中值定理PPT教学课件
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《微分中值定理》课件
傅里叶级数：描述周期函数 可以分解为无穷多个正弦函 数的和
积分中值定理的应用：求解 定积分、证明不等式等
积分中值定理：描述函数在 某区间上的平均值与该区间 内函数值的关系
傅里叶级数的应用：信号处 理、图像处理、数据分析等
06
微分中值定理的习题和 解析
基础题目解析
题目：求函数f(x)=x^2+2x+1在区间[0,1]上的最大值和最小值 解析：使用微分中值定理，找到函数f(x)在区间[0,1]上的最大值和最小值 题目：求函数f(x)=x^3-2x^2+3x+1在区间[0,1]上的最大值和最小值 解析：使用微分中值定理，找到函数f(x)在区间[0,1]上的最大值和最小值
解决实际问题：微分中值定理在物理、工程等领域的实际问题中有广泛应用。
优化算法：微分中值定理在优化算法中有重要应用，如梯度下降法、牛顿法等。
证明不等式：微分中值定理在证明不等式方面有广泛应用，如拉格朗日中值定理、柯西 中值定理等。
解决微分方程：微分中值定理在解决微分方程方面有重要应用，如欧拉-拉格朗日方程、 庞加莱方程等。
提高题目解析
分析题目：分析题目中的已 知条件和未知条件，找出题 目中的关键信息
理解题目：明确题目要求， 理解题目中的关键词和条件
解题步骤：列出解题步骤， 每一步都要有明确的依据和
理由
解题技巧：总结解题技巧， 如使用公式、定理、图形等
工具进行解题
综合题目解析
题目类型：微 分中值定理的
综合题目
题目来源：教 材、习题集、
03
微分中值定理的基本概 念和性质
导数的定义和性质
导数的定义：函数在某一点的切线 斜率
导数的计算方法：极限法、导数公 式、导数表
积分中值定理的应用：求解 定积分、证明不等式等
积分中值定理：描述函数在 某区间上的平均值与该区间 内函数值的关系
傅里叶级数的应用：信号处 理、图像处理、数据分析等
06
微分中值定理的习题和 解析
基础题目解析
题目：求函数f(x)=x^2+2x+1在区间[0,1]上的最大值和最小值 解析：使用微分中值定理，找到函数f(x)在区间[0,1]上的最大值和最小值 题目：求函数f(x)=x^3-2x^2+3x+1在区间[0,1]上的最大值和最小值 解析：使用微分中值定理，找到函数f(x)在区间[0,1]上的最大值和最小值
解决实际问题：微分中值定理在物理、工程等领域的实际问题中有广泛应用。
优化算法：微分中值定理在优化算法中有重要应用，如梯度下降法、牛顿法等。
证明不等式：微分中值定理在证明不等式方面有广泛应用，如拉格朗日中值定理、柯西 中值定理等。
解决微分方程：微分中值定理在解决微分方程方面有重要应用，如欧拉-拉格朗日方程、 庞加莱方程等。
提高题目解析
分析题目：分析题目中的已 知条件和未知条件，找出题 目中的关键信息
理解题目：明确题目要求， 理解题目中的关键词和条件
解题步骤：列出解题步骤， 每一步都要有明确的依据和
理由
解题技巧：总结解题技巧， 如使用公式、定理、图形等
工具进行解题
综合题目解析
题目类型：微 分中值定理的
综合题目
题目来源：教 材、习题集、
03
微分中值定理的基本概 念和性质
导数的定义和性质
导数的定义：函数在某一点的切线 斜率
导数的计算方法：极限法、导数公 式、导数表
《拉格朗日中值定理》PPT课件
拉格朗日中值定理
罗尔定理
微
拉格朗日中值定理
分
中
值
柯西中值定理
定
理
泰勒中值定理
1
罗尔（Rolle）定理
如果函数 f ( x) 满足 （1） 在闭区间 [a, b]上连续； （2） 在开区间(a, b)内可导； （3） 且在区间端点的函数值相等，即 f (a) f (b)；
则在(a, b) 内至少有一点(a b),使得函数 f ( x)在 该点的导数等于零，即 f ' () 0
2
Hale Waihona Puke 何解释: yy f (x)
A
B
O
C
a
bx
实际上, C点处的切线与弦 AB 平行.
把上图做一旋转，得到下图：
3
y
y f (x)
B
A
C
a
bx
O
C点处的切线与弦线 AB 平行.
f ( ) f (b) f (a)
ba
4
拉格朗日（Lagrange）中值定理
如果函数 f ( x)满足 （1） 在闭区间 [a, b]上连续； （2） 在开区间(a, b)内可导；
f ( x1) f ( x2 ) .
10
推论 2
若 f (x) g(x) x I , 则 f (x) g(x) C x I . ( C 为常数 )
证
f (b) f (a) f ( )(b a)
F ( x) ( f ( x) g( x)) f ( x) g( x)
若 f (x) g(x) x I , 则 F(x) ( f (x) g(x)) 0 , x I ,
（3）定理只论证了 的存在性， (a, b) ，不知道
罗尔定理
微
拉格朗日中值定理
分
中
值
柯西中值定理
定
理
泰勒中值定理
1
罗尔（Rolle）定理
如果函数 f ( x) 满足 （1） 在闭区间 [a, b]上连续； （2） 在开区间(a, b)内可导； （3） 且在区间端点的函数值相等，即 f (a) f (b)；
则在(a, b) 内至少有一点(a b),使得函数 f ( x)在 该点的导数等于零，即 f ' () 0
2
Hale Waihona Puke 何解释: yy f (x)
A
B
O
C
a
bx
实际上, C点处的切线与弦 AB 平行.
把上图做一旋转，得到下图：
3
y
y f (x)
B
A
C
a
bx
O
C点处的切线与弦线 AB 平行.
f ( ) f (b) f (a)
ba
4
拉格朗日（Lagrange）中值定理
如果函数 f ( x)满足 （1） 在闭区间 [a, b]上连续； （2） 在开区间(a, b)内可导；
f ( x1) f ( x2 ) .
10
推论 2
若 f (x) g(x) x I , 则 f (x) g(x) C x I . ( C 为常数 )
证
f (b) f (a) f ( )(b a)
F ( x) ( f ( x) g( x)) f ( x) g( x)
若 f (x) g(x) x I , 则 F(x) ( f (x) g(x)) 0 , x I ,
（3）定理只论证了 的存在性， (a, b) ，不知道
《中值定理》课件
魏尔斯特拉斯逼近定理
魏尔斯特拉斯逼近定理是中值定理中的一种，它指出任何连续函数都可以中值定理是中值定理中的一种，它描述了函数在一个区间内存在某个点，该点处的瞬时变化率等于该区间 平均变化率的值。
柯西中值定理
柯西中值定理是中值定理中的一种，它更具有一般性，适用于实数区间和复 数区间上的函数。它指出了当两个函数经过某个点处函数值相等时，这两个 函数在某个点处的导数也相等。
《中值定理》PPT课件
欢迎来到本次关于《中值定理》的PPT课件。在这个课件中，我们将深入探讨 中值定理的定义、数学表述、证明以及应用，并比较三种不同中值定理之间 的异同。接下来，让我们开始吧！
什么是中值定理
中值定理是微积分中的重要定理之一，它研究函数在一个区间上的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。它包括三 种不同的定理，分别是魏尔斯特拉斯逼近定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
总结
通过比较三种不同中值定理的异同，我们能更好地了解它们在解决不同问题 时的特点和适用范围。中值定理在微积分、数学物理以及其他领域都有广泛 的应用。继续深入学习中值定理，将为你的数学知识打下坚实的基础。
微积分31微分中值定理省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件
比如,
x2 -1 x 1
f (x)
0 x 1
f (0) 0
0 1X
第6页
例1 证明方程 x5 x 1 0 有且仅有一个正实根 . 证: 1）存在性
设 f ( x) x5 x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 1. 由零点定理
x0 (0,1),使 f ( x0 ) 0. 即为方程正实根.
f ( x) a0 a1( x x0 ) an ( x x0 )n o( x x0 )n
Pn ( x)
Rn ( x)
误差 Rn( x) f ( x) Pn( x)
第18页
2 Pn和 Rn的确定
近似程度越来越好
分析:
1.若在 x0 点相交
y
Pn ( x0 ) f ( x0 )
在(a, b)内每一点处均不为零，那末在(a, b) 内至少
有一点(a b),使等式
f F
(a) (a)
f (b) F (b)
f F
' () 成立. ' ()
第13页
几何解释:
y
在曲线弧AB上至少有
一点C(F (), f ()),在
该点处的切线平行于
A
X F(x)
C
Y
f (x)
M
B
N
D
ln(1 x) x , 1
又0 x 1 1 1 x
1 1 1,
1 x 1
x x x, 1 x 1
即 x ln(1 x) x. 1 x
第12页
三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f (x)及F(x)
高等数学方法——中值定理ppt
罗分尔析定: 理在条结件论,中将故必 存换在为
x
,得(
,1) ,
使
F (
)
0
即有f (x) f (x)
2
f1(x)
积分
21f(l(n)1,fx()x2)(f(,x1))2lnC((10,1)x) ln
C
例3. 设函数
在 上连续, 在
在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理
条件, 则中值 _3__145__ .
2) 设
方程
有 3 个根 , 它们分别在区间 (1, 2), (2, 3), (3, 4) 上.
例2. 思考: 在
上对函数
应用拉格朗日中值定理得
f (x) f (0) f ( )(x 0), (0, x)
2! f (2) f (2)(n 2) n 故序列 { f (n)} 发散.
第六讲(一元微分学之二)
微分中值定理
及其应用
2. 证明有关中值问题的结论
例1 设 f (x) 在 [0,1] 连续，(0,1) 可导，且 f (1) 0 ,
求证，存在 (0,1),使
(4) 若已知条件或结论中含高阶导数 , 多考虑用 泰勒公式 , 有时也可考虑对导数用中值定理 .
(5) 若结论为恒等式 , 先证变式导数为 0 , 再利用 特殊点定常数 .
(6) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的 技巧.
二. 实例分析 1.对微分中值定理的理解
例1. 填空题 1) 函数
F(x)
f f
(a 0), (x) ,
xa a xb
f (b 0) , x b
显然 在
《函数的中值定理》课件
总结词
通过具体实例展示了柯西中值定理的应用。
1. 利用柯西中值定理证明等式或不等式；2. 利用柯西中值定理研究函数的单调性；3. 利用柯西中值定理解决一些实际应用问题，如近似计算、误差估计等。
总结词
详细描述
05
CHAPTER
中值定理的综合应用
中值定理可以用来证明一些与函数有关的不等式，例如通过拉格朗日中值定理证明函数的单调性。
总结词
中值定理是微分学中的核心定理之一，它在数学分析、微积分、实变函数等领域都有广泛的应用。
详细描述
中值定理是微分学中的基本工具，它可以用来研究函数的单调性、极值、拐点等性质。此外，中值定理还可以用来解决一些实际应用问题，例如近似计算、优化问题等。
中值定理的应用场景非常广泛，包括理论研究和实际应用两个方面。
中值定理在生物领域的应用
中值定理可以用来解决一些与生物有关的数学问题，例如通过罗尔中值定理分析种群数量的变化。
中值定理在计算机领域的应用
中值定理可以用来解决一些与计算机有关的数学问题，例如通过柯西中值定理分析算法的复杂度。
THANKS
感谢您的观看。
《函数的中值定理》ppt课件
目录
引言罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理中值定理的综合应用
01
CHAPTER
引言
总结词
中值定理是数学分析中的一个基本定理，它提供了函数在闭区间上变化速度的描述。
详细描述
中值定理指出，如果一个函数在闭区间上连续，且在开区间上可导，那么在这个开区间上至少存在一个点，使得函数在该点的导数等于函数在区间两端的差值与区间长度的商。这个点被称为中值点。
如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，并且开区间(a, b)上可导，那么存在一个实数ξ，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
通过具体实例展示了柯西中值定理的应用。
1. 利用柯西中值定理证明等式或不等式；2. 利用柯西中值定理研究函数的单调性；3. 利用柯西中值定理解决一些实际应用问题，如近似计算、误差估计等。
总结词
详细描述
05
CHAPTER
中值定理的综合应用
中值定理可以用来证明一些与函数有关的不等式，例如通过拉格朗日中值定理证明函数的单调性。
总结词
中值定理是微分学中的核心定理之一，它在数学分析、微积分、实变函数等领域都有广泛的应用。
详细描述
中值定理是微分学中的基本工具，它可以用来研究函数的单调性、极值、拐点等性质。此外，中值定理还可以用来解决一些实际应用问题，例如近似计算、优化问题等。
中值定理的应用场景非常广泛，包括理论研究和实际应用两个方面。
中值定理在生物领域的应用
中值定理可以用来解决一些与生物有关的数学问题，例如通过罗尔中值定理分析种群数量的变化。
中值定理在计算机领域的应用
中值定理可以用来解决一些与计算机有关的数学问题，例如通过柯西中值定理分析算法的复杂度。
THANKS
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《函数的中值定理》ppt课件
目录
引言罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理中值定理的综合应用
01
CHAPTER
引言
总结词
中值定理是数学分析中的一个基本定理，它提供了函数在闭区间上变化速度的描述。
详细描述
中值定理指出，如果一个函数在闭区间上连续，且在开区间上可导，那么在这个开区间上至少存在一个点，使得函数在该点的导数等于函数在区间两端的差值与区间长度的商。这个点被称为中值点。
如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，并且开区间(a, b)上可导，那么存在一个实数ξ，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
微积分中值定理详细 ppt课件
推论1可知
f(x ) g (x ) c , x (a ,b )
f(x ) g (x ) c , x (a ,b )
应用拉格朗日定理，我们不可以证明一些等式和不等式 。
例1. 证明等式 arx c a srix c n c ,x o [ s 1 ,1 ]. 2 证: 设 f(x)arc x sairncx,c 则o在 ( s1,1)上
2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3.1.3 柯 西 中 值 定 理
作为拉格朗日定理的推广，我们证明如下柯西定理： 定理3 设函数 f (x) 和 g(x) 满足条件： （1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间(a,b)内可导； (3) g(x)0
则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得
g f( (b b ) ) g f((a a ))g f( ( ) ) (ab )
0
00
通分
0
取倒数
取对数
0
1
转化
转化
转化
0
例7. 求 lim x x.
x0
00 型
解: lim x x limexlnx
x0
x0
利用 例5
e0 1
例5 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
洛必达法则
型
f
g
1 g
1 f
1 g
1 f
00,1,0型
令 y fg
0型
取对数
0
0型
型
f g
f
1
g
即即agxgagbgafbfafxfxf??????显然fx满足罗尔定理的三个条件因此在ab内至少存在一点使得即0???f0bagagbgafbff???????????xagfagbgafbf??????????为证明等式成立我们作辅助函数三其他未定式二??型未定式一型未定式00第二节机动目录上页下页返回结束洛必达法则第三章定理
f(x ) g (x ) c , x (a ,b )
f(x ) g (x ) c , x (a ,b )
应用拉格朗日定理，我们不可以证明一些等式和不等式 。
例1. 证明等式 arx c a srix c n c ,x o [ s 1 ,1 ]. 2 证: 设 f(x)arc x sairncx,c 则o在 ( s1,1)上
2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3.1.3 柯 西 中 值 定 理
作为拉格朗日定理的推广，我们证明如下柯西定理： 定理3 设函数 f (x) 和 g(x) 满足条件： （1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间(a,b)内可导； (3) g(x)0
则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得
g f( (b b ) ) g f((a a ))g f( ( ) ) (ab )
0
00
通分
0
取倒数
取对数
0
1
转化
转化
转化
0
例7. 求 lim x x.
x0
00 型
解: lim x x limexlnx
x0
x0
利用 例5
e0 1
例5 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
洛必达法则
型
f
g
1 g
1 f
1 g
1 f
00,1,0型
令 y fg
0型
取对数
0
0型
型
f g
f
1
g
即即agxgagbgafbfafxfxf??????显然fx满足罗尔定理的三个条件因此在ab内至少存在一点使得即0???f0bagagbgafbff???????????xagfagbgafbf??????????为证明等式成立我们作辅助函数三其他未定式二??型未定式一型未定式00第二节机动目录上页下页返回结束洛必达法则第三章定理
中值定理课件76822 共45页
证 当 x [ 1 ,1 ]时 , (ax r a crs x ) c ic n 1o ( s1) 0 , 1 x 2 1 x 2
故 ar x a cr s x C c ix n c ( 1 , o 1 ) s
取 x0计算 C 得 ,从而
2
arx c a srix c n cx o ( s 1 ,1 ). 2
例1 设 a ,b ,c ,d 皆为 ,a b c 实 d , 数 f ( x ) ( x a ) x b ( ) x ( c ) x ( d ) ,
证明 f(x 方 )0仅 程有三 ,并个 指实 出根 .根
证 f ( x ) C ( [ a ,b ] [ b ,, c ] [ c ,, d ] ) ,
定理2 (第一充分条件)
(1)如果x(x0 , x0),有f '(x) 0;而x(x0, x0 ),
有f '(x) 0，则f (x) 在x0 处取得极大值.
(2)如果x(x0 , x0),有f '(x) 0;而x(x0, x0 )
有f '(x) 0，则f (x) 在x0 处取得极小值.
推论 1
若 f ( x ) 0 , x I , 则 f ( x ) C , x I .
f( b ) f( a ) f()b ( a )
( f ( x ) g ( x ) ) f ( x ) g ( x ) 若 f( x ) g ( x )x I , 则 F ( x ) ( f ( x ) g ( x ) ) 0 ,x I ,
(4) 求极值.
例1 求出 f(x ) 函 x 3 3 x 数 2 9 x 5 的.极 解 f(x ) 3 x 2 6 x 9 3 (x 1 )x ( 3 ) 令f(x)0，得x 驻 1 1 ,x 2 点 3 . 列表讨论
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或 f ( b ) f ( a ) f ( ) b a ( ).拉格朗日中值公式
2020/10/16
12
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系. 拉格朗日中值的另外一种形式： 若 f (x)在 [a, b]上满足拉格朗日中值定理条件, 对于 [a, b] 上任意两点 x, x+△x, 在 [x, x+△x] (或 [x+△x, x] ) 上, 公式也成立.
证 设 f(t)ln 1 (t),
f (t)在[0,x]上满足拉氏定理的条, 件
f ( x ) f ( 0 ) f ( ) x 0 ) ( ( 0 , x )
所以
ln1(x) x , 1
又 0 x 1 1 1 x
1 1 1, x x x,
1x 1
1x 1
即 xln 1( x )x . 1x 2020/10/16
C
yf(x)
M
B
在曲线弧AB上至少有
一点C,在该点处的切 A
N
线平行于弦 AB.
2020/10/16
o a 1 x
D
2 b x
11
证 分析: 条件中与罗尔定f理 (a)相 f差 (b).
弦AB方程为 y f( a ) f( b ) f( a )(x a ).
b a 曲线 f(x)减去 A弦 ,B
y 几何解释:
在曲线弧AB上至少有一
C yf(x)
点C,在该点处的切线平
行于x轴.
2020/10/16
o a 1
2
b
x 4
例:对f(x)x2 2x3(x1)(x3) 在[1,3]上验证罗尔定理性 的正确
解： (1)f(x)在 [1,3]上连 , 续 (2)f(x)2x2 在 (1,3)内处处,有 f(x)在 (1,3)内可导 ( 3 )f( 1 ) f( 3 )
△y = f (x+△x) f (x) =f ( ) ·△x . 其中 (x, x+△x) 或 (x+△x, x)
记 =x+ △x (其中0< <1)
有限增量公式: △y= f ( x+ △x ) ·△x
2020/10/16
13
比较 :
f (x)在 x 处于可微： f (x)在 [a, b] 上满足
拉格朗日中值定理：如果 y 函 f(x)满 数:足
(1)在闭[a区 ,b]上 间连 ; 续
(2)在开(a区 ,b)内 间 可 ; 导
则至少 (a ,b 存 )使 , f在 (得 )f一 (b )f(点 a ) b a 或 f ( b ) f ( a ) f ( ) b a ( ) y
几何解释:
第三章 中值定理与导数的应用
第一节 中值定理
一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西定理
问题的提出(Introduction)
我们知道，导数是刻划函数在一点处变化率
的数学模型，它反映的是函数在一点处的局部变 化性态，但在理论研究和实际应用中，常常需要 把握函数在某区间上的整体变化性态。
那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何 关系呢？
14
3.用途:用来证明等式或不. 等式
例3 证 ar 明 x a cs r x i c ( n 1 c x o 1 )s . 2
证 设 f ( x ) ar x a cr s x ,i c x n [ c 1 , 1 ]os
f(x )1 (1)0. 1 x 2 1 x 2
令 f ( x ) 2 x 2 0 得 x 1f(1)0
( 1 ,3 ), 使 f()0
（既要验证条件，又要验证结论）
2020/10/16
7
注1:罗尔定理的条件仅是充分条件，不是必要的. 注2 用途：确定导函数的根的位置
2020/10/16
8
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
△ydy=f (x)·△x 拉格朗日定理条件：
要求:| △x |很小，
△y= f ( x+ △x
且f (x)0
)·△x
要求: △x有限.
推论1：如果f函 (x)在 数区 I上 间的导数 ,那末 来自(x)在区 I上 间是一. 个常数
推论2 具有相同导函数的两个函数，相差一个
常数.
2020/10/16
中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与
该区间内部某一点的导数之间的关系，是导数与实
际问题联系的桥梁，借助中值定理可应用导数来研
究函数及曲线的某些性态（如单调性、函数的极值、
最值；凹凸性、拐点等）。
2020/10/16
2
中值定理包括三个定理： 罗尔定理
拉格朗日定理（微分中值定理） 柯西定理
所研究的内容：它们都是研究函数在一区间上两 端点的函数值与它在区间内某一 点的导数值之间的关系.
证毕
16
方法
利用拉格朗日某 定些 理不 证等 明式时设 ，首
一个恰当的函将 数 f'(， )适然当后的放大或
从而得到所要等 证式 明的不
练习：证 x明 0时,当 ex x1.
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三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西定理： 如果f函 (x),g数 (x)满足 :
(1)在闭[a区 ,b]上 间连 ; 续 (2)在开(a区 ,b)内 间 可 ; 导
f ( x ) C ,x [ 1 , 1 ]
又 f(0 ) ar0 c a sr i0 n c 0c o ,s 22
即C.
2
arc x sair nc x co . s
证毕
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2
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例4 证 x 0 明 时 ,x l 当 1 n x ) ( x . 1 x
所得曲a,线 b两端点的函数.值相等
作辅助函数 F ( x ) f ( x ) [ f ( a ) f ( b ) f ( a ) ( x a ) b a
F(x) 满足罗尔定理的条,件
则(a 在 ,b)内至少,使 存F 得 在 ()一 0. 点
即 f( )f(b b ) a f(a ) 0f()f(b b ) a f(a)
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一、罗尔(Rolle)定理
罗尔定理：如果y函 f数 (x)满足以下 : 三
(1)在闭[a区 ,b]上 间连 ; 续
(2)在开(a区 ,b)内 间 可 ; 导
(3)在区间两端点 相的 等 ,即 f(函 a)数 f(b)值 ;
则至少存 (a,b 在 )使 , 一 f得 ()点 0
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注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系. 拉格朗日中值的另外一种形式： 若 f (x)在 [a, b]上满足拉格朗日中值定理条件, 对于 [a, b] 上任意两点 x, x+△x, 在 [x, x+△x] (或 [x+△x, x] ) 上, 公式也成立.
证 设 f(t)ln 1 (t),
f (t)在[0,x]上满足拉氏定理的条, 件
f ( x ) f ( 0 ) f ( ) x 0 ) ( ( 0 , x )
所以
ln1(x) x , 1
又 0 x 1 1 1 x
1 1 1, x x x,
1x 1
1x 1
即 xln 1( x )x . 1x 2020/10/16
C
yf(x)
M
B
在曲线弧AB上至少有
一点C,在该点处的切 A
N
线平行于弦 AB.
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o a 1 x
D
2 b x
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证 分析: 条件中与罗尔定f理 (a)相 f差 (b).
弦AB方程为 y f( a ) f( b ) f( a )(x a ).
b a 曲线 f(x)减去 A弦 ,B
y 几何解释:
在曲线弧AB上至少有一
C yf(x)
点C,在该点处的切线平
行于x轴.
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o a 1
2
b
x 4
例:对f(x)x2 2x3(x1)(x3) 在[1,3]上验证罗尔定理性 的正确
解： (1)f(x)在 [1,3]上连 , 续 (2)f(x)2x2 在 (1,3)内处处,有 f(x)在 (1,3)内可导 ( 3 )f( 1 ) f( 3 )
△y = f (x+△x) f (x) =f ( ) ·△x . 其中 (x, x+△x) 或 (x+△x, x)
记 =x+ △x (其中0< <1)
有限增量公式: △y= f ( x+ △x ) ·△x
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比较 :
f (x)在 x 处于可微： f (x)在 [a, b] 上满足
拉格朗日中值定理：如果 y 函 f(x)满 数:足
(1)在闭[a区 ,b]上 间连 ; 续
(2)在开(a区 ,b)内 间 可 ; 导
则至少 (a ,b 存 )使 , f在 (得 )f一 (b )f(点 a ) b a 或 f ( b ) f ( a ) f ( ) b a ( ) y
几何解释:
第三章 中值定理与导数的应用
第一节 中值定理
一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西定理
问题的提出(Introduction)
我们知道，导数是刻划函数在一点处变化率
的数学模型，它反映的是函数在一点处的局部变 化性态，但在理论研究和实际应用中，常常需要 把握函数在某区间上的整体变化性态。
那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何 关系呢？
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3.用途:用来证明等式或不. 等式
例3 证 ar 明 x a cs r x i c ( n 1 c x o 1 )s . 2
证 设 f ( x ) ar x a cr s x ,i c x n [ c 1 , 1 ]os
f(x )1 (1)0. 1 x 2 1 x 2
令 f ( x ) 2 x 2 0 得 x 1f(1)0
( 1 ,3 ), 使 f()0
（既要验证条件，又要验证结论）
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注1:罗尔定理的条件仅是充分条件，不是必要的. 注2 用途：确定导函数的根的位置
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二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
△ydy=f (x)·△x 拉格朗日定理条件：
要求:| △x |很小，
△y= f ( x+ △x
且f (x)0
)·△x
要求: △x有限.
推论1：如果f函 (x)在 数区 I上 间的导数 ,那末 来自(x)在区 I上 间是一. 个常数
推论2 具有相同导函数的两个函数，相差一个
常数.
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中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与
该区间内部某一点的导数之间的关系，是导数与实
际问题联系的桥梁，借助中值定理可应用导数来研
究函数及曲线的某些性态（如单调性、函数的极值、
最值；凹凸性、拐点等）。
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中值定理包括三个定理： 罗尔定理
拉格朗日定理（微分中值定理） 柯西定理
所研究的内容：它们都是研究函数在一区间上两 端点的函数值与它在区间内某一 点的导数值之间的关系.
证毕
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方法
利用拉格朗日某 定些 理不 证等 明式时设 ，首
一个恰当的函将 数 f'(， )适然当后的放大或
从而得到所要等 证式 明的不
练习：证 x明 0时,当 ex x1.
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三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西定理： 如果f函 (x),g数 (x)满足 :
(1)在闭[a区 ,b]上 间连 ; 续 (2)在开(a区 ,b)内 间 可 ; 导
f ( x ) C ,x [ 1 , 1 ]
又 f(0 ) ar0 c a sr i0 n c 0c o ,s 22
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arc x sair nc x co . s
证毕
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例4 证 x 0 明 时 ,x l 当 1 n x ) ( x . 1 x
所得曲a,线 b两端点的函数.值相等
作辅助函数 F ( x ) f ( x ) [ f ( a ) f ( b ) f ( a ) ( x a ) b a
F(x) 满足罗尔定理的条,件
则(a 在 ,b)内至少,使 存F 得 在 ()一 0. 点
即 f( )f(b b ) a f(a ) 0f()f(b b ) a f(a)
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一、罗尔(Rolle)定理
罗尔定理：如果y函 f数 (x)满足以下 : 三
(1)在闭[a区 ,b]上 间连 ; 续
(2)在开(a区 ,b)内 间 可 ; 导
(3)在区间两端点 相的 等 ,即 f(函 a)数 f(b)值 ;
则至少存 (a,b 在 )使 , 一 f得 ()点 0