线段成比例的定义
比例线段及有关定理
射影定理
总结词
射影定理是指在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和减去两直角边的乘积。
详细描述
射影定理是几何学中的一个重要定理，它描述了直角三角形中斜边与两直角边之间的关系。具体来说 ，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和减去两直角边的乘积。这个定理在解决实际问 题中具有广泛的应用，如测量、建筑等领域。
03
比例线段的计算方法
利用平行线分线段成比例定理计算平行线分线段成比例定理如果一组平行线被一组横截线所截，那么这些截线段之比是相等的。
应用
通过已知的比例线段，利用平行线分线段成比例定理，可以计算出其他相关的 比例线段长度。
利用相似三角形的性质和判定定理计算
相似三角形的性质
两个三角形对应角相等， 则这两个三角形相似。相 似三角形对应边之比为相 似比。
成比例的线段具有传递性，即如果a:b:c:d且b:c:d:e，则必有 a:b:c:e。
比例线段的性质
01
02
03
比例线段的性质
如果线段a、b、c、d成比 例，那么它们的长度之比 是常数，即|a/b|=|c/d|。
比例线段的性质
如果线段a、b、c、d成比 例，那么它们的面积之比 是常数的平方，即 |a×d/b×c|=1。
判定定理
如果两个三角形两组对应 角相等，则这两个三角形 相似。
应用
通过已知的比例线段，利 用相似三角形的性质和判 定定理，可以计算出其他 相关的比例线段长度。
利用射影定理计算
射影定理
在直角三角形中，斜边上的高将直角三角形分为两个小三角形，这两个小三角形 是相似的，且它们的边长之比等于原三角形的边长之比。
利用面积关系计算线段长度
通过已知的线段和面积比例关系，可以计算出未知线段的长度。
线段的比与比例线段的概念
线段的比与比例线段的概念、比例的性质和黄金分割I 梳理知识比与比例、比例的基本性质、合比性质、等比性质、两线段的比、成比例线段、平行线分 线段成比例、截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定、黄金分割1. 线段的比的定义 在同一单位长度下，两条线段2. 比例线段的定义在四条线段中，如果其中两条线段的_______________________________________ 等于另外两条线段的 _____ ,那么这四条线段叫做 成比例线段，简称 ____________ .在 a ： b = c ： d 中，a 、d 叫做比例的 ___ , b 、c 叫做比例 的 _____ ，称d 为a 、b 、c 的 _____________ .3. 比例的性质(1)比例的基本性质：如果a : b = c : d ，那么 则b 叫a , c 的比例中项.⑵合份)比性质：若a⑶等比性质：若一b4.黄金分割(1) 黄金分割的意义：如图，点 那么称线段 AB 被点C 黄金分割.其中点C 叫做线段AB 的 做 .(2) 黄金分割的作法【例题讲解】 例1.(1)已知1,厉,5三个数，如果再添一个数，使之能与已知的三个数成比例，则这个数应该是 ___________ .⑵在比例尺为1: n 的某市地图上，规划出一块长 5cm X 2cm 的矩形工业区，则该工业区的实际面积是平方米.例 2.(1)已知 X ： y : z = 3 : 4 : 5，①求-—y的值；②若 x +y + z = 6, za(2)已知a 、b 、c 、d 是非零实数，且 --------b c d的值•的比叫做这两条线段的比•特别地，若a : b = b : C,即 ，则C 把线段AB 分成两条线段 AC 和BC,如果 __________________ , ,AC 与AB 的比叫求 X 、y 、z.C bad一d一k ，求 ka b c求x 的值.黄金分割点吗为什么【同步测试】 一、选择题1. 已知一矩形的长 a = 1.35m , (A)9 : 400(B)9 : 402. 下列线段能成比例线段的是( b = 60cm ，贝U a : b 的值为((C)9 : 4(D)90 : 4)(A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm, 72 cm,V 2 cm,2cm (C b/2 cm,亦cm, J 3 cm,1cm(D)2cm,5cm,3cm,4cm3. 如果线段a = 4, (A)84. 已知- b 3 (A)- 25. 已知 (A)— 2(B)16 2 2,则3 4 (B)4 y : z = 1 (B)2b = 16,c = 8, (C)24 「 的值为b5 (C)5 :2 : 3，且 (C)3 那么a 、b 、c 的第四比例项d 为( (D)32 3 (D)- 5 2x + y — 3z =— 15，贝U x 的值为( (D)— 3 6. 在比例尺为1 : 38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约为 7cm ，它的实际长度约为()(A)0.226km (B)2.66km (C)26.6km (D)266km 7. 某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是 影长是1米，旗杆的影长是 8米，则旗杆的高度是( ) (A)12 米 8. 已知点 1.5 米, (B)11 米 (C)10 米 C 是AB 的黄金分割点(AC >BC , (B)(6 — 2也)cm (D)9 米 若AB = 4cm ，贝U AC 的长为( (C)詰—1)cm AD AE (A)(2A /5 — 2)cm )(D)(3 —75 )cm 9.若D 、E 分别是△ ABC 的边AB 、AC 上的点，且AB =疋，那么下列各式中正确的是 ((3)若a 、b 、c 是非零实数，并满足ab c ，且 xa(a b)(b c)(c a)abc例3.(1 )已知线段AB = a ,在线段 AB 上有一点C,若则点 C 是线段AB 的(A)AD DEDB = BCAB(B)A DAE=A CDB AB(C)Ec = ACAD AE(D)DB = AC10.若k丄空 b 2c a + b+ CM0,k的值为（(A)—1 (B)2 (C)1 (D) —二、填空题11.在(5 +x)：2中的x= (5—x) : x 中的x=12.若10 813.若a : 3 = b : 4 = c : 5 ,且a + b —c= 6,贝U a=,b= c=14.已知x : y :z= 4 : 5 ,且x+ y+ z= 12,那么x= ,y=z=15.若b16.已知ace,②(x + y) : (y + z)17.若x 2y18.图纸上画出的某个零件的长是是32 mm,如果比例尺是 1 : 20,这个零件的实际长19.如图，已知AB : DB = AC：EC, AD = 15 cm , AB = 40 cm , AC = 28 cm ,贝U AEA20.已知，线段 2 cm, c (2 73) cm, 则线段a、c的比例中项b是三、解答题21.已知x3 0，求下列各式的值：（1）2x 3y 4z⑵5x 3y za22.已知——x0，求x+y+ z 的值.23.若△ ABC 的三内角之比为 1 : 2 : 3,求^ ABC 的三边之比.24.已知 a 、b 、c 为^ ABC 的三边，且 a + b + c = 60cm , a : b : c = 3 : 4 : 5,求^ ABC 的面 积.25.已知线段AB = 10cm , C 、D 是AB 上的两个黄金分割点，求线段CD 的长.四、挑战中考DE = 12 , BC = 15, GH = 4，求 AH .ABCD,取 AB 的中点 P ,连结 PD ,在BA 的延 长线上取点F ,使PF =PD,以AF 为边作正方形 AMEF ,点M 在AD 上(1)求AM 、MD 的长；1、若一c-a bA . 12B . 1C .— 1则k 的值为()D .-或一12AGABC 中,2、如图，△ 匹，且。
线段比例和相似三角形的性质
线段比例和相似三角形的性质线段比例和相似三角形是几何学中常见的概念，它们在解决图形问题和推导数学关系时具有重要作用。
本文将详细探讨线段比例和相似三角形的性质，旨在帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、线段比例的概念及性质线段比例用于比较两条线段之间的长度关系。
设有两条线段AB和CD，它们的长度分别为a和b，则线段AB与CD的比值为a:b。
根据线段比例的性质，可以得出以下重要结论：1. 分割比例定理：若一条直线段分割为两段，其中一段的长度与此直线段的长度的比等于另一段的长度与这条直线段的长度的比，则这两段线段成比例。
换句话说，若有线段AC和BD，且满足AD/AB =CD/CB，则可以得出AD与CD、AB与CB成比例。
2. 相似三角形的线段比例性质：若两个三角形相似，则对应两三角形的边的比例相等。
设三角形ABC与三角形DEF相似，则有AB/DE= AC/DF = BC/EF。
这个性质可用于解决各种与相似三角形有关的问题。
二、相似三角形的概念及性质相似三角形指的是具有相同内角的三角形，它们的形状相似但大小不同。
设有两个相似三角形ABC和DEF，它们的对应边分别为AB、AC、BC和DE、DF、EF，则相似三角形具有以下重要性质：1. 对应角相等：相似三角形的对应角互相相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
这是相似三角形的定义之一。
2. 边比例相等：相似三角形的对应边成比例，即AB/DE = AC/DF = BC/EF。
这个性质是相似三角形的重要特征，可以用于解决各类与线段比例有关的问题。
3. 高度比例相等：相似三角形的对应高度之比等于对应边之比。
设h1和h2分别为三角形ABC和DEF相应的高度，则有h1/h2 = AB/DE = AC/DF = BC/EF。
这个性质可用于确定相似三角形的高度比例。
4. 面积比例平方相等：相似三角形的面积比例的平方等于对应边之比的平方。
设S1和S2分别为三角形ABC和DEF的面积，则有S1/S2 = (AB/DE)² = (AC/DF)² = (BC/EF)²。
平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理引言在平面几何中，平行线分线段成比例定理是指当两条平行线与一条横截线相交时，它们所截取的线段之间的比例保持不变。
这个定理在很多几何证明和应用中都有重要的地位。
本文将介绍平行线分线段成比例定理的定义、证明以及应用，以及一些相关的例题。
定理描述设有两条平行线l1和l2，横截线AB与l1和l2相交于点C和D，若线段AC与线段DB所截取的部分成比例，即：AC/DB = AE/EB其中，E为AB的任意一点。
示意图示意图证明为了证明平行线分线段成比例定理，我们可以利用相似三角形的性质。
由于线段AC与线段DB所截取的部分成比例，可设AC = k • AE，DB = k • EB。
考虑△ACD和△EBD，根据平行线的定义，我们知道∠ACD = ∠EBD（对顶角）。
又因为∠CDA = ∠EDB（平行线与横截线交角），所以△ACD与△EBD相似。
根据相似三角形的性质，我们知道线段AC与线段DB的比例等于其余对应边的比例，即：AC/DB = AD/DE。
而根据比例的传递性，AD/DE = AE/EB。
综上所述，我们可以得到AC/DB = AE/EB，即平行线分线段成比例定理成立。
应用平行线分线段成比例定理在实际问题中有很多应用，以下是其中一些常见的应用场景：1. 三角形分线段在三角形中，如果有一条平行线与两边相交，根据平行线分线段成比例定理，我们可以利用已知的线段长度，求解未知的线段长度。
这在解题中经常用到。
2. 相似三角形在相似三角形中，如果有两条平行线各自与两个相似三角形的对应边相交，并且已知其中一个对应边的长度，根据平行线分线段成比例定理，我们可以求解另一个对应边的长度。
这对于解决相似三角形问题非常有用。
3. 求解比例问题平行线分线段成比例定理可以作为解决比例问题的一种工具。
当我们遇到线段的比例问题时，可以利用此定理来寻找线段之间的比例关系，从而求解未知线段的长度。
例题现给出一个例题来进一步理解平行线分线段成比例定理的应用：例题：在△ABC中，AD是BC的平分线，E是AB上的一点，DE与AC延长线交于F，若AB = 12cm，BC = 8cm，AD = 6cm，求EF的长度。
4.1成比例线段
得出结论
(1) a c
b d (2) a c b d
ab cd ; b d ab cd . b d
(2)合比性质 a c 如果 = ， b d a±b c±d 那么 = . b d
做一做
ac a c k ，那么 （1）如果 bd b d 与同伴进行交流。
ace a c e （2）如果 b d f ，那么 b d f 与
.
第一环节 情景引入 在实际生活中，经常会看到许多形状相同的图片
你能在下面图形中找出形状相同的图形吗？
你发现这些形状相同的图形有什么不同？
你发现这些形状相同 的图形有什么不同？
• 1、形状相同，大小不同
• 2、图形之间的“放大、缩小”
• 3、图形上相应的线段也被“放大、缩小” • 对于形状相同而大小不同的两个图形，可以用 相应“线段长度的比”来描述图形的大小关系。
x y z x y 3z 2.已知 : , 求 的值. 2 3 4 3x 2 y
3、已知a : b : c 3 : 4 : 2, 且a 2b c 18, 求3a b 2c的值。
学以致用
1. x+y 5 x 已知 3y = 4 ，求 y .
学以致用
3.在
称比例线段．
已知四条线段a、b、c、d ， a c 如果 = ， 或 a：b=c：d， b d 那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项， 线段 a、d 叫做比例外项，
线段 b、c 叫做比例内项，
线段 d 叫做 a、b、c的第四比例项.
成比例的四条线段是有次序的!
随堂练习
1．a，b，c，d 是成比例线段，其中 a = 3 cm， b = 2 cm，c = 6 cm，求线段 d 的长．
比例的基本性质 平行线分线段成比例
数学辅导11： 比例的基本性质一、知识点：1. 成比例线段：线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dc b a =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段.2. 比例的性质：（1如果d c b a =，那么bc ad =；如果bc ad =(a ，b ，c ，d 都不为0)，那么d c b a =.（2如果d c ba=，那么c d a b =.（3如果d c ba =，那么dbc a =.（4如果d c b a =，那么d d c b b a +=+，d d c b b a -=-,d c d c b a b a +-=+-.（5如果)0(≠+++===n d b n m d c ba ΛΛ，那么b a n d b mc a =++++++ΛΛ. 二、典型例题： （1）已知71=-a b a ，则ba 的值为___________________.已知38=+y y x ，则y x =_______________. 已知32=ba，则=+b b a _________，b b a -=______________. （2）已知)0(53≠+==d b d c ba ，则dbc a ++的值为____________. 已知572c b a ==，则a c b a -+=______________. 已知75==d c b a ，那么db c a 3232--=_____________. （3）在△ABC 与△DEF 中，若43===FD CA EF BC DE AB ，且△ABC 的周长为36cm ，则△DEF 的周长为______. （4）已知543c b a ==，且6=-+c b a ，则a =__________. （5）如果d c b a =（0≠+b a ，0≠+d c ），那么cd c a b a +=+成立吗？请说明理由. （6）已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中cm a 3=，cm b 2=，cm c 6=，则线段d =___________.（7）已知2:4:3::=c b a ，且182=-+c b a ，求c b a 23+-的值.练习1．下列各组中的四条线段成比例的是( )A.a =2，b =3，c =2，d =3B.a =4，b =6，c =5，d =10C.a =2，b =5，c =23，d =15D.a =2，b =3，c =4，d =12. 已知线段a 、b 、c 、d 满足ab =cd ，把它改写成比例式，错误的是( )A.a ∶d =c ∶bB.a ∶b =c ∶dC.d ∶a =b ∶cD.a ∶c =d ∶b3. 若ac =bd ，则下列各式一定成立的是( ) A.d c b a =B.c c b d d a +=+C.c d b a =22D.d a cd ab =4．如果bc ad =，那么下列比例中错误的是（ ）A 、d b c a =B 、b a d c =C 、b d c a =D 、c d a b =5．若5:6:=y x ，则下列等式中，不正确的是（ ）A 、511=+y y xB 、51=-y y xC 、6=-y x xD 、5=-x y y6．若2:1:::===d c c b b a ，则=d a :（ ）A 、1:2B 、1:4C 、1:6D 、1:87．若3:2:1::=c b a ，则c b a cb a +---的值为（ ）A 、-2B 、2C 、3D 、-38．已知875c b a ==，且20=++c b a ，则=-+c b a 2（ ） A 、11 B 、12 C 、314D 、99．若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，则b a -的值是（ ）A 、5B 、-5C 、20D 、-2010.在比例尺为1∶500000的地图上，A 、B 两地的距离是64 cm ，则这两地间的实际距离是______11.若a =2,b =3,c =33,则a 、b 、c 的第四比例项d 为________12.在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m ，那么这张地图的比例尺为________.13．已知5:4:2::=c b a ，且632=+-a b a ，求c b a 23-+的值。
比例的基本性质、平行线分线段成比例
精心整理数学辅导11： 比例的基本性质一、知识点：1. 成比例线段：线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dc b a =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段. 2.（1d 都不为（2（3（4（5.（1，则yx（2 已知572c b a ==，则a cb a -+=______________.已知75==d c b a ，那么db ca 3232--=_____________.（3）在△ABC 与△DEF 中，若43===FD CA EF BC DE AB ，且△ABC 的周长为36cm ，则△DEF 的周长为______.（4）已知543cb a ==，且6=-+c b a ，则a =__________. （5）如果d c b a =（0≠+b a ，0≠+d c ），那么cd ca b a +=+成立吗？请说明理由. （6）已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中cm a 3=，cm b 2=，cm c 6=，则线段d =___________.（7）已知2:4:3::=c b a ，且182=-+c b a ，求c b a 23+-的值. 练习12. ∶c =d 3. 4 A 5 A 、511=+y y x B 、51=-y y x C 、6=-y x x D 、5=-x y y6．若2:1:::===d c c b b a ，则=d a :（ ）A 、1:2B 、1:4C 、1:6D 、1:87．若3:2:1::=c b a ，则c b a cb a +---的值为（ ）A 、-2B 、2C 、3D 、-38．已知875c b a ==，且20=++c b a ，则=-+c b a 2（ ） A 、11 B 、12 C 、314D 、99．若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，则b a -的值是（ ）A10.11.12.m ，1314151617．18. 如果线段a ，b ，c 的长度之和是32cm ，且457ac c b b a +=+=+，那么这三条线段能否围成一个三角形？数学辅导12： 平行线分线段成比例一、知识点：如图1，∵L 1∥L 2∥L 3，∴EF DE BC AB =； 如图2，∵L 1∥L 2∥L 3，∴EFDEBC AB =.。
比例线段最新版
则x＝±9 ；
若线段x是线段a、b的比例中项，且a＝3，
b＝27，则x＝ 9 ；
3.若a:b:c＝2:3:7，且a＋b＋c＝36，则a＝ 6 ；
b＝ 9 ； c＝ 21。
练习4. 已知:一张地图的比例尺1:32000000
量得北京到上海的图上距离大约
则 PE DE 1， BP BD2,
FE AE
PF DC
∴PE=EF BP=2PF=4EF， A
所以BE=5EF
∴BE：EF=5：1.
P
n E
F y
4?y 2k y n k
B
D
C
解法2： 过点D作BF的平行线交AC于点Q，
A
n E
F y
2k
n ?2y k Q
B
D
C
解法2：
过点D作BF的平行线交AC于点Q，
2.两条线段的比与所采用的长度单位
无关，但求比时两条线段的长度单
位必须一致。
3.两条线段的比值是一个没有单位的
正数。
4.除了a=b外,a:b≠b:a,
a与 b
b 互为倒数
a
比例线段
在四条线段中，如果其中两条 线段的比等于另外两条线段的比， 那么，这四条线段叫做成比例线段， 简称比例线段。
比例内项
比例中项
项 a : b=c : d a、b、c的第
四比例项
比例外项
a : b=b : c
a、b、b的第
四比例项
概念的有序性
注意
线段的比有顺序性
a:b和b:a通常是不相等的。
比例线段也有顺序性 成是如b、baa、dcc、叫d做成线比段例a。、b、c、d成比例，而不能说
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线段成比例的定义
线段成比例的定义
在数学中，线段成比例是一个重要的概念，其具有广泛的应用。
本文将介绍线段成比例的定义，性质以及使用方法。
一、线段成比例的定义
两个线段a，b和两个正实数m、n，若放在同一直线上，使得$\frac {a}{b}=\frac{m}{n}$，那么线段a和线段b就成比例关系，且m和n为这个比例关系的比例因子。
也可以表示成$\frac {a}{b}：\frac {m}{n}$或
$\frac {a}{m}=\frac {b}{n}$。
例如，若线段AB=4、BC=3，且CD=6，则线段AB、BC、CD成比例，其中AB与BC的比例因子为4：3，BC与CD的比例因子为3：6。
二、线段成比例的性质
1.线段成比例必须在同一直线上。
2.对于线段成比例中的比例因子m、n，它们必须是正实数。
3.如果线段AB、BC、CD成比例，那么线段AC和线段BD的比例与线段AB、BC、CD的比例相同，即$\frac {AC}{BD}=\frac {AB}{BC}=\frac {BC}{CD}$。
4.如果线段AB、BC、CD成比例，那么线段AC和线段BD的比例因子为$\frac {AB}{BC}*\frac {CD}{BC}=\frac {AD}{BC}$。
三、线段成比例的使用方法
1.判断是否成比例：通常先判断三个线段是否都在同一直线上，如果在同一直线上，再判断比例因子是否为正实数，如果都满足，则三个线段成比例。
2.求比例因子：如果知道三个线段成比例，可以通过求得其中两个线段的比例关系来求出第三个线段的长度。
3.求比例部分长度：可以利用线段成比例的性质来求解，即$\frac {AC}{BD}=\frac {AB}{BC}=\frac
{BC}{CD}$。
四、线段成比例的应用
线段成比例的应用非常广泛，包括测量和求解各种几何问题等。
1.测量：在线段成比例的情况下，可以通过已知线段的长度来计算未知线段的长度。
2.几何问题：在线段成比例的情况下，可以求解各种几何问题，比如求解直角三角形的斜边长、求解两个垂直平分线的交点等。
总结：
线段成比例是一种重要的数学概念，它具有广泛的应用。
掌握线段成比例的定义、性质和使用方法可以帮助我们更好地应用它来求解实际问题。