用几何画板巧作分段函数的图像

１ ． 作指定区间的函数图像 例１．绘制函数 ｆ （ ｘ ） ＝ ｘ ＋ １ ，ｘ ∈［ － １ ， ０ ］ ∪［ １ ， ２ ］ 的图像。 假若在新建函数的对话框中直接输入表达式 ｘ ＋ １ ，得到的是函数 ｆ （ ｘ ） ＝ ｘ ＋ １ 在 Ｒ 上的图像。要 得到指定的多个区间上的函数图像，我们得用“０ 构 造法”来确定函数的定义域，本题就可构造为如下的 形式： ｆ （ ｘ ） ＝ ｘ ＋ １ ＋ ０ × － （ ｘ ＋ １ ） ｘ （ ｘ － １ ） （ ｘ － ２ ）， 虽然式子 ０ × － （ ｘ ＋ １ ） ｘ （ ｘ － １ ） （ ｘ － ２ ）的值是 ０ ，但 要使根式有意义，则被开方式 － （ ｘ ＋ １ ） ｘ （ ｘ － １ ） （ｘ－２） ≥ ０ ，解得 ｘ ∈［ － １ ， ０ ］ ∪［１，２］ ，这正符合原 函数的定义域，这里我们巧妙地逆向运用了不等式 的知识。 具体制作操作时，只要在编辑函数对话框中输 入 ｆ （ ｘ ） ＝ ｘ ＋ １ ＋ ０ × － （ ｘ ＋ １ ） ｘ （ ｘ － １ ） （ ｘ － ２ ）而不 是 ｆ （ ｘ ） ＝ ｘ ＋ １ ，即可得到指定区间上的函数图像 （如图 １） 。
图４ 下面讨论一般的情况。设分段函数表达式为：
（ａ ＜ ｂ ＜ ｃ ＜ ｄ） ，
解：对于三段或三段以上的分段函数，我们可以 “先降段”，同时像前面的例题一样，利用待定系数
法，把此分段函数写成一个新的解析式。
这里 ｂ，ｃ 是关键点，考虑关键点 ｂ 时，我们可以设 ｆ （ ｘ ）
＝ｋ１ｓｇｎ（ｘ－ｂ）＋ｋ２＋０ × －（ｘ－ａ）（ｘ－ｂ）（ｘ－ｃ）（ｘ－ｄ），当
＋ ｋ ，下面我们来求待定系数 ｋ 和 ｋ 。
２
１
２
当 ｘ ＜ ０ 时，有 － ｋ ＋ ｋ ＝ １ ，当 ｘ ＞ ０ 时，有
１
２
ｋ ＋ ｋ ＝ ２ ｘ ＋ １ ，解得 ｋ ＝ ｘ ， ｋ ＝ ｘ ＋ １ ， 于是得到 ｆ （ ｘ ）
１
２
１
２
＝ ｘ ｓ ｇ ｎ （ ｘ ） ＋ ｘ ＋ １ …………①
当 ｘ＝０ 时，①式的值是
例 ４．作分段函数 …（３）的图像
……④ 验证知，当 ｘ＝５ 时，④式值是 ４，适合（４ ），也 适合（３ ），因此绘制图像时，只要在编辑函数的对话 框中输入④式就可绘出所求的分段函数（ 如图 ４ ） 。
……⑤ 如果考虑的是关键点 ｃ 时，同样可以得到： ……⑥ 不论 ｂ ＝ ｃ ，还是 ｂ ≠ ｃ ，⑤式的值和⑥式的值的 差别最多只是一个点的问题。 通过上面介绍的例题与论述，利用“０ 构造法”、 “降段”待定系数法，以及内置的符号函数 ，我 们可以将分段函数复杂多段的解析式化为“一”个的 解析式，虽然新的解析式与原分段函数有个别点的 差别，但绘制后所显示出来的图像与原分段函数的 图像是“完全”一样的。
１
２
１
２
１
ｘ ，ｋ ＝ ｘ ＋ ２ ，于是得到 ｆ （ ｘ ） ＝ （ ２ － ｘ ） ｓ ｇ ｎ （ ｘ － ２ ） ＋
２
１
（ ｘ ＋ ２ ） ，验证 ｘ ＝ ２ 时 ｆ １ （ ｘ ） ＝ ４ ，也符合原分段函数
（３ ），从而得到：
……（４）
ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）ｓｇｎ（ｘ－２）＋（ｘ＋１）＋０ ×源自ｘ （ ｘ － ２ ） ……③
验证当 ｘ ＝ ２ 时，③式的值是 ３ ，而不是原分段
函数（２ ）的值 ４ ，同前面说到的一样， 显示出来的
图像还是“完全”一样的！
一般地，若形如 的分段函
数，仿例２和例３我们可以类似地加以一般化的讨 论，这里不再赘述了。
这是一个“降段”的分段函数，我们再次应用同
（作者单位：广东佛山顺德区杏坛中学）
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＝ ｔ ｓ ｇ ｎ （ ｘ － ５ ） ＋ ｔ （本来应设为 ｆ （ ｘ ） ＝ ｔ ｓ ｇ ｎ （ ｘ － ５ ）
１
２
１
＋ ｔ ＋ ０ × － ｘ （ ｘ － ６ ） 的，同上说到的理由，计算时 ２
可以省略，只要在最后的解析式中加上控制函数 ｆ（ｘ）
的自变量 ｘ 的取值范围 ０ × －ｘ（ｘ－６） 就行），当 ｘ ＜ ５
２
只是用来控制函数 ｆ （ ｘ ） 自变量 ｘ 的取值范围，并且 １
它的值是 ０ ，对中间计算不起关键作用，因此可简化
设为 ｆ １（ ｘ ） ＝ ｋ １ ｓ ｇ ｎ （ ｘ － ２ ） ＋ ｋ ２ ，当 ｘ ＜ ２ 时，－
ｋ ＋ ｋ ＝ ２ ｘ ，当 ｘ ＞ ２ 时，ｋ ＋ ｋ ＝ ４ ，解得 ｋ ＝ ２ －
ｘ ＜ ｂ 时，－ｋ ＋ｋ ＝ｆ （ｘ），当 ｘ ＞ ｂ 时，有 ｋ ＋ｋ ＝ｆ （ｘ），
１２１
１ ２２
解得 ，
设 ，这里 ２ 是分段的关键点， 于是得到：
设 ｆ １（ ｘ ） ＝ ｋ １ｓ ｇ ｎ （ ｘ － ２ ） ｋ ２，本来应设为 ｆ １（ ｘ ） ＝ ｋ １ｓ ｇ ｎ （ ｘ － ２ ） ＋ ｋ ＋ ０ × － ｘ （ ｘ － ５ ） ，但由于 ０ × － ｘ （ ｘ － ５ ）
１，仍符合原分段函数（１ ），
因此①与（１ ）是相同的函
数。
用几何画板绘制此图
像时，只要在编辑函数的
对话框中输入①式就可绘
出所求的分段函数（如图
２）。
图２
例 ３ ．作分段函数
……（２） 的图像
解：这里 ０ 和 ２ 是分段的关键点，考虑 ０ 这一关
键点时，设 ｆ （ ｘ ） ＝ ｋ ｓ ｇ ｎ （ ｘ ） ＋ ｋ ＋ ０ × ｘ （ ｘ － ２ ） 当
１
２
ｘ ＜ ０ 时，有 － ｋ １＋ ｋ ２＋ ０ × ｘ （ ｘ － ２ ） ＝ ２ ，当 ｘ ≥
２ 时，有 ｋ １＋ ｋ ２＋ ０ × ｘ （ ｘ － ２ ） ＝ ２ ｘ ，解得 ｋ １＝ ｘ －
１ ，ｋ ＝ ｘ ＋ １ － ０ × ｘ （ ｘ － ２ ） ＝ ｘ ＋ １ （ 这里由于 ０ × ２
１
２
ｘ ＜ ２ 时，有 － ｋ ＋ ｋ ＋ ０ × ｘ （ ｘ － ２ ） ＝ ２ ，当 ｘ ＞
１
２
２ 时，有 ｋ １＋ ｋ ２＋ ０ × ｘ （ ｘ － ２ ） ＝ ２ ｘ ，解得 ｋ １＝ ｘ －
１ ，ｋ ＝ ｘ ＋ １ － ０ × ｘ （ ｘ － ２ ） ＝ ｘ ＋ １ ，于是得到： ２
是不能绘制孤立的“点”的（实际上是由于点太小而
无法显示出来），因此②式与原分段函数（２ ）除了一
个点的差别，显示出来的图像是“完全”一样的！因
此我们仍可用②来绘制所求的分段函数（２ ）的图像
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教学应用
技术与应用
（如图 ３） 。
样的方法，这里 ５ 是分段的关键点，因此可以设 ｆ（ｘ）
ｘ （ ｘ － ２ ） 是用来控制自变量 ｘ 取值范围的，因此可以
把 ｋ ２ 化简为 ｋ ２ ＝ ｘ ＋ １ ） ，于是得到： ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）ｓｇｎ（ｘ）＋（ｘ＋１）＋０ × ｘ （ ｘ － ２ ）…②
验证当 ｘ ＝ ０ 时，②式的值是 １ ，而不是原分段
函数（２ ）的值 ２ ，但由于几何画板绘制函数图像时，
时，－ ｔ ＋ ｔ ＝ （ ２ － ｘ ） ｓ ｇ ｎ （ ｘ － ２ ） ＋ （ ｘ ＋ ２ ） ，当 ｘ ＞ ５
１
２
时，ｔ １ ＋ ｔ ２ ＝ ４ ＋ ４ （ ５ － ｘ ） ，解得
于是得到：
图３
如果考虑的是关键点 ２ ，而不是 ０ ，此时可把它
设为：ｆ （ ｘ ） ＝ ｋ ｓ ｇ ｎ （ ｘ － ２ ） ＋ ｋ ＋ ０ × ｘ （ ｘ － ２ ） ， 当
２． 分段函数段的处理 方法
几何画板中内置了一 个重要的符号函数 ，
本身
图１ 就是一个分段函数，利用此函数，我们可以构造出几
何画板不能直接绘制的分段函数。 例２．作分段函数 ……（１）的图像
解：这里 ０ 是分段的关键点，设 ｆ（ｘ）＝ｋ１ｓｇｎ（ｘ）
技术与应用
教学应用
用几何画板巧作分段函数的图像
阳际国
分段函数的复杂性表现在两个方面：一是定义 域被分成多个区间，二是在各个区间上的解析式又 各不相同。仅用几何画板（４．０３ 及以上版本）“绘制新 函数”的功能来绘制分段函数的图像，是不能直接解 决这两方面问题的。利用“０ 构造法”和“降段”待 定系数法，以及几何画板中内置的符号函数 ，可 以巧妙地把分段函数复杂多段的解析式转化为“一” 个的解析式，从而就可以把分段函数的图像轻易地 用几何画板绘制出来。