人教版数学九年级下册教案：27.1 比例性质、黄金分割(补充)

27.1 比例性质、黄金分割（补充）

一、教学目标 1．核心素养

通过图形相似的学习，初步形成基本的几何直观、运算能力、推理能力． 2. 学习目标

（1）掌握比例的基本性质及其简单应用，能推导并理解合比性质和等比性质．能运用比例的性质解决与比例线段有关的几何问题． （2）知道黄金分割的定义，并能运用. 3．学习重点

（1）掌握比例的基本性质及其简单应用，能推导并理解合比性质和等比性质． （2）了解黄金分割的意义，并能运用. 4．学习难点

运用比例的基本性质解决有关问题；黄金比，找黄金分割点. 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务

任务1 上网学习，思考：什么是比例的基本性质？什么是合比性质？什么是等比性质？怎么推导？

任务2 上网学习，思考：什么是黄金分割？黄金比是多少，怎么得来？黄金分割有怎样的应用？ 2．预习自测

1.已知

23a b =，则

a b

b +的值为（ ） A.23 B.34 C.53 D.35

【知识点:比例性质】 答案：C 解析：略

2.已知点M 是线段AB 的黄金分割点(AM>BM)，若AB=8cm ，则AM 的长为（ ） A.(4 5 –4)cm B.(12-4 5 )cm C.(2 5 –2)cm D.(6-2 5 )cm

【知识点:黄金分割】 答案：A 解析：略

3.若x ：6=(5+x)：8,则x=______. 【知识点:比例基本性质】 答案：x=15 解析：略 （二）课堂设计 1．知识回顾

（1）比的意义：两个数相除又叫做两个数的比.

（2）比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。 （3）比例：表示两个比相等的式子叫做比例. 2．问题探究

问题探究一 什么是比例的基本性质？

●活动1 交流学习，合作探究

探究：已知80：2=200∶5，仔细观察：两个外项和两个内项，你发现了什么？ 两外项积是：80×5＝400 两内项积是：2×200＝400

验证：6:10=9:15，463121：：=，6

44530=，2.4：3=5.6：7.

归纳：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积．这叫做比例的基本性质. 比例的基本性质：若四条线段满足

a c

b d

=，则有ad=bc ． ●活动2 探究：已知 a·d=b·c ，你能得到哪些比例式? 对调内项或外项后，比例依然成立!!

归纳：更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a b

c d a c d c

b d b a d b

c a ⎧=⎪⎪

⎪=⇔=⎨⎪

⎪=⎪⎩

交换内项交换外项同时交换内外项

80 × 5=2 ×200

反比性质(把比的前项、后项交换)：

a c

b d b d a c

=⇔=． ●活动3 例题讲解，比例基本性质的应用 例1：判断：5x=6y ，则x ：y=5：6（ ） 【知识点:比例基本性质】

解：× 由比例的基本性质得6x=5y ，与已知5x=6y 不符，所以错误.

点拨：在改写比例时，x 作外项，和x 相乘的5一定也作外项。把ax=by 改写成比例式后，a 和x 必须同时为外项，或同时为内项。 例2.已知1.3：x=5.2：(x+30), 则x=________. 【知识点:比例基本性质】

解：由比例的基本性质得5.2x=1.3(x+30)，解得x=10. 点拨：由比例的基本性质转化为解方程. ●活动3 应用练习

1.把1.6、6.4、20和5四个数组成比例式，应为______________. 【知识点:比例基本性质】

解：答案不唯一，如1.6：6.4=5：20. 2.已知

3

5x

=6y ，则y ：x=________ ． 【知识点:比例基本性质】 解：5：18 由

53

x

=6y ，得5x=18y ，由比例的基本性质y ：x=5：18.

问题探究二 什么是合比性质？什么是等比性质？ ●活动1 让学生通过计算、推理证明，得出合比性质. 合作探究：

（1）已知

d c b a ==3,求b b a +和d

d

c +； （2）如果

d c b a ==k （k 为常数），那么d d

c b b a +=

+成立吗？为什么？ （3）如果d c b a =，那么d

d

c b b a -=

-成立吗？为什么？ 在学生的分析、讨论下，可得出; （1）∵

d c

b a ==3，∴a=3b ，c=3d ，则

43=+=+b b b b b a ，43=+=+d

d d d d c ．

（2）∵

d c

b a ==k ，∴a=kb ，c=kd ，∴

1+=+=+k b b kb b b a ，1+=+=+k d

d kd d d c ， （3）∵d c

b a ==k ，∴a=kb ，c=kd ，∴1-=-=-k b

b kb b b a ，

1-=-=-k d d kd d d c ， 归纳：合比性质：如果d c

b a =，那么d d

c b b a ±=

±． ●活动2 引导学生探究，得出等比性质. 探究1：如图

HG AD FG CD EF BC HE AB ,

,,的值相等吗？HG

FG EF HE AD

CD BC AB ++++++的值又是多少？在求解过程中，你有什么发现？ 分析：由已知可得

2====HG

AD

FG CD EF BC HE AB ，所以 发现：若干个比的比值相等，且所有分母的和不为0,则所有分子的和与所有分母的和之比值与原来这些比的比值相等。 探究2：如果

d c b a ==f

e =…=n

m

（b +d +f…+n ≠0）, 那么

b a n f d b m e

c a =++++++ΛΛ吗？ 解：设比值法： 归纳：等比性质：如果

d c b a ==f

e =…=n

m

（b +d +f…+n ≠0）,那么

b a n f d b m e

c a =++++++ΛΛ． ●活动3 例题讲解 例1.若

1119=+y y x ，则_____=y x ；_____=-y

y

x ． 【知识点:合比性质】 解：∵1119=+y y x ，由合比性质，得118=y x ，113

11118-=-=-y y x ． 例2.若

3===f e d c b a ，则.____22_____,=+-+-=++++f

d b

e c a

f d b e c a 【知识点:等比性质】 解：∵

3===f e d c b a ，∴.322,3=+-+-=++++f

d b

e c a

f d b e c a ●活动3 应用练习 1.已知

57=b a ，则_____=+b b a ，_____3=-b

b a ． 【知识点:合比性质】