【审核版】2013-2017年高考数学(理)分类汇编：第15章-数系的扩充与复数的引入
【高考研究】高考数学(理)试题分类汇编(2013-17年)：第15章-数系的扩充与复数的引入
高考数学（理）试题分类汇编第十五章 数系的扩充与复数的引入题型155 复数的概念及分类1.（2015天津理9）i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .1. 解析 ()()()12i i 212i a a a -+=++-是纯虚数，所以20a +=，即2a =-.2．（2016江苏2）复数()()12i 3i z =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部是 ．2．5 解析 由复数乘法法则可得55i z =+，故z 的实部是5．3．（2016上海理2）设32i iz +=，其中i 为虚数单位，则Im z = ． 3．3-分析 在部分教材中，Im z 表示复数的虚部，Re z 表示复数的实部． 解析 因为()i 32i 23i z =-+=-，故Im 3z =-．故填3-．4.（2017天津理9）已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i 2i a -+为实数，则a 的值为 . 4.解析 ()()()()()()i 2i 212i i 212i 2i 2i 2i 555a a a a a a ----+--+===-++-为实数，则205a +=，解得2a =-. 5.（2017全国1卷理科3）设有下面四个命题：1:p 若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为（ ）.A.13,p pB.14,p pC.23,p pD.24,p p5. 解析 1:p 设i z a b =+，则2211i i a b z a b a b -==∈++R ，得到0b =，所以z ∈R .故1p 正确；2:p 若z 1=-2，满足2z ∈R ，而z i =，不满足2z ∈R ，故2p 不正确；3:p 若1z 1=，2z 2=，则12z z 2=，满足12z z ∈R ，而它们实部不相等，不是共轭复数，故3p 不正确；4:p 实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确.故选B.题型156 与共轭复数、复数相等有关的问题1.（2013山东理1）复数z 满足()()32i 5z --=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为（ ）.A. 2i +B. 2i -C. 5i +D. 5i -2. (2013安徽理1）设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若i 22z z z ⋅+=，则z =（ ）.A. 1i +B. 1i -C. 1i -+D. 1i --3. (2013福建理1）已知复数z 的共轭复数12i z =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4．（2013湖北理1）在复平面内，复数2i 1iz =+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）.A ．第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限数的点是（ ）A.AB.BC.CD.D6.(2013天津理9） 已知a ， b ∈R ， i 是虚数单位 若()()i 1i i a b ++=， 则i a b += ．7.（2014 陕西理 8）原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12z z =”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）.A. 真，假，真B. 假，假，真C. 真，真，假D. 假，假，假8.（2014 山东理 1）已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若i a -与2i b +互为共轭复数，则()2i a b +=（ ）. A.54i - B.54i + C. 34i - D.34i + 9.（2014 江西理 1）z 是z 的共轭复数. 若2z z +=，()i 2z z -=（i 为虚数单位），则z =（ ）.A.1i +B.1i --C.1i -+D. 1i -10.（2014 安徽理 1）设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数.若1i z =+，则i i z z +⋅=（ ）. A. 2- B. 2i - C. 2 D. 2i11.（2014 大纲理 1）设10i 3iz =+，则z 的共轭复数为（ ）. A ．13i -+ B ．13i -- C ．13i + D ．13i -12.（2014 福建理 1） 复数()32i i z =-的共轭复数z 等于（ ）.A.23i --B.23i -+C.23i -D. 23i +13．（2015广东理2）若复数()i 32i z =-（i 是虚数单位），则z =（ ）A ．23i -B ．23i +C ．32i +D ．32i -13. 解析 因为()i 32i 23i z =-=+，所以23i z =-．故选A ．14．（2015湖北理1）i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为（ ）． A ．i B ．i - C ．1 D ．1-14. 解析 依题意可得：6074151+332i =i =i =i i=i ⨯⋅-，故选A.15.（2015全国二理2）若a 为实数，且()()2i 2i 4i a a +-=-，则a =（ ）．A.1-B. 0C.1D. 215. 解析 由复数的运算律将左边直接展开可得.因为24(4)i 4i a a +-=-， 所以240,44a a =-=-，解得0a =.故选B.16.(2015山东理2）若复数z 满足i 1i z =-，其中i 为虚数单位，则z =( ) A ．1i - B ．1i + C ．1i -- D ．1i -+16. 解析 因为i 1iz =-，所以()1i i =1+i z =-，所以1i z =-．故选A ． 17．（2016山东理1）若复数z 满足232i z z +=-，其中i 为虚数单位，则z =（ ）.A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --17．B 解析 设i,(,)z a b a b =+∈R ，则2()i 2z z z z z a b a +=++=++=3i 32i a b +=-，所以1,2a b ==-，即12i z =-.故选B.18．（2016天津理9）已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若()()1i 1i b a +-=，则a b的值为_______. 18．2 解析 ()()()1i 1i 11i b b b a +-=++-=，则110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩，则2a b=. 19.（2107山东理2）已知a ∈R ，i 是虚数单位，若z a =，4z z ⋅=，则a =（）.A.1或1- C.19. 解析 由z a =，4z z ⋅=，得234a +=，所以1a =±.故选A.20．（2017浙江11）已知a ，b ∈R ，()2i 34i a b +=+（i 是虚数单位），则22a b += ，ab = .20.解析 由222(i)2i a b a b ab +=-+，()2i 34i a b +=+，所以223,2a b ab -==， 解得2,1a b ==，所以225a b +=，2ab =．题型157 复数的模1. (2013辽宁理1） 复数的1i 1z =-的模为（ ）.A. 12 B. 2 C.D. 22.（2013江苏2）设2(2i)z =-（i 为虚数单位），则复数z 的模为 .3. (2013陕西理6）设12z z ，是复数，则下列命题中的假命题是（ ）.A. 若120z z -=，则12z z =B. 若12z z =，则12z z =C. 若12z z =，则1122z z z z ⋅=⋅D. 若12z z =，则2212z z =4. (2013重庆理11）已知复数5i 12iz =+（i 是虚数单位），则z = . 5.（2015全国一理1）设复数z 满足1i 1z z+=-，则z =（ ） A ．1 BCD ．25. 解析 由1i 1z z +=-得()()()()1i 1i 1i i 1i 1i 1i z -+--+===++-，所以1z =．故选A ． 6.（2015陕西理11）设复数(1)z x yi =-+(,)x y ∈R ，若||1z …，则y x …的概率为（ ）．A ．3142π+ B ．1142π- C ．112π- D ．112π+ 6. 解析 由||1z …可知，()22111x y ⇒-+. 所以y x …表示所示的阴影部分， 所以2211π1111142π142πS P S ⨯-⨯⨯===-⨯阴总.故选D. 命题意图 考查复数的基本概念与知识，并与几何概型相结合，具备一定的新颖性.7.（2015江苏3）设复数z 满足234i z =+（i 是虚数单位），则z 的模为 ．7. 解析 解法一：设i z a b =+，则()()2222i 2i 34i z a b a b ab =+=-+=+， 从而22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，即222234a b a b ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，故2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2214a b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，从而z ==解法二：由题意2234i 5z z ==+==，故z =． 8.（2015重庆理11）设复数i a b +(),a b ∈R 的模为，则()()i i a b a b +-=________.8. 解析 由题易得322=+b a ，故322=+b a ，()()22i i 3a b a b a b +-=+=．9．（2016全国乙理2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（ ）.A. 1 D.29．B 解析 由()1i 1i x y +=+，得1x y ==，所以i 1i x y +=+=故选B.10.（2017江苏02）已知复数()()1i 12i z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是 ．10.解析 解法一：()()1i 12i z =++13i =-+，所以z =．解法二：()()1i 12i z =++1i 12i =+⋅+=．11.（2107全国3卷理科2）设复数z 满足()1i 2i z +=，则z =（ ）.A ．12 B C D ．211．解析 由题意得()()()2i 1i 2i 2i 21i 1i 1i 1i 2z -+====+++-，则z =故选C. 题型158 复数的四则运算1. (2013全国新课标卷理2）设复数z 满足()1i 2i z -=，则z =（ ）.A. 1i -+B. 1i --C. 1i +D. 1i -2. (2013浙江理1）已知i 是虚数单位，则(1i)(2i)-+-=A ．3i -+ B. 13i -+ C. 33i -+ D. 1i -+3．(2013广东理3）若复数z 满足i 24i z =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标A ．()2,4B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,2 4.（2014 北京理 9）复数21i 1i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________. 5.（2014 江苏理 2）已知复数()252i z =-（i 为虚数单位），则z 的实部为 ．6.（2014 四川理 11）复数22i 1i-=+ . 7.（2014 天津理 1）i 是虚数单位，复数7i 34i +=+（ ）. A.1i - B.1i -+ C.1731i 2525+ D.1725i 77-+ 8.（2014 新课标1理2）()()321i 1i +=-（ ）.A. 1i +B. 1i -C. 1i -+D. 1i --9.（2014 辽宁理 2）设复数z 满足()()2i 2i 5z --=，则z =（ ）.A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i -10.（2014 湖北理 1）i 为虚数单位，则21i 1i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ）. A. 1- B. 1 C. i - D. i11.（2014 湖南理 1）满足i i z z+=（i 是虚数单位）的复数z =（ ）. A.11i 22+ B.11i 22- C.11i 22-+ D. 11i 22-- 12.（2014 广东理 2）已知复数z 满足()34i 25,z +=则z =( ).A ．34i -+ B. 34i -- C. 34i + D. 34i -13.（2015北京理1）复数()i 2i -=（ ）.A. 12i +B. 12i -C. 12i -+D. 12i --13. 解析 ()2i 2i 2i i 12i -=-=+.故选A.14.（2015福建理1）若集合{}234i,i ,i ,i A =（i 是虚数单位），{}1,1B =- ，则A B =（ ）.A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．∅14. 解析 由已知得{}i,1,i,1A =--，故{}1,1A B =-．故选C ．15.（2015湖南理1）已知()21i 1i z -=+（i 为虚数单位），则复数z =（ ）. A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i --15. 解析 由题意得，2(1i)2i 1i 1i 1iz -===--++.故选D. 16. （2015四川理2）设i 是虚数单位，则复数32i i -=（ ）. A. i - B. 3i - C. i D. 3i16. 解析 依题意可得：3222i i i i 2i i i i-=--=-+=.故选C. 17．（2016全国丙卷2）若12i z =+，则4i 1zz =-（ ）. A.1 B.1- C.i D.i -17．C 解析 因为25,z z z ⋅==所以4i 4i i 14zz ==-.故选C. 18．（2016四川理2）设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含4x 的项为（ ）.A.415x -B.415xC.420i x -D.420i x18．A 解析 二项式()6i x +展开的通项616C r r r r T x i -+=，则其展开式中含4x 是当64r -=，即2r =，则展开式中含4x 的项为24246C i 15x x =-，故选A.19.（2107全国2卷理科1）3i 1i+=+（ ）.A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 19．解析 ()()()()3i 1i 3i 2i 1i 1i 1i +-+==-++-.故选D. 题型159 复数的几何意义1. (2013湖南理1）复数()()i 1i i z =⋅+为虚数单位在复平面上对应的点位于（ ）.A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. (2013福建理1）已知复数z 的共轭复数12i z =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3．（2013湖北理1）在复平面内，复数2i 1i z =+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）.A ．第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限4．（2013四川理2）如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ）A.AB.BC.CD.D高考数学（理）试题分类汇编高考数学（理）试题分类汇编5.（2014 新课标2理2）设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12i z =+，则12z z =（ ）.A.5-B.5C.4i -+D. 4i --6.（2014 重庆理 1）在复平面内表示复数()i 12i -的点位于（ ）.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.（2015安徽理1）设i 是虚数单位，则复数2i 1i-在复平面内所对应的点位于（ ）. A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限7. 解析 ()()()2i 1i 2i 22i 1i 1i 1i 1i 2+-+===-+--+，其对应的点坐标为()1,1-，位于第二象限．故选B ．8．（2016北京理9）设a ∈R ，若复数()()1i i a ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_______________.8．1- 解析 由题意可得()()1i i 1(1)i a a a ++=-++是实数，所以10,1a a +==-.9.（2017北京理2）若复数()()1i i a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）.A.()–1∞，B.()––1∞，C.()1+∞，D.()–1+∞，9. 解析 由()()()()1i i i i 111i a a a a a -+=+-+=++-，则1010a a +<⎧⎨->⎩，即1a <-.故选B.。
数系的扩充和复数的概念说课课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
六、归纳小结、形成网络
让学生总结本节课所学主要知识后师生共 同归纳小结： 一、数系的扩充； 二、复数有关的概念： 1、复数的代数形式；复数的实部、虚部；虚数、 纯虚数； 2、复数的相等； 3、复数的分类
设计意图：培养学生的梳理归纳能力
四、教法分析
本节课的教学方法是： 讨论发现法，问题探究法。
本节课设计的指导思想： 现代认知心理学——建构主义学习理论。
本节课的设计理念:为了学生的一切.
五、学法分析
在课堂学习中，学生通过对媒体创设的情 境主动参与，思考探究，对所学知识经历 一个“兴趣——探索——发现——归纳的 过程，整整一节课，学生怀着浓厚的兴趣， 在学习中学有所思，思有所得，练有所获， 真正让学生自主学习和学会学习，成为知 识的探索者和发现者。
设计意图：培养学生的梳理归纳能力，通过思考， 引入虚数单位，培养学生学习数学的兴趣。
三、组织讨论，探索新知
思考：我们知道，对于实系数一元二次方程
，
没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新
的数集中，该问题能得到圆满解决呢？
【分析】 引入新数 ，并规定：
（1）
；
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时 . ，原有的加、乘运算律仍然成立． 叫做虚数单位。
例3 已知
求x与y的值。
，其中x、y R，
【解析】由已知得
2x 1 y (3 y) 1
解得
x 5,y4 2
设计意图：通过例题的讲解，进一步巩固学生对复 数概念、复数相等及复数的分类的理解，提高学生 解决与分析问题的能力。
五、双基训练、巩固概念
2018高考数学(理)大一轮复习2017高考试题汇编 第十五章 数系的扩充与复数的引入 Word版含解析
第十五章 数系的扩充与复数的引入题型155 复数的概念及分类1.（2017天津理9）已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 . 1.解析()()()()()()i 2i 212i i 212i 2i 2i 2i 555a a a a a a ----+--+===-++-为实数，则205a +=，解得2a =-.2.（2017全国1卷理科3）设有下面四个命题：1:p 若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为（ ）.A.13,p pB.14,p pC.23,p pD.24,p p 2. 解析 1:p 设i z a b =+，则2211i i a b z a b a b -==∈++R ，得到0b =，所以z ∈R .故1p 正确；2:p 若z 1=-2，满足2z ∈R ，而z i =，不满足2z ∈R ，故2p 不正确；3:p 若1z 1=，2z 2=，则12z z 2=，满足12z z ∈R ，而它们实部不相等，不是共轭复数，故3p 不正确；4:p 实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确.故选B.题型156 与共轭复数、复数相等有关的问题3.（2107山东理2）已知a ∈R ，i 是虚数单位，若z a =，4z z ⋅=，则a =（ ）.A.1或1- C.3. 解析 由z a =，4z z ⋅=，得234a +=，所以1a =±.故选A.4．（2017浙江11）已知a ，b ∈R ，()2i 34i a b +=+（i 是虚数单位），则22a b += ，ab = .4.解析 由222(i)2i a b a b ab +=-+，()2i 34i a b +=+，所以223,2a b ab -==， 解得2,1a b ==，所以225a b +=，2ab =．题型157 复数的模5.（2017江苏02）已知复数()()1i 12i z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是 ．5.解析 解法一：()()1i 12i z =++13i =-+，所以z =．解法二：()()1i 12i z =++1i 12i =+⋅+=． 6.（2107全国3卷理科2）设复数z 满足()1i 2i z +=，则z =（ ）.A ．12B ．2CD ．26．解析 由题意得()()()2i 1i 2i 2i 21i 1i 1i 1i 2z -+====+++-，则z 故选C. 题型158 复数的四则运算7.（2107全国2卷理科1）3i1i+=+（ ）. A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 7．解析()()()()3i 1i 3i 2i 1i 1i 1i +-+==-++-.故选D. 题型159 复数的几何意义8.（2017北京理2）若复数()()1i i a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）.A.()–1∞，B.()––1∞，C.()1+∞，D.()–1+∞， 8. 解析 由()()()()1i i i i 111i a a a a a -+=+-+=++-，则1010a a +<⎧⎨->⎩，即1a <-.故选B.第十六章 选讲内容第一节 极坐标与参数方程（选修4-4）题型160 极坐标方程化直角坐标方程1.（2017天津理11）在极坐标系中，直线4cos 106ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________.1.解析直线14sin 102ρθθ⎫++=⎪⎪⎝⎭化直角坐标方程为210y ++=，由圆22sin 2sin ρθρρθ=⇒=，得其直角坐标方程为222x y y +=，即()2211x y +-=，则圆心()0,1到直线的距离31=4d r ==<，知直线与圆相交，得它们的公共点的个数为2.2.（2017北京理11）在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为()1,0，则AP 的最小值为___________.2. 解析 由22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，化为普通方程为222440x y x y +--+=， 即()()22121x y -+-=，由圆心为()1,2，P 为()1,0，则AP 最小值为1.故选D.3.（2107全国2卷理科22）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值． 3．解析 （1）设()()00M P ρθρθ，，，，则0||OM OP ρρ==，． 由000016cos 4ρρρθθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得4cos ρθ=，化直角坐标方程为()2224x y -+=()0x ≠.（2）联结AC ，易知AOC △为正三角形，||OA 为定值．所以当高最大时，AOB △的面积最大，如图所示，过圆心C 作AO 垂线，交AO 于点H ，交圆C 于B 点，此时AOB S △最大， max 1||||2S AO HB =⋅()12AO HC BC =+2.题型161 直角坐标方程化为极坐标方程 题型162 参数方程化普通方程4.（17江苏21 C ）在平面坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为82x t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩ （t 为参数），曲线C 的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．4.解析 直线l 的普通方程为280x y -+=． 因为点P 在曲线C 上，设()22P s ，从而点P 到直线l的距离224sd +==当s =min d =因此当点P 的坐标为()4,4时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值为5．5.（2017全国1卷理科22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为()41x a tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数. （1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la .5.解析 （1）当1a =-时，直线l 的方程为430x y +-=，曲线C 的标准方程为2219xy +=.联立方程2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则C 与l 交点坐标是()30，和21242525⎛⎫- ⎪⎝⎭，. （2）直线l 一般式方程为440x y a +--=，设曲线C 上点()3cos sin p θθ，． 则点P 到l的距离d ==3tan 4ϕ=． 依题意得max d 16a =-或8a =.6.（2017全国3卷理科22）在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2+x ty kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为2x mm m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3cos sin 0l ρθθ+=：，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．6．解析 ⑴将参数方程转化为一般方程()1:2l y k x =- ① ()21:2l y x k=+ ② ⨯①②，消k 可得224x y -=，即点P 的轨迹方程为224x y -=()0y ≠.⑵将极坐标方程转化为一般方程3:0l x y +=，联立2204x y x y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，解得ρ=M．题型163 普通方程化参数方程——暂无 题型164 参数方程与极坐标方程的互化——暂无第二节 不等式选讲（选修4-5）题型165 含绝对值的不等式7.（2017全国1卷理科23）已知函数()2–4f x x ax =++，()11g x x x =++-.（1）当1a =时，求不等式()()f x g x …的解集； （2）若不等式()()f x g x …的解集包含[]–11，，求a 的取值范围. 7.解析 （1）当1a =时，()24f x x x =-++为开口向下，对称轴为12x =的二次函数， ()211121121x x g x x x x x x >⎧⎪=++-=-⎨⎪-<-⎩，，，剟，当(1,)x ∈+∞时，令()()f x g x 単，即242x x x -++…，解得x ⎛∈ ⎝⎦.当[]11x ∈-，时，令()()f x g x 単，即242x x -++…，解得[]1,1x ∈-． 当()1x ∈-∞-，时，令()()f x g x 単，即242x x x -++-…，解得x ∈∅． 综上所述，()()f x g x …的解集为1⎡-⎢⎣⎦．（2）依题意得242x ax -++≥在[]11-，上恒成立，即220x ax --≤在[]11-，恒成立， 则只需()()2211201120a a ⎧-⋅-⎪⎨----⎪⎩……，解得11a -剟． 故a 取值范围是[]11-，． 8.（2017全国3卷理科23）已知函数()12f x x x =+--．（1）求不等式()1f x …的解集； （2）若不等式()2–f x x x m+…的解集非空，求m 的取值范围．8．解析 （1）()12f x x x =+--可等价为()3,121,123,2x f x x x x --⎧⎪=--<<⎨⎪⎩…….由()1f x …，可得①当1x -…时显然不满足题意； ② 当12x -<<时，211x -…，解得1x …； ③ 当2x …时，()31f x =…恒成立.综上，()1f x …的解集为{}1x x …. ⑵不等式()2f x x x m -+…等价于()2f x x x m -+…， 令()()2g x f x x x =-+，则()g x m …的解集非空只需要()max g x m ⎡⎤⎣⎦…. 而()2223,131,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+--⎪=-+--<<⎨⎪-++⎩…….①当1x -…时，()()max 13115g x g =-=---=-⎡⎤⎣⎦； ②当12x -<<时，()2max3335312224g x g ⎛⎫⎛⎫==-+⋅-=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭；④ 当2x …时，()()2max 22231g x g ==-++=⎡⎤⎣⎦.综上所述，()max 54g x =⎡⎤⎣⎦，故54m ….题型166 不等式的证明题型167 函数单调性在证明不等式中的应用 题型168 柯西不等式在证明不等式中的应用——暂无9.（2017江苏21 D ）已知,,,a b c d 为实数，且224a b +=，2216c d +=，证明：8ac bd +…．9.解析 由柯西不等式可得()()()22222ac bd a bcd +++…，因为224a b +=，2216c d +=，所以()264ac bd +…，因此8ac bd +…． 10.（2107全国2卷理科23）已知0a >，0b >，332a b +=，求证：（1）()()554a b a b ++…； （2）2a b +…．10．解析 （1）由柯西不等式得()()()2255334a b a b a b ++=+=≥，1a b ==时取等号． （2）因为()()()()()33232233333232244a b a b a a b ab b ab a b a b a b ++=+++=+++++=+…，所以()38a b +≤，即2a b +≤，当且仅当1a b ==时等号成立．。
2013年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)
2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5] 6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3B．4C．5D．68．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5B．6C．7D．810．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0] 12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=．14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=．15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=．16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【考点】1D：并集及其运算；73：一元二次不等式及其应用．【专题】59：不等式的解法及应用；5J：集合．【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴A∩B={x|2＜x＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R，故选：B．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，以及并集的定义，属于基础题．2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由题意可得z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样【考点】B3：分层抽样方法．【专题】21：阅读型．【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；EF：程序框图．【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：函数分为两段，即t＜1与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，则输出的s属于[﹣3，4]．故选：A．【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：①分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；②根据判断框中的条件，设置分类标准；③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式．6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根据球的体积公式，该球的体积V===．故选：A．【点评】本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3B．4C．5D．6【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1与a m，进而得到公差d，由前n项和公式及S m=0可求得a1，再由通项公式及a m=2可得m值．【解答】解：a m=S m﹣S m﹣1=2，a m+1=S m+1﹣S m=3，所以公差d=a m﹣a m=1，+1S m==0，m﹣1＞0，m＞1，因此m不能为0，得a1=﹣2，所以a m=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，另解：等差数列{a n}的前n项和为S n，即有数列{}成等差数列，则，，成等差数列，可得2•=+，即有0=+，解得m=5．又一解：由等差数列的求和公式可得（m﹣1）（a1+a m﹣1）=﹣2，m（a1+a m）=0，（m+1）（a1+a m+1）=3，可得a1=﹣a m，﹣2a m+a m+1+a m+1=+=0，解得m=5．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项a n与S n的关系，考查学生的计算能力．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】16：压轴题；27：图表型．【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．∴长方体的体积=4×2×2=16，半个圆柱的体积=×22×π×4=8π所以这个几何体的体积是16+8π；故选：A．【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5B．6C．7D．8【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a=7b求得m的值．【解答】解：∵m为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a=，同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得b==．再由13a=7b，可得13=7，即13×=7×，即13=7×，即13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，故选：B．【点评】本题主要考查二项式系数的性质的应用，组合数的计算公式，属于中档题．10．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．【考点】K3：椭圆的标准方程．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选：D．【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．11．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用．【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D．【点评】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题．12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列【考点】82：数列的函数特性；8H：数列递推式．【专题】16：压轴题；54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法．=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣【分析】由a n+12a1=及b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n+1﹣c n+1=，得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，据此可判断△A n B n C n的边B nC n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，由题意，+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，﹣c n+1=，∴=a1﹣b n，又由题意，b n+1﹣a1=，∴b n﹣a1=，∴b n+1∴，c n=2a1﹣b n=，∴[][]=[﹣]单调递增（可证当n=1时＞0）故选：B．【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，是本年度全国高考试题中的“亮点”之一．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=2．【考点】9H：平面向量的基本定理；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由于•=0，对式子=t+（1﹣t）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．【解答】解：∵，，∴=0，∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．故答案为2．【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=（﹣2）n﹣1．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．【解答】解：当n=1时，a1=S1=，解得a1=1当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（）﹣（）=，整理可得，即=﹣2，故数列{a n}从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，故当n≥2时，a n=（﹣2）n﹣1，经验证当n=1时，上式也适合，故答案为：（﹣2）n﹣1【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题．15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=﹣．【考点】GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】16：压轴题；56：三角函数的求值．【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为16．【考点】57：函数与方程的综合运用；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】11：计算题；16：压轴题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，即可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]=0，解之得，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，求导数，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，令f′（x）=0，得x1=﹣2﹣，x2=﹣2，x3=﹣2+，当x∈（﹣∞，﹣2﹣）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣，﹣2）时，f′（x）＜0；当x∈（﹣2，﹣2+）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2+，+∞）时，f′（x）＜0∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数．又∵f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，∴f（x）的最大值为16．故答案为：16．【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=﹣2对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化简即可求出．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．∴PA=．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【考点】LW：直线与平面垂直；LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB ⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos ＜，＞|，即为所求正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题．19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）==（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）=，P（X=500）=，P（X=400）=1﹣﹣=，故X的分布列如下：X 400 500 800P故EX=400×+500×+800×=506.25【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列涉及数学期望的求解，属中档题．20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．【考点】J3：轨迹方程；J9：直线与圆的位置关系．【专题】5B：直线与圆．【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R ≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根据，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．∴曲线C的方程为（x≠﹣2）．（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|=．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），由l于M相切可得：，解得．当时，联立，得到7x2+8x﹣8=0．∴，．∴|AB|===由于对称性可知：当时，也有|AB|=．综上可知：|AB|=或．【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f （x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=e x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2e x（x+1）设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则F′（x）=2ke x（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（ke x﹣1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1），而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是[1，e2]．【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【专题】5B：直线与圆．【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径=．【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力．23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）曲线C1的参数方程消去参数t，得到普通方程，再由，能求出C1的极坐标方程．（2）曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，与C1的普通方程联立，求出C1与C2交点的直角坐标，由此能求出C1与C2交点的极坐标．【解答】解：（1）将，消去参数t，化为普通方程（x﹣4）2+（y﹣5）2=25，即C1：x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，将代入x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．∴C1的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．（2）∵曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0，。
2013-2017高考数学(文)真题分类汇编第14章 数系的扩充与复数的引入
第十四章 数系的扩充与复数的引入题型148 复数的概念及分类2013年1. (2013安徽文1）设i 是虚数单位，若复数()103ia a -∈-R 是纯虚数，则a 的值为（ ）. A. 3- B. 1- C. 1 D. 32014年1. （2014江苏2）已知复数()252i z =+（i 为虚数单位），则z 的实部为 ．2.（2014湖南文11）复数23i i+（i 为虚数单位）的实部等于 . 2015年1. (2015北京文9)复数()i1i +的实部为 . 1. 解析 由题意可得()2i 1i i i 1i +=+=-+ ，其实部为1-.2．（2015重庆文11）复数()12i i +的实部为________.2. 解析 2(12i)i 2i 2i,++=-+实部为2-．2016年 1.（2016全国乙文2）设()()12i i a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =（ ）.A.3-B.2-C.2D.31.A 解析 由题意()()()()12i i 221i a a a ++=-++，故221a a -=+，解得3a =-.故选A.2.（2016江苏2）复数()()12i 3i z =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部是 .2. 5解析 由复数乘法法则可得55i z =+，故z 的实部是5.3.（2016上海文2）设32i iz +=，其中i 为虚数单位，则Im z = . 3. 3-分析 在部分教材中，Im z 表示复数的虚部，Re z 表示复数的实部.解析 因为()i 32i 23i z =-+=-，故Im 3z =-. 4.（2016天津文9）i 是虚数单位，复数z 满足(1i)2z +=，则z 的实部为_______.4.1 解析 由(1i)z +=2，即21i 1iz ==-+，所以z 的实部为1. 2017年1.（2017全国1文3）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）.A ．()2i 1i +B ．()2i 1i -C ．()21i +D ．()i 1i +1.解析 因为2(1i)2i +=为纯虚数.故选C.2.（2017天津卷文9）已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i 2i a -+为实数，则a = . 2.解析 因为()()()()()()i 2i 212i i 212i 2i 2i 2i 555a a a a a a ----+--+===-++-为实数，所以205a +=，所以2a =-.3.（2017浙江卷12）已知a ，b ∈R ，()2i 34i a b +=+（i 是虚数单位），则22a b += ， ab = .3.解析 由222(i)2i a b a b ab +=-+，()2i 34i a b +=+，所以223,2a b ab -==，解得2,1a b ==，所以225a b +=，2ab =．题型149 与共轭复数、复数相等有关的问题2014年1. （2014山东文1）已知,,i a b ∈R 是虚数单位. 若i a +＝2i b -，则()2i a b +=（ ）.A. 34i -B. 34i +C. 43i -D. 43i + 2.（2014陕西文3）已知复数2i z =-，则z z ⋅的值为（ ）.A.5B.5C.3D.33. （2014广东文10）对任意复数12,ωω定义1212ωωωω=﹡，其中2ω是2ω的共轭复数，对任意复数123,,z z z 有如下四个命题：①()()()1231323z z z z z z z +=+﹡﹡﹡；②()()()1231213z z z z z z z +=+﹡﹡﹡； ③()()123123z z z z z z =﹡﹡﹡﹡；④1221z z z z =﹡﹡； 则真命题的个数是（ ）.A.1B.2C.3D.44.（2014北京文9）若()()i i 12i x x +=-+∈R ，则x = .2015年1．（2015福建卷文1）若()()1i 23i i a b ++-=+（,,i a b ∈R 是虚数单位），则,a b 的值分别等 于（ ）.A ． 3,2-B ．3,2C ．3,3-D ．1,4-1.解析 由已知得32i i a b -=+，所以3,2a b ==.故选A ．2.（2015全国二文2）若a 为实数，且2i 3i 1ia +=++，则a =（ ）. A. 4- B. 3- C. 3 D. 4 2. 解析 可去分母两边同乘1i +得，()()2i 1i 3i 24i a +=++=+，则4a =.故选D.评注 分式型复数的运算，关键是运算的正确性，难度不大.3.（2015山东文2）若复数z 满足i 1i z =-，其中i 为虚数单位，则z =（ ）. A. 1i - B. 1i + C. 1i -- D. 1i -+3. 解析 因为i 1iz =-，所以()1i i =1+i z =-，所以1i z =-.故选A. 2016年1.（2016全国丙文2）若43i z =+，则||z z =（ ）. A.1 B.1- C.43+i 55 D.43i 55-1.D 解析 因43i z =+，则其共轭复数为43i z =-，其模为|||43i |5z =+==， 故43i ||55z z =-.应选答案D. 2.（2016全国甲文2）设复数z 满足i 3i z +=-，则z =（ ）.A.12i -+B.12i -C.32i +D.32i -2.C 解析 因为32i z =-，所以32i z =+.故选C.3.（2016山东文2）若复数21i z =-，其中i 为虚数单位，则z =（ ）. A.1+i B.1i -C.1i -+D.1i -- 3. B 解析 由21i z ==-()()()21i 1i 1i +=-+1i +，可得1i z =-.故选B. 题型150 复数的模2013年1. （2013山东文1）复数()22i i z -=（i 为虚数单位），则z =（ ）.A.25B.C. 5D. 2．(2013广东文3）若()i i 34i x y +=+(),x y ∈R 则复数i x y +的模是A ．2B ．3C ．4D ．53. (2013辽宁文2） 复数的1i 1z =-的模为（ ）.A. 12 B. C. D. 24. （2013江苏2）设2(2i)z =-（i 为虚数单位），则复数z 的模为 .5. (2013重庆文11）已知复数12i z =+（i 是虚数单位），则z = .2014年1.（2014新课标Ⅰ文3）设1i 1i z =++，则z =（ ）A. 12 B. 2 C. 2 D. 22.（2014江西文1）若复数z 满足(1i)2i z +=（i 为虚数单位），则||z =（ ）A.1B.22015年1.（2015陕西文12）设复数()()1,z x yi a y =-+∈R ，若1z …，则y x …的概率为（）. A. 3142π+ B. 112π+ C. 1142π- D. 112π-1.解析 由题意作图，如图所示.根据图形的几何意义可得：()()221i 111z x y z x y =-+⇒=⇒-+.2.（2015江苏3）设复数z 满足234i z =+（i 是虚数单位），则z 的模为 ．2.解析 解法一：设i z a b =+，则()()2222i 2i 34i z a b a b ab =+=-+=+， 从而22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，即222234a b a b ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，故2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2214a b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，从而z ==解法二：由题意2234i 5z z ==+==，故z =．2016年 1.（2016全国丙文2）若43i z =+，则||z z =（ ）. A.1 B.1- C.43+i 55 D.43i 55- 1. D 解析 因43i z =+，则其共轭复数为43i z =-，其模为|||43i |5z =+==， 故43i ||55z z =-.故选D. 2017年1.（2017江苏卷2）已知复数()()1i 12i z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是 ．1.解析 解法一：()()1i 12i z =++13i =-+，所以z = 解法二：()()1i 12i z =++1i 12i =+⋅+=题型151 复数的代数运算2013年1. (2013浙江文2） 已知i 是虚数单位，则()()2i 3i ++=A.55i -B.75i -C.55i?+D.75i +2. (2013天津文9）i 是虚数单位. 复数()()3i 12i +=- .2014年1.（2014天津文1）i 是虚数单位，复数7i34i +=+（ ）.A.1i -B. 1i -+C. 1731i 2525+ D. 1725i 77-+2.（2014新课标Ⅱ文2）13i 1i +=-（ ）A.12i +B.12i -+C.12i -D.12i-- 3.（2014安徽文1）设i 是虚数单位，复数32ii 1i +=+（ ）.A.i -B.iC.1-D. 14.（2014辽宁文2）设复数z 满足(2i)(2i)5z --=，则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i -5.（2014福建文2）复数()32i i +等于（ ）.A.23i --B.23i -+C.23i -D. 23i +6.（2014广东文2）已知复数z 满足()34i 25,z -=则z =（ ）.A.34i --B. 34i -+C. 34i -D. 34i +7.（2014湖北文2）i 为虚数单位，21i 1i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ）.A ．1B ．1-C ．iD ．i -8.（2014浙江文11）已知i 是虚数单位，计算()21i=1+i -____________.9.（2014四川文12）复数22i1i -=+____________.2015年1.(2015安徽文1)设i 是虚数单位，则复数()()1i 12i -+=（ ）.A. 33i +B. 13i -+C. 3i +D. 1i -+1. 解析 因为()()21i 12i 12i i 2i 3i -+=+--=+.故选C.2.（2015广东文2）已知i 是虚数单位，则复数()21i +=（ ）.A ．2iB ． 2i -C ．2D ．-22. 解析 由题意可得()221i 12i i 12i 12i +=++=+-=.故选A ．3. (2015湖北文1)i 为虚数单位，607i =（ ）.A ． iB ． i -C ．1D ．-13. 解析 6076061i i 1i i +==-⨯=-，故选B.4.（2015湖南文1）已知()21i 1i z -=+（i 为虚数单位），则复数z =（）. A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i --4. 解析 由题意得，2(1i)2i1i 1i 1i z -===--++.故选D.5.（2015全国1文3）已知复数z 满足(1)i 1i z -=+，则z =（ ）.A. 2i --B. 2i -+C. 2i -D. 2i +5. 解析 由题意可得i 1i i 12i z =++=+，12i2i i z +==-.故选C.6.（2015四川文11）设i 是虚数单位，则复数1i i -=_____________.6. 解析 1i i i 2i i -=+=.7.（2015天津文9）i 是虚数单位，计算12i2i -+ 的结果为 ．7. 解析 ()2i i 212i i 2ii 2i 2i 2i -+---===-+++.2016年1.（2016北京文2）复数12i2i +=-（ ）.A. iB. 1+iC. i -D. 1i -1. A 解析 由题意可得12i 2i +=-22i i 2i -=-i(2i)i 2i -=-.故选A.2.（2016四川文1）设i 为虚数单位，则复数2(1i)+=（ ）.A. 0B.2C.2iD.22i +2. C 解析 由题意，22(1i)12i i 2i +=++=.故选C .1.（2017全国2卷文2）()()1i 2i ++=（ ）.A.1i -B. 13i +C. 3i +D.33i +1. 解析 由题意，2(1i)(2i)23i i 13i ++=++=+.故选B.2.（2017山东卷文2）已知i 是虚数单位，若复数z 满足i 1i z =+，则2z =（ ）.A.2i -B. 2iC. 2-D. 22. 解析 解法一：由于1i 1i iz +==-，故22(1i)2i.z =-=-故选A. 解法二：由i 1i z =+，得2222(i)(1i)2i 2i z z z =+⇒-=⇒=-.故选A.题型152 复数的几何意义2013年1．(2013福建文1）复数的12i z =--（i 为虚数单位）在复平面内的点位于（ ）.A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. （2013江西文1）复数()i 2i z =--（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在（ ）.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. （2013四川文3）如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ）.A. AB. BC. CD.D4. (2013湖南文1）复数()()i 1i i z =⋅+为虚数单位在复平面上对应的点位于（ ）.A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5.（2013湖北文11）i 为虚数单位，设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于原点对称，若123i z =-，则2z =2014年1.（2014重庆文1）实部为2-，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的（ ）.A. 第一象限B.第二象限C. 第三象限D.第四象限1.（2017全国3卷文2）复平面内表示复数()i 2i z =-+的点位于（ ）.A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 1. 解析 2i (2i )2i i 12iz =-+=-+=--，所以该复数位于第三象限.故选C. 评注 考点为复数的乘法运算与复数的象限表示，属于基础题型.2.（2017北京卷文2）若复数()()1i i a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）.A.()–1∞，B.()––1∞，C.()1+∞，D.()–1+∞， 2. 解析 运算直接(1i)(i)1(1)i a a a -+=++-，因为对应点在第二象限，所以1010a a +<⎧⎨->⎩，所以1a <-.故选B.。
数系的扩充与复数的引入 (2).
课堂教学单元教案科目：高二数学课题：数系的扩充与复数的引入一．数学分析：（1）复数系是在实数系的基础上扩充儿得到的，为了帮助学生了解学习复数的必要性，了解实际需求和数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，本章从一个思考问题开始，在问题情境中简单介绍了由实数系扩到复数系的过程，这样不仅可以激发学生的学习复数的欲望，而且也可以比较自然的引入复数的学习之中。
复数的概念是整个复数内容的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数形式展开的，虚数单位、实部、虚部、复数相等的充要条件、以及虚数，纯虚数等概念的理解都应促进对复数实质的理解，即复数实际上一有序的实数对。
类比实数可以用数轴上的点表示，把复数在直角坐标系中表示出来，就得到了复数的集合表示。
用复平面内的点或平面向量表示复数，不仅使抽象的复数得到直观形象的表示，而且也使数和形得到了有机的结合。
（2）复数代数形式的四个运算，及复数代数形式的加法，减法，乘法和除法，重点是加法和乘法。
复数加法和乘法的法则是规定的，是具有其合理性的；这种规定与实数的加法，乘法的法则是一致的，而且实数的加法，乘法的有关运算仍然成立的。
二．学情分析：1.知识掌握上，高二年级的学生已经学过实数的扩充，已经有一定基础，但是扩充的过程可能会有所遗忘，所以首先应该进行适当的引入复习，同时高二的学生已经掌握了一些分析思考的能力，所以教学中通过问题的提出到解决过程有意识地进一步应用、提高学生的这些能力；2.心理上，多数学生感觉到数学过于枯燥繁琐，而且刚刚学的一章内容“推理与证明”又是数学中的难点，所以学生对新的一块内容可能也带有异样情绪，因此在引入、学习时要能让学生们能够感兴趣并且愿意去了解；3.学生学习本节内容可能存在的知识障碍：学生学习本节内容可能会遇到一些障碍，如对复数的理解，复数的引入是否具有实际意义，复数的引入是否具有实际应用，复数相等条件的理解等。
所以教学中对复数概念的讲解中尽量以简单明白、深入浅出的分析为主，在引入后花少许时间对复数的实际意义、复数的实际应用作以解释。
2013---2017年全国1卷高考理科数学分类汇编---坐标系与参数方程
2013---2017年全国1卷高考理科数学分类汇编---坐标系与参数方程 （2017全国1.理数.22）[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为 4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la .【考点】：参数方程。
【思路】：（1）将参数方程化为直角方程后，直接联立方程求解即可（2）将参数方程直接代入距离公式即可。
【解析】：将曲线C 的参数方程化为直角方程为2219x y +=，直线化为直角方程为11144y x a =-+- （1）当1a =时，代入可得直线为1344y x =-+，联立曲线方程可得：22134499y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，解得21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或30x y =⎧⎨=⎩，故而交点为2124,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭或()3,0 （2）点3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩到直线11144y x a =-+-的距离为d =≤，即：3cos 4sin 417a θθ++-≤，化简可得()()1743cos 4sin 174a a θθ---≤+≤--，根据辅助角公式可得()135sin 21a a θϕ--≤+≤-，又()55sin 5θϕ-≤+≤，解得8a =-或者16a =。
（2016全国1.理数.23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系x O y 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ.（I ）说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=，其中0α满足tan 0α=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．【答案】（I ）圆,222sin 10a ρρθ-+-=（II ）1⑵ 24cos C ρθ=：,两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=Q ，224x y x ∴+=,即()2224x y -+= ②3C ：化为普通方程为2y x =,由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C①—②得：24210x y a -+-=,即为3C∴210a -=,∴1a =考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.（2015全国1.理数.23）(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C : x ＝－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积 .23．解：（Ⅰ）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．……5分 （Ⅱ）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=， 解得122ρ=，22ρ． 故122ρρ-=2MN =2C 半径为1，所以2C MN ∆的面积为12．…10分（2014全国1.理数.23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.【解析】： (1) 曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）， 直线l 的普通方程为：260x y +-= ………5分（2）在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为54cos 3sin 65d θθ=+-， 则()025||5sin 6sin 305d PA θα==+-，其中α为锐角．且4tan 3α=. 当()sin 1θα+=-时，||PA 取得最大值，最大值为225； 当()sin 1θα+=时，||PA 取得最小值，最小值为25. …………10分 （2013全国1.理数. 23）（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=.（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）.23. 将45cos 55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程22(4)(5)25x y -+-=， 即1C ：22810160x y x y +--+=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得， 28cos 10sin 160ρρθρθ--+=， ∴1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+= （Ⅱ）2C 的普通方程为2220x y y +-=， 由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩，∴1C 与2C 2,4π），(2,)2π.（2012全国1.理数. 23）23．(本题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是2cos3sinxyϕϕ⎧⎨⎩＝，＝，(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2．正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，π3)．(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．23．解：(1)由已知可得A(π2cos3，π2sin3)，B(ππ2cos()32+，ππ2sin()32+)，C(2cos(π3＋π)，2sin(π3＋π))，D(π3π2cos()32+，π3π2sin()32+)，即A(1)，B(，1)，C(－1，，D，－1)．(2)设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ. 因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32,52]．。
2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(07 数系的扩充与复数的引入)
2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（07数系的扩充与复数的引入）一、选择题：1．(2013安徽文)设i 是虚数单位，若复数10()3a a R i-∈-是纯虚数，则a 的值为（ ） （A ）-3（B ）-1（C ）1（D ）3【答案】D 【解析】i a i a i a i i a i i i a i a --=+-=+-=-+-=+-+-=--)3()3(10)3(109)3(10)3)(3()3(103102，所以a =3，故选择D【考点定位】考查纯虚数的概念，及复数的运算，属于简单题.2．(2013安徽理)设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若z*i+2=2 z ，则z =（ ）（A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -【答案】A 【解析】设2bi 2a 2)i b (a 2bi)i -a (bi)+a (22z bi.z -a =z .bi,+a =z 22+=++=+⋅⇒=+⋅z i 则i z b a a+=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==+⇒111222b b a 22所以选A3．(2013北京理)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 D解析 (2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，∴对应点坐标(3，－4)，位于第四象限．4．(2013北京文)在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 A解析 i(2－i)＝2i ＋1对应点(1,2)在第一象限．5．(2013福建文) 复数i z 21--=（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】本题考查的知识点是复数的几何意义．由几何意义可知复数在第三象限．6．(2013福建理) 已知复数z 的共轭复数12z i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ． 第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】z 的共轭复数12z i =+，则12z i =-，对应点的坐标为(1,2)-，故答案为D ．7．(2013广东文) 若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +的模是A ．2B ．3C ．4D ．5 【解析】：复数的运算、复数相等，目测4,3x y ==-，模为5，选D .8．(2013广东理) 若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( ) A . ()2,4 B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,2【解析】C ；2442iz i i+==-对应的点的坐标是()4,2-,故选C ．9、(2013湖北理) 在复平面内，复数21iz i=+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【解析与答案】211iz i i==++，1z i ∴=-。
备战2017高考数学(精讲精练精析)专题12.3数系的扩充与
专题3 数系的扩充与复数的引入【三年高考】1. 复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是 . 【答案】5 【解析】试题分析：(12i)(3i)55i z =+-=+．故答案应填：5 【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),,,a b c d ac bd ad bc a b c d +=-++∈R +ii i ,，其次要熟悉复数的相关概念，如复数i(,)a b a b +∈R 的实部为a ，虚部为b ，模为22a b +，共轭为i a b - 2．【2016新课标理改编】设(1)=1+,x i yi +其中x ,y 实数,则i =x y + . 【答案】2 【解析】试题分析：因为(1)=1+,x i yi +所以=1+,=1,1,||=|1+|2x xi yi x y x x yi i +==+=． 考点：复数运算【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性. 3.【2016高考新课标3理数改编】若i 12z =+，则4i1zz =- . 【答案】i 【解析】 试题分析：4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---． 考点：1、复数的运算；2、共轭复数．【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成－1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．4.【2016高考新课标2理数】已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是 ．【答案】(31)-， 【解析】 试题分析：要使复数z 对应的点在第四象限应满足：m 30m 10+>⎧⎨-<⎩，解得3m 1-<<．考点： 复数的几何意义.【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． 复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ .5.【2016年高考北京理数】设a R ∈，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_______________.【答案】1-. 【解析】试题分析：(1)()1(1)1i a i a a i R a ++=-++∈⇒=-，故填：1-. 考点：复数运算【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化 6.【2016高考山东理数改编】若复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，则z = ． 【答案】12i - 【解析】试题分析：设bi a z +=，则i bi a z z 2332-=+=+，故2,1-==b a ，则i z 21-=，选B. 考点：1.复数的运算；2.复数的概念.【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之一.7.【2016高考天津理数】已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则ab的值为_______. 【答案】2考点：复数相等【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈，a bi c di ac bd ad bc i a b c d R22()(),(,,.)+++-=∈++，a bi ac bd bc ad ia b c d R c di c d . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 、模为22+a b 、共轭为.-a bi8．【2015高考新课标2，理2改编】若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a = ． 【答案】0【解析】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =． 9.【2015高考湖北，理1改编】 i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为 ． 【答案】i 【解析】i i i i-=⋅=⨯31514607,所以607i 的共轭复数．．．．为i ． 10. 【2015高考新课标1，理1改编】设复数z 满足11zz+-=i ，则|z|= ． 【答案】1 【解析】由11z i z +=-得，11i z i -+=+=(1)(1)(1)(1)i i i i -+-+-=i ，故|z|=1． 11.【2015高考天津，理9】i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .【答案】2-【解析】()()()12212i a i a a i -+=++-是纯虚数，所以20a +=，即2a =-.12.【2015高考上海，理15改编】设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的 ．（在充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件、既非充分又非必要条件中选填）【答案】必要非充分条件13. 【2014全国1高考理第2题改编】=-+23)1()1(i i ． 【答案】i --1【解析】由已知得=-+23)1()1(i i 22(1)(1)2(1)1(1)2i i i i i i i+++==----．14. 【2014山东高考理第1题】已知R b a ∈,，i 是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2)(bi a ．【答案】i 43+【解析】由已知得，2,1a b ==，即2a bi i +=+，所以22()(2)34a bi i i +=+=+．15. 【2014高考上海理科第题】若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则1()z z+z ⋅=___________. 【答案】6【解析】由题意21()1(12)(12)11(2)16z z z z i i i z+⋅=⋅+=+-+=-+=16.【2014高考上海理科第11题】已知互异的复数a,b 满足ab ≠0，集合{a,b}={2a ,2b },则a b += . 【答案】1-【2017年高考命题预测】纵观2016各地高考试题，对复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式、运算及运算的几何意义，一般是选择题、填空题，难度不大，预计今后的高考还会保持这个趋势.复数问题在高考中年年必有,从近几年的高考试题来看,复数的概念及其代数形式的运算成为命题的热点,通常分两种题型,选择题和填空题,一是考查复数的概念,如纯虚数，两个复数相等；二是复数代数形式的加、减、乘、除四则运算等知识.预测下一步的高考，仍会以考查复数的有关概念，包括实部与虚部、虚数与纯虚数以及复数的代数形式的运算为重点，继续稳定在一道选择题或填空题上,且属于中低档题.复数的概念及运算仍是考查的重点内容，以选择或填空题为主.故预测2017年高考仍将以复数的基本概念以及复数的代数运算为主要考点，其中复数相等的应用是最可能出现的命题角度！复习建议：1．复习时要理解复数的相关概念如实部、虚部、纯虚数、共轭复数等，以及复数的几何意义．2．要把复数的基本运算作为复习的重点，尤其是复数的四则运算与共轭复数的性质等．因考题较容易，所以重在练基础．【2017年高考考点定位】高考对复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式、运算及运算的几何意义，复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点，并且一般在前三题的位置，主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算，一般是选择题、填空题，难度不大． 【考点1】复数的有关概念 【备考知识梳理】1.i 称为虚数单位,规定21i =-；2.形如a bi +(,a b R ∈)的数叫复数，其中,a b 分别是它的实部和虚部．若0b =，则a b i +为实数；若0b ≠，则a bi +为虚数；若0a =且0b ≠，则a bi +为纯虚数．3.共轭复数：复数a bi -称为复数z a bi =+的共轭复数，记为z ，那么z 与z 对应复平面上的点关于实轴对称，且2z z a +=，2z z bi -=，222zz z a b ==+，z z z R =⇔∈a bi +与c di +共轭⇔,a cb d ==-(,a b ，,cd R ∈)．【规律方法技巧】1.解决复数概念问题的方法及注意事项：(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a bi +(,a b R ∈)的形式，以确定实部和虚部．2.复数是实数的条件：①0(,)z a bi R b a b R =+∈⇔=∈；②z R z z ∈⇔=；③20z R z ∈⇔≥.3.复数是纯虚数的条件: ①z a bi =+是纯虚数0a ⇔=且0(,)b a b R ≠∈； ②z 是纯虚数0(0)z z z ⇔+=≠；③z 是纯虚数20z ⇔<.4.复数与实数不同处：任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．【考点针对训练】1.设i 为虚数单位，若复数()()2282i z m m m =+-+-是纯虚数，则实数m = ．【答案】－4【解析】由题意可得2280m m +-=且2m ≠，所以4m =-．2.若复数()(1)z x i i =++是纯虚数，其中x 为实数，i 为虚数单位，则z 的共轭复数z = ． 【答案】2i -【解析】2()(1)(1)(1)z x i i x xi i i x x i =++=+++=-++，因为复数()(1)z x i i =++是纯虚数，所以10x -=，即1x =，故2z i =，则z 的共轭复数2z i =-，故答案为2i -。
高三数学一轮复习(3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升)第15章 数系的扩充
数学
考情精解读 4
考纲解读
命题规律
命题趋势
第十五章 数系的扩充与复数的引入
1.热点预测 纯虚数、共轭复数的概念、复数 相等的充要条件以及复数的四则运算是高考考 查的热点,题型以选择题、填空题为主,分值为5 分,属于容易题. 2.趋势分析 预测2018年,仍以复数的基本概 念以及复数的代数运算为主要考点,重点考查 运算能力以及转化与化归思想、方程思想.
说明 |z|=|a|.
7.复数的几何意义
继续学习
数学
第十五章 数系的扩充与复数的引入
知识全通关 5
考点2 复数的四则运算
1.复数的加法 (1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di是任意两复数,那么z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)运算律:对任意的z1,z2∈C, 交换律:z1+z2=z2+z1; 结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). (3)几何意义:复数z1+z2是以,为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数,其中,分别为z1,z2所 对应的向量.
+
bc-ad c2 d 2
(c+d i≠0),即分子、分母同乘以 分母的共轭复数,使分母实数化,以简化运算.
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题型全突破
数学
题型全突破 1
考法1
第十五章 与复数的分类有关的问题
数学
考情精解读 2
考纲解读
命题规律
命题趋势
第十五章 数系的扩充与复数的引入
考点
2016全国
2015全 国
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第十五章 数系的扩充与复数的引入
题型155 复数的概念及分类
1.（2015天津理9）i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+ 是纯虚数，则实数a 的值为.
1.解析()()()12i i 212i a a a -+=++-是纯虚数，所以20a +=，即2a =-.
2．（2016江苏2）复数()()12i 3i z =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部是．
2．5解析由复数乘法法则可得55i z =+，故z 的实部是5．
3．（2016上海理2）设32i i
z +=，其中i 为虚数单位，则Im z =． 3．3-分析 在部分教材中，Im z 表示复数的虚部，Re z 表示复数的实部．
解析 因为()i 32i 23i z =-+=-，故Im 3z =-．故填3-．
4.（2017天津理9）已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i 2i
a -+为实数，则a 的值为 . 4.解析()()()()()()i 2i 212i i 212i 2i 2i 2i 555
a a a a a a ----+--+===-++-为实数，则205a +=，解得2a =-.
5.（2017全国1卷理科3）设有下面四个命题：
1:p 若复数z 满足1z
∈R ，则z ∈R ；2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R .
其中的真命题为（ ）.
A.13,p p
B.14,p p
C.23,p p
D.24,p p
5. 解析1:p 设i z a b =+，则2211i i a b z a b a b -==∈++R ，得到0b =，所以z ∈R .故1p 正确；
2:p 若z 1=-2，满足2z ∈R ，而z i =，不满足2z ∈R ，故2p 不正确；
3:p 若1z 1=，2z 2=，则12z z 2=，满足12z z ∈R ，而它们实部不相等，不是共轭复数，故3p 不正确； 4:p 实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确.故选B.
题型156 与共轭复数、复数相等有关的问题
1.（2013山东理1）复数z 满足()()32i 5z --=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为（）.
A. 2i +
B. 2i -
C. 5i +
D. 5i -
2. (2013安徽理1）设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若i 22z z z ⋅+=，则z =（）.
A. 1i +
B. 1i -
C. 1i -+
D. 1i --
3. (2013福建理1）已知复数z 的共轭复数12i z =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C. 第三象限
D.第四象限
4．（2013湖北理1）在复平面内，复数2i 1i
z =+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）. A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
5．（2013四川理2）如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ）
A.A
B.B
C.C
D.D
6.(2013天津理9） 已知a ， b ∈R ， i 是虚数单位 若()()i 1i i a b ++=， 则i a b +=．
7.（2014 陕西理 8）原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12z z =”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）.
A. 真，假，真
B. 假，假，真
C. 真，真，假
D. 假，假，假
8.（2014 山东理 1）已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若i a -与2i b +互为共轭复数，则()2i a b +=（ ）.
A.54i -
B.54i +
C. 34i -
D.34i + 9.（2014 江西理 1）z 是z 的共轭复数. 若2z z +=，()i 2z z -=（i 为虚数单位），则z =（）.
A.1i +
B.1i --
C.1i -+
D. 1i -
10.（2014 安徽理 1）设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数.若1i z =+，则i i
z z +⋅=（ ）.
A. 2-
B. 2i -
C. 2
D.2i
11.（2014 大纲理 1）设10i 3i z =
+，则z 的共轭复数为（ ）. A ．13i -+ B ．13i -- C ．13i + D ．13i -
12.（2014 福建理 1） 复数()32i i z =-的共轭复数z 等于（ ）.
A.23i --
B.23i -+
C.23i -
D.23i +
13．（2015广东理2）若复数()i 32i z =-（i 是虚数单位），则z =（ ）
A ．23i -
B ．23i +
C ．32i +
D ．32i -
13.解析 因为()i 32i 23i z =-=+，所以23i z =-．故选A ．
14．（2015湖北理1）i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．
为（ ）． A ．i B ．i - C ．1 D ．1-
14.解析 依题意可得：6074151+332i =i =i =i i=i ⨯⋅-，故选A.
15.（2015全国二理2）若a 为实数，且()()2i 2i 4i a a +-=-，则a =（ ）．
A.1-
B. 0
C.1
D. 2
15.解析由复数的运算律将左边直接展开可得.因为24(4)i 4i a a +-=-，
所以240,44a a =-=-，解得0a =.故选B.
16.(2015山东理2）若复数z 满足
i 1i z =-，其中i 为虚数单位，则z =( ) A ．1i - B ．1i + C ．1i --
D ．1i -+ 16.解析 因为i 1i
z =-，所以()1i i =1+i z =-，所以1i z =-．故选A ． 17．（2016山东理1）若复数z 满足232i z z +=-，其中i 为虚数单位，则z =（ ）.
A ．12i +
B ．12i -
C ．12i -+
D ．12i --
17．B 解析设i,(,)z a b a b =+∈R ，则2()i 2z z z z z a b a +=++=++=
3i 32i a b +=-，所以1,2a b ==-，即12i z =-.故选B.
18．（2016天津理9）已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若()()1i 1i b a +-=，则a b
的值为_______.
18．2 解析()()()1i 1i 11i b b b a +-=++-=，则110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21
a b =⎧⎨=⎩，则2a b =.
19.（2107山东理2）已知a ∈R ，i 是虚数单位，若z a =，4z z ⋅=，则a =（ ）.
A.1或1- C.
19. 解析 由z a =，4z z ⋅=，得234a +=，所以1a =±.故选A.
20．（2017浙江11）已知a ，b ∈R ，()2
i 34i a b +=+（i 是虚数单位），则22a b +=，ab =. 20.解析 由222(i)2i a b a b ab +=-+，()2i 34i a b +=+，所以223,2a b ab -==，
解得2,1a b ==，所以225a b +=，2ab =．
题型157 复数的模 1.(2013辽宁理1） 复数的1i 1
z =-的模为（ ）.
A. 12
B. 2
C.
D. 2
2.（2013江苏2）设2(2i)z =-（i 为虚数单位），则复数z 的模为.
3. (2013陕西理6）设12z z ，是复数，则下列命题中的假命题是（ ）.
A. 若120z z -=，则12z z =
B. 若12z z =，则12z z =
C. 若12z z =，则1122z z z z ⋅=⋅
D. 若12z z =，则2212z z =
4. (2013重庆理11）已知复数5i 12i
z =
+（i 是虚数单位），则z =. 5.（2015全国一理1）设复数z 满足1i 1z z +=-，则z =（ ）
A ．1
B ．2
5.解析 由1i 1z z +=-得()()()()
1i 1i 1i i 1i 1i 1i z -+--+===++-，所以1z =．故选A ． 6.（2015陕西理11）设复数(1)z x yi =-+(,)x y ∈R ，若||1z …，则y x …的概率为（ ）．。