关于几何画板分段函数的处理
在几何画板中绘制分段函数图象的方法之探究
在几何画板中绘制分段函数图象的方法之探究作者：陈峰来源：《新课程·下旬》2018年第11期摘要：几何画板是高中数学备课和课堂教学中不可或缺的一款教学软件，在几何画板中，不仅可以利用根号和对数函数作出连续型或限定定义域的初等函数的图象，还能借助符号函数构造出分段函数各段上的所乘函数，进而绘制出分段函数的图象，达到为教学研究服务的目的。
关键词：几何画板；分段函数；图象几何画板（The Geomter’s Sketchpad，简称GSP）是一款适用于数学、物理等学科，可以进行矢量分析、作图、函数作图等操作的动态几何工具.由于它能够动态地展现出函数图象和几何对象的位置关系及运行变化规律，深受广大教师的青睐，也是不少数学教师在备课、上课中不可或缺的教学软件之一.然而，即便是功能如此强大的几何画板，仍旧在绘制分段函数这一方面显得不够“体贴”和“人性化”，这也或多或少地限制了教师对它的开发与使用.因此，本文基于5.04版的几何画板，针对如何在几何画板中绘制分段函数的图象进行研究.一、在几何画板中作限定定义域的初等函数的图象类型1 初等函数在定义域内连续例1 作函数f（x）=x2-2x+，x∈[0，3]的图象.操作步骤：（1）在“绘图”——“绘制新函数”的对话框中直接输入函数表达式x^2-2*x+1/2得到函数f （x）=x2-2x+在R上的图象.（2）点击函数图象选中，右击选择“属性”（如图1），可在栏目“绘图”内设置函数的定义域边界的数值（如图2），点击确定可得到函数f（x）=x2-2x+，x∈[0，3]的图象.上述操作步骤的优势在于操作比较便捷，只要在几何画板内对函数图象进行简单设置便可实现，主要适用于在定义域上连续的初等函数.类型2 初等函数在定义域内不连续例2 作函数f（x）=x2-2x+，x∈[0，1]∪[2，3]的图象.操作步骤：（1）构造函数F（x）=x2-2x++0·.（2）在“绘图”——“绘制新函数”的对话框中输入函数表达式x^2-2*x+1/2+0*sqrt[-x*（x-1）*（x-2）*（x-3）]，点击确定可得到函数f（x）=x2-2x+，x∈[0，1]∪[2，3]的图象（如图3）.虽然函数F（x）中0·的值恒为0，但要使得其有意义，即解不等式-x（x-1）（x-2）（x-3）≥0，可解得x∈[0，1]∪[2，3]，这恰好为所画函数f（x）的定义域.因此，函数f（x）与函数F（x）本质上是相同函数.一般地，对于限定定义域的初等函数f（x），通过构造得到函数f（x）的相同函数F （x）的方式有下列8种情况：1.函数f（x）的定义域为[a，b]，可构造函数：F（x）=f（x）+0·.2.函数f（x）的定义域为（a，b]，可构造函数：F（x）=f（x）+0·.3.函数f（x）的定义域为[a，b），可构造函数：F（x）=f（x）+0·.4.函数f（x）的定义域为（a，b），可构造函数：F（x）=f（x）+0·ln[-（x-a）（x-b）]或F（x）=f（x）·.5.函数f（x）的定义域为（a，+∞），可构造函数：F（x）=f（x）+0·ln（x-a）或F（x）=f（x）·.6.函数f（x）的定义域为[a，+∞]，可构造函数：F（x）=f（x）+0·.7.函数f（x）的定义域为（-∞，b），可构造函数：F（x）=f（x）+0·ln（b-x）或F（x）=f（x）·.8.函数f（x）的定义域为（-∞，b]，可构造函数：F（x）=f（x）+0·.二、在几何画板中作分段函数的图象例3 作分段函数f（x）=2x-1，x≤13-x，x>1 的图象.方法1 先将分段函数f（x）拆分为两个函数，即f1（x）=2x-1（x≤1）和f2（x）=3-x （x>1），然后再分别作上述两个函数的图象.操作步骤：（1）构造以下两个函数，F1（x）=2x-1+0·和F2（x）=3-x+0·ln（x-1）.（2）在几何画板的同一文档页面内的“绘图”——“绘制新函数”的对话框中分别输入函数表达式2^x-1+0*sqrt（1-x）和3-x+0*ln（x-1），分别点击确定后可得到函数f1（x）和f2（x）的图象，两者可组成函数f（x）=2x-1，x≤13-x，x>1 的图象（如图4）.方法1的本质是拼接了函数f1（x）和f2（x）的图象，虽然可以使人在视觉上感觉在同一坐标系下作出了f（x）的图象，但其缺陷也是显而易见的，比如说函数f（x）图象并非一次成图，函数图象也不能被整体选中，并且在图象上任取的一点更不可以在分段函数f（x）各段的图象上自由移动.因此，方法1所绘制的函数图象有较大的局限性，不适合用以研究函数f （x）的性质.方法2 利用符号函数sgn（x）=1，x>0，0，x=0，-1，x操作步骤：（1）构造函数F（x）=（2x-1）+（3-x）.（2）在“绘图”——“绘制新函数”的对话框中输入函数表达式（2^x-1）*[1+sgn（1-x）]/2+（3-x）*[1+sgn（x-1）]/2，点击确定后可得到函数f（x）=2x-1，x≤13-x，x>1 的图象.方法2巧妙地利用了分段函数的特点，弥补了方法1中不能一次成图、无法整体选中、取点无法自由移动等缺陷.函数F（x）中所构造的和用于匹配其所乘函数的定义域的范围.具体地，当x1时，F（x）=3-x.因而，类似地，对于分段函数g（x）=g1（x），x≤a，g2（x），ab.（a=g1（x）·+g2（x）·+g3（x）·.较之方法1，方法2已有明显的改进，弥补了方法1的诸多缺陷，同时也是目前较为普遍的一种处理方式.但即便如此，方法2仍存在不完美之处.对于函数f（x）=2x-1，x≤13-x，x>1 ，当取x=1时，f（1）=0，而对于函数F（x）=（2x-1）+（3-x），当取x=1时，F（1）=0·+2·=1≠f（1）.由于几何画板中孤立的点不被显示，这使得上述问题常常被忽略.其实通过观察和分析不难发现，造成上述偏差的主要原因是函数y=虽然可以在x>1和x方法3 对方法2进行改进，重新构造2x-1和3-x的所乘函数，分别为k1（x）=sgn[1+sgn （1-x）]和k2（x）=sgn[1+sgn（x-1）]·sgn|x-1|.操作步骤：（1）构造函数F（x）=（2x-1）·sgn[1+sgn（1-x）]+（3-x）·sgn[1+sgn（x-1）]·sgn|x-1|.（2）在“绘图”——“绘制新函数”的对话框中输入函数表达式，（2^x-1）*sgn[1+sgn（1-x）]+（3-x）*sgn[1+sgn（x-1）]*sgn[abs（x-1）]点击确定后可得到函数f（x）=2x-1，x≤13-x，x>1 的图象.方法3构造了y=k1（x）和y=k2（x）两个函数，当x>1时，由于1+sgn（x-1）=0，所以k1（x）恒等于0，由于1+sgn（x-1）>0，|x-1|>0，k2（x）恒等于1；同理可得，当x0，|x-1|=0，仍能保证k1（x）恒等于1，k2（x）恒等于0.类似地，利用相同的原理，根据不同定义域下的函数，可构造出其所对应的不同的所乘函数k（x），具体如下：1.当x≤a时，构造k（x）=sgn[1+sgn（a-x）].2.当x3.当x≥b时，构造k（x）=sgn[1+sgn（x-b）].4.当x>b时，构造k（x）=sgn[1+sgn（x-b）]·sgn|x-b|.5.当a≤x≤b时，构造k（x）=sgn[1+sgn（x-a）（b-x）].6.当a7.当a≤x8.当a对于一个含有n（n∈N*）段的分段函数f（x），其每一段所对应的解析式为fi（x）（1≤i≤n，i∈N*），根据上述方法，可以构造出fi（x）所对应的所乘函数ki（x），再令F （x）=[fi（x）·ki（x）]，则f（x）与F（x）为相同函数.因此，只需在几何画板“绘图”——“绘制新函数”的对话框中输入函数表达式后再点击确定，即可得到函数f（x）的图象.至此，在几何画板中绘制分段函数图象这一问题才最终得以真正解决.？誗编辑赵飞飞。
怎样用几何画板画分段函数
怎样用几何画板画分段函数要有清晰的步骤，注明怎样标明每一个分段函数的定义域；例如：f(x)=3^(x-1)+1 (X<=1)=3^(1-x)+1(x>1)这个分段函数方法这样：（1）在图表菜单下，建立网格，再按住shitf键，在x轴点（1，0）上向左画一条水平向左的射线，并选中射线，点击作图菜单下“射线上的点”设为点A，再隐藏射线；（2）选中点A，右键单击“横坐标”，出现“X A＝**”，再点“图表”菜单下，计算命令，输入3^(x-1)+1（输X时只需点一下“X A＝**”），出现“3^(X A-1)+1＝**”；（3）分别选中“X A =**”和“3^( X A -1)+1＝**”，单击“图表”菜单，“绘制点”命令，即出现一点，——有时候，你要仔细找找，才能找到；（4）选中点A和上一步的点，再单击作图菜单下的“轨迹”命令；（5）此时即作出来f(x)=3^(x-1)+1 (X<=1) 部分；（6）f(x)=3^(x-1)+1 (X>1) ,如法炮制。
《几何画板》：绘制某区间内的函数图像第1步，启动几何画板，依次单击“图表”→“定义坐标系”菜单命令，在操作区建立直角坐标系。
然后依次单击“图表”→“隐藏网格”菜单命令，隐藏坐标系中的网格。
单击工具箱上的“文本”工具，移动光标至圆点，当变成一只小黑手时，单击鼠标左键，然后再双击鼠标左键，将标签修改为“O”。
同法，给单位点加注标签为“1”。
第2步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，单击操作区空白处，释放所选对象。
依次单击“图表”→“绘制点”菜单命令，弹出“绘制点”对话框，按照图143所示输入数据，单击“绘制”按钮，操作区显示一点。
继续在对话框中输入数据，如图144所示，单击“确定”操作区中又显示一点。
单击工具箱上的“文本”工具，移动光标至绘制的第一点上，当光标变成小黑手时，双击鼠标左键，弹出如图145所示的对话框，按照图所示，在标签栏里输入“π”，然后单击“确定”按钮。
用《几何画板》画分段函数图像
用《几何画板》画分段函数的图像 用《几何画板》软件能比较容易的画出基本初等函数及其复合函数的图像。
比如用《几何画板》5.03版的“绘图”菜单—“绘制新函数”命令绘制函数图像。
《几何画板》能识别函数定义域，即能自动识别使输入函数解析式有意义的自变量的范围，并画出这个范围内的图像。
比如画出xy 1=的图像是两支，不会与y 轴相交。
画11-=x y 的图像也是两支，不会与x=1相交。
但是画分段函数图像时，由于分段函数的定义域不仅是使函数解析式有意义，还要考虑实际意义，往往各段（区间）比较小而零碎，各段函数图像也不是同一类型。
如果还是用上面的命令来画各段图像时，《几何画板》还是按使输入函数解析式有意义来判定自变量的范围，画出的图像就会超出区间，且各段函数图像的连接也不美观。
按《几何画板》现有版本的功能，解决办法是不用“绘图”菜单—“绘制新函数”命令绘制分段函数图像，而用“构造”菜单“轨迹命令”，来绘制。
具体方法我用一例来详细说明。
人教版高一数学必修教材中一道函数应用题（p113）原题：如图，三角形OAB 是边长为2的正三角形，记三角形OAB位于直线x=t （t>0）左侧的图形面积为f(t),试求函数f(t)的解析式，并画出函数图像。
经分析函数解析式为()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<--≤<=212233)10(2322t t t t t f 画出的分段函数图像：图像是有两段二次函数图像拼接而成，在点（1，23）连接。
连接处有显示。
可见每段二次函数图像没有超出相应区间，在衔接处实现无缝衔接。
具体画法如下。
启动《几何画板》5.03，打开绘图菜单，单击显示网格命令，显示坐标网格，适当调长网格单位长，使之便于观察。
1、分别用“绘制线段”工具在x 轴上绘制线段(0，0）--（1,0）；（1,0）--(2,0),再用“绘制点”工具分别在两连线段上绘制自由点A 、B ，A 、B 各自线段上可自由移动，但不能移出各自线段。
软件几何画板在数学课堂中的应用
软件几何画板在数学课堂中的应用作者：杨旭东来源：《读写算·教研版》2015年第19期中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）19-088-02几何画板是一款优秀的数学教学或研究软件，用以解决有关尺规作图及其延伸的数学问题。
通过应用它，可以动态开放性地解决许多几何、解板几何，代数的相关问题。
本文以几何画板5.05版本为基础，简要地讨论一下在高中数学教学中应用几何画板常见问题的解决方案。
一、几何画板在代数教学中常见问题的解决方案。
1、几何画板中内嵌函数简介。
几何画板版本中内嵌函数共13种，其中三角函数6种，其它函数7种。
（1）三角函数y=Sin（x），y=cos（x），y=tan（x），y=arcsin（x），y=arccos（x），y=arctan（x）.应用以上函数，基本可以解决高中数学中有关三角函数的问题。
（2）其它函数y=abs（x），y=sqrt（x），y=ln（x），y=log（x），y=sng（x），y=round（x），y=trunc （x）其中y=log（x）是常用对数，y=ln（x）是自然对数，可以通过换底公式作出任意底数的对数函数。
y=sng（x）是符号函数，y=round（x）是四舍五入函数，y=trunc（x）是取整函数。
2、一些函数作图中常见问题的解决方案。
（1）含参数的函数的构造在几何画板中可以度量点的坐标，利用这一点可以构造一些含参变量的函数，动态地演示参变量变化对函数图形的影响。
如在数轴（或在坐标平面的任何地方）上取n个点，度量这些点的横（或纵）坐标做为参变量，然后在函数中使用这些度量值做为参数，拖动这些点即可变更参变量的取值，以方便地研究参变量的变化如何影响函数的图形。
如做出二次函数图象的步骤如下：①在y轴上任意取一点，过该点作x轴的平行线，在平行线上任意取两点记为A、H，隐藏平行线，度量A、H两点的横坐标，鼠标分别右击度量值的标签，更改标签分别为a，h。
应用几何画板解决初中数学的函数问题
应用几何画板解决初中数学的函数问题
在初中数学中，函数是一个非常重要的概念，它关注的是数值之间的关系。
学生在学习函数时可能会遇到许多困难，特别是在绘制函数图像时。
为了帮助学生更好地理解函数概念和解决函数问题，应用几何画板是一个非常有用的工具。
应用几何画板是一种数字工具，它可以帮助学生通过绘制图形来理解数学概念。
与传统的纸笔方法相比，应用几何画板优势明显：可以轻松绘制几何图形和函数图像，可以用颜色和标记来区分不同的对象，可以根据需要进行修改和转换，可以在电子设备上使用，还有许多其他功能。
1. 绘制函数图像
当学生第一次接触函数时，最基本的问题是如何绘制函数图像。
应用几何画板可以帮助学生轻松地绘制任何函数的图像。
例如，假设学生需要绘制线性函数 y=2x-1 的图像。
学生可以使用应用几何画板中的线段工具来绘制直线，然后使用颜色和标记来标记不同部分。
学生还可以将图像保存在设备上，以备以后使用。
3. 求函数的解
有时候，学生需要根据函数中的一些条件来求解函数的值。
例如，假设学生需要求解函数f(x)=(x+3)²-5 在 x=2 处的值。
学生可以使用应用几何画板中的函数图像工具来绘制函数图像，并标记出 x=2 的点。
这个点的 y 坐标就是解。
怎样用几何画板画分段函数
怎样用几何画板画分段函数要有清晰的步骤，注明怎样标明每一个分段函数的定义域；例如：f(x)=3^(x-1)+1 (X<=1)=3^(1-x)+1(x>1)这个分段函数方法这样：（1）在图表菜单下，建立网格，再按住shitf键，在x轴点（1，0）上向左画一条水平向左的射线，并选中射线，点击作图菜单下“射线上的点”设为点A，再隐藏射线；（2）选中点A，右键单击“横坐标”，出现“X A＝**”，再点“图表”菜单下，计算命令，输入3^(x-1)+1（输X时只需点一下“X A＝**”），出现“3^(X A-1)+1＝**”；（3）分别选中“X A =**”和“3^( X A -1)+1＝**”，单击“图表”菜单，“绘制点”命令，即出现一点，——有时候，你要仔细找找，才能找到；（4）选中点A和上一步的点，再单击作图菜单下的“轨迹”命令；（5）此时即作出来f(x)=3^(x-1)+1 (X<=1) 部分；（6）f(x)=3^(x-1)+1 (X>1) ,如法炮制。
《几何画板》：绘制某区间内的函数图像第1步，启动几何画板，依次单击“图表”→“定义坐标系”菜单命令，在操作区建立直角坐标系。
然后依次单击“图表”→“隐藏网格”菜单命令，隐藏坐标系中的网格。
单击工具箱上的“文本”工具，移动光标至圆点，当变成一只小黑手时，单击鼠标左键，然后再双击鼠标左键，将标签修改为“O”。
同法，给单位点加注标签为“1”。
第2步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，单击操作区空白处，释放所选对象。
依次单击“图表”→“绘制点”菜单命令，弹出“绘制点”对话框，按照图143所示输入数据，单击“绘制”按钮，操作区显示一点。
继续在对话框中输入数据，如图144所示，单击“确定”操作区中又显示一点。
单击工具箱上的“文本”工具，移动光标至绘制的第一点上，当光标变成小黑手时，双击鼠标左键，弹出如图145所示的对话框，按照图所示，在标签栏里输入“π”，然后单击“确定”按钮。
用_几何画板_画分段函数图像的简单方法
・ ２００８ ０４
用*几何画板+画分段函数图像的简单方法
☆
黎凤仁
先 来 看 例 题 ： 在《 几 何 画 板 》中 画 出 分 段 函 数 Ｆ （ ｘ）＝ 点 １、 ０ ， 点 击 绘 制 得 点 Ａ（ １ ， ０ ） ， 输 入 － １ ， ０ 得 点 Ｂ（ － １ ，
ｆ１ （ｘ），ｘ＜ １ " ｆ２ （ｘ），１＜ ｘ＜ ２ # $ ｆ３ （ｘ），ｘ＞ ２ %
１，ｘ＞ ０ 借 助 函 数 ｓｇｎ （ｘ） ＝ ０，ｘ＝ ０ 可 以 将 Ｆ （ｘ） ＝ － １，ｘ＜ ０
!
２
２
ｘ２＋ ｓｇｎ（ｘ－ ２）＋ １ ×１ ， 点 击“ 确 定 ”即 可 画 出 此 分 段 函 数 ２ ｘ
的图像。 显 然 方 法 二 非 常 简 单 。 对 于 ｎ 段 分 段 函 数 Ｆ （ｘ） ＝
ｆ３ （ｘ）＝ １ （ ｘ＞ ２ ） 。 ｘ＜ ２ ） 、 ｘ
对 于 此 题 ， 可 以 有 两 种 方 法 画 出 其 函 数 图 像 。分 别 介 绍如下： 方 法 一（ 复 杂 ） ： 逐 段 画 图 像 ， 再“ 拼 ”成 一 个 分 段 函 数图像。 作法如下： 第 一 步 ， 打 开《 几 何 画 板 》， 点 击“ 编 辑 ”→“ 参 数 选 项 ”→“ 文 本 ”→ ， 在 “ 所 有 新 建 的 点 ”、 “度量过的对
义时， 对应的端点所处位置要依据原分段函数来确定。 第二， 形 式 统 一 后 定 义 域 会 变 化 。 如 ： Ｆ （ｘ） ＝ 定 义 域 为 Ｒ， 而 Ｆ （ｘ） ＝ １－ ｓｇｎ（ｘ－ １） ・ｘ２ ＋
得 ａ １ ＝ １－ ｓｇｎ（ｘ－ １） ，ａ ２
２
＝ ｓｇｎ（ｘ－ １）－ ｓｇｎ（ｘ－ ２） ，ａ ２ ２
利用几何画板绘制分段函数图像
利用<几何画板>绘制分段的图像东北育才双语学校 王海涛就像社会体制有“一国两制”，即不同的地域实行不同的社会制度一样，函数中有分段函数，即在不同的区间上有不同的规则，但它确实是一个函数。
在命题及其解题时都要求绘制这类函数的图像。
目前用<几何画板>绘制单一函数图像没有任何问题，但是分段函数的绘制还是需要有一定的技巧的。
另外有时我们需要绘制曲线的部分或不同部分不同的要求，也需要掌握绘制方法，针对这些，笔者认真思考后在利用<几何画板>绘制分段图像问题上有一点点心得，下面记录下来与读者分享。
一、分段函数绘制方法 （一）两段函数绘制原理：()11()()()()f x x x F xg x x x <⎧=⎨≥⎩⇔ ()11()()()()22x x f x g x f x g x F x x x -+-=+⋅-…………（*） 显然，1x x < 时，111x x x x -=- ，此时（*）式为()()()()()()1=22f xg x f x g x F x f x +-=+⋅； 1x x ≥ 时，111x x x x -=--，此时（*）式为()()()()()()()1=22f xg x f x g x F x g x +-=+-⋅. 例1.绘制函数()()()2200xx F x x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩ 的图像. 解：打开<几何画板>，在绘制新函数对话框中输入函数解析式，如图按下确定键，就可以得到函数的图像了，如图——2这样绘制出来的函数图像，在上面取一点，该点是可以在两段上自由运动的，这是分段绘制所得图像不能做到的。
注意：为了更好体现图像的精确性,我们可以再绘制点(0,1),将该点的颜色选择为白色,以表示空心点.（二）三段函数绘制()1122()()()()()()f x x x F xg x x x xh x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩,令()112()()()()f x x x p x g x x x x <⎧=⎨≤<⎩则由(一)得, ()11()()()()22x x f x g x f x g x p x x x -+-=+⋅-.而()22()()()()p x x x F x h x x x <⎧=⎨≥⎩()22()()()()22x x p x h x p x h x F x x x -+-=+⋅-………………（△）即两次使用在（一）中使用过的原理.而我们在“绘制新函数”中输入解析式（△）即可得到所求函数的图像，这里要求我们要有很好的层次逻辑就行；例2. 绘制函数()()()()22002sin 2x x F x x x x x ⎧<⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩的图像.解：打开<几何画板>，在绘制新函数对话框中输入函数解析式，如图第3页按下确定键，就可以得到函数的图像了，如图——xyf x () =2x + x 22+x x()∙2x x 2()2()+sin x ()2+2 x 2 x∙2x+ x 22+x∙2x x 2()2() sin x ()2()()O 1同样，为了更好体现图像的精确性，我们可以再绘制点(0,1)，将该点的颜色选择为白色，以表示空心点.像上一个例题中的函数图像一样，由一个解析式绘制出来的函数图像，在任何一段上取一点，该点是可以在三段上自由运动的。
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几何画板中函数和分段函数定义域处理郑 明 淮(福建尤溪文公高级中学，365100)几何画板是数学新课程推荐使用信息技术软件。
它作出的几何图形、函数图象非常精确，运算功能也十分强大，更重要的是它拥有用动态方式揭示几何图形中的元素间关系保持不变的特点。
这些特点对于学生认清问题的本质，弥补空间想像力不足，对相关问题进行验证、探索提供了易于操作的平台。
正因为如此，几何画板相对于其他常用软件倍受数学教师的青睐。
当然，任何一款软件都不可能做到十全十美，几何画板也是如此。
虽然它的版本已经升级到5.0，我们在使用过程中仍然发现有许多方面不尽如人意。
例如：新建一个函数后，利用绘制函数图象功能画出来的是其完整定义域上的图象。
而在高中数学中很多函数是限定定义域的，而几何画板不具备直接限定定义域的作图像功能，我们只能另想方法以达到这一目的。
这一问题以及分段函数是高中数学中的重点内容，在使用几何画板辅助教学中必需突破这一瓶颈。
本文就此两个问题在几何画板环境下做一个探索，希望能有效地、可操作地解决这一问题。
一、几何画板中限定定义域函数的图像处理方案例1、作函数822--=x x y(53≤≤-x )的图像分析：822--=x x y 的定义域是R ，要去掉 53≤≤-x 之外的图像只能改变原函数的表达式，使其对应关系与原函数相同，但定义域为53≤≤-x 。
构造如下：)5)(3(082)(2x x x x x f -+⋅+--=然后绘制函数f(x) 效果如图。
函数f(x) 中的)5)(3(0x x -+⋅把函数定义域限定在53≤≤-x ，并且在定义域范围内其值恒为0，因此不改变原函数的值。
一般地，限定函数定义域的构造有以下八种情况：1、限定函数f(x)定义域为[a ，b]构造函数：))((0)(x b a x x f y --⋅+=2、限定函数f(x)定义域为(a ，b]构造函数：ax x b x f y --⋅+=0)( 3、限定函数f(x)定义域为[a ，b)构造函数：xb a x x f y --⋅+=0)( 4、限定函数f(x)定义域为(a ，b)构造函数：)))(log((0)(x b a x x f y --⋅+=5、限定函数f(x)定义域为(a ，+∞)构造函数：)log(0)(a x x f y -⋅+=6、限定函数f(x)定义域为[a ，+∞)构造函数：a x x f y -⋅+=0)(7、限定函数f(x)定义域为(-∞，b)构造函数：)log(0)(x b x f y -⋅+=8、限定函数f(x)定义域为(-∞，b]构造函数：x b x f y -⋅+=0)(二、几何画板中分段函数的图像处理例2．作分段函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<≤--<+=)4........(63)42.....(..........)2.........(83)(2x x x x x x x f 的图像。
在网络上或下载的课件中经常看到的两种作法：方法1：分别构造函数①)2log(083)(1x x x f --⋅++=②xx x x f -+⋅+=420)(22 ③4063)(3-⋅++-=x x x f这里对三个函数的定义域分别作出了限制，然后分别绘制这三个函数的图象。
这一方法虽然可以在屏幕上同时显示出了f(x)函数图像，但本质上它是三个不同函数的图像，只是在视觉上让学生感觉是分段函数的图像。
若要对分段函数作进一步的研究，如：在f(x)定义域内任取x 的值计算其函数值则只能人工判断用哪个式子进行了。
若要动态显示f(x)整个变化过程则显然无能为力。
因此这种做法的缺陷是明显的。
分段函数本意上是一个函数，定义域是各段函数定义域的并集，只是在每一段内其对应关系不同。
在画板作图中应要求：1、函数图象能一次性作出。
2、在选择函数图象时，能整体选中。
3、在图象上任取一点，这一点应该能在各段图像上自由的移动。
这才是几何画板中的真正意义上分段函数。
方法2：首先定义函数①83)(1+=x x f ，②22)(x x f =，③63)(3+-=x x f 然后构造函数：)(2)4sgn(1)(2)4sgn()2sgn()(2)2sgn(1)(321x f x x f x x x f x x g -++-+++--+= 绘制g(x)的图像。
这一做法的结果是在画面上g(x)的图像与f(x)的图像完全相同，并且满足上面所说的三个基本要求。
因此这一构造法成为经典被列入几何画板常用自定义工具中。
实际上，这种构造仍然只是障眼法。
它根本上忽视了分段点的归属。
我们分析g(x)中的三个构造的式子2)2sgn(1x --+、2)4sgn()2sgn(x x -++和2)4sgn(1-+x ，其原理是在它所匹配各段函数定义域范围内取值为1，其它范围内取值为0，在非分段点g(x)与f(x)的值完全相同。
现考察其在分段点处的情形，当x = -2时它们的值分别为0.5、0.5和0，3)2(5.0)2(5.0)2(21=-+-=-f f g ，而4)2(=-f ，显然f (-2)≠g (-2)；在x =4时，三个式子的值分别为0、0.5和0.5，6)4(5)4(-==f g 而，同样)4()4(g f ≠。
这说明g(x)与f(x)并不是相同的函数。
那么为什么从图像上看不出来呢，原因是几何画板存在这样的bug ，函数图像中单个点的不会被显示。
这一点也许是人们没有意识到或是有意加以利用。
若没有这个bug ，且函数的图像在分段处不连续，那必然在分段处出现一个孤立点。
那么，如何在几何画板中实现真正意义上的分段函数呢？下面给出我的方法，步骤如下：(1)定义函数①83)(1+=x x f ，②22)(x x f =，③63)(3+-=x x f(2)构造三个函数作为各段的选择因子：k 1(x)=sgn(1+sgn(-2-x))*sgn(abs(-2-x)) 该函数只有当x ＜-2时值为1，其余为0。
k 2(x)=sgn(1+sgn((x+2)(4-x)))*sgn(abs(4-x)) 该函数只有当-2≤x ＜4时值为1，其作为0。
k 3(x)=sgn(1+sgn(x-4)) 该函数只有当x ≥4时值为1，其余为0。
(3)构造g(x)=k 1(x)*f 1(x)+k 2(x)*f 2(x)+k 3(x)*f 3(x)(4)选中函数g(x)，绘制函数即得f(x)的图像。
分析这一方法的基本原理：若一个含有n 段的分段函数f(x)中，函数)(x f i (i =1、2、…、n )的原始定义域的交集与f(x)的定义域相同，则针对)(x f i 自变量x 限定范围内，构造相应的选择因子)(x k i ，其中)(x k i (i =1，2，…，n ) 的取值只为0或1，而且这n 个中只能有一个为1。
再构造函数∑==ni i i x f x k x g 1)()()(则g(x)与f(x)是相同的函数。
一般地，利用画板中的sgn ( )和abs ( )函数可以构造八个不同类型的选择因子函数。
根据分段函数中各段限定定义域的模型选择相匹配的选择因子函数，构造∑==ni i i x f x k x g 1)()()(便可达到要求。
具体的)(x k i 根据)(x f i 自变量x限定形式分别作如下构造：1、当x ≤a 时选中：)(x k i =sgn (1+sgn (a-x ))2、当x<a 时选中：)(x k i =sgn (1+sgn(a-x))*sgn (abs (a-x ))3、当x ≥a 时选中：)(x k i =sgn (1+sgn (x-a ))4、当x>a 时选中：)(x k i =sgn (1+sgn (x-a ))*sgn (abs (x-a ))5、当a ≤x ≤b 时选中：)(x k i =sgn (1+sgn ((x-a )(b-x )))6、当a<x ≤b 时选中：)(x k i =sgn (1+sgn ((x-a )(b-x )))*sgn (abs (x-a ))7、当a ≤x<b 时选中：)(x k i =sgn (1+sgn ((x-a )(b-x )))*sgn (abs (b-x ))8、当a<x<b 时选中：)(x k i =sgn (1+sgn ((x-a )(b-x )))*sgn (abs ((x-a )(b-x ))) 对于)(x f i 中原始定义域交集与f(x)的定义域不同的问题中，直接按上述方法可能得不到∑==ni i i x f x k x g 1)()()(的图象，因为g(x)的定义域就是)(x f i (i =1、2、…、n )限定定义域的交集。
在此情况下所构造的g(x)是无意义的。
例如：⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-<=)1..().........1ln()10........()1()0.(....................0)(x x x x x x x f 此时按上面方法构造的g(x)定义域为φ。
要解决这一问题可以用画板提供的取绝对值函数abs ( )对)(x f i 的原始定义域进行扩展。
本例中，0)(1=x f ，)1()(2x x x f -=，)1ln()(3-=x x f ，三个函数的定义域交集为φ，f(x)定义域为R ，可将)(2x f 和)(3x f 改写为下列方式把定义域扩展。
))1(()(2x x abs x f -=，))))1(sgn((ln()(3--=x abs x abs x f其中)(3x f 中把1改为sgn(abs(x -1))的目的是把原来x=1时ln(x -1)无意义变为有意义。
再构造选择因子函数：))(sgn(*))sgn(1sgn()(1x abs x x k -+=)))1(*sgn(1sgn()(2x x x k -+=))1(sgn(*))1sgn(1sgn()(3--+=x abs x x k由于)(x k i 的特性，扩展部分的相应)(2x f 和)(3x f 函数值为0。
在此基础上构造)(*)()(*)()(*)()(332211x f x k x f x k x f x k x g ++=与)(x f 是等价的。
函数图象如图所示。
几何画板的分段函数的问题，历来是喜欢用画板的老师热议的问题，各种创造性的发挥还将层出不穷。
本文所提及的解决方法也许只是其中的一小部分，还脱离不了实际操作层面的繁琐。
建议将限定定义域的8种类型和分段函数8种选择因子函数做成自定义工具，这样在实际使用中会方便一些。