哈尔小波变换
哈尔小波变换
哈尔小波变换哈尔小波变换是于1909年由Alfréd Haar所提出，是小波变换(Wavelet transform)中最简单的一种变换，也是最早提出的小波变换。
他是多贝西小波的于N=2的特例，可称之为D2哈尔小波的母小波(mother wavelet)可表示为：且对应的缩放方程式(scaling function)可表示为：目录•1 特性•2 哈尔变换•3 哈尔小波变换应用于图像压缩• 3.1 说明• 3.2 范例•4 哈尔小波变换运算量比沃尔什变换更少•5 参考哈尔小波具有如下的特性： (1)任一函数都可以由以及它们的位移函数所组成(2)任一函数都可以由常函数，以及它们的位移函数所组成(3) 正交性(Orthogonal)(4)不同宽度的(不同m)的wavelet/scaling functions之间会有一个关系φ(t) = φ(2t) + φ(2t ? 1)ψ(t) = φ(2t) ? φ(2t ? 1)(5)可以用 m+1的系数来计算 m 的系数若Haar Transform最早是由A. Haar在1910年“Zur theorie der orthogonalen funktionensysteme”中所提出，是一种最简单又可以反应出时变频谱（time-variant spectrum）的表示方法。
其观念与Fourier Transform相近，Fourier Transform的原理是利用弦波sine 与cosine来对信号进行调制；而Haar Transform则是利用Haar function来对信号进行调制。
Haar function也含有sine、cosine所拥有的正交性，也就是说不同的Haar function是互相orthogonal，其内积为零。
以下面N=8的哈尔变换矩阵为例，我们取第一列和第二列来做内积，得到的结果为零；取第二列和第三列来做内积，得到的结果也是零。
Harr小波
图I(x)用V2中的哈尔基表示
（2）用V 1, W 1中的函数表示
生成矢量空间V 1的基函数为 生成矢量空间W1的小波函数为 根据
V 2 V 0 W 0 W1
01 ( x)和11 ( x)
1 1 0 ( x)和 1 ( x)
I(x)可表示成
0 0 1 1 1 I ( x) c0 0 ( x ) d 00 00 ( x) d 0 0 ( x) d11 1 ( x)
Harr基函数
• 基函数是一组线性无关的函数，可以用来 构造任意给定的信号； • 1990年提出，由一组分段常值函数组成的 函数集 • 函数集定义在[0,1），分段常值在一定的 范围内是1，其他为0
如果一图象仅含有20 1个像素，该图象在整个[0,1） 上就是一个常值函数（00(x)）,用V 0表示这个常值函数 生成的矢量空间，即： 1 0 x<1 0 0 V ：0 (x)={ 0 其他
Harr小波函数
小波函数通常用 i j(x)表示，与框函数对应的小波称 为Haar小波函数，定义如下： 1 (x) {1 0 0 x 1/ 2 1/2 x 1 其他
Haar小波尺度函数 i j(x )定义为：
i j(x) (2 j x i)
生成矢量空间W 0的Haar小波： 1 0 0(x) {1 0 0 x 1/ 2 1/2 x 1 其他
0
谢谢
哈尔ห้องสมุดไป่ตู้换的特性
变换过程中没有丢失信息，因为能够从所记录的 数据中重构出原始图像。 对这个给定的变换，我们可以从所记录的数据中 重构出各种分辨率的图像。例如，在分辨率为1的 图像基础上重构出分辨率为2的图像，在分辨率为 2的图像基础上重构出分辨率为4的图像 通过变换之后产生的细节系数的幅度值比较小， 这就为图像压缩提供了一种途径。例如，去掉一 些微不足道的细节系数并不影响对重构图像的理 解
小波变换课件 第1章 Haar小波
第1章Haar小波分析1.1简介(近距离---小尺度） （高分辨率）(远距离---大尺度) （低分辨率）1.2 平均与细节设1234{,,,}x x x x 是一个信号序列。
定义它的平均和细节：1,0121,012()/2()/2a x x d x x =+⎫⎬=-⎭找出了1x 、2x 和1,0a 、1,0d 的关系。
这里，1,0a 是原信号前两个值1x 、2x 的平均。
又叫低频成分，反映前两个值1x 、2x 的基本特征或粗糙趋势；1,0d 反映了1x 、2x 的差别，即细节信息，又叫高频成分。
1,1341,134()/2()/2a x x d x x =+⎫⎬=-⎭找出了3x 、4x 和1,1a 、1,1d 的关系。
同样，1,1a 是原信号后两个值3x 、4x 的平均，1,1d 反映了3x 、4x 的细节。
我们把1,01,11,01,1{,,,}a a d d 看作是对1234{,,,}x x x x 实施了一次变换的结果。
变换还可以往下进行：0,01,01,1()/2a a a =+=1234(()/2()/2)/2x x x x +++ =1234()/4x x x x +++0,0a 是对4个信号元素最终的平均，它是原信号最基本的信息；0,01,01,1()/2d a a =-。
经过二次变换，我们得到了原信号的另一种表示：0,00,01,01,1{,,,}a d d d该序列叫做原序列的小波变换，0,00,01,01,1,,,a d d d 叫做小波系数。
还可以反过来表示：111,0211,0x a d x a d =+⎫⎬=-⎭这是用｛1a ,1,0d ｝来恢复原信号1x 、2x ；321,1421,1x a d x a d =+⎫⎬=-⎭用｛2a ,1,1d ｝来恢复原信号3x 、4x 。
也就是反变换。
小波变换过程的塔式算法：例如，1234{,,,}x x x x ＝｛3，1，－2，4｝最终的小波变换为0,00,01,01,1{,,,}a d d d =31{,,1,3}22-1.3 尺度函数与小波函数 (1)Haar 尺度函数不压缩：不位移 位移一个单位 位移k 个单位t1)-压缩1/12倍，不位移压缩1/12倍，位移一个单位 压缩1/2j倍，移位K 个单位一般,()(2)j j k t t k φφ=-，0,1,2,...,21j k =-◆ 几个术语1） 支撑（支集），（尺度）函数,()j k t φ不为零的区间，上例中为1[,]22j j k k +。
多媒体技术基础第3版课后答案
(7)
cb
(8)
bab
(9)
baba
(10)
aa
(11)
aaa
(12)
aaa
…
…
输出码字
(1) (2) (4) (3) (5) (8) (1) (10) (11) …
2.7 LZ78 算法和LZ77 算法的差别在哪里？ (1) LZ77 编码算法的核心是查找从前向缓冲存储器开始的最长的匹配串(2.4.2 LZ77 算
3.3 什么叫做采样？什么叫做量化？什么叫做线性量化？什么叫做非线性量化？ (1) 采样：在某些特定的时刻对模拟信号进行测量的过程。 (2) 量化：幅值连续的模拟信号转化成为幅值离散的数字信号的过程。 (3) 线性量化：在量化时，信号幅度的划分是等间隔的量化。 (4) 非线性量化：在量化时，信号幅度的划分是非等间隔的量化。
2.8 LZSS算法和LZ77 算法的核心思想是什么？它们之间有什么差别？ (1) LZSS通过输出真实字符解决了在窗口中出现没有匹配串的问题，但这个解决方案包
含有冗余信息。(2.4.3 LZSS算法) (2) LZ77 编码算法的核心是查找从前向缓冲存储器开始的最长匹配串(2.4.2 LZ77 算法)
3.1 音频信号的频率范围大约多少？话音信号频率范围大约多少？ (1) Audio: 20~20000 Hz (2) Speech: 300~3400 Hz
3.2 什么叫做模拟信号？什么叫做数字信号？ (1) 模拟信号是幅度或频率发生连续变化的一种信号。 (2) 数字信号是以二进制代码形式表示有无或高低的一种信号。
1.2 超链接是什么？ 超链接(hyper link)是两个对象或元素之间的定向逻辑链接，是一个对象指向另一个对象
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第8章 小波与小波变换
1. 小波简介 2. 哈尔函数 3. 一维哈尔小波变换 4. 二维哈尔小波变换
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如果没有现成的小波可用，还需要自己 开发合适的小波。
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消失矩(vanishing moments)
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缩放因子
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如果用字母a表示缩放因子 正弦函数f(t)=sin(t)，缩放因子a=1 正弦函数f(t)=sin(t/2)，缩放因子a=2 正弦函数f(t)=sin(t/4)，缩放因子a=4
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但不能确定具有这些频率的信号出现在什么时 间，时间方面的局部化信息基本丢失。
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8.1.1 小波简史
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小波分析知识点总结
小波分析知识点总结小波分析的基本思想是利用小波函数对信号进行分解，得到不同尺度和频率的成分，然后对这些成分进行分析。
小波函数通常具有局部化特性，能够反映信号的局部特征，在时域和频域上都具有一定的分辨率，因此可以更准确地描述信号的时频特性。
小波分析主要包括小波变换、小波系数的选择、小波包分析、小波域滤波等内容。
下面将从这些方面对小波分析进行介绍。
1. 小波变换小波变换是小波分析的核心内容，它将信号分解成不同尺度和频率的成分。
小波变换包括连续小波变换和离散小波变换两种形式。
连续小波变换将信号分解成不同尺度和频率的成分，并且可以实现任意精细程度的分解。
但是由于小波函数是连续的，计算复杂度较高，因此应用较为有限。
离散小波变换是将连续小波变换进行离散化处理，从而降低计算复杂度。
离散小波变换可以通过小波分解和小波重构过程来实现信号的分解和重构，具有较好的实用性和计算效率。
小波变换具有多重分辨率分析的特点，可以在不同尺度和频率上对信号进行分析，具有较好的时频局部化特性。
2. 小波系数的选择小波系数对信号的分解和重构效果具有重要影响。
通常情况下，小波系数是由小波函数的形状和尺度决定的，不同的小波函数对信号的分解和重构效果有一定的影响。
常用的小波函数包括哈尔小波、Daubechies小波、Meyer小波、Gabor小波等。
这些小波函数具有不同的形状和尺度特性，可以适用于不同类型的信号。
在选择小波系数时，需要考虑信号的特点和分析的目的，选择合适的小波函数和尺度参数，以实现更好的分解效果。
3. 小波包分析小波包分析是小波变换的一种扩展形式，它能够对信号进行更为细致的分解。
小波包分析将信号进行逐层分解，得到更为丰富的频率成分，能够更准确地描述信号的时频特性。
小波包分析通常采用二叉树结构进行信号分解，在每层分解中都能够获得更为细致的频率分量。
小波包分析可以实现任意精细程度的频率分解，能够更充分地利用小波函数的局部化特性，对信号进行更为全面的时频分析。
小波分析及应用(附常用小波变换滤波器系数)
第八章小波分析及应用8.1 引言把函数分解成一系列简单基函数的表示，无论是在理论上，还是实际应用中都有重要意义。
1822年法国数学家傅里叶(J. Fourier 1768-1830)发表的研究热传导理论的“热的力学分析”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数理论的基础[1]。
傅里叶级数理论研究的是把函数在三角函数系下的展开，使得对信号和系统的研究归结为对简单的三角函数的研究。
傅里叶级数与傅里叶变换共同组成了平常所说的傅里叶分析[2]。
傅里叶级数用于分析周期性的函数或分布，理论分析时经常假定周期是π2，定义如式(8.1-1)、(8.1-2)()()π2,02L x f ∈∀，()∑∞-∞==k ikxkec x f (8.1-1)其中 ()dx e x f c ikx k -⎰=ππ2021 (8.1-2) 然而，被分析函数的性质并不能完整地由傅里叶系数来刻划，这里有一个例子来说明[3]：从任一个平方可和的函数)(x f 出发，为了得到一个连续函数)(x g ，只需或者增大f(x)的傅里叶系数的模，或者保持它不变并适当地改变系数的位相。
因此，不可能仅根据傅里叶系数大小的阶就预知函数的性质（如大小、正则性）。
傅里叶变换的定义如式(8.1-3)、(8.1-4)()()dx e x f F x j ωω⎰∞∞-= (8.1-3)()()ωωπωd e F x f x j -∞∞-⎰=21 (8.1-4) 通过引入广义函数或分布的概念，可获得奇异函数（如冲击函数）的傅里叶变换的存在。
对于时域的常量函数，在频域将表现为冲击函数，表明具有很好的频域局部化性质。
由式(8.1-3)可知，为了得到()ωF ，必须有关于f(x)的过去和未来的所有知识，而且f(x)在时域局部值的变化会扩散到整个频域，也就是()ωF 的任意有限区域的信息都不足以确定任意小区域的f(x)。
在时域，哈尔(Haar)基是一组具有最好的时域分辨能力的正交基，它在时域上是完全局部化的，但在频域的局部化却很不好，这是由于哈尔系的两个缺点：缺乏正则性与缺乏振动性。
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8.1.2 小波概念
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小波是定义在有限间隔而且其平均值为 零的一种函数。
小波函数在时域和频域中都应该具有某种程度 的平滑度(smoothness)和集中性 (concentration)
可以使用消失矩(vanishing moments)来描述，
用N表示小波的消失矩的数目。
例如，Daubechies小波简写成dbN， db1,
db2, ……，db9，从Daubechies小波波形来
它的地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶 分析中的地位。
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Inrid Daubechies，Ronald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科学家把这个小波理论引 入到工程应用方面做出了极其重要的贡献。
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哈尔小波变换
哈尔小波变换是一种常用的信号处理方法，它可以将信号分解成不同频率的子信号，从而方便地进行分析和处理。
本文将介绍哈尔小波变换的原理、应用以及在实际工程中的应用。
一、哈尔小波变换的原理
哈尔小波变换是一种离散小波变换，与传统的傅里叶变换不同，它不仅可以分解信号的频域信息，还可以分解信号的时域信息。
其基本原理是通过一系列的滤波和下采样操作，将原始信号逐步分解为不同尺度的子信号，同时保留了原始信号的能量和信息。
哈尔小波变换的核心是小波基函数，它是一组特殊的函数，具有良好的局部性和多尺度分析能力。
在哈尔小波变换中，常用的小波基函数有Haar小波、Daubechies小波、Symlet小波等。
其中Haar小波是最简单的小波基函数，它只有两个非零值，可以很好地展示小波变换的基本思想。
对于一个长度为N的离散信号x，Haar小波变换可以通过以下步骤进行计算：
1.将信号x分成两部分，分别为奇数项和偶数项。
2.计算这两部分信号的平均值和差值，得到两个长度为N/2的新信号。
3.重复以上步骤，对新信号进行递归处理，直到每个子信号的长度为1。
4.将得到的所有子信号按照尺度大小排列，得到小波系数。
通过上述步骤，可以将原始信号分解成多个不同尺度的子信号，每个子信号代表了一定频率范围内的信号信息。
这些子信号可以通过逆小波变换合成为原始信号，同时也可以通过对不同尺度的子信号进行滤波和下采样操作，得到不同频率的信号信息。
二、哈尔小波变换的应用
哈尔小波变换在信号处理、图像处理、音频处理等领域都有广泛的应用。
其中，最常见的应用是信号去噪和信号压缩。
1.信号去噪
信号在传输和采集过程中往往会受到各种噪声的干扰，这些噪声会严重影响信号的质量和可靠性。
哈尔小波变换可以通过将信号分解成多个尺度的子信号，对不同尺度的子信号进行滤波和去噪，从而去除信号中的噪声成分。
2.信号压缩
信号压缩是一种常用的信号处理方法，可以将信号的冗余信息去除，从而减小信号的存储和传输成本。
哈尔小波变换可以将信号分解成多个尺度的子信号，对不同尺度的子信号进行量化和编码，从而实现信号的压缩和恢复。
三、哈尔小波变换在实际工程中的应用
哈尔小波变换在实际工程中有广泛的应用，其中最常见的应用包括图像处理、音频处理、视频处理等。
1.图像处理
图像处理是哈尔小波变换的主要应用领域之一，可以通过将图像
分解成多个尺度的子图像，对不同尺度的子图像进行滤波和处理，从而实现图像的去噪、压缩和增强等功能。
2.音频处理
音频处理是哈尔小波变换的另一个重要应用领域，可以通过将音频信号分解成多个尺度的子信号，对不同尺度的子信号进行滤波和处理，从而实现音频的去噪、压缩和增强等功能。
3.视频处理
视频处理是哈尔小波变换的另一个重要应用领域，可以通过将视频分解成多个尺度的子视频，对不同尺度的子视频进行滤波和处理，从而实现视频的去噪、压缩和增强等功能。
四、总结
哈尔小波变换是一种常用的信号处理方法，它可以将信号分解成不同频率的子信号，从而方便地进行分析和处理。
在信号去噪和信号压缩等领域都有广泛的应用，同时也被广泛应用于图像处理、音频处理、视频处理等领域。
在实际工程中，哈尔小波变换已经成为了信号处理和图像处理领域的重要工具之一，为实现高效、可靠的信号处理和图像处理提供了有力的支持。