2019-2020人教A版高中数学选修2-1课件3.1.3优质课件
∴cos〈O→E，B→F〉＝|O→O→EE|··B|→B→FF|＝
－12 23×
3＝－23， 2
∴OE 与 BF 所成角的余弦值为23.
题型三 利用空间向量的数量积解决垂直问题 【例 3】 如图，已知在空间四边形 OACB 中，OB＝OC，AB ＝AC，求证：OA⊥BC.
思路点拨：要证 OA⊥BC，只需证明O→A·B→C＝0 即可，关键是 充分利用已有条件进行转化．
预习测评 1．对于向量 a，b，c 和实数 λ，下列命题中的真命题是( ) A．若 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0 B．若 λa＝0，则 λ＝0 或 a＝0 C．若 a2＝b2，则 a＝b 或 a＝－b D．若 a·b＝a·c，则 b＝c
【答案】B 【解析】对于 A，可举反例：当 a⊥b 时，a·b＝0；对于 C， a2＝b2，只能推得|a|＝|b|，而不能推出 a＝±b；对于 D，a·b＝a·c 可以移项整理推得 a⊥(b－c)．
错因分析：向量A→O与B→C的夹角找的不对．
正解： 作 CD⊥平面 α，则∠DBC＝30°， ∴∠BCD＝60°，∴〈B→C，C→D〉＝120°，即〈A→O，B→C〉＝120°. ∴|A→C|2＝3a2＋2·a2·cos 120°＝2a2，∴|A→C|＝ 2a. 即 AC＝ 2a.
课堂总结 1．利用向量的模求线段的长度，可避免画图，很方便． 2．利用向量的夹角求异面直线所成角． 3．重视数学思想、方法的运用，优化解题思维、简化解题过 程． (1)方程思想：在解题过程中会引入一些相互联系、相互制约 的量，使得在已知向量及未知向量之间构成函数方程关系，整体处 理，简化解题运算量． (2)数形结合思想：根据平面几何知识易于发现各量之间的关 系，将位置关系用向量表达． (3)化归转化思想：注意空间向平面的转化.
要点阐释 1．空间向量数量积的概念 ①两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为 两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决 定；②两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过 的数的乘法是有区别的；③当 a≠0 时，由 a·b＝0 不能推出 b 一定 是零向量，这是因为任一个与 a 垂直的非零向量 b，都有 a·b＝0； ④a·b 的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与|b|在 a 的方向上的 投影|b|cos θ 的乘积．
【证明】
∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA， ∴△OAC≌△OAB. ∴∠AOC＝∠AOB. ∵O→A·B→C＝O→A·(O→C－O→B)＝O→A·O→C－O→A·O→B ＝|O→A||O→C|cos∠AOC－|O→A||O→B|cos∠AOB＝0， ∴OA⊥BC.
方法点评： 证明两直线垂直可转化为证明两直线的方向向量垂直．如本题 证明 OA⊥BC，就是要证明O→A⊥B→C，即证O→A·B→C＝0.在本题中， 因为已知 OB＝OC(AB＝AC)，所以B→C最好用O→B，O→C表示(或用A→B， A→C表示)，然后代入O→A·B→C中，根据分配律证明O→A·B→C＝0，从而证 明 OA⊥BC.
若 a·b＝k，没有 a＝bk或 b＝ak.
典例剖析 题型一 求向量的模 【例 1】 已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，a·b＝b·c＝c·a＝0，求|a ＋b＋c|的值． 思路点拨：利用完全平方公式运算．
【解析】|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋a·c＋b·c) ＝1＋4＋9＝14，所以|a＋b＋c|＝ 14.
3．如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，CD1 和 DC1 相交于 点 O，连结 AO.
求证：AO⊥CD1.
【证明】
∵A→O＝A→C＋C→O＝A→B＋A→D＋12C→D1＝A→B＋A→D＋12(C→D＋D→D1)
＝A→B＋A→D＋12C→D＋12D→D1＝12A→B＋A→D＋12D→D1，
误区解密
【例 4】 如图，AO⊥平面 α，BC⊥OB，BC 与平面 α 夹角为 30°，AO＝BO＝BC＝a，求 AC 长 .
错解：A→C＝A→O＋O→B＋B→C， ∴|A→C|2＝|A→O|2＋|O→B|2＋|B→C|2＋2A→O·O→B＋2O→B·B→C＋2A→O·B→C. ∵AO⊥OB，OB⊥BC，BC 与平面 α 夹角 30°， ∴〈A→O，B→C〉＝60°. ∴|A→C|2＝4a2，∴|A→C|＝2a.
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1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的 概念、性质和计算方法及运算规律. 2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些 简单的问题.
自学导引 1．空间向量的夹角
如果〈a，b〉＝π2，那么向量 a，b_互__相__垂__直_，记作 a⊥b.
2．如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于 a，点 E， F，G 分别是 AB，AD，DC 的中点，则下列向量的数量积等于 a2 的是( )
A．2B→A·A→C B．2A→D·D→B C．2F→G·A→C D．2E→F·C→B
【答案】C 【解析】2B→A·A→C＝－a2，故 A 错；2A→D·D→B＝－a2，故 B 错； 2E→F·C→B＝－12a2，故 D 错，只有 C 正确．
3．空间向量数量积的运算律： ①(结合律)(λa)·b＝λ(a·b)； ②(交换律)a·b＝b·a； ③(分配律)a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
注意： ①数量积运算不满足消去律
a·b＝b·c(b≠0) a＝c.
②数量积运算不满足结合律 数量积的运算只适合交换律，分配律及数乘结合律，但不适合 乘法结合律，即(a·b)·c 不一定等于 a·(b·c)．这是由于(a·b)·c 表示一 个与 c 共线的向量，而 a·(b·c)表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一定共线． ③空间向量没有除法运算
积的性 特别地：a·a＝|a|2 或|a|＝____a_·_a____. a·b
质 (3)若 θ 为 a，b 的夹角，则 cos θ＝____|a_|·_|b_|___. (4)|a·b|≤___|a_|_·|_b_| ___
应用
(1)可以求向量的模或夹角，进而求两点间距离或两直 线所成角． (2)可证明两非零向量垂直，进而证明两直线垂直
1．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|等于( ) A．22 B．48 C. 46 D．32
【答案】A 【解析】设(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝x，(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b ＝242，两式相加得，2(a2＋b2)＝x＋242，∴x＝484.故|a－b|＝22.
4．已知空间四边形 OABC，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝θ， 则 OA 与 BC 的位置关系为________．
【答案】OA⊥BC 【解析】O→A·B→C＝O→A·(O→C－O→B)＝O→A·O→C－O→A·O→B＝|O→A|·|O→C |·cos θ－|O→A|·|O→B|cos θ，因为 OB＝OC，所以O→A·B→C＝0，所以 OA ⊥BC.
2．两个向量数量积的性质：若 a、b 是非零向量，则 ①a⊥b⇔a·b＝0； ②若 a 与 b 同向，则 a·b＝|a|·|b|；若 a 与 b 反向则 a·b＝－|a|·|b|. 特别地：a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a； ③若 θ 为 a，b 的夹角，则 cos θ＝|aa|·|bb|； ④|a·b|≤|a||b|.
3．已知|a|＝3 2，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°， m⊥n，则 λ＝________.
【答案】－32 【解析】由 m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，∴a2＋(1＋λ)·a·b＋λb2 ＝0，∴18＋(λ＋1)×3 2×4cos 135°＋16λ＝0，即 4λ＋6＝0，∴λ ＝－32.
【解析】
设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，则 a·b＝b·c＝c·a＝12，|a|＝|b|＝|c|
＝1，O→E＝12(a＋b)，B→F＝12c－b，
O→E
·B→F
＝
1 2
(a
＋
b)·12c－b
＝
1 2
12a·c＋12b·c－a·b－|b|2
＝
1 2
×14＋14－12－1＝－12，
C→D1＝C→D＋D→D1＝－A→B＋D→D1，Leabharlann ∴A→O·C→D1
＝
12A→B＋A→D＋12D→D1
·(－
A→B
＋
D→D1
)
＝
－
1 2
A→B
·A→B
－
A→D·A→B－12D→D1·A→B＋12A→B·D→D1＋A→D·D→D1＋12D→D1·D→D1＝0，
∴A→O⊥C→D1，即 AO⊥CD1.
题型二 求两直线所成的角 【例 2】 如图所示，在空间四边形 OABC 中，OA＝8，AB ＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求 OA 与 BC 所成角的余弦值． 思路点拨：利用向量数量积公式的逆用进行计算．
【解析】
∵B→C＝A→C－A→B，
∴O→A·B→C＝O→A·A→C－O→A·A→B＝|O→A|·|A→C|·cos〈O→A，A→C〉－|O→A||A→B
|·cos〈O→A，A→B〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16 2.
∴cos〈O→A，B→C〉＝|O→O→AA|··B|→B→CC|＝24－8×165
2＝3－52
2 .
∴OA 与 BC 所成角的余弦值为3－52
2 .
2．如图，已知点 O 是正三角形 ABC 所在平面外的一点，若 OA＝OB＝OC＝AB＝1，E，F 分别是 AB，OC 的中点，试求 OE 与 BF 所成角的余弦值．
自主探究 1．〈a，b〉与〈b，a〉的关系是怎样的？〈a，b〉与〈a，－b〉 的关系呢？ 【答案】〈a，b〉＝〈b，a〉〈a，－b〉＝π－〈a，b〉．
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人教A版高中数学选修2-1课件高二：3-1-1空间向量及其线性运算
4．理解空间向量的正交分解及其坐标的表示，掌握空间 向量的坐标运算及数量积的坐标表示，会判断两个向量平行或 垂直；掌握两个向量的夹角公式和向量长度的坐标计算公式， 并会用这些公式解决有关问题．
5．理解平面的法向量，能用向量语言表述线线、线面、 面面的垂直、平行关系．
6．能用向量方法证明有关线、面位置关系，能够用向量 方法解决线线、线面、面面的夹角及其长度问题．
向量那样，从某点
O
出
发
，
逐
一
引
向
量
→ OA1
＝
a1
，
→ A1A2
＝
a2，……An－1An＝an，于是以所得折线 OA1A2……的起点 O 为
起点，终点 An 为终点的向量O→An，就是 a1，a2，……，an 的和，
即
O→An＝O→A1＋A→1A2＋……An－1An＝a1＋a2＋……＋an. 用折线作向量的和时，有可能折线的终点恰恰重合到起点 上，这时的和向量就为零向量． 2．向量减法满足三角形法则：“同始连终、指向被减”． 即以同一点 O 作始点，作O→A＝a，O→B＝b，连结终点 A，B， 则A→B＝b－a，B→A＝a－b.
[答案] B
[分析] 给出的命题都是对向量的有关概念及加减法的理 解，解答本题应紧扣向量及其加减运算的有关概念进行．
[解析] |a|＝|b|，说明 a 与 b 模相等，但方向不确定，由 a 的相反向量 b＝－a，故|a|＝|b|，从而 B 正确．只定义加法具有 结合律，减法不具有结合律，一般的四边形不具有A→B＋A→D＝ A→C，只有平行四边形才能成立．故 A、C、D 均不正确．
[解析] B→C1＝B→C＋B→B1＝A→A1＋A→D＝b＋c， A→C1＝A→C＋C→C1＝A→B＋A→D＋C→C1＝a＋b＋c， B→D1＝A→D1－A→B＝A→D＋A→A1－A→B＝b＋c－a， C→O＝C→C1＋C→1O＝A→A1＋12C→1A1 ＝A→A1＋12(C→1D1＋C→1B1) ＝A→A1＋12(－A→B－A→D)＝c－12a－12b.
2019-2020学年高二数学人教A版选修2-1课件：本章整合3 .pdf
+
������������
+
1 2
(������������
+
������������1 )
1
1
= 2 ������������ + ������������ + 2 (−������������ + ������������1)
1
1
1
= 2 ������������ + 2 ������������ + 2 ������������1.
-9-
本章整合
专题一 专题二 专题三
知识建构
综合应用
真题放送
解:(1)∵EF⊥平面AEB,AE⊂平面AEB,BE⊂平面AEB, ∴EF⊥AE,EF⊥BE. 又AE⊥EB,∴EB,EF,EA两两垂直.
以点E为坐标原点,EB,EF,EA分别为x,y,z轴建立如图所示的空间 直角坐标系.
由已知,得点A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),F(0,3,0),D(0,2,2),G(2,2,0),
设������������
=a,
������������
=b, ������������1
=c,则������������
=
1 2
(a+b+c).
又������������ = ������������ − ������������ =b-a,
∴ ������������ ·������������ = 1 (a+b+c)·(b-a)
同理可证A1B∥D1C. 又BD∩A1B=B,B1D1∩D1C=D1, 故平面A1BD∥平面B1CD1.
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2019-2020学年新素养同步人教A版数学选修2-1课件：3.1.3空间向量的数量积运算
2 .
答案：3－52 2
第十一页，编辑于星期日：点 一分。
课堂探究 互动讲练 类型一 空间向量的数量积的运算 [例 1] 如图所示，在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，求值： (1)E→F·B→A； (2)E→F·B→D； (3)E→F·D→C；
→→ (4)AB·CD.
类型三 利用空间向量的数量积证明垂直 [例 3] 已知空间四边形 ABCD 中，AB⊥CD，AC⊥BD，求 证：AD⊥BC.
第二十四页，编辑于星期日：点 一分。
【证明】 ∵AB⊥CD，AC⊥BD， ∴A→B·C→D＝0，A→C·B→D＝0. ∴A→D·B→C＝(A→B＋B→D)·(A→C－A→B) ＝A→B·A→C＋B→D·A→C－A→B2－A→B·B→D ＝A→B·A→C－A→B2－A→B·B→D ＝A→B·(A→C－A→B－B→D)＝A→B·D→C＝0. ∴A→D⊥B→C，从而 AD⊥BC.
第二十一页，编辑于星期日：点 一分。
跟踪训练 2 如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠ABC ＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝ 2，求异面直线 BA1 与 AC 所成角的 余弦值．
第二十二页，编辑于星期日：点 一分。
解析：∵B→A1＝B→A＋A→A1＝B→A＋B→B1，A→1A＋A→O ＝A→1A＋21(A→B＋A→D)＝c＋12a＋12b，B→D＝A→D－A→B＝b－a， O→G＝O→C＋O→G＝21(A→B＋A→D)＋12C→C1＝21a＋12b－12c.
第二十八页，编辑于星期日：点 一分。
∴A→1O·B→D＝c＋12a＋12b·(b·a)＝c·b－c·a＋21a·b－12a2＋12b2－12b·a＝12(b2－ a2)＝12(|b|2－|a|2)＝0.
2019-学年人教A版高中数学选修2-1复习课件：3.1.2(共35张PPT)教育精品.ppt
(1)考察是否存在实数 λ,使������������=λ������������;
(2)考察对空间任意一点 O,是否有������������ = ������������+t������������;
(3)考察对空间任意一点 O,是否有������������=x������������+y������������(x+y=1).
①分配律:λ(a+b)=λa+λb;(λ+μ)a=λa+μa; ②结合律:λ(μa)=(λμ)a.
名师点拨 对空间向量数乘运算的理解 (1)λa是一个向量. (2)λa=0⇔λ=0或a=0. (3)因为a,b可以平移到同一平面内,所以λa,μb,a+b,λa+μb都在这 个平面内,因而平面向量的数乘运算律适用于空间向量.
∴x=2,y=-2.
探究一
探究二
探究三 思维辨析
反思感悟 1.对向量进行分解或对向量表达式进行化简时,要准确
运用空间向量加法、减法的运算法则,要熟悉数乘向量运算的几何
意义,同时还要注意将相关向量向选定的向量进行转化.
2.在△ABC中,若D为BC边的中点,则 ������������
=
1 2
(������������
−
2 3
������������1
=12
������������
−
1 2
������������
−
2 3
������������1
,
所以 x=12,y=-12,z=-23.
探究一
探究二
探究三 思维辨析
空间共线向量定理及其应用
【例 2】如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E 在 A1D1
(2)考察对空间任意一点 O,是否有������������ = ������������+t������������;
(3)考察对空间任意一点 O,是否有������������=x������������+y������������(x+y=1).
①分配律:λ(a+b)=λa+λb;(λ+μ)a=λa+μa; ②结合律:λ(μa)=(λμ)a.
名师点拨 对空间向量数乘运算的理解 (1)λa是一个向量. (2)λa=0⇔λ=0或a=0. (3)因为a,b可以平移到同一平面内,所以λa,μb,a+b,λa+μb都在这 个平面内,因而平面向量的数乘运算律适用于空间向量.
∴x=2,y=-2.
探究一
探究二
探究三 思维辨析
反思感悟 1.对向量进行分解或对向量表达式进行化简时,要准确
运用空间向量加法、减法的运算法则,要熟悉数乘向量运算的几何
意义,同时还要注意将相关向量向选定的向量进行转化.
2.在△ABC中,若D为BC边的中点,则 ������������
=
1 2
(������������
−
2 3
������������1
=12
������������
−
1 2
������������
−
2 3
������������1
,
所以 x=12,y=-12,z=-23.
探究一
探究二
探究三 思维辨析
空间共线向量定理及其应用
【例 2】如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E 在 A1D1
数学：3.1.3《空间向量及其运算--数量积》课件(新人教a版-选修2-1)
M A AD DN
A
证明：因为 M N 所以
AB M N AB (M A AD DN ) AB M A AB AD AB DN
M
D B N C
1 2
a
2
1 4
a
2
1 4
a
2
0
MN AB
同理，M N
CD
3.已知空间四边形 O A B C
OA ，求证：
设 OA a , 则有向线段 已知空间两个向量 记作：a b , 即 a b a b cos a , b OA 的长度叫做向量 a的长度或模 , 记作： a
a , b，则 a b cos a , b 叫做向量
a , b的数量积，
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
4 3 5 2 ( 0 1 0 7 .5 ) 85
2
2
2
A
B
| A C |
85
BD 1.已知线段 A B 、B D 在平面 内，
A B ，线段 A C
，如果
C
AB a , BD b , AC c
，求 C 、D 之间的距离.
解：∵
| C D | (C A A B B D )
、典型例题
l
l
g
g n n m
m
例2：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC， OB⊥AC，求证：OC⊥AB
证明：由已知
O
所以
OA B C ，OB AC
OA BC 0 , OB AC 0 OA ( OC OB ) 0
A
证明：因为 M N 所以
AB M N AB (M A AD DN ) AB M A AB AD AB DN
M
D B N C
1 2
a
2
1 4
a
2
1 4
a
2
0
MN AB
同理，M N
CD
3.已知空间四边形 O A B C
OA ，求证：
设 OA a , 则有向线段 已知空间两个向量 记作：a b , 即 a b a b cos a , b OA 的长度叫做向量 a的长度或模 , 记作： a
a , b，则 a b cos a , b 叫做向量
a , b的数量积，
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
4 3 5 2 ( 0 1 0 7 .5 ) 85
2
2
2
A
B
| A C |
85
BD 1.已知线段 A B 、B D 在平面 内，
A B ，线段 A C
，如果
C
AB a , BD b , AC c
，求 C 、D 之间的距离.
解：∵
| C D | (C A A B B D )
、典型例题
l
l
g
g n n m
m
例2：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC， OB⊥AC，求证：OC⊥AB
证明：由已知
O
所以
OA B C ，OB AC
OA BC 0 , OB AC 0 OA ( OC OB ) 0
2019-2020人教A版高中数学选修2-1课件曲线与方程优质课件
k
由（1）（2）可知与两条坐标轴的距离的积是常数(>0)的
点的轨迹方程是。
k
k
xy k
归纳: 证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步，设M(x0,y0)是曲线C上任一点，证明 (x0,y0)是f(x,y)=0的解；
第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明点 M(x0,y0)在曲线C上.
x2 4 0
解析
由已知∴ y
2
4
, 0
x 2
y
2
即或或xy 或22.
x 2 x 2 x 2
y
2
y
2
y
2
答案 B
8．下面四组方程表示同一条曲线的一组是 ( )．
A．y2＝x与y＝ x
B．y＝lgx2与y＝2lgx
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2.1.1曲线与方程
画一画：
• 1.第一、三象限夹角平分线l • 2.画出以（a，b）为圆心，r为半径的圆C
如图,是直线表示y=x(x∈Z) 的图象么？
y l ①满足y=x(x∈Z)的每一 对有序实数对(x,y)都在直
0 x 线上；
②直线上每一个点(x,y)都 满足方程y=x(x∈Z).
答案 C
2．下列选项中方程表示图中曲线的是( )．
解析 对于A，x2＋y2＝1表示一个整圆；对于B， x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝0，表示两条相 交直线；对于D，由lgx＋lgy＝0知x>0，y>0. 答案 C
3．方程x2＋xy＝x表示的曲线是( )． A．一个点B．一条直线 C．两条直线D．一个点和一条直线
高二数学人教版A版选修2-1课件：第三章 空间向量与立体几何 3.1.3
解析答
― → ― → ― → (2)| OA ＋ OB ＋ OC |.
解 ＝ ＝
― → ― → ― → | OA ＋ OB ＋ OC | →＋― →＋― →2 ― OA OB OC →2 ― →2 ― →2 ― →― → ― →― → ― →― → OA ＋ OB ＋ OC ＋2 OA · OB ＋ OB · OC ＋ OA · OC
＝ 12＋12＋12＋21×1×cos 60° ×3＝ 6.
解析答
类型二
例2
利用数量积求夹角
BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分
别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角.
反思与
解析答
跟踪训练2
且l⊥OA.
其中正确的有(
A.①② C.③④
)
D B.②③ D.②④
解析 结合向量的数量积运算律，只有②④正确.
解析答
1
2 3 4 5
― → ― → ― → 2.已知正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 a，设 AB ＝a，AD ＝b， AA′ ― ― → ― ― ― → ＝c，则〈A′B， B′D ′〉等于( A.30° C.90° B.60°
当堂训练
问题导学 知识点一 空间向量数量积的概念
思考
如图所示，在空间四边形 OABC 中，OA＝8，
AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45° ，∠OAB＝60° ， ― → ― → 类比平面向量有关运算，如何求向量 OA 与 BC 的数量 积？并总结求两个向量数量积的方法.
梳理
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
2019-2020年高中数学人教A版选修2-1课件： 1.3.2 或 课件
真
命题﹁p的真假判断方法：
当p为真命题时，则﹁p为 假命题；当p为假 命题时，则﹁p为真命题 .
一句话概括： 真假相反
p ﹁p 真假 假真
即时训练
1、分别指出下列命题的形式并判断命题的真假. • （1）8≥7； • （2）2是偶数且2是质数； • （3）π 不是整数。 2、写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”及 “非p”形式的命题，并判断它们的真假. （1）p：3是质数， q：3是偶数；
p q p∧q p∨q ¬p 真真真真假 真假假真假 假真假真真 假假假假真
p且q p或q 非p
全真才真，一假必假 一真必真，全假才假
真假相反
布置作业
1．逻辑联结词“且”“或”“非”与集合的“交”“并” “补”之间有关系吗？ 2．课本 P18：习题1.3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
P:矩形的对角线互相垂直;
假
q:矩形的对角线互相平分;
真
p∧q:矩形的对角线互相垂直且平分. 假
P:6是奇数;
假
q:6是素数;
假
p∧q:6是奇数且是素数.
假
命题p∧q的真假判断方法：
一般地，我们规定:当p，q都是真命 题时，p∧q是 真命题 ；当p，q两个命题 中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题.
假假假
例题分析
例3：判断下列命题的真假： （1）2≤2； （2）集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集； （3）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三 角形全等.
解：（1）p：2=2 ；q：2<2 ∵ p是真命题，∴p∨q是真命题.
人教A版高中数学选修2-1课件-空间向量运算的坐标表示
＝12a2－12a2cos
60°＋a2cos
60°－12a2cos
60°
＝12a2－a42＋a22－a42＝a22．
又∵|A→N|＝|M→C|＝ 23a，
∴A→N·M→C＝|A→N||M→C|cos θ＝ 23a× 23a×cos θ＝a22．
∴cos θ＝23．
∴向量
A→N
②设P(x，y，z)，则A→P＝(x－2，y＋1，z－2)．
x－2＝3， ∵A→P＝12(A→B－A→C)＝3，32，－2，∴y＋1＝32，
z－2＝－2，
解得x＝5，y＝21，z＝0，则点P的坐标为5，12，0．
1．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减 去起点坐标．
2．在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量 积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法 公式：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
m＋1＝3λ，
∴n－2＝－λ， －2＝λ，
解得λ＝－2，m＝－7，n＝4．
∴m＋n＝－3．]
4．已知a＝(－ 2，2， 3)，b＝(3 2，6,0)，则|a|＝________， a与b夹角的余弦值等于________．
3
6 9
[|a|＝ － 22＋22＋ 32＝ 9＝3，
cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝3× －36＋2122＋62＝ 96．]
(4)∵2a＝(4，－2，－4)， ∴2a·(－b)＝(4，－2，－4)·(0,1，－4) ＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14． (5)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8．
利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题
人教A版高中数学选修2-1课件空间正交基向量
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
3.空间向量基本定理 a、b、c不共面 p xa yb zc ( x、y、z存在且唯一) {a,b,c} : 基底 a,b,c:基向量
特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，
还应明确： （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
2019/5/25
二、距离与夹角
1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式
| a |2 a a a12 a22 a32
| b |2 b b b12 b22 b32
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
（2）空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1) 、
a (a1,a2,a3),( R) ;
a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
a // b a1 b1,a2 b2 ,a3 b3( R) ; a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2 .
a b a1b1 a2b2 a3b3 0 ;
（2）由于可视为与0任意一个非零向量共线，与任意两
个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们
都不是。 0
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基 底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。
推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一 点P，都存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使
OP xOA yOB zOC.
点O叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做坐标向量. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
3.空间向量基本定理 a、b、c不共面 p xa yb zc ( x、y、z存在且唯一) {a,b,c} : 基底 a,b,c:基向量
（金戈铁骑 整理制作）
3.空间向量基本定理 a、b、c不共面 p xa yb zc ( x、y、z存在且唯一) {a,b,c} : 基底 a,b,c:基向量
特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，
还应明确： （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
2019/5/25
二、距离与夹角
1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式
| a |2 a a a12 a22 a32
| b |2 b b b12 b22 b32
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
（2）空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1) 、
a (a1,a2,a3),( R) ;
a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
a // b a1 b1,a2 b2 ,a3 b3( R) ; a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2 .
a b a1b1 a2b2 a3b3 0 ;
（2）由于可视为与0任意一个非零向量共线，与任意两
个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们
都不是。 0
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基 底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。
推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一 点P，都存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使
OP xOA yOB zOC.
点O叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做坐标向量. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
3.空间向量基本定理 a、b、c不共面 p xa yb zc ( x、y、z存在且唯一) {a,b,c} : 基底 a,b,c:基向量