江西省赣州市2018-2019学年高二数学下册第一次月考试题
江西省赣州市2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题文(含解析)
赣州市2018~2019学年度第二学期期末考试高二数学（文科）试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.1.已知复数z 满足()2i i z -=，则复数z 的虚部为（ ） A. 15- B.25C.2i 5D. 1i 5【答案】B 【解析】 【分析】 由题意，i2iz =-，化简可得到复数z 的虚部. 【详解】由题意，()()()2i i 12i 2i 2i 2i 55i z +===-+--+，故复数z 的虚部为25. 故答案为B.【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了复数的虚部，属于基础题.2.下列结论正确的是（ ） A. 若22ac bc <，则a b < B. 若a b >，则22a b > C. 若a b >，则11a b> D. 若a b >，则a b <【答案】A 【解析】 【分析】结合不等式的性质，对四个选项逐个分析，即可得到答案.【详解】对于选项A ，由22ac bc <，可得0c ≠，20c >，则a b <，故选项A 成立； 对于选项B ，取0,1a b ==-，则22a b <，故选项B 不正确； 对于选项C ，取2,1a b ==，11a b<，故选项C 不正确；对于选项D ，取2,1a b ==，a b >，故选项D 不正确. 故答案为B.【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了学生对基础知识的掌握.3.在一个袋子中装有6个除颜色外完全相同的球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，从中依次不放回地抽取2个球，则在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球的概率为（ ） A.15B.25C.35D.45【答案】B 【解析】 【分析】设抽取第一个球是红球的事件为A ，第二个球是黄球的事件为B ，所求概率为()()()|P AB P B A P A =，求解即可.【详解】设抽取第一个球是红球的事件为A ，第二个球是黄球的事件为B ，则()16P A =，()1216515P AB =⨯=，则所求概率为()()()25P AB P B A P A |==. 故选B.【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生对条件概率知识的掌握，属于基础题.4.已知点P 的极坐标为()2,π，则过点P 且垂直于极轴的直线方程为（ ） A. 2ρ= B. 2cos ρθ= C. 2cos ρθ=-D. 2cos ρθ=【答案】C 【解析】 【分析】先求出点P 在直角坐标系中的横坐标，再求出过点P 且垂直于极轴的直线方程的直角坐标方程，化为极坐标方程即可.【详解】由题意，设点P 在直角坐标系中的坐标为(),x y ，则2cos π-2x ==，则过点P 且垂直于极轴的直线方程的直角坐标方程为-2x =，其极坐标方程为cos 2ρθ=-，即2cos ρθ=-，故选C. 【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，属于基础题.5.函数22ln 3y x x =-的单调递增区间为（ ）A. ⎛ ⎝⎭B. ⎫∞⎪⎪⎝⎭C. ⎛-∞ ⎝⎭D. ⎛ ⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】对函数22ln 3y x x =-求导，利用导函数求出单调递增区间即可. 【详解】函数22ln 3y x x =-的定义域为()0,∞+，求导可得()()22611y x x x '=-=+，由于()210x >，故10>时，0y '>，即03x <<时，函数22ln 3y x x =-单调递增，故选A. 【点睛】求函数单调区间，首先要求函数的定义域.6.我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几个?程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出n 的值为（ ）A. 20B. 25C. 75D. 80【答案】B 【解析】 【分析】根据程序的运行过程，依次得到,,n m S 的值，然后判断是否满足100S =，结合循环结构，直至得到符合题意的n .【详解】执行程序框图，8026020,1002080,32010033n m S ==-==⨯+=≠； 则7926821,1002179,6310033n m S ==-==+=≠； 则7822,1002278,66921003n m S ==-==+=≠； 则7728423,1002377,6910033n m S ==-==+=≠； 则7629224,1002476,7210033n m S ==-==+=≠； 则7525,1002575,751003n m S ==-==+=成立， 故输出25n =. 故答案为B. 【点睛】本题主要考查了程序框图，考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题.7.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：（ ）广告费用x （万元） 1 2 4 5 销售客y （万元）6142832根据上表中的数据可以求得线性回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为6.6，据此模型预报广告费用为8万元时销售额为（ ）A. 52.8万元B. 53万元C. 53.2万元D. 53.4万元 【答案】B 【解析】 【分析】先求出,x y ，由样本点的中心(),x y 在回归直线上，可求出ˆa ，从而求出回归方程，然后令8x =，可求出答案.【详解】由题意，124561428323,2044x y ++++++====，则样本中心点()3,20在回归方程上，则ˆ20 6.630.2a=-⨯=，故线性回归方程为ˆ 6.60.2y x =+，则广告费用为8万元时销售额为6.680.253⨯+=万元，故选B.【点睛】本题考查了线性回归方程的求法，考查了学生的计算能力，属于基础题.8.已知a ，b ，()0,c ∈+∞，则下列三个数1a b +，4b c +，9c a+（ ） A. 都大于4 B. 至少有一个不大于4 C. 都小于4 D. 至少有一个不小于4【答案】D 【解析】分析：利用基本不等式可证明111a b c b c a+++++6≥，假设三个数都小于2，则1116a b c b c a+++++<不可能，从而可得结果.详解：1111116a b c a b c b c a a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q ， 假设三个数都小于2， 则1116a b c b c a+++++<，所以假设不成立， 所以至少有一个不小于2，故选D.点睛：本题主要考查基本不等式的应用，正难则反的思想，属于一道基础题. 反证法的适用范围：（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．9.如图所示是函数()y f x =的导数()y f x '=的图像，下列四个结论：①()f x 在区间()3,1-上是增函数；②()f x 在区间()2,4上是减函数，在区间()1,2-上是增函数： ③1x =是()f x 的极大值点； ④1x =-是()f x 的极小值点. 其中正确的结论是（ ） A. ①③ B. ②③C. ②③④D. ②④【答案】D 【解析】 【分析】结合导函数的图象，可判断函数()y f x =的单调性，从而可判断四个结论是否正确. 【详解】由题意，31x -<<-和24x << 时，()0f x '<；12x -<<和4x >时，()0f x '>， 故函数()y f x =在()3,1--和()2,4上单调递减，在()1,2-和()4,+∞上单调递增，1x =-是()f x 的极小值点，2x =是()f x 的极大值点，故②④正确，答案为D.【点睛】用导数求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域；②求导数()f x '； ③求方程()0f x '=的根；④检查()f x '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，则()f x 在这个根处取得极小值.10.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且以相同的单位长度建立极坐标系，则直线1,1x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）被曲线4cos ρθ=-截得的弦长为（ ）B. 2C.D. 4【答案】C 【解析】 【分析】分别求出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程，联立可得交点坐标，从而可求出弦长. 【详解】由题意，直线的普通方程为0x y +=，曲线4cos ρθ=-的直角坐标方程为2240x y x ++=，联立两个方程可得00x y =⎧⎨=⎩或者22x y =-⎧⎨=⎩，则二者交点坐标为()()0,0,2,2-=.故选C.【点睛】本题考查了曲线的极坐标方程，考查了直线的参数方程与普通方程的转化，考查了直线与圆的位置关系，考查了弦长的求法，考查了学生的计算能力，属于基础题.11.设函数()f x 在R 上可导，()()2121f x x f x '=-+，则()22f a a -+与()1f 的大小关系是（ ）A. ()()221f a a f -+>B. ()()221f a a f -++C. ()()221f a a f -+<D. 不确定【答案】A【解析】 【分析】对()f x 求导，令1x =可求出()12f '=，从而可得到()2221f x x x =-+，然后利用二次函数的单调性可比较出()22f a a -+与()1f 的大小关系.【详解】由题意，()()212f x f x ''=-，则()()1212f f ''=-，可得()12f '=，则()2221f x x x =-+，由二次函数性质可知，函数()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因为2217121242a a a ⎛⎫-+=-+>> ⎪⎝⎭，所以()()221f a a f -+>，故答案为A.【点睛】本题考查了导数的计算，考查了函数单调性的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题.12.若函数()()e ln xf x a x x x =+-在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭内有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()e --B. )e ⎡--⎣C. 2e ,2⎛-- ⎝D. 2e ,2⎛-- ⎝【答案】D 【解析】 【分析】由题意，可知()()()21e 0x x ax f x x -+'==在1,22⎛⎫⎪⎝⎭内有两个不同的解，而1x =是()0f x '=的一个解，则e 0x ax +=在1,22⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个不为1的解，则函数y a =与e x y x =-的图象在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上只有一个交点，通过求函数e xy x =-的单调性可得到答案.【详解】由题意，()()()21e x x ax f x x -+'=，因为()f x 在1,22⎛⎫⎪⎝⎭内有两个不同的极值点，所以()0f x '=在1,22⎛⎫⎪⎝⎭内有两个不同的解， 由于1x =是()0f x '=的一个解，则e 0x ax +=在1,22⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个不为1的解， 则e x a x =-，即函数y a =与exy x =-的图象在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上只有一个交点，且交点的横坐标不为1，令()e xh x x =-，求导得()()2e 1x x h x x-'=，则112x <<时，()0h x '>；12x <<时，()0h x '<，故()exh x x =-在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()1,2上单调递减，且()0h x <在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，12h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2e 22h =-，()122h h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故当()122h a h ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，即2e2a -<≤-y a =与e xy x =-的图象在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上只有一个交点. 当()1a h =时，函数y a =与exy x =-的图象在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上只有一个交点，但不符合题意，需舍去.故2e 2a -<≤-()f x 在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭内有两个不同的极值点. 故选D.【点睛】函数的极值与导函数的零点有直接关系，已知函数有零点（方程有根）求参数值常用的方法和思路：（1）直接法：直接求解方程，得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解.二、填空题：答案填写在答题卷上.13.设复数3ii 1iz -=++，则z ________.【解析】 【分析】先利用复数的四则运算化简z ，然后求出复数z 的模即可. 【详解】由题意，()()()()3i 1i 3i 24i i=i=+i=1i 1i 1i 1i 2z ----=++-++-，则z ==【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了复数的模的计算，属于基础题.14.曲线11x y x +=-在点()2,3处的切线方程为________. 【答案】270x y +-= 【解析】 【分析】 对11x y x +=-求导，求出2x =时，2y '=-，则点()2,3处的切线方程的斜率为-2，利用点斜式可得到所求直线方程.【详解】由题意，点()2,3在11x y x +=-上，()221y x '=--，当2x =时，2y '=-，则点()2,3处的切线方程的斜率为-2，切线方程为()322y x -=--，即270x y +-=. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了学生的计算能力，属于基础题.15.观察下列等式：11234934567254567891049=++=++++=++++++=照此规律，则第五个等式应为________________. 【答案】567891011121381++++++++= 【解析】【分析】左边根据首数字和数字个数找规律，右边为平方数，得到答案. 【详解】等式左边：第n 排首字母为n ，数字个数为21n - 等式右边：2(21)n -第五个等式应为：567891011121381++++++++= 故答案为：567891011121381++++++++= 【点睛】本题考查了找规律，意在考查学生的应用能力.16.已知正数x ，y 满足5x y +=，则1112x y +++的最小值为________. 【答案】12【解析】 【分析】 由5x y +=，可得()()128x y +++=且10,20x y +>+>，则()()11111111128128122112x y x y x y y x x y +++++⎛⎫⎛⎫+=+=+++⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎝⎭，利用基本不等式可求出1112x y +++的最小值. 【详解】由5x y +=，可得()()128x y +++=且10,20x y +>+>，则()()111111281122x y x x y y ⎛⎫+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦+++++++⎝⎭1111128128212x y y x ++⎛⎛⎫=+++≥+= ⎪ ++⎝⎝⎭，（当且仅当1221x y y x =++++即3,2x y ==时取“=”）.故1112x y +++的最小值为12. 【点睛】利用基本不等式求最值必须具备三个条件： ①各项都是正数；②和（或积）为定值； ③等号取得的条件.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.设函数()2f x x x a =++-.（1）当1a =时，求不等式()5f x ≤的解集；（2）若不等式()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}32x x -≤≤（2）(][),31,-∞--+∞U 【解析】 【分析】（1）当1a =时，()21f x x x =++-，分2x <-，21x -≤≤，21x -≤≤三种情况去绝对值解不等式()5f x ≤即可；（2）不等式()1f x ≥恒成立，转化为()min 1f x ≥，求出()min f x 即可求出实数a 的取值范围.【详解】解：（1）当1a =时，()21f x x x =++-， 当2x <-时，()215f x x =--≤，解得32x -≤<-， 当21x -≤≤时，()35f x =≤恒成立，即21x -≤≤均符合， 当1x >时，()215f x x =+≤，解得12x <≤， 综上所述，不等式的解集为{}32x x -≤≤. （2）不等式()1f x ≥恒成立，转化为()min 1f x ≥. 由于()2f x x x a =++-≥()()22x x a a +--=+，所以21a +≥， 分解得3a ≤-或1a ≥-.所以实数a 的取值范围为(][),31,-∞--+∞U .【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了不等式恒成立问题，考查了学生的计算能力，属于基础题.18.某校为调查高中生在校参加体育活动的时间，随机抽取了100名高中学生进行调查，其中男女各占一半，下面是根据调查结果绘制的学生日均体育锻炼时间的频率分布直方图：将日均体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“良好”，已知“良好"评价中有18名女姓， 非良好 良好 合计 男生 女生 合计参考公式：()()()()()22n ad bc x a b c d a c b d -=++++()2P x k ≥0.050 0.010 0.001k3.841 6.635 10.828（1）请将下面的列联表补充完整；（2）能有多大把握认为“高中生的性别与喜欢体育锻炼”有关?【答案】（1）见解析；（2）有99%的把握认为“高中生的性别与喜欢体育锻炼”有关 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图可知()400.5P x ≥=，结合抽取总人数为100，可知评价为“良好”的学生人数为50，再由“良好"评价中有18名女姓，可得到“非良好”的男女人数，从而完成列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc x a b c d a c b d -=++++，求出2x ，从而可得出结论.【详解】解：（1）设学生日均体育锻炼时间为x 分钟，根据频率分布直方图可知()400.5P x ≥=.抽取总人数为100，所以评价为“良好”的学生人数为50.列联表如下：（2）由()22100181832321967.84 6.6355050505025x ⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯.所以有99%的把握认为“高中生的性别与喜欢体育锻炼”有关.【点睛】本题考查了频率分布直方图与独立性检验知识，考查了学生的计算能力，属于基础题.19.已知函数()3239f x x ax x b =--+，且()f x 在1x =-处取得极值3.（1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 在[]2,4-的最值.【答案】（1）()32392f x x x x =---（2）最大值为3；最小值为29-【解析】 【分析】（1）由题意可知()()18331660f a b f a ⎧-=-+=⎪⎨-=-='⎪⎩，即可求出,a b 的值，从而得到()f x 的解析式；（2）对()f x 求导，求出()f x 的单调性，即可得到()f x 在[]2,4-的最值. 【详解】解：（1）由()3239f x x ax x b =--+，得()2369f x x ax '=--又因为()f x 在1x =-处取得极值3，所以()()18331660f a b f a ⎧-=-+=⎪⎨-=-='⎪⎩，解得1a =，2b =-，经检验，符合条件，所以()32392f x x x x =---.（2）由（1）可知()()()2369313f x x x x x '=--=+-所以函数()f x 在[]2,4-的最大值为3。
江西省南康中学2018_2019学年高二数学下学期第一次月考试题理
南康中学2018～2019学年度第二学期高二第一次大考数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设()sin cos f x x x =-，则()f x 在4x π=处的导数()4f π'=（ ）AB ．C ．0D 2、双曲线2221x y -=的离心率为（ ）AB CD 3、下列3个命题：①命题“若20x x -=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则20x x -≠”； ②若2:(2)0,:log 1p x x q x -≤≤，则p 是q 的充要条件；③若命题:p x R ∃∈，使得22x x <，则:p ⌝x R ∀∈，均有22x x ≥. 其中正确命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个4、利用数学归纳法证明22111(1,)1n n a a a aa n N a+++-++++=≠∈-时，在验证1n =成立时，左边应该是（ ） A ．1B ．1a +C ．21a a ++D ．231a a a +++5、如图示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形为( ) A ．43B ．83C ．23D ．无法计算6、抛物线28y x =的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且||4||MF OF =，则MFO ∆的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．67、设实数,x y 满足约束条件021x x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则18()4xy -的最大值为（ ）A ．64B ．32C ．D ．18、如图可能是下列哪个函数的图象（ ）A ．221xy x =--B ．2sin 41x x y x =+C ．ln x y x=D ． 2(2)x y x x e =-9、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．13π+ B ．23π+C ．123π+D ．223π+10、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点对称点为B ，F 为其右焦点，若,6AF BF ABF π⊥∠=，则该椭圆的离心率为（）A ．2B 1C ．12D ．211、已知球的直径2SC =，,A B 是该球球面上的两点，1,45AB ASC BSC =∠=∠=︒，则棱锥S ABC -的体积为（） AB ．4C ．3D ．612、已知函数21()xax f x e+=（e 为自然对数的底数），函数()g x 满足()()2()g x f x f x ''=+，其中(),()f x g x ''分别为函数()f x 和()g x 的导函数，若函数()g x 在[1,1]-上是单调函数，则实数a 的取值范围为（ ）正视图俯视图A ．1a ≤B ．113a -≤≤ C ．1a >D ．13a ≥-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把正确答案填在题中相应的横线上. 13、函数4()3(0)f x x x x=+>的最小值为 14、函数()x f x xe =在点(1,(1))f 处的切线的斜率是15、已知()sin(1)f x x =-，若{}1,3,5,7p ∈，则()0f p ≤的概率为 16、若双曲线222(0)x y a a -=>的左、右顶点分别是,A B ，点P 是第一象限内双曲线上的点，若直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ，那么αβ+=三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分10分）为了美化校园环境，某校计划对学生乱扔垃圾现象进行罚款处理。
【解析】江西省赣州市2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题
赣州市2018 -2019学年度第二学期期末考试高二数学（理科）试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1.在复平面内，复数221z i i=+-+所对应的点在第几象限（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D 【分析】化简复数，找到对应点，判断象限. 【详解】复数2212321z i i i i i=+-=-+-=-+ 对应点：(3,2)- 在第四象限故答案选D【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题.2.抛物线24y x =的焦点坐标是（ ） A. ()1,0 B. 1,016⎛⎫⎪⎝⎭C. ()0,1D. 10,16⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【分析】将抛物线方程化成标准形式后再求出焦点坐标． 【详解】由题意抛物线的标准方程为24y x =， 所以抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，且18p =， 所以1216p =， 因此焦点坐标为1(0,)16．故选D ．【点睛】本题考查抛物线的性质，解题的关键是将抛物线的方程化为标准形式后再求解，属于简单题．3.一物体的运动方程为212S at =-（a 为常数），则该物体在t t =0时刻的瞬时速度为（ ） A. 0at B. 0at -C. 012atD. 02at【答案】B 【分析】对运动方程为212S at =-求导，代入t t =0，计算得到答案. 【详解】对运动方程为212S at =-求导'S at ⇒=-代入t t =0 0'V S at ==- 故答案选B【点睛】本题考查了导数的意义，意在考查学生的应用能力.4.具有线性相关关系的变量x ，y ，满足一组数据如表所示，y 与x 的回归直线方程为3 1.5y x =-，则m 的值为（ ）A. 1B. 1.5C. 2D. 2.5【答案】A 【分析】将数据的中心点计算出来，代入回归方程，计算得到答案.【详解】 1.5x = 574m y += 中心点为：57(1.5,)4m +代入回归方程 4.5157.541m m +=-⇒= 故答案选A【点睛】本题考查了回归方程过中心点的知识，意在考查学生的计算能力.5.若随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且()()2312P XP x ≥=≤≤，()3P X <=（ ） A.13B.56 C.16 D.23【答案】B设(3)P X x ≥=，则(12)2P X x ≤≤=，根据对称性，(23)2P X x ≤≤=， 则(2)3P X x ≥=0.5=，即1(3)6P X ≥=，故5(3)6P X <= 故选：B ．6.将一枚质地均匀且各面分别有狗，猪，羊，马图案的正四面体玩具抛掷两次，设事件=A {两次掷的玩具底面图案不相同}，B ={两次掷的玩具底面图案至少出现一次小狗}，则()P BA =（ ） A.712B.512C.12D.1112【答案】C 【分析】利用条件概率公式得到答案. 【详解】336()1616P AB +== 412()11616P A =-=()()1()2P AB P B A P A ==故答案选C【点睛】本题考查了条件概率的计算，意在考查学生的计算能力.7.函数ln y x =在()()33P f ,处的切线与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线平行，则双曲线的离心率是（ ）D.3【答案】D 【分析】计算函数ln y x =在()()33P f ,处的切线斜率，根据斜率计算离心率.【详解】11ln '3y x y k x =⇒=⇒= 切线与一条渐近线平行133b b y x a b a a ⇒=⇒=⇒=3c e a a ===故答案选D【点睛】本题考查了切线方程，渐近线，离心率，属于常考题型.8.如图，在矩形OABC 中的曲线分别是sin y x =，cos y x =的一部分，,02A π⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1C ，在矩形OABC 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A.)41πB.)31πC.)21π【答案】A【分析】先利用定积分计算阴影部分面积，再用阴影部分面积除以总面积得到答案. 【详解】曲线分别是sin y x =，cos y x =的一部分则阴影部分面积为：4102(cos sin )2(sin cos )240S x x dx x x ππ=-=+=⎰总面积为：122S ππ=⨯=11)S P S π==【点睛】本题考查了定积分，几何概型，意在考查学生的计算能力.9.已知函数()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程是210x y -+=，若()()f x h x x=，则()2h '=（ ）A.12B. 12-C. 18-D.58【答案】C 【分析】根据切线方程计算1'(2)2f =，3(2)2f =，再计算()h x 的导数，将2代入得到答案. 【详解】函数()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程是210x y -+=1'(2)2f ⇒=3(2)2f = ()()2'()()'()f x f x x f x h x h x x x-=⇒= ()3112248h -'==- 故答案选C【点睛】本题考查了切线方程，求函数的导数，意在考查学生的计算能力.10.从1，3，5中任取2个不同的数字，从0，2，4中任取2个不同的数字，可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（ ） A. 96 B. 54 C. 108 D. 78【答案】A 【分析】根据选取的两个偶数是否包含0分为两种情况，种数相加得到答案.【详解】选取的两个偶数不包含0时：2213322336C C C A ⨯⨯⨯=选取的两个偶数包含0时：21323232(2)60C C A A ⨯⨯+⨯=故共有96个偶数 答案选A【点睛】本题考查了排列组合，将情况分类可以简化计算.11.已知定圆()22151C x y ++=:， ()2225225C x y -+=:，定点()4,1M ，动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切，则1CM CC +的最大值为（ ）A. 16B. 16C. 16+D. 16【答案】A 【分析】将动圆C 的轨迹方程表示出来：2216439x y +=,利用椭圆的性质将距离转化,最后利用距离关系得到最值.【详解】定圆()22151C x y ++=:， ()2225225C x y -+=:，动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切设动圆半径为r ，则12121,1516CC r CC r CC CC =+=-⇒+=表示椭圆，轨迹方程为：2216439x y +=122161616CM CC CM CC C M -==+≤++故答案选A【点睛】本题考查了轨迹方程，椭圆的性质，利用椭圆性质变换长度关系是解题的关键.12.设函数()()12xf x e x =-，()g x ax a =-，1a >-若存在唯一的整数0x ，使()()0f x g x ->，则a 的取值范围是（ ）A. 31,2e ⎛⎤- ⎥⎝⎦B. 2,13e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 31,2e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦D.21,32e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】C 【分析】先确定0x =是唯一整数解,再通过图像计算(1)(1)g f -≥-得到范围. 【详解】()()()()12'1+2xxf x e x f x e x =-⇒=12x >- 是函数单调递减；21x <-函数单调递增.存在唯一的整数0x ，使()()0f x g x ->取0x =，1a >-，()()0010f g a -=+>满足，则0是唯一整数.()g x ax a =-恒过定点(1,0)如图所示：(1)(1)g f -≥-即3322a a e e≤-⇒≤-综上所诉：31,2a e ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦故答案选C【点睛】本题考查了函数的图像，函数的单调性，首先确定0是唯一解是解题的关键.二、填空题.13.已知i 是虚数单位，若复数z 满足20191zi i =+，则z = ________.【分析】先计算复数，再计算复数的模.【详解】20191()11zii z i i z i z z =+⇒⨯-=+⇒=-+⇒==【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题.14.(333cos x x dx -=⎰________.【答案】92π【分析】将定积分分为两部分，前一部分根据奇函数积分为0，后一部分转化为几何面积得到答案.【详解】(3333333cos cos x x dx x xdx ---=+⎰⎰⎰3cos x x 为奇函数333cos 0x xdx -=⇒⎰3-⎰表示半径为3的半圆面积：为92π 故答案为：92π 【点睛】本题考查了定积分的计算，根据奇函数的性质可以简化运算.15.观察下列等式：11234934567254567891049=++=++++=++++++=照此规律，则第五个等式应为________________. 【答案】567891011121381++++++++= 【分析】左边根据首数字和数字个数找规律，右边为平方数，得到答案. 【详解】等式左边：第n 排首字母为n ，数字个数为21n - 等式右边：2(21)n -第五个等式应为：567891011121381++++++++= 故答案为：567891011121381++++++++= 【点睛】本题考查了找规律，意在考查学生的应用能力.16.已知函数()f x '是()()f x x R ∈的导函数，若()()2220f x f x '->，则()()122x e f x f ->的______.（其中e 为自然对数的底数）【答案】(1,)+∞ 【分析】 构造函数(2)()xf x F x e =根据函数单调性解不等式得到答案. 【详解】构造函数2(2)2(2)(2)2(2)(2)()'()()x x x x xf x f x e f x e f x f x F x F x e e e ''--=⇒== ()()2220'()0()f x f x F x F x '->⇒>⇒单调递增.(2)(1)f F e=()()122()(1)1x e f x f F x F x ->⇒>⇒>故答案为：(1,)+∞【点睛】本题考查了函数的导数，利用函数的单调性解不等式，构造函数(2)()xf x F x e =是解题的关键.三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知()nx n N *⎛∈ ⎝的展开式中第7项是常数项.（1）求n 的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项，【答案】(1) 9n = (2) 3266316T x =-【分析】（1）利用展开式的通项计算得到答案.（2）因为9n =，所以二项系数最大的项为5T 与6T ，计算得到答案.【详解】解：（1）展开式的通项为132211122r n r r n r rr n n T C x x C x ---+'⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为第7项为常数项，所以第7项669712n n T C x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 即9n = （2）因为9n =，所以二项系数最大项为5T 与6T即44335916328T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭53352269163216T C x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了二项式的计算，意在考查学生的计算能力.18.每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，现已得知100人中喜爱阅读的学生占60%，统计情况如下表（1）完成22⨯列联表，根据以上数据，能否有95%的把握认为是否喜爱阅读与被调查对象的性别有关?请说明理由：（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取3位学生进行调查，求抽取的3位学生中至少有2人喜爱阅读的概率，（以下临界值及公式仅供参考）()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++【答案】(1)见解+析；(2) 81125【分析】（1）补全列联表，计算2K ，与临界值表对比得到答案. （2）喜爱阅读的人数为随机变量33,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，将2人喜欢阅读，3人喜欢阅读概率相加得到答案.【详解】解：22⨯列联表如表由表可知()221002515253525 4.167604050506K ⨯-⨯==≈⨯⨯⨯因为2 4.167 3.841K =>，所以有95%的把握认为是否喜爱阅读与被调查对象的性别有关. （2）设3人中喜爱阅读的人数为随机变量X ，由题可知33,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭所以2人中至少有2人喜爱阅读的概率为()2P X ≥()21233254255125P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()33332735125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 所以()812125P X ≥=【点睛】本题考查了列联表，概率的计算，意在考查学生的应用能力.19.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日销量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元千克）满足关系式()21074a y x x =+--，其中47x <<，a 为常数，已知销售价格为6元/千克时，每日可售出该商品110千克. （1）求a 的值：（2）若该商品的成本为4元千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【答案】(1) 200a = (2) 当5x =元/千克时，商场每日销售该商品所获最大利润240P = 【分析】（1）销售价格为6元/千克时，每日可售出该商品110千克代入函数解得200a =. （2）求出利润的表达式，求导，根据单调性计算函数的最值. 【详解】解：（1）当6x =元/千克时，101102ay =+=解得200a = （2）设商场每日销售该商品的利润为P ，则()()()242001047P x y x x =-=+--，47x << 因()()()21047104P x x x ''=--++()()()273057x x x '⎡⎤-=--⎣⎦当()4,5x ∈时，0P '>，P 单调递增，当()5,7x ∈时，0P '<，P 单调递减 所以当5x =元/千克时，商场每日销售该商品所获最大利润240P =【点睛】本题考查了函数的应用，求函数的最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.20.某校开设的校本课程分别有人文科学、自然科学、艺术体育三个课程类别，每种课程类别开设课程数及学分设定如下表所示：学校要求学生在高中三年内从中选修3门课程，假设学生选修每门课程的机会均等. （1）求甲三种类别各选一门概率；（2）设甲所选3门课程的学分数为X ，写出X 的分布列，并求出X 的数学期望. 【答案】(1) ()928P A = (2)见解+析 【分析】（1）记事件A ={甲三种类别各选一门}，则根据排列组合公式得到答案.（2）X 的取值有：4,5,6,7,8,9，分别计算对应概率得到分布列，再计算数学期望. 【详解】解：（1）记事件A ={甲三种类别各选一门}则()11133238928C C C P A C == （2）X 的取值有：4,5,6,7,8,9，则()2123383456C C P X C ===()21212332389556C C C C P X C +=== ()211323333819656C C C C P X C +=== ()212132333815756C C C C P X C +=== ()2133389856C C P X C ===()33381956C P X C ===所以分布列所以期望3919456565656EX =⨯+⨯+⨯159135778956565656+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力.21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>()1,0F c -，()2,0F c 分别为椭圆的左、右焦点，点4,3c ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上. （1）求C 的方程；（2）若直线()1y k x =-与椭圆C 相交于A ，B 两点，试问：在x 轴上是否在点D ，当k 变化时，总有ODA ODB ∠=∠？若存在求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1) 22194x y += (2)见解+析【分析】 （14,3c ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上联立方程组解得答案.（2）设存在定点(),0D m ，联立方程，利用韦达定理得到关系式，ODA ODB ∠=∠推出0AD BD k k +=，代入数据计算得到答案.【详解】解：（1）由题可知243c a b a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又222a b c =+，解得3a =，2b =，c =所以29a =，24b =，即所求为22194x y+=（2）设存在定点(),0D m ，并设()11,A x y ，()22,B x y由()221194y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩联立消y 可得()222294189360k x k x k +-+-=所以21221894k x x k +=+，212293694k x x k -=+ 因为ODA ODB ∠=∠，所以0AD BD k k +=，即12120y y x m x m+=-- 所以()()1212110k x k x x m x m --+=--，整理为()()()()1212122120k x x m x x m x m x m -+++⎡⎤⎣⎦=-- 所以()()12122120x x m x x m -+++= 可得()()22222187218129487209494k k m m k m k k --+++-==++ 即8720m -=，所以9m = 所以存在定点()9,0D 满足题意【点睛】本题考查了椭圆离心率，定点问题，将ODA ODB ∠=∠转化为0AD BD k k +=是解题的关键.22.已知函数()ln xf x x a=-，若函数()f x 有两个零点1x ，2x . （1）求a 的取值范围； （2）证明：12112ln ln e x x a+> 【答案】(1) a e > (2)见证明 【分析】（1）确定函数定义域，求导，讨论a 的范围确定函数的单调区间，最后得到a 的范围. （2）将1x ，2x 两个零点代入函数，通过化简得到：需证1122211ln2x x x x x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭.转化为不等式12ln 0t t t--<，设函数求导根据单调性求最值得到证明.【详解】解；（1）函数的定义域为()0,∞+，()1111x a f x a x x-'=-=当0a <时，()0f x '<恒成立，则()f x 在()0,∞+递减，至多一零点当0a >时，()0f x '<解得0x a <<，()0f x '>解得x a >，所以()f x 在()0,a 递减.在(),a +∞递增函数()f x 要有两个零点，则最小值()1ln 0f a a =-<，解得a e > 经检验()110f a=>，即()()10f f a <，则()f x 在()0,a 有一个零点. 又()22ln f aa a =-，a e >，令()2ln g a a a =-，a e >，则()210g a a=->恒成立. 所以()g a 在(),e +∞单调递增，即()()20g a g e e >=-> 所以()22ln 0f aa a =->，即()()20f a f a <，则()f x 在()0,∞+必有一零点.所以a e >时，函数()f x 有两个零点1x ，2x （2）因为1x ，2x 为的两个零点，所以a e >即1ea<， 不妨碍120x x <<，则1122ln 0ln 0x x a x x a⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩即11221212ln ln ln ln x x a x x a x x a x x ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪-⎪=⎪-⎩要证12112ln ln e x x a +>，只需证12112ln ln x x +>，只需证122a ax x +>， 只需证121212122ln ln x x x x x x x x ->-+，只需证22121212ln ln 2x x x x x x -->，只需证1122211ln 2x x x x x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭， 令12x t x =，则()0,1t ∈，现在只需证12ln 0t t t--< 设()12ln t t t t ϕ=--，()0,1t ∈则()()22211210t t t t tϕ-=+-=>， 所以()t ϕ在()0,1单调递增，即()()10t ϕϕ<=所以12112ln ln e x x a+> 【点睛】本题考查了函数的零点问题，证明不等式，技巧强，综合性大，意在考查学生综合应用能力.。
江西省赣州市高兴中学2018-2019学年高二数学理月考试卷含解析
江西省赣州市高兴中学2018-2019学年高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数的最小正周期是，若其图像向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图像（）A．关于点对称 B．关于直线对称C．关于点对称 D．关于直线对称参考答案：D2. 已知等差数列的公差，且，记前项之和，则（）．A． B． C． D．参考答案：C 解析：，得，而．3. 设、、为整数，若和被除得的余数相同，则称和对同余，记为），已知，则的值可以是A．2010 B．2011 C．2008 D．2009参考答案：B4. 将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数为3”的概率是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D5. 如图是用斜二测画法画出△AOB的直观图，则△AOB的面积为▲；图11参考答案：略6. 双曲线3x2﹣y2=9的实轴长是（）A．2B．2C．4D．4参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的标准方程进行求解即可．【解答】解：双曲线的标准方程为﹣=1，则a2=3，则a=，即双曲线3x2﹣y2=9的实轴长2a=2，【点评】本题主要考查双曲线实轴的计算，根据条件求出双曲线的标准方程是解决本题的关键．7. 若函数上不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．B．C．D．不存在这样的实数k参考答案：B略8. 如图:直三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积为( )A. B. C. D.参考答案：B9. 圆心为且与直线相切的圆的方程是A. B.C. D.A略10. 是虚数单位，复数=（）A．B．C．D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=4，CC1=2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为（）A． B． C． D．参考答案：C略12. 若公差为2的等差数列的前9项和为81，则．参考答案：1713. 在各棱长都等于1的正四面体中，若点P满足,则的最小值为_____________.参考答案：14. 已知直角坐标平面上任意两点，定义．当平面上动点到定点的距离满足时，则的取值范围是．参考答案：15. 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．参考答案：390【考点】D5：组合及组合数公式．【分析】由题意选出的颜色只能是2种或3种，然后分别求出涂色方法数即可．【解答】解：用2色涂格子有C62×2=30种方法，用3色涂格子，第一步选色有C63，第二步涂色，从左至右，第一空3种，第二空2种，第三空分两张情况，一是与第一空相同，一是不相同，共有3×2（1×1+1×2）=18种，所以涂色方法18×C63=360种方法，故总共有390种方法．故答案为：39016. 已知，则．参考答案：917. 已知函数，若，则a=________．参考答案：－2三、解答题：本大题共5小题，共72分。
江西省赣州市2018_2019学年高二数学下学期末考试题文含解析
赣州市2018~2019学年度第二学期期末考试高二数学（文科）试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.1.已知复数z 满足()2i i z -=，则复数z 的虚部为（ ） A. 15- B.25C.2i 5D. 1i 5【答案】B 【解析】 【分析】 由题意，i2iz =-，化简可得到复数z 的虚部. 【详解】由题意，()()()2i i 12i 2i 2i 2i 55i z +===-+--+，故复数z 的虚部为25. 故答案为B.【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了复数的虚部，属于基础题.2.下列结论正确的是（ ） A. 若22ac bc <，则a b < B. 若a b >，则22a b > C. 若a b >，则11a b> D. 若a b >，则a b <【答案】A 【解析】 【分析】结合不等式的性质，对四个选项逐个分析，即可得到答案.【详解】对于选项A ，由22ac bc <，可得0c ≠，20c >，则a b <，故选项A 成立； 对于选项B ，取0,1a b ==-，则22a b <，故选项B 不正确； 对于选项C ，取2,1a b ==，11a b<，故选项C 不正确；对于选项D ，取2,1a b ==，a b >，故选项D 不正确. 故答案为B.【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了学生对基础知识的掌握.3.在一个袋子中装有6个除颜色外完全相同的球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，从中依次不放回地抽取2个球，则在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球的概率为（ ） A.15B.25C.35D.45【答案】B 【解析】 【分析】设抽取第一个球是红球的事件为A ，第二个球是黄球的事件为B ，所求概率为()()()|P AB P B A P A =，求解即可.【详解】设抽取第一个球是红球的事件为A ，第二个球是黄球的事件为B ，则()16P A =，()1216515P AB =⨯=，则所求概率为()()()25P AB P B A P A |==. 故选B.【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生对条件概率知识的掌握，属于基础题.4.已知点P 的极坐标为()2,π，则过点P 且垂直于极轴的直线方程为（ ） A. 2ρ= B. 2cos ρθ= C. 2cos ρθ=-D. 2cos ρθ=【答案】C 【解析】 【分析】先求出点P 在直角坐标系中的横坐标，再求出过点P 且垂直于极轴的直线方程的直角坐标方程，化为极坐标方程即可.【详解】由题意，设点P 在直角坐标系中的坐标为(),x y ，则2cos π-2x ==，则过点P 且垂直于极轴的直线方程的直角坐标方程为-2x =，其极坐标方程为cos 2ρθ=-，即2cos ρθ=-，故选C. 【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，属于基础题.5.函数22ln 3y x x =-的单调递增区间为（ ）A. ⎛ ⎝⎭B. ⎫∞⎪⎪⎝⎭C. ⎛-∞ ⎝⎭D. ⎛ ⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】对函数22ln 3y x x =-求导，利用导函数求出单调递增区间即可. 【详解】函数22ln 3y x x =-的定义域为()0,∞+，求导可得()()22611y x x x '=-=+，由于()210x >，故10>时，0y '>，即03x <<时，函数22ln 3y x x =-单调递增，故选A. 【点睛】求函数单调区间，首先要求函数的定义域.6.我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几个?程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出n 的值为（ ）A. 20B. 25C. 75D. 80【答案】B 【解析】 【分析】根据程序的运行过程，依次得到,,n m S 的值，然后判断是否满足100S =，结合循环结构，直至得到符合题意的n .【详解】执行程序框图，8026020,1002080,32010033n m S ==-==⨯+=≠； 则7926821,1002179,6310033n m S ==-==+=≠； 则7822,1002278,66921003n m S ==-==+=≠； 则7728423,1002377,6910033n m S ==-==+=≠； 则7629224,1002476,7210033n m S ==-==+=≠； 则7525,1002575,751003n m S ==-==+=成立， 故输出25n =. 故答案为B. 【点睛】本题主要考查了程序框图，考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题.7.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：（ ）广告费用x （万元） 1 2 4 5 销售客y （万元）6142832根据上表中的数据可以求得线性回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为6.6，据此模型预报广告费用为8万元时销售额为（ ）A. 52.8万元B. 53万元C. 53.2万元D. 53.4万元 【答案】B 【解析】 【分析】先求出,x y ，由样本点的中心(),x y 在回归直线上，可求出ˆa ，从而求出回归方程，然后令8x =，可求出答案.【详解】由题意，124561428323,2044x y ++++++====，则样本中心点()3,20在回归方程上，则ˆ20 6.630.2a=-⨯=，故线性回归方程为ˆ 6.60.2y x =+，则广告费用为8万元时销售额为6.680.253⨯+=万元，故选B.【点睛】本题考查了线性回归方程的求法，考查了学生的计算能力，属于基础题.8.已知a ，b ，()0,c ∈+∞，则下列三个数1a b +，4b c +，9c a+（ ） A. 都大于4 B. 至少有一个不大于4 C. 都小于4 D. 至少有一个不小于4【答案】D 【解析】分析：利用基本不等式可证明111a b c b c a+++++6≥，假设三个数都小于2，则1116a b c b c a+++++<不可能，从而可得结果.详解：1111116a b c a b c b c a a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q ， 假设三个数都小于2， 则1116a b c b c a+++++<，所以假设不成立， 所以至少有一个不小于2，故选D.点睛：本题主要考查基本不等式的应用，正难则反的思想，属于一道基础题. 反证法的适用范围：（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．9.如图所示是函数()y f x =的导数()y f x '=的图像，下列四个结论：①()f x 在区间()3,1-上是增函数；②()f x 在区间()2,4上是减函数，在区间()1,2-上是增函数： ③1x =是()f x 的极大值点； ④1x =-是()f x 的极小值点. 其中正确的结论是（ ） A. ①③ B. ②③C. ②③④D. ②④【答案】D 【解析】 【分析】结合导函数的图象，可判断函数()y f x =的单调性，从而可判断四个结论是否正确. 【详解】由题意，31x -<<-和24x << 时，()0f x '<；12x -<<和4x >时，()0f x '>， 故函数()y f x =在()3,1--和()2,4上单调递减，在()1,2-和()4,+∞上单调递增，1x =-是()f x 的极小值点，2x =是()f x 的极大值点，故②④正确，答案为D.【点睛】用导数求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域；②求导数()f x '； ③求方程()0f x '=的根；④检查()f x '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，则()f x 在这个根处取得极小值.10.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且以相同的单位长度建立极坐标系，则直线1,1x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）被曲线4cos ρθ=-截得的弦长为（ ）B. 2C.D. 4【答案】C 【解析】 【分析】分别求出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程，联立可得交点坐标，从而可求出弦长. 【详解】由题意，直线的普通方程为0x y +=，曲线4cos ρθ=-的直角坐标方程为2240x y x ++=，联立两个方程可得00x y =⎧⎨=⎩或者22x y =-⎧⎨=⎩，则二者交点坐标为()()0,0,2,2-=.故选C.【点睛】本题考查了曲线的极坐标方程，考查了直线的参数方程与普通方程的转化，考查了直线与圆的位置关系，考查了弦长的求法，考查了学生的计算能力，属于基础题.11.设函数()f x 在R 上可导，()()2121f x x f x '=-+，则()22f a a -+与()1f 的大小关系是（ ）A. ()()221f a a f -+>B. ()()221f a a f -++C. ()()221f a a f -+<D. 不确定【答案】A【解析】 【分析】对()f x 求导，令1x =可求出()12f '=，从而可得到()2221f x x x =-+，然后利用二次函数的单调性可比较出()22f a a -+与()1f 的大小关系.【详解】由题意，()()212f x f x ''=-，则()()1212f f ''=-，可得()12f '=，则()2221f x x x =-+，由二次函数性质可知，函数()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因为2217121242a a a ⎛⎫-+=-+>> ⎪⎝⎭，所以()()221f a a f -+>，故答案为A.【点睛】本题考查了导数的计算，考查了函数单调性的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题.12.若函数()()e ln xf x a x x x =+-在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭内有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()e --B. )e ⎡--⎣C. 2e ,2⎛-- ⎝D. 2e ,2⎛-- ⎝【答案】D 【解析】 【分析】由题意，可知()()()21e 0x x ax f x x -+'==在1,22⎛⎫⎪⎝⎭内有两个不同的解，而1x =是()0f x '=的一个解，则e 0x ax +=在1,22⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个不为1的解，则函数y a =与e x y x =-的图象在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上只有一个交点，通过求函数e xy x =-的单调性可得到答案.【详解】由题意，()()()21e x x ax f x x -+'=，因为()f x 在1,22⎛⎫⎪⎝⎭内有两个不同的极值点，所以()0f x '=在1,22⎛⎫⎪⎝⎭内有两个不同的解， 由于1x =是()0f x '=的一个解，则e 0x ax +=在1,22⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个不为1的解， 则e x a x =-，即函数y a =与exy x =-的图象在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上只有一个交点，且交点的横坐标不为1，令()e xh x x =-，求导得()()2e 1x x h x x-'=，则112x <<时，()0h x '>；12x <<时，()0h x '<，故()exh x x =-在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()1,2上单调递减，且()0h x <在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，12h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2e 22h =-，()122h h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故当()122h a h ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，即2e2a -<≤-y a =与e xy x =-的图象在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上只有一个交点. 当()1a h =时，函数y a =与exy x =-的图象在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上只有一个交点，但不符合题意，需舍去.故2e 2a -<≤-()f x 在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭内有两个不同的极值点. 故选D.【点睛】函数的极值与导函数的零点有直接关系，已知函数有零点（方程有根）求参数值常用的方法和思路：（1）直接法：直接求解方程，得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解.二、填空题：答案填写在答题卷上.13.设复数3ii 1iz -=++，则z ________.【解析】 【分析】先利用复数的四则运算化简z ，然后求出复数z 的模即可. 【详解】由题意，()()()()3i 1i 3i 24i i=i=+i=1i 1i 1i 1i 2z ----=++-++-，则z ==【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了复数的模的计算，属于基础题.14.曲线11x y x +=-在点()2,3处的切线方程为________. 【答案】270x y +-= 【解析】 【分析】 对11x y x +=-求导，求出2x =时，2y '=-，则点()2,3处的切线方程的斜率为-2，利用点斜式可得到所求直线方程.【详解】由题意，点()2,3在11x y x +=-上，()221y x '=--，当2x =时，2y '=-，则点()2,3处的切线方程的斜率为-2，切线方程为()322y x -=--，即270x y +-=. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了学生的计算能力，属于基础题.15.观察下列等式：11234934567254567891049=++=++++=++++++=照此规律，则第五个等式应为________________. 【答案】567891011121381++++++++= 【解析】【分析】左边根据首数字和数字个数找规律，右边为平方数，得到答案. 【详解】等式左边：第n 排首字母为n ，数字个数为21n - 等式右边：2(21)n -第五个等式应为：567891011121381++++++++= 故答案为：567891011121381++++++++= 【点睛】本题考查了找规律，意在考查学生的应用能力.16.已知正数x ，y 满足5x y +=，则1112x y +++的最小值为________. 【答案】12【解析】 【分析】 由5x y +=，可得()()128x y +++=且10,20x y +>+>，则()()11111111128128122112x y x y x y y x x y +++++⎛⎫⎛⎫+=+=+++⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎝⎭，利用基本不等式可求出1112x y +++的最小值. 【详解】由5x y +=，可得()()128x y +++=且10,20x y +>+>，则()()111111281122x y x x y y ⎛⎫+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦+++++++⎝⎭1111128128212x y y x ++⎛⎛⎫=+++≥+= ⎪ ++⎝⎝⎭，（当且仅当1221x y y x =++++即3,2x y ==时取“=”）.故1112x y +++的最小值为12. 【点睛】利用基本不等式求最值必须具备三个条件： ①各项都是正数；②和（或积）为定值； ③等号取得的条件.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.设函数()2f x x x a =++-.（1）当1a =时，求不等式()5f x ≤的解集；（2）若不等式()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}32x x -≤≤（2）(][),31,-∞--+∞U 【解析】 【分析】（1）当1a =时，()21f x x x =++-，分2x <-，21x -≤≤，21x -≤≤三种情况去绝对值解不等式()5f x ≤即可；（2）不等式()1f x ≥恒成立，转化为()min 1f x ≥，求出()min f x 即可求出实数a 的取值范围.【详解】解：（1）当1a =时，()21f x x x =++-， 当2x <-时，()215f x x =--≤，解得32x -≤<-， 当21x -≤≤时，()35f x =≤恒成立，即21x -≤≤均符合， 当1x >时，()215f x x =+≤，解得12x <≤， 综上所述，不等式的解集为{}32x x -≤≤. （2）不等式()1f x ≥恒成立，转化为()min 1f x ≥. 由于()2f x x x a =++-≥()()22x x a a +--=+，所以21a +≥， 分解得3a ≤-或1a ≥-.所以实数a 的取值范围为(][),31,-∞--+∞U .【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了不等式恒成立问题，考查了学生的计算能力，属于基础题.18.某校为调查高中生在校参加体育活动的时间，随机抽取了100名高中学生进行调查，其中男女各占一半，下面是根据调查结果绘制的学生日均体育锻炼时间的频率分布直方图：将日均体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“良好”，已知“良好"评价中有18名女姓， 非良好 良好 合计 男生 女生 合计参考公式：()()()()()22n ad bc x a b c d a c b d -=++++()2P x k ≥0.050 0.010 0.001k3.841 6.635 10.828（1）请将下面的列联表补充完整；（2）能有多大把握认为“高中生的性别与喜欢体育锻炼”有关?【答案】（1）见解析；（2）有99%的把握认为“高中生的性别与喜欢体育锻炼”有关 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图可知()400.5P x ≥=，结合抽取总人数为100，可知评价为“良好”的学生人数为50，再由“良好"评价中有18名女姓，可得到“非良好”的男女人数，从而完成列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc x a b c d a c b d -=++++，求出2x ，从而可得出结论.【详解】解：（1）设学生日均体育锻炼时间为x 分钟，根据频率分布直方图可知()400.5P x ≥=.抽取总人数为100，所以评价为“良好”的学生人数为50.列联表如下：（2）由()22100181832321967.84 6.6355050505025x ⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯.所以有99%的把握认为“高中生的性别与喜欢体育锻炼”有关.【点睛】本题考查了频率分布直方图与独立性检验知识，考查了学生的计算能力，属于基础题.19.已知函数()3239f x x ax x b =--+，且()f x 在1x =-处取得极值3.（1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 在[]2,4-的最值.【答案】（1）()32392f x x x x =---（2）最大值为3；最小值为29-【解析】 【分析】（1）由题意可知()()18331660f a b f a ⎧-=-+=⎪⎨-=-='⎪⎩，即可求出,a b 的值，从而得到()f x 的解析式；（2）对()f x 求导，求出()f x 的单调性，即可得到()f x 在[]2,4-的最值. 【详解】解：（1）由()3239f x x ax x b =--+，得()2369f x x ax '=--又因为()f x 在1x =-处取得极值3，所以()()18331660f a b f a ⎧-=-+=⎪⎨-=-='⎪⎩，解得1a =，2b =-，经检验，符合条件，所以()32392f x x x x =---.（2）由（1）可知()()()2369313f x x x x x '=--=+-所以函数()f x 在[]2,4-的最大值为3。
江西省赣州市2018-2019学年高二上学期第一次月考数学(理B)试题Word版含答案
江西省赣州市2018-2019学年高二上学期第一次月考数学（理B）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在等差数列{a n}中，a5＋a6＋a7＝15，那么a3＋a4＋…＋a9等于 ( )．A．21 B．30 C．35 D．402．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 ( ).A．3．从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲乙两组数据的平均数分别为x甲，x乙，中位数分别为m甲，m乙，则 ( )．A.x甲<x乙，m甲>m乙B.x甲<x乙，m甲<m乙C.x甲>x乙，m甲>m乙D.x甲>x乙，m甲<m乙4．不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是 ( )．A．[－4,4] B．(－4,4)C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)5．已知m，n，l是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，给出下列命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若m⊥l，n⊥l，则m∥n；③若m⊥n，m∥α，n∥β，则α⊥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中真命题有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为 ( )．A．30° B．60° C．90° D．120°7．已知三棱锥的俯视图与左视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，左视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的主视图可能为( )．8．已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝ ( )．A ．－16B ．－6C ．－83D ．69．两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的 ( )．A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°10. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ）A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π11．已知x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是 ( )．A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C ．(－2,4)D ．(－4,2)12．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33C.[]－3，3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13、已知直线x+ay=2a+2与直线ax+y=a+1平行，则实数a 的值为 。
江西省赣州市2018-2019学年高二上学期第一次月考数学(理)试题Word版含答案
江西省赣州市2018-2019学年高二上学期第一次月考数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，若,,a b c 成等比数列，045A =，则sin b B c=（ ） A ．12 B．34 2.设1,2a b >>且2ab a b =+，则a b +的最小值为（ ）A．．1 C．2 D．33.数列{}n a 满足1(1)1n n a a +-=，82a =，则1a =（ ）A ．12B ．2C ．13D ．3 4.若n S 为数列{}n a 的前n 项和，且1n n S n =+，则51a =（ ） A ．56 B ．65 C ．130D ．30 5.如下图，,A B 两点都在河的对岸（不可到达），为了测量,A B 两点间的距离，选取一条基线CD ，测得：200CD m =，30ADB ACB ∠=∠=，60CBD ∠=，则AB =（ ）AB． C． D ．数据不够，无法计算6.下列说法错误的是（ ）A ．若直线//a 平面α，直线//b 平面α，则直线a 不一定平行于直线bB ．若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面βC ．若平面α⊥平面β，则α内一定不存在直线平行于平面βD ．若平面α⊥平面v ，平面β⊥平面v ，l αβ=，则l 一定垂直于平面v7.以下四个命题中：①在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断的拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好；②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；③若数据123,,,,n x x x x 的方差为1，则1232,2,2,,2n x x x x 的方差为2； ④对分类变量x 与y 的随机变量2k 的观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大.其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48.下列程序框图的输出结果为12345678910+++++++++的是（ ）9.如图是2015年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为（ ）A ．85,84B ．84,85C ．86,84D ．84,8610.如图所示程序框图中，输出S =（ ）A ．45B ．-55C ．-66D ．6611.在棱长为3的正方体1111ABCD A BC D -中，P 在线段1BD 上，且112BP PD =，M 为线段11B C 上的动点，则三棱锥M PBC -的体积为（ ）A ．1B ．32C ．92D ．与M 点的位置有关 12.一个球体经过切割后，剩下部分几何体的三视图如图所示，则剩下部分几何体的体积为（ ）A ．76πB ．67πC ．43πD ．34π第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）13.把38化为二进制数为 .14.若变量,x y 满足约束条件142x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数24z x y =+的最大值为 .15.某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：百万元）之间有如下对应数据，则其线性回归方程是.16.已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到-1,0,4，x ，7，14，中位数为5，则这组数据的方差为 .17.直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 和2l 的交点为(1,3)，则1l 和2l 的夹角的正切值等于 .18.已知函数()(1)()f x ax x b =--，如果不等式()0f x >的解集是(1,3)-，则不等式()0f x -<的解集是 .三、解答题 （本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19. （本小题满分12分）（1）用辗转相除法求228与1995的最大公约数；（2）用秦九昭算法求多项式53()3285f x x x x =+-+在2x =时的值.20. （本小题满分12分）在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人，女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动，男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动.（1）根据以上数据建立一个22⨯的列联表；（2）是否有97.5%的把握认为性别与休闲方式有关系？21. （本小题满分12分）如图，正方形ABCD 所在的平面与CDE ∆所在的平面交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且2AB AE =.（1）求证：//AB 平面CDE ；（2）求证：平面ABCD ⊥平面ADE .22.（本小题满分12分）已知AD 是ABC ∆中A ∠的角平分线，且cos 25cos 2A A +=，ADC ∆与ADB ∆的面积之比为1:2.（1）求sin A ∠的值；（2）求sin ADC ∠的值.23.（本小题满分12分）已知直线:43100l x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方.（1）求圆的方程；（2）若直线过点(1,0)M 且与圆C 交于,A B 两点（A 在x 轴上方，B 在x 轴下方），问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.江西省赣州市2018-2019学年高二上学期第一次月考数学（理）试题参考答案一、选择题CDADC CBDAB BA二、填空题13. 把38化为二进制数为100110 14. 13 15. ^133522y x =+ 16. 2243 17．4318．(,3)(1,)-∞-+∞ 三、解答题19.（1）解：199********=⨯+，228171157=⨯+，171573=⨯因此57是1995与228的最大公约数.（2）解：53()3285((((30)2)0)8)5f x x x x x x x x x =+-+=+++-+20.解：（1）22⨯的列联表（2）假设“休闲方式与性别无关” 计算2124(43332721) 6.20170546460k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 因为 5.024k ≥，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，即有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”.21.证明：（1）正方形ABCD 中，//AB CD ，又AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，∴//AB 平面CDE .（2）∵AE ⊥平面CDE ，且CD ⊂平面CDE ，∴AE CD ⊥，又正方形ABCD 中，CD AD ⊥，且AEAD A =，AE ⊂平面ADE ，AD ⊂平面ADE ， ∴CD ⊥平面ADE .又CD ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ADE .22.（1）∵2cos 22cos 1A A =-，∴由cos 25cos 2A A +=，得1cos 2A =或cos 3A =-（舍去）∴sin 2A ∠= （2）∵12ADC ADB S S ∆∆=，∴12CD BD =. ∵AD 是ABC ∆中A ∠的角平分线，∴12AC AB = 设CD m =，AC n =， 由余弦定理得：2222cos60CB AC AB AC AB =+-∙∙即得：n =， ∵由正弦定理得：sin sin CD AC CAD ADC=∠∠∴sin ADC ∠=. 23.（1）设圆心(,0)C a 5()2a >-，则|410|205a a +=⇒=或5a =-（舍），所以圆22:4C x y +=.（2）当直线AB x ⊥轴时，x 轴平分ANB ∠，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(1)y k x =-，(,0)N t ，1122(,),(,)A x y B x y ，由224(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得：2222(1)240k x k x k +-+-=，∴212221k x x k +=+，212241k x x k -=+， 若x 轴平分ANB ∠，则AN BN k k =-12120y y x t x t ⇒+=--1212(1)(1)0k x k x x t x t--⇒+=--12122(1)()20x x t x x t ⇒-+++= 22222(4)2(1)20411k k t t t k k -+⇒-+=⇒=++，所以当点(4,0)N 时，能使得ANM BNM ∠=∠总成立.。
2018_2019学年高二数学上学期第一次月考试题_
合肥九中2018 - 2019学年第一学期高二第一次月考数学试卷（考试时间120分钟满分150分）第Ⅰ卷（选择题）一．选择题：（共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.）1．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括( ) A．一个圆台、两个圆锥 B．两个圆台、一个圆柱C．两个圆台、一个圆锥 D．一个圆柱、两个圆锥2.圆锥的高扩大到原来的4倍,底面半径缩短到原来的错误！未找到引用源。
21,则圆锥的体积()A.缩小到原来的一半B.扩大到原来的2倍C.不变D.缩小到原来的813.下列命题正确的有( )①若△ABC在平面α外，它的三条边所在直线分别交α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线；②若三条平行线a，b，c都与直线l相交，则这四条直线共面；③三条直线两两相交，则这三条直线共面．A．0个B．1个C．2个D．3个4．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积为（）A．1222+ B．212+C．21+D．22+5.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是BB1、BC的中点．则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为( )6．设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若αα//,n m ⊥，则n m ⊥；②若αγββα⊥m ,//,//，则γ⊥m ；③若αα//,//n m ，则n m //；④若γβγα⊥⊥,,则βα//.其中正确命题的序号是： （ ）A 、①②B 、②③C 、③④D 、①④7. 长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为（ ）A ．27πB ．56πC ．14πD ．64π8．一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图所示的展开图，则在原正方体中( )A ．AB ∥CD B ．AB ∥平面CDC ．CD ∥GH D ．AB ∥GH9、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．310．如图所示，正四棱锥S —ABCD 的所有棱长都等于a ，过不相邻的两条棱SA ，SC 作截面SAC ，则截面的面积为( )。
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2018-2019学年江西省赣州市信丰中学高二（上）第一次月考数学试卷（理科）（A）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若直线ax﹣y+1=0与直线2x+y+2=0平行，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．12．已知平面α，β，直线m，n，下列命题中不正确的是（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m⊥α，m⊂β，则α⊥βD．若m∥α，α∩β=n，则m∥n3．某公司共有工作人员200人，其中职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，现要从中抽取20个人进行身体健康检查，如果采取分层抽样的方法，则职员、中级管理人员和高级管理人员各应抽取的人数为（）A．16，3，1 B．16，2，2 C．8，15，7 D．12，3，54．“x＞0”是“|x﹣1|＜1”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量、、两两的夹角均为60°，且||=1，||=2，||=3，则||等于（）A．5 B．6 C．4 D．86．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若8a2+a5=0，则下列式子中数值不能确定的是（）A．B．C．D．7．实数x，y满足不等式组，则ω=的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣1，]C．[﹣1，1）D．[﹣，1）8．已知圆（x+2）2+y2=16的圆心为M，设A为圆上任一点，N（3，0），线段AN的垂直平分线交直线MA于点P，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线9．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在此椭圆上，则此椭圆的离心率为（）A．B．﹣1 C．D．﹣110．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．11．函数的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．812．已知命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，命题q：q：不等式＜1+ax对一切正实数x均成立．如果，命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围为（）A．a＞1 B．1≤a≤2 C．a＞2 D．无解二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在校英语节演讲比赛中，七位评委老师为某班选手打出的分数的茎叶图（如图所示），去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为．14．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于．15．在△ABC中，sin（A﹣B）+sinC=，BC=AC，则角B的大小为．16．已知双曲线的方程为﹣x2=1，点A的坐标为（0，﹣），B是圆（x﹣）2+y2=1上的点，点M在双曲线的上支上，则|MA|+|MB|的最小值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知p：﹣5≤2x﹣1≤5，q：（x+3m﹣2）（x﹣3m﹣2）≤0（m＞0），若¬p是¬q的充分不必要条件，求正实数m的取值范围．18．已知函数f（x）=sin（x﹣）+cosx，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若f（A）=且a=b，试求角B的大小．19．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，PA=AD=2，AB=BC=1，Q为PD中点．（Ⅰ）求证：PD⊥BQ；（Ⅱ）求直线BQ与平面PCD所成角的正弦值．20．如图1，在△PBC中，∠C=90°，PC=4，BC=3，PD：DC=5：3，AD⊥PB，将△PAD沿AD边折起到SAD位置，如图2，且使SB=．（Ⅰ）求证：SA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值．21．已知椭圆W：+y2=1，直线l过点（0，﹣2）与椭圆W交于两点A，B，O为坐标原点．（Ⅰ）设C为AB的中点，当直线l的斜率为时，求线段OC的长；（Ⅱ）当△OAB面积等于1时，求直线l的斜率．22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．2018-2019学年江西省赣州市信丰中学高二（上）第一次月考数学试卷（理科）（A）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若直线ax﹣y+1=0与直线2x+y+2=0平行，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】直线与圆．【分析】利用直线平行的充要条件即可得出．【解答】解：∵直线ax﹣y+1=0与直线2x+y+2=0平行，∴，解得a=﹣2，故选：A．【点评】本题考查了直线平行的充要条件，属于基础题．2．已知平面α，β，直线m，n，下列命题中不正确的是（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m⊥α，m⊂β，则α⊥βD．若m∥α，α∩β=n，则m∥n【考点】命题的真假判断与应用．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用在与平面，直线与直线的平行与垂直的判定定理以及性质定理推出结果即可．【解答】解：若m⊥α，m⊥β，则α∥β，满足平面与平面平行的判定定理，所以A正确；若m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足满足直线与平面平行的性质，所以B正确；若m⊥α，m⊂β，则α⊥β，满足平面与平面垂直的性质，所以C正确；若m∥α，α∩β=n，则m∥n，也可能得到m，n是异面直线，所以D不正确．故选：D．【点评】本题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面平行与垂直的判断与性质，考查基本知识的应用．3．某公司共有工作人员200人，其中职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，现要从中抽取20个人进行身体健康检查，如果采取分层抽样的方法，则职员、中级管理人员和高级管理人员各应抽取的人数为（）A．16，3，1 B．16，2，2 C．8，15，7 D．12，3，5【考点】分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：∵职员、中级管理人员和高级管理人员之比为160：30：10=16：3：1，∴从中抽取20个人进行身体健康检查，职员、中级管理人员和高级管理人员各应抽取的人数为16，3，1，故选：A．【点评】本题主要考查分层抽样的应用，条件条件建立比例关系是解决本题的关键．4．“x＞0”是“|x﹣1|＜1”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件．【专题】计算题．【分析】|x﹣1|＜1即0＜x＜2．由x＞0不能推出0＜x＜2，但由0＜x＜2 能推出x＞0，故x＞0是0＜x＜2的必要不充分条件，从而得到结论．【解答】解：由|x﹣1|＜1可得﹣1＜x﹣1＜1，解得0＜x＜2．由x＞0不能推出0＜x＜2，但由0＜x＜2 能推出x＞0，故x＞0是0＜x＜2的必要不充分条件，即“x＞0”是“|x﹣1|＜1”的必要不充分条件，故选B．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，属于基础题．5．平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量、、两两的夹角均为60°，且||=1，||=2，||=3，则||等于（）A．5 B．6 C．4 D．8【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】由题设知=，故=（）2，由此能求出||．【解答】解：如图，∵平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，向量、、两两的夹角均为60°，且||=1，||=2，||=3，∴=，∴=（）2=+++2+2+2=1+4+9+2×1×2×cos60°+2×1×3×cos60°+2×2×3×cos60°=25，∴||=5．故选A．【点评】本题以平行六面体为载体考查向量在几何中的应用，解题时要认真审题，关键是利用条件向量、、两两的夹角均为60°，进行合理转化．6．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若8a2+a5=0，则下列式子中数值不能确定的是（）A．B．C．D．【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】根据已知的等式变形，利用等比数列的性质求出公比q的值，然后分别根据等比数列的通项公式及前n项和公式，即可找出四个选项中数值不能确定的选项．【解答】解：由8a2+a5=0，得到=q3=﹣8，故选项A正确；解得：q=﹣2，则=q=﹣2，故选项C正确；则==，故选项B正确；而==，所以数值不能确定的是选项D．故选D【点评】此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式及前n项和公式化简求值，是一道基础题．7．实数x，y满足不等式组，则ω=的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣1，]C．[﹣1，1）D．[﹣，1）【考点】简单线性规划．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，分析表示的几何意义，结合图象即可给出的取值范围．【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：表示可行域内的点（x，y）与点（﹣1，1）连线的斜率，由图可知的取值范围是，故选D．【点评】平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．8．已知圆（x+2）2+y2=16的圆心为M，设A为圆上任一点，N（3，0），线段AN的垂直平分线交直线MA于点P，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【考点】轨迹方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】已知圆（x+2）2+y2=16，易知圆心和半径．A为圆上任一点和N（2，0），线段AN的垂直平分线上任一点到两短点的距离相等且交MA于点P．有PN=PA，所以PM﹣PN=AM=4，即为动点P到两定点M、N的距离之差为常数4，根据双曲线的定义可得结论．．【解答】解：已知圆（x+2）2+y2=16，则的圆心M（﹣2，0），半径为4．A为圆上任一点，且AM=4N（3，0），线段AN的垂直平分线上任一点到两端点的距离相等且交MA于点P．有PN=PA所以PM﹣PN=AM=4即为动点P到两定点M、N的距离之差为常数4，所以动点P的轨迹是双曲线．故选：C．【点评】求点的轨迹方程常用的有定义法、待定系数法、直译法和间接法．其中定义法是最快捷的．这里就直接利用了双曲线的定义直接得到结论．9．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在此椭圆上，则此椭圆的离心率为（）A．B．﹣1 C．D．﹣1【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】通过题意画出图形，利用勾股定理及椭圆的定义计算即得结论．【解答】解：不妨设椭圆方程为：+=1（a＞b＞0），则M点必在y轴上，如图，连结PF2，∵△MF1F2为正三角形，∴PF1=MF1=F1F2=c，PF2==c=2a﹣c，∴2a=（+1）c，即e===﹣1，故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于基础题．10．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】分等腰三角形△F1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围．【解答】解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知＞a．所以离心率e＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P 这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）【点评】本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点P使得△F1F2P为等腰三角形，求椭圆离心率e的取值范围．着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．11．函数的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】函数的零点；数列的求和．【专题】函数的性质及应用．【分析】作出函数的图象，利用对称性，即可得出结论．【解答】解：如图所示，两个图象在点（1，0）对称，然后﹣2到4一共有4个交点，对称的两交点横坐标和为1的2倍，4个点就是两对对称点，所以和为4．故选B．【点评】本题考查函数的零点，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．已知命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，命题q：q：不等式＜1+ax对一切正实数x均成立．如果，命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围为（）A．a＞1 B．1≤a≤2 C．a＞2 D．无解【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】由于命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，可得命题p与q必然一真一假，【解答】解：命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，当a=0时，函数f（x）的定义域不为R；当a≠0时，由题意可得：，解得a＞2．命题q：q：不等式＜1+ax对一切正实数x均成立，当a＞0时，可得x（a2x+2a﹣2）＞0，当a≥1时，上述不等式对一切正实数x均成立；当0＜a＜1时上述不等式不满足对一切正实数x均成立，舍去；同理当a≤0时，上述不等式不满足对一切正实数x均成立．可得：实数a的范围是a≥1．∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，∴命题p与q必然一真一假，∴或，解得1≤a≤2．则实数a的取值范围为1≤a≤2．故选：B．【点评】本题考查了简易逻辑的判定、对数函数的定义域、一元二次不等式的解法、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在校英语节演讲比赛中，七位评委老师为某班选手打出的分数的茎叶图（如图所示），去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为．【考点】茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】根据方差的定义，首先求出数据的平均数，由公式求方差．【解答】解：=（84+84+86+84+87）=85S2=[3×（84﹣85）2+（86﹣85）2+（87﹣85）2]=所以所剩数据的方差为．【点评】本题考查了方差的定义和公式，属于基础题．14．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于20π．【考点】球内接多面体．【专题】计算题；压轴题．【分析】通过已知体积求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πR2=20π故答案为：20π【点评】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．15．在△ABC中，sin（A﹣B）+sinC=，BC=AC，则角B的大小为．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用正弦定理、两角和差的正弦公式求得sin2B的值，可得角B的大小．【解答】解：△ABC中，∵sin（A﹣B）+sinC=，∴sin（A﹣B）+sin（A+B）=，∴2sinAcosB=，∴cosB＞，∴0＜B＜．又BC=AC，∴sinA=sinB，∴2sinBcosB=，∴sin2B=．∴2B=，∴B=．故答案为：．【点评】本题主要考查诱导公式、正弦定理、两角和差的正弦公式，属于基础题．16．已知双曲线的方程为﹣x2=1，点A的坐标为（0，﹣），B是圆（x﹣）2+y2=1上的点，点M在双曲线的上支上，则|MA|+|MB|的最小值为+3．【考点】双曲线的简单性质．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设点D的坐标为（0，），则点A，D是双曲线的焦点，利用双曲线的定义，可得|MA|﹣|MD|=2a=4．于是|MA|+|MB|=4+|MB|+|MD|≥4+|BD|，再利用|BD|≥|CD|﹣r即可．【解答】解：设点D的坐标为（0，），则点A，D是双曲线的焦点，由双曲线的定义，得|MA|﹣|MD|=2a=4．∴|MA|+|MB|=4+|MB|+|MD|≥4+|BD|，又B是圆（x﹣）2+y2=1上的点，则圆的圆心为C（，0），半径为1，故|BD|≥|CD|﹣1=﹣1=﹣1，从而|MA|+|MB|≥4+|BD|≥+3，当点M，B在线段CD上时取等号，即|MA|+|MB|的最小值为+3．故答案为：+3．【点评】熟练掌握双曲线的定义和性质及其圆外一点到圆上一点距离的最小值是解题的关键．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知p：﹣5≤2x﹣1≤5，q：（x+3m﹣2）（x﹣3m﹣2）≤0（m＞0），若¬p是¬q的充分不必要条件，求正实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】解不等式可求得：p：﹣2≤x≤3，q：2﹣3m≤x≤2+3m （m＞0）．解法一：则￢p：A={x|x＜﹣2或x＞3}，￢q：B={x|x＜2﹣3m或x＞2+3m，m＞0．由已知￢p是￢q的充分不必要条件，￢q不能推出￢p，得A⊊B．解出即可．解法二：解不等式可求得：p：A={x|﹣2≤x≤3}，q：B={x|2﹣3m≤x≤2+3m} （m＞0）．￢p 是￢q的充分而不必要条件，即q是p的充分而不必要条件（或者p是q的必要而不充分条件）．由已知q⇒p，p不能推出q，得B⊊A．解出即可．【解答】解：解不等式可求得：p：﹣2≤x≤3，q：2﹣3m≤x≤2+3m （m＞0）．解法一：则￢p：A={x|x＜﹣2或x＞3}，￢q：B={x|x＜2﹣3m或x＞2+3m，m＞0．由已知￢p是￢q的充分不必要条件，￢q不能推出￢p，得A⊊B．，解得．∴所求实数m的取值范围是．解法二：解不等式可求得：p：A={x|﹣2≤x≤3}，q：B={x|2﹣3m≤x≤2+3m} （m＞0）．￢p是￢q的充分而不必要条件，即q是p的充分而不必要条件（或者p是q的必要而不充分条件）．由已知q⇒p，p不能推出q，得B⊊A．，解得．经验证（上述不等式组中等号不能同时成立），∴所求实数m的取值范围是{x|}．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式组的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．已知函数f（x）=sin（x﹣）+cosx，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若f（A）=且a=b，试求角B的大小．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；正弦定理．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）将函数f（x）进行化简，利用三角函数的图象和性质即可求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）由f（A）=求出A的大小，根据a=b结合正弦定理即可求出B．【解答】解：（1）f（x）=sin（x﹣）+cosx=sinx+cosx=sin（x+），则函数f（x）的最小正周期T=，由﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，解得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，即函数的单调递增区间为[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z．（2）∵若f（A）=，∴sin（A+）=，∵0＜A＜π，则＜A+＜，∴A+=，解得A=，∵a=b，∴，即sinB=1，则B=．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．19．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，PA=AD=2，AB=BC=1，Q为PD中点．（Ⅰ）求证：PD⊥BQ；（Ⅱ）求直线BQ与平面PCD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）建立以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴的空间直角坐标系，证明=0，即可证明PD⊥BQ；（Ⅱ）求出平面PCD的法向量，利用向量的夹角公式求直线BQ与平面PCD所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，又AD⊥AB，如图，建立以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴的空间直角坐标系．…（2分）由已知，PA=AD=2，AB=BC=1，AD∥BC．所以A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）…（4分）又Q为PD中点，所以Q（0，1，1）．所以=（0，2，﹣2），=（﹣1，1，1），所以=0，…（6分）所以PD⊥BQ．…（7分）（Ⅱ）解：设平面PCD的法向量为=（a，b，c），则∵=（0，2，﹣2），=（﹣1，1，0），∴，…（9分）令c=1，得a=b=1，∴=（1，1，1）．…（11分）∵=（﹣1，1，1），∴直线BQ与平面PCD所成角的正弦值为=．…（14分）【点评】本题考查直线与直线垂直的证明，考查直线BQ与平面PCD所成角的正弦值的求法，正确运用向量法是解题的关键．20．如图1，在△PBC中，∠C=90°，PC=4，BC=3，PD：DC=5：3，AD⊥PB，将△PAD沿AD边折起到SAD位置，如图2，且使SB=．（Ⅰ）求证：SA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）证明SA⊥AB，SA⊥AD，即可证明SA⊥平面ABCD；（Ⅱ）延长BA，CD相交于P，连接SP，取SP的中点M，连接MA，MD，证明∠AMD 为平面SAB与平面SCD所成锐二面角的平面角，求出MA，MD，即可求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：在直角三角形PBC中，PC=4，BC=3，PD：DC=5：3，所以PB=5，PD=2.5，DC=1.5，因为∠PAD=∠C=90°，∠P=∠P，所以△PAD∽△PCB，所以，所以PA=2，AB=PB﹣PA=3，AD=1.5，△SAB中，SA=PA=2，SB=，所以SA2+AB2=SB2，所以SA⊥AB因为AD∥PB，所以SA⊥AD，因为AB∩AD=A，所以SA⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：在图2中，延长BA，CD相交于P，连接SP，取SP的中点M，连接MA，MD，则因为PA=SA，PD=SD，所以MA⊥SP，MD⊥SP，所以∠AMD为平面SAB与平面SCD所成锐二面角的平面角，因为SA⊥AD，AD⊥PB，SA∩PB=A，所以AD⊥平面SPB，因为MA⊂平面SPB，所以AD⊥MA．在直角三角形SPA中，PA=SA=2，M为SP的中点，所以SP=2，MA=，在△SPD中，PD=SD=2.5，M为SP中点，所以MD=，所以cos∠AMP==，所以平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值为．【点评】考查线面垂直的性质于判定定理，考查平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．已知椭圆W：+y2=1，直线l过点（0，﹣2）与椭圆W交于两点A，B，O为坐标原点．（Ⅰ）设C为AB的中点，当直线l的斜率为时，求线段OC的长；（Ⅱ）当△OAB面积等于1时，求直线l的斜率．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）当直线l的斜率为时，直线l的方程为y=x﹣2，代入椭圆方程，求出C 的坐标，即可求线段OC的长；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，代入椭圆方程，利用△OAB面积等于1时，求直线l的斜率．【解答】解：（Ⅰ）当直线l的斜率为时，直线l的方程为y=x﹣2．…（1分）代入椭圆方程得5x2﹣12x+6=0，…（2分）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0）．则，…（3分）所以点C的坐标，，…（4分）所以．…（5分）（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，由得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，…（6分）所以△=（16k）2﹣48（1+4k2）=16（4k2﹣3）…（7分），．…（8分）==．…（10分）原点O到直线l的距离．…（11分）所以△OAB面积为．因为△OAB面积等于1，所以，…（12分）解得，…（13分）带入判别式检验，符合题意，所以．…（14分）【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．【考点】圆与圆锥曲线的综合；直线与圆相交的性质；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）由得a2=3b2，椭圆方程为x2+3y2=3b2，求出椭圆上的点到点Q的距离，利用配方法，确定函数的最大值，即可求得椭圆方程；（2）假设M（m，n）存在，则有m2+n2＞1，求出|AB|，点O到直线l距离，表示出面积，利用基本不等式，即可确定三角形面积的最大值，从而可求点M的坐标．【解答】解：（1）由得a2=3b2，椭圆方程为x2+3y2=3b2椭圆上的点到点Q的距离=①当﹣b≤﹣1时，即b≥1，得b=1②当﹣b＞﹣1时，即b＜1，得b=1（舍）∴b=1∴椭圆方程为（2）假设M（m，n）存在，则有m2+n2＞1∵|AB|=，点O到直线l距离∴=∵m2+n2＞1∴0＜＜1，∴当且仅当，即m2+n2=2＞1时，S△AOB取最大值，又∵解得：所以点M的坐标为或或或，△AOB的面积为．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的求解，考查基本不等式的运用，正确表示三角形的面积是关键．。