模糊数学的应用
模糊数学的原理及其应用
模糊数学的原理及其应用1. 模糊数学的概述•模糊数学是一种数学理论和方法，用于描述和处理模糊和不确定性的问题。
•模糊数学可以更好地解决现实世界中存在的模糊性问题。
2. 模糊数学的基本概念•模糊集合：具有模糊性的集合，其元素的隶属度可以是一个区间或曲线。
•模糊关系：描述元素之间模糊的关联，可以用矩阵、图形或规则表示。
•模糊逻辑：基于模糊集合和模糊关系的逻辑运算，用于推理和决策。
3. 模糊数学的原理•模糊集合理论：模糊集合的定义、运算和性质。
•模糊关系理论：模糊关系的表示、合成和推理。
•模糊逻辑理论：模糊逻辑运算的定义、规则和推理机制。
4. 模糊数学的应用领域•控制理论：在模糊环境下设计控制系统，提高系统的鲁棒性和自适应能力。
•人工智能：利用模糊推理和模糊决策技术，实现模糊推理机和模糊专家系统。
•决策分析：在不确定和模糊环境下进行决策，提供可靠的决策支持。
•模式识别：用模糊集合和模糊关系描述和识别模糊模式。
•数据挖掘：利用模糊数学方法在大数据中发现模糊规律和模糊模式。
•经济学：模糊数学在经济学中的应用，如模糊经济学和模糊决策理论。
•工程优化：在多目标优化和约束优化中应用模糊数学方法。
•生物学：模糊生物学在生物信息学和细胞生物学中的应用。
5. 模糊数学的优势和局限5.1 优势•能够处理和描述模糊和不确定的问题，适用于现实世界的复杂问题。
•可以通过合适的模型和规则进行推理和决策，提供可靠的解决方案。
•可以用简单的数学方法解决复杂的问题，不需要严格的数学证明。
5.2 局限•模糊数学方法在某些问题上可能无法提供明确的结果。
•模糊数学需要根据实际情况选择合适的模型和参数，需要一定的经验和专业知识。
•模糊数学方法的计算复杂性较高，在大规模问题上可能不适用。
6. 总结•模糊数学是一种处理模糊和不确定问题的数学理论和方法。
•模糊数学包括模糊集合理论、模糊关系理论和模糊逻辑理论。
•模糊数学在控制理论、人工智能、决策分析等领域应用广泛。
模糊数学原理及应用
模糊数学原理及应用
模糊数学是一门研究模糊集合、模糊逻辑等概念和方法的数学分支学科，它是20世纪60年代兴起的一门新兴学科，其理论和方法在实际问题中有着广泛的应用。
本文将就模糊数学的原理及其在实际中的应用进行介绍和分析。
首先，我们来看一下模糊数学的基本原理。
模糊数学的核心概念是模糊集合和
模糊逻辑。
模糊集合是指其隶属度不是二值的集合，而是在0到1之间连续变化的集合。
模糊逻辑是一种对不确定性进行推理的逻辑系统，它允许命题的真假值在0
和1之间连续变化。
这些基本概念为模糊数学的发展奠定了基础。
其次，我们来探讨模糊数学在实际中的应用。
模糊数学在控制系统、人工智能、模式识别、决策分析等领域有着广泛的应用。
在控制系统中，模糊控制可以有效地处理非线性和不确定性系统，提高控制系统的性能。
在人工智能领域，模糊推理可以用来处理模糊信息，提高智能系统的推理能力。
在模式识别中，模糊集合可以用来描述模糊的特征，提高模式识别的准确性。
在决策分析中，模糊数学可以用来处理不确定性信息，提高决策的科学性和准确性。
总之，模糊数学作为一种新兴的数学分支学科，其原理和方法在实际中有着广
泛的应用前景。
我们应该深入学习和研究模糊数学，不断拓展其理论和方法，促进其在实际中的应用，为推动科学技术的发展做出更大的贡献。
希望本文的介绍能够对大家对模糊数学有所了解，并对其在实际中的应用有所启发。
模糊数学原理及应用
模糊数学原理及应用
模糊数学是一门拟现实主义的数学，它提供了一种方法来处理含有不确定性和模糊性的信息，为变量的描述提供了一种更加灵活的方式。
模糊数学的基本原理是通过将变量的值划分为多个等级来实现。
模糊数学在众多领域有着广泛的应用，如智能控制、机器学习、信息处理、模式识别、知识表示、系统建模等。
模糊数学原理的核心是模糊集合理论，它基于不确定性和模糊性的概念，将变量的值划分为多个不同等级，即模糊集合中的元素分层次，从而实现模糊数学原理的应用。
模糊集合的每个元素都有一个权值，表示其变量的程度。
这些元素的权值可以是实数，也可以是逻辑值，这取决于变量的类型。
模糊数学在智能控制领域有着广泛的应用。
智能控制是一种利用计算机程序来控制复杂系统的技术，它可以用来解决有关非线性系统的控制问题。
模糊控制是一种智能控制的方法，它可以将模糊数学的概念用于控制问题的解决，使得控制系统表现得更加准确、灵活和精确。
模糊数学也可以用于机器学习，它可以使机器“学习”和“记忆”，使机器能够像人类一样识别和处理信息。
它可以用来处理不确定性和模糊性的信息，让机器“学习”和“记忆”，有效地提高机器学习的效率。
模糊数学还可以用于信息处理，它可以将不确定性和模糊性的信息转换为有用的信息，有效地改善信息处理的效率。
此外，模糊数学还可以用于模式识别、知识表示、系统建模等领域，以提高系统的效率和准确性。
模糊数学原理及其应用的日益广泛，可以说模糊数学是一门融合不确定性和模糊性的数学，它可以提供更加灵活的方式来处理含有不确定性和模糊性的信息，在众多领域有着广泛的应用。
模糊数学原理及应用
模糊数学原理及应用
模糊数学，也被称为模糊逻辑或模糊理论，是一种基于模糊概念和模糊集合的数学分析方法，用于处理不精确或不确定性的问题。
模糊数学允许将不明确的概念和信息进行量化和处理，以便更好地处理现实生活中存在的模糊性问题。
模糊数学的基本原理是引入模糊集合的概念，其中的元素可以具有模糊或不确定的隶属度。
模糊数学中的隶属函数可以用于刻画元素对于一个模糊集合的隶属程度。
模糊集合的运算可以通过模糊逻辑实现，模糊逻辑是概率逻辑和布尔逻辑的扩展，它允许使用连续的度量范围来推导逻辑结论。
模糊逻辑中的运算包括取补、交集和并集等，它们可以用来处理模糊概念之间的关系。
模糊数学在许多领域都有广泛的应用。
在控制系统中，模糊控制可以用于处理难以量化的问题，如温度、湿度和压力等。
在人工智能领域，模糊推理可以用于处理自然语言的不确定性和模糊性。
在决策分析中，模糊数学可以用于处理多个决策因素之间的不确定性和模糊性。
此外，模糊数学还在模式识别、图像处理、数据挖掘和人机交互等领域得到广泛应用。
通过使用模糊数学的方法，可以更好地处理现实世界中存在的不确定性和模糊性，从而提高问题解决的准确性和效率。
模糊数学例题大全
模糊数学例题大全标题：模糊数学例题大全模糊数学，又称为模糊性数学或者弗晰数学，是一个以模糊集合论为基础的数学分支。
它不仅改变了过去精确数学的观念，而且广泛应用于各个领域，从物理学、生物学到社会科学，甚至。
下面，我们将通过一些具体的例题来展示模糊数学的应用。
例1：模糊逻辑门在经典的逻辑门中，我们使用AND、OR和NOT等操作符来处理布尔值（0或1）。
然而，在现实世界中，很多情况并不是绝对的0或1。
例如，我们可以将“温度高”定义为大于25度，但24度是否算高呢？模糊逻辑门提供了更广泛的定义方式，允许我们使用模糊集合来描述这些边界情况。
例2：模糊聚类分析在统计学中，聚类分析是一种将数据集分类成几个组的方法，其中同一组内的数据点相似度高。
然而，在某些情况下，我们无法用精确的数值来描述数据点的相似度。
这时，模糊聚类分析就派上用场了。
它允许我们使用模糊矩阵来表示数据点之间的相似度，从而更准确地分类数据。
例3：模糊决策树在机器学习中，决策树是一种用于分类和回归的算法。
然而，在某些情况下，我们无法用精确的规则来描述决策过程。
这时，模糊决策树就派上用场了。
它允许我们在决策节点使用模糊规则来代替传统的布尔值规则，从而更好地模拟人类的决策过程。
例4：模糊控制系统在控制系统中，我们通常需要设计一个控制器来控制系统的行为。
然而，在某些情况下，系统的输入和输出并不是绝对的0或1。
这时，模糊控制系统就派上用场了。
它允许我们使用模糊集合来描述系统的输入和输出，从而更准确地控制系统的行为。
例5：模糊图像处理在图像处理中，我们通常需要分类、识别或分割图像中的对象。
然而，在某些情况下，图像中的对象边界并不清晰。
这时，模糊图像处理就派上用场了。
它允许我们使用模糊集合来描述图像中的对象边界，从而更准确地分类、识别或分割图像中的对象。
以上只是模糊数学众多应用的一小部分。
这个领域仍在不断发展，为解决各种复杂的现实问题提供了新的工具和方法。
通过学习模糊数学，我们可以更好地理解和处理那些边界模糊、难以用传统数学方法描述的问题。
模糊数学和其应用
04
总结与展望
模糊数学的重要性和意义
模糊数学是处理模糊性现象的一种数学 理论和方法，它突破了经典数学的局限 性，能够更好地描述现实世界中的复杂 问题。
模糊数学的应用领域广泛，包括控制论、信 息论、系统论、人工智能、计算机科学等， 对现代科学技术的发展起到了重要的推动作 用。
模糊数学的出现和发展，不仅丰富 了数学理论体系，也促进了各学科 之间的交叉融合，为解决实际问题 提供了新的思路和方法。
随着计算机技术的发展，模糊 数学的应用越来越广泛，成为 解决复杂问题的重要工具之一 。
模糊数学的基本概念
模糊集合
与传统集合不同，模糊集合的成员关系不再是确 定的，而是存在一定的隶属度。例如，一个人的 身高属于某个身高的模糊集合，其隶属度可以根 据实际情况进行确定。
隶属函数
用于描述模糊集合中元素属于该集合的程度。隶 属函数的确定需要根据实推理规则不再是一 一对应的，而是存在一定的连续性。例如，在医 疗诊断中，病人的症状与疾病之间的关系可能存 在一定的模糊性，通过模糊逻辑可以进行更准确 的推理。
模糊运算
与传统运算不同，模糊运算的结果不再是确定的 数值，而是存在一定的隶属度。例如，两个模糊 数的加法运算结果也是一个模糊数，其隶属度取 决于两个输入的隶属度。
模糊数学在图像处理中的应用
总结词
模糊数学在图像处理中主要用于图像增强和图像恢复。
详细描述
通过模糊数学的方法，可以对图像进行平滑、锐化、边缘检测等操作，提高图像的视觉效果和识别能 力。例如，在医学影像处理中，可以利用模糊数学的方法对CT、MRI等医学影像进行降噪、增强和三 维重建等处理，提高医学诊断的准确性和可靠性。
02
模糊数学的应用领域
模糊控制
模糊数学方法及其应用
RR=
0.00 0.00
0.00 0.00
1.00 1.00
1.00 1.00
1.00 1.00
0.00 0.00
0.00 0.00 1.00 1.00 1.00 1.00
0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 1.00
矩阵RR叫做R矩阵的截矩阵(λ≥0.6) 16
3.分类 由模糊等价矩阵的λ截矩阵可知,当rij=1时,i与j应 为同类,否则为异类。 让λ由大到小变化，可形成动态聚类图。
)
n
(
i 1
A~i
( xi
))
为x对 A~ 的隶属度。
26
基于不同考虑,隶属度也有其他的定义形式,如：
9
(5)算术平均最小法
m
m
rij 2 (xik x jk ) / (xik x jk )
k 1
k 1
(i, j 1,2,, n)
x1 (0.1 0.2 0.3) x2 (0.1 0.2 0.3)
m
2 (xik x jk ) 2(0.1 0.2 0.3) 1.2 k 1 m (xik x jk ) 0.2 0.4 0.6 1.2 r12 1.2 /1.2 1.0 k 1
m
其中
M
max i j
(
k 1
xik
x jk )
显然|rij|∈[0,1] ,若rij<0, 令rij’=(rij+1)/2,则rij’∈[0,1]。
7
(2)夹角余弦法 见相似性度量聚类中的相似系数。
(3)相关系数法 见相似性度量聚类中的相关系数。
(4)最大最小法
模糊数学法的原理及应用
模糊数学法的原理及应用1. 引言模糊数学是一种基于模糊逻辑的数学方法，其目的是处理那些现实世界中存在不确定性和模糊性的问题。
相对于传统的二值逻辑，模糊数学可以更好地刻画事物的模糊性和不确定性，因此被广泛应用于各个领域。
2. 模糊数学的基本概念模糊数学的基本概念包括模糊集合、隶属函数和模糊关系等。
2.1 模糊集合模糊集合是指元素隶属于集合的程度可以是连续的，而不仅仅是二值的。
模糊集合可以用隶属函数来描述，隶属函数将元素和隶属度之间建立了映射关系。
2.2 隶属函数隶属函数描述了元素对模糊集合的隶属程度。
隶属函数通常是一个在区间[0, 1]上取值的函数，表示元素隶属于模糊集合的程度。
2.3 模糊关系模糊关系是指模糊集合之间的关系。
模糊关系可以用矩阵来表示，其中每个元素表示了模糊集合之间的隶属度。
3. 模糊数学的应用模糊数学在各个领域都有广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用实例。
3.1 模糊控制模糊控制是一种通过模糊逻辑和模糊推理来进行控制的方法。
模糊控制可以应用于各种物理系统，例如温度控制、汽车驾驶等，通过模糊控制可以更好地应对系统不确定性和模糊性的问题。
3.2 模糊分类模糊分类是一种模糊集合的分类方法。
与传统的二值分类不同，模糊分类可以更好地处理具有模糊边界的样本。
模糊分类可以应用于各种模式识别和数据挖掘任务中。
3.3 模糊优化模糊优化是一种利用模糊数学方法进行优化的技术。
传统的优化方法通常需要准确的数学模型和目标函数，而模糊优化可以在模糊和不确定的情况下进行优化。
3.4 模糊决策模糊决策是一种基于模糊逻辑和模糊推理的决策方法。
模糊决策可以用于各种决策问题，例如投资决策、风险评估等，通过模糊决策可以更好地处理决策中的不确定性和模糊性。
4. 总结模糊数学是一种处理不确定性和模糊性的有效方法，它可以更好地刻画现实世界中存在的模糊信息。
模糊数学在控制、分类、优化和决策等领域都有广泛的应用。
随着人工智能和大数据技术的不断发展，模糊数学的应用将会更加重要和广泛。
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本科生论文模糊数学的应用指导老师:作者:中国矿业大学二零一一年六月模糊数学的应用摘要：二十世纪六十年代，产生了模糊数学这门新兴学科。
模糊数学作为一个新兴的数学分支，使过去那些与数学毫不相关或关系不大的学科（如生物学、心理学、语言学、社会科学等）都有可能用定量化和数学化加以描述和处理，从而显示了强大的生命力和渗透力，使数学的应用范围大大扩展。
模糊数学自身的理论研究进展迅速；模糊数学目前在自动控制技术领域仍然得到最广泛的应用，并在计算机仿真技术、多媒体辨识等领域的应用取得突破性进展；模糊聚类分析理论和模糊综合评判原理等更多地被应用于经济管理、环境科学以及医药、生物、农业、文体等领域，并取得很好效果。
关键字：模糊数学；应用；模糊评判；一、模糊数学的简介（一）发展历史模糊数学是运用数学方法研究和处理模糊性现象的一门数学新分支。
它以“模糊集合”论为基础。
它提供了一种处理不肯定性和不精确性问题的新方法，是描述人脑思维处理模糊信息的有力工具。
模糊数学由美国控制论专家L.A.扎德（L.A.Zadeh,1921--）教授所创立。
他于1965年发表了题为《模糊集合论》（《FuzzySets》）的论文，从而宣告模糊数学的诞生。
L.A.扎德教授提出了“模糊集合论”。
在此基础上，现在已形成一个模糊数学体系。
模糊数学产生的直接动力，与系统科学的发展有着密切的关系。
在多变量、非线性、时变的大系统中，复杂性与精确性形成了尖锐的矛盾，它给描述模糊系统提供了有力的工具。
L.A.扎德教授于1975年所发表的长篇连载论著《语言变量的概念及其在近似推理中的应用》，提出了语言变量的概念并探索了它的含义。
模糊语言的概念是模糊集合理论中最重要的发展之一，语言变量的概念是模糊语言理论的重要方面。
语言概率及其计算、模糊逻辑及近似推理则可以当作语言变量的应用来处理。
人类语言表达主客观模糊性的能力特别引人注目，或许从研究模糊语言入手就能把握住主客观的模糊性、找出处理这些模糊性的方法。
有人预言，这一理论和方法将对控制理论、人工智能等作出重要贡献。
模糊数学诞生至今仅有22年历史，然而它发展迅速、应用广泛。
它涉及纯粹数学、应用数学、自然科学、人文科学和管理科学等方面。
在图象识别、人工智能、自动控制、信息处理、经济学、心理学、社会学、生态学、语言学、管理科学、医疗诊断、哲学研究等领域中，都得到广泛应用。
把模糊数学理论应用于决策研究，形成了模糊决策技术。
只要经过仔细深入研究就会发现，在多数情况下，决策目标与约束条件均带有一定的模糊性，对复杂大系统的决策过程尤其是如此。
在这种情况下，运用模糊决策技术，会显得更加自然，也将会获得更加良好的效果。
（二）应用前景模糊数学是研究现实中许多界限不分明问题的一种数学工具，其基本概念之一是模糊集合。
利用模糊数学和模糊逻辑，能很好地处理各种模糊问题。
模式识别是计算机应用的重要领域之一。
人脑能在很低的准确性下有效地处理复杂问题。
如计算机使用模糊数学，便能大大提高模式识别能力，可模拟人类神经系统的活动。
在工业控制领域中，应用模糊数学，可使空调器的温度控制更为合理，洗衣机可节电、节水、提高效率。
在现代社会的大系统管理中，运用模糊数学的方法，有可能形成更加有效的决策。
模糊数学这种相当新的数学方法和思想方法，虽有待于不断完善，但其应用前景却非常广阔。
二、模糊数学内容简介(一)模糊数学的基本概念1. 模糊集(Fuzzy set )定义1设X是论域，称映射A: X^[0,1]为X上的模糊集合(Fuzzy set ) 简称F集，记为A。
称A(x)为元素x相对于F集的隶属度。
称A( •)为F集A的隶属函数。
(1)模糊集合的表示：^｛U!，U2,.•…,U n｝，A(U)称为元素U 属于模糊集A的隶属度；则模糊集可以表示为：A = A(U1). A(U2)...... A(U n)，或U1 U2 U nA 二｛A(U1),A(U2),.....,A(U n)｝，A =｛(U1,A(Uj),(U2,A(U2)),.....,(U n,A(U n))｝。
(2)模糊集合的运算：A 二｛A(uJ,A(U2),.....,A(U n)｝，B 二｛B(uJ,B(U2),.....B(U n)｝，并集：A_. B 二｛A(uJ B(uJ,A(U2)B(U2),.....A(U n) B(U n)｝，交集：A B=｛A(u J B(uJ,A(U2)B(U2),.....A(U n) B(U n)｝，补集：A c二｛1 -A(uJ,1 -AU),.....1 -A(U n)｝，包含：若-u U,有A(u) EB(u),则有A B。
2. 幕集定义2称论域X上的F集的全体集合F(X)J.A|A:X > [0,1F 为X上的F-幕集。
3. 模糊集的■-截集定义3 已知U上模糊子集A : U > [0,1], u》A(u)(-u・U)对■ [0,1]，则称Ah = ｛u|u€U,A(u)沙｝为模糊集A的丸-截集；称Ah = ｛u|u€U,A(u)>&｝为模*糊集A的■-强截集；■称为A .、A .的置信水平或阈值。
■4. 三角范数、反三角范数定义4称二元函数T：[0,1]*[0,1] [0,1]为三角模或三角范数，简称T-范数，满足以下条件：若a，b，c，d€ [0,1]，有：交换律：T(a , b)=T(b , a)结合律：T(T(a , b), c)=T(a , T(b, c))单调性：a< c, b< d 时，T(a , b) < T(c , d) 边界条件：T(a , 1)=a , T(0 , a)=0 定义5称二元函数S：[0,1]*[0,1] [0,1]为反三角范数，简称S-范数，满足以下条件：若a，b，c，d€ [0,1]，有：交换律：S(a，b)=S(b，a)结合律：S(S(a，b)，c)=S(a，S(b，c))单调性：a< c，b< d 时，S(a，b) < S(c，d) 边界条件：S(a，1)=1，S(0，a)=a(二)模糊数学的基本定理1•模糊截积定义6已知U上模糊子集A : U > [0,1], u》A(u)(-u・U)，对…[0,1]，A也是U上模糊集，其隶属函数为：(，A)(u) V心A(u),(-u • U);称为A为■与A的模糊截积。
2. 分解定理1已知模糊子集A • F(U)，则A二A ,o:<[0,1]推论1:对W U, A(u)=v{丸卜E[0,1],u€A7} o3. 分解定理2已知模糊子集A F(U)，则A = A . o頤0,1] 冬推论2:对X/u E U, A(u)=讥人&丘[0,1], u E A J。
三、模糊数学的应用(一)模糊聚类分析的在数据挖掘的应用实例例：设某地区设置有11个雨量站，其分布图见图5-1，10年来各雨量站所测得的年降雨量列入表5-1中。
现因经费问题，希望撤销几个雨量站，问撤销那些雨量站，而不会太多的减少降雨信息？表5-1年降雨量列入年序号X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X gX 10X 11 1 276 324 159 413 292 258 311 303 175 243 320 2 251 287 349 344 310 454 285 451 402 307 470 3 192 433 290 563 479 502 221 220 320 411 232 4 246 232 243 281 267 310 273 315 285 327 352 5 291 311 502 388 330 410 352 267 603 290 292 6 466 158 224 178 164 203 502 320 240 278 350 7 258 327 432 401 361 381 301 413 402 199 421 8 453 365 357 452 384 420 482 228 360 316 252 9 158 271 410 308 283 410 201 179 430 342 185 10324406 235 520 442 520 358 343 251 282371应该撤销那些雨量站，涉及雨量站的分布，地形，地貌，人员，设备等众多 因素。
我们仅考虑尽可能地减少降雨信息问题。
一个自然的想法是就 10年来各 雨量站所获得的降雨信息之间的相似性，对全部雨量站进行分类，撤去“同类” （所获降雨信息十分相似）的雨量站中“多余”的站。
问题求解假设为使问题简化，特作如下假设 （1） 每个观测站具有同等规模及仪器设备； （2） 每个观测站的经费开支均等； 具有相同的被裁可能性。
分析：对上述撤销观测站的问题用基于模糊等价矩阵的模糊聚类方法进行分析，原始数据如上。
求解步骤1.利用相关系数法，构造模糊相似关系矩阵，其中n__ _____________'j(X ik -X i )||(X jk -X j )| k 二n_ n_]「(X ik -X")^- (X jk —Xj )〒k Ak 4用C#语言编程计算出模糊相似关系矩阵（口）1111，得到模糊相似矩阵Rd 10其中Xi 二嬴广，匸1, 2,"，X j 1 n=一、X jk ， j = 1，2, n kd,11 01.000 0.839 0.528 0.844 0.828 0.702 0.995 0.6710.431 0.573 0.712 0.839 1.000 0.542 0.996 0.989 0.899 0.855 0.510 0.475 0.617 0.572 0.528 0.542 1.000 0.562 0.585 0.697 0.571 0.551 0.962 0.642 0.568 0.844 0.996 0.562 1.000 0.992 0.908 0.861 0.542 0.499 0.639 0.607 0.828 0.989 0.585 0.992 1.000 0.922 0.843 0.526 0.512 0.686 0.584 R= 0.702 0.899 0.697 0.908 0.922 1.000 0.726 0.455 0.667 0.596 0.5110.995 0.855 0.571 0.861 0.843 0.7261.000 0.676 0.489 0.587 0.719 0.671 0.510 0.551 0.542 0.526 0.455 0.6761.000 0.467 0.678 0.994 0.431 0.475 0.962 0.499 0.512 0.667 0.489 0.467 1.000 0.487 0.485 0.573 0.617 0.642 0.639 0.686 0.596 0.587 0.678 0.487 1.000 0.688 0.712 0.572 0.568 0.607 0.584 0.511 0.719 0.994 0.485 0.6881.000 对这个模糊相似矩阵用平方法作传递闭包运算，求 R 2 、R 4：R 4即t （ R ）=R 4 = R *。