arc中值定理.ppt

' ( ' (
) )
几何解释:
在曲线弧AB上至少有一
点C(F ( ), f ( )),在该点
处的切线平行于弦 AB.
证1 作辅助函数
Y
CM
N
A
F(x)
o F(a) F(1)
X F(x)

Y

f
(x)
B
D
X F(2 )F (b)
(x) f (x) f (a) f (b) f (a) [F (x) F (a)].
二、试证明对函数 y px 2 qx r 应用拉氏中值定理
时所求得的点 总是位于区间的正中间 . 三、证明等式arcsin 1 x2 arctan x
1 x2 2 ( x (0,1) ) . 四、设a b 0，n 1，证明
nb n1 (a b) a n b n na n1 (a b) .
证 设 f (x) x5 5x 1, 则 f (x)在[0,1]连续, 且 f (0) 1, f (1) 3，异号 由介值定理 x0 (0,1),使 f (x0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根. 设另有 x1 (0,1), x1 x0, 使 f (x1) 0. f (x) 在 x0, x1 之间满罗尔定理的条 件,
xn
f (n) (x)，（0
n!
1）.
七、设 f (x)在[a,b]内上连续，在(a,b)内可导，若
0 a b,则在(a,b)内存在一点 ，使
af (b) bf (a) [ f ( ) f ( )](a b)] .
点C , 在该点处的切线是
水平的.
o a 1
y f (x)
2 b x
证 f (x) 在 [a,b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m.
(1) 若 M m. 则 f (x) M .
由此得 f (x) 0. (a,b), 都有 f ( ) 0.
(2) 若 M m. f (a) f (b), 最值不可能同时在端点 取得.
f (b) f (a) f '( )(b a) 拉格朗日中值公式
注意：
与罗尔定理相比条件中 去掉了 f (a) f (b).
结论亦可写成 f (b) f (a) f ( ).
ba
几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C,在该点处的切 线平行于弦 AB.
y
C
y f (x)
∴由Rolle定理，至少存在ξ∈(a,b)，使得
g’(ξ)=0 ∴ f’(ξ)/F’(ξ)=[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]
例4 设函数f (x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,证明: 至少存在一点 (0,1),使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
当 F (x) x, F(b) F(a) b a, F(x) 1,
f (b) f (a) f ( ) F (b) F (a) F( )
f (b) f (a) f ( ).
ba
证2 设g(x)=f(x)-[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]*F(x) 显然，g(x)在[a, b]上连续，(a, b)内可导 且g(a)=g(b)
五、证明下列不等式：
1、 arctan a arctan b a b ；
2、当x 1时，e x ex .
六、设函数 y f ( x)在 x 0的某邻域内且有n阶导数，
且 f (0) f (0) f (n1) (0)试用柯西中值定理
证明：
f (x)
那末 f (x) 在区间 I 上是一个常数 .
例2 证明arcsin x arccos x (1 x 1).
2
证 设 f (x) arcsin x arccos x,x [1,1]
f (x)
1 ( 1 x2
1 1
x2
)

0.
f (x) C,x [1,1]
即 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
四、小结
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间 的关系；
Rolle f (a) f (b) Lagrange F(x) x Cauchy
定理
中值定理
中值定理
注意定理成立的条件； 注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.
思考题
例如, y x , x [2,2];
在 [2,2] 上除 f (0) 不存在外,满足罗尔定理 的一切条件, 但在区间[-2，2]内找不到一点能
使 f (x) 0.
又例如,
y

1 0,x
x,
x 0

(0,1] ;
y x, x [0,1].
例1 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于 1的正实根.
试举例说明拉格朗日中值定理的条件 缺一不可.
思考题解答
x2, 0 x 1
f1(
x)

3,
x1
不满足在闭区间上连续的条件；
f2(
x)

1 x
,
x [a,b]
且 ab 0
不满足在开区间内可微的条件；
以上两个都可说明问题.
练习题
一、 填空题： 1、函数 f ( x) x 4在区间[1,2]上满足拉格朗日中值 定理，则ξ =_______. 2、设 f ( x) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) ， 方 程 f ( x) 0有____________个根，它们分别在区间 _____________上. 3、罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是 _________________. 4、微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的 _______与函数在这区间内某点处的_______之间 的关系. 5、如果函数 f ( x)在区间 I 上的导数__________，那 么 f (x)在区间 I 上是一个常数.
x

f( )

lim
x0
f
(

x) x

f
( )

0;
f( )

lim
x0
f
(

x) x

f
( )

0;
f ( )存在, f( ) f( ). 只有 f ( ) 0.
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立.
第一节 中值定理
一、罗尔中值定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 四、小结
一、罗尔(Rolle)定理
罗尔(Rolle)定理 若函数f(x) （1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间(a,b)内可导； （3）在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b). 则在(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ<b)，使f’(ξ)=0.
三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西(Cauchy)定理
若函数f(x)及F(x)
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间(a,b)内可导；
（3）F(x)在(a,b)内每一点处的导数均不为0.
则在(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ<b)，使得
f F
(b) (b)

f (a) F (a)

f F
F(x) 满足罗尔定理的条件,
则在(a,b)内至少存在一点 ,使得 F( ) 0.
即 f ( ) f (b) f (a) 0
ba
或 f (b) f (a) f ( )(b a).
证2 设F(x)=f(x)-[f(b)-f(a)]/(b-a)*x 显然，F(x)在[a, b]上连续，(a, b)内可导 且F(a)=F(b)
f (x) f (0) f ( )(x 0), (0 x)

f
(0)

0,
f
(
x)

1
1
x
,由上式得
ln(1

x)

1
x

,
又0 x 1 1 1 x 1 1 1, 1 x 1
x x x,
1 x 1
即 x ln(1 x) x. 1 x
分析: 结论可变形为
f (1) f (0) 1 0
f ( ) 2

f (x) (x2 )
x .
证 设 g(x) x2,
则 f (x), g(x) 在[0,1]上满足柯西中值定理的 条件,
在(0,1)内至少存在一点 ,有
f (1) f (0) 1 0
f ( ) 2
M
B
A
N
D
o a 1 x
2 b
x
分析1:
条件中与罗尔定理相差 f (a) f (b).
弦AB方程为 y f (a) f (b) f (a) (x a).
ba 曲线 f (x) 减去弦 AB, 所得曲线a,b两端点的函数值相等.
证1 作辅助函数
F (x) f (x) [ f (a) f (b) f (a) (x a)]. ba
至少存在一个 (在 x0, x1 之间),使得 f ( ) 0.
但 f (x) 5(x4 1) 0, (x (0,1)) 矛盾,
为唯一实根.
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日(Lagrange)定理 若函数f(x) （1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间(a,b)内可导. 则在(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ<b)，使得