铅锤高求三角形面积法

作三角形铅锤高就是解决三角形面积问题得一个好办法
------------二次函数教学反思
最近教学二次函数遇到很多求三角形面积得问题,经过研究,我发现作三角形铅锤高就是解决三角形面积问题得一个好办法。

在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”,同学们很快掌握了这种方法现总结如下:如图1,过△ABC 得三个顶点分别作出与水平线垂直得三条直线,外侧两条直线之间得距离叫△ABC 得“水平宽”(a ),中间得这条直线在△ABC 内部线段得长度叫△ABC 得“铅垂高(h )”、我们可得出一种计算三角形面积得新方法:,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积得一半、
例1.(2013深圳)如图,在直角坐标系中,点A 得坐标为(－2,0),连结OA ,将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°,得到线段OB 、(1)求点B 得坐标;(2)求经过A 、O 、B 三点得抛物线得解析式;(3)在(2)中抛物线得对称轴上就是否存在点C ,使△BOC 得周长最小？若存在,求出点C 得坐标;若不存在,请说
明理由、(4)如果点P 就是(2)中得抛物线上得动点,且在x 轴得下方,那么△
P AB 就是否有最大面积？若有,求出此时P 点得坐标及△P AB 得最大面积;若没有,请说明理由、 解:(1)B (1,)
(2)设抛物线得解析式为y =ax (x+a ),代入点B (1, ),得,因此
(3)如图,抛物线得对称轴就是直线x =—1,当点C 位于对称轴与线段AB 得交点时,△BOC 得周长最小、 设直线AB 为y =kx +b 、所以,因此直线AB 为,当x =－1时,,因此点C 得坐标为(－1,/3)、 (4)如图,过P 作y 轴得平行线交AB 于D 、
当x =－时,△P AB 得面积得最大值为,此时、
例2.(2014益阳) 如图2,抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0),交y 轴于点B 、(1)求抛物线与直线AB 得解析式;(2)点P 就是抛物线(在第一象限内)上得一个动点,连结P A ,PB ,当P 点运动到顶点C 时,求△CAB 得铅垂高CD 及;(3)就是否存在一点P ,使S △P AB =S △CAB ,若存在,求出P 点得坐标;若不存在,请说明理由、
解:(1)设抛物线得解析式为:把A (3,0)代入解析式求得所以设直线AB 得
解析式为:由求得B 点得坐标为 把,代入中
解得:所以 ········································· (2)因为C 点坐标为(１,4)所以当x ＝１时,y 1＝4,y 2＝2所以CD ＝4-2＝2(平方单位)
(3)假设存在符合条件得点P ,设P 点得横坐标为x ,△P AB 得铅垂高为h ,则由S △P AB =S △CAB 得化简得:解得,将代入中,解得P 点坐标为
B
C
铅垂高
水平宽 h
a 图1
C
B A O y x D
B A O y
x
P
x
C
O
y
A
B
D 1 1
(3)
x y A
B
C P E O
x y
A B C
Q O 例3.(2015江津)如图,抛物线与x 轴交于A(1,0),B(- 3,0)两点,(1)求该抛物线得解析式;(2)设(1)中得抛物线交y 轴于C 点,在该抛物线得对称轴上就是否存在点Q,使得△QAC 得周长最小？若存在,求出Q 点得坐标;若不存在,请说明理由、(3)在(1)中得抛物线上得第二象限上就是否存在一点P,使△PBC 得面积最大？,若存在,求出点P 得坐标及△PBC 得面积最大值、若没有,请说明理由、 解:(1)将A(1,0),B(－3,0)代中得∴ ∴抛物线解析式为:
(2)存在。

理由如下:由题知A 、B 两点关于抛物线得对称轴对称 ∴直线BC 与得交点即为Q 点, 此时△AQC 周长最小 ∵ ∴C 得坐标为:(0,3) 直线BC 解析式为: Q 点坐标即为得解 ∴∴Q(－1,2) (3)答:存在。

理由如下:
设P 点∵若有最大值,则就最大,∴ ＝＝
当时,最大值＝ ∴最大＝ 当时,∴点P 坐标为
同学们可以做以下练习:
1.(2015浙江湖州)已知如图,矩形OABC 得长OA=,宽OC=1,将△AOC 沿AC 翻折得△APC 。

(1)填空:∠PCB=____度,P 点坐标为( , ); (2)若P,A 两点在抛物线y=－x 2+bx+c 上,求b,c 得值,并说明点C
在此抛物线上;
(3)在(2)中得抛物线CP 段(不包括C,P 点)上,就是否存在一点M,
使得四边形MCAP 得面积最大？若存
在,求出这个最大值及此时M 点得坐标;若不存在,请说明理由。

2.(湖北省十堰市2014)如图①, 已知抛物线(a ≠0)与轴交于点A (1,0)与点B (－3,0),与y 轴交于点C .(1) 求抛物线得解析式;(2) 设抛物线得对称轴与轴交于点M ,问在对称轴上就是否存在点P ,使△CMP 为等腰三角形？若存在,请直接写出所有符合条件得点P 得坐标;若不存在,请说明理由.(3) 如图②,若点E 为第二象限抛物线上一动点,连接BE 、CE ,求四边形BOCE 面积得最大值,并求此时E 点得坐标. 图① 图② 3、(2015年恩施) 如图11,在平面直角坐标系中,二次函数得图象与x 轴交于A 、B 两点, A 点在原点得左侧,B 点得坐标为(3,0),与y 轴交于C (0,-3)点, 点P 就是直线BC 下方得抛物线上一动点、
(1)求这个二次函数得表达式.
(2)连结PO 、PC,并把△POC 沿CO 翻折,得到四边形POPC , 那么就是否存在点P ,使四边形POPC 为菱形？若存在,请求出
此时点P 得坐标;若不存在,请说明理由.
(3)当点P 运动到什么位置时,四边形 ABPC 得面积最大并求出此时P 点得坐标与四边形ABPC 得最大面积、
解:(1)将B 、C 两点得坐标代入得 解得: 所以二次函数得表达式为: (2)存在点P ,使四边形POPC 为菱形.设P 点坐标为(x ,),PP 交CO 于E 若四边形POPC 就是菱形,则有PC ＝PO . 连结PP 则PE ⊥CO 于E ,∴OE=EC = =. ∴= 解得=,=(不合题意,舍去)
∴P 点得坐标为(,)
(3)过点P 作轴得平行线与BC 交于点Q ,与OB 交于点F ,设P (x ,),易得,直线BC 得解析式为则Q 点得坐标为(x ,x －3)、
EB QP OE QP OC AB S S S S CPQ BPQ ABC ABPC ⋅+⋅+⋅=
++=∆∆∆2
1
2121四边形
=
当时,四边形ABPC 得面积最大
此时P 点得坐标为,四边形ABPC 得面积.
25.(2015绵阳)如图,抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴得两个交点分别为A (－4,0)、B (2,0),与y 轴交于点C ,顶点为D .E (1,2)为线段BC 得中点,BC 得垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G .
(1)求抛物线得函数解析式,并写出顶点D 得坐标;
(2)在直线EF 上求一点H ,使△CDH 得周长最小,并求出最小周长; (3)若点K 在x 轴上方得抛物线上运动,当K 运动到什么位置时,△EFK 得
面积最大？并求出最大面积.
【解析】(1)由题意,得 解得,b =－1.
所以抛物线得解析式为,顶点D 得坐标为(－1,).
(2)设抛物线得对称轴与x 轴交于点M.因为EF 垂直平分BC,即C 关于直线EG 得对称点为B,连结BD 交于EF 于一点,则这一点为所求点H,使DH + CH 最小,即最小为 DH + CH = DH + HB = BD =. 而 .
∴ △CDH 得周长最小值为CD + DR + CH =.
设直线BD 得解析式为y = k1x + b,则 解得 ,b1 = 3.
所以直线BD 得解析式为y =x + 3.由于BC = 2,CE = BC ∕2 =,Rt △CEG ∽△COB,
得 CE : CO = CG : CB,所以 CG = 2、5,GO = 1、5.G(0,1、5).同理可求得直线EF 得解析式为y =x +. 联立直线BD 与EF 得方程,解得使△CDH 得周长最小得点H(,). (3)如图所示,设K(t,),xF ＜t ＜xE.过K 作x 轴得垂线交EF 于N.
C E
D
G A
x
y O
B F
图11 K N
C E
D
G A
x
y O
B F
则KN = yK－yN =－(t +)=.
所以S△EFK = S△KFN + S△KNE =KN(t + 3)+KN(1－t)= 2KN = －t2－3t + 5 =－(t +)2 +. 即当t =－时,△EFK得面积最大,最大面积为,此时K(－,).。