RSA加密(快速幂求余)
rsa快速模指数运算算法
rsa快速模指数运算算法
RSA（Rivest-Shamir-Adleman）加密算法是一种非对称加密算法，它利用了大素数的乘法和取模运算来实现加密和解密。
快速模
指数运算算法（也称为快速幂算法）是RSA算法中的一个重要部分，用于快速计算大数的指数运算结果。
快速模指数运算算法的核心思想是利用指数的二进制展开和模
运算的性质来降低计算复杂度。
具体步骤如下：
1. 将指数e转换为二进制形式，例如，e=13转换为二进制为1101。
2. 从高位到低位依次处理二进制数的每一位，如果当前位为1，则进行模运算，否则直接进行下一位的处理。
3. 对于当前位为1的情况，进行模运算时利用了模运算的性质，(ab) mod n = ((a mod n) (b mod n)) mod n。
即将指数e分解为
2的幂的和，然后利用模运算的性质进行计算。
4. 重复上述步骤直到处理完所有位，最终得到指数运算的结果。
快速模指数运算算法能够显著减少计算量，特别是在处理大数
的情况下，能够大大提高计算效率。
这对于RSA算法来说尤为重要，因为RSA算法的安全性依赖于大素数的乘法和取模运算的复杂性。
总的来说，快速模指数运算算法是RSA算法中的关键步骤之一，通过巧妙地利用指数的二进制展开和模运算的性质，实现了高效的
大数指数运算，从而保障了RSA算法的安全性和实用性。
RSA加密(快速幂求余)
快速幂求余算法（OJ T1128）求a^b%c（这就是著名的RSA公钥的加密方法）当a,b很大时，直接求解这个问题不太可能，你能想到哪些优化呢？算法1：直观上，也许最容易想到的是利用a*b%c=((a%c)*b)%c，这样每一步都进行这种处理，这就解决了a^b可能太大存不下的问题，但这个算法的时间复杂度依然是O(n)，根本没有得到优化。
当b很大时运行时间会很长算法2：另一种算法利用了分治的思想，可以达到O(logn)。
可以把b按二进制展开为b=p(n)*2^n+p(n-1)*2^(n-1)+...+p(1)*2+p(0)其中p(i) (0<=i<=n)为0或1这样a^b=a^(p(n)*2^n+p(n-1)*2^(n-1)+...+p(1)*2+p(0)) =a^(p(n)*2^n)*a^(p(n-1)*2^(n-1)*...*a^(p(1)*2)*a^p(0)对于p(i)=0的情况,a^p(i)*2^(i-1)=a^0=1,不用处理，我们要考虑的仅仅是p(i)=1的情况，a^(2^i)=(a^(p(i)*2(i-1)))^2 (当p(i)=1时，a^(2^i)=(a^(2(i-1)))^2)利用这一点，我们可以递推地算出所有的a^(2^i)当然由算法1的结论a*b%c=((a%c)*b)%c，我们加上取模运算a^(2^i)%c=((a^(2(i-1))%c)*a^(2(i-1)))%c 于是再把所有满足p(i)=1的a^(2^i)%c按照算法1乘起来再%c就是结果示例:3^6%7=3^(2^2)*3^(2^1)%7=((3^(2^1))^2%7)*(3^1*3^1%7)=(((3^1*3^1%7)%7)^2%7*2%7)%7=(4*2)%7=8%7=1当然算法可以进一步改进，比如二进制的每一位不必存起来，可以边求边用经改进后代码如下：（输入a,k,m,求a^k%m)long f(long a,long k,long m){long b=1;while(k>=1){if(k%2==1) b=a*b%m;a=a*a%m;k=k/2;}return b;}例题一、高级机密Time Limit:1000MS Memory Limit:65536KTotal Submit:43 Accepted:16Description在很多情况下，我们需要对信息进行加密。
rsa 公钥密码算法
RSA（Rivest-Shamir-Adleman）是一种非对称加密算法，它使用一对密钥（��钥和私钥）来加密和解密数据。
公钥用于加密数据，私钥用于解密数据。
RSA算法的基本原理是基于大素数的乘法和取模运算。
下面是RSA算法的基本步骤：
1. 选择两个大素数p和q，并计算它们的乘积n=p*q。
2. 计算欧拉函数φ(n)=(p-1)*(q-1)。
3. 选择一个整数e，使得1<e<φ(n)，且e与φ(n)互质。
e称为公钥。
4. 计算整数d，使得d ≡e^(-1) (mod φ(n))。
d称为私钥。
5. 公钥是(n, e)，私钥是(n, d)。
6. 加密消息m：c ≡m^e (mod n)。
7. 解密密文c：m ≡c^d (mod n)。
RSA算法的安全性依赖于大素数分解的困难性，即从n=p*q中分解出p和q的困难性。
因此，RSA算法的安全性取决于选择足够大的素数p和q。
RSA算法被广泛应用于加密通信、数字签名、身份认证等领域，是目前最常用的公钥密码算法之一。
rsa公钥密码体制
rsa公钥密码体制RSA公钥密码体制是一种非对称加密算法，由Ron Rivest、Adi Shamir和Leonard Adleman三位数学家于1977年提出。
它是目前最广泛使用的公钥密码体制之一，被广泛应用于网络通信、电子商务和数字签名等领域。
RSA公钥密码体制的核心思想是利用两个大素数的乘积作为公钥，而这两个大素数的乘积的因数则作为私钥。
在加密过程中，发送方使用接收方的公钥对明文进行加密，而接收方则使用自己的私钥对密文进行解密。
由于公钥和私钥是成对出现的，因此只有拥有私钥的接收方才能解密密文，确保了通信的安全性。
RSA公钥密码体制的安全性基于两个数论问题：大整数的质因数分解和模幂运算。
质因数分解是指将一个大整数分解为两个素数的乘积，这个问题在目前的计算机技术下是非常困难的。
而模幂运算是指对一个大整数进行指数幂运算后取模，这个问题在计算机中可以通过快速幂算法高效解决。
RSA公钥密码体制的加密过程如下：首先，接收方生成两个大素数p和q，并计算它们的乘积n=p*q。
然后，接收方选择一个整数e，使得e与(p-1)*(q-1)互质。
接收方将n和e作为公钥公开，而将p、q和d=(e的模(p-1)*(q-1)的逆元)作为私钥保密。
发送方获取接收方的公钥后，将明文m进行加密得到密文c，加密过程为c=m^e mod n。
接收方收到密文后，使用私钥d对密文进行解密得到明文，解密过程为m=c^d mod n。
RSA公钥密码体制的安全性主要依赖于大整数的质因数分解问题的困难性。
目前，最好的质因数分解算法是基于数域筛法和大整数分解算法，但是对于非常大的整数，这些算法的时间复杂度仍然非常高，因此RSA公钥密码体制在实际应用中仍然是安全可靠的。
总之，RSA公钥密码体制是一种非常重要的加密算法，它通过利用两个大素数的乘积作为公钥，确保了通信的安全性。
它的安全性基于大整数的质因数分解问题的困难性，目前仍然是一种安全可靠的加密算法。
简单的rsa加密解密计算
简单的rsa加密解密计算
RSA加密算法是一种非对称加密算法，它使用一对密钥（公钥
和私钥）来加密和解密数据。
下面我将简单介绍RSA加密和解密的
计算过程。
1. 生成密钥对，首先，选择两个不同的大质数p和q，并计算
它们的乘积n=pq。
然后选择一个整数e，使得e与(p-1)(q-1)互质，并计算出e的模反元素d。
公钥是(n, e)，私钥是(n, d)。
2. 加密，假设要加密的消息为M，首先将消息M转换为整数m，满足0≤m<n。
然后使用公钥(n, e)进行加密，加密后的密文C等于
m的e次方再对n取模，即C≡m^e (mod n)。
3. 解密，接收到密文C后，使用私钥(n, d)进行解密，解密后
的明文M等于C的d次方再对n取模，即M≡C^d (mod n)。
下面我举一个简单的例子来说明RSA加密和解密的计算过程：
假设我们选择两个质数p=11和q=3，计算n=pq=33，然后选择
e=3，并计算d=7。
这样我们得到公钥(n, e)=(33, 3)和私钥(n,
d)=(33, 7)。
现在假设要加密的消息为M=5，将其转换为整数m=5。
使用公钥进行加密，计算C≡5^3 (mod 33)，得到C=5。
接收到密文C=5后，使用私钥进行解密，计算M≡5^7 (mod 33)，得到M=5。
因此，我们成功地将消息M=5加密为密文C=5，然后再解密回到原始消息M=5。
这就是RSA加密和解密的简单计算过程。
RSA算法
4.找到一个整数d，使得ed除以k的余数是1（只要e和n满足上面条件，d肯定存在）。解密钥匙（称作密钥）是(d, n)。
加密过程： 加密后的编码C等于M的e次方除以n所得的余数。
解密过程： 解密后的编码N等于C的d次方除以n所得的余数。
只要e、d和n满足上面给定的条件。M等于N。
KeyPairGenerator kpg = KeyPairGenerator.getInstance(ALGORITHM);
/** 利用上面的随机数据源初始化这个KeyPairGenerator对象 */
kpg.initialize(KEYSIZE, sr);
/** 生成密匙对 */
System.out.println(cryptograph);
String target = decrypt(cryptograph);//解密密文
System.out.println
oos1.writeObject(publicKey);
oos2.writeObject(privateKey);
/** 清空缓存，关闭文件输出流 */
oos1.close();
oos2.close();
}
/**
* 加密方法
* source： 源数据
import java.security.SecureRandom;
public class RSA_Encrypt {
/** 指定加密算法为DESede */
private static String ALGORITHM = "RSA";
/** 指定key的大小 */
private static int KEYSIZE = 1024;
RSA公钥密码算法
RSA公钥密码算法RSA公钥密码算法是一种非对称加密算法，由Ronald Rivest、Adi Shamir和Leonard Adleman三位密码学家于1977年共同提出。
RSA算法是目前最常用的公钥算法之一，它能够实现加密和数字签名等功能，并且在安全性和效率方面取得了良好的平衡。
RSA算法的基本原理是基于数论中的两个重要问题：大数的质因数分解和模幂运算。
具体来说，RSA算法包括以下几个步骤：1. 密钥生成：生成一对互质的大素数p和q，并计算它们的乘积n=p*q。
接着，选择一个整数e（1 < e < φ(n)）作为公钥的指数，其中φ(n)=(p-1)*(q-1)是n的欧拉函数值。
然后，计算e的模φ(n)的乘法逆元d，即满足(e*d) mod φ(n) = 1。
将{n, e}作为公钥，{n, d}作为私钥。
2. 加密：假设明文m小于n，将明文m通过公钥加密为密文c，计算公式为：c=(m^e) mod n。
^表示幂运算，mod表示取模运算。
RSA算法的安全性依赖于大数的质因数分解问题的困难性。
因为在没有私钥的情况下，要从公钥n和e推导出私钥d，需要知道n的质因数分解，这是一个极其困难的问题。
目前没有找到一种有效的算法能够在多项式时间内解决大数的质因数分解问题。
RSA算法在实际应用中有以下特点和注意事项：1. RSA算法适用于小数据量的加密，通常只能加密一段对称加密算法的密钥或数字签名等关键信息。
2. RSA算法的加密和解密速度较慢，特别是密钥长度较长时，计算量更大，因此在实际使用中需要权衡安全性和效率。
3. RSA算法的安全性依赖于私钥的保密性，因此需要注意私钥的安全存储和传输。
4. RSA算法还可以用于数字签名，即使用私钥对消息进行签名，并使用公钥验证签名的真实性和完整性。
5. RSA算法的密钥长度一般为1024位或2048位，较长的密钥长度可以提供更高的安全性，但同时也会增加计算复杂度。
简述rsa加密算法
简述RSA加密算法概述RSA加密算法是一种非对称加密算法，它是由Ron Rivest、Adi Shamir和Leonard Adleman在1977年共同提出的，也因此得名。
RSA算法以其高效性、可靠性和安全性而广泛应用于信息加密领域，备受社会的关注。
基本原理RSA加密算法基于数论中的一个重要问题，即质因数分解。
其基本原理可以概括为以下几步：1.选择两个不同的大质数p和q，并计算它们的乘积n（n = p * q）。
2.计算n的欧拉函数φ(n)。
对于两个互质的整数p和q，φ(n) = (p - 1) *(q - 1)。
3.选择一个满足1 < e < φ(n)且gcd(e, φ(n)) = 1的整数e，作为公钥的指数。
4.计算e的乘法逆元d，使得(e * d) mod φ(n) = 1，作为私钥的指数。
5.将n和e作为公钥，n和d作为私钥。
加解密过程RSA加密算法的加解密过程如下：加密1.将明文M转换为整数m，使得0 <= m < n。
2.计算密文C，C = (m^e) mod n。
解密1.将密文C转换为整数c，使得0 <= c < n。
2.计算明文M，M = (c^d) mod n。
RSA算法的安全性基于质因数分解问题的困难性。
目前，对于较小的公开指数e，可以使用穷举法较容易地进行质因数分解，从而破解RSA加密。
因此，在实际应用中，要求公开指数e选择一个较大的素数，通常为65537。
此外，RSA算法还面临着其他攻击手段的威胁，如选择明文攻击、共模攻击和侧信道攻击等。
为了提高安全性，可以采取以下措施：•使用足够大的密钥长度，一般推荐至少2048位。
•避免使用相同的模数，避免共模攻击。
•使用合适的填充方案，如RSA-OAEP填充，提高抗侧信道攻击的能力。
•定期更新密钥，避免长时间使用同一密钥。
应用领域RSA加密算法在信息安全领域有着广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：数字证书RSA算法被用于生成和验证数字证书。
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快速幂求余算法（OJ T1128）求a^b%c（这就是著名的RSA公钥的加密方法）当a,b很大时，直接求解这个问题不太可能，你能想到哪些优化呢？算法1：直观上，也许最容易想到的是利用a*b%c=((a%c)*b)%c，这样每一步都进行这种处理，这就解决了a^b可能太大存不下的问题，但这个算法的时间复杂度依然是O(n)，根本没有得到优化。
当b很大时运行时间会很长算法2：另一种算法利用了分治的思想，可以达到O(logn)。
可以把b按二进制展开为b=p(n)*2^n+p(n-1)*2^(n-1)+...+p(1)*2+p(0)其中p(i) (0<=i<=n)为0或1这样a^b=a^(p(n)*2^n+p(n-1)*2^(n-1)+...+p(1)*2+p(0)) =a^(p(n)*2^n)*a^(p(n-1)*2^(n-1)*...*a^(p(1)*2)*a^p(0)对于p(i)=0的情况,a^p(i)*2^(i-1)=a^0=1,不用处理，我们要考虑的仅仅是p(i)=1的情况，a^(2^i)=(a^(p(i)*2(i-1)))^2 (当p(i)=1时，a^(2^i)=(a^(2(i-1)))^2)利用这一点，我们可以递推地算出所有的a^(2^i)当然由算法1的结论a*b%c=((a%c)*b)%c，我们加上取模运算a^(2^i)%c=((a^(2(i-1))%c)*a^(2(i-1)))%c 于是再把所有满足p(i)=1的a^(2^i)%c按照算法1乘起来再%c就是结果示例:3^6%7=3^(2^2)*3^(2^1)%7=((3^(2^1))^2%7)*(3^1*3^1%7)=(((3^1*3^1%7)%7)^2%7*2%7)%7=(4*2)%7=8%7=1当然算法可以进一步改进，比如二进制的每一位不必存起来，可以边求边用经改进后代码如下：（输入a,k,m,求a^k%m)long f(long a,long k,long m){long b=1;while(k>=1){if(k%2==1) b=a*b%m;a=a*a%m;k=k/2;}return b;}例题一、高级机密Time Limit:1000MS Memory Limit:65536KTotal Submit:43 Accepted:16Description在很多情况下，我们需要对信息进行加密。
特别是随着Internet的飞速发展，加密技术就显得尤为重要。
很早以前，罗马人为了在战争中传递信息，频繁地使用替换法进行信息加密。
然而在计算机技术高速发展的今天，这种替换法显得不堪一击。
因此研究人员正在试图寻找一种易于编码、但不易于解码的编码规则。
目前比较流行的编码规则称为RSA，是由美国麻省理工学院的三位教授发明的。
这种编码规则是基于一种求幂取模算法的：对于给出的三个正整数a，b，c，计算a的b次方除以c的余数。
你的任务是编写一个程序，计算a b mod c。
Input输入数据只有一行，依次为三个正整数a，b，c，三个正整数之间各以一个空格隔开，并且1<=a，b < c < =32768。
Output输出只有一个整数表示计算结果。
Sample Input2 6 11Sample Output9解：import ;//对于给出的三个正整数a，b，c，计算a的b次方除以c的余数,即：a^b mod c //相关公式：用二进制表示b:b=p(n)*2^n+p(n-1)*2^(n-1)+...+p(1)*2+p(0) (其中p(i)值为0或1)//则a^b=a^(p(n)*2^n+p(n-1)*2^(n-1)+...+p(1)*2+p(0))//=a^(p(n)*2^n)*a^(p(n-1)*2^(n-1))*...*a^(p(1)*2)*a^p(0) public class TopSecret {public static void main(String[] args) { long a,b,c;Scanner input=new Scanner(System.in);a=input.nextInt();b=input.nextInt();c=input.nextInt();,b,c));}public static long getPowMod(long a,long b,long c){long result=1;while(b>=1){if(b%2==1) result=a*result%c;a=a*a%c;b/=2; //通过b/2来求得p(i)为1还是0}return result;}}二、D: Raising Modulo NumbersTime Limit: 1000 ms Case Time Limit: 1000ms Memory Limit: 30000 KBSubmit: 24 Accepted: 7DescriptionPeople are different. Some secretly read magazines full of interesting girls' pictures, others create an A-bomb in their cellar, others like using Windows, and some like difficult mathematical games. Latest marketing research shows, that this market segment was so far underestimated and that there is lack of such games. This kind of game was thus included into theKOKODáKH. The rules follow:Each player chooses two numbers Ai and Bi and writes them on a slip of paper. Others cannot see the numbers. In a given moment all players show their numbers to the others. The goal is to determine the sum of all expressions Ai Bi from all players including oneself and determine the remainder after division by a given number M. The winner is the one who first determines the correct result. According to the players' experience it is possible to increase the difficulty by choosing higher numbers.You should write a program that calculates the result and is able to find out who won the game.InputThe input consists of Z assignments. The number of them is given by the single positive integer Z appearing on the first line of input. Then the assignements follow. Each assignement begins with line containing an integer M (1 <= M <= 45000). The sum will be divided by this number. Next line contains number of players H (1 <= H <= 45000). Next exactly H lines follow. On each line, there are exactly two numbers Ai and Bi separated by space. Both numbers cannot be equal zero at the same time.OutputFor each assingnement there is the only one line of output. On this line, there is a number, the result of expression(A1B1+A2B2+ ... +A H B H)mod M.Sample Input31642 33 44 55 63612312374859 30293821713 18132Sample Output21319513题意给出A1~Ah,B1~Bh,M,H,求(A1B1+A2B2+ ... +A H B H)mod M.做法快速幂取模+累加步步取模HIT取模相当于在原数中不断减去M直到原数小于M，所以累加后取模和步步取模结果相同，因此在累加过程中取模以防止超过long long界限CODE#include <stdio.h>long long z,h,a,b,m,ans,pow;int main(){scanf("%I64d",&z);while(z--){scanf("%I64d %I64d",&m,&h);ans=0;while(h--){scanf("%I64d %I64d",&a,&b);pow=1;while(b>=1){if(b%2==1)pow=a*pow%m;a=a*a%m;b/=2;}ans+=pow;ans%=m;}printf("%I64d\n",ans);}return 0; }。