2016海南外国语职业学院数学对口单招试题测试版(附答案解析)

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[时间：45分钟 分值：100分]
基础热身
1．化简[(－2)6]1
2－(－1)0的结果为________．
2．下列等式能够成立的是________(填序号)． ①⎝⎛⎭⎫n m 7＝m 17n 7; ②12(－2)4
＝3－2； ③4
x 3＋y 3＝(x ＋y )3
4
； ④
39＝33.
3．若a ＝50.2，b ＝0.52，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为________． 4．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则有a ＝________. 能力提升
5．计算：⎝⎛⎭⎫21412－(9.6)0－⎝⎛⎭
⎫338－2
3＋1.5－2＝________.
6．函数y ＝⎝⎛⎭
⎫1
3x 2＋1的值域为________．
7．方程9x －6·3x －7＝0的解是________．
8．已知f (x )＝a x ＋b 的图象如图K8－1所示，则f (3)＝________.
图K8－1
9．若函数f (x )＝e －(x －u )2(e 是自然对数的底数)的最大值是m ，且f (x )是偶函数，则m ＋u ＝________.
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10．设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )
＝3x －1，那么f ⎝⎛⎭⎫23、f ⎝⎛⎭⎫13及f ⎝⎛⎭
⎫3
2的大小顺序为________．
11． 已知过点O 的直线与函数y ＝3x 的图象交于A 、C 两点，点A 在线段OC 上，过A 作y 轴的平行线交函数y ＝9x 的图象于B 点，当BC ∥x 轴时，点A 的横坐标是________．
图K8－2
12．函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,16]，当a 变动时，函数b ＝g (a )的图象可以是________(填序号)．
图K8－3
13．(8分)(1)计算：(124＋223)12－2716＋163
4－2⎝⎛⎭⎫8－23－1；
(2)计算：338－23－5490.5＋0.008－23÷5012×0.321
2÷0.06250.25；
(3)化简：
a 1
2b
b －12
3a
－2
÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1b －1b a －23.
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14．(8分)已知函数f(x)＝a2x＋2a x－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值为14，求实数a的值．
15．(12分)若方程2a＝|a x－1|(a>0，且a≠1)有两解，求a的取值范围．
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16．(12分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b
2x ＋1＋a 是奇函数．
(1)求a ，b 的值；
(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．
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参考答案
【基础热身】
1．7 [解析] [(－2)6]1
2－(－1)0＝8－1＝7.
2．④ [解析] ∵⎝⎛⎭⎫n m 7＝n 7·m －7，12(－2)4
＝32，4x 3＋y 3＝(x 3＋y 3)14≠(x ＋y )34，
39＝
3
9＝3
3.故填④.
3．a >c >b [解析] a ＝50.2>50＝1,0.52<0.50.2<0.50＝1，∴a >c >b .
4．2 [解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－3a ＋3＝1，a >0且a ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧
a 2－3a ＋2＝0，
a >0且a ≠1，
得a ＝2. 【能力提升】
5.12 [解析] 原式＝32－1－49＋49 ＝1
2
. 6.⎝⎛⎦⎤0，13 [解析] 因为x 2＋1≥1，且y ＝⎝⎛⎭⎫13x 单调递减，故函数y ＝⎝⎛⎭
⎫1
3x 2＋1的值域
为⎝⎛⎦
⎤0，13 .
7．x ＝log 37 [解析] 由9x －6·3x －7＝0，得(3x )2－6·3x －7＝0，整理得，(3x －7)(3x
＋1)＝0.∵3x >0，∴3x ＝7，x ＝log 37.
8．33－3 [解析] 由图象知f (0)＝1＋b ＝－2，∴b ＝－3. 又f (2)＝a 2－3＝0，函数f (x )递增，∴a ＝3， 则f (3)＝(3)3－3＝33－3.
9．1 [解析] 由f (x )是偶函数，得u ＝0，∴f (x )＝e －x 2＝1e x 2≤1
e 0＝1，即
f (x )的最大
值m ＝1，∴m ＋u ＝1＋0＝1.
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10．f ⎝⎛⎭⎫23＜f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭
⎫1
3 [解析] 由题设知，当x ≥1时，f (x )＝3x －1单调递增．因其
图象关于直线x ＝1对称，∴x ≤1时，f (x )单调递减，∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－32＝f ⎝⎛⎭⎫12，∴f ⎝⎛⎭⎫23＜f ⎝⎛⎭
⎫
1
2＜f ⎝⎛⎭⎫13，即f ⎝⎛⎭⎫23＜f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭
⎫13.
11．log 32 [解析] 设A (x 0,3x 0)，因AB 平行于y 轴，则B (x 0,9x 0)， 又因为BC 平行于x 轴，则C (2x 0,9x 0)．
因为O ，A ，C 三点共线，有x 09x 0＝2x 03x 0⇒3x 0＝2⇒x 0＝log 32. 12．② [解析] 函数y ＝2|x |的图象如图．
当a ＝－4时，0≤b ≤4；当b ＝4时，－4≤a ≤0，
13．[解答] (1)原式＝(11＋3)2×12－33×16＋24×34－2×8－2
3×(－1)＝11＋3－312＋23－2×23×23
＝11＋3－3＋8－8＝11.
(2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫82723－⎝⎛⎭⎫49912＋⎝⎛⎭⎫100082
3÷50×225
÷⎝⎛⎭⎫6251000014＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49－73＋25×152
×225÷12＝19×2＝29. (3)原式＝a 12b
1
2b －12a －
23
÷⎝ ⎛⎭
⎪⎫a －1b －12ba 12－23＝⎝⎛⎭⎫a 12＋23b 12＋12÷⎝
⎛⎭⎫a －1－12b －12－1－2
3＝⎝⎛⎭⎫a 76b ÷(ab )＝6
a .
14．[解答] f (x )＝a 2x ＋2a x －1＝(a x ＋1)2－2， ∵x ∈[－1,1]，
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(1)当0<a <1时，a ≤a x ≤1
a ，
∴当a x ＝1
a 时，f (x )取得最大值． ∴⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14，∴1a ＝3，∴a ＝13.
(2)当a >1时，1
a ≤a x ≤a ， ∴当a x ＝a 时，f (x )取得最大值． ∴(a ＋1)2－2＝14，∴a ＝3. 综上可知，实数a 的值为1
3或3.
15．[解答] 原方程有两解，即直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0，且a ≠1)的图象有两个公共点，数形结合．
当a >1时，如图①，只有一个公共点，不符合题意． 当0<a <1时，如图②，由图象可知0<2a <1， ∴0<a <12.
16．[解答] (1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b
2＋a ＝0，解得b ＝1.
从而有f (x )＝－2x ＋1
2x ＋1＋a .
又由f (1)＝－f (－1)知
－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a
，解得a ＝2.
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(2)法一：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋1
2x ＋1
，
由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0⇒f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．
因f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k ， 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0， 解得k <－1
3.
法二：由(1)知f (x )＝－2x ＋1
2x ＋1＋2
，
又由题设条件得－2t 2－2t ＋1
2t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k ＋1
22t 2－k ＋1＋2
<0， 即(22t 2－k ＋1＋2)(－2t 2－2t ＋1)＋(2t 2－2t ＋1＋2)(－22t 2－k ＋1)<0， 整理得23t 2－2t －k >1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0. 上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0， 解得k <－1
3.。