2017-2018年江苏省苏州市高一上学期数学期中试卷和解析

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江苏省苏州市2017-2018学年高一上学期期末数学试卷+Word版含解析

苏州市2018年学业质量阳光指标调研卷高一数学 2018．1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1. 已知集合，则＝______．【答案】【解析】，填．2. 函数的定义域是______．【答案】【解析】由题设有，解得，故函数的定义域为，填．3. 若，则的值等于______．【答案】【解析】，填．4. 已知角的终边经过点，则的值等于______．【答案】【解析】，所以，，故，填．5. 已知向量，，，则的值为______．【答案】【解析】，所以，所以，故，填．6. 已知函数则的值为______．【答案】【解析】，所以，填2．............【答案】【解析】扇形的半径为，故面积为（平方米），填．8. 已知函数则函数的零点个数为______．【答案】【解析】的零点即为的解．当时，令，解得，符合；当，令，解得，符合，故的零点个数为2．9. 已知函数在区间上的最大值等于8，则函数的值域为______．【答案】【解析】二次函数的对称轴为，故，所以且，对称轴为，故所求值域为，填．10. 已知函数是定义在R上的偶函数，则实数的值等于____．【答案】11. 如图，在梯形ABCD中，，P为线段CD上一点，且，E为BC的中点，若，则的值为______．【答案】【解析】，整理得到，又，所以，也就是，，填．12. 已知，则的值等于______．【答案】【解析】令，则，所以，因为，所以故，填．点睛：三角变换中，对于较为复杂的角，可用换元法去处理角与角的关系．13. 将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为____．【答案】【解析】由题设，令，解得，取，分别得到，它们是函数在轴右侧的第一个零点和第二个零点，所以，故，故填．点睛：因为，所以该函数的图像必过定点且在轴的右侧的第一个对称中心的横坐标在内，第二个对称中心的横坐标不在中，从而得到．14. 已知为非零实数，，且同时满足：①，② ，则的值等于______．【答案】【解析】由题设有，，所以，解得或者．而，故，所以，所以，填．点睛：题设中有3个变量，两个等式，注意到两个方程都与相关，故把看成一个整体，把代入另一个方程就能构建关于的方程，解出就能得到的值，注意只有一个解．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知全集,集合．（1）若，求和；（2）若，求实数m的取值范围；（3）若，求实数m的取值范围．【答案】(1)，；(2)；(3)或.【解析】试题分析：（1）当时，求出，，借助数轴可求得，．（2）依据集合的包含关系，得到区间端点的大小关系为，解得．（3）依据交集为空集，得到区间的端点的大小关系为或，也即是或．解析：（1）当时，，由得，，所以,；．（2）因为，则，解得．（3）因为因为或，所以或．16. 已知函数的图象过点．（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若，求实数的取值范围．【答案】(1)是奇函数，理由见解析；(2).【解析】试题分析：（1）因为的图像过，代入后得到，这样可化简为，依据奇函数的定义可判断其为奇函数．（2）不等式可化简为，从而不等式的解为．解析：（1）因为的图象过点，所以，解得，所以的定义域为．因为，所以是奇函数．（2）因为，所以，所以，所以，所以，解得．17. 如图，在四边形中，．（1）若△为等边三角形，且，是的中点，求；（2）若，，，求．【答案】(1)11；(2).【解析】试题分析：（1）由题设可以得到，故就是一组基底，通过线性运算可以得到，而，故可以转化基底向量之间的数量积计算．另一方面，因为有等边三角形，图形较为规则，故可以建立直角坐标系来计算数量积．（2）要计算，关键在于计算，可把已知条件变形为，再利用可得，最后利用计算．解析：（1）法一：因为△为等边三角形，且所以．又所以，因为是中点，所以．又，所以．法二：如图，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则，因为△为等边△，且所以．又所以，所以因为是中点，所以所以,所以．（2）因为所以,因为所以所以又所以．所以．所以．18. 某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民．为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）．已知该扇形的半径为200米，圆心角，点在上，点在上，点在弧上，设．（1）若矩形是正方形，求的值；（2）为方便市民观赏绿地景观，从点处向修建两条观赏通道和（宽度不计），使，其中PT 依PN 而建，为让市民有更多时间观赏，希望最长，试问：此时点应在何处？说明你的理由．【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）因为四边形是扇形的内接正方形，所以，注意到，代入前者就可以求出.（2）由题设可由，，利用两角差的正弦和辅助角公式把化成的形式，从而求出的最大值.解析：（1）在中，，，在中，，所以，因为矩形是正方形，，所以，所以，所以．（2）因为所以，，．所以, 即时，最大，此时是的中点．答：（1）矩形是正方形时，；（2）当是的中点时，最大．19. 已知，函数．（1）求在区间上的最大值和最小值；（2）若，，求的值；（3）若函数在区间上是单调递增函数，求正数的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3).【解析】试题分析：（1）利用数量积的计算得到，再利用二倍角公式和辅助角公式得到，从而可求在上的最值．（2）等价于，把变形为，利用两角差的余弦可以得到．（3）先求出单调增区间为，因此存在，使得，从而，根据不等式的形式和可得，因此．解析：（1），因为，所以，所以，所以．（2）因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以．（3），令得，因为函数在上是单调递增函数，所以存在，使得，所以有即，因为所以又因为，所以, 所以从而有，所以，所以（另解：由，得.因为，所以，所以或，解得或.又，所以）点睛：对于函数，如果它在区间上单调，那么基本的处理方法是先求出单调区间的一般形式，利用是单调区间的子集得到满足的不等式组，利用和不等组有解确定整数的取值即可．20. 已知函数．（1）当时，函数恰有两个不同的零点，求实数的值；（2）当时，① 若对于任意，恒有，求的取值范围；② 若，求函数在区间上的最大值．【答案】(1)；(2)①.；②.【解析】试题分析：（1）当时，考虑的解，化简后得到或者，它们共有两个不同的零点，所以必有解，从而．（2）在上恒成立等价于在上恒成立，因此考虑在上的最小值和在上的最大值即可得到的取值范围．（3）可化为，则当或时，在上递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，两类情形都可以求得函数的最大值．当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，因此，比较的大小即可得到的表达式．解析：（1）当时，，由解得或，由解得或．因为恰有两个不同的零点且，所以，或，所以．（2）当时，，①因为对于任意，恒有，即，即，因为时，，所以，即恒有令，当时，，，所以，所以，所以．②当时，，这时在上单调递增，此时；当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以，，而，当时，;当时，；当时，，这时在上单调递增，在上单调递减，此时；当时，，在上单调递增，此时；综上所述，时，点睛：（1）若对任意的恒成立，则有对任意的恒成立．（2）对于含有绝对值符号的函数，我们可以考虑先去掉绝对值符号，把它转化分段函数且不同范围上的解析式是熟悉的形式（如二次函数等），然后依据对称轴和分段点的大小关系分类讨论即可，最后再根据单调性的变化进一步细分，从而完成问题的讨论．- 11 -。

江苏省苏州市2017-2018学年高三上学期期中调研考试数学试题 Word版含答案

2017-2018学年第一学期高三期中调研试卷数学注意事项：1．本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上，在本试卷上答题无效． 3．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内．一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸．．．相应的位置)1．已知集合{02}A x x =≤≤，{11}B x x =-<≤，则A B =I ▲ ． 2．若2:,10p x x ax ∃∈++<R 使，则p ⌝： ▲ ．3．函数y =的定义域为 ▲ ． 4．曲线cos y x x =-在点(,)22ππ处的切线的斜率为 ▲ ．5．已知4tan 3α=-，则tan()4πα-= ▲ ．6．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且满足：194a a =，则数列2{log }n a 的前9项之和为 ▲ ．7．已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()8x f x =，则19()3f -= ▲ ．8．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222a b bc -=，sin 3sin C B =，则A = ▲ ．9．已知函数221,0(),0x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩≤，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．10．若函数cos21tan (0)sin 22y θπθθθ+=+<<，则函数y 的最小值为 ▲ ．11．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>，将函数()y f x =的图象向右平移23π个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于 ▲ ．12．已知数列{}n a 满足：111(1),1n n n a a a a ++=-=，数列{}n b 满足：1n n n b a a +=⋅，则数列{}n b的前10项的和10S = ▲ ．13．设ABC ∆的三个内角A ,B ,C 所对应的边为a ,b ,c ，若A ,B ,C 依次成等差数列且222a c kb +=，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 14．已知函数2()()x af x x a -=+，若对于定义域内的任意1x ，总存在2x 使得21()()f x f x <，则满足条件的实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题(本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本题满分14分)已知函数()33()x xf x λλ-=+⋅∈R（1）若()f x 为奇函数，求λ的值和此时不等式()1f x >的解集；（2）若不等式()6f x ≤对[0,2]x ∈恒成立，求实数λ的取值范围．16．(本题满分14分)已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12l o g n n n b a a =，12n n S b b b =+++ ，求使1262n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值．17．(本题满分15分) 已知函数()2sin()cos 3f x x x π=+⋅．（1）若02x π≤≤，求函数()f x 的值域；（2）设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若A 为锐角且()f A =2b =，3c =，求cos()A B -的值．18．(本题满分15分)如图，有一块平行四边形绿地ABCD ，经测量2BC =百米，1CD =百米，120BCD ∠= ，拟过线段BC 上一点E 设计一条直路EF （点F 在四边形ABCD 的边上，不计路的宽度），EF 将绿地分成两部分，且右边面积是左边面积的3倍，设EC x =百米，EF y =百米．（1）当点F 与点D 重合时，试确定点E 的位置；（2）试求x 的值，使路EF 的长度y 最短．B19． (本题满分16分)已知数列{}n a 的前n 项和为n A ，对任意*n ∈N 满足1112n n A A n n +-=+，且11a =，数列{}n b 满足2120(*)n n n b b b n ++-+=∈N ，35b =，其前9项和为63．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令n nn n nb ac a b =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意正整数n ，都有2n T n a +≥，求实数a 的取值范围；（3）将数列{},{}n n a b 的项按照“当n 为奇数时，n a 放在前面；当n 为偶数时，n b 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：11223344556,,,,,,,,,,,a b b a a b b a a b b ⋅⋅⋅，求这个新数列的前n 项和n S ．20． (本题满分16分)已知32()31(0)f x ax x a =-+>，定义{}(),()()()max (),()(),()()f x f x g x h x f x g x g x f x g x ⎧==⎨<⎩≥．（1）求函数()f x 的极值；（2）若()()g x xf x '=，且存在[1,2]x ∈使()()h x f x =，求实数a 的取值范围；（3）若()ln g x x =，试讨论函数()h x (0)x >的零点个数．2016—2017学年第一学期高三期中调研试卷数学 (附加) 2016．11注意事项：1．本试卷共2页．满分40分，考试时间30分钟． 2．请在答题卡上的指定位置作答，在本试卷上作答无效．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试证号填写在答题卡的规定位置． 21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(几何证明选讲) （本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ,CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ．求证：2AB BE BD AE AC =⋅-⋅B ．(矩阵与变换) （本小题满分10分）已知二阶矩阵M 有特征值8λ=及对应的一个特征向量111e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，并且矩阵M 将点(1,3)-变换为(0,8)．（1）求矩阵M ；（2）求曲线320x y +-=在M 的作用下的新曲线方程．C ．(极坐标与参数方程) （本小题满分10分）已知平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos 2(,0)sin 2x r r y r θθθ=+⎧>⎨=+⎩为参数．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为πsin()104θ++=．（1）求圆C 的圆心的极坐标；（2）当圆C 与直线l 有公共点时，求r 的取值范围．D ．(不等式选讲)（本小题满分10分）已知,,,a b c d 都是正实数，且1a b c d +++=，求证:2222111115a b c d a b c d +++++++≥．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试，共设置了A 、B 、C 三个测试项目．假定张某通过项目A 的概率为12，通过项目B 、C 的概率均为a (01)a <<，且这三个测试项目能否通过相互独立．（1）用随机变量X 表示张某在测试中通过的项目个数，求X 的概率分布和数学期望()E X （用a 表示）；（2）若张某通过一个项目的概率最大，求实数a 的取值范围．23．(本小题满分10分)在如图所示的四棱锥S ABCD -中，SA ⊥底面A B C D ，90DAB ABC ︒∠=∠=，SA AB BC a ===，3AD a =(0)a >，E 为线段BS 上的一个动点．（1）证明：DE 和SC 不可能垂直；（2）当点E 为线段BS 的三等分点（靠近B ）时，求二面角S CD E --的余弦值．DBC2016—2017学年第一学期高三期中调研试卷数学参考答案一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．{|0}x x ≤≤1 2．2,10x x ax ∀∈++R 使≥ 3．(2,1]- 4．2 5．7 6．9 7．2- 8．3π9．1(,0]4-10．2 11．3 12．101113．(1,2] 14．0a ≥ 二、解答题(本大题共6个小题，共90分) 15．(本题满分14分)解：（1）函数()33x x f x λ-=+⋅的定义域为R ．∵()f x 为奇函数，∴()()0f x f x -+=对x ∀∈R 恒成立，即3333(1)(33)0xx x x x x λλλ---+⋅++⋅=++=对x ∀∈R 恒成立，∴1λ=-．．．．．．．．．．．3分此时()331x x f x -=->即2(3)310x x -->，解得33)x x ><舍去，．．．．．．．．．．6分∴解集为3{|log x x >．．．．．．．．．．．7分（2）由()6f x ≤得336x x λ-+⋅≤，即363x xλ+≤，令3[1,9]x t =∈，原问题等价于6t tλ+≤对[1,9]t ∈恒成立，亦即26t t λ-+≤对[1,9]t ∈恒成立，．．．．．．．．．．．10分令2()6,[1,9]g t t t t =-+∈，∵()g t 在[1,3]上单调递增，在[3,9]上单调递减，∴当9t =时，()g t 有最小值(9)27g =-，∴27λ-≤．．．．．．．．．．14分 16．(本题满分14分)解：（1）∵32a +是24,a a 的等差中项，∴3242(2)a a a +=+，．．．．．．．．．．1分代入23428a a a ++=，可得38a =，∴2420a a +=，∴21311820a q a q a q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解之得122a q =⎧⎨=⎩或13212a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，．．．．．．．．4分∵1q >，∴122a q =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =．．．．．．．．．．．6分（2）∵1122log 2log 22n n n n n n b a a n ===-⋅，．．．．．．．．．．7分∴2(12222)n n S n =-⨯+⨯++⋅ ， ……①)22)1(2221(S 2132+⋅+⋅-++⨯+⨯-=n n n n n ， ……②②-①得23122222n n n S n +=++++-⋅1112(12)222212n n n n n n +++-=-⋅=--⋅-．．．．．．．．．．．12分∵1262n n S n ++⋅>，∴12262n +->，∴16n +>，5n >，．．．．．．．．．．13分∴使1262n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值为6．．．．．．．．．．．14分17．(本题满分15分)解：（1）()(sin )cos f x x x x =x x x 2cos 3cos sin +=1sin 222x x =++sin(2)3x π=++ ．．．．．．．．．2分由02x π≤≤得，42333x πππ+≤≤，sin(2)13x π+≤，．．．．．．．．．4分∴0sin(2)13x π++≤，即函数)(x f 的值域为[0,1+．．．．．．6分（2）由()sin(2)3f A A π=+=得sin(2)03A π+=，又由02A π<<，∴42333A πππ<+<，∴23A ππ+=，3A π=．．．．．．．．．8分在ABC ∆中，由余弦定理2222cos =7a b c bc A =+-，得7=a ．．．．．．．．10分由正弦定理sin a bA B=，得sin sin 7b A B a ==，．．．．．．12分∵b a <，∴B A <，∴cos B =∴cos()cos cos sin sin A B A B A B -=+12==．．．．．15分18．(本题满分15分)解：（1）平行四边形ABCD 的面积为1212sin1202ABCD S =⨯⨯⨯当点F 与点D 重合时，1sin1202CFE S CE CD ∆=⋅⋅= ，∵14CFE ABCD S S ∆= ，1x =（百米），∴E 是BC 的中点．．．．．3分（2）①当点F 在CD 上时，∵011sin12024CFE ABCD S CE CF S ∆=⋅⋅== 1CF x=，．．．．．．．．4分在三角形CDE 中，22202cos120EF CE CF CE CF =+-⋅⋅，∴y =1x =时取等号，此时E 在BC 中点处且F 与D 重合，符合题意；．．．．．．．．．．．．．．．8分②当点F 在DA 上时，∵()124ABCD CEFD x FD S S +=== 梯形，∴1DF x =-，．．．．．．．．．．9分Ⅰ．当CE DF <时，过E 作EG ∥CD 交DA 于G ，在EGF ∆中，1,12,60EG GF x EGF ==-∠= ，由余弦定理得y ； Ⅱ．当CE DF ≥，过E 作EG ∥CD 交DA 于G ，在EGF ∆中，1,21,120EG GF x EGF ==-∠= ，由余弦定理得y ；由Ⅰ、Ⅱ可得y ．．．．．．．．．．．．．．．13分∴当14x =时，min y =，此时E 在BC 的八等分点（靠近C ）处且34DF =（百米），符合题意；．．．．14分∴由①②可知，当14x =（百米）时，路EF ．．．．15分19．(本题满分16分) 解：（1）∵1112n n A A n n +-=+，∴数列n A n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列， ∴1111(1)222n A A n n n =+-⨯=+，即*(1)()2n n n A n +=∈N ， ∴*11(1)(2)(1)1()22n n n n n n n a A A n n +++++=-=-=+∈N ，又11a =，∴*()n a n n =∈N ．．．．．．．．．．．．．．3分∵2120n n n b b b ++-+=，∴ 数列{}n b 是等差数列，设{}n b 的前n 项和为n B ，∵3799()632b b B +==且35b =，∴79b =，∴{}n b 的公差为7395=17373b b --=--，*2()n b n n =+∈N ．．．．．．．5分（2）由（1）知21122()22n n n n n b a n n c a b n n n n +=+=+=+-++， ∴12n n T c c c =+++ 1111122(1)3242n n n =+-+-++-+ 11122(1)212n n n =++--++11232()12n n n =+-+++，∴11232()12n T n n n -=-+++．．．．．．．．．．．．．．．．7分设1132()12n R n n =-+++，则11142()013(1)(3)n n R R n n n n +-=-=>++++， ∴数列{}n R 为递增数列，．．．．．．．．．．．．．9分 ∴min 14()3n R R ==， ∵对任意正整数n ，都有2n T n a -≥恒成立，∴43a ≤．．．．．．．．．．．．．．10分（3）数列{}n a 的前n 项和(1)2n n n A +=，数列{}n b 的前n 项和(5)2n n n B +=． ①当*2()N n k k =∈时，2(1)(5)322n k k k k k k S A B k k ++=+=+=+；②当*41()N n k k =+∈时，2+12(21)(22)2(25)22n k k k k k k S A B +++=+=+2481k k =++，特别地，当1n =时，11S =也符合上式； ③当*41()N n k k =-∈时，2212(21)22(25)4422n k k k k k k S A B k k --+=+=+=+．综上：22213, 2 4263, 43465, 414n n n n k n n S n k n n n k ⎧+=⎪⎪+-⎪==-⎨⎪⎪++=-⎪⎩，*k ∈N ．．．．．．．．．．．．16分20．(本题满分16分)解：（1）∵函数32()31f x ax x =-+，∴2'()363(2)f x ax x x ax =-=-．．．．．．．．．．．1分令'()0f x =,得10x =或22x =，∵0a >，∴12x x <，列表如下：∴()f x 的极大值为(0)1f =，极小值为22228124()11f a a a a =-+=-．．．．．．．．3分（2）2363)()(x ax x f x x g -='=，∵存在[1,2]x ∈使()()h x f x =，∴()()f x g x ≥在[1,2]x ∈上有解，即32323136ax x ax x -+-≥在[1,2]x ∈上有解，即不等式3132a x x+≤在[1,2]x ∈上有解，．．．．．．．．．．．．．4分设233[1,32]131()x y x x x x +∈=+=，∵2433'0x y x --=<对[1,2]x ∈恒成立， ∴313y x x =+在[1,2]x ∈上单调递减，∴当1x =时，313y x x=+的最大值为4，∴24a ≤，即2a ≤．．．．．．．．．．7分（3）由（1）知，()f x 在(0,)+∞上的最小值为224()1f a a =-， ①当2410a ->，即2a >时，()0f x >在(0,)+∞上恒成立， ∴()max{(),()}h x f x g x =在(0,)+∞上无零点．．．．．．．．．．8分②当2410a -=，即2a =时，min ()(1)0f x f ==，又(1)0g =， ∴()max{(),()}h x f x g x =在(0,)+∞上有一个零点．．．．．．．．．．9分③当2410a-<，即02a <<时，设32()()()31ln x f x g x ax x x ϕ=-=-+-(01)x <<，∵211'()366(1)0x ax x x x x x ϕ=--<--<，∴()x ϕ在(0,1)上单调递减，又232123(1)20,()0a e a e e e ϕϕ-=-<=+>，∴存在唯一的01(,1)x e∈，使得0()0x ϕ=． Ⅰ．当00x x <≤时，∵0()()()()0x f x g x x ϕϕ=-=≥，∴()()h x f x =且()h x 为减函数，又0000()()()ln ln10,(0)10h x f x g x x f ===<==>，∴()h x 在0(0,)x 上有一个零点； Ⅱ．当0x x >时，∵0()()()()0x f x g x x ϕϕ=-<=，∴()()h x g x =且()h x 为增函数， ∵(1)0g =，∴()h x 在0(,)x +∞上有一个零点；从而()max{(),()}h x f x g x =在(0,)+∞上有两个零点．．．．．．．．．．15分综上所述，当02a <<时，()h x 有两个零点；当2a =时，()h x 有一个零点；当2a >时，()h x 有无零点．．．．．．．．．．．16分21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(几何证明选讲，本小题满分10分)证明：连接AD ，∵AB 为圆的直径，∴AD BD ⊥，又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆，∴BD BE BA BF ⋅=⋅．．．．．．．．．．．．．．5分又ABC ∆∽AEF ∆， ∴AB ACAE AF=，即AB AF AE AC ⋅=⋅， ∴2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=．．．．．．10分 B ．(矩阵与变换，本小题满分10分)解:（1）设ab M cd ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由11811a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦及1038a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得883038a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩，解得6244a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，∴6244M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）设原曲线上任一点(,)P x y 在M 作用下对应点'(',')P x y ，则'6244'x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即'62'44x x y y x y =+⎧⎨=+⎩，解之得2''82'3'8x y x x y y -⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩，代入320x y +-=得'2'40x y -+=，即曲线320x y +-=在M 的作用下的新曲线方程为240x y -+=．．．．．．．10分 C ．(极坐标与参数方程，本小题满分10分)解：（1）由cos 2:sin 2x r C y r θθ=+⎧⎨=+⎩得222(2)(2)x y r -+-=，∴曲线C 是以(2,2)为圆心，r 为半径的圆，∴圆心的极坐标为)4π．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由πsin()104l θ++=得:10l x y ++=，从而圆心(2,2)到直线l的距离为d ==， ∵圆C 与直线l 有公共点，∴d r ≤，即r ．．．．．．．．．．10分D ．(不等式选讲，本小题满分10分)证明：∵2222[(1)(1)(1)(1)]()1111a b c d a b c d a b c d++++++++++++++2+≥ 2()1a b c d =+++=，．．．．．．．．．．．．5分又(1)(1)(1)(1)5a b c d +++++++=，∴2222111115a b c d a b c d +++++++≥．．．．．．．．．．．．．10分22．(本题满分10分)解：（1）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3．022211(0)(1)C (1)(1)22P X a a ==--=-； 021222111(1)C (1)(1)C (1)(1)222P X a a a a ==-+--=-； 122222111(2)C (1)(1)C (2)222P X a a a a a ==-+-=-； 222211(3)C 22P X a a ===．从而X 的分布列为X 的数学期望为222211141()0(1)1(1)2(2)322222a a E X a a a a +=⨯-+⨯-+⨯-+⨯=．．．．．．．5分（2）221(1)(0)[(1)(1)](1)2P X P X a a a a =-==---=-，22112(1)(2)[(1)(2)]22aP X P X a a a -=-==---=， 222112(1)(3)[(1)]22a P X P X a a -=-==--=．由2(1)012021202a a aa ⎧⎪-⎪-⎪⎨⎪⎪-⎪⎩≥≥≥和01a <<，得102a <≤,即a 的取值范围是1(0,]2．．．．．10分23．(本题满分10分)解：（1）∵SA ⊥底面ABCD ，90DAB ︒∠=，∴AB 、AD 、AS 两两垂直．以A 为原点，AB 、AD 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（如图），．．．．．．．．．．．．．．．1分则(0,0,)S a ，(,,0)C a a ，(0,3,0)D a (0)a >，∵SA AB a ==且SA AB ⊥，∴设(,0,)E x a x -其中0x a ≤≤，∴(,3,)DE x a a x =-- ，(,,)SC a a a =-，．．．．．．．．．．．．．．．．2分假设DE 和SC 垂直，则0DE SC ⋅=，即2223240ax a a ax ax a --+=-=，解得2x a =，这与0x a ≤≤矛盾，假设不成立，所以DE 和SC 不可能垂直．．．．．．．．．4分（2）∵E 为线段BS 的三等分点（靠近B ），∴21(,0,)33E a a ．设平面SCD 的一个法向量是1111(,,)n x y z = ，平面CDE 的一个法向量是2222(,,)n x y z =， ∵(,2,0)CD a a =- ，(0,3,)SD a a =- ，∴110n CD n SD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11112030ax ay ay az -+=⎧⎨-=⎩，即111123x y z y =⎧⎨=⎩，取1(2,1,3)n = ，．．．．．．．．．．．．6分∵(,2,0)CD a a =- ，21(,3,)33DE a a a =- ，∴2200n CD n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222220213033ax ay ax ay az -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，即222225x y z y =⎧⎨=⎩，取2(2,1,5)n = ，．．．．．．．．．．．．8分设二面角S CD E--的平面角大小为θ，由图可知θ为锐角，∴121212cos|cos,|||||n nn nn nθ⋅=<>==⋅，即二面角S-CD-E．．．．．．．．．．．．．10分。

2017-2018年江苏省苏州市新区一中高一上学期数学期中试卷和解析

2017-2018学年江苏省苏州市新区一中高一（上）期中数学试卷一、填空题本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填写在答题卷相应位置上.1．（5分）A={1，2}的子集共有个．．2．（5分）设U={1，2，3，4，5}，若A∩B={2}，（∁U A）∩B={4}，（∁U B）∩A={3}则∁U（A∪B）=．3．（5分）幂函数f（x）图象过点，则f（4）的值为．4．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（0）]=．5．（5分）函数y=的定义域为．6．（5分）函数y=a x﹣2+1（a＞0，a≠0）不论a为何值，恒过定点为．7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，若f（1）＜f（x），则x的取值范围．8．（5分）已知，用a，b的代数式表示log1435=．9．（5分）设A⊆N*，且A≠∅，从A到Z的两个函数分别为f（x）=x2+1，g（x）=3x+5．若对于A中的任意一个x，都有f（x）=g（x），则集合A=．10．（5分）已知的大小关系为．11．（5分）下列结论中：①定义在R上的函数f（x）在区间（﹣∞，0]上是增函数，在区间[0，+∞）也是增函数，则函数f（x）在R上是增函数；②若f（2）=f（﹣2），则函数f（x）不是奇函数；③函数y=x﹣0.5是（0，1）上的减函数；④若函数的对应法则和值域相同，则定义域也相同；写出上述所有正确结论的序号：．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若点P（1，1），点Q在一次函数的图象上运动，则使d（P，Q）取得最小值时点Q的坐标是．13．（5分）已知函数f（x）=若函数g（x）=f（x）﹣x有三个不同的零点，则实数m的取值范围是．14．（5分）设实数a≥1，若函数f（x）=x|x﹣a|+2﹣a对任意的实数x∈[2，3]恒大于等于0，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（14分）已知集合S={x|x2﹣px+q=0}，T={x|x2﹣（p+2）x+6=0}，且S∩T={2}（1）求log 9（p+q﹣2）的值；（2）求S∪T．16．（14分）（1）（2）lg2lg50+lg5lg20﹣2lg2lg5﹣e ln2．17．（14分）（1）已知，求的值（2）已知函数f（x）满足f（3x）=x，求f（5）18．（16分）已知函数f（x）是实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log3x+x ﹣4．（Ⅰ）求f（﹣1）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的表达式；（Ⅲ）求证：方程f（x）=0在区间（0，+∞）上有唯一解．19．（16分）根据市场调查，某种新产品投放市场的30天内，每件销售价格P （元）与时间t （天t∈N*）的关系满足下图，日销量Q （件）与时间t （天）之间的关系是Q=﹣t+50（t∈N*）．（Ⅰ）写出该产品每件销售价格P与时间t的函数关系式；（Ⅱ）在这30天内，哪一天的日销售金额最大？（日销量金额=每件产品销售价格×日销量）20．（16分）已知函数（a＞0，a≠1）是奇函数．（Ⅰ）当a＞1时，判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；（Ⅱ）当x∈（n2，a﹣2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n 的值；（Ⅲ）令函数g（x）=﹣ax2+8（x﹣1）a f（x）﹣5，a≥8时，存在最大实数t，使得x∈（1，t]时，﹣5≤g（x）≤5恒成立，请写出t关于a的表达式．2017-2018学年江苏省苏州市新区一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填写在答题卷相应位置上.1．（5分）A={1，2}的子集共有4个．．【解答】解：A={1，2}的子集共有：22=4．故答案为：4．2．（5分）设U={1，2，3，4，5}，若A∩B={2}，（∁U A）∩B={4}，（∁U B）∩A={3}则∁U（A∪B）={1，5} ．【解答】解：U={1，2，3，4，5}，若A∩B={2}，（∁U A）∩B={4}，∴B={2，4}，又（∁U B）∩A={3}，∴A={2，3}，∴A∪B={2，3，4}，∴∁U（A∪B）={1，5}．故答案为：{1，5}．3．（5分）幂函数f（x）图象过点，则f（4）的值为2．【解答】解：设幂函数f（x）=x a∵f（x）的图象过点（2，）∴2a==∴a=∴f（x）=∴f（4）=故答案为：24．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（0）]=0．【解答】解：∵函数，则f（0）=30=1，∴f[f（0）]=f（1）=log21=0，故答案为0．5．（5分）函数y=的定义域为．【解答】解：函数y=有意义，可得，即为0＜5x﹣3≤1，解得＜x≤，则定义域为．故答案为：．6．（5分）函数y=a x﹣2+1（a＞0，a≠0）不论a为何值，恒过定点为（2，2）．【解答】解：由于函数y=a x过定点（0，1），令x=2可得y=a x﹣2+1=2，故函数y=a x﹣2+1（a＞0，a≠0）不论a为何值，恒过定点（2，2），故答案为（2，2）．7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，若f（1）＜f（x），则x的取值范围（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，∴不等式f（1）＜f（x）等价为，f（1）＜f（|x|），即|x|＞1，得x＞1或x＜﹣1，即不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）8．（5分）已知，用a，b的代数式表示log1435=．【解答】解：∵，∴b=log25，∴log1435===．故答案为：．9．（5分）设A⊆N*，且A≠∅，从A到Z的两个函数分别为f（x）=x2+1，g（x）=3x+5．若对于A中的任意一个x，都有f（x）=g（x），则集合A={4} ．【解答】解：令x2+1=3x+5，则x=﹣1，或x=4，又由A⊆N*，且A≠∅，故A={4}，故答案为：{4}10．（5分）已知的大小关系为a＜b＜c．【解答】解：∵0＜a=0.32＜0.30=1，，，∴a＜b＜c．故答案为：a＜b＜c．11．（5分）下列结论中：①定义在R上的函数f（x）在区间（﹣∞，0]上是增函数，在区间[0，+∞）也是增函数，则函数f（x）在R上是增函数；②若f（2）=f（﹣2），则函数f（x）不是奇函数；③函数y=x﹣0.5是（0，1）上的减函数；④若函数的对应法则和值域相同，则定义域也相同；写出上述所有正确结论的序号：①③．【解答】解：对于①，函数f（x）在区间（﹣∞，0]上是增函数，则任取x1∈（﹣∞，0]，都有f（x1）≤f（0）；又f（x）在区间[0，+∞）也是增函数，则任取x2∈[0，+∞），都有f（0）≤f（x2）；∴任取x1＜x2，x1、x2∈R，都有f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在R上是增函数，①正确；对于②，函数y=0（x∈R）既是奇函数又是偶函数，且f（2）=f（﹣2），∴②错误；对于③，由﹣0.5＜0，知幂函数y=x﹣0.5，是（0，1）上的减函数，③正确；对于④，如函数y=0（x∈R），当定义域不同时，函数对应法则和值域可以相同，∴④错误；综上，正确结论的序号是①③．故答案为：①③．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若点P（1，1），点Q在一次函数的图象上运动，则使d（P，Q）取得最小值时点Q的坐标是（0，1）．【解答】解：设Q（x，1+x），由题意d（P，Q）=|1﹣x|+|x|=（|x﹣1|+|x|）+|x|，当且仅当x=0时，|x﹣1|+|x|取得最小值1，|x|取得最小值0，即d（P，Q）取得最小值1，此时Q（0，1）．故答案为：（0，1）．13．（5分）已知函数f（x）=若函数g（x）=f（x）﹣x有三个不同的零点，则实数m的取值范围是[﹣1，2）．【解答】解：由题意可得函数f（x）=若它的图象和直线y=x有3个不同的交点，即直线y=x和直线y=2有交点，且y=x2+4x+2的图象和直线y=x有两个交点，即必须使函数y=2﹣x有零点，并且函数y=x2+3x+2=（x+1）（x+2）有两个零点，从而得到m＜2并且m≥﹣1，故答案为：[﹣1，2）．14．（5分）设实数a≥1，若函数f（x）=x|x﹣a|+2﹣a对任意的实数x∈[2，3]恒大于等于0，则实数a的取值范围是[1，2]∪[3.5，+∞）．【解答】解：实数a≥1，若函数f（x）=x|x﹣a|+2﹣a对任意的实数x∈[2，3]恒大于等于0，即为f（x）的最小值大于等于0．由抛物线，可得可得最小值为顶点处或端点处取得，若f（2）取得最小，且为2|2﹣a|+2﹣a≥0，解得1≤a≤2，此时抛物线f（x）=x（x﹣a）+2﹣a开口向上，区间[2，3]在对称轴x=的右边，为递增区间，成立；a＞2时，＞1，f（2）不为最小值；若f（3）取得最小，且为3|3﹣a|+2﹣a≥0，解得a≥3.5，此时抛物线f（x）=x（a﹣x）+2﹣a开口向下，最小值为f（2）或f（3），f（2）=2|2﹣a|+2﹣a≥0恒成立，a≥3.5成立；而2＜a＜3.5，f（2）=2|2﹣a|+2﹣a≥0恒成立；f（3）=3|3﹣a|+2﹣a，当a=3时，f（3）＜0；f（）=•+2﹣a=＞0，f（x）的最小值不恒大于等于0，综上可得a的取值范围是[1，2]∪[3.5，+∞）．故答案为：[1，2]∪[3.5，+∞）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（14分）已知集合S={x|x2﹣px+q=0}，T={x|x2﹣（p+2）x+6=0}，且S∩T={2}（1）求log9（p+q﹣2）的值；（2）求S∪T．【解答】解：（1）集合S={x|x2﹣px+q=0}，T={x|x2﹣（p+2）x+6=0}，且S∩T={2}，∴，解得p=3，q=2；∴log9（p+q﹣2）=log93=；…7分（2）由（1）知，集合S={x|x2﹣3x+2=0}={1，2}，T={x|x2﹣5x+6=0}={2，3}，∴S∪T={ 1，2，3}．…14分16．（14分）（1）（2）lg2lg50+lg5lg20﹣2lg2lg5﹣e ln2．【解答】解：（1）=﹣1+==．（2）lg2lg50+lg5lg20﹣2lg2lg5﹣e ln2=lg2（lg5+1）+lg5（lg2+1）﹣2lg2lg5﹣2=lg2lg5+lg2+lg5lg2+lg5﹣2lg2lg5﹣2=lg+lg5﹣2=1﹣2=﹣1．17．（14分）（1）已知，求的值（2）已知函数f（x）满足f（3x）=x，求f（5）【解答】解：（1）∵，∴a+a﹣1+2=9，∴a+a﹣1=7，（a﹣a）2=a+a﹣1﹣2=7﹣2=5，∴=，∴==．…7分（2）f（x）满足f（3x）=x，设3x=t，则x=log3t，∴f（t）=log3t，∴f（5）=log35．…14分18．（16分）已知函数f（x）是实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log3x+x ﹣4．（Ⅰ）求f（﹣1）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的表达式；（Ⅲ）求证：方程f（x）=0在区间（0，+∞）上有唯一解．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）是实数集R上的奇函数．所以f（﹣1）=﹣f（1）．因为当x＞0时，f（x）=log3x+x﹣4，所以f（1）=log31+1﹣4=﹣3．所以f（﹣1）=﹣f（1）=3．…..（3分）（Ⅱ）当x=0时，f（0）=f（﹣0）=﹣f（0），解得f（0）=0；…..（4分）当x＜0时，﹣x＞0，所以f（﹣x）=log3（﹣x）+（﹣x）﹣4=log3（﹣x）﹣x﹣4．所以﹣f（x）=log3（﹣x）﹣x﹣4，从而f（x）=﹣log3（﹣x）+x+4．…..（6分）所以f（x）=…..（8分）（Ⅲ）因为f（3）=log33+3﹣4=0，所以方程f（x）=0在区间（0，+∞）上有解x=3．…..（10分）又方程f（x）=0可化为log3x=4﹣x．设函数g（x）=log3x，h（x）=4﹣x．由于g（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数…..（12分），h（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数，…..（14分）所以，方程g（x）=h（x）在区间（0，+∞）上只有一个解．所以，方程f（x）=0在区间（0，+∞）上有唯一解．…..（16分）（指出解且直接指出f（x）单调性给满分）19．（16分）根据市场调查，某种新产品投放市场的30天内，每件销售价格P （元）与时间t （天t∈N*）的关系满足下图，日销量Q （件）与时间t （天）之间的关系是Q=﹣t+50（t∈N*）．（Ⅰ）写出该产品每件销售价格P与时间t的函数关系式；（Ⅱ）在这30天内，哪一天的日销售金额最大？（日销量金额=每件产品销售价格×日销量）【解答】解：（Ⅰ）根据图象，每件销售价格P与时间t的函数关系为：P=．…..（4分）（Ⅱ）设日销售金额y（元），则…..（6分）=…..（8分）若0＜t≤20，t∈N•时，y=﹣t2+20t+1500=﹣（t﹣10）2+1600，∴当t=10时，y max=1600；…..（11分）若20＜t…30，t∈N*时，y=﹣50t+2500是减函数，…..（14分）∴y＜﹣50×20+2500=1500，因此，这种产品在第10天的日销售金额最大，最大日销售金额是1600元．…..（16分）20．（16分）已知函数（a＞0，a≠1）是奇函数．（Ⅰ）当a＞1时，判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；（Ⅱ）当x∈（n2，a﹣2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n 的值；（Ⅲ）令函数g（x）=﹣ax2+8（x﹣1）a f（x）﹣5，a≥8时，存在最大实数t，使得x∈（1，t]时，﹣5≤g（x）≤5恒成立，请写出t关于a的表达式．【解答】解：（Ⅰ）由已知条件得f（﹣x）+f（x）=0对定义域中的x均成立．∴．即∴1﹣x2=1﹣m2x2，对定义域中的x均成立，即（m2﹣1）x2=0，∴m2=1当m=﹣1时，f（x）不合题意舍去，当m=1时f（x）是奇函数，∴m=1，，设，∴当x1＞x2＞1时，，∴t1＜t2．当a＞1时，log a t1＜log a t2，即f（x1）＜f（x2），∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．（Ⅱ）∵函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），∴①n2＜a﹣2≤﹣1，∴无解②1≤n2＜a﹣2，∴a＞3．∴f （x ）在（n 2，a ﹣2）为减函数，要使f （x ）的值域为（1，+∞），则，∴a=2+，n=±1．（Ⅲ），则函数y=g （x ）的对称轴， ∵a ≥8，∴．∴函数g （x ）在x ∈（1，t ]上单调减．则1＜x ≤t ，有g （t ）≤g （x ）＜g （1），∵g （1）=11﹣a ，又a ≥8，∴g （1）≤3＜5…..（14分） ∵t 是实数，使得x ∈（1，t ]上﹣5≤g （x ）≤5恒成立， ∴g （t ）=﹣5， ∴at 2﹣8t ﹣8=0．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DFE-a1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°DEa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：x-aa-a运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。

2018-2019学年江苏省苏州市高一(上)期中数学试卷(解析版)

2018-2019学年江苏省苏州市高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共30.0分） 1. 关于以下集合关系表示不正确的是（）A. ⌀∈{⌀}B. ⌀⊆{⌀}C. ⌀∈N ∗D. ⌀⊆N ∗ 2. 不等式log 2x ＜12的解集是（）A. {x |0<x < 22} B. {x |0<x < 2} C. {x |x > 2} D. {x |x > 22} 3. 若函数f （x ）的定义域为（1，2），则f （x 2）的定义域为（）A. {x |1<x <4}B. {x |1<x <C. {x |− 2<x <−1或1<x < 2}D. {x |1<x <2}4. 设函数f （x ）= 2x ,x ≥13x−b ,x <1，若f （f （56））=4，则b =（） A. 1B. 78C. 34D. 125. 设函数f （x ）=ln （2+x ）-ln （2-x ），则f （x ）是（） A. 奇函数，且在(0,2)上是增函数 B. 奇函数，且在(0,2)上是减函数 C. 偶函数，且在(0,2)上是增函数 D. 偶函数，且在(0,2)上是减函数6. 对二次函数f （x ）=ax 2+bx +c （a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（） A. −1是f (x )的零点 B. 1是f (x )的极值点 C. 3是f (x )的极值 D. 点(2,8)在曲线y =f (x )上二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）7. 已知全集U ={-1，0，2，4}，集合A ={0，2}，则∁U A =______． 8. 求值：3−827=______． 9. 已知函数f （x ）=(12)x (x ≥3)f (x +1)(x ＜3)，则f （log 23）的值为______． 10. 已知偶函数f （x ）在[0，2]内单调递减，若a =f (−1)，b =f (log 0.514)，c =f (lg 0.5)，则a ，b ，c 之间的大小关系为______．（从小到大顺序）11.函数y =log 3（-x 2+x +6）的单调递减区间是______．12. 函数f （x ）=ax |2x +a |在[1，2]上是单调减函数，则实数a 的取值范围为______．13.已知f （x ）为R 上增函数，且对任意x ∈R ，都有f [f （x ）-3x]=4，则f （2）=______．14. 已知函数f （x ）= x 2−x +3，x ≤1x +2x ，x ＞1，设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥|x2+a |在R 上恒成立，则a 的取值范围是______三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. （Ⅰ）已知a +a -1=3，求a 3+a −3a 4−a −4的值；（Ⅱ）化简计算：(lg 5)2+lg 2×lg 50(lg 2)+3lg 2×lg 5+(lg 5)．16.记集合M={x|y=3−x+x−1}，集合N={y|y=x2-2x+m}．（1）若m=3，求M∪N；（2）若M∩N=M，求实数m的取值范围．17.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售岀8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？18.已知函数f（x）=2x．x−1（1）求f（x）的定义域、值域利单调区间；（2）判断并证明函数g（x）=xf（x）在区间（0，1）上的单调性．19.已知二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2-x），其图象开口向上，顶点为A，与x轴交于点B（-1，0）利C点，且△ABC的面积为18．（1）求此二次函数的解析式；（2）若方程f（x）=m（x-1）在区间[0，1]有解，求实数m的取值范围．20.已知a∈R，函数f（x）=log2（1+a）．x（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）-log2[（a-4）x+2a-5]=0的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[1，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值2的差不超过1，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A：∅是{∅}中的元素，所以正确；B：∅，{∅}都是集合，又∅是任何集合的子集，所以正确；D：∅是任何集合的子集，所以正确．故选：C．∅对于集合{∅}来说具有两重性，即是元素本身又是集合，又∅是任何集合的子集，可得结果．本题考查是集合间的包含关系和元素与集合的属于关系，属基础题．2.【答案】B【解析】解：不等式可化为：log2 x＜log2 2，∵2＞1，∴0＜x＜，故选：B．将不等式右边化为以2为底的对数，利用对数函数的单调性可得．本题考查了对数不等的解法，属基础题．3.【答案】C【解析】解：∵f（x）的定义域为（1，2）；∴f（x2）满足1＜x2＜2；∴；∴，或；∴f（x2）的定义域为．故选：C．根据f（x）的定义域为（1，2），即可得出f（x2）需满足1＜x2＜2，解出x的范围即可．考查函数定义域的概念及求法，已知f（x）定义域求f[g（x）]定义域的方法，绝对值不等式的解法．解：函数f（x）=，若f（f（））=4，可得f（）=4，若，即b≤，可得，解得b=．若，即b＞，可得，解得b=＜（舍去）．故选：D．直接利用分段函数以及函数的零点，求解即可．本题考查函数的零点与方程根的关系，函数值的求法，考查分段函数的应用．5.【答案】A【解析】解：因为f（-x）=ln（2-x）-ln（2+x）=-f（x），所以f（x）为奇函数；因为y=ln（2+x）与y=-ln（2-x）在（0，2）内都是增函数，所以f（x）在（0，2）上是增函数．故选：A．由定义知f（x）为奇函数，由复合函数的单调性知f（x）在（0，2）上是增函数．本题考查了奇偶性和单调性的综合，属中档题．6.【答案】A【解析】解：可采取排除法．若A错，则B，C，D正确．即有f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x）=2ax+b，即有f′（1）=0，即2a+b=0，①又f（1）=3，即a+b+c=3②，又f（2）=8，即4a+2b+c=8，③由①②③解得，a=5，b=-10，c=8．符合a为非零整数．若B错，则A，C，D正确，则有a-b+c=0，且4a+2b+c=8，且=3，解得a∈∅，不成立；若C错，则A，B，D正确，则有a-b+c=0，且2a+b=0，且4a+2b+c=8，解得a=-不为非零整数，不成立；若D错，则A，B，C正确，则有a-b+c=0，且2a+b=0，且=3，解得a=-不为非零整数，不成立．故选：A．可采取排除法．分别考虑A，B，C，D中有一个错误，通过解方程求得a，判断是否为非零整数，即可得到结论．本题考查二次函数的极值、零点等概念，主要考查解方程的能力和判断分析的能力，属于中档题．7.【答案】{-1，4}【解析】解：全集U={-1，0，2，4}，集合A={0，2}，则∁U A={-1，4}．故答案为：{-1，4}．直接利用补集的定义，求出A的补集即可．本题考查补集的运算，补集的定义，考查基本知识的应用．8.【答案】-23【解析】解：原式=（-）=（-）=-，故答案为：-根据根式的性质即可化简．本题考查了根式的化简，属于基础题．9.【答案】112【解析】解：∵函数，∴f（log23）=f（log23+1）=f（log23+2）==×=．故答案为：．由函数，知f（log23）=f（log23+1）=f（log23+2）=，由此能求出其结果．本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．10.【答案】b＜a＜c【解析】解：∵偶函数f（x）∴f（lg）=f（lg2），f（-1）=f（1），=2，∵lg2＜1＜2，f（x）在[0，2]内单调递减∴f（lg2）＞f（1）＞f（2）即c＞a＞b故答案为b＜a＜c先根据偶函数的性质将-1，，lg，化到[0，2]内，根据函数f（x）在[0，2]内单调递减，得到函数值的大小即可．本题主要考查了函数的单调性，以及函数的奇偶性和对数的运算性质，属于基础题．11.【答案】[1，3）2【解析】解：根据题意，函数y=log3（-x2+x+6）分解成两部分：f（U）=log2U为外层函数，U=-x2+x+6是内层函数．根据复合函数的单调性，可得若函数y=log2x单调增函数，则函数y=log3（-x2+x+6）单调递减区间就是函数y=-x2+x+6单调递减区间，∴U=-x2+x+6的单调递减区间是：[，+∞），考虑到函数的定义域，-x2+x+6＞0，得x∈（-2，3）．函数y=log3（-x2+x+6）的单调递减区间是：[，3）．故答案为：[，3）．欲求得函数y=log3（-x2+x+6）单调递减区间，将函数y=log3（-x2+x+6）分解成两部分：f（U）=log3U外层函数，U=-x2+x+6是内层函数．外层函数是指数函数，其底数大于1，是增函数，故要求内层函数是减函数时，原函数才为减函数．问题转化为求U=-x2+x+6的单调减区间，但要注意要保证U＞0．一般地，复合函数中，当内层函数和外层函数一增一减时，原函数为减函数；当内层函数和外层函数同增同减时，原函数为增函数．12.【答案】{a|a＞0或a=-4}【解析】解：根据题意，f（x）=ax|2x+a|=分3种情况讨论：①，当a=0时，f（x）=0，不符合题意；②，当a＞0时，-＜0，在区间[1，2]上，f（x）=ax（2x+a），且-＜0，在[1，2]上为增函数，符合题意；③，当a＜0时，-＞0，若f（x）在[1，2]上递增，必有，解可得a=-4；综合可得：a的取值范围为{a|a＞0或a=-4}；故答案为：{a|a＞0或a=-4}．根据题意，f（x）=ax|2x+a|=，按a的取值分3种情况讨论函数f（x）的单调性，综合即可得答案．本题考查分段函数的单调性的判断，涉及参数的讨论，注意分析a的取值情况，属于基础题．13.【答案】10【解析】解：根据题意得，f（x）-3x为常数，设f（x）-3x=m，则f（m）=4，f（x）=3x+m；∴3m+m=4，易知该方程有唯一解，m=1；∴f（x）=3x+1；故答案为：10．因为f（x）是R上的增函数，所以若f（x）-3x不是常数，则f[f（x）-3x]便不是常数．而已知f[f（x）-3x]=4，所以f（x）-3x是常数，设f（x）-3x=m，所以f（m）=4，f （x）=3x+m，所以f（m）=3m+m=4，容易知道该方程有唯一解，m=1，所以f（x）=3x+1，所以便可求出f（2）．考查对于单调函数，当自变量的值是变量时，函数值也是变量，单调函数零点的情况．14.【答案】-47≤a≤216【解析】解：函数f（x）=，当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为-x2+x-3≤+a≤x2-x+3，即有-x2+x-3≤a≤x2-x+3，由y=-x2+x-3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最大值为-；由y=x2-x+3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最小值为，则-≤a≤；…①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为-（x+）≤+a≤x+，即有-（x+）≤a≤+，由y=-（x+）≤-2=-2（当且仅当x=＞1）取得最大值-2；由y=x+≥2=2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2．则-2≤a≤2；…②由①②可得，-≤a≤2；综上，a的取值范围是-≤a≤2．故答案为：-≤a≤2．根据题意，分段讨论x≤1和x ＞1时，关于x 的不等式f （x ）≥|+a|在R 上恒成立，去掉绝对值，利用函数的最大、最小值求得a 的取值范围，再求它们的公共部分．本题考查了分段函数的应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是难题． 15.【答案】解：（Ⅰ）∵a +a -1=3，∴a 2+a -2=（a +a -1）2-2=9-2=7，a -a -1=± (a −a −1)2=± (a +a −1)2−4=± 5．∴a 3+a −3a −a =(a +a −1)(a 2+a −2−1)(a−a −1)(a +a −1)(a 2+a −2)=a 2+a −2−1(a−a −1)(a 2+a −2)，∴当a -a -1= 5时，a 3+a −3a −a=a 2+a −2−1(a−a )(a +a )=5×7=6 535，当a -a -1=- 5时，a 3+a −3a 4−a−4=a 2+a −2−1(a−a )(a +a )=-5×7=-6 535．（Ⅱ）(lg 5)2+lg 2×lg 50(lg 2)+3lg 2×lg 5+(lg 5) =(lg 5)2+lg 2(lg 2+2lg 5)(lg 2+lg 5)[(lg 2)2−lg 2lg 5+(lg 5)2]+3lg 2×lg 5 =(lg 5+lg 2)2(lg 2+lg 5)2=1．【解析】（Ⅰ）推导出a 2+a -2=（a+a -1）2-2=9-2=7，a-a -1===．再由==，能求出结果．（Ⅱ）利用对数性质、运算法则、换底公式直接求解．本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】解：（1）∵集合M ={x |y = 3−x + x −1}=[1，3]，又∵集合N ={y |y =x 2-2x +m }，∴y =x 2-2x +m =（x -1）2+m -1， ∴N ={y |m -1≤y }=[m -1，+∞），当m =3时，N ={y |2≤y }=[2，+∞）， ∴M ∪N =[1，+∞），所以m≤2．【解析】（1）将m=3代入求出集合M，N，进而可得M∪N；（2）若M∩N=M，可得M⊂N，结合M=[1，3]，N=[m-1，+∞），可得答案．本题考查的知识点是集合的包含关系判断与应用，集合的运算，难度不大，属于基础题．17.【答案】解：（1）y=（2400-2000-x）（8+0.08x）=（400-x）（8+0.08x）=-0.08x2+24x+3200 （2）当y=4800时，-0.08x2+24x+3200=4800，解这个方程得x1=100，x2=200．∵若要使老百姓获得更多实惠，则x1=100不符合题意，舍去．答：若要使老百姓获得更多实惠，每台冰箱应降价200元．（3）由y=-0.08x2+24x+3200，当x=242×0.08=150时，y最大，最大为=-0.08×1502+24×150=5000 答：每台冰箱降价150元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高，最高利润是5000元．【解析】（1）根据题意易求y与x之间的函数表达式．（2）已知函数解析式，设y=4800可从实际得x的值．（3）利用x=150，然后可求出y的最大值本题考查了二次函数的综合知识，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．借助二次函数解决实际问题．18.【答案】解：（1）由x-1≠0，得x≠1，所以f（x）的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞），由f（x）=2xx−1=2(x−1)+2x−1=2+2x−1≠2，得f（x）的值域为（-∞，2）∪（2，+∞），f（x）的单调递减区间为（-∞，1）和（1，+∞）（2）g（x）在（0，1）上是减函数，证明如下：g（x）=xf（x）=2x2x−1，g′（x）=4x(x−1)−2x2(x−1)2=2x(x−2)(x−1)2，∵x∈（0，1），∴g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1）上是减函数．【解析】（1）分母不为0可求得定义域，f（x）变成2+后，利用≠0可求得值域，利用反比例函数的单调性可求得单调区间；（2）利用导函数的符号证明单调性．本题考查了函数的单调性及单调区间，属中档题．19.【答案】解：（1）∵二次函数f（x）=ax2+bx+c满足f（2+x）=f（2-x），∴函数的对称轴x=−b2a=2即b=-4a，∵图象开口向上，a＞0，∵f（-1）=0，∴c=-5a∴f（x）=a（x2-4x-5=0），∴A（2，-9a）图象与x轴交于点B（-1，0），根据对称性可知C（5，0），∴BC=6，△ABC的面积为S=12×6×|-9a|=18．∴a=23，∴f（x）=23（x2-4x-5）；（2）∵f（x）=23（x2-4x-5）=m（x-1）在区间[0，1]有解，即2x2-（3m+8）x+3m-10=0在区间[0，1]上有解，∵△=（3m+8）2-8（3m-10）=9m2+24m+144＞0恒成立，∴g（x）=2x2-（3m+8）x+3m-10有两个零点，又g（x）在[0，1]上有零点，∴g（0）•g（1）≤0或g(0)≥0g(1)≥00＜3m+84＜1，∴m≥103或m∈∅，综上所述：实数m的取值范围时[103，+∞）．【解析】（1）根据二次函数的对称轴为x=2，得b=-4a，开口向上得a＞0，根据B（-1，0）得C（5，0），根据S△ABC=18得a=，从而可得f（x）=（x2-4x-5）；（2）转化为g（x）=2x2-（3m+8）x+3m-10在[0，1]内有零点，利用二次函数的图象列式可求得：m≥．本题主要考查二次函数的对称轴，顶点与轴的交点和平面图形，函数的零点，二次方程实根的分布，属中档题．20.【答案】解：（1）当a=5时，f（x）=log2（1x+5），由f（x）＞0；得log2（1x+5）＞0，即1x +5＞1，则1x＞-4，则1x+4=4x+1x＞0，即x＞0或x＜-14，即不等式的解集为{x |x ＞0或x ＜-14}．（2）由f （x ）-log 2[（a -4）x +2a -5]=0得log 2（1x +a ）-log 2[（a -4）x +2a -5]=0．即log 2（1x +a ）=log 2[（a -4）x +2a -5]，即1x +a =（a -4）x +2a -5＞0，①则（a -4）x 2+（a -5）x -1=0，即（x +1）[（a -4）x -1]=0，②，当a =4时，方程②的解为x =-1，代入①，成立当a =3时，方程②的解为x =-1，代入①，成立当a ≠4且a ≠3时，方程②的解为x =-1或x =1a−4，若x =-1是方程①的解，则1x +a =a -1＞0，即a ＞1，若x =1a−4是方程①的解，则1x +a =2a -4＞0，即a ＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a ≤2．综上，若方程f （x ）-log 2[（a -4）x +2a -5]=0的解集中恰好有一个元素，则a 的取值范围是1＜a ≤2，或a =3或a =4．（3）函数f （x ）在区间[t ，t +1]上单调递减，由题意得f （t ）-f （t +1）≤1，即log 2（1t +a ）-log 2（1t +1+a ）≤1，即1t +a ≤2（1t +1+a ），即a ≥1t -2t +1=1−t t (t +1)设1-t =r ，则0≤r ≤12，1−t t (t +1)=r (1−r )(2−r )=r r 2−3r +2，当r =0时，r r −3r +2=0，当0＜r ≤12时，r r −3r +2=1r +2−3，∵y =r +2r 在（0， 2）上递减，∴r +2r ≥12+4=92，∴r r 2−3r +2=1r +2r −3≤192−3=23，∴实数a 的取值范围是a ≥23．【解析】（1）当a=5时，解导数不等式即可．（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a的取值范围进行求解即可．（3）根据条件得到f（t）-f（t+1）≤1，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可．本题主要考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。

苏州市2018届高三上学期期中考试数学试题(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】苏州市2018届高三第一学期期中调研试卷数学一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸．．．相应的位置) 1．已知集合{1,2,3,4,5},{1,3},{2,3}U A B ===，则()U A B = ▲ ．2．函数1ln(1)y x =-的定义域为 ▲ ．3．设命题:4p x >；命题2:540q x x -+≥，那么p 是q 的 ▲ 条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）． 4．已知幂函数22*()m m y x m -=∈N 在(0,)+∞是增函数，则实数m 的值是 ▲ ．5．已知曲线3()ln f x ax x =+在(1,(1))f 处的切线的斜率为2，则实数a 的值是▲ ．6．已知等比数列{}n a 中，32a =，4616a a =，则7935a a a a -=- ▲ ．7．函数sin(2)(0)2y x ϕϕπ=+<<图象的一条对称轴是12x π=，则ϕ的值是 ▲ ．8．已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，则不等式()01f x x >-的解集为 ▲ ．9．已知tan()24απ-=，则cos2α的值是 ▲ ．10．若函数8,2()log 5,2ax x f x x x -+⎧=⎨+>⎩≤(01)a a >≠且的值域为[6,)+∞，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．已知数列{},{}n n a b 满足1111,1,(*)21n n n n a a b b n a +=+==∈+N ，则122017b b b ⋅⋅=▲ ．12．设ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，D 为AB 的中点，若cos sin b a C c A=+且CD =ABC △面积的最大值是▲ ．13．已知函数()sin()6f x x π=-，若对任意的实数5[,]62αππ∈--，都存在唯一的实数[0,]m β∈，使()()0f f αβ+=，则实数m 的最小值是 ▲ ． 14．已知函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨+⎩≤，若直线y ax =与()y f x =交于三个不同的点(,()),(,()),A m f m B n f n(,())C t f t （其中m n t <<），则12n m++的取值范围是 ▲ ．二、解答题(本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本题满分14分)已知函数1())(0,0)42f x ax b a b π=+++>>的图象与x 轴相切，且图象上相邻两个最高点之间的距离为2π．（1）求,a b 的值；（2）求()f x 在[0,]4π上的最大值和最小值．16．(本题满分14分)在ABC △中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，已知sin sin sin ()B C m A m +=∈R ，且240a bc -=．（1）当52,4a m ==时，求,bc 的值；（2）若角A 为锐角，求m 的取值范围．17．(本题满分15分)已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且满足11a =，*131()n n S S n +=+∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n b 中，13b =，*11()n n n na b b n a ++-=∈N ，若不等式2n n a b n λ+≤对*n ∈N 有解，求实数λ的取值范围．如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是等腰梯形，其中AB 为2米，梯形的高为1米，CD 为3米，上部CmD 是个半圆，固定点E 为CD 的中点．MN 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和CD 平行．当MN 位于CD 下方和上方时，通风窗的形状均为矩形MNGH （阴影部分均不通风）．（1）设MN 与AB 之间的距离为5(02x x <≤且1)x ≠米，试将通风窗的通风面积S （平方米）表示成关于x 的函数()y S x =；（2）当MN 与AB 之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积S 取得最大值？19．(本题满分16分)已知函数2()ln ,()f x x g x x x m ==--．（1）求过点(0,1)P -的()f x 的切线方程；（2）当0=m 时，求函数()()()F x f x g x =-在],0(a 的最大值；（3）证明：当3m ≥-时，不等式2()()(2)e x f x g x x x +<--对任意1[,1]2x ∈均成立（其中e 为自然对数的底数,e 2.718...=）．已知数列{}n a 各项均为正数，11a =,22a =，且312n n n n a a a a +++=对任意*n ∈N 恒成立，记{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若33a =，求5a 的值；（2）证明：对任意正实数p ，221{}n n a pa -+成等比数列；（3）是否存在正实数t ，使得数列{}n S t +为等比数列．若存在，求出此时n a 和n S 的表达式；若不存在，说明理由．2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷数学(附加题部分)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．．应的答题区域内作答．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(几何证明选讲)（本小题满分10分）如图，AB 为圆O 的直径，C 在圆O 上，CF AB ⊥于F ，点D 为线段CF 上任意一点，延长AD 交圆O于E ，030AEC ∠=．（1）求证：AF FO =；（2）若CF =，求AD AE ⋅的值．BB ．(矩阵与变换)（本小题满分10分）已知矩阵1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，42α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求49αA 的值．C ．(极坐标与参数方程)（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为42525x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为cos()(0)4a ρθπ-≠．（1）求直线l 和圆C 的直角坐标方程；（2）若圆C 任意一条直径的两个端点到直线l，求a的值．D ．(不等式选讲)（本小题满分10分）设,x y 均为正数，且x y >，求证：2212232x y x xy y ++-+≥．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)在小明的婚礼上，为了活跃气氛，主持人邀请10位客人做一个游戏．第一轮游戏中，主持人将标有数字1,2,…,10的十张相同的卡片放入一个不透明箱子中，让客人依次去摸，摸到数字6,7,…,10的客人留下，其余的淘汰，第二轮放入1,2,…,5五张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字3,4,5的客人留下，第三轮放入1,2,3三张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字2,3的客人留下，同样第四轮淘汰一位，最后留下的客人获得小明准备的礼物．已知客人甲参加了该游戏．（1）求甲拿到礼物的概率；（2）设ξ表示甲参加游戏的轮数．．，求ξ的概率分布和数学期望()E ξ．23．(本小题满分10分)（1）若不等式(1)ln(1)x x ax ++≥对任意[0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围；（2）设*n ∈N ，试比较111231n ++++与ln(1)n +的大小，并证明你的结论．2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷数学参考答案一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．{1} 2．(1,2)(2,)+∞3．充分不必要 4．15．136．4 7．3π 8．(2,0)(1,2)-9．45-10．(1,2] 11．12018 12．113．2π14．1(1,e )e+二、解答题(本大题共6个小题，共90分) 15．(本题满分14分)解：（1）∵()f x 图象上相邻两个最高点之间的距离为2π，∴()f x 的周期为2π，∴202||2a a ππ=>且，······································································2分∴2a =，··················································································································4分此时1())42f x x b π=+++，又∵()f x 的图象与x 轴相切，∴1||02b b +=>，·······················································6分∴122b =-；··········································································································8分（2）由（1）可得())4f x x π=+∵[0,]4x π∈，∴4[,]444x ππ5π+∈， ∴当444x π5π+=，即4x π=时，()f x 有最大值为；·················································11分当442x ππ+=，即16x π=时，()f x 有最小值为0．························································14分 16．(本题满分14分) 解：由题意得b c ma+=，240a bc -=．···············································································2分（1）当52,4a m ==时，5,12b c bc +==，解得212b c =⎧⎪⎨=⎪⎩或122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩；································································································6分（2）2222222222()()22cos 23222a ma abc a b c bc a A m a bc bc--+-+--====-，····························8分∵A 为锐角，∴2cos 23(0,1)A m =-∈，∴2322m <<，····················································11分又由b c ma +=可得0m >，·························································································13分∴m <<···········································································14分 17．(本题满分15分)解：（1）∵*131()n n S S n +=+∈N ，∴*131(,2)n n S S n n -=+∈N ≥，∴*13(,2)n n a a n n +=∈N ≥，·························································································2分又当1n =时，由2131S S =+得23a =符合213a a =，∴*13()n n a a n +=∈N ，······························3分∴数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，通项公式为1*3()n n a n -=∈N ； (5)分（2）∵*113()n n n na b b n a ++-==∈N ，∴{}n b 是以3为首项，3为公差的等差数列，····················7分∴*33(1)3()n b n n n =+-=∈N ，·····················································································9分∴2n n a b nλ+≤，即1233n n nλ-⋅+≤，即2133n n n λ--≤对*n ∈N 有解，··································10分设2*13()()3n n nf n n --=∈N ，∵2221(1)3(1)32(41)(1)()333n n nn n n n n n f n f n -+-+---++-=-=， ∴当4n ≥时，(1)()f n f n +<，当4n <时，(1)()f n f n +>， ∴(1)(2)(3)(4)(5)(6)f f f f f f <<<>>>， ∴max 4[()](4)27f n f ==，···························································································14分∴427λ≤．·············································································································15分 18．(本题满分15分)解：（1）当01x <≤时，过A 作AK CD ⊥于K （如上图），则1AK =，122CD AB DK -==，1HM x =-，由2AKMH DKDH ==，得122HM xDH -==，∴322HG DH x =-=+， ∴2()(1)(2)2S x HM HG x x x x =⋅=-+=--+；·······························································4分当512x <<时，过E 作ET MN ⊥于T ，连结EN （如下图），则1ET x =-，22239(1)(1)224MN TN x x ⎛⎫==---- ⎪⎝⎭∴292(1)4MN x =--∴29()2(1)(1)4S x MN ET x x =⋅=---，······································································8分综上：222,01()952(1)(1)142x x x S x x x x ⎧--+<⎪=⎨---<<⎪⎩≤；·································································9分（2）当01x <≤时，2219()2()24S x x x x =--+=-++在[0,1)上递减，∴max ()(0)2S x S ==；································································································11分2︒当512x <<时，229(1)(1)94()2(224x x S x x -+--=-⋅=，当且仅当(1)x -=51(1,)2x +∈时取“=”， ∴max 9()4S x =，此时max 9()24S x =>，∴()S x 的最大值为94，············································14分答：当MN 与AB1+米时，通风窗的通风面积S 取得最大值．····················15分 19．(本题满分16分)解：（1）设切点坐标为00(,ln )x x ，则切线方程为0001ln ()y x x x x -=-，将(0,1)P -代入上式，得0ln 0x =，01x =， ∴切线方程为1y x =-；·······························································································2分（2）当0m =时，2()ln ,(0,)F x x x x x =-+∈+∞， ∴(21)(1)(),(0,)x x F x x x+-'=-∈+∞，············································································3分当01x <<时，()0F x '>，当1x >时，()0F x '<， ∴()F x 在(0,1)递增，在(1,)+∞递减，·············································································5分∴当01a <≤时，()F x 的最大值为2()ln F a a a a =-+；当1a >时，()F x 的最大值为(1)0F =；········································································7分（3）2()()(2)e x f x g x x x +<--可化为(2)e ln x m x x x >-+-，设1()(2)e ln ,[,1]2x h x x x x x =-+-∈，要证3m ≥-时()m h x >对任意1[,1]2x ∈均成立，只要证max ()3h x <-，下证此结论成立． ∵1()(1)(e )x h x x x'=--，∴当112x <<时，10x -<，·······················································8分设1()e x u x x=-，则21()e 0x u x x '=+>，∴()u x 在1(,1)2递增，又∵()u x 在区间1[,1]2上的图象是一条不间断的曲线，且1()202u =<，(1)e 10u =->，∴01(,1)2x ∃∈使得0()0u x =，即01e xx =，00ln x x =-，····················································11分当01(,)2x x ∈时，()0u x <，()0h x '>；当0(,1)x x ∈时，()0u x >，()0h x '<；∴函数()h x 在01[,]2x 递增，在0[,1]x 递减，∴0max 00000000012()()(2)e ln (2)212x h x h x x x x x x x x x ==-+-=-⋅-=--，····························14分∵212y x x=--在1(,1)2x ∈递增，∴0002()121223h x x x =--<--=-，即max ()3h x <-， ∴当3m ≥-时，不等式2()()(2)e xf xg x x x +<--对任意1[,1]2x ∈均成立．··························16分 20．(本题满分16分) 解：（1）∵1423a a a a =，∴46a =，又∵2534a a a a =，∴54392a a ==；·······································2分（2）由3121423n n n n n n n n a a a a a a a a +++++++=⎧⎨=⎩，两式相乘得2134123n n n n n n n a a a a a a a ++++++=，∵0n a >，∴2*42()n n n a a a n ++=∈N ，从而{}n a 的奇数项和偶数项均构成等比数列，···································································4分设公比分别为12,q q ，则1122222n n n a a q q --==，1121111n n n a a q q ---==，······································5分又∵312=n n n na a a a +++，∴42231122a a q a a q ===，即12q q =，···························································6分设12q q q ==，则2212223()n n n n a pa q a pa ---+=+，且2210n n a pa -+>恒成立，数列221{}n n a pa -+是首项为2p+，公比为q的等比数列，问题得证；····································8分（3）法一：在（2）中令1p =，则数列221{}n n a a -+是首项为3，公比为q 的等比数列，∴22212223213 ,1()()()3(1),11k k k k k k k q S a a a a a a q q q---=⎧⎪=++++++=-⎨≠⎪-⎩， 12122132 ,13(1)2,11k k k k k k k q q S S a q q q q ---⎧-=⎪=-=⎨--≠⎪-⎩，·····································································10分且12341,3,3,33S S S q S q ===+=+，∵数列{}n S t +为等比数列，∴22132324()()(),()()(),S t S t S t S t S t S t ⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩ 即22(3)(1)(3),(3)(3)(33),t t q t q t t q t ⎧+=+++⎪⎨++=+++⎪⎩，即26(1),3,t q t t q +=+⎧⎨=-⎩ 解得14t q =⎧⎨=⎩（3t =-舍去），·························································································13分∴224121k k k S =-=-，212121k k S --=-，从而对任意*n ∈N 有21n n S =-，此时2n n S t +=，12n n S tS t-+=+为常数，满足{}n S t +成等比数列，当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，又11a =，∴1*2()n n a n -=∈N ，综上，存在1t =使数列{}n S t +为等比数列，此时1*2,21()n n n n a S n -==-∈N ． (16)分法二：由（2）知，则122n n a q -=，121n n a q --=，且12341,3,3,33S S S q S q ===+=+，∵数列{}n S t +为等比数列，∴22132324()()(),()()(),S t S t S t S t S t S t ⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩ 即22(3)(1)(3),(3)(3)(33),t t q t q t t q t ⎧+=+++⎪⎨++=+++⎪⎩，即26(1),3,t q t t q +=+⎧⎨=-⎩ 解得14t q =⎧⎨=⎩（3t =-舍去），·······················································································11分∴121222n n n a q --==，22212n n a --=，从而对任意*n ∈N 有12n n a -=，····································13分∴01211222222112n n n n S --=++++==--，此时2n n S t +=，12n n S tS t-+=+为常数，满足{}n S t +成等比数列，综上，存在1t =使数列{}n S t +为等比数列，此时1*2,21()n n n n a S n -==-∈N ． (16)分21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．．应的答题区域内作答．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(几何证明选讲，本小题满分10分) 解：（1）证明：连接,OC AC ，∵030AEC ∠=，∴0260AOC AEC ∠=∠=，又OA OC =，∴AOC ∆为等边三角形， ∵CF AB ⊥，∴CF 为AOC ∆中AO 边上的中线， ∴AF FO =；····························B··········································5分（2）解：连接BE ， ∵CF =，AOC ∆是等边三角形，∴可求得1AF =，4AB =，∵AB 为圆O 的直径，∴90AEB ∠=，∴AEB AFD ∠=∠，又∵BAE DFA ∠=∠，∴AEB ∆∽AFD ∆，∴AD AF ABAE=，即414AD AE AB AF ⋅=⋅=⨯=．··················································································10分 B ．(矩阵与变换，本小题满分10分) 解：矩阵A 的特征多项式为212()2321f λλλλλ--==----，令()0f λ=，解得矩阵A 的特征值121,3λλ=-=，····························································2分当11λ=-时特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，当23λ=时特征向量为211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，·····································6分又∵12432ααα⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦，·························································································。

江苏省苏州市2017-2018学年高一第一学期期末试卷(含答案解析)(精编)

江苏省苏州中学2017-2018学年度第一学期期中考试数学试题(3页)

江苏省苏州中学2017-2018学年度第一学期期中考试数学试题高三数学（正题部分）一.填空题：本大题共有14道小题，每小题5分，计70分，请把答案填写在相应的位置上1.已知集合{}=2,0,1A -，{}1,0B =-，则A B =U _____________.2.已知α是锐角，若tan 3α=，则cos α=_____________.3.△ABC 中，已知1a =，60A =o，3c =，则角C =_________． 4.若函数()32x x a f x e x x e =-+-是奇函数，则实数a 的值为_____________ 5.函数ln ()(0)x f x x x=>的单调递增区间是_ 6.函数()f x =的定义域为_____________.7.若曲线x y e =切线方程为y x b =+，则实数b =_____________.8.若“12x <<”是“230x ax -+<”的充分非必要条件，则实数a 的取值范围为______. 9.已知cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____________. 10.已知0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数2cos y x =与3tan y x =图象相交于点P ，过点P 作PQ 垂直x 轴，垂足为点Q ，线段PQ 与函数sin y x =的图象交于点M ，则线段MQ 的长度为_____________.11.已知函数()f x 定义域为D ，若存在0x D ∈，使()()()0011f x f x f +=+成立，则称()f x 具有性质P .现给出下列四个函数：① ()1f x x= ； ②()2x f x =； ③()()2log 2f x x =+； ④()sin f x x π= 其中具有性质P 的函数为_____________（注：填上你认为正确的所有函数序号）12.若实数x 、y 满足22sin 1x y +=，则sin x y -的取值范围为_____________. 13.已知m 、n *∈N ，若1tan m α=，1tan n β=，且4παβ+=，则m n +的值为________. 14.若函数()()()224f x x x ax b =-++满足()()2f x f x =-，则()f x 在[]0,3上的最大值为的的_____________二.解答题：本大题共有6道题，共计90分.请在相应的答题区域内作答，解答时应写出文字说明.证明过程或演算步骤.15.已知函数()()[)()sin 0,0,0,2f x A x A ωϕωϕπ=+>>∈图像最高点为(，且相邻两条对称轴间距离为4.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()()()()22221232018f f f f ++++L 的值.16.已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，1sin sin B C R+=（其中R 为ABC ∆的外接圆的半径）且ABC ∆的面积()22S a b c =--.（1）求sin A 的值；（2）求ABC ∆的面积S 的最大值.17.已知函数()f x 与()12g x x x=++的图象关于点()1,2A 对称. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()F x f x c =-有两个不同零点，求实数c 的取值范围；（3）若函数()()2a h x f x x =+-在()2,4上是单调减函数，求实数a 的取值范围. 18.某农业观光区的平面示意图如图所示，其中矩形ABCD 的长2AB =千米，宽1AD =千米，半圆的圆心P 为AB 中点，为了便于游客观光休闲，在观光区铺设一条由圆弧»AE 、线段EF 、FC 组成的观光道路，其中线段EF 经过圆心P ，点F 在线段CD 上（不含线段端点C 、D ），已知道路AE 、FC 的造价为每千米20万元，道路EF 造价为每千米70 万元，设APE θ∠=，观光道路的总造价为y .（1）试求y 与θ函数关系式()y f θ=，并写出θ的取值范围；的（2）当θ为何值时，观光道路的总造价y 最小.19.已知函数()24f x ax x b =++（0a <，且a 、b R ∈）.设关于x 的不等式()0f x >的解集为()12,x x ，且方程()f x x =的两实根为α、β.（1）若1αβ-=，完成下列问题：①求a 、b 的关系式；②若a 、b 都是负整数，求()f x 的解析式；（2）若12αβ<<<，求证: ()()12117x x ++<.20.已知函数()xf x e ax =-（其中a 为常数，e 为自然对数的底数，）（1）若对任意x ∈R ，不等式()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值集合，（2）已知正数a 满足：存在[)01,x ∈+∞，使不等式()00f x ≤成立. ①求a 的取值集合；②试比较a e 与e a 的大小，并证明你的结论.。

数学---江苏省苏州市昆山市2017-2018学年高一(上)期中试卷(解析版)

江苏省苏州市昆山市2017-2018学年高一（上）期中数学试卷一、填空题1．（5分）集合A={0，1，2}，B={x|x﹣2＜0}，则A∩B=．2．（5分）函数f（x）=ln的定义域是．3．（5分）函数f（x）=x2﹣x的定义域为{0，1，2}，则值域为．4．（5分）已知a=log20.3，b=20.3，c=0.32，则小到大排列．5．（5分）若a＞1，且a+a﹣1=3，则a﹣a﹣1=．6．（5分）已知，则=．7．（5分）函数f（x）=|x|（1﹣x）的单调增区间．8．（5分）已知函数f（x）为R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（x+1）．若f（a）=﹣2，则实数a=．9．（5分）函数f（x）=x+2x﹣7的零点所在区间（n，n+1），n∈Z，则n=．10．（5分）关于x的不等式x2+mx+m﹣2＜0在（﹣1，2）上恒成立，则实数m的取值范围．11．（5分）下列函数①，②f（x）=x3，③，④f（x）=﹣x2+1中，既是偶函数又是在区间（0，+∝）上单调递减的是．12．（5分）已知函数，且f（a2）+f（a）＜0，则a的取值范围．13．（5分）已知函数（a＞0，且a≠1）在[3，4]上是增函数，则a的取值范围．14．（5分）已知函数f（x）=（x2﹣x）（x2+ax+b），若函数f（x）的对称轴为x=2，则f（x）的最小值为．二、解答题15．（15分）（1）（lg5）2+lg2×lg50（2）．16．（15分）设集合，B={x|（x﹣a）（x+b）≤0}．（Ⅰ）若A=B且a+b＜0，求实数a，b的值；（Ⅱ）若B是A的真子集，且a+b=2，求实数b的取值范围．17．（15分）己知函数f（x）=log a（x+1），g（x）=2log a（2x+t）（t∈R），a＞0，且a≠1．（1）若1是关于x的方程f（x）﹣g（x）=0的一个解，求t的值；（2）当0＜a＜1且t=﹣1时，解不等式f（x）≤g（x）；（3）若函数F（x）=a f（x）+tx2﹣2t+1在区间（﹣1，2]上有零点，求t的取值范围．18．（15分）如图，有一个直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别为4米、6米，不考虑树的粗细．现在想用a（a＞10且a为常数）米长的篱笆，借助墙角围城一个矩形花圃ABCD，并要求这棵树围在花圃内或在花圃边界上，设AB=x米，此矩形花圃面积为y平方米．（1）写出y与x的函数表达式，并指出定义域．（2）当AB为何值时，花圃面积最大，并求出最大面积．19．（15分）已知函数是奇函数（1）求实数m的值（2）证明：f（x）在R上是增函数（3）当x∈[a，b]时，函数f（x）的值域为，求实数a，b．20．（15分）已知函数f（x）=x2，g（x）=x﹣1（1）若存在x∈R使f（x）＜b•g（x），求实数b的取值范围（2）设F（x）=f（x）﹣mg（x）+1﹣m﹣m2，且|F（x）|在[0，1]上递增，求实数m的取值范围（3）设h（x）在R上为奇函数，当x≥0时，h（x）=f（x）．若对任意x∈[t，t+2]不等式h （x+t）≥2h（x）恒成立，求实数t的取值范围．【参考答案】一、填空题1．{0，1}【解析】集合A={0，1，2}，B={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，则A∩B={0，1}．故答案为：{0，1}．2．（﹣∞，0）∪（1，+∞）【解析】由题意得：＞0，解得：x＞1或x＜0，故答案为：（﹣∞，0）∪（1，+∞）．3．{0，2}【解析】∵函数f（x）=x2﹣x的定义域为{0，1，2}，且f（0）=0，f（1）=0，f（2）=2，∴其值域为{0，2}，故答案为：{0，2}．4．a＜c＜b【解析】a=log20.3＜0，b=20.3＞1，c=0.32∈（0，1）．∴a＜c＜b．故答案为：a＜c＜b．5．【解析】∵a＞1，∴a，即a﹣a﹣1＞0，由a+a﹣1=3，可得（a﹣a﹣1）2=（a+a﹣1）﹣4∴（a﹣a﹣1）2=5即a﹣a﹣1=．故答案为：．6．2【解析】∵，∴f（）====﹣，=f（﹣）=（）=2．故答案为：2．7．（0，）【解析】y═|x|•（1﹣x）=，再结合二次函数图象：可知函数的单调递增区间是（0，）．故答案为：（0，）．8．﹣1【解析】令x＜0，则﹣x＞0，所以f（﹣x）=﹣x（1﹣x），又f（x）为奇函数，所以当x＜0时有f（x）=x（1﹣x），令f（a）=a（1﹣a）=﹣2，得a2﹣a﹣2=0，解得a=﹣1或a=2（舍去）．故应埴﹣1.9．2【解析】∵函数f（x）=2x+x﹣7的零点所在的区间是（n，n+1），且n为整数，f（2）=﹣1＜0，f（3）=4＞0，f（2）f（3）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=2x+x﹣7的零点所在的区间是（2，3），故n=2，故答案为2．10．【解析】根据题意，令f（x）=x2+mx+m﹣2，若不等式x2+mx+m﹣2＜0在（﹣1，2）上恒成立，则f（x）=x2+mx+m﹣2＜0在（﹣1，2）上恒成立，则有，解可得m≤﹣，实数m的取值范围m≤﹣，故答案为：m≤﹣．11．①④【解析】①函数是偶函数，且在区间（0，+∝）上单调递减，满足条件；②函数f（x）=x3是奇函数，不满足条件，③函数是偶函数，但在区间（0，+∝）上单调递增，不满足条件，④函数f（x）=﹣x2+1是偶函数，且在区间（0，+∝）上单调递减，满足条件；故答案为：①④．12．{a|a＜﹣1，或a＞0}【解析】根据题意，对于函数，有f（﹣x）==﹣=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，当x≥0时，f（x）==1+为减函数，又由函数f（x）为奇函数，则f（x）在R上为减函数，f（a2）+f（a）＜0⇒f（a2）＜﹣f（a）⇒f（a2）＜f（﹣a）⇒a2＞﹣a，即a2+a＞0，解可得a＞0或a＜﹣1，则a的取值范围是{a|a＜﹣1，或a＞0}；故答案为：{a|a＜﹣1，或a＞0}．13．a＞1或≤a＜【解析】令|ax2﹣x|=t，则t＞0，故x≠0 且x≠，如图所示：由题意可得，当a＞1时，t=|ax2﹣x|在[3，4]上是增函数，应有3＞，或4≤，解得a＞1．当1＞a＞0时，由题意可得t=|ax2﹣x|在[3，4]上是减函数，≤3，且4＜，解得≤a＜．综上，a＞1或≤a＜，故答案为：a＞1或≤a＜．14．【解析】由题意，因为点（0，0），（1，0）在f（x）的图象上，图象关于直线x=2对称，把图象向右移动2个单位最值不变，即点（3，0），（4，0）必在f（x）的图象上，所以f（3）=6（9+3a+b）=0，f（4）=12（16+4a+b）=0，解得a=﹣7，b=12，所以：f（x）=（x2﹣x）（x2﹣7x+12），即f（x）=x（x﹣1）（x﹣3）（x﹣4）=（x2﹣4x）（x2﹣4x+3）．令t=x2﹣4x，则f（x）转化为g（t）=t2+3t=（t﹣）≥﹣，当t=时，g（t）min=﹣．故答案为：﹣．二、解答题15．解：（1）原式=（lg5）2+lg2×（lg5+1）=lg5（lg5+lg2）+lg2=lg5+lg2=1．（2）原式=3+﹣=3﹣2﹣4=﹣3．16．解：（Ⅰ）∵，∵a+b＜0，∴a＜﹣b，∴B={x|（x﹣a）（x+b）≤0}={x|a≤x≤﹣b}，∵A=B，∴a=﹣1，b=﹣2．（Ⅱ）∵a+b=2，∴B={x|﹣b≤x≤2﹣b}，∵B是A的真子集，∴﹣b≥﹣1且﹣b≥﹣1．解得0≤b≤1．∴实数b的取值范围是[0，1]．17．解：（1）∵1是关于x的方程f（x）﹣g（x）=0的一个解，∴log a2﹣2log a（2+t）=0，∴2=（2+t）2，∴t=﹣2；（2）当0＜a＜1且t=﹣1时，不等式f（x）≤g（x）可化为log a（x+1）≤2log a（2x﹣1），故，解得，＜x≤；（3）F（x）=a f（x）+tx2﹣2t+1=x+1+tx2﹣2t+1=tx2+x﹣2t+2，令tx2+x﹣2t+2=0，即t（x2﹣2）=﹣（x+2），∵x∈（﹣1，2]，∴x+2∈（1，4]，∴t≠0，x2﹣2≠0；∴=﹣=﹣[（x+2）+]+4，∵2≤（x+2）+≤，∴﹣≤﹣[（x+2）+]+4≤4﹣2，∴﹣≤≤4﹣2，∴t≤﹣2或t≥．18．解：（1）要使树被圈进去，则ABCD中BC≥6，AB≥4，∵篱笆长为a米，∴当AB=x米时，宽BC=（a﹣x）米．由于BC≥6，AB≥4，得4≤x≤a﹣6，∴面积y=x（a﹣x）=﹣x2+ax，其定义域为x∈[4，a﹣6]；（2）由（1）得，y=﹣x2+ax=﹣（x﹣）2+，x∈[4，a﹣6]，对称轴x=，又∵a＞10，∴当10＜a＜12时，x=a﹣6时，y max=6a﹣36；当a≥12时，x=时，y max=．19．（1）解：因为函数f（x）=1﹣是奇函数，所以f（0）=1﹣=0，解得：m=2，（2）证明：（2）由（1）得：函数f（x）=1﹣，故f′（x）=，∵f′（x）＞0恒成立，∴f（x）是R上的增函数；（3）解：由（2）知x∈[a，b]时，f（x）是增函数，∵f（a）==，f（b）==解得：a=log32，b=220．解：（1）存在x∈R，使f（x）＜b•g（x），即存在x∈R，x2﹣bx+b＜0，则△＞0，即b2﹣4b＞0，解得b＜0或b＞4，所以b的取值范围为（﹣∞，0）∪（4，+∞）；（2）由题意可知F（x）=f（x）﹣mg（x）+1﹣m﹣m2=x2﹣mx+1﹣m2，对称轴方程为x=，△=m2﹣4（1﹣m2）=5m2﹣4，由于|F（x）|在[0，1]上单调递增，则有：①当△≤0即﹣≤m≤时，且≤0，解得﹣≤m≤0，②当△＞0即m＜﹣或m＞时，设方程F（x）=0的根为x1，x2（x1＜x2），若m＞，则＞，有≥1且x1≤0即为m≥2且F（0）=1﹣m2≤0，解得m≥2；若m＜﹣，即＜﹣，有x1＜0，x2≤0；得F（0）=1﹣m2≥0，有﹣1≤m≤1，∴﹣1≤m＜﹣；综上所述，实数m的取值范围是[﹣1，0]∪[2，+∞）．（3）当x≥0时，h（x）=x2，∵函数是奇函数∴当x＜0时，h（x）=﹣x2，∴h（x）=，∴h（x）在R上是单调递增函数，且满足2h（x）=h（x），∵不等式h（x+t）≥h（x）=h（x）在[t，t+2]恒成立，∴x+t≥x在[t，t+2]恒成立，即：x≤（1+）t在[t，t+2]恒成立，∴t+2≤（1+）t解得：t≥，故t的范围为：[，+∞）．。

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2017-2018学年江苏省苏州市高一（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1．（5分）设集合A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B等于．2．（5分）若幂函数f（x）的图象经过点（2，），则该函数的表达式f（x）=．3．（5分）计算：2lg5+lg4=．4．（5分）函数的定义域为．5．（5分）若函数y=的图象关于原点对称，则实数a等于．6．（5分）已知f（x﹣1）=2x+3，f（m）=6，则m=．7．（5分）已知集合A={x|x=2k+1，k∈Z}，B={x|0＜log2（x+1）＜3，x∈R}，则A∩B的子集个数是．8．（5分）函数f（x）=|x﹣2|•ln（x+2）﹣1的零点个数为．9．（5分）某店从水果批发市场购得椰子两筐，连同运费总共花了300元，回来后发现有12个是坏的，不能将它们出售，余下的椰子按高出成本价1元/个售出，售完后共赚78元．则这两筐椰子原来的总个数为．10．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=log2（2+x）+ax+b （a，b为常数），若f（2）=1，则f（﹣14）的值为．11．（5分）已知函数f（x）=的值域是[﹣8，1]，则实数a的取值范围是．12．（5分）若函数f（x）=（x﹣2）|x﹣a|（a∈R）在区间[3，4]上单调递增，则实数a的取值范围是．13．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣2）=0，若x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2时，＜0恒成立，则不等式（x+2）f（x）≤0的解集是．14．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x﹣4≤0，x∈R}，函数f（x）=（﹣3≤x ≤4）的值域为B，如果A⊆B，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（14分）设集合A{x|﹣4≤x≤1}，集合B={x||x+a|≤1}．（1）若a=3，求∁R（A∪B）；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．16．（14分）已知函数f（x）=log3•log3（3x）．（1）解不等式f（x）＞0；（2）当函数f（x）的定义域为[1，9]时，求f（x）的值域．17．（14分）已知函数f（x）满足f（x﹣1）=log a（2﹣x）﹣log a x．（1）求函数f（x）的解析式及定义域；（2）解关于x的不等式f（2x）＜0．18．（16分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（1）请分析函数y=+1是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若该公司采用函数模型y=作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．19．（16分）设函数f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）．（1）若f（1）＞0．①判断并证明函数f（x）的单调性；②解关于x的不等式f（x2+2）+f（x﹣4）＜0；（2）若f（1）=，且对任意的x∈[1，+∞），不等式a2x+a﹣2x﹣2mf（x）+2≥0恒成立，求实数m的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）=x2﹣4，g（x）=k•|x﹣a|．（1）当a=2时，求函数y=f（x）+g（x）在区间[0，4]上的最大值；（2）当a=2时，若函数y=f（x）﹣g（x）有且仅有一个零点，求实数k的取值范围．2017-2018学年江苏省苏州市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1．（5分）设集合A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B等于{0，1，2，3，4} ．【解答】解：∵A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，∴A∪B={0，1，2，3，4}，故答案为：{0，1，2，3，4}．2．（5分）若幂函数f（x）的图象经过点（2，），则该函数的表达式f（x）=．【解答】解：设幂函数f（x）=xα（α∈R），∵它的图象经过点（2，），∴2α=，解得：α=；∴f（x）==．故答案为：．3．（5分）计算：2lg5+lg4=2．【解答】解：2lg5+lg4=2（lg5+lg2）=2lg10=2．故答案为2．4．（5分）函数的定义域为{x|x≤4且x≠1} ．【解答】解：∵∴解得x≤4且x≠1即函数的定义域为{x|x≤4且x≠1}故答案为：{x|x≤4且x≠1}5．（5分）若函数y=的图象关于原点对称，则实数a等于﹣1．【解答】解：令y=f（x），∵函数y=的图象关于原点对称，∴函数y=f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣x）===﹣=﹣f（x）∴a=﹣1，故答案为：﹣1．6．（5分）已知f（x﹣1）=2x+3，f（m）=6，则m=﹣．【解答】解：令t=x﹣1，∴x=2t+2f（t）=4t+7又∵f（m）=6即4m+7=6∴m=故答案为：7．（5分）已知集合A={x|x=2k+1，k∈Z}，B={x|0＜log2（x+1）＜3，x∈R}，则A∩B的子集个数是8．【解答】解：根据题意，0＜log2（x+1）＜3⇒1＜x+1＜8⇒0＜x＜7，则集合B={x|1＜x＜7}又由集合A={x|x=2k+1，k∈Z}，则A∩B={1，3，5}，共3个元素，其子集有23=8个；故答案为：8．8．（5分）函数f（x）=|x﹣2|•ln（x+2）﹣1的零点个数为3．【解答】解：f（x）=|x﹣2|•ln（x+2）﹣1的零点即方程|x﹣2|•ln（x+2）﹣1=0的根，也就是两个函数y=ln（x+2）与y=图象交点的横坐标，作出两函数的图象如图：∵当x=0时，ln（x+2）=ln2＞=，∴两函数图象在x＞﹣2时有3个交点，即函数f（x）=|x﹣2|•ln（x+2）﹣1的零点个数为3．故答案为：3．9．（5分）某店从水果批发市场购得椰子两筐，连同运费总共花了300元，回来后发现有12个是坏的，不能将它们出售，余下的椰子按高出成本价1元/个售出，售完后共赚78元．则这两筐椰子原来的总个数为120个．【解答】解：设两筐椰子原来总共有x个，成本价为y元/个，则，化简①得，xy+x﹣12y=390…③，把②代入③得，x﹣12y=90，∴x=90+12y，∴xy=y（90+12y）=300，∴2y2+15y﹣50=0，解得y=2.5，y=﹣10（不合题意，舍去）∴x==120；∴这两筐椰子原来总共有120个．故答案为：120个．10．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=log2（2+x）+ax+b （a，b为常数），若f（2）=1，则f（﹣14）的值为﹣3．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=log2（2+x）+ax+b故f（0）=1+b=0，f（2）=2+2a+b=1，解得：b=﹣1．a=0，∴f（x）=log2（2+x）﹣1，∴f（﹣14）=﹣f（14）=﹣[log2（2+14）﹣1]=﹣3，故答案为：﹣3．11．（5分）已知函数f（x）=的值域是[﹣8，1]，则实数a的取值范围是（0，3] ．【解答】解：当﹣4≤x≤0时，f（x）=﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1，图象为开口向下的抛物线，对称轴为x=﹣1，故函数在[﹣4，﹣1]单调递增，[﹣1，0]单调递减，当x=﹣1时，函数取最大值1，当x=﹣4时，函数取最小值﹣8，又函数f（x）的值域为[﹣8，1]，∴y=﹣2x，a≤x＜0的值域应为[﹣8，1]的子集，又y=﹣2x单调递减，∴y∈[﹣2a，﹣1），故只需﹣2a≥﹣8即可，解得0＜a≤3故答案为：（0，3]．12．（5分）若函数f（x）=（x﹣2）|x﹣a|（a∈R）在区间[3，4]上单调递增，则实数a的取值范围是[2，3]∪[6，+∞）．【解答】解：f（x）=；∴（1）a≥2时，f（x）的单调递增区间为[2，]和[a，+∞），若函数f（x）在区间[3，4]上单调递增，则≥4，或a≤3解得：a∈[2，3]∪[6，+∞）（2）a＜2时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，a]和[，2]，不存在满足条件的a值；综上a∈[2，3]∪[6，+∞）故答案为：[2，3]∪[6，+∞）13．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣2）=0，若x1，x2∈（﹣∞，0），且x 1≠x2时，＜0恒成立，则不等式（x+2）f（x）≤0的解集是（﹣∞，0]∪[2，+∞）．【解答】解：当x1＜x2，x1，x2∈（﹣∞，0），∵＜0恒成立，f（x1）＞f（x2），当x1＞x2，x1，x2∈（﹣∞，0），∵＜0恒成立，∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（﹣∞，0）上递减，又f（x）在R上是奇函数，∴f（x）在（﹣∞，0）和在（0，+∞）上递减，f（﹣2）=﹣f（2）=0，对于不等式（x+2）f（x）≤0，当x+2≤0，即x≤﹣2时，f（x）≥0，即f（x）≥f（﹣2），∴x≤﹣2，当x+2≥0，即x≥﹣2时，f（x）≤0，即f（x）＜f（2），∴﹣2≤x≤0，或x≥2∴不等式（x+2）f（x）≤0的解集是：（﹣∞，0]∪[2，+∞）．故答案为：（﹣∞，0]∪[2，+∞）．14．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x﹣4≤0，x∈R}，函数f（x）=（﹣3≤x ≤4）的值域为B，如果A⊆B，则a的取值范围是（﹣∞，]∪[5，+∞）．【解答】解：集合A={x|x2﹣3x﹣4≤0，x∈R}={x|﹣1≤x≤4}．函数f（x）==，①当a=0时，可得f（x）=0，不满足题意；②当a＞0时，0≤x≤4，f（x）=是递增函数，其值域为[0，a﹣]；而﹣3≤x＜0，f（x）=是递增函数，其值域为[﹣a+，0）；∵A⊆B，∴，，解得：a≥5．③当a＜0时，0≤x≤4，f（x）=是递减函数，其值域为[a﹣，0]．而﹣3≤x＜0，f（x）=是递减函数，其值域为（0，﹣a+]；∵A⊆B，∴，解得：a，综上可得a的取值范围是（﹣∞，]∪[5，+∞），故答案为：（﹣∞，]∪[5，+∞）．三、解答题：本大题共6小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（14分）设集合A{x|﹣4≤x≤1}，集合B={x||x+a|≤1}．（1）若a=3，求∁R（A∪B）；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=3时，由|x+3|≤1，解得﹣4≤x≤﹣2，即集合B=[﹣4，﹣2]，∴A∪B=[﹣4，1]，∴∁R（A∪B）=（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞），（2）∵A∩B=B，∴B⊊A，∵A={x|﹣4≤x≤1}=[﹣4，1]，集合B={x||x+a|≤1}=[﹣a﹣1，﹣a+1]，∴，解得0≤a≤3，即实数a的取值范围为[0，3]．16．（14分）已知函数f（x）=log 3•log3（3x）．（1）解不等式f（x）＞0；（2）当函数f（x）的定义域为[1，9]时，求f（x）的值域．【解答】解：f（x）=log3•log3（3x）=（log3x﹣2）（log3x+1）．（1）由f（x）＞0，得（log3x﹣2）（log3x+1）＞0，即log3x＜﹣1或log3x＞2，∴0或x＞9．∴不等式f（x）＞0的解集为（0，）∪（9，+∞）；（2）f（x）=log3•log3（3x）=（log3x﹣2）（log3x+1）=．由1≤x≤9，得0≤log3x≤2，∴当log3x=时，；当log3x=2时，f（x）max=0．∴f（x）的值域为[]．17．（14分）已知函数f（x）满足f（x﹣1）=log a（2﹣x）﹣log a x．（1）求函数f（x）的解析式及定义域；（2）解关于x的不等式f（2x）＜0．【解答】解：（1）令t=x﹣1，则x=t+1，由2﹣x＞0且x＞0得：x∈（0，1），即t∈（﹣1，1），∵f（x﹣1）=log a（2﹣x）﹣log a x．∴f（t）=log a（﹣t+1）﹣log a（t+1）=．∴f（x）=，函数的定义域为：（﹣1，1），（2）f（2x）=．当a∈（0，1）时，f（2x）＜0可化为：，解得：x∈（﹣，0），当a∈（1，+∞）时，f（2x）＜0可化为：，解得：x∈（0，）．18．（16分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（1）请分析函数y=+1是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若该公司采用函数模型y=作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．【解答】解：（1）对于函数模型y=f（x）=+1，当x∈[10，1 000]时，f（x）为增函数，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）f（x）max=f（1 000）=+1=+1＜9，所以f（x）≤9恒成立，﹣﹣﹣（2分）又因为当x∈[10，1 000]时f（x）﹣=﹣+1≤f（10）=﹣＜0，所以f（x）≤恒成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）故函数模型y=+1符合公司要求．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）对于函数模型y=g（x）=，即g（x）=10﹣，当3a+20＞0，即a＞﹣时递增，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）为使g（x）≤9对于x∈[10，1 000]恒成立，即要g（1 000）≤9，3a+18≥1 000，即a≥，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）为使g（x）≤对于x∈[10，1 000]恒成立，即要≤5，即x2﹣48x+15a≥0恒成立，即（x﹣24）2+15a﹣576≥0（x∈[10，1 000]）恒成立，又24∈[10，1 000]，故只需15a﹣576≥0即可，所以a≥．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）综上，a≥，故最小的正整数a的值为328．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）19．（16分）设函数f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）．（1）若f（1）＞0．①判断并证明函数f（x）的单调性；②解关于x的不等式f（x2+2）+f（x﹣4）＜0；（2）若f（1）=，且对任意的x∈[1，+∞），不等式a2x+a﹣2x﹣2mf（x）+2≥0恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（1）＞0，∴a﹣＞0，∴a＞1，∴f（x）=a x﹣a﹣x是R上的递增函数，①证明：设x1，x2是R上的任意两个值，且x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=﹣﹣+=（﹣）（1+），∵a＞1，且x1＜x2，∴0＜＜，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2）∴f（x）是R上的增函数；②∵函数的定义域是R，且f（﹣x）=﹣f（x），故函数y=f（x）是R上的奇函数，∴f（x2+2）+f（x﹣4）＜0，∴f（x2+2）＜﹣f（x﹣4）=f（4﹣x），∴x2+2＜4﹣x，解得：﹣2＜x＜1，故不等式的解集是{x|﹣2＜x＜1}；（2）因为f（1）=，所以a﹣=，解得a=2（a＞0），设g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）+2=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+4，设t=f（x）=2x﹣2﹣x，则由x≥1，得t≥f（1）=，g（t）=t2﹣2mt+4=（t﹣m）2+4﹣m2，若m≥，则当t=m时，y min=4﹣m2≥0，解得：≤m≤2，若m＜，则当t=时，y min=﹣3m≥0，解得m＜，综上得m≤2．20．（16分）已知函数f（x）=x2﹣4，g（x）=k•|x﹣a|．（1）当a=2时，求函数y=f（x）+g（x）在区间[0，4]上的最大值；（2）当a=2时，若函数y=f（x）﹣g（x）有且仅有一个零点，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）当x∈[0，4]时y=f（x）+g（x）=，因为y=f（x）+g（x）在区间[0，4]上图象由两段抛物线段组成，且这两个抛物线开口均向上，所以其最大值只可能是f（0）、f（2）、f（4）其中之一．又f （0）=2k ﹣4，f （2）=0，f （4）=12+2k ，显然f （4）＞f （0）．所以当k ≥﹣6时，所求最大值为f （4）=12﹣2k ；当k ＜﹣6时，所求最大值为f （2）=0．（2）由题意得，y=f （x ）﹣g （x ）=x 2﹣4﹣k |x ﹣2|，方程x 2﹣4﹣k |x ﹣2|=0有且仅有一个解，显然，x=2已是该方程的解，当x ≥2时，方程变为（x ﹣2）（ x +2﹣k ）=0；当x ＜2时，方程变为（x ﹣2）（ x +2+k ）=0．从而关于x 的方程x +2﹣k=0（x ≥2）有且仅有一个等于2的解或无解，且x +2+k=0（x ＜2）无解．又x=2时，k=4，此时x=﹣6也是方程的解，不合题意．所以关于x 的方程x +2﹣k=0（x ≥2）无解，且x +2+k=0（x ＜2）无解．所以，k ＜4且k ≤﹣4．综上，k ≤﹣4，即实数k 的取值范围为（﹣∞，﹣4]．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DFE-a1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°DEa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：x-aa-a运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。