小波变换理论及应用
傅里叶变换小波变换应用场景
傅里叶变换小波变换应用场景
傅里叶变换和小波变换是数字信号处理领域中常用的数学工具，它们在不同的应用场景中发挥着重要的作用。
一、傅里叶变换的应用场景
1. 信号处理：傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号，从而分析信号的频率成分和谱密度。
它在音频、视频、图像等信号处理中得到广泛应用，比如音频的频谱分析、图像的频域滤波等。
2. 通信系统：傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号，使信号能够更好地传输和处理。
在调制解调、频谱分析、通信信号的滤波等方面都有重要作用。
3. 图像处理：傅里叶变换可以将图像从空域转换到频域，从而实现图像的频域滤波、频谱分析和图像增强等操作。
傅里叶变换在图像压缩、图像识别和图像恢复等方面也得到了广泛应用。
二、小波变换的应用场景
1. 信号处理：小波变换具有时频局部化的特点，可以在时域和频域上同时分析信号，适用于非平稳信号的分析。
小波变换在音频去噪、语音识别、振动信号分析等方面有重要应用。
2. 图像处理：小波变换可以提取图像的纹理特征、边缘信息和细节信息，从而实现图像的去噪、边缘检测、图像压缩等操作。
小波变换在图像处理和计算机视觉领域中广泛应用。
3. 生物医学信号处理：小波变换可以有效地分析和处理生物医学信号，如脑电图(EEG)、心电图(ECG)、血压信号等。
小波变换在生物医学信号的特征提取、异常检测和疾病诊断等方面具有重要应用。
傅里叶变换和小波变换在信号处理、通信系统、图像处理和生物医学信号处理等领域中都有广泛的应用。
它们在不同应用场景中发挥着关键的作用，为我们理解和处理复杂的信号提供了有力的工具。
小波变换ppt课件
自适应压缩
在此添加您的文本16字
小波变换的自适应性质使得它在压缩过程中能够根据信号 的特性进行动态调整，进一步提高压缩效率。
信号去噪
有效去噪 多尺度分析 自适应去噪
小波变换能够检测到信号中的突变点，从而在去噪过程 中保留这些重要特征，同时去除噪声。
小波变换的多尺度分析能力使其在去噪过程中能够同时 考虑信号的全局和局部特性，实现更准确的去噪效果。
小波变换的算法优化
1 2
小波变换算法的分类
介绍不同类型的小波变换算法，如连续小波变换、 离散小波变换等。
算法优化策略
探讨如何优化小波变换算法，以提高计算效率和 精度。
3
算法实现技巧
介绍实现小波变换算法的技巧和注意事项。
小波变换在实际应用中的挑战与解决方案
01
小波变换在信号处理中的应用
介绍小波变换在信号处理领域的应用，如信号去噪、特征提取等。
小波变换ppt课件
• 小波变换概述 • 小波变换的基本原理 • 小波变换的算法实现 • 小波变换在信号处理中的应用 • 小波变换在图像处理中的应用 • 小波变换的未来发展与挑战
01
小波变换概述
小波变换的定义
01
小波变换是一种信号处理方法， 它通过将信号分解成小波函数的 叠加，实现了信号的多尺度分析 。
02
小波变换在图像处理中的应用
探讨小波变换在图像处理领域的应用，如图像压缩、图像增强等。
03
实际应用中的挑战与解决方案
分析小波变换在实际应用中面临的挑战，并提出相应的解决方案。
THANKS
感谢观看
离散小波变换具有多尺度、多方向和自适应的特点，能够提供信号或图像在不同尺 度上的细节信息，广泛应用于信号降噪、图像压缩和特征提取等领域。
java 小波变换 -回复
java 小波变换-回复Java小波变换（Java wavelet transform）是一种基于小波理论的信号处理方法。
它通过将信号分解为不同尺度和频率的小波基函数，用于分析和处理各种类型的信号。
在本文中，我们将逐步解释Java小波变换的原理、应用和实现。
第一部分：理论基础小波变换是一种时间-频率分析方法，可以将信号分解为一组满足特定数学条件的小波基函数。
它将信号分解为不同频率和尺度的小波基函数，以便更好地理解和处理信号的特征。
1. 小波基函数：小波基函数是一组满足特定数学条件的函数，用于描述信号的局部特征。
在小波变换中，我们使用不同尺度和频率的小波基函数对信号进行分解。
2. 分解和重构：在小波变换中，将信号分解为不同频率和尺度的小波基函数被称为分解（Decomposition）。
分解得到的系数表示不同频率和尺度下的信号能量。
重构（Reconstruction）是将分解得到的系数合成为原始信号。
第二部分：应用领域Java小波变换在许多领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 信号处理：小波变换可用于分析和处理各种类型的信号，如音频、图像和视频信号。
它可以提供对信号的频率和时域特征的详细分析。
2. 数据压缩：小波变换可以用于信号和图像的压缩。
通过提取信号或图像中的重要信息，并舍弃不重要的信息，可以实现高效的压缩。
3. 模式识别：小波变换可以用于特征提取和模式识别。
它可以提取信号或图像中的特征，并用于识别不同的模式或对象。
第三部分：实现方法Java提供了一些常用的库和工具，用于实现小波变换。
以下是一些常用的方法：1. 第三方库：例如JWave和Apache Commons Math都是流行的Java 库，用于实现小波变换。
它们提供了丰富的小波基函数和变换方法，可以方便地进行小波分解和重构。
2. 基于FFT的方法：Fast Fourier Transform（FFT）是一种常用的数学方法，用于计算信号的频域表示。
小波变换
小波变换理论及应用ABSTRACT ：小波理论是近几年发展起来的新的信号处理技术，因其在时间域和频率域都可以达到高的分辨率，被称为“数学显微镜”，在数值信号处理领域应用广泛，发展非常快。
但其涉及较多的数学知识，以及巧妙的数字计算技巧，对于非数学专业的科研人员，要完全掌握其中的精妙之处，有一定的难度。
正是考虑到这一点，本文的开始部分不过多说明小波分析的数学理论，只是以尽量简短的篇幅介绍必要的预备知识，接着阐述小波变换理论。
在理解了小波变换理论的基础上，再举例说明小波变换在实际中的应用。
第一章 小波变换理论这一章用尽量简短的篇幅和通俗的语言介绍小波变换的基本概念。
1.1. 从傅里叶变换到小波变换一、 傅里叶变换在信号处理中重要方法之一是傅里叶变换（Fourier Transform ），它架起了时间域和频率域之间的桥梁。
图1.1给出了傅里叶分析的示意图。
图1.1 傅里叶变换示意图 定义x(t)的傅里叶变换X(ω)：⎰∞∞--=dt e t x X t j ωω)()(............................................. (1)X(ω)的傅里叶反变换x(t)：⎰∞∞-=ωωπωd e X t x t j )(21)( (2)对很多信号来说，傅里叶分析非常有用。
因为它能给出信号中包含的各种频率成分。
但是，傅里叶变换有着严重的缺点：变换之后使信号失去了时间信息，它不能告诉人们在某段时间里发生了什么变化。
而很多信号都包含有人们感兴趣的非稳态（或）特性，如漂移、趋势项、突然变化以及信号的开始或结束。
这些特性是信号的重要部分。
因此傅里叶变换不适于分析处理这类信号。
傅里叶变换二、短时傅里叶变换为了克服傅里叶变换的缺点，D.Gabor(1946)提出了短时傅里叶变换(Short Time Fourier Transform), 又称为盖博(Gabor)变换或者加窗傅里叶变换(Windowed Fourier Transform)。
小波变换的几个典型应用
第六章 小波变换的几个典型应用6.1 小波变换与信号处理小波变换作为信号处理的一种手段，逐渐被越来越多领域的理论工作者和工程技术人员所重视和应用，并在许多应用中取得了显著的效果。
同传统的处理方法相比，小波变换取得了质的飞跃，在信号处理方面具有更大的优势。
比如小波变换可以用于电力负载信号的分析与处理，用于语音信号的分析、变换和综合，还可以检测噪声中的未知瞬态信号。
本部分将举例说明。
6.1.1 小波变换在信号分析中的应用[例6-1] 以含躁的三角波与正弦波的组合信号为例具体说如何利用小波分析来分析信号。
已知信号的表达式为For personal use only in study and research; not for commercial use⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤++-≤≤++-=1000501)()3.0sin(50010005001)()3.0sin(5001)(t t b t t t t b t t t s应用db5小波对该信号进行7层分解。
xiaobo0601.m1002003004005006007008009001000-4-3-2-10123456样本序号 n幅值 A图6-1含躁的三角波与正弦波混合信号波形分析：（1） 在图6－2中，逼近信号a7是一个三角波。
（2） 在图6－3中细节信号d1和d2是与噪声相关的，而d3（特别是d4）与正弦信号相关。
01002003004005006007008009001000-101a 701002003004005006007008009001000-202a 601002003004005006007008009001000-202a 501002003004005006007008009001000-202a 401002003004005006007008009001000-505a 301002003004005006007008009001000-505a 2010*******4005006007008009001000-505a 1样本序号 n图6-2 小波分解后各层逼近信号01002003004005006007008009001000-101d 701002003004005006007008009001000-101d 601002003004005006007008009001000-101d 501002003004005006007008009001000-202d 401002003004005006007008009001000-202d 301002003004005006007008009001000-202d 2010*******4005006007008009001000-505d 1样本序号 n图6-3 小波分解后各层细节信号6.1.2 小波变换在信号降躁和压缩中的应用一、信号降躁1．工程中，有用信号一般是一些比较平稳的信号，噪声通常表现为高频信号。
小波变换 能量谱 哥廷根 学派
一、小波变换的概念及原理小波变换是一种信号分析方法，它可以将信号分解成不同频率下的小波系数，从而揭示出信号的时频特性。
小波变换的原理是基于多个小波函数与信号进行卷积运算，通过不同尺度和平移的小波函数对信号进行分解和重构，从而实现对信号时域和频域的分析。
二、小波变换的应用小波变换在信号处理、图像处理、模式识别等领域具有广泛的应用。
在信号处理中，小波变换可以用于信号去噪、特征提取、压缩等；在图像处理中，小波变换可以用于图像压缩、边缘检测、纹理分析等；在模式识别中，小波变换可以用于特征提取、模式匹配等。
三、能量谱的概念及特点能量谱是描述信号能量分布随频率变化的函数，它可以展现出信号在不同频率下的能量分布情况，从而揭示出信号的频域特性。
能量谱可以用于分析信号的频率成分、频谱集中度、频谱宽度等特征，是对信号频谱特性的一种有效描述和分析方法。
四、哥廷根学派在小波变换和能量谱分析中的贡献哥廷根学派是20世纪70年代提出的一种新的数学分析方法，它对小波变换和能量谱分析的发展产生了积极的影响。
哥廷根学派提出了一种新的数学框架，将小波变换和能量谱分析统一起来，从而推动了小波变换和能量谱分析的研究和应用。
五、结语小波变换和能量谱分析是现代信号处理和分析领域的重要方法，它们在多个领域具有广泛的应用。
未来，随着科学技术的不断发展，小波变换和能量谱分析将会在更多的领域得到应用，并产生出更多的新理论和方法。
希望通过本文的介绍，读者能对小波变换和能量谱分析有更深入的理解，并在实际应用中发挥出更多的作用。
六、小波变换在地震信号处理中的应用小波变换在地震学领域具有广泛的应用。
地震信号通常是非平稳的，包含丰富的时频信息，传统的傅里叶变换和频谱分析方法难以对其进行有效的分析。
而小波变换作为一种时频分析方法，能够很好地应对地震信号的这些特点，因此被广泛应用于地震信号的处理和分析中。
小波变换可以帮助地震学家分析地震信号中的不同频率成分，提取地震信号中的地震波形信息，从而更好地理解地震活动的特点和规律。
小波基本理论及应用
平移
3、基于matlab的小波应用
多层压缩
3、基于matlab的小波应用
利用matlab 自带的leleccum信号函数，采用db1小波 对此信号进行一维小波分解，然后对近似分量和细节 分量进行重构。
3、基于matlab的小波应用
使用db1 进行3尺度小 波分解，然后提取该 尺度下的近似系数和 细节系数
（3）二维信号的重构。根据小波分解的第N层的低频系数 和经过修改的从第1层到第N层的各层高频系数计算二维信号 的小波重构。
3、基于matlab的小波应用
可以看出，最终得到的图像在滤除噪声的同时细节信息也损失严重
3、基于matlab的小波应用
第一幅为原图，第二幅图像是用小波分解 的
小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新 领域，经过近10年的探索研究，重要的数学形式化体系已经建 立，理论基础更加扎实。与Fourier变换相比，小波变换是空间 (时间)和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。 通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分 析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。小波变换联 系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处 理、地震勘探等多个学科。数学家认为，小波分析是一个新的数 学分支，它是泛函分析、Fourier分析、样调分析、数值分析的 完美结晶；信号和信息处理专家认为，小波分析是时间—尺度分 析和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像 识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等 方面的研究都取得了有科学意义和应用价值的成果。
小波分析，即小波变换，与Fourier分析有相似之处。小波变 换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974 年首先提出的，其基本的数学思想来源于经典的调和分析，特 别是本世纪30年代的Little-Palay的理论。与Fourier变换、窗 口Fourier(Gabor变换)相比，这是一个时间和频率的局域变换， 因而能有效的从信号中提取信息。通过伸缩和平移功能对函数 或信号进行多尺度细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许 多困难问题，从而小波变换被誉为“数学显微镜”，它是调和 分析发展史上里程碑式的进展。
小波分析基础：从理论到应用
这一章主要介绍了小波分析的基本概念、历史背景和发展现状，为读者提供 了必要的基础知识。通过这一章的学习，读者可以对小波分析有一个初步的了解 和认识。
这一章深入介绍了小波变换的基本理论，包括连续小波变换、离散小波变换、 多尺度分析等。通过这一章的学习，读者可以掌握小波变换的基本原理和方法。
这一章主要介绍了小波基的构造方法和性质，包括尺度函数和小波函数的构 造、正交性、对称性等。通过这一章的学习，读者可以了解如何构造具有优良性 质的小波基。
精彩摘录
当我们谈到小波分析，许多人可能首先想到的是一串深奥难懂的数学公式和 理论。然而，《小波分析基础：从理论到应用》这本书却以一种全新的方式，将 小波分析的魅力展现得淋漓尽致。在这篇文章中，我们将为大家分享这本书中的 一些精彩摘录，让大家感受到小波分析的独特魅力。
“小波分析是一种强大的数学工具，它能够揭示信号和数据的本质特征。通 过小波变换，我们可以将信号分解成不同频率和时频部分的组合，从而更好地理 解信号的特性和变化。”
在深入学习过程中，我对小波框架和正交小波产生了浓厚的兴趣。框架理论 是小波分析中的一个重要部分，它为我们提供了一种全新的视角来看待信号或数 据的处理。而正交小波因其独特的性质，在小波分析中占据着举足轻重的地位。 通过本书，我对这两部分内容有了更为深入的了解。
书中的多分辨率分析也是一大亮点。这一章节通过一个简单的例子入手，逐 步引导读者进入多分辨率分析的殿堂。双尺度方程的时域和频域描述，以及小波 滤波器等内容，都让我对多分辨率分析有了更为深刻的认识。而小波子空间和L2 空间的正交分解，更是让我感受到了数学与信号处理之间的紧密。
这段摘录展望了小波分析的未来应用前景。随着科技的不断发展和人类对自 然界认识的深入，小波分析将在更多领域发挥其独特的优势，为人类社会的进步 做出贡献。
Morlet小波变换理论与应用研究及软件实现
小波变换理论在其他领域的应用
除了在图像和语音信号处理领域的应用，小波变换理论还在其他多个领域得到 了广泛的应用。例如，在数值分析中，小波变换被用于函数的逼近和插值，能 够实现高效且精确的数值计算。在几何学中，小波变换被用于曲线和曲面拟合 以及几何形状的设计和优化等。此外，小波变换还在信号与系统分析、地球物 理学、医学成像等领域有着广泛的应用。
#定义信号
y = np.sin(2 * np.pi * 5 * x) + np.random.normal(size=len(x))
#进行Morlet小波变换
#小波重构
y_reconstructed = sg.waverec(coeffs, 'morl')
#绘制原始信号和小波重构信号
plt.plot(x, y, label='Original Signal') plt.plot(x, y_reconstructed, label='Reconstructed Signal')
软件实现
实现Morlet小波变换的软件工具有很多种，包括Python、MATLAB等编程语言 以及专门的工具包。在Python中，可以使用scipy库中的wavelet模块来进行 Morlet小波变换。例如，以下代码展示了如何使用Python实现一维信号的 Morlet小波变换：
import matplotlib.pyplot as plt
参考内容
引言
小波变换理论是一种重要的信号处理方法，在过去的几十年里得到了广泛的应 用和发展。小波变换理论的应用领域涵盖了图像处理、语音信号处理、数值分 析、几何学等多个领域，为各个领域的发展带来了重要的推动作用。本次演示 将介绍小波变换理论的应用进展，包括在图像处理、语音信号处理和其他领域 的应用，并展望未来的研究方向。
二进制离散小波变换
二进制离散小波变换二进制离散小波变换（Binary Discrete Wavelet Transform）是一种非常重要的信号处理技术，它将信号分解成不同频率的子带并提供丰富的频域和时域信息。
在本文中，我将深入探讨二进制离散小波变换的原理、应用和优缺点，并分享一些个人观点和理解。
1. 引言二进制离散小波变换是基于小波分析理论发展起来的一种信号处理技术。
它充分利用了小波函数的多尺度分析能力，能够在时频域上捕捉信号的细节和整体特征，从而更好地描述和理解信号。
2. 原理二进制离散小波变换的原理是将输入信号进行多尺度分解，从而获得不同分辨率和频带的子信号。
这个过程涉及到基函数的选择和滤波器的设计，其中高通滤波器用于提取细节信息，低通滤波器用于提取近似信息。
通过逐级分解，可以得到不同分辨率的子信号和对应的小波系数。
3. 应用二进制离散小波变换在许多领域有着广泛的应用。
其中，最常见的应用是图像压缩和信号降噪。
通过小波变换，可以将一幅图像分解成多个子带，其中包含了图像的细节和整体特征。
这样，我们可以根据需要保留主要特征，同时舍弃一些细节信息，从而实现图像压缩。
在信号降噪方面，小波变换能够将信号分解成不同频率的子信号，通过阈值处理可以去除噪声，使信号更纯净和可靠。
4. 优缺点二进制离散小波变换有许多优点，其中包括多尺度分析、能量集中、时频局部化等。
它能够以更好的精度分析信号，并提供比传统傅里叶变换更详细的时频信息。
二进制离散小波变换还具有高效性和灵活性，可以适用于不同类型的信号处理任务。
然而，二进制离散小波变换也存在一些不足之处。
变换后的系数难以解释，使得理解和解释变得困难。
在实际应用中，选择合适的小波基函数和滤波器也是一个挑战，不同的选择会对结果产生影响。
小波变换的计算复杂度较高，对处理器和存储器要求较高。
5. 结论二进制离散小波变换是一种强大的信号处理技术，具有广泛的应用前景。
它能够提供丰富的时频信息，并在图像压缩和信号降噪等方面发挥重要作用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2011-2012 学年第一学期2011级硕士研究生考试试卷一、以图示的方式详细说明连续小波变换（CWT）的运算过程，分析小波变换的内涵；并阐述如何从多分辨率（MRA ）的角度构造正交小波基。
（20分）二、综述小波变换理论与工程应用方面的研究进展，不少于3000字。
（25分）三、运用MATLAB中的小波函数和小波工具箱，分别对taobao.wav语音信号在加噪之后的taobao_noise.wav信号进行降噪处理，要求列出程序、降噪结果及降噪的理论依据。
（25分）四、平时成绩。
（30分）（一）连续小波变换（CWT ）的运算过程及内涵将平方可积空间中任意函数 f （t ）在小波基下展开，称这种展开为函数 f （ t ）的连续小 波变换(Continue Wavelet Transform ，简记 CWT )其表达式为 4 讼 t —hW ，_.f(a,b)二 1f(t)'- *C h )dt ( 1.1) 胡a|g a其中，a ・R 且a 丰0。
式（1.19 ）定义了连续小波变换，a 为尺度因子，表示与频率相关的伸 缩，b 为时间平移因子。
其中 屮a b （t ） =「鼻屮（匸也）为窗口函数也是小波母函数。
v'|a| a从式（1.1 ）可以得出，连续小波变换计算分以下 5个步骤进行。
① 选定一个小波，并与处在分析时段部分的信号相比较。
② 计算该时刻的连续小波变换系数 C 。
如图1.5所示，C 表示了该小波与处在分析时段 内的信号波形相似程度。
C 愈大，表示两者的波形相似程度愈高。
小波变换系数依赖于所选 择的小波。
因此，为了检测某些特定波形的信号，应该选择波形相近的小波进行分析。
③ 如图1.6所示，调整参数b ，调整信号的分析时间段，向右平移小波，重复①〜②步 骤，直到分析时段已经覆盖了信号的整个支撑区间。
④ 调整参数a ,尺度伸缩，重复①〜③步骤。
⑤ 重复①〜④步骤，计算完所有的尺度的连续小波变换系数，如图 1.7所示。
图1.5计算小波变换系数示意图图1.7不同尺度下的信号小波变换系数计算小波变换的实质是用小波(微小的特定波形)与待分析信号波形分段求内积，所得的系数反映了小波与待分析信号的相似度，相似度越高则系数越高。
通过改变平移因子b可以实现对信号时频域的分析。
通过改变尺度因子可以改变小波与待分析信号的相似度。
最后由得到的系数和所选小波的特性可以知道待分析信号的特性或是待分析信号某一时段或频段的特征。
(二)从多分辨率(MRA )的角度构造正交小波基从数值计算数据压缩等角度，我们仍希望减小它们的冗余度，提出了寻找正交基的要求。
多分辨率的理论是指将信号分解到不同的尺度空间，实现在各个尺度上可以有粗及精地观察。
由多分辨率的思想我们可以将任意函数d j,k f (t),屮j,k(t) a f (t) w V分解为细节部分W和大尺度逼近部分V，然后将大尺度逼近部分V进一步分解。
如此重复就可以得到任意分辨率上的逼近部分和细节部分。
在MRA理论中同一尺度下小波函数和尺度函数分别满足。
f(t _kjf(t _k2)dt 二(k^k2)同一尺度下小波函数屮j,k同尺度函数*j,k正交胖j,k(t) j7i)dt=0小波函数匸(t)和尺度函数(t)在多分辨率分析中满足方程(t)八%(n) ln(t"2' h o(n) (2t-n)'(t)「h/n) Gt)「2° g(n) (2t -n)这两个方程就是二尺度方程。
利用二尺度方程可以构造出小波母函数，通过伸缩平移就得到整个平方可积空间的基。
正交尺度函数{ (t -k)k.z}构造正交小波基，还有当尺度函数为Riesz基是构造的正交小波基函数。
所以说MRA不仅为正交小波基的构造提供了一种简单的方法，而且为正交小波变换的快速算法提供了理论依据。
图1.6不同分析时段下的信号小波变换系数计算(三)小波变换理论与工程应用方面的研究进展摘要：小波变换作为一种数学理论和方法在科学技术界引起了越来越多的关注和重视。
在数学家们看来，基于小波变换的小波分析技术是泛函分析、调和分析、数值分析等半个多世纪以来发展最完美的结晶，是正在发展中的新的数学分支。
在工程应用领域，特别是在信号处理、图像处理、模式识别、语音识别、量子物理、地震勘测、流体力学、电磁波、CT 成像、机器视觉、机械故障诊断。
关键词; 小波变换工程应用引言小波分析(wavelet) 是在应用数学的基础上发展起来的一门新兴学科，近十几年来得到了飞速的发展．作为一种新的时频分析工具的小波分析，目前已成为国际上极为活跃的研究领域．从纯粹数学的角度看，小波分析是调和分析这一数学领域半个世纪以来工作的结晶；从应用科学和技术科学的角度来看。
小波分析又是计算机应用，信号处理，图形分析，非线性科学和工程技术近些年来在方法上的重大突破．由于小波分析的“自适应性”和“数学显微镜”的美誉，使它与我们观察和分析问题的思路十分接近，因而被广泛应用于基础科学。
应用科学，尤其是信息科学，信号分析的方方面面.本文将介绍小波分析的基本理论，产生背景及其在一些工程方面的应用。
最后展望了小波分析应用研究的发展趋势。
1 小波理论所涉及的基础数学知识: 小波理论所涉及的基础数学知识包括泛函分析、傅里叶分析、信号与系统、数字信号处理等方面的内容。
在这里主要介绍泛函分析的基础知识：泛函分析是上世纪初开始发展起来的一个重要数学分支，它是以集合论为基础的现在分析的一个基本组成部分。
在泛函研究中，一个重要的基本概念是函数空间。
所谓函数空间，即由函数构成的集合。
下面列出几个简单的函数空间的定义。
1.1 距离空间设X是一个非空集合，如果X中任意两个元素x与y,都对应一个实数p(x,y)而且满足：⑴非负性:p(x,y)>=0,当且仅当x=y时，p(x,y)=0。
(2) 对称性：p(x,y)= p(y,x) 。
(3) 三角不等式: 对于任意的X 中的x,y,z , p(x,z)<=p(x,y)+p(y,z) 都成立1.2 线性空间设X 为一非空集合,若在X 中规定了线性运算——元素的加法和元素的数乘运算,并满足相应的加法或数乘的结合律及分配律,则称X 为一线性空间或向量空间。
对于线性空间的任一向量我们用范数来定义其长度。
1.3 平方可积空间L2((X)表示X 上所有在几乎处处(almost everywhere )意义下平方可积( square-integrable )的复值的可测函数的集合。
平方可积表示该函数的绝对值的平方的积分是有限的。
1.4 巴拿赫空间Banach Space巴拿赫空间是一个完备的赋范矢量空间Normed Vector Space,它是希尔伯特空间的推广。
巴拿赫空间定义为完备的线性赋范矢量空间。
即是说,它是一个实数或复数的矢量空间并且有一个完备的范数||卜，即其每个柯西Cauchy序列都是收敛列。
2重要的小波理论；2.1小波变换的提出傅里叶变换在平稳信号分析中可以知道信号所含有的频率信息，但是不能知道这些频 率信息究竟出现在那些时间段上，可见若要提取局部时间段(或瞬间)的频域特征信息，傅 里叶变换已经不再适用了。
1/4 t 2 /21946年Carbor 提出了加窗的 Fourier 变换。
其基本思想是取时间函g(t)-二一 e作为窗口函数，用 g(t -匸)同待分析函数f(t)相乘，然后在傅里叶变换： G f (<o ,t )J f(t)g(t -^e ^dt N f(t)乜砂化)>(2. 1)R g ^'t) =g(t _i )e 」wt =g(t_t)e 」wt(2. 2)这一加窗变换使得我们可以分析出一个信号在任意局部范围的频率特征， 这是比傅里叶 变换优越之处。
这一类加窗变换Fourier 变换统称为短时傅里叶变换( Short Time Fourier Transform ，简称为 STFT )。
但是其时频窗口不随频率和时间的变化而变化，使它的灵活性 与普遍性运用受到限制。
2.2小波变换基本理论 为了使得短时傅里叶变换的时，频窗口均随频率的变化而变化，以实现对低频分量采用 大时窗，对高频分量采用小时窗的符合自然规律的分析方法。
我们设计一组连续变化的伸缩 平移基屮a,/t)，屮(t)称为连续小波基函数，来代替STFT 中的g^/t) = g(t —"eT wt 。
小波函数的确切定义为：设'■ (t)为一平方可积函数，也即•芒(R)，若傅里叶变换贝r- (t)称为一个基本小波或小波母函数，并称式(2.3)为小波函数的可容许性条件。
连续小波变换：将任意平方可积空间中的 f (t )在小波基下进行展开，称这种展开为函数 (t )的连续小波变换(Continue Wavelet Transform ，简记为 CWT )其表达式为由表达式可知小波变换也是类似于傅里叶变换，但小波变换与STFT 本质不同的是，小 波变换是一种变分辨率的时频联合分析方法，当分析低频信号时，其时间窗很大，而当分析 高频信号时，其时间窗很小。
这与实际问题中的高频信号的持续时间短、低频信号持续时间 较长的自然规律相符合，这种对信号有“自适应”使得小波变换广泛的应用于时频联合分析 及目标识别领域。
因为CWT 得冗余性较大计数值实现的需要，我们常采用离散型式。
对某一 确定的尺度因子 a o 1,b o 0 ,我们选择：相a = a ：,b = nb o aj’m,n ・Z 应的离散小波为普®)满足条件：J 悝⑴"d *旳(2. 3)WT f (a, ) -： f(t)?；, .(t)- .f(t? ((^))dt (2. 4)W m,n= a。
』"屮(a j x - ng)。
对屮和& , b0做某些特殊的选择，则屮m,n可以构成L2(R)的标准正交基。
所谓小波就是小的波形，”小”即在时频域都具有紧支集。
通常选取紧支集或近似紧支集的具有正则性的实数或复数函数作为小波母函数，以使小波母函数在时频域有较好的局部性。
“波”是指具有波动性。
小波分析优于傅里叶变换分析在于：(a)在时频域同时具有良好的局部性：小波的“自适应”能力正好符合低频信号变化缓慢而高频变化快的特点，特另U适合处理瞬变信号。
小波能对高频采用逐渐精细的时域取样步长，从而可以聚焦到对象的任意细节，被誉为“数学显微镜”(b)基的多样性：小波分析与Fourier分析的实质都是将信号f(t)投影在一组正交基上，所不同的是Fourier 分析对f (t)只用唯一的基{exp (iwx) }:而小波基的家族是庞大的，同一 f (t)可投影在不同的小波基上。