模糊集理论简介
vague集模糊理论
vague集模糊理论模糊集理论是由日本学者庆应义雄于1965年提出的，是一种用于处理模糊信息的数学工具和方法。
模糊集理论的核心思想是引入了模糊概念，使得我们能够更好地处理那些不确定、模糊、模棱两可的问题。
在传统的集合论中，一个元素要么属于某个集合，要么不属于某个集合，不存在中间状态。
而在模糊集理论中，一个元素可以同时属于多个集合，且属于某个集合的程度可以是一个介于0到1之间的实数。
这就是模糊集的核心特点。
模糊集理论的应用非常广泛，特别是在人工智能、控制系统、模式识别、决策分析等领域。
例如，在控制系统中，模糊控制可以用于处理那些输入和输出都不是精确的问题，通过模糊规则和模糊推理来实现自适应控制。
在决策分析中，模糊集可以用于处理那些带有不确定性和模糊性的决策问题，通过模糊逻辑和模糊推理来做出最优决策。
模糊集理论的核心是模糊隶属函数，它描述了一个元素对于某个模糊集的隶属程度。
常用的模糊隶属函数有三角隶属函数、梯形隶属函数、高斯隶属函数等。
这些函数可以根据实际问题的需要来选择和设计，以便更好地描述模糊集的特征。
模糊集理论的关键操作是模糊运算，包括模糊交、模糊并、模糊补等。
这些运算可以通过模糊隶属函数的计算来实现，用于处理模糊集的运算和逻辑推理。
模糊集理论的优点在于能够处理那些传统方法难以处理的问题。
例如，在图像处理中，通过模糊集理论可以更好地处理模糊边缘、模糊纹理等问题，提高图像的质量和清晰度。
在自然语言处理中，模糊集理论可以用于处理语义模糊、语义歧义等问题，提高自然语言的理解和处理能力。
当然，模糊集理论也存在一些局限性。
首先，模糊集理论需要给出模糊隶属函数和模糊规则，这对于一些复杂问题来说可能比较困难。
其次，模糊集理论对于模糊集的表示和运算需要一定的计算资源和算法支持，这对于一些资源有限的环境来说可能不太适用。
总的来说，模糊集理论是一种处理模糊信息的有效工具和方法。
通过引入模糊概念，模糊集理论可以更好地处理那些不确定、模糊、模棱两可的问题，提高问题的处理能力和解决效果。
模糊集理论及其应用_第一章
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1.2 模糊集合与隶属函数(1/5)
目录
由此可见，模糊集合 A 是一个抽象的概念， 其元素是不确定的， 我们只能通过隶属函数 A来认识和掌握 A ．A(u)的数值的大小反映 了论域Ｕ 中的元素 u 对于模糊集合 A 的隶属 程度， A(u)的值越接近于1 ，表示u隶属于A 的程度越高；而μＡ(u)的值越接近于０，表示u 隶属于 A 的程度越低．特别地， 若A(u) =１，则认为u完全属于A ； 若A(u) =０，则认为u完全不属于A． 因此, 经典集合可看作是特殊的模糊集合． 换言之，模糊集合是经典集合的推广。
3
模糊数学的概念 处理现实对象的数学模型 确定性数学模型:确定性或固定性,对象间有必 然联系. 随机性数学模型:对象具有或然性或随机性 模糊性数学模型:对象及其关系均具有模糊性. 随机性与模糊性的区别 随机性:指事件出现某种结果的机会. 模糊性:指存在于现实中的不分明现象. 模糊数学:研究模糊现象的定量处理方法.
5
数学建模与模糊数学相关的问题
模糊数学—研究和处理模糊性现象的数学 （概念与其对立面之间没有一条明确的分 界线） 与模糊数学相关的问题（一）
模糊分类问题—已知若干个相互之间不分明的
模糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个模 糊概念来反映更合理准确 模糊相似选择 —按某种性质对一组事物或对 象排序是一类常见的问题，但是用来比较的性 质具有边界不分明的模糊性
模糊集理论及其 应用
1
前言：什么是模糊数学
•模糊概念
秃子悖论: 天下所有的人都是秃子
设头发根数n n=1 显然
若n=k 为秃子 n=k+1 亦为秃子
模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间 无明显分界线 年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、 高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、 阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。
模糊集理论
模糊集理论模糊集理论（Fuzzy Set Theory）是一种理论，主要关注定义和应用模糊（模糊）集合（fuzzy set）。
它由芬兰科学家Lotfi Zadeh在1965年提出，随后历经修正和扩展，今天已成为人工智能的重要研究概念。
它引入了模糊集合的概念，允许将不弱量化数据藉基于概率理论进行处理，以研究各种模式。
这种理论允许模糊集合随着数据流而变化，从而允许对诸如特征抽取、模式识别和对象识别等计算问题进行实例。
模糊集的一般定义是一组非常宽的概念，即这些概念可以模糊地概括其中的数据和事件。
典型的例子包括定义“热”时可以指的内容。
这可以指很热的水，但也可以指很热的空气，甚至指温度处于中间范围内的物体，如细砂沙。
由于我们通常在一种普通的处理方式中不能够构建这种多义性，因此出现了模糊集理论。
模糊集理论将条件分解成可被计算的成分，并提供了两种比较语句，以替代确定的相等和比较关系：“如果X属于Y”与“如果X不属于Y”。
模糊集理论和理论的一个重要舞台是节点（membership）函数。
节点函数将离散值链接到集合中，该集合可能建立在模糊集概念上，以及定义当值处于属性范围时，集合中元素的状态概念。
模糊集理论可以用来表示和处理有关诸如决策系统、专家系统、状态识别系统和控制系统等领域的许多模糊结构。
例如，模糊集理论可用来表示“暖”的语义，可以定义一个给定限度的暖度成分，用于计算属性范围内的暖度。
同样，你也可以定义一个语义表示“如果暖一点，就觉得很好”。
在其他方面，它也可以用来表示系统输入，以及它们之间的关系，以及它们到系统输出的影响。
因此，模糊集理论的应用范围非常广泛，被用于机器学习，数据挖掘，机器视觉，语音识别，建模和仿真，以及工业控制等计算机任务的解决方案。
它高度重视“不确定性”，减少了我们在研究实例时常常面临的困难，允许用户在可以定义的模糊集上使用模糊逻辑来解决复杂问题。
今天，它已经成为人工智能领域及其它多学科间的流行工具，并被许多应用领域所采用。
模糊理论概述
模糊理论概述在我们的日常生活中有许多的事物，或多或少都具有模糊性和混淆不清的特性。
“模模糊糊”的概念，是最微妙且难以捉摸，但却又是常見最重要的，但在近代数学中却有了很清晰的定义。
但是所为“模糊”有两种含义，一是佛似关系、一是恍似关系。
模糊理论的观念在强调以模糊逻辑来描述现实生活中事物的等級，以弥补古典逻辑(二值逻辑)无法对不明确定义边界事物描述的缺点。
人类的自然語言在表达上具有很重的模糊性，难以“对或不对”、“好或不好”的二分法来完全描述真实的世界问题。
故模糊理论将模糊概念，以模糊集合的定义，将事件(event)属于这集合程度的归属函数(Membership grade)，加以模糊定量化得到一归属度(Membership grade)，来处理各种问题。
随着科学的发展，研究对象越加复杂，而复杂的东西难以精确化，这是一个突出的矛盾，也就是说复杂性越高，有意义的精确化能力越低，有意义性和精确性就变成两个互相排斥的特性。
而复杂性却意味着因素众多，以致使我们无法全部认真地去进行考察，而只抓住其中重要的部分，略去次要部分，但这有时会使本身明确的概念也会变得模糊起来，从而不得不采用“模糊的描述”。
1 模糊理论的产生1.1 模糊数学的背景精确数学是建立在经典集合论的基础之上，一个研究的对象对于某个给定的经典集合的关系要么是属于（记为“”），要么是不属于（记为“”），二者必居其一。
19世纪，由于英国数学家布尔（Bool）等人的研究，这种基于二值逻辑的绝对思维方法抽象后成为布尔代数，它的出现促使数理逻辑成为一门很有适用价值的学科，同时也成为计算机科学的基础。
但是，二值逻辑无法解决一些逻辑悖论，如著名的罗素（Russell）“理发师悖论”、“秃头悖论”、“克利特岛人说谎悖论”等等悖论问题。
传统数学所赖以存在的基石是普通集合论，是二值逻辑，而它是抛弃了事物的模糊性而抽象出来的，将人脑思维过程绝对化了，数学中普通集合描述的是“非此即彼”的清晰对象，而人脑还要识别那些“亦此亦彼”的模糊现象。
模糊数学理论
μ A∩ B = μ A (u ) ∧ μ B (u )
∧
为取极小值运算。
2006-6-9
中科院寒旱所遥感室
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1.4 集合运算
− 定义2-6 补：模糊集合A的不隶属度函数 μ A ，对所有 的 u ∈ U ，被逐点定义为 μ = 1 − μ A (u )
−
A
例2-3 设论域 U = {u1 , u2 , u3 , u4 , u5 } 中的两个模糊子集为：
A ∩ ( A ∪ B) = A，A ∪ ( A ∩ B) = A
________
A∩ B = B ∪ A， ∪ B = B ∩ A A
___
___ ________
___
___
（9）、双重否认律 A = A
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1.5
模糊集的截集——从模糊中寻找确定，“矬子里选将军”
定义：设A∈F(U), λ∈[0,1] 则： (1)
Aλ = {u | u ∈ U , A(u ) ≥ λ}
称λ为阈值（或置信水平）
•
称Aλ 为A的一个- λ截集，
(2)
Aλ = {u | u ∈ U , A(u ) > λ} 称Aλ 为A的一个- λ强截集
A的支集 A的核 KerA={u|u ∈U,A(u)=1}
1
(λA)(u)= λ ∧A(u)
1 λ 0 λ A(u) U
0
A(u)
U
数积的性质：1 若λ 1 < λ 2 则λ 1 A ⊆ λ 2 A 2 若A < B 则λA ⊆ λB
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1.6
分解定理——模糊集用截集表示：分解定理1
第3章 模糊理论
3 A(1.60)= ＝0.3 10
……
1 A(1.77)= ＝0.1 10 10 0.1 0.3 0.6 1 0.5 0.1 FA = + + + + + 1.56 1.60 1.64 1.69 1.73 1.77
A(1.64)=
6 ＝0.6 10
模糊统计法的特点： ①随着n的增大，隶属频率会趋向稳定，这个 稳定值就是v0对A的隶属度。 ②计算量大。 2、例证法 ：从有限个隶属度值，来估计U上的模糊 集A 的隶属度函数。 3、专家经验法：根据专家的经验对每一现象产生 的各种结果的可能性程度，来决定其隶属度函数。 4、二元对比排序法：通过对多个事物之间的两两 对比，来确定某种特征下的顺序，由此来决定这些 事物对该特征的隶属函数的大体形状。
二、模糊控制的特点 1、无需知道被控对象的数学模型 2、是一种反映人类智慧思维的智能控制 模糊控制采用人类思维中的模糊量，如“高”、 “中”、“低”等，且控制量由模糊推理导出 3、易于被人们所接受（核心：控制规则） 4、构造容易 5、鲁棒性好
第二节 模糊集合论基础
一、模糊集的概念
集合：具有某种特定属性的对象全体。 集合中的个体通常用小写英文字母如：u表 示； 集合的全体又称为论域。通常用大写英文字 母如：U表示。 uU表示元素（个体）u在集合论域（全体） U内。
附近隶属函数的范围
重叠鲁棒性＝
U
L
( A1 A2 )dx 2(U L)
重叠指数的定义
(0.3~0.7为宜)
求重叠率和重叠鲁棒性
例：
A1
A2
重叠率＝ 10 / 30 0.333
0 .5 10 重叠鲁棒性＝ 0.5 2(40 30) 20
模糊集理论
模糊集理论
模糊集理论是一种有助于更好地理解和应用经济规律的研究方法。
它表明，在经济中，某些结果可能存在多种可能的结果，并且很难确定其中哪一种是最好的。
因此，模糊集理论强调通过改善规划过程中的不确定性，从而改善经济规律的应用。
模糊集理论是由美国数学家Lotfi Zadeh提出的。
他提出，经济中的许多结果不是"黑白分明"的，而是有一定程度的模糊性。
例如，在一个市场中，某种商品的价格可能有多种可能的结果，并不是唯一的，而是一个模糊的范围。
模糊集理论的一个重要应用是经济规划。
模糊集理论的目的是提出一种更加科学的规划方法，以改善经济规划过程中的不确定性。
模糊集理论强调，规划的结果不是固定的，而是可能存在多种可能的结果，因此，规划者必须对各种可能的结果进行模糊处理，以确定最优的规划结果。
模糊集理论还可以用于经济分析和决策分析。
例如，模糊集理论可以用来分析一个公司的决策，因为决策可能有多种可能的结果，可以通过模糊集理论来分析决策结果。
总之，模糊集理论是一种重要的研究方法，可以用来更好地理解和应用经济规律。
它的应用范围很广，可以用于经济规划，经济分析
和决策分析等。
《模糊集合理论及其应用》论文
《模糊集合理论及其应用》论文
《模糊集合理论及其应用》
模糊集合（Fuzzy Set,FS）是属于模糊数学（Fuzzy Mathematics）领域的一门研究，它以广义的语言和表述形式描述客观事物。
该理论可以处理模糊不确定性和词语本身的模糊性，为表达模糊语义提供新的方法。
模糊集合理论最早由美国著名数学家Zadeh提出，1967年提出了模糊集合的概念，认为“实数集的元素可以不是绝对明确的，而可能有不同的模糊性，即模糊的真实值”。
从而为模糊0和1的综合计算提供了基础。
模糊集合理论应用于不确定领域，被用来处理决策分析，尤其是处理决策者所面临的大量模糊信息。
随着深度学习技术的发展，模糊集合理论已被广泛用于知识挖掘和分类算法，帮助企业把握客户的行为趋势。
此外，模糊集合理论也可以应用于智能控制，医疗诊断，信息服务，市场营销，证券投资等多种领域，为智能决策提供强有力的支持。
模糊集合理论的发展和应用，将推动未来智能决策、智能管理和智能控制，为构建智能社会做出更大贡献。
总之，模糊集合理论是一种可以用来处理不确定领域的理论，它为解决模糊不确定领域提供了许多有用的思维方法和工具，已经在许多领域如决策分析、知识挖掘和智能控制等中得到了
广泛的应用，并且在未来的智能决策、智能管理和智能控制方面发挥着重要作用。
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模糊集理论简介一、经典数学的基础及其缺陷19世纪末，德国数学家康托尔（Cantor）建立了集合论,奠定了经典数学的基础。
集合可以表示概念、性质、运算和变换，可以表现判断和推理。
因此，经典数学成为能描述和表现个门学科的语言和系统。
如：圆、关系、函数等；又如：钢笔A与笔。
经典集合论中，一个元素x要么属于集合X，要么不属于集合X，两者必居其一，且仅居其一，不存在模棱两可的中间状态。
这种规定就是所谓的排中律，它使得经典集合只能表现非此即彼的现象。
因此经典数学研究的是确定性的事物。
如苹果B与水果。
集合的定义本身存在一定的缺陷，产生了一些关于集合的悖论，如“罗元素（B.Russell）悖论”（ A={Z|Z Z},即A的元素是一切不以自身为元素的集合）等。
后来经过策梅罗（Clairaut）等数学家的努力，建立了集合论的公理化体系，制定了集合论的应用条件。
但对于一些自然语言中出现的如“年青”、“秃头”、“亚金属”、“植物”、“半导体”等概念，经典集合论则显得无能为力。
二、模糊数学的基础1. 模糊现象与模糊概念模糊概念来源于模糊现象，而模糊现象在自然界中客观存在的。
例如，“下雨”是常见的自然现象，从“绵绵细雨”到“倾盆大雨”，各种程度的雨都会经常发生，这种不是以固定不变的一种或几种程度（或方式）出现，使得人们很难用确定的尺度（或模型）来刻画的现象就是模糊现象。
模糊现象在人的大脑中所形成的概念就是模糊概念，它处处存在。
例如，在日常生活中的厚、薄，快、慢，大、小，长、短，轻、重，高、低，稀、稠，贵、贱，强、弱，软、硬，锐、钝，深、浅，美、丑；白天、黑夜，早晨、中午、傍晚，黎明、黄昏，夕阳，多云、晴天、阴天、雨天，中雨、暴雨、大暴雨等。
在生命科学、经济管理领域中模糊现象也无处不在。
如感冒，胃病，心脏病；高产作物、低产作物；早熟小麦；红壤，黄壤，棕壤；蔬菜，水果；动物，植物，微生物；通货膨胀，经济繁荣，经济萧条，失业；劳动密集型企业；信得过产品，次品；贫困，温饱，小康，富强，富有等，都是模糊概念。
当代科技发展的趋势之一，就是各个学科领域都要求量化、数学化。
当然也迫切要求将模糊概念（或现象）定量化、数学化，这就促使人们必须寻找一种研究和处理模糊概念的数学方法。
2. 模糊划分与模糊推理人们了解、掌握和处理自然现象时，在大脑中所形成的概念往往是模糊概念，这些概念的类属边界是不清晰的。
由此产生的划分、判断与推理也是具有模糊性。
比如，人们为描述雨下的程度，也可划分为“小雨”、“中雨”和“大雨”。
然而，什么样的雨是“小雨”，什么样的雨是“中雨”，什么样的雨是“大雨”，又很难说清楚，这样的概念（小雨、中雨或大雨）就是模糊概念，这样的划分就是模糊划分，假如今天下雨了，人们会根据雨下的程度定为小雨、中雨或大雨，这就是模糊概念判断，再根据判断的结果猜测今年的收成是“好”、“一般”、还是“坏”，这就是模糊推理。
再如：命题：如果你们将来成了名人，大家一定很高兴的。
这里涉及到模糊推理。
人类的大脑具有很高的模糊划分、模糊判断和模糊推理的能力。
人们为了表达和传递知识所采用的自然语言中已巧妙地渗透着模糊性，并能用最少的词汇表达尽可能的信息。
由于历史的原因，人们习惯追求精确性或清晰性。
总希望把事物以数字的形式清晰地表达出来，看来这是事物的必然趋势，L.A扎德认为：“一种现象，在能用定量方法表征它之前，不能认为已被彻底地理解，就是现代科学的基本信条之一”。
但是，面对模糊现象，人们使用传统数学会遇到实质性的困难，早在古希腊时期，人们就讨论过这样一个问题：多少粒种子算着一堆？正因为“一堆”是个模糊概念“因此找不出一个适当界限来判定一些种子是否为一堆。
3. 电脑不能处理模糊现象计算机的出现是人类大脑延伸的一个飞跃，它能在几秒或几十秒内完成人在几天甚至几年才能完成的计算或其它问题，比如解一个高阶线性方程或证明“四色定理”。
然而在许多问题中，计算机的智力水平还不如一个婴儿，一个两岁婴儿可以准确而迅速地识别出他的母亲，如果计算机来完成这件事，真不如需要提供多少个参数，其结果很可能还是个笑话。
由于人们重视精确、严格和定量的东西，藐视模糊、不严格和定性的东西，因此采用计算机的定量方法在大部分领域内得到了迅速发展。
无疑，计算机在处理机器系统方面已被证实是高度有效的。
例如，要你在某日上午10时到校门口去接一个“胡子高个子长头发戴宽边黑眼镜的中年男人“尽管这里只提供了一个精确信息—男人，而其他信息—大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念。
但是，你将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人。
如果年龄与身高，胡子、头发的准确长度与根数，眼镜的边宽厘米数，黑色的程度等一一输入计算机，才可以找到此人了。
由此可见，有时太精确了未必一定是好事。
所谓机器系统是指力学、物理、化学和电磁学所规定的无生命系统。
可惜关于人文系统不能作出相同的结论，这类系统至少到现在为此，与数学的分析和计算机的模似还有一段距离，对于生理学、心理学、文学、法律、政治、社会学和其它与人类判决所及的领域中的基本论题，计算机的应用却没能提供有效的帮助，这一点已得到普遍的承认。
所谓人文系统是指行为受人类的判断、感觉或情感影响的重大系统。
例如，经济系统、管理系统、教育系统、法律系统等。
随着科学的深化，数学的应用对象不得从“物理”进入“事物”，而这恰恰是模糊性最集中的地方，因此人们不得不与模糊现象打交道。
4. 精确性与模糊性的对立引发了模糊集的建立模糊性在日常生活中随处可见，模糊概念比比皆是。
例如，“高个子”、“多云”、“黄昏”、“四肢无力”、“性能良好”等。
可以说模糊性是绝对的，而清晰性或准确是相对的。
所谓精确性或清晰性是人们对不确定性或模糊性实行的一种分离是具有重要意义的，它使得人们能方便地对事物进行严格的定量表示，即建立数学模型。
但是随着科学的深化，研究对象越来越复杂化。
复杂的事物有两个突出的特点：一是影响该事物的因素众多，人们又不可能掌握全部因素，只能在有限的一些因素上考察事物，这样一来，本来是清晰的现象也变得模糊了；二是深度延长(难度增大)，这带来了数学模型的复杂化，于是模糊性逐次积累，变得不可忽略。
因此，精确性或清晰性与模糊性的对立是当今科学发展所面临的严格十分突出的矛盾。
Zadeh正是注意到了这个矛盾，总结出一条互克性原理：“随着系统复杂性的增长，我们对其特征性作出精确而有意义的描述能力相应地降低，直到达到一个阀值，一旦超过它，精确性和有意义性几乎成为两个互相排斥的特征。
”这就是说，复杂程度越高，模糊性越强，精确化程度便越低；也说明模糊性来源于复杂性。
解决这个矛盾的有效方法之一，就是在“高复杂性”与“高精度”之间架起一座桥梁——模糊集合论。
1965年美国加利福尼亚大学控制论专家扎德(Zadeh L A)教授在《Informatroin and Control 》杂志上发表了一篇开创性论文“Fuzzy Sets”,这标志着模糊数学的诞生。
三、模糊集合的朴素思想“概念”是人们常使用的名词，例如“男人”就是一个概念。
一个概念有其内涵和外延。
所谓内涵是指符合此概念的对象所具有的共同属性；而外延值的是符合此概念的全体对象。
自从有了“集合”这个名词之后，概念的外延亦解释为：符合此概念的全体对象所构成的集合。
因此，集合可以表现概念（从外延角度）；集合之间还有运算和变换，它们可以表现判断与推理。
现代数学是以集合论为基础的，这意味着现代数学成为描述和表现各门学科的形式语言和系统。
集合论是由德国数学家G.Cantor 于1987年创立的Cantor 创立集合的重要方法之一就是概括原则。
所谓概括原则是指：给一个性质P 的对象，也仅由具有性质P 的对象汇集在一起构成一个集合，用符号表示为}{()A a P a =其中A 表示集合；a 表示A 中任何一个对象，称为集合A 的元素；()P a 表示元素a 具有性质P ；{}表示把所有具有性质P 的元素a 汇集成一个集合。
用逻辑的语言，概括原则陈述为 ()(())a a A p a ∀∈⇔Cantor 的集合论对于数学基础的奠定有重大贡献，但对数学的应用也带来了限制。
事实上，Cantor 要求组成集合的对象是确定的，彼此有区别的；这意味用以构造集合的性质P 必须是界限分明的，亦即要求任何对象要么具有性质P ，要么具有性质P ，因此排中律被满足，按照这一要求，集合所表现的概念（性质或命题），真就是真，假就是假，只有真假二字以供推理，形成一种二值逻辑。
于是，数学对于客观事物便作了一个绝对化的写像，然而，人脑中的概念几乎都是没有明确外延的，例如像“高个子”（性质P ）这样一个概念在Cantor 的意义下能够构成集合。
因此对于任何一个人来说，他是否具有性质P （高个子）是不能明确判定的。
对于论域U 与给定的性质P ，造集的过程主要是人们对元素u U ∈与性质P 之间的关系的识别过程。
假如对识别过程规定如下准则：（1）元素u (u U ∈)具有性质P;而且要求对每个元素u U ∈，这两命题有且仅有一个成立。
这样建立起的集合即是Cantor 。
没有明确外延的概念就是模糊概念。
模糊概念能否硬性地用Cantor 集合来刻画？“秃头悖论”将给出否定答案。
对于秃与不秃，一根头发不能区分“楚河”与汉界“，于是我们承认下列的公设：公设 若具有n 根头发的人是秃头，则具有1n +根头发的人亦秃头。
基于此公设，可用数学归纳法证明秃头悖论:任何人都是秃头。
“秃头悖论”启示我们：只容许1（是）与0（否）这两个值的二值逻辑来刻画模糊概念是不够的，必须在1与0之间采用其他中介过渡的逻辑值来表示不同的真确程度。
这就要求改造Cantor 集。
1、文氏图（略）我们先从直观上来描述这种“中介状态”。
设论域U 。
取具有单位长度的线段。
把U 上模糊集合记为A %。
若元素x 位于A %（圆圈）的内部，记为1；若元素x 位于A %内又部分地在A %外部，记为0,；若元素x 部分地在A %外，则表示隶属的“中介状态”，元素x 位于A %内部的长度则表示了x 对于A %的隶属程度。
为了描述这种“中介状态”，需要将经典集合A 的特征函数()A x χ的值域{}0,1推广到闭区间[0,1]上。
这样，经典集合的特征函数就扩展为模糊集合的隶属函数。
2、集合构造对于论域U 与给定的性质P ，造集的过程主要是人们对元素u U ∈与性质P 之间的关系的识别过程。
假如对识别过程规定如下准则：（1）元素u (u U ∈)具有性质P;（3）容许存在这样的中间元素u U ∈，它使得前两个命题各在一定程度上成立。
3、 模糊子集的概念经典集合可由其特征函数A χ唯一确定，即定义：设()A X ξ∈具有如下性质的映射:{0,1}A Xχ→称为集合A的特征函数： ()1,;0,.A x x A x A χ∈⎧=⎨∈⎩ 确定了X 上的经典子集A .()A x χ表明x 对A 的隶属程度，不对仅有两种状态：一个元素x 要么属于A ，要么属于不属于A .它确切地、数量化地描述了“非此即彼”现象，但现实世界中并非如此。