铅锤高求三角形面积法解析

(完整版)铅锤高求三角形面积法

作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法------------二次函数教学反思最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。

在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB .（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由. 解：（1）B （1（2）设抛物线的解析式为y =ax (x+a )，代入点B （1, ，得a =，因此2y （3）如图，抛物线的对称轴是直线x =—1，当点C 位于对称轴与线段AB 的交点时，△BOC 的周长最小.设直线AB 为y =kx +b .所以20.k k b k b b ⎧=⎪⎧+=⎪⎪⎨⎨-+=⎪⎩⎪=⎪⎩解得，因此直线AB 为y x =，当x =－1时，y =，因此点C 的坐标为（－1）.（4）如图，过P 作y 轴的平行线交AB 于D .图12221()()21323323323333333223193228PAB PAD PBD D P B A S S S y y x x x x x x x x ∆∆∆=+=--⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=--+⎛⎫=-++⎪⎝⎭当x =－12时，△P AB 的面积的最大值为938，此时13,24P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 例2．(2014益阳) 如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆；(3)是否存在一点P ，使S △P AB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21+-=x a y 把A （3,0）代入解析式求得1-=a 所以324)1(221++-=+--=x x x y 设直线AB 的解析式为：b kx y +=2由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( 把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中解得：3,1=-=b k 所以32+-=x y(2)因为C 点坐标为(１,4)所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2所以CD ＝4-2＝232321=⨯⨯=∆CAB S (平方单位) (3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△P AB 的铅垂高为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-=由S △P AB =89S △CAB 得389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x 解得，23=x 将23=x 代入3221++-=x x y 中，解得P 点坐标为)415,23(例3．（2015江津）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.图-2xCOy ABD 11解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝∴23b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为：223y x x =--+(2)存在。

【八年级下】数学·一次函数与三角形面积的铅垂线法

【八年级下】数学·一次函数与三角形面积的铅垂线法关于一次函数，我们已经为大家推送了不少微课、重难点专项，今天为大家推送一次函数与面积结合问题，分两讲：动点和铅垂线法。

今天我们两讲，这一讲为大家讲解一次函数与三角形面积的铅垂线法！话不多说，请看下文↓↓一．问题分析我们知道，一次函数的图像是一条直线，其与坐标轴围成一个三角形，若要求这个“坐标三角形”的面积，则只要知道其与x轴，y轴的交点坐标即可，难度不大，故不展开．但如果有两条直线相交，你会求它们与坐标轴围成的三角形面积吗？甚至如果有三条直线相交，你能求出这三条直线围成的三角形面积吗？本讲就主要研究后2类问题及其变式．二．实例感悟(1)两线与一轴即有两条直线相交，分别求两直线与x轴，y轴围成的三角形面积．例1：已知直线y1＝－x＋3与y2＝x＋1，求两直线与坐标轴围成的三角形面积．分析：显然，我们要先求出5个关键点的坐标，y1与x轴交点A的坐标，与y轴交点B的坐标，y2与x轴交点C的坐标，与y轴交点D的坐标，以及y1与y2的交点E的坐标．并确定△CEA是两直线与x轴围成的三角形，△DEB是两直线与y轴围成的三角形．小结：我们发现，三角形的底和高是可以不断变化的，如果两个点均在x 轴上，则用横坐标相减的绝对值表示两点间的距离，若两个点均在y 轴上，则用纵坐标相减的绝对值表示两点间的距离，当然，明确左右和上下的情况下，右减左和上减下，可保证为正．变式1：直线y1＝k1x＋b1(k1＞0)和直线y2＝k2x＋b2(k2＜0)相交于点(－2，0)，且两直线与y轴所围成的三角形面积是4，求b1－b2．解析：变式2：在平面直角坐标系中，一条直线经过A(－1，5)，B(－2，a)，C(3，－3)三点，这条直线与y轴交于点D，求△OBD的面积．解析：同样操作，先将这条直线的解析式求出，从而知道点B的坐标，与y轴交点D的坐标，画出草图，谁为高，谁为底，一目了然．变式3：直线y＝kx＋3(k＜0)与x轴，y轴分别交于A，B两点，OB：OA ＝3：4，点C为直线上一动点，若△AOC面积为4，求点C坐标．分析：首先，可知点B坐标(0，3)，OB＝3，则OA＝4，再根据k＜0，确定图像经过一二四象限，A(4，0)，从而可求直线AB的解析式，画出图像，我们发现，△AOC以AO为底，则高要用点C纵坐标的绝对值来表示．解答：(2)三线两相交即三条直线两两相交，求出三条直线围成的三角形面积．其实，这个问题可以转化为给出平面直角坐标系内任意三点的坐标，求出以这三个点为顶点的三角形的面积．由于此时的三角形的底边均为倾斜的，这就需要用到一种全新的方法——铅垂线法，或称宽高法来求三角形的面积．例2：已知直线OA经过一三象限，A为第一象限内一定点，动点B不在直线OA上，且BA，BO不与y轴平行，求S△OAB分析：显然，这时候的三角形OAB的底并不在x轴，y轴上，即便求出底边长，高依旧是倾斜的，十分难算，因此，我们可以考虑割补法．如果采用补，补成一个矩形，减去周围三个小三角形的面积那也是可以的，但在今后，尤其是初三求二次函数图像上三点围成三角形面积最值时，点的坐标不能确定，就无法适用，所以今天重点介绍铅垂线法．什么是铅垂线法呢，就以例2来说，我们可以过点B作一条铅垂线，即作BD⊥x轴，与OA交于点C，则△OAB的面积就可以看作是△OBC与△ABC的面积之和或面积之差，此时，铅垂线BC反而转化为底边，再过点A作AE⊥x轴，则OA水平方向上的距离：即OE的长，可以看作OD与DE的和，或差，此时OD反而看作△OBC的高，DE 看作△ABC的高，则△OAB的面积即可看成是解答：为了让大家更直观的理解，将6种情况全部展示如下，后三种与前三种类似，故只给图，“无字证明”，可对照消化．以上几种情况，属于用多题一解进行验证，均选取OA水平方向的OE长为水平宽，过点B作铅垂线，以B点与OA交点C之间的距离作为铅垂高，从而得出了宽高公式，说的再透些，那么，这个公式能否通过一题多解来验证呢，答案当然是可以的，就以第一种情况为例．以上三图，O、A、B三点的位置均不变，我们可以选取任意两点横坐标之差的绝对值作为水平宽，过第三个点作铅垂线，与之前两点所在直线交于一点，第三个点与这个交点纵坐标之差的绝对值作为铅垂高，则问题均可圆满解决．例2：已知A(－1，3)，B(1，1)，C(2，2)，求S△ABC解析：本题是最基本的练习，现用宽高法的三种不同形式都计算一遍来检验下．分析：本题解法较多，我们重点来研究铅垂线法．显然，这样的点Q有2个，在射线AB上，或者射线AC上．因为点A的坐标可以确定，那么OA的水平宽可以确定，又因为三角形面积确定，则铅垂高也确定，则问题最后转化为一个方程即可解决．解答：小结：从2种情况综合来看，我们不难发现，铅垂高的长度，就是两直线解析式的差的绝对值，这个结论在初三还会有更大作用．当然，本题还可以先求出△OAB的面积，从而求出OBQ1的面积，确定Q1的坐标，同理，求出△AOC的面积，从而求出△OCQ2的面积，确定Q2的坐标．最后，你发现Q1，Q2关于A对称了吗？Q1A＝Q2A，A是它们俩的中点哦．。

二次函数之“铅垂法”求三角形面积

二次函数之“铅垂法”求三角形面积求三角形面积往往用公式12S a h∆=或1sin2S ab C∆=进行计算。

在二次函数里，有时用公式求三角形面积有一定的难度，我们不妨考虑用“铅垂法”来解决。

图1 图2作法：1、作铅直线PM交线段AB于点M；2、分别过A、B两点作PM的垂线段。

计算：如图1：S△PAB= S△PMA+S△PMB=12×PM×h2+12×PM×h1=12×PM×(h2+h1)；①如图2：S△PAB= S△PMA﹣S△PMB=12×PM×h2－12×PM×h1=12×PM×(h2－h1)。

②理解：我们把公式中的PM称为三角形的“铅直高度”，把(h2+h1)或(h2－h1)称为三角形的“水平宽度”，则三角形的面积等于“铅直高度”与“水平宽度”积的一半。

特别地，在二次函数中，三角形的“铅直高度”就是动点P和铅直线PM与线段AB交点M的纵坐标之差（y P －y M），“水平宽度”就是两定点A与B的横坐标之差（x B－x A），即S△=12×（y P－y M）×（x B－x A）。

我们把这种求三角形面积的方法叫做“铅垂法”。

运用：例：如图，直线l:y=−x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2−2ax+a+4(a<0)经过点B。

（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M 的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值及此时动点M的坐标。

解答：（1）y=－x 2+2x+3；（2）过点M 作MC ⊥x 轴交直线AB 于点C 。

设M （t ，－t 2+2t+3），则C （t ，－t+3）。

∵A （3，0），B （0，3）∴S=12×〖（－t2+2t+3）－（－t+3）〗×（3－0）化简整理得：23327()224S t =--+。

铅锤高求三角形面积法

作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好方法------------ 二次函数教课反思近来教课二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好方法。

在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀” ，同学们很快掌握了这类方法现总结以下：如图1，过△ ABC 的三个极点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ ABC 的“水平宽” ( a ) ，中间的这条直线在△ ABC 内部线段的长度叫△ ABC 的“铅垂高 ( h ) ” . 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S ABC1ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.2yy铅垂高BBChCDB水平宽A O xA Oxa图 1P例 1．（2013 深圳）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－ 2， 0），连接 OA ，将线段 OA 绕原点O 顺时针旋转 120°，获得线段OB. （ 1）求点 B 的坐标；（ 2）求经过 A 、O 、B 三点的抛物线的分析式；（ 3）在（ 2）中抛物线的对称轴上能否存在点 C ，使△ BOC 的周长最小？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明原由 . （ 4）假如点 P 是（ 2）中的抛物线上的动点，且在 x 轴的下方，那么△ PAB 能否有最大面积？如有，求出此时 P 点的坐标及△ PAB 的最大面积；若没有，请说明原由.解：（ 1）B （ 1， 3 ）（ 2）设抛物线的分析式为 y=ax(x+a )，代入点 B （ 1,3 ），得 a3，所以 y3 x 2 2 3 x33 3（ 3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点 C 位于对称轴与线段AB 的交点时，△ BOC 的周长最小 .k 3k b3,33 2 3 3设直线 AB 为 y=kx+b.所以解得，所以直线 AB 为 y ，2k b 0.2 3 x，当 x=－1 时，yb3333所以点 C 的坐标为（－ 1， 3 /3） .（ 4）如图，过 P 作 y 轴的平行线交 AB 于 D .1 SPABSPADSPBD( y D y P )( x Bx A )21 3 x23 3 x 2 2 3 x 323 3 333 x 2 3 x 3 2 2 23 1392x82当 x=－ 1 时，△ PAB 的面积的最大值为9 3，此时 P 1 ,3 .28 24例 2．(2014 益阳 ) 如图 2，抛物线极点坐标为点 C( 1, 4), 交 x 轴于点 A( 3, 0) ，交 y 轴于点 B. (1)求抛物线和直线 AB 的分析式； (2)点 P 是抛物线 ( 在第一象限内 )上的一个动点，连接 PA ，PB ，当 P 点运动到极点C 时，求△ CAB 的铅垂高 CD 及 S CAB ；(3)能否存在一点 P ，使 S △ PAB =98若不存在，请说明原由 .S △ CAB ，若存在，求出 P 点的坐标；解： (1) 设抛物线的分析式为：y 1 a(x 1) 2 4 把 A （3,0）代入分析y 式求得 a1所以 y 1(x1) 2 4x 22x 3 设直线CAB 的解B析式为： y 2 kx b 由 y 1x 2 2x 3 求得 B 点的坐标为 (0,3) 把DA(3,0) ， B(0,3) 代入 y 2kx b 中1x解得：AO1k1, b3 所以 y 2x3图- 2(2) 因为 C 点坐标为 (１ ,4)所以当 x ＝１时， y 1＝ 4， y 2＝ 2 所以 CD ＝ 4- 2＝ 2S CAB13 2 3 (平方单位 ) 2(3) 假设存在吻合条件的点 P ，设 P 点的横坐标为 x ，△ PAB 的铅垂高为 h ，则h y 1y 2 ( x22x 3) ( x 3)x 291 3 ( x23x) 9 3化简3x 由 S = S得△ PAB8 △ CAB2 8得： 4x 212 x9 0解得， x3 将 x3代入 y 1 x 22x3 中，解得 P 点坐标为 ( 3 , 15 )2 22 4例 3．（ 2015 江津）如图，抛物线 yx 2 bxc 与 x 轴交于 A(1,0),B(- 3， 0) 两点，（ 1）求该抛物线的分析式；（ 2）设（ 1）中的抛物线交 y 轴于 C 点，在该抛物线的对称轴上能否存在点Q ，使得△ QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明原由 . （ 3）在（ 1）中的抛物线上的第二象限上能否存在一点 P ，使△ PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△ PBC 的面积最大值 . 若没有，请说明原由 .解： (1) 将 A(1 ， 0) ， B( － 3，0) 代 yx2bx c 中得1 b ＝b 2c 0 ∴9 3b c 0 c3∴抛物线分析式为： yx 22x 3(2) 存在。

用铅垂高法计算三角形的面积

证明如下：
ｈ。Ｓ￣Ｂｃ＝Ｓ △ ｃｓ。－１－一
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利用茎三嘉角形面积等于水平宽与铅垂Ｌ函
稠
高乘积的一半的方法去求三角形的面积会有三种方法，这三种方法中的铅垂高有一种是在三角形的里面，有两种是在三角形的外
样ｓ “ １
。
此时，点Ｅ坐标为（一孚，孚）
【小结】对于不规则四边形面积的求法，我们常规的方法是
把它化成规则的图形去解决。但是在平面直角坐标系中求图形的面积，涉及到坐标与线段的转化，是很麻烦的。如果把四边形分割成一个斜三角形和一个固定的三角形，斜三角形用“ 铅垂高法” 就会很方便。三、体会
・．．
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｛
ＰＥ＝一ａ２ — ２。＋３一（口＋３＝－ａ２ — ３ａ
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Ｓ口 ∞ 忸＝ｓｓ △ ∞ ｝Ｄ曰 ‘ ＯＣ＋｝ＯＢ ‘ 船
＝一×３ ×３＋ — １× ３・（一６２ — ３ａ）
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手一９叶９３）＋譬（一３＜。＜０）
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直线之间的距离叫做ＡＡＢＣ的“ 水平宽（ｎ），过点Ｂ的直线与鲋
．
．
当一孚时，Ｓ踟最大，且最大值为６３．
与的延长线之间线段的长度叫ＡＡＢＣ的“ 铅垂高ＢＤ（Ａ），同
１

铅垂高水平宽求三角形面积

铅垂高水平宽求三角形面积
S△ABC＝1\2ah。

过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的水平宽(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的铅垂高(h)，我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC＝1\2ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

铅垂高法是解决与二次函数相关的三角形面积问题的一个特殊的方法。

铅垂高
任何物件如铅垂一样的与地成正垂直，就是铅垂方向，沿铅垂方向的高度就是铅垂高，即在铅垂方向的投影；
与铅垂方向垂直的方向就是水平方向，物体沿水平方向的宽度就是水平宽。

把三角形沿水平方向分割成上下两部分，上部分面积＝水平宽×h1×1/2，下部分面积＝水平宽×h2×1/2，h1+h2＝铅垂高，结论得证。

二次函数动点三角形面积最值问题

当点CC在何处时SS△AAAAAA有最大值?1.铅垂高法做CCCC⊥ xx轴且交直线AABB于点D,设点CC坐标为(mm, aamm2+ bbmm+ cc),直线AB的解析式为gg(xx) = kkxx + qq,∴点D坐标为(mm, kkmm + qq),∴CC CC的长度为f(m) − g(m) = aamm2 + bbmm + cc−kkmm−qq, ∴SS△AA AAAA= SS△AAAAAA+ SS△AA AAAA= AAAA×(xx BB−xx AA),将CC CC为aamm2 + bbmm + cc−kkmm−qq代入，令(xx−xx) = ss,可2 AA AA得SS= (aamm2+bbmm+cc−kk mm−qq)×ss= aa ss mm2+(bb−kk)ss mm+ss(cc−qq),当aassmm2+ (bb−△AAAAAA 2 2kk)ssmm + ss(cc−qq)有最大值时，SS△AA AAAA有最大值.当m = −bb= −(bb−kk)ss= −bb−kk时, aassmm2 + (bb−kk)ssmm + ss(cc−qq)有最2aa2aass2aa大值, SS△AAAAAA有最大值.A A � A A A � A作直线l l 平行于直线AABB 且与f(x)只有一个交点C （即直线l 与ff (xx ) = aaxx 2 + bbxx + cc 相切）,此时SS △AAAAAA 为最大值.∴ ff ′(xx ) =ff (xx AA ) − ff (xx A A ) = 2aaxx + bb xx AA − xx AA (aaxx 2 + bbxx AA + cc ) − (aaxx 2 + bbxx A A + cc ) ⇒= 2aaxx + bb xx AA − xx AA aa (xx 2 − xx 2) + bb (xx AA − xx A A ) ⇒= 2aaxx + bb xx AA − xx AA aa (xx AA + xx A A )(xx AA − xx A A ) + bb (xx AA − xx A A )⇒ xx AA − xx AA= 2aaxx + bb ⇒ aa (xx AA + x x AA ) + bb = 2aaxx + bb ⇒ xx = xx AA + xx AA 2 ∴当xx = xx BB +xx AA时, SS 有最大值. 2 △AAAAAA。