一次函数与反比例函数的综合复习课件(2)
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人教版九年级数学下册作业课件 第二十六章 反比例函数 专题课堂(二) 反比例函数的综合应用
n＝－2，
得 b＝6，
∴直线 AC 的解析式为：y＝－2x＋6
二、反比例函数与二次函数的综合应用
【例 2】(2022·绥化)已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的部分函数图象如图所示，则一
次函数
y＝ax＋b2－4ac
与反比例函数
4a＋2b＋c y＝ x
在同一平面直角坐标系中的图象
大致是( B )
[对应训练] 4．抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a＜0)与双曲线 y＝kx 相交于点 A，B，且抛物线经过坐 标原点，点 A 的坐标为(－2，2)，点 B 在第四象限内，过点 B 作直线 BC∥x 轴，点 C 为直线与抛物线的另一交点，已知直线 BC 与 x 轴之间的距离是点 B 到 y 轴的距离 的 4 倍．记抛物线顶点为 E. (1)求双曲线和抛物线的解析式； (2)计算△ABC 与△ABE 的面积．
b＝－4，
的解析式为 y＝－x－4 (2)如图，过点 B 作 BM⊥OP，垂足为 M，由题意可知，
OM＝1，BM＝3，AC＝1，MC＝OC－OM＝3－1＝2，∴S 四边形 ABOC＝S△BOM＋S 梯 形 ACMB＝32 ＋12 (1＋3)×2＝121
[对应训练] 1．一次函数 y＝kx＋b(k≠0)与反比例函数 y＝kx (k≠0)在同一平面直角坐标系上的 大致图象如图所示，则 k，b 的取值范围是( C ) A.k＞0，b＞0 B．k＜0，b＞0 C．k＜0，b＜0 D．k＞0，b＜0
解：(1)由点 A(－2，2)在双曲线上得双曲线的解析式为 y＝－4x ，设点 B 的坐标为
(m，－4m)且 m＞0，代入 y＝－4x ，得 m＝1，∴B(1，－4)，由题意知 c＝0，把 A，B
4a－2b＝2，
反比例函数的图象和性质(2)课件人教版数学九年级下册
o
x
-1
A
2、下列各点在双曲线
y2 x
上的是（ B
）
A、（ 4 ， 3 ） 32
B、（ 4 ， 3 ） 32
C、（ 3 ， 4 ） 43
D、（ 3 ， 8 ） 43
例2：如图是反比例函数 y m 5 的图象一支，
根据图象回答下列问题 ：
x
（1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是
什么？
探究1.
如图,点P是反比例函数 y 图2 象上的一 x
点,PD⊥x轴于D.求△POD的面积
1
S△POD
=
2
OD·PD
=
1 m n
2
=
1k 2
y
P (m,n)
oD
x
如图,点P是反比例函数 y 图2象上的一 x
点,PA⊥x轴于A, PB⊥y轴于B.则长方形
PAOB的面积为 2. S△POD =OD·PD
y
o SS1 1A
SS2
B
x
C2 D
8.如图,在y 1 (x 0)的图像上有三点A, B,C, x
经过三点分别向x轴引垂线,交x轴于A1, B1,C1三点,
边结OA,OB,OC,记OAA1, OBB1, OCC1的
面积分别为S1, S2, S3,则有 _A_ .
y
A.S1 = S2 = S3
B. S1 < S2 < S3
小测：
1.反比例函数的图象是__双__曲__线______.
2.反比例函数
y2 x
的图象在第__二__、__四___象限内，
在每一象限内，y 随x 的增大而______增__大_.
3.点(m,2) 在双曲线
反比例函数的图像和性质(2)精品课件
04
05
思路
1. 审题
2. 设定变量
3. 建立反比例函 4. 求解面积 数关…
根据题目所给条件，设定 合适的变量，建立反比例 函数关系式，进而求解面 积。
明确题目中的已知条件和 未知量，确定求解目标。
根据题目中的条件，选择 合适的变量表示面积。
根据题目中的条件，建立 反比例函数关系式。
利用反比例函数的性质， 求解面积。
速度、时间、距离关系建模
1. 明确速度、时间、距离 之间的关系：速度=距离/
时间。
3. 建立反比例函数模型： 根据速度、时间、距离之 间的关系，建立反比例函
数模型。
01
02
03
04
05
思路：根据速度、时间、 距离之间的关系，建立反
比例函数模型。
2. 设定变量：选择合适的 变量表示速度、时间或距
离。
特殊值比较法
在函数的定义域内取特殊值进行比较，从而 判断函数的单调性。
奇偶性判断方法
01
02
03
定义判断法
根据奇函数和偶函数的定 义，判断反比例函数是否 满足奇函数或偶函数的性 质。
图像观察法
通过观察反比例函数的图 像是否关于原点对称或关 于y轴对称，判断函数的 奇偶性。
代数运算判断法
通过代数运算将反比例函 数化为标准形式，从而判 断其奇偶性。
一般地，如果两个变量$x$、$y$ 之间的关系可以表示成$y=k/x (k 为常数，k≠0)$的形式，那么称 $y$是$x$的反比例函数。
表达式
反比例函数的表达式为 $y = frac{k}{x}$，其中 $k$ 是常数且 $k neq 0$。
自变量取值范围
01
人教版数学九年级下册第26章《反比例函数》复习课件
（2）找出满足反比例函数解析式的点P（a，b）； （3）将P（a，b）代入解析式得 k=ab； （4）确定反比例函数解析式 y =
ab x
真题专练
(2015安徽21题12分)如图,已知反比例函数y
k1 与
x
一次函数y=k2x+b的图象交于A(1,8),B(-4,m).源自(1)求k1、k2、b的值;
(2)求△AOB的面积;
y= k
K>0
K<0
x
图 象
当k＞0时，函数图象的两 当k＜0时，函数图象的两
性 质
个分支分别在第一、三象 个分支分别在第二、四象
限，在每个象限内，y随x 限，在每个象限内，y随x
的增大而减小.
的增大而增大.
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
有两条对称轴：直线y=x和 y=-x。对称中心是：原点
(1)求p与S之间的函数关系式;
用 (2)求当S＝0.5m2时物体承受的压强p ;
(3)求当p＝2500Pa时物体的受力面积S.
p（Pa）
4000 3000 2000
A(0.25，1000)
1000
O 0.1 0.2 0.3 0.4 S（m2）
【及时归纳】 求反比例函数解析式的步骤
（1）设出反比例函数解析式 y = k ； x
反比例函数的图象及性质(常考)
函数的图象经过点
A(1,-2),则k的值为
()
A. 1
2
B. 1 C. 2
2
D. -2
反比例函数解析式的确定(常考)
点P(1,a)在反比例函数的图象上,它关于y 轴的对称点在一次函数y=2x+4的图象上,求
此反比例函数的解析式.
ab x
真题专练
(2015安徽21题12分)如图,已知反比例函数y
k1 与
x
一次函数y=k2x+b的图象交于A(1,8),B(-4,m).源自(1)求k1、k2、b的值;
(2)求△AOB的面积;
y= k
K>0
K<0
x
图 象
当k＞0时，函数图象的两 当k＜0时，函数图象的两
性 质
个分支分别在第一、三象 个分支分别在第二、四象
限，在每个象限内，y随x 限，在每个象限内，y随x
的增大而减小.
的增大而增大.
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
有两条对称轴：直线y=x和 y=-x。对称中心是：原点
(1)求p与S之间的函数关系式;
用 (2)求当S＝0.5m2时物体承受的压强p ;
(3)求当p＝2500Pa时物体的受力面积S.
p（Pa）
4000 3000 2000
A(0.25，1000)
1000
O 0.1 0.2 0.3 0.4 S（m2）
【及时归纳】 求反比例函数解析式的步骤
（1）设出反比例函数解析式 y = k ； x
反比例函数的图象及性质(常考)
函数的图象经过点
A(1,-2),则k的值为
()
A. 1
2
B. 1 C. 2
2
D. -2
反比例函数解析式的确定(常考)
点P(1,a)在反比例函数的图象上,它关于y 轴的对称点在一次函数y=2x+4的图象上,求
此反比例函数的解析式.
11.2 反比例函数的图像和性质(2)
主备人：张伟平核校人：刘晓亮备课时间：年月日第 11 课（章）第 2 节（单元）第 2 课时授课时间：年月日课题11.2 反比例函数的图像和性质（2）课型新授课教学目标1、使学生对反比例函数和反比例函数的图象和性质加深理解。
2、让学生进一步感受数形结合的思想方法。
教学重难点重点理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题难点利用反比例函数的图象和性质解题教具与课件板书设计教学环节教学过程教师活动学生活动一、复习巩固：反比例函数解析式k>0位置（）象限增减性每一象限内，y随x的增大而减小k<0位置（）象限增减性每一象限内，y随x的增大而增大二、例题分析：例1.已知反比例函数()252ky k x-=+；(1)求k的值；(2)这个函数的图象在哪几个象限？y随着x的增大怎样变化？(3)如果点(1,a),(3,b),(-1,c),(-3,d)都在这个函数的图象上，比较a,b,c,d的大小。
(4)求当-2≤x﹤-1时，y的范围；当x﹤2时，y的范围；当y>4时，x的范围；当y≤2时，x的范围。
例2、一次函数y=kx-k与反比例函数kyx=在同一直角坐标系内的图象大致是( )三、想一想在反比例函数中，S1、S2、S3 之间有什么关系？为什么？S1=S2=S3=xy=k练习、如图，P1、P2、P3是双曲线上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形△P1A1O、△ P2A2O、△ P3A3O，设他们的面积分别是S1、S2、S3.则（）A. S1＜S2＜S3B. S2＜S1＜S3C. S1＜S3＜S2D. S1=S2=S3提炼总结：本节课你学到了什么1、反比例函数图象和性质；2、进一步体会数形结合的数学思想；3、进一步体会变量之间的关系，并用于实际的解题中。
作业布置作业：预习内容：教后感检查记录该课时教案已检查，同意上课使用。
学科领导签字：检查时间：年月日注：1、格式及排版要求：字体（楷体-GB2312）；字号（小五，标题加粗）；缩进（首行）；行间距（固定值22磅）。
第二十六章 反比例函数(复习课件)-2022-2023学年九年级数学下册同步备课系列(人教版)
则1 , 2 , 3 的大小关系是（ ）
A．1 < 2 < 3
B． 2 < 3 < 1
C． 1 < 3 < 2
8
【详解】将三点坐标分别代入函数解析式 = ，得：
8
2 = ，解得1 = 4；
1
8
−1 = ，解得2 = −8；
2
8
4 = ，解得3 = 2；
8
k
x
M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y = 和y = 的图象交于P、Q两点．若S△POQ＝15，
x
则k的值为（
A．38
）
B．22
C．﹣7
D．﹣22
【详解】解：设点P（a，b），Q（a，），则OM＝a，PM＝b，MQ＝− ，
两者矛盾，故D选项错误；
故选：B．
中考真题
4．（2022·江苏无锡·中考真题）一次函数y=mx+n的图像与反比例函数y= 的图像交于点A、
1
B，其中点A、B的坐标为A（- ，-2m）、B（m，1），则△OAB的面积（ ）
A．3
B．
13
4
7
2
C．
D．
15
4
1
1
【详解】解：∵A（-，-2m）在反比例函数y= 的图像上，∴m=(-) • ( -2m)=2，
2）反比例函数也写成y=kx-1或k=xy的形式。
基础巩固（反比例函数的图象与性质）
当k＞0时，反比例函数y = 的图象：
（1）函数图象分别位于第一、三象限；
（2）在每一个象限内，y随x的增大而减小。
高考数学复习第2章函数导数及其应用第8讲一次函数反比例函数及二次函数
解析：∵函数图象的对称轴方程为 x＝－－24＝2,∴f(x)在 [0,1]上单调递减,最大值为 f(0)＝3,最小值为 f(1)＝1－4＋3＝ 0,值域为[0,3].当 x∈[0,3]时,f(x)在[0,2]上单调递减,在[2,3] 上单调递增,最大值 f(0)＝3,最小值为 f(2)＝22－4×2＋3＝ －1,值域为[－1,3].
图象与 x 轴的两个交点的横坐标.
4.二次函数的图象及性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0)
图象
开口 顶点
对称性 定义域
向上
向下
－2ba，4ac4－a b2 函数的图象关于 x＝－2ba对称
(－∞,＋∞)
(续表) 解析式
值域
f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0) 4ac4－a b2，＋∞
2.y＝ 3－aa＋6(－6≤a≤3)的最大值为( B )
9
32
A.9
B.2
C.3
D. 2
3.(2019年河南信阳模拟)函数y＝－2x2－4ax＋3在区间
[－4,－2]上是单调函数,则 a 的取值范围是( )C
A.(－∞,1]
B.[4,＋∞)
C.(－∞,2]∪[4,＋∞)
D.(－∞,1]∪[2,＋∞)
解析：函数y＝－2x2－4ax＋3的图象的对称轴为x＝－a,
由题意可得－a≤－4或－a≥－2,解得a≤2或a≥4,故选C.
4.(2017年北京)已知x≥0,y≥0,且x＋y＝1,则x2＋y2的 取值范围是_____12_，__1___.
考点 1 二次函数的图象及应用
例 1：(1)(2018 年安徽淮南模拟)二次函数 y＝ax2＋bx 及指
第8讲 一次函数、反比例函数及二次函数
图象与 x 轴的两个交点的横坐标.
4.二次函数的图象及性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0)
图象
开口 顶点
对称性 定义域
向上
向下
－2ba，4ac4－a b2 函数的图象关于 x＝－2ba对称
(－∞,＋∞)
(续表) 解析式
值域
f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0) 4ac4－a b2，＋∞
2.y＝ 3－aa＋6(－6≤a≤3)的最大值为( B )
9
32
A.9
B.2
C.3
D. 2
3.(2019年河南信阳模拟)函数y＝－2x2－4ax＋3在区间
[－4,－2]上是单调函数,则 a 的取值范围是( )C
A.(－∞,1]
B.[4,＋∞)
C.(－∞,2]∪[4,＋∞)
D.(－∞,1]∪[2,＋∞)
解析：函数y＝－2x2－4ax＋3的图象的对称轴为x＝－a,
由题意可得－a≤－4或－a≥－2,解得a≤2或a≥4,故选C.
4.(2017年北京)已知x≥0,y≥0,且x＋y＝1,则x2＋y2的 取值范围是_____12_，__1___.
考点 1 二次函数的图象及应用
例 1：(1)(2018 年安徽淮南模拟)二次函数 y＝ax2＋bx 及指
第8讲 一次函数、反比例函数及二次函数
人教版初三数学9年级下册 第26章(反比例函数)26.1.1 反比例函数 课件(共17张ppt)
复习回顾
➢什么是函数？
一般地，在一个变化过程中，如果有两个 变量x与y ，并且对于x的每个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就
说x是自变量，y是x的函数。
复习回顾
➢我们学习过的函数有哪些？它们的一般形式是什么？
一次函数： y=kx+b (k,b是常数，k≠0）
正比例函数（特殊的一次函数）：y=kx (k是常 数，k≠0），其中k为比例系数
v
1463
（3）你能写出 v 关于 t 的解析
t
式吗？
思考： 下列问题中，变量间具有函数关系吗？如
果有，请直接写出解析式．
问题2 某住宅小区要种植一块面积为 1 000 m2的矩形 草坪，草坪的长 y（单位：m）随宽 x（单位：m）的
变化而变化．
y 1 000 x
x y
问题3 已知北京市的总面积为 1.68×104 km2 ，人 均占有面积 S（单位： km2 /人）随全市总人口 n（单 位：人）的变化而变化．
（1）写出 y 关于 x 的函数解析式；
（2）当 x = 4 时，求 y 的值.
（3）当 y =8时，求x的值.
变式训练
已知 y 与 x2 成反比例，并且当 x=3 时，y=4．
（1）写出 y 关于 x 的函数解析式； （2）当 x=1.5 时，求 y 的值；
（3）当 y=6 时，求 x 的值.
规律提炼
课堂小结 反比例函数的定义 一般形式 如何求解析式
拓展提高
1、如果y是z的反比例函数，z是x的反比例函数，那 么y与x具有怎样的函数关系？ 2、如果y是z的反比例函数，z是x的正比例函数，且 x≠0，那么y与x具有怎样的函数关系？
二次函数：y ax2 bx c （a≠0,且a,b,c均
➢什么是函数？
一般地，在一个变化过程中，如果有两个 变量x与y ，并且对于x的每个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就
说x是自变量，y是x的函数。
复习回顾
➢我们学习过的函数有哪些？它们的一般形式是什么？
一次函数： y=kx+b (k,b是常数，k≠0）
正比例函数（特殊的一次函数）：y=kx (k是常 数，k≠0），其中k为比例系数
v
1463
（3）你能写出 v 关于 t 的解析
t
式吗？
思考： 下列问题中，变量间具有函数关系吗？如
果有，请直接写出解析式．
问题2 某住宅小区要种植一块面积为 1 000 m2的矩形 草坪，草坪的长 y（单位：m）随宽 x（单位：m）的
变化而变化．
y 1 000 x
x y
问题3 已知北京市的总面积为 1.68×104 km2 ，人 均占有面积 S（单位： km2 /人）随全市总人口 n（单 位：人）的变化而变化．
（1）写出 y 关于 x 的函数解析式；
（2）当 x = 4 时，求 y 的值.
（3）当 y =8时，求x的值.
变式训练
已知 y 与 x2 成反比例，并且当 x=3 时，y=4．
（1）写出 y 关于 x 的函数解析式； （2）当 x=1.5 时，求 y 的值；
（3）当 y=6 时，求 x 的值.
规律提炼
课堂小结 反比例函数的定义 一般形式 如何求解析式
拓展提高
1、如果y是z的反比例函数，z是x的反比例函数，那 么y与x具有怎样的函数关系？ 2、如果y是z的反比例函数，z是x的正比例函数，且 x≠0，那么y与x具有怎样的函数关系？
二次函数：y ax2 bx c （a≠0,且a,b,c均
2015高考总复习数学(文)课件：3.3一次函数、反比例函数及二次函数
a2 1 2 y＝－t－2 ＋4(a －a＋2)在[－1,1]单调递增，
1 3 10 由 ymax＝－2＋4a＝2，解得 a＝ 3 .
a (3)当2<－1，即 a<－2 时， 函数
a2 1 2 y＝－t－2 ＋4(a －a＋2)在[－1,1]单调递减，
5 1 由 ymax＝－4a－2＝2，得 a＝－2(舍去)． 10 综上可得，a 的值为 a＝－2 或 a＝ 3 .
【方法与技巧】“区间固定对称轴动”以及“对称轴固定 区间动”是二次函数中分类讨论的最基本的两种题型，应引起 足够的重视.本例中的二次函数是区间 t∈[－1，1]固定，对称轴
a t＝ 在变化，因此要讨论对称轴相对于该区间的位置关系，即 2
a a a 分－1≤ ≤1， >1 及 <－1 三种情况讨论. 2 2 2
象与 x 轴两个交点的横坐标． 4．二次函数的图象及性质
对于二次函数
2 4 ac － b b f(x)＝ax2＋bx＋c＝ax＋2a2＋ 4a .
(1) 当 a>0 时 ， f(x) 的 图 象 开 口 向 上 ， 顶 点 坐 标 为
2 4 ac － b b － ， 2a ，对称轴为直线 4 a
【互动探究】 2．(2012 年北京)已知 f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x (－4,0) ． －2.若∀x∈R，f(x)<0 或 g(x)<0，则 m 的取值范围是________
解析：首先看 g(x)＝2x－2 没有参数，从 g(x)＝2x－2 入手，
显然x<1时，g(x)<0，x≥1时，g(x)≥0，而对∀x∈R，f(x)<0
f(x)在区间 x∈[－3，－1]上单调递增，则 y∈[－11,3]．
1 3 10 由 ymax＝－2＋4a＝2，解得 a＝ 3 .
a (3)当2<－1，即 a<－2 时， 函数
a2 1 2 y＝－t－2 ＋4(a －a＋2)在[－1,1]单调递减，
5 1 由 ymax＝－4a－2＝2，得 a＝－2(舍去)． 10 综上可得，a 的值为 a＝－2 或 a＝ 3 .
【方法与技巧】“区间固定对称轴动”以及“对称轴固定 区间动”是二次函数中分类讨论的最基本的两种题型，应引起 足够的重视.本例中的二次函数是区间 t∈[－1，1]固定，对称轴
a t＝ 在变化，因此要讨论对称轴相对于该区间的位置关系，即 2
a a a 分－1≤ ≤1， >1 及 <－1 三种情况讨论. 2 2 2
象与 x 轴两个交点的横坐标． 4．二次函数的图象及性质
对于二次函数
2 4 ac － b b f(x)＝ax2＋bx＋c＝ax＋2a2＋ 4a .
(1) 当 a>0 时 ， f(x) 的 图 象 开 口 向 上 ， 顶 点 坐 标 为
2 4 ac － b b － ， 2a ，对称轴为直线 4 a
【互动探究】 2．(2012 年北京)已知 f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x (－4,0) ． －2.若∀x∈R，f(x)<0 或 g(x)<0，则 m 的取值范围是________
解析：首先看 g(x)＝2x－2 没有参数，从 g(x)＝2x－2 入手，
显然x<1时，g(x)<0，x≥1时，g(x)≥0，而对∀x∈R，f(x)<0
f(x)在区间 x∈[－3，－1]上单调递增，则 y∈[－11,3]．
26.1.2反比例函数的图像和性质课件(共31张PPT)
(1)y 2 (2)y 2x
3x
3
(5)y 2x 3
(3)y 2 3x
(4)y 2x 3
2、如图，这是下列四个函数中哪一个函数的图象
（A）y=5x （B）y=2x+3
（C） y 4 x
（D） y 3 x
练一练 2
已知反比例函数 y 4 k x
-6
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 -1
23 4
5
6x
-2
的特征？
-3
-4
-5
再让我们仔细看看，这两个
-6
函数图象在位置上有什么关系？
操作二：
比一比：
同桌两人分别画出函数 y 8 , y 8 或
x
x
的图象，看谁画得又快又好．
y 3,y3
x
x
找一找： 根据大家所画出的函数图象，从以下几个方面出发，你
增减性 当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小;
当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大.
图象的发展趋势
反比例函数的图象无限接近于x,y轴,但永远不能到达x,y轴
对称性 ⑴反比例函数的图象是轴对称图形.直线y=x和y=-x
都是它的对称轴； ⑵反比例函数 y 与k
x
轴对称。
y 的 k图象关于x轴对称,也关于y
速度x(km/h)的函数，则这个函数的图象大致是（ C ）
思前想后
２﹑已知 k<0, 则函数 y1=kx,y2=
k
x
在
同一坐标系中的图象大致是 ( D )
y
y
(A)
(B)
x
0
x