证：(1) ∠BFC =A ∠-︒2
190；
(2) 点F 在∠DAE 的平分线上.
学生应用角的平分线判定定理解题。
学生总结所学知识，谈谈判定定理的用途。
巩固本节所学。
及时小结形成知识块。
B
D
M
C
N
E A
G
板书设计
可以编辑的试卷（可以删除）。